1

Universidade Federal do ABC

Eng. de Instrumentação, Automação e Robótica

Circuitos Elétricos II

José Azcue, Prof. Dr.

Ganho e Deslocamento de Fase

Função de Rede (ou de Transferência)

Estabilidade

2

Definições

• Ganho?

• Deslocamento de fase?

• Função de transferência?

• Como a impedância dos capacitores e indutores do

circuito varia com a frequência, consequentemente,

essas três propriedades são funções da

frequência.

3

Definição de Ganho

• Ganho: é um parâmetro que expressa a relação

entre a intensidade do sinal de saída e a

intensidade do sinal de entrada. No caso de

sinais senoidais em circuitos lineares, o ganho é a

razão entre a amplitude da senoide da saída e a

amplitude da senoide da entrada.

4

Definição de Deslocamento de Fase

• Deslocamento de fase: é um parâmetro que

descreve a relação entre o ângulo de fase do

sinal de saída e o ângulo de fase do sinal de

entrada. No caso de sinais senoidais em circuitos

lineares, o deslocamento de fase é a diferença

entre o ângulo de fase da senoide de saída e o

ângulo de fase da senoide de entrada.

5

Ganho e Deslocamento de Fase

6

Ganho e Deslocamento de Fase

𝑣𝑖𝑛(𝑡)

𝑣𝑜𝑢𝑡(𝑡)

7

Ganho e Deslocamento de Fase

Resposta em frequência

8

Definição de Ressonância

Ressonância é uma condição em um circuito RLC no qual as reatâncias capacitivas e indutivas são iguais em módulo.

9

Exemplo A

𝐼 𝑠 =𝑉(𝑠)

𝑅+ 𝐶𝑠𝑉 𝑠 +

𝑉(𝑠)

𝐿𝑠

𝑉(𝑠)

𝐼(𝑠)=

𝐿𝑠

𝐶𝐿𝑠2 +𝐿𝑅

𝑠 + 1 𝒙

𝟏

𝑳𝑪

𝒙𝟏

𝑳𝑪

10

Exemplo A (cont.)

𝑉(𝑠)

𝐼(𝑠)=

𝑠/𝐶

𝑠2 +1

𝑅𝐶𝑠 +

1𝐿𝐶

Equação

característica

𝑠2 + 2𝛼𝑠 + 𝜔02 = 0 𝑟1,2 = −

1

2𝑅𝐶±

1

2𝑅𝐶

2

−1

𝐿𝐶

𝑠2 +1

𝑅𝐶𝑠 +

1

𝐿𝐶= 0

𝛼 =1

2𝑅𝐶 Np/s

𝜔0 =1

𝐿𝐶 rad/s

𝑟1,2 = −𝛼 ± 𝑗𝜔𝑑

(freq. de

amortecimento) 𝜔𝑑 = 𝜔𝑜2 − 𝛼2

(frequência de ressonância)

𝛼 𝛼2 𝜔02

(fator de amortecimento)

11

Fator de Qualidade

O de fator de qualidade do circuito ressonante (𝑄) expressa a rapidez com a qual |Z| diminui para valores da frequência maiores ou menores que a frequência de ressonância. No caso de sinais sinusoidais:

𝑄 = 𝑅𝐶

𝐿

12

Fator de Qualidade

O de fator de qualidade do circuito ressonante (𝑄)

13

Exemplo

𝑉(𝑠)

𝐼(𝑠)= 𝑍(𝑠) =

𝑠/𝐶

𝑠2 +1

𝑅𝐶𝑠 +

1𝐿𝐶

C=100 uF

L=1 mH

R=100Ω

Q=31,623

C=100 uF

L=1 mH

R=10kΩ

Q=3162,3

14

Funções de Rede (ou de Transferência)

Circuito Linear u(t) y(t)

Função de Rede: G(s)

condições iniciais nulas

G(s) não depende da excitação

15

Funções de Rede e Resposta Forçada

Conhecendo-se a Função de Transferência de um circuito linear,

é possível obter a resposta forçada a qualquer excitação e(t):

1 1( ) ( ) ( ). ( )f fy t Y s G s E s L L

yf (t) e (t)

Domínio s

Tempo

𝓛−𝟏 𝓛−𝟏

16

Exemplo B

eg(t)

2Ω

1H

eg(t) = 4.H(t)

i(0-) = 4A ; i = ?

E.D.O.: ( )( ) ( )g

di tL Ri t e t

dt

resposta forçadaL𝓛 𝓛

𝑑𝑖(𝑡)

𝑑𝑡+ 2𝑖 𝑡 = 𝑒𝑔(𝑡)

ℒ𝑑𝑖(𝑡)

𝑑𝑡+ 2𝑖 𝑡 = ℒ 𝑒𝑔(𝑡)

𝑠𝐼 𝑠 − 𝑖 0− + 2𝐼 𝑠 = 𝐸𝑔(𝑠)

𝐼 𝑠 𝑠 + 2 = 𝐸𝑔 𝑠 + 𝑖(0−)

𝐼 𝑠 =𝐸𝑔(𝑠)

(𝑠 + 2)+

𝑖(0−)

(𝑠 + 2)

17

Exemplo B (cont.)

