Kartografske projekcije Miljenko Lapaine Sažetak Dan je pregled teorije i primjena kartografskih projekcija diljem svijeta i u Hrvatskoj. Kartografija je najprije ukratko prikazana kao disciplina koja se bavi zasnivanjem, izradom, promidžbom i proučavanjem karata. Teorija kartografskih projekcija je grana kartografije koja proučava način preslikavanja zakrivljene Zemljine plohe i drugih nebeskih tijela u ravninu. Nakon kraćeg povijesnog pregleda kartografskih projekcija, daje se opći prikaz kartografskih projekcija i osoba koje su se njima bavile na području Hrvatske. Osim toga ukratko je objašnjen problem izbora državne kartografske projekcije, što je jedan od osnovnih zadataka hrvatske službene kartografije našeg vremena. Ključne riječi: kartografija, kartografske projekcije, povijest, Hrvatska 1. Kartografija i njezin razvoj

Na svojoj 10. generalnoj skupštini održanoj 1995. u Barceloni Međunarodno je kartografsko društvo (International Cartographic Association – ICA), s obzirom na promjene u tehnici i upotrebi kartografije i karata, te sukladno zaključcima Radne skupine o kartografskim definicijama, prihvatilo sljedeće definicije:

Kartograf je osoba koja se bavi kartografijom. Kartografija je disciplina koja se bavi zasnivanjem, izradom, promicanjem i

proučavanjem karata. Karta je znakovni model geografske stvarnosti, koja prikazuje odabrane objekte ili

svojstva, nastaje stvaralačkim autorskim izborom, a upotrebljava se onda kada su prostorni odnosi od prvorazredne važnosti.

Definirati kartu, kartografiju i kartografa nije nimalo lako. Navedene su definicije rezultat dugogodišnjeg rada Radne skupine za kartografske definicije Međunarodnog kartografskog društva. Na sastanku te skupine održanom u Bornmouthu sudjelovao je i M. Lapaine (Board 1991), a detaljna je izvješća o radu dao njezin predsjedavajući Ch. Board (1989, 1992). Donošenjem gore navedene rezolucije, odnosno prihvaćanjem definicija, rad na njihovom poboljšavanju nije prestao. Već je u Barceloni 1995. uočeno da s radom treba nastaviti te je stoga bivša Radna grupa za definiranje osnovnih teorijskih postavki kartografije (Working Group to Define the Main Theoretical Issues in Cartography) prerasla u Povjerenstvo za teorijska pitanja i definicije u kartografiji (Commission on Theoretical Fields and Definitions in Cartography).

Riječ kartografija je složenica od dviju grčkih riječi: χαρτης – list papira, povelja, karta i γραφω – pišem, crtam. Kartografija je drevno umijeće, drevna struka. Podatak da se riječ kartografija prvi puta spominje uz riječ geografija i horografija izgravirana na jednom goedetskom insturmentu iz 1576. god. (Lovrić, 1988) nije točan (vidi Harley, 1987). Riječ kartografija skovao je 1839. god. Manuel Francisco de Barros e Sousa, Viscount of Santarém, potrugalski učenjak, sa značenjem proučavanja starih karata. Riječ je uskoo primijenjena na kartografiju općenito, u značenju u kojem se upotrebljava i danas, a pojavljuje se u mnogim europskim jezicima u drugoj polovini 19. st.

1

Gotovo se dva tisućljeća kartografija razvijala u sklopu geografije kao njezin sastavni dio. Koncepcija kartografije kao znanosti bila je prvi put izložena pod nazivom geografija u drugom stoljeću naše ere u poznatom Ptolemejevu djelu Uvod u geografiju. U srednjem je vijeku regionalni smjer u geografiji, koji se izgrađivao na Ptolemejevim idejama, našao svoj izraz u najvažnijim geografskim djelima epohe, u velikim atlasima iz 16. i 17. stoljeća, koji su bili zbirke karata i opsežnih tekstova. Sinonim za geografiju bio je kozmografija, pa su neki tadašnji kartografi nazivani kozmografima. V. N. Tatiščev označio je tadašnju kartografiju kao matematičku geografiju i uz fizičku i političku geografiju smatrao ju je jednim od triju sastavnih dijelova geografije. Matematičkom geografijom i kartografskim projekcijama bavi se primjerice Steinhauser (1857) u svome udžbeniku. Poznati francuski kartografi iz 17. i 18. stoljeća Nicolas Sanson, Guillaume Delisle i Jean-Baptiste Bourguignon d'Anville zvali su se kraljevskim geografima.

Ondašnja geografija opisnoga karaktera, koja je istraživala gdje se što nalazi, nije mogla unijeti u kartografiju nove ideje niti postupke za obradbu kartografskog materijala. Mnogo je više poticaja dolazilo od matematike, koja je kartografiranje obogatila analitičkim metodama za razvitak kartografskih mreža, kao i matematičkim osnovama za topografsku izmjeru. Istodobno je izmjera Zemljine površine postala predmet geodezije kao primijenjene matematičke discipline. Jedna od geodetskih disciplina, niža geodezija ili topografija, razvila je metode izmjere za izradu detaljnih topografskih karata, pa se kartografiranje svelo na geometrijsko registriranje pojava. Rezultat su toga bili državni kartografski radovi usmjereni prije svega na opskrbu vojske topografskim kartama. Time su oslabile veze između kartografije i geografije, ali su one s vremenom obnovljene na novoj osnovi. Razvila se tematska kartografija, nastala na određenom stupnju razvoja geografije, te niz drugih prirodnih i društvenih znanosti kojima je postavljen zadatak istraživanja prostornih zakonitosti podjele i uzajamne povezanosti pojava. Spomenut ću za primjer da se među autorima knjižice Matching the Map Projection to the Need (Prilagođavanje kartografske projekcije potrebi) koju je 1991. izdao Committe on Map Projections of the American Cartographic Association (Povjerenstvo za kartografske projekcije Američkoga kartografskog društva) pojavljuje jedan jedini profesor kartografije (A. H. Robinson), dok je među njima sedam profesora geografije (H. W. Castner, R. E. Dahlberg, P. P. Gilmartin, Mei-Ling Hsu, M. Monmonier, Ph. C. Muehrcke, J. M. Olson).

Široko poimanje kartografije stvoreno je pri njezinu kasnijem razvitku kao samostalne znanstvene discipline, a u svezi s razvojem i proširenjem visokoškolske kartografske izobrazbe. Ipak, smatram da se kartografija ne može razvijati isključivo kao samostalna znanost; njezin razvitak bitno ovisi o drugim područjima, među kojima su u prvome redu informatika, geografija i geodezija.

Primjena računala u kartografiji svakim je danom sve veća te mnoge države imaju svoje kartografske podatke u digitalnom obliku. Stoga je normizacija prijenosa prostornih baza podataka jedan od najznačajnijih zadataka za kartografiju kao struku. Da bi se u cijelosti razumio proces takva prijenosa, najvažnosti je razumjeti temelje kartografske teorije na kojoj se on osniva. Tu se ubrajaju pojmovi: realne i virtualne karte, dubinske i plošne kartografske strukture te slojevi kartografskih podataka (Moellering 1991a). Ti pojmovi proizlaze iz razvitka analitičke kartografije, područja koje je glavni pokretač razvoja teorijskih i matematičkih osnova kartografije. Sažet je prikaz analitičke kartografije dao Moellering (1991b).

Prva dva osnovna pojma u tom području su pojmovi o realnim i virtualnim kartama. U 70-im se godinama pojavilo mnogo kartografskih proizvoda kao što su slike na ekranima monitora i digitalni modeli terena, koji su izašli izvan uobičajenih definicija karte kao trajnog produkta na papiru. U vodećem članku prvog broja časopisa American Cartographer koji je napisao Morrison (1974), autor uočava taj novi problem i poziva na proširenu definiciju karte.

2

Moellering se suočio s istim problemom i preuzeo izazov koji je postavio Morrison. Nakon nekoliko godina istraživanja predložena je definicija realnih i virtualnih karata (Moellering 1980).

