CIRCULO Y CIRCUNFERENCIA

Profesor:Rodolfo Arias Carrasco.

Un círculo es un conjunto de puntos de un plano cuya distancia entre un punto fijo llamado centro y cualquier punto de él es menor o iguala un valor constantes. El valor constantes es el radio del círculo.

Un sector circular es una porción del círculo determinado por dos radios y el arco comprendido entre ellos.

Un segmento circular es una porción del círculo determinada por una cuerda y uno de los arcos determinados por ella

Un trapecio circular es la región del círculo determinada por dos circunferencias concéntricas y por dos radios

Un anillo (o corona) circular es una porción del círculo limitada por dos circunferencias concéntricas

CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geométrico de un conjunto

de infinitos puntos que equidistan de un punto fijo. A tal punto se le llama centro de la circunferencia

ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA

A B

M

N

Rectatangente

Rectasecante

Flecha o sagita

DiámetroAB( )

Centro

�

T�

Punto de tangencia

Q�

P�

Radio

Arco BQ

Cuerda PQ

PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

01.-Radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente.

R L

LR ⊥

02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda la biseca (divide en dos segmentos congruentes).

P

Q

M

N

R

MQ PM PQ R =⇒⊥

03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las

paralelas.

A B

C D

mBDmAC CD // AB :Si =⇒

04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos congruentes.

A

B

C

D

Cuerdas congruentesArcos congruentes

Las cuerdas equidistan del

centro

mCD mAB CD AB:Si =⇒=

POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS

01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.- Tienen el mismo centro.

r

R

d = Cero ; d : distancia d = Cero ; d : distancia

Rr

Distancia entrelos centros (d)

02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común.

d > R + rd > R + r

R r

d = R + r d = R + r

03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un punto común que es la de tangencia.

r

R

R r

Punto de tangencia

Distancia entrelos centros (d)

d

R

d = R - rd = R - r

04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un punto en común que es la de tangencia.

d: Distancia entre los centros

R

r

Punto de

tangencia

05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes que son las intersecciones.

R r

( R – r ) < d < ( R + r )( R – r ) < d < ( R + r )

Distancia entrelos centros (d)

06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son perpendiculares en el punto de intersección.

d2 = R2 + r2d2 = R2 + r2

Distancia entrelos centros (d)

rR

06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes.

R

r

d

d < R - rd < R - r d: Distancia entre los centros

1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes.

PROPIEDADES DE LAS TANGENTES

AP = PBAP = PB

A

B

P

R

R

αα

2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes

AB = CDAB = CD

A

B

C

D

R

Rr

r

3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes.

AB = CDAB = CD

A

B

C

DR

R

r

r

TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa mas el doble del inradio.

a + b = c + 2r a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r ) a + b = 2 ( R + r )

a

b

c

r

R R

Inradio

Circunradio

TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados opuestos son iguales.

a + c = b + d a + c = b + d

d

a

b

c

Cuadrilátero circunscrito

α

1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la medida del arco que se opone.

A

B

C

r

r

α = mBAα = mBA

β

A

C

B

D

2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la semisuma de las medidas de los arcos opuestos

2

mCDmAB +=β

θ

A

B

C

3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida del arco opuesto y por lo tanto, es igual a la mitad de la medida del ángulo central.

2

mBA=θ

δ

4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSCRITO.- Es igual a la mitad de la medida del arco opuesto y por lo tanto, es igual a la mitad de la medida del ángulo central.

A

B

C

2

mBA =δ

ε

A

BC

2

mCBA =ε

1.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de la medida del arco ABC.

α

A

B

C O

6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:

a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.

α + mBA = 180°α + mBA = 180°

2

mBA - mACB =α

β

A

B

C

O

D

b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.

2

mDC-mBA =β

θ

A

B

C

O

c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.

2

mCB -mBA =θ