Resposta forçada ao degrau: e(t)= 4H(t)

Resposta forçada ao impulso: e(t)= 4(t)

1 L 2( ) 2 2 [A,s]t

fi t e 4 /

( ) ( ). ( ) ( 2)

f

sI s G s E s

s

forçada (transitório+permanente)

𝓛−𝟏

4( ) ( ). ( )

( 2)fI s G s E s

s

1 L2( ) 4 [A,s]t

fi t e

forçada (transitório)

𝓛−𝟏

𝐺 𝑠 =𝑌(𝑠)

𝑈(𝑠) 𝑐.𝑖.𝑛.

=𝐼(𝑠)

𝐸𝑔(𝑠) 𝑐.𝑖.𝑛.

=1

(𝑠 + 2) [ função de rede G(s) ]

18

Obtenção de Função de Rede

Funções de Entrada (circuitos de 1 porta, 2 terminais)

19

Tipos de Funções de Rede

20

Tipos de Funções de Rede

Funções de

Transferência

(circuitos de 2 portas,

4 terminais)

21

Exemplo C

A função de transferência depende do sinal que é definido

como saída.

Como um circuito pode ter múltiplas fontes, podem existir várias

funções de transferência.

1 . . . 2

( ) 1( )

( ) 1/ 1c i n

g

I s sCH s

V s R sL Cs s LC RCs

2 . . . 2

( ) 1/ 1( )

( ) 1/ 1c i n

g

V s CsH s

V s R sL Cs s LC RCs

Circuito de segunda ordem

22

Resposta Impulsiva

A Resposta Impulsiva

é a anti-transformada da

Função de Rede

23

Resposta Impulsiva

Com a resposta ao impulso do sistema, é possível

obter a função de transferência do sistema.

24

Exemplo D: resposta ao impulso unitário

eg(t)

2Ω

1H

Resposta Impulsiva: eg(t) = (t) e i(0-)=0

2( ) . ( ) [V,s]tg t e H t

Circuito de primeira ordem

1( ) ( )g t G s L𝓛−𝟏

𝐺 𝑠 =𝑌(𝑠)

𝑈(𝑠) 𝑐.𝑖.𝑛.

=𝐼(𝑠)

𝐸𝑔(𝑠) 𝑐.𝑖.𝑛.

=1

(𝑠 + 2)

25

Exemplo E: resposta ao impulso unitário

0

11 /rd s

LC

2 2

0 0,995 /d rd s 0

. . . 2

( ) 1( )

( ) 1c i n

g

V sG s

V s s LC RCs

Circuito RLC série sub-amortecido ou oscilatório

R=0,2 Ω

L=1H

C=1F

𝛼 =𝑅

2𝐿= 0,1

𝑁𝑝𝑠

1( ) ( )g t G s L

26

Resposta transitória e permanente

• Considerando: Y(s) = G(s)X(s)

• Os termos gerados pelos pólos de G(s) dão origem à

componente transitória da resposta global,

• Enquanto que, os termos gerados pelos pólos de X(s) dão

origem à componente permanente da resposta global.

entrada Função de

transferência

27

Exemplo F

A fonte vg é a alimentação e vo a saída. Determine:

A expressão numérica para a função de transferência;

Os valores de pólos e zeros.

Domínio s Domínio t

28

Exemplo F (cont.)

62 10.256000

)5000(1000)(

ss

s

Vg

VosH

010

.

05,02501000 6

sVo

s

VoVgVop1=-3000+j4000

p2=-3000-j4000

z1=-5000

29

Exemplo F (cont.)

Considere que o circuito é alimentado por uma fonte de tensão que aumenta linearmente com o tempo, isto é, vg = 50tu(t). Use a função de transferência para determinar vo. Identifique a componente transitória da resposta. Identifique a componente de regime permanente da

resposta.

262

50

10.256000

)5000(1000

sss

sVo

𝑉𝑔 𝑠 = ℒ 50𝑡𝑢(𝑡) =50

𝑠2 62 10.256000

)5000(1000)(

ss

s

Vg

VosH

30

Exemplo F (cont.)

Vttevo t ]10.410)º70,794000cos(.10.36,22[ 430004

ssjsjsVo

4

2

44 10.410

40003000

º7,7910.18,11

40003000

º7,7910.18,11

262

50

10.256000

)5000(1000

sss

sVo

transitória permanente

31

Exemplo F (cont.)