Postoje dvije odlučujuće karakteristike koje razlikuju konvencionalne karte u realnom obliku vidljive kopije (hard copy) od virtualnih karata. Realna je karta proizvod koji može biti izravno viđen kao kartografska slika. I uobičajene karte na papiru i slike na zaslonu monitora mogu se vidjeti na taj način, ali npr. datoteke kartografskih podataka ne mogu. One se najprije moraju transformirati u stanje izravne vidljivosti. Drugo je odlučujuće svojstvo može li se proizvod opipati. Klase realnih i virtualnih karata, koje su dobivene odgovorima da/ne u odnosu na gornja dva svojstva realne su karte i virtualne karte prve, druge ili treće vrste (Moellering 1980).

Konvencionalni kartografski proizvodi kao što su listovi karata, atlasi i globusi koji imaju čvrstu opipljivu realnost i izravno su vidljivi kao kartografske slike nazivaju se realnim kartama. Ostale tri klase kojima nedostaje jedno ili oba svojstva nazivaju se virtualnim kartama. Te tri klase omogućuju proširenje definicije karte, što odražava razvoj suvremene kartografije. Odatle proizlazi da virtualne karte mogu sadržavati iste informacije kao realne karte, a u slučaju kartografskih baza podataka vjerojatno i više. Moellering uočava da i kartografske baze podataka treba smatrati kartama jer one mogu sadržavati informacije realnih karata, a mogu se također transformirati u njih ako je potrebno.

Kartografija se može podijeliti na različite načine. Primjerice, prema objektu prikaza dijelimo je na topografsku i tematsku, prema metodama izradbe na klasičnu i automatiziranu, prema namjeni na vojnu i civilnu te dalje na katastarsku, planersku, školsku, atlasnu itd. Borčić (1955a) je podijelio kartografiju na opću, matematičku i praktičnu.

Podjela kartografije koja približno odgovara procesu izradbe i uporabe karata je prema Lovriću (1988) sljedeća: povijest kartografije, opća kartografija, matematička kartografija ili teorija kartografskih projekcija, oblikovanje karata, sastavljanje karata, izdavanje karata, uporaba karata i održavanje karata. 2. Teorija kartografskih projekcija

Teorija kartografskih projekcija je ogranak kartografije koji proučava načine preslikavanja zakrivljene površine Zemlje i ostalih nebeskih tijela na ravninu, a često se naziva matematičkom kartografijom. Stoga i mnogi udžbenici koji izučavaju kartografske projekcije nose naziv Matematička kartografija (Kavrajskij 1934, 1958-60, Solov'jev 1937, 1969, Graur 1938, 1956, Borčić 1955a, Fiala 1957, Meščerjakov 1968, Pavlov 1972, 1974, Frankich 1980, Vahrameeva i dr. 1986), a i Bugajevskij i Snyder (1995) u svojoj najnovijoj knjizi koriste isti termin kao sinonim za teoriju kartografskih projekcija. Danas, međutim, kad matematika sve više prodire i u ostale grane kartografije, naziv matematička kartografija može imati vrlo široko značenje pa ga prema Frančuli ne bi trebalo poistovjetiti s teorijom kartografskih projekcija. Već je i Borčić (1955a) smatrao da bi se u matematičku kartografiju mogla ubrojiti i uporaba karata uključujući i kartometriju.

Cilj je izučavanja kartografskih projekcija stvaranje matematičke osnove za izradbu karata i rješavanje teorijskih i praktičnih zadataka u kartografiji, geodeziji, geografiji, astronomiji, navigaciji i ostalim srodnim znanostima.

U izradbi matematičke osnove neke karte potrebno je konstruirati u izabranoj projekciji mrežu meridijana i paralela ili nekih drugih koordinatnih linija što su služile kao kostur za unošenje ostalog sadržaja. Grafički način konstrukcije tih kartografskih mreža u početku je potpuno zadovoljavao zahtjeve geografije i kartografije. S vremenom, pošto su se osnovne točke određivale triangulacijom, a izvorne karte nastajale na osnovi topografskih izmjera, bilo je potrebno točnije sastavljanje kartografskih mreža, što se moglo postići

3

izračunavanjem numeričkih vrijednosti koordinata točaka uzduž meridijana i paralela u projekciji. Taj način nazivamo analitičkim jer koordinate trebaju biti izražene s pomoću matematičkih formula, tj. u analitičkom obliku. Potrebno je, stoga, za svaku kartografsku projekciju uspostaviti funkcionalnu vezu između točaka na plohi elipsoida i u ravnini projekcije. Ta se funkcionalna ovisnost izražava osnovnim kartografskim jednadžbama.

Osnovne kartografske jednadžbe omogućuju računanje i izučavanje deformacija u kartografskim projekcijama. Naime, pri preslikavanju plohe elipsoida ili sfere u ravninu nastaju deformacije dužina, površina i kutova. Na osnovi veličine i rasporeda deformacija na kartama u pojedinim je projekcijama moguće uspoređivanje projekcija i biranje najpovoljnijih. Na izbor projekcije, međutim, ne utječu samo deformacije, nego i veći broj drugih činitelja. Uzimajući sve to u obzir, potrebno je za karte određenog područja i određene namjene odabrati najpovoljniju projekciju.

Sl. 1. Gilbertova projekcija

U izabranoj projekciji potrebno je zatim konstruirati mrežu meridijana i paralela. U tu se svrhu danas izrađuju kompjutorski programi za računanje i crtanje kartografskih mreža za bilo koji dio Zemljine sfere u bilo kojoj projekciji i bilo kojem mjerilu. Ti programi omogućuju i crtanje ostalog sadržaja. Uporaba računala i plotera u kartografiji znatno je olakšala traženje i dobivanje novih inačica već postojećih projekcija.

Jedan dio teorije kartografskih projekcija, koji proučava načine preslikavanja točaka s površine Zemljina elipsoida određenih geodetskim metodama, naziva se geodetskom kartografijom. U tome dijelu teorije kartografskih projekcija proučavaju se i svi ostali problemi koji se javljaju pri prijelazu s elipsoida na ravninu, a to su: računanje konvergencije meridijana, računanje mjerila, računanje redukcija duljina i pravaca, prvi i drugi geodetski zadatak te preračunavanje koordinata točaka pri prijelazu iz jednog u drugi koordinatni sustav u istoj projekciji (Borčić 1955a).

4

Karta nije jednostavni crtež Zemljine površine, nego njen znakovni model dobiven na temelju određenih matematičkih zakona. Ti zakoni pretpostavljaju posredni prijelaz s fizičke Zemljine površine na njezin grafički prikaz u ravnini. Najprije se s fizičke Zemljine površine prelazi na matematičku plohu – rotacijski elipsoid ili sferu. Taj se prijelaz ostvaruje ortogonalnim projiciranjem točaka fizičke površine na matematičku plohu pomoću mreže točaka geodetske osnove, koja omogućava pravilan geografski smještaj i orijentaciju sadržaja karte u okviru neke koordinatne mreže na elipsoidu i potom na karti. Nakon toga slijedi prijelaz s plohe rotacijskog elipsoida ili sfere u ravninu. Ta se preslikavanja zovu kartografske projekcije i njima se bavi teorija kartografskih projekcija.

Zakrivljene se plohe elipsoida i sfere ne mogu bez deformacija preslikati u ravninu. Međutim, raspodjela deformacija i njezin iznos mogu se odrediti ako poznajemo zakon preslikavanja. Drugim riječima, primjena kartografskih projekcija omogućuje numeričko određivanje deformacija i njihovo isključivanje iz podataka preuzetih s karata.

Loše odabrana kartografska projekcija može stvoriti loše posljedice. Nastoji se vjerovati u ono što je vidljivo, i ako su osnovni geografski odnosi, kao što su oblici, veličine, smjerovi itd. jako deformirani, teži se prihvaćanju toga kao činjenice, ako se vide tako prikazane na karti. To može dovesti do vrlo pogrešnog utiska, primjerice da se od San Francisca do Tokija putuje na zapad, ili da se od Chicaga do Rima putuje na istok, ili da je Sjeverna Amerika veća od Afrike. Naše mentalne karte, "baze podataka" u našemu mozgu, stvorene su isključivo od onoga što vidimo i našeg iskustva. S obzirom da globusi nisu tako česti, najviše mentalnih slika o Zemlji dolazi s geografskih karata. Jako deformirana karta koja se često gleda (kao što su one u pozadini televizijskih vijesti) uskoro će izgledati poznato i dakle "ispravno". To može prouzročiti da mentalna karta svijeta pojedincu postane stalno deformirana (Committee on Map Projections, 1986).

Od mnogih kartografskih projekcija koje se koriste za karte svijeta, samo mali broj dobro čuva Zemljin okrugli oblik. Od njih posebno treba naglasiti Gilbertovu projekciju (sl. 1). Ona predstavlja svijet kakvog ga ljudi najčešće vide, iz svemira i okruglog. Svojim okruglim oblikom podsjeća nas na globus, te istovremeno prikazuje cijelu površinu Zemlje (Lapaine, Frančula, 1992, 1993, Lapaine i dr. 1994, Lapaine i dr. 1995).

Pri izražavanju problema koje razmatra i pri pronalaženju njihovih analitičkih rješenja, teorija kartografskih projekcija primjenjuje postavke mnogih matematičkih disciplina, kao što su ravna i sferna trigonometrija, diferencijalna geometrija, diferencijalni i integralni račun, metode numeričke analize itd. Podatke o obliku i veličini Zemlje i koordinatama točaka geodetske osnove te astronomskih točaka, teorija kartografskih projekcija preuzima iz geodezije i geodetske astronomije. Isto je tako jasno izražena obostrana povezanost teorije kartografskih projekcija s geografijom i drugim znanostima za čije se potrebe izrađuje velik broj raznovrsnih karata.

Osnovni su zadaci teorije kartografskih projekcija prema Vahramejevoj i dr. (1986), Bugajevskom i Snyderu (1995) te uz vlastitu modifikaciju sljedeći: • širenje znanja o kartografskim projekcijama; • razvitak teorije kartografskih projekcija, ponajprije u području dobivanja najboljih

kartografskih projekcija, uključujući "najbolje" i "idealne"; • ispitivanje različitih kartografskih projekcija, njihove biti, svojstava, međuovisnosti i

učinkovitosti primjene u praksi; • usavršavanje postojećih kartografskih projekcija i njihova normizacija; • istraživanje uloge kartografskih projekcija i njihove primjene u geoinformacijskim

sustavima; • usavršavanje metoda istraživanja novih kartografskih projekcija, osobito algoritama i

odgovarajućeg softvera uz poboljšanja tehnika računanja;

5

• razrada drugih matematičkih elemenata karte kao što su mjerilo, podjela na listove itd., a pojavljuju se pri izdanjima na više listova;

• ispitivanje i rješavanje zadataka matematičkog karaktera koji se pojavljuju pri sastavljanju karata (npr. transformiranje kartografskih projekcija primjenom različitih pomagala, uključujući računala);

• razrada teorije i metoda automatizacije u primjeni kartografskih projekcija; • razvoj projekcijske metode pogodne za rješavanje zadataka iz planarne i lienarne

goemetrije kako bi se išlo u susret potrebama drugih znanosti kao što su astronomija, kristalografija i geologija;

• istraživanje prostornih projekcija i projekcije Landsat za potrebe razvoja prostorne tehnologije;

• obrada digitalnih podataka u bazama podataka karata, sustavi postavljanja prostornih informacija i sustavi transformacija kartografskih projekcija za potrebe stvaranja raznih sustava određenih informacija i razvijanje znanosti prostornih informacija.

3. Povijest kartografskih projekcija

Razvitak kartografskih projekcija tekao je usporedno s razvitkom izradbe karata i kartografije općenito. Razvitak mnogih znanosti, tehnička dostignuća i potrebe svakodnevnog života s vremenom su inicirali sve šire zahtjeve za izradbom raznovrsnih topografskih i tematskih karata različitih mjerila i namjene, što je zahtijevalo neprekidno povećavanje broja kartografskih projekcija i usavršavanje matematičke osnove karata.

Počeci kartografskih projekcija stari su oko dvije tisuće godina, otkad su grčki znanstvenici prvi uveli matematičke principe u osnovu preslikavanja Zemlje i zvjezdanog neba te počeli primjenjivati mrežu meridijana i paralela. Veliku su ulogu u razvitku kartografije odigrali radovi Anaksimandara, Eratostena, Apolonija i Hiparha.

Smatra se da je prvu kartu u nekoj projekciji izradio Tales iz Mileta 600. godine pr. Kr. Bila je to karta nebeske sfere u gnomonskoj projekciji. Među najstarije se projekcije ubrajaju stereografska i ortografska koje je upotrijebio poznati grčki astronom i matematičar Hiparh, također za izradbu karata nebeske sfere oko 150. godine pr. Kr. Od toga doba do danas izumljeno je nekoliko stotina kartografskih projekcija.

U 2. st. Ptolemej je napisao kapitalno djelo Geografija u koje je uključio opis sastavljanja karata i određivanje Zemljinih dimenzija te konstrukciju kartografskih projekcija. Epohu srednjovjekovlja u Europi obilježila je pojava tzv. samostanskih karata, koje su odražavale religioznu predodžbu svijeta.

Osobit je razvitak kartografije započeo za renesanse – razdoblja velikih geografskih otkrića. Postale su nužne točne, pouzdane karte za upravljanje državom, za vojničke potrebe, za razvitak trgovine i pomorstva. Takve su karte mogle biti sastavljene samo primjenom matematičke osnove i rezultata izmjere zemljišta. Najprije su se pojavile topografske karte.

Krajem 16. i početkom 17. st. značajan je događaj u daljnjem razvitku i popularizaciji kartografije bio sastavljanje i izdavanje geografskih atlasa u izdanju poznatih nizozemskih kartografa Orteliusa i Mercatora. Mercator je prvi primijenio konformnu cilindričnu projekciju koja se do danas uspješno koristi za pomorske navigacijske karte.

Pri izradbi karata svijeta i teritorija većih dimenzija široku su primjenu tada imale trapezna projekcija i Apianusova projekcija, koje su poslužile kao prauzori za kasnije razrađene pseudocilindrične projekcije. U 17. je stoljeću novu sinusoidalnu pseudocilindričnu projekciju za kartu svijeta predložio francuski kartograf N. Sanson.

Razrada znanstvene osnove kartografije i početak topografskog izučavanja Zemlje te kao rezultat toga daljnje povećanje točnosti i pouzdanosti karata obilježuju 18. stoljeće. U

6

kartografsku je praksu uveden niz novih projekcija što su ih predložili R. Bonne, J. H. Lambert, J. L. de Lagrange, L. Euler i drugi.

Renesansa je završila uvođenjem elementarne matematičke analize u razvoj kartografskih projekcija. Takva je analiza posebno primijenjena na Mercatorovu projekciju u kojoj su loksodrome prikazane kao pravci i na projekcije u kojima su sve paralele podijeljene meridijanima u istinitom razmaku, bez obzira jesu li paralele kružni lukovi (Wernerova projekcija) ili pravci (sinusoidalna). Kartografske projekcije postaju složenije: umjesto onih čije se kartografske mreže jednostavno crtaju jer se sastoje od kružnih lukova i pravaca, pojavljuju se takve koje se crtaju uz pomoć tablica trigonometrijskih funkcija.

Murdoch (1758) je svjesno postavio zahtjev da ukupna površina preslikanog područja bude korektna, ali nije ustrajao na konstantnosti lokalnog mjerila površine. Prvo namjerno očuvanje površinske vjernosti u svakoj točki učinio je Lambert (1772) pri svojem izumu cilindričnih, azimutalnih i konusnih ekvivalentnih projekcija. Halley je geometrijski dokazao konformnost stereografske projekcije, a Lambert je to učinio diferencijalnim računom te izumio također tri nove konformne projekcije. Mnoge su kartografske projekcije nastale i u 19. i 20. stoljeću, ali su osnovni principi postavljeni do 1772. i osobito u toj godini.

Najznačajniji doprinos kartografa, geodeta i matematičara 19. st. teoriji kartografskih projekcija bio je uspostavljanje čvrstih matematičkih principa. Lambert i Lagrange napravili su značajan početak 1770-ih, ali su naročito Gauß i Tissot dali velike doprinose do 1880-ih. Drugi istraživači, kao Airy, Clarke, Schwartz i Peirce usredotočili su se na specifičnije, ali složenije zadatke, dok su Germain, Gretschel i Craig skupili različite radove drugih znanstvenika u posebne monografije. Nove projekcije Mollweidea, Albersa, Galla i drugih sadrže jednostavniju primjenu matematike, ali ipak zaslužuju nazive prema svojim izumiteljma. Ubrzani se razvitak teorije kartografskih projekcija u tom razdoblju uočava brojem novih projekcija i brojem objavljenih knjiga i članaka (Snyder 1993).

Prema Frischaufu (1905) početak teorije preslikavanja jedne plohe na drugu pripada J. H. Lambertu, koji se u Anmerkungen und Zusätze zur Entwerfung der Land- und Himmelscharten (Napomene i dopune zasnivanju karata zemljišta i neba) u trećem dijelu svojih Beyträge zum Gebrauch der Mathematik und deren Anwendung (Doprinosi uporabi matematike i njezine primjene, 1772), bavio općenito postavljenom zadaćom preslikavanja sfere i sferoida u ravninu. Lambertov je kolega J. L. de Lagrange bio nadahnut njegovim razdvajanjem varijabli u izrazu za diferencijal duljine luka pri konformnom preslikavanju te riješio problem konformnog preslikavanja rotacijskih ploha i objavio ga u dvije rasprave Sur la construction des cartes géographiques (O konstrukciji geografskih karata, Nouveaux Mémoires de l'Académie Royal de Berlin, 1779).

Početkom 19. st. vojne ustanove počele su izradu topografskih karata u krupnim mjerilima, za koje matematička osnova ima posebnu važnost jer su se na tim kartama određivale udaljenosti i smjerovi.

Godine 1822. postavilo je Kraljevsko znanstveno društvo u Kopenhagenu nagradno pitanje: naći opće rješenje zadatka – dio zadane plohe preslikati na drugu zadanu plohu tako da slika bude u najmanjim dijelovima slična izvorniku. Za rješenje zadatka nagradu je dobio C. F. Gauß. Taj je rad najprije objavljen u Schumacherovim Astronomische Abhandlungen 1825. godine. Lagrangeova i Gaußova rasprava sadržane su u svesku broj 55 Ostwaldovih klasika egzaktnih znanosti. C. G. J. Jacobi (1866) primijetio je u svojim Vorlesungen über Dynamik (Predavanja o dinamici), u 28. predavanju Die kürzeste Linie auf dem dreiachsigen Ellipsoid. Das Problem der Kartenprojektion (Najkraća linija na troosnom elipsoidu. Problem kartografske projekcije), o Gaußovu radu sljedeće: "U njemu je sadržan Lagrangeov rad, koji je samo malo dopunjen, a da nije spomenut". Gauß je osim toga dao samo primjere preslikavanja rotacijskih ploha.

7

Preslikavanje raznoosnog elipsoida u ravninu obradio je u spomenutim predavanjima C. G. J. Jacobi. Prvi je nagovještaj takva rješenja dao 1839. u Monatsberichten der Berliner Akademie i u 19. svesku Crelles Journala. Potpuno rješenje uz druge zadatke (preslikavanje rotacijske plohe, stošca, valjka u ravninu) priopćio je L. Cohn na temelju Jacobijeve ostavštine u 59. svesku Crelles Journala pod naslovom Über die Abbildung eines ungleichachsigen Ellipsoides auf einer Ebene, bei welcher die kleinsten Teile änlich bleiben (O preslikavanju raznoosnog elipsoida u ravninu, pri čemu najmanji dijelovi ostaju slični). Taj rad sadrži također vrlo jednostavnu teoriju konformnog preslikavanja jedne plohe na drugu. U predavanjima o dinamici Jacobi objašnjava: "Uspjeh rješenja zadatka konformnog preslikavanja elipsoida postiže se odgovarajućom supstitucijom i metodom koja vodi na jednu parcijalnu diferencijalnu jednadžbu. Uočena točka elipsoida bit će određena presjekom dviju krivulja zakrivljenosti". Rastavom plohe elipsoida na elemente ograničene krivuljama zakrivljenosti već je tu plohu odredio Legendre (Exercices du calcul integral, Vježbe iz integralnog računa, 1811) i pritom pronašao odgovarajuće varijable pomoću kojih se poznati zadatak o preslikavanju mogao riješiti. Ernst Schering je dao potpuno rješenje tog zadatka na temelju Jacobijevih nagovještaja u radu Über die konforme Abbildung des Ellipsoides auf der Ebene (O konformnom preslikavanju elipsoida u ravninu) za koji je 1858. nagrađen nagradom Filozofskog fakulteta Georgia Augusta.

U okruženju mnogobrojnih radova o kartografiji, od kojih se većina bavi metodama konstrukcije kartografskih mreža, trebalo bi se svakako osvrnuti na zaista klasično djelo, kamen temeljac teorije kartografskih projekcija M. A. Tissota Mémoire sur la représentation des surfaces et les projections des cartes géographiques (Rasprava o prikazivanju ploha i projekcijama geografskih karata, Pariz 1881) čiji se osnovni dio, poglavlja I do IV, pojavio već između 1878. i 1880. u Nouvelles Annales de Mathématiques, 2e série. Prema K. Zöppritzu (1884), Tissotov je rad bio zapažen i u Njemačkoj i Austriji, i E. Hammer ga je preveo na njemački pod naslovom Die Netzentwürfe geographischer Karten nebst Aufgaben über Abbildung beliebiger Flächen aufeinander (Prikazi kartografskih mreža geografskih karata uz zadatke o preslikavanju jedne proizvoljne plohe na drugu, Stuttgart 1887), u kojemu su pridodani mnogi prikazi kartografskih mreža i tablice.

Nakon 1900. objavljeno je pedesetak monografija o kartografskim projekcijama na desetak jezika (Snyder 1993). Na engleskom jeziku ima ih nekoliko koje se vrlo često citiraju. Kronološkim redoslijedom prema prvome izdanju to su Hinks (1912-21) Map projections, Deetz and Adams (1921-44) Elements of Map Projection, Steers (1927-70) An Introduction to the Study of Map Projections, Melluish (1931) An Introduction to the Mathematics of Map Projections, Richardus i Adler (1972) Map Projections for Geodesists, Cartographers and Geographers, Maling (1973-92) Coordinate Systems and Map Projections, Snyder (1982) Map Projections Used by the U. S. Geological Survey i Snyder (1987) Map Projections: A Working Manual. Tu je i najnoviji priručnik Bugajevskoga i Snydera (1995) Map Projections – A Reference Manual. Svakako treba spomenuti i dulje rasprave s posebnim temama o kartografskim projekcijama Adamsa (1918-45), Younga (1920), Thomasa (1952), Leeja (1976) i Snydera (1985).

Na njemačkom jeziku treba istaknuti sljedeće monografije: Maurer (1935) Ebene Kugelbilder, Wagner (1949) Kartographische Netzentwürfe, Merkel (1956, 1958) Grundzüge der Kartenprojektionslehre, Hoschek (1969, 1984) Mathematische Grundlagen der Kartographie, Kuntz (1983) Kartennetzentwurfslehre, zatim niz radova bugarskoga geodeta Hristova, objavljenih u Zeitschrift für Vermessungswesen, odnosno u obliku knjiga(1943, 1955) i njemački prijevod s češkog Fiala (1957) Mathematische Kartographie.

Na francuskom se jeziku ističu: Driencourt i Laborde (1932) Traité des projections des cartes géographiques te Reignier (1957) Les systèms de projection et leurs applications.

8

U bivšem je Sovjetskom Savezu napisano mnogo monografija, a najistaknutiji autori su: Kavrajskij (1934, 1958-60), Solov'ev (1937, 1946), Graur (1938, 1956), Urmajev (1941), Ginzburg i Salmanova (1957), Meščerjakov (1968), Pavlov (1974), Vahramejeva, Bugajevskij i Kazakova (1986). Na ruskom je jeziku objavljena također knjiga bugarskoga geodeta Hristova (1957).

Duga je povijest primjena kartografskih projekcija. Pogotovo s razvojem radionavigacije i tehnologije radio postavljanja, počelo je istraživanje niza novih istraživačkih tema unutar istraživanja kartografskih projekcija. Kartografske projekcije, kao način postavljanja odnosa između prostora i ravnine, su se naširoko upotrebljavale za rješavanje nekih geometrijskih zadataka sferne geometrije, astronomije, kristalografije i geologije u grafičkom obliku. Primjena Landsata u preslikavanju unijela je nove koncepte za kartografske projekcije. Sada je i vrijeme postalo parametar u preslikavanju. To se prilično razlikuje od konvencionalnog statičnog preslikavanja gdje su stalni odnosi između Zemljinog oblika, središta perspektive i projekcijske ravnine. Znanost kartografskih projekcija je suočena s potpuno novom temom istraživanja proučavanja projekcije pogodne za satelitsko preslikavanje. Zadnjih godina, elektronska računala, a posebno osobna računala, mnogo su promijenila izgled znanosti kartografskih projekcija. Primjeri su primjene računala u računanju koordinata, u automatskom crtanju tematskih matematičkih elemenata na karti. Transformacija kartografskih projekcija potpomognuta računalom je još veći napredak za kartografiju. Kako bi se zadovoljile potrebe računalne kartografije, stvorila se potreba za proučavanjem teorije i metoda transformacije kartografskih projekcija, za proučavanjem obrade topografskih podataka, postavljanjem prostornih informacija, i transformacijom u informacijskim sustavima (Yang i dr. 1997).

Danas geoinformacijski sustavi (GIS) omogućuju da se neki zadaci koji su se do sada gotovo isključivo rješavali na geografskim kartama (razni kartometrijski zadaci) sada rješavaju izravno iz baza podataka. Na temelju te činjenice moglo bi se zaključiti da geoinformacijski sustavi umanjuju važnost geografskih karata. Ako se to promatra s navedenog stajališta, onda i jest točno, no s druge su strane geografske karte vrlo važne za svaki GIS. One imaju vrlo važnu ulogu pri stvaranju baza podataka, ali i kao jedan od oblika prezentacije izlaznih podataka (Sijmons 1992).

Budući da se svaka geografska karta izrađuje u određenoj kartografskoj projekciji, može se zaključiti da su kartografske projekcije osobito važne pri stvaranju geoinformacijskih sustava. Pri stvaranju nacionalnih digitalnih baza geodetskih, topografskih i kartografskih podataka, koje moraju činiti temelj svakoga GIS-a što se radi za područje čitave države, važna je metoda digitalizacije postojećih karata (Teng 1991, Sowton 1991). Zbog toga većina GIS-softvera sadrži i modul za digitalizaciju. U primjeni tog modula nužno je poznavati kartografsku projekciju izvornika i konstante projekcije (npr. geografsku duljinu srednjeg meridijana ili širinu standardne paralele i linearna mjerila uduž njih).

Ti su podaci nužni da bi se koordinate iz lokalnog sustava digitalizatora transformirale u sustav kartografske projekcije izvornika i potom pomoću inverznih jednadžbi kartografske projekcije u sustav geografskih koordinata. Time je omogućeno da GIS-softver kao jedan od oblika prezentacije izlaznih podataka nudi geografsku kartu u nekoj od većeg broja najvažnijih kartografskih projekcija. Da bi se takva karta nacrtala, nužno je iz geografskih koordinata izračunati pravokutne koordinate x, y u izabranoj kartografskoj projekciji.

Pri izradi softvera za bilo koji GIS potrebno je, prema tome, poznavati osnovne i inverzne jednadžbe za veći broj kartografskih projekcija. Dakle, kompjutorski podržane metode u izradbi karata i poglavito geoinformacijski sustavi nisu umanjili, nego su povećali važnost kartografskih projekcija. Da je ta tvrdnja točna svjedoči više od 1000 radova o kartografskim projekcijama objavljenih nakon 1960, a registriranih u bibliografiji Snydera i Stewarda (1988).

9

To je razlog da je u sklopu projekta Kartografija i geoinformacijski sustavi koji se od 1991. do 1996. izvodio u Zavodu za kartografiju Geodetskog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu (voditelj prof. dr. sc. N. Frančula) osobita važnost bila posvećena kartografskim projekcijama, što se vidi i po velikom broju objavljenih radova iz toga područja. 4. Nekoliko karakterstika razvoja suvremene znanosti o kartografskim projekcijama

S napretkom znanosti i tehnologije, dogodili su se veliki pronalasci na području klasičnih istraživačkih objekata i metoda kartografskih projekcija. Neke karakteristike toga razvoja može se opisati na sljedeći način (Yang i dr. 1997):

• Prvo svojstvo je da se istraživanje teorije i metoda kartografskih projekcija

produbljava i kombinira s mnogim specijalnim područjima. Neki članci objavljeni nakon 1980-ih mogu se upotrijebiti za ilustraciju. U članku On

the classification of map projections (O klasifikaciji kartografskih projekcija, Li Changming 1979) autor daje nove poglede na klasifikaciju, dijeleći sve projekcije na tri tipa – eliptične, parabolične i hiperbolične projekcije – ovisno o tome je li ekvidistantni smjer proizvoljnih točaka u području projekcije samo jedan. Nadalje, proučavanje azimutalnih projekcija produbljeno je zadnjih godina. Na primjer, članak The perspective azimuthal projection under variable view points (Perspektivna azimutalna projekcija s varijabilnim točkama gledanja, Yang Qihe 1987) kombinira perspektivne azimutalne projekcije s neperspektivnim azimutalnim projekcijama i ujedinjuje postupanje sa sustavima perspektivnih azimutalnih projekcija upotrebom varijabilnih točaka gledanja.

Istraživanje teorije i metoda konformnih projekcija također se dalje razvijalo. Monografija Map Projections: a Reference Manual koju su napisali Bugaevskij i Snyder sažela je i sistematizirala uvjete za najbolje i idealne konformne kartografske projekcije i razvila metodu Čebiševljevih projekcija. Monografija The Theory of a Single Space Photograph što su je napisali Bugaevskij i Portnov (1984) primjer je integracije dvaju istraživačkih područja: kartografije i fotografije iz svemira. S napretkom moderne znanosti i tehnologije, sve je važnije da znanstvenici u različitim znanstvenim i istraživačkim područjima budu ujedinjeni kako bi premostili poteškoće i razvili nove tehnologije što proizlaze iz sinergije njihova truda.

• Druga je osobina da se stalno razvijaju nova područja istraživanja i primjene.

Proučavanje transformacija kartografskih projekcija ne samo da otvara nova

istraživačka područja za kartografske projekcije, nego i sa matematičkim osnovama stvaranja karata potpomognutim računalom i stvaranjem softverskih sustava transformacija kartografskih projekcija, razvija nova područja primjena za kartografske projekcije.

Tradicionalna matematička osnova karata je geografska mreža, ali to potpuno ne zadovoljava potrebe novih praktičnih upotreba. To je zbog toga što napredak modernih znanosti i tehnologije treba sve više položajne podatke, uključujući informacije kao što su položaj točaka, udaljenosti, azimuti ili podaci praćenja kretanja. Može se reći da razvoj tematskih matematičkih elemenata karte povećava područje primjene znanosti kartografskih projekcija.

• Treća je osobina da predstavljanje novih koncepata promovira napredak znanosti

kartografskih projekcija.

10

Kako bi se zadovoljile potrebe za razvijanjem tehnologije daljinskih istraživanja iz svemira, 1970-ih je US Geological Survey predložio proučavanje svemirske projekcije (Colvocoresses, 1974). Matematički model za Mercatorovu svemirsku kosu projekciju pronašao je J. P. Snyder kasnih 1970-ih, a upotrebljavao se za kartiranje satelitskih snimaka. Teoriju i metodu za svemirsku konformnu projekciju predstavio je početkom 1990-ih kineski kartograf Cheng (1992). S pojavljivanjem svemirskih projekcija, dogodili su se znatni pronalasci u području klasičnog istraživanja kartografskih projekcija. Funkcionalni odnos između prostorne točke (u tri dimenzije) i točke u ravnini proširio se na funkcionalni odnos između prostorne točke (u četiri dimenzije) s parametrima položaja prostorne točke u vremenu i u ravnini.

Projekcija s promjenljivim mjerilom nedavno je razvijena i počela se naširoko upotrebljavati posljednjih nekoliko godina. Postoji klasični cilj za svaku kartu, a taj je odabir projekcije s ograničenim deformacijama. Međutim, s projekcijom s promjenljivim mjerilom, ovisno o namjeni karte i drugim zahtjevima, možemo imati projekciju koja čuva samo topološke odnose izgleda karte. Kineski kartografi istraživali su projekciju s promjenljivim mjerilom i postigli više rezultata. Npr. rad Methods for Variable Scale Map Projections (Metode za kartografske projekcije s promjenom mjerila, Wang Qiao i dr. 1996) uveo je mnoge metode za projekcije s promjenom mjerila. Na slikama 2 i 3 može se vidjeti djelovanje projekcija s promjenom mjerila.

• Četvrta je osobina da su kartografska projekcija i njezina transformacija, kao model

prostornih informacija, postale važne komponente prostorne informacijske znanosti.

Transformacija kartografskih projekcija novo je područje istraživanja u području kartografskih projekcija. Ono sadrži istraživanje teorije i metoda transformacije koordinata točke iz jednog tipa projekcije u drugi.

U geodetskoj i topografskoj izmjeri uvijek je potrebna transformacija koordinata između različitih sustava, tj. računanje transformacija među zonama. Već dugo mnoge metode takvih računanja prikazivane su širom svijeta. U konvencionalnoj kartografiji, kako bi se sačuvala osnovna obilježja mreže meridijana i paralela pri slaganju nove krate, primijenjivala se transformacija kartografske projekcije pri prijenosu podataka s fotografije i njezinoj rektifikaciji. Na taj način, potrebno je bilo egzaktno transformirati samo koordinate nekoliko točaka. Za većinu točaka transformacija koja dolazi nakon toga je približna. To se karakterizira činjenicom da nije potrebno napraviti rigorozan matematički odnos za transformaciju svih točaka između dvaju tipova projekcija. Egzaktni matematički odnosi za računanje transformacija među zonama obično su ograničeni na transformacije između različitih koordinatnih sustava za isti tip projekcije. Zbog toga to je poseban slučaj transformacije kartografskih projekcija i jedno od područja istraživanja. Slične metode također se mogu primijeniti za proučavanje karata čija projekcija nije poznata, kao što je to slučaj kod starih karata (Tobler 1965, 1994), ili za geometriju što je implicitno "mentalnim kartama" (Tobler 1976). Proučavajući transformaciju kartografskih projekcija možemo razviti i nove kartografske projekcije.

Nijedna ljudska aktivnost ne može se odvijati bez geografskog prostora. S prostornim informacijama, bogate digitalne karte i snimci daljinskih istraživanja kombinirane su s modelima položaja (kartografske projekcije i njihove transformacije) kako bi se oblikovao sustav prostornih informacija (spatial information positioning system – SIPS, Yang Qihe, Yang Xiaomei, 1997). To je nosilac svih prostornih informacija i osnova za određivanje položaja. Rezultat su prostorne informacije s ujedinjenim geografskim i ravninskim koordinatnim sustavom. Danas, grafički sustavi prostornih informacija osnovani na digitalnim kartama proširili su sve aspekte GIS-a i postali njihova važna komponenta. Znanost o

11

prostornim informacijama opsežna je disciplina, a grafički sustav prostornih informacija jedna od važnih teorijskih baza i važna komponenta (Yang i dr. 2000).

Sl. 2. Ekvidistantna cilindrična projekcija

Sl. 3. Projekcija s promjenom mjerila

12

5. Kartografske projekcije u Hrvatskoj

Zasad nema sveobuhvatne povijesti hrvatske kartografije, ali o njoj postoji niz djela od kojih je zasigurno jedno od najvrijednijih Markovićev Descriptio Croatiae (1993). Međutim, kao što i sam autor kaže u uvodu, to djelo nema namjeru biti povijest kartografije hrvatskih zemalja, nego je to kulturno-povijesni prikaz glavnih kartografskih dokumenata iz kojih se može pratiti slijed upoznavanja hrvatskih zemalja od najstarijih vremena do kraja 19. stoljeća.

Obilje kartografske građe o Istri i čitavoj Jadranskoj obali obradili su Lago i Rossit (1980), Kozličić (1995) te Lago (1996). Pregled povijesti kartografije dala je A. Pandžić u svom katalogu o starim kartama i atlasima Povijesnog muzeja Hrvatske (1987), dok je pet stoljeća zemljopisnih karata Hrvatske prikazala u katalogu istoimene izložbe održane u Zagrebu 1988, a o Hrvatskoj i njezinim granicama na kartama od 12. stoljeća do danas u katalogu izložbe održane 1992. godine. Navedeni izvori sadrže važne popise literature koja može poslužiti daljim istraživanjima.

Ako se ograničimo na kartografske projekcije, onda treba reći da sveobuhvatniji povijesni prikaz o kartografskim projekcijama i osobama koje su se bavile njihovom teorijom na tlu Hrvatske također još ne postoji. Zato će se u ovom poglavlju skicirati dosad stečene vlastite spoznaje koje bi mogla biti korisne i usmjeriti daljnja istraživanja na tom području.

Hrvatski velikani svjedoče o znanstvenoj tradiciji u Hrvata koja seže u 12. stoljeće. Neki su od njih dali takve doprinose znanosti da njihova dostignuća znače nove etape u razvoju znanosti. To su primjerice Herman Dalmatin u 12. stoljeću i Josip Ruđer Bošković u 18. stoljeću koje možemo smatrati pretečama hrvatske geodezije i kartografije.

Tijekom prošloga i početkom ovoga stoljeća izvodila se na području Hrvatske katastarska izmjera i izrađeni su planovi u nekoliko koordinatnih sustava. Sve te sustave nazivamo starima. Kako su planovi izrađeni u tim sustavima još uvijek u uporabi, pojavljuje se potreba za uspostavom veze između tih sustava i sustava Gauß-Krügerove projekcije. Staru su izmjeru izvodili stručnjaci pod vodstvom ustanova čija su sjedišta bila u administrativnim centrima tadašnjih uprava (Beč, Budimpešta), tako da je do danas očuvano vrlo malo podataka iz kojih bi se moglo vidjeti kako su ti radovi izvođeni. Stari koordinatni sustavi na području Hrvatske su: Kloštar-Ivanićki, Budimpeštanski, Bečki, Krimski i kosa konformna cilindrična projekcija. Uvid u postanak starih sustava i njihove karakteristike obrađeni su u nekoliko članaka (Filkuka 1922, Sirks 1936, Čubranić 1947, Borčić 1954), a osobito je važna knjiga J. Mareka Technische Anleitung zur Ausführung der trigonometrischen Operationen des Katasters iz 1875.

Borčić i Frančula radili su sa suradnicima na temi Odrediti elemente međusobne transformacije između projekcija i koordinatnih sustava stare i nove izmjere zemljišta na području SRH u razdoblju 1962–66. Osnovni rezultati provedenih opsežnih istraživanja objavljeni su u publikaciji Stari koordinatni sustavi na području SR Hrvatske i njihova transformacija u sustave Gauss-Krügerove projekcije (Borčić, Frančula 1969). Poslije je Frančula posebno obradio dvostruku kosu konformnu cilindričnu projekciju (Frančula 1972).

Premda su provedena važna istraživanja o kartografskim projekcijama na tlu Hrvatske u prošlom i početkom ovoga stoljeća, čini se da ima još materijala koji bi trebalo proučiti. Na primjer, to su Mittheilungen des k. k. Militär-Geographischen Institutes što su izlazili u Beču, a u kojima su među ostalim objavljeni i relativno opsežni članci H. Hartla o kartografskim projekcijama (1886, 1896).

David Segen (1859–1927) doktorirao je na Mudroslovnom fakultetu u Zagrebu 1889. kao prvi doktor iz područja matematike na zagrebačkom Sveučilištu. Tu potom predaje niz kolegija, među kojima i Perspektivne mrežotine kartografijske. Napisao je opsežan članak pod naslovom O crtanju mreža za geografijske karte, što je objavljen u Izviešću o Kr. velikoj

13

realci u Osieku koncem šk. god. 1880/1 (usp. faksimil naslovnice). Osim toga objavio je 1893. u Nastavnom vjesniku članak pod naslovom Osnove reljef perspektive.

Marije Kiseljak (1883–1947) je predavao Matematičku teoriju kartografije (1922–23) i Kartografiju (1923–25) na tadašnjem Geodetsko-inženjerskom odjelu Tehničke visoke škole u Zagrebu.

Vladimir Vranić od studenoga 1945. radi na Geodetskom odjelu Tehničkog fakulteta kao profesor Matematičke kartografije. Za povijest kartografskih projekcija važan je njegov rad O izvođenju formula sferne trigonometrije s pomoću stereografske projekcije (1927), u prijevodu na njemački Über die Ableitung der Formeln der spärischen Trigonometrie mit Hilfe der stereographischen Projektion (1928).

Željko Marković (1889–1974) predvodio je dugo godina matematiku na Tehničkom fakultetu u Zagrebu. Nije predavao kartografiju, ali je za nas važno da je u svojim udžbenicima iz Više matematike vrlo detaljno obradio konformna preslikavanja, s posebnim osvrtom na konformna preslikavanja sfere i elipsoida u kartografiji (Marković 1965).

Za povijest kartografskih projekcija dobro je zabilježiti i to da su svi naraštaji studenata matematike koji su slušali kolegij Kompleksna analiza upoznati sa stereografskom projekcijom i konformnim preslikavanjima. Naime, želi li se prostor kompleksnih brojeva kompaktificirati, dodaje mu se jedan beskonačno daleki element, a to se može učiniti i zorno prikazati s pomoću stereografske projekcije. Konformna su preslikavanja sastavni dio Kompleksne analize, pitanje je samo pristupiti li im apstraktno, kao što rade primjerice Kurepa i Kraljević (1986), ili konkretno s primjerima iz kartografije (Marković 1965).

Spomenimo također da Vilko Niče (1902–1987) u svojoj Perspektivi, koja je od 1953. doživjela nekoliko izdanja, obrađuje među ostalim i perspektivnu projekciju kugle, a u poglavlju o primjenama centralne projekcije razrađuje stereografsku i gnomonsku projekciju.

Geodet Jaroslav Rajtr piše o deformacijama kartografskih projekcija u članku Općenite zasade kartografije objavljenom 1914. u Vijesniku, glasilu Udruženja civilnih tehnika kraljevina Hrvatske i Slavonije.

Tomo Jakić (1879–1966) iz Požege bio je profesor matematike i fizike na gimnazijama u Požegi i Zagrebu. U Nastavnom vjesniku, koji 1916. izlazi u Zagrebu već 24. godište, objavio je vrlo opsežan članak pod naslovom Crtanje mreža za geografske karte. Članak je izašao u četiri nastavka na ukupno 52 stranice.

Artur Franović-Gavazzi (1861–1944) najistaknutiji je fizički geograf u Hrvatskoj na prijelazu stoljeća. Za povijest kartografskih projekcija važna je njegova knjižica od 66 stranica pod naslovom Kartografijske projekcije, koju je uz druge rukopise njegovih predavanja na Sveučilištu umnožio i izdao tridesetih godina Akademski geografski klub u Zagrebu (Gavazzi 1933).

U 20. je stoljeću djelovao niz naših geodetskih stručnjaka kojima kartografske projekcije nisu bile osnovno područje zanimanja, ali su ipak ostavili pisani trag i u tom dijelu kartografije. Navodim ih kronološkim redoslijedom: V. Filkuka (Projekcije zemaljske izmjere u Hrvatskoj i Slavoniji, 1922), N. P. Abakumov i dr. (Projekcija katastarskog premera u Kraljevini SHS, 1928-29), N. Čubranić (Projekcioni sistemi u Hrvatskoj, 1947; Tablica za redukciju dužina kod Gauß-Krügerove projekcije, 1948; Viša geodezija I, 1954, 1974), E. Adamik (Redukcija smjera i dužine u Gauß-Krügerovoj projekciji, 1949), L. Randić (O konstrukciji vertikala u stereografskoj projekciji, 1953), M. Bolt (Transformacija koordinata između susjednih koordinatnih sistema Gauß-Krügerove projekcije, 1974), Z. Narobe (Pojednostavljen način računanja konvergencije meridijana za potrebe žiroskopske orijentacije, 1975), R. Solarić (Računanje koordinata točaka u Mercatorovoj projekciji primjenom džepnog računala, 1980) i M. Cigić (Transformacija koordinata iz sustava stare izmjere u sustave Gauß-Krügerove projekcije i obrnuto, primjenom džepnog računala, 1981).

14

Zavod za kartografiju Geodetskog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu osnovan je aktom Sveučilišta u Zagrebu 22. svibnja 1956. na Geodetskom odjelu tadašnjega Tehničkog fakulteta. Osnivanju Zavoda za kartografiju prethodilo je osnivanje Katedre za kartografiju 1951. nakon izbora Branka Borčića za izvanrednog profesora, odnosno postupno formiranje Kartografskog laboratorija, što ga je započeo Ivan Kreiziger već 1948.

Znatna nastavna djelatnost na području kartografije postojala je i prije osnutka Katedre za kartografiju. Međutim, od njezina se osnutka, a pogotovo od osnutka Zavoda za kartografiju, razvila i značajna znanstvena i stručna djelatnost. Knjižnica Zavoda vrlo je bogata i broji oko 5000 jedinica. Zavod redovito prima 27 časopisa. Zbirka karata sadrži oko 8000 karata i 170 atlasa.

Na današnjem Geodetskom fakultetu Sveučilišta u Zagrebu postoji dugogodišnji kontinuitet u nastavi kartografskih projekcija i geodetskog crtanja. O kartografskim projekcijama predaju najistaknutiji profesori: dr. Marije Kiseljak, dr. Vladimir Vranić, dr. Anton Fasching, Nikolaj Abakumov, Stjepan Horvat, dr. Franjo Braum, Mato Janković, dr. Branko Borčić i do danas dr. Nedjeljko Frančula i dr. Miljenko Lapaine.

Antal (Antun, Anton) Fasching (1879–1931) bio je jedan od najizobraženijih mađarskih geodeta. Napisao je oko 70 radova. U Zagrebu je predavao Višu geodeziju, Kartografiju, Državnu izmjeru i Fotogrametriju u razdoblju od 1923. do 1928. godine. Osim nastavnog rada, za teoriju kartografskih projekcija vrlo je važan i njegov znanstveni rad, u prvom redu na rješavanju pitanja izbora državne projekcije.

Nikolaj Pavlovič Abakumov (1882–1965) izabran je 1927. za redovitog profesora na Geodetskom odjelu Tehničkog fakulteta u Zagrebu i tu je do potkraj 1950. predavao Državnu izmjeru, Višu geodeziju, Sfernu astronomiju, Praktičnu astronomiju, Primijenjenu astronomiju, Pozicionu astronomiju, Fotogrametriju, Kartografiju, Matematičku kartografiju, Primijenjenu kartografiju i Geofiziku. Spomenut ću da je Borčić, pišući svoj udžbenik Matematička kartografija, citirao u popisu literature i predavanja profesora Abakumova na Tehničkom fakultetu u Zagrebu.

Stjepan Horvat (1895–1985) predavao je Geodetsku kartografiju u okviru kolegija Državna izmjera, odnosno Premjeravanje države. O njemu se do nedavno vrlo malo znalo jer je nakon Drugog svjetskog rata bio prisiljen emigrirati. Za povijest kartografskih projekcija njegovi su radovi vrlo važni i po sadržaju i po opsegu. Ako bi se prebrojili samo njegovi radovi s područja geodezije i kartografije, dobio bi se broj veći od stotine, s ukupno više od 2000 stranica.

Branko Borčić (1908–1977) doktorirao je 1964. na Fakulteti za arhitekturo, gradbeništvo in geodezijo u Ljubljani tezom Matematička podloga karte svijeta u mjerilu 1:1 000 000. Od 1951. izvanredni je profesor na Tehničkom fakultetu u Zagrebu, gdje se 1956. habilitirao radom Prilog rješavanju transformacije koordinata između susjednih koordinatnih sistema kod Gauß-Krügerove projekcije. Od 1960. redoviti je profesor Arhitektonsko-građevinsko-geodetskog fakulteta u Zagrebu. Pisao je o pitanjima matematičke i geodetske kartografije te objavljivao u Geodetskom glasniku (1939-40), Geodetskoj službi (1951), Geodetskom listu (1955, 1960, 1975), Građevinaru (1958). Njegovi su udžbenici o kartografskim projekcijama i Gauß-Krügerovoj projekciji bili godinama jedini priručnici te vrste. 6. O izboru hrvatske službene projekcije Jedno je od osnovnih pitanja službene kartografije izbor državne projekcije, odnosno izbor državnog koordinatnog sustava. Takav je izbor bio aktualan početkom stoljeća, zatim stvaranjem Nezavisne Države Hrvatske i takav je i u današnje vrijeme.

15

Pitanje izbora projekcije i koordinatnih sustava bilo je pokrenuto 1921. godine. Tadašnji je direktor katastra povjerio razradu tog problema poznatom geodetskom znanstveniku, profesoru A. Faschingu, koji je došao iz Budimpešte. Koliko je to bio složen posao, vrlo dobro se može vidjeti iz literature (Savezna geodetska uprava, 1953).

Slika 4. Ispravni i deformirani prikaz Hrvatske

Čim se povede govor o kartografskim projekcijama, nehotice dolazi u sjećanje svim stručnjacima poznata izreka Jordana: "Ni jedna ustanova ne zadire tako duboko u suštinu cjelokupne izmjere i kartiranja jedne zemlje, kao izbor projekcije i koordinatnog sistema. Ako se ovdje načini pogreška ta se sveti na mnogim generacijama". Prema Abakumovu (1946), u Hrvatskoj smo te proročanske riječi osjetili u punoj mjeri baš na svojoj koži. Od bivše Austro-Ugarske Monarhije naslijedili smo nekoliko koordinatnih sustava. Svaki stručnjak koji radi na polju geodezije dobro zna kakve brige i poteškoće još i danas zadaju koordinate osnovnih točaka na našem području. O pitanju izbora najprikladnije projekcije za Nezavisnu Državu Hrvatsku pisao je Abakumov 1942. i razmatrao dvije varijante Gauß-Krügerove projekcije, njihove prednosti i nedostatke. Gauß-Krügerova projekcija ima vrlo široku primjenu u geodetskoj praksi (Frančula, 1974). U mnogim je europskim državama ta projekcija usvojena kao službena državna projekcija. Poznato je da je ona izabrana još 1924. godine za područje bivše Jugoslavije i da su se do danas pravokutne koordinate točaka državne triangulacije računale i prikazivale u toj projekciji. S obzirom na nove okolnosti, a napose u pogledu oblika Republike Hrvatske i njezina protezanja, potrebno je poznavanje njene najpovoljnije projekcije. Državnoj geodetskoj upravi predložen je znanstveno-stručni projekt Izbor državne kartografske projekcije 1994., 1995., 1997. i 1998. godine. Slijedi nekoliko konkretnih primjera iz kojih se vidi nužnost izvođenja meritorne prosudbe o izboru kartografske projekcije područje Hrvatske. 1) U današnje vrijeme izradom karata s pomoću računala bavi se sve više ljudi. Zanimanje

za karte i kartografiju u nesumnjivom je porastu. Na CAD Forumu '93 u okviru sekcije o informacijskim sustavima o prostoru bilo je 16 referata, od kojih je većina bila popraćena prikazima različitih karata. U jednom od tih radova (Villi, 1993) primijenjena je, radi

16

jednistvenosti kartografskog prikaza, transformacija cijelog sadržaja, a taj se odnosio na čitavu Hrvatsku, u 5. sustav Gauß-Krügerove projekcije. Može se pokazati (Lapaine, Frančula, 1993) da primjena 5. sustava Gauß-Krügerove projekcije na cijelu Hrvatsku nema opravdanja. S jedne strane imamo očitu nesimetričnost prikaza, a s druge strane deformacije na istočnom dijelu države nepotrebno velike.

2) U Geodetskom listu broj 1 iz 1997. objavljen je članak o izboru kartografske projekcije za karte sitnih mjerila (Frančula i dr. 1997). U uvodu autori ističu glavni razlog zbog kojeg je članak napisan: "Neposredan su povod sve češći izobličeni prikazi Hrvatske zbog nedovoljnog kartografskog znanja, posebno znanja o kartografskim projekcijama i njihovu izboru za karte određenih područja." Članak ima 10 stranica, bogat popis literature i dvije ilustracije. Kako onda objasniti činjenicu da se na koricama (!) trećeg broja Geodetskog lista iz 1998. pojavljuje namjerno deformirana karta Hrvatske?

3) Nije alarmatno ako primjerice arhitekt ili šumar izrade kartu Hrvatske u neodgovarajućoj kartografskoj projekciji, ili ako pravnik ima neka svoja razmišljanja o Gauß-Krügerovoj projekciji, ali tako nešto ne bi trebali prihvaćati od diplomiranog inženjera geodezije. Na primjer, ako se kaže da je primijenjena Gauß-Krügerova projekcija sa sljedećim parametrima:

• šeststupanjska zona sa središnjim meridijanom 16o30', • koeficijent smanjenja mjerila na dodirnom meridijanu 0.9997 • dodatna konstanta 2 500 000,

a u zaglavlju stoji Državna geodetska uprava (Paj, 1995b; Gojčeta, Zekušić, 1998), onda

je očito da Državna geodetska uprava nije pitanju kartografskih projekcija pridala odgovarajuću pozornost. Naime, nema nikakve potrebe naglašavati šeststupanjsku zonu jer se radi o jednoj jedinoj zoni koja je približno takva. Nadalje, ne radi se o dodirnom meridijanu, nego o srednjem meridijanu područja preslikavanja. Dodavanje neke konstante pravokutnim koordinatama u Gauß-Krügerovoj projekciji imalo je smisla nekada, u doba logaritamskih tablica, a danas u doba računala ili kibernetskoj eri djeluje vrlo egzotično. Konačno, nije korektno da se još to sve pripiše prof. Frančuli (Paj, 1995b) jer Frančula svoj prijedlog kartografske projekcije za karte sitnih mjerila Hrvatske nije nikada formulirao na takav način. Za ilustraciju