)º70,794000cos(.10.36,22 30004 teatransitóri t

)10.410( 4 tpermanente

Parcela transitória: gerada pelos polos de G(s).

Parcela permanente: gerado pelo pólo de 2ª ordem da tensão de alimentação.

• Após 1 ms a diferença entra a resposta global e de regime permanente é imperceptível

32

Resposta em Regime Permanente Senoidal (RPS)

Uma vez calculada a função de transferência, não é necessário realizar uma análise fasorial para determinar a resposta em RPS.

Admita que x(t) = A.cos(wt + )

222222

.cos...cos.)(

ws

senwsA

ws

wsenA

ws

sAsX

cos 𝑎 + 𝑏 = cos𝑎 cos 𝑏 − sin 𝑎 sin 𝑏

𝑥 𝑡 = 𝐴. cos𝑤𝑡 . cos 𝜙 − 𝐴. sin𝑤𝑡 . sin𝜙

Laplace

33

Resposta em RPS

G(jw) quantidade complexa

𝑌 𝑠 =𝐾1

𝑠 − 𝑗𝑤+

𝐾1∗

𝑠 + 𝑗𝑤+

𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑜𝑠 𝑝ó𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐺(𝑠)

G 𝑗𝑤 = 𝐺(𝑗𝑤) . 𝑒𝑗∠𝐺(𝑗𝑤) Se: 𝐾1 =𝐴

2𝐺(𝑗𝑤) . 𝑒𝑗(∠𝐺 𝑗𝑤 +𝜙)

𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 . 𝑋(𝑠) 𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 .𝐴. (𝑠. cos 𝜙 − 𝑤. sin 𝜙)

𝑠2 + 𝑤2

𝐾1 =1

2𝐺 𝑗𝑤 . 𝐴. 𝑒𝑗𝜙

𝑝1 = 𝑗𝑤; 𝑝2 = −𝑗𝑤 Pólos =>

Não contribuem para a resposta em reg. permanente

Utilizando o método dos resíduos:

𝑦𝑟𝑝 𝑡 = ℒ−1𝐾1

𝑠 − 𝑗𝑤+

𝐾1∗

𝑠 + 𝑗𝑤= 𝐴. 𝐺 𝑗𝑤 . cos(𝑤𝑡 + 𝜙 + ∠𝐺(𝑗𝑤))

34

Cálculo do resíduo K1

𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 .𝐴. (𝑠. cos 𝜙 − 𝑤. sin 𝜙)

𝑠2 + 𝑤2 =𝐾1

𝑠 − 𝑗𝑤+

𝐾1∗

𝑠 + 𝑗𝑤+

𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑜𝑠 𝑝ó𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐺(𝑠)

𝐾1 = 𝑌 𝑠 𝑠 − 𝑗𝑤 𝑠=𝑗𝑤

= 𝐺 𝑠 .𝐴. (𝑠. cos𝜙 − 𝑤. sin 𝜙)

(𝑠 − 𝑗𝑤)(𝑠 + 𝑗𝑤)𝑠 − 𝑗𝑤

𝑠=𝑗𝑤

𝐾1 = 𝐺 𝑗𝑤 .𝐴. (𝑗𝑤. cos𝜙 − 𝑤. sin𝜙)

(2𝑗𝑤)= 𝐺 𝑗𝑤 .

𝐴. (cos𝜙 + 𝑗. sin𝜙)

2

𝐾1 = 𝐺 𝑗𝑤 .𝐴

2𝑒𝑗𝜙

35

Exemplo G

Para o circuito da figura abaixo, determine a tensão vo(t) em

regime permanente, para t>0, se as condições iniciais são nulas.

𝐴 = 10; w = 2;

36

Exemplo G (cont.)

Transformar o circuito para o

domínio da Laplace. Considerar

todas as condições iniciais nulas.

1

12

1V

s

Vo

:divider VoltageDivisor tensão

0

1222

: 111

s

VVVV i1KCL@VLKC@V1:

s

𝑠𝑒: 𝑥 𝑡 = 𝐴 cos(𝑤𝑡 + 𝜙)

𝑦𝑟𝑝 𝑡 = 𝐴. 𝐺 𝑗𝑤 . cos(𝑤𝑡 + 𝜙 + ∠𝐺(𝑗𝑤))

𝑉0 𝑠 =𝑠2

3𝑠2 + 4𝑠 + 4𝑉𝑖(𝑠)

𝐺 𝑠 =𝑠2

3𝑠2 + 4𝑠 + 4

𝐺 𝑗2 =𝑗2 2

3 𝑗2 2 + 4 𝑗2 + 4= 0,354∠45°

𝑣𝑜,𝑟𝑝 = 3,54 cos 2𝑡 + 45° 𝑉

𝐴 = 10; w = 2; 𝑣𝑖 𝑡 = 10 cos 2𝑡

L=1H; C=1/2 F; w = 2 rad/s;

37

Exemplo 1

Encontrar a função de transferência:

Se deve aplicar a transformada de Laplace na equação,

considerando condições iniciais nulas

3𝑠𝑌 𝑠 + 2𝑌(𝑠) = 𝑋 𝑠

Logo, isolar a saída em função da entrada:

𝐺 𝑠 =𝑌(𝑠)

𝑋(𝑠)=

1

3𝑠 + 2=

13

𝑠 + 23

3𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡+ 2𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡)

38

Exemplo 2

Encontrar a função de transferência:

Se deve aplicar a transformada de Laplace na equação,

considerando condições iniciais nulas

10𝑠𝑌 𝑠 + 2𝑌(𝑠) = 𝑋 𝑠

Logo, isolar a saída em função da entrada:

𝐺 𝑠 =𝑌(𝑠)

𝑋(𝑠)=

1

10𝑠 + 2=

110

𝑠 + 15

=0,1

𝑠 + 0,2

10𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡+ 2𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡)

39

Exemplo 3

Obtenha a resposta no tempo y(t) a partir da função de

transferência anterior, considerando como sinal de entrada uma

função degrau unitário, admitindo condições iniciais nulas.

𝐺 𝑠 =1

10

𝑠 + 15

=0,1

𝑠 + 0,2

𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 𝑋 𝑠 ;

𝑌 𝑠 =1

10

𝑠 𝑠 + 15

=𝐾1

𝑠+

𝐾2

𝑠 + 15

𝑋 𝑠 = ℒ 𝑢(𝑡) =1

𝑠

40

Exemplo 3 (cont.)

𝑌 𝑠 =1

10

𝑠 𝑠 + 15

=𝐾1

𝑠+

𝐾2

𝑠 + 15

𝑌 𝑠 =1

2

𝑠−

12

𝑠 + 15

𝑦 𝑡 = ℒ−1{𝑌 𝑠 } =1

2𝑢 𝑡 −

1

2𝑒−(1 5 )𝑡𝑢 𝑡

𝑦 𝑡 =1

2−

1

2𝑒− 1

5 𝑡 ; 𝑝/ 𝑡 > 0

41

Exemplo 4

Obtenha a resposta no tempo y(t) à rampa para um sistema cuja

função de transferência é:

𝑌 𝑠 =𝑠

𝑠2 𝑠 + 4 (𝑠 + 8)=

1

𝑠 𝑠 + 4 (𝑠 + 8)=

𝐾1

𝑠+

𝐾2

𝑠 + 4+

𝐾3

𝑠 + 8

𝑌 𝑠 =1

32

𝑠+

−116

𝑠 + 4+

132

𝑠 + 8

𝑦 𝑡 = ℒ−1{𝑌 𝑠 } = (1

32−

1

16𝑒−4𝑡 +

1

32𝑒−8𝑡)𝑢 𝑡

𝑦 𝑡 =1

32−

1

16𝑒−4𝑡 +

1

32𝑒−8𝑡 ; 𝑝/ 𝑡 > 0

𝐺 𝑠 =𝑠

𝑠 + 4 (𝑠 + 8)

𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 𝑋 𝑠 ; 𝑋 𝑠 = ℒ{𝑡} =1

𝑠2

42

Estabilidade das redes lineares

Pólos da rede

43

Estabilidade das redes lineares

Assintoticamente

Estável

44

Estabilidade das redes lineares

Marginalmente

Estável

45

Estabilidade das redes lineares

Instável

linear exponencial

multiplicidade

46

Exemplo

Veja o exemplo do colapso da ponte Tacoma Narrows, localizado em

Washington, Estados Unidos.

“Resonance, Tacoma Narrows Bridge Failure, and Undergraduate Physics

Textbooks,” by K. Y. Billah and R. H. Scalan published

in the American Journal of Physics, vol. 59, no. 2 (1991), pp. 118–124.

7 de Novembro de 1940

https://www.youtube.com/wat

ch?v=j-zczJXSxnw

47

Próxima Aula

1. Exercícios.

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Referências

1. ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. “Fundamentos de

Circuitos Elétricos”, 5ª edição, Ed. Mc Graw Hill, 2013.

2. Slides da prof. Denise,

https://sites.google.com/site/circuitoseletricos2ufabc/profa-

denise/aulas, acesso em fevereiro de 2018.

3. ORSINI, L.Q.; CONSONNI, D. “Curso de Circuitos Elétricos”, Vol.

1( 2ª Ed. – 2002 ), Ed. Blücher, São Paulo.

4. CONSONNI, D. “Transparências de Circuitos Elétricos I”, EPUSP.

5. NILSSON, J.W., RIEDEL, S. A. “Circuitos Elétricos”, 8ª Ed.,

Editora Pearson, 2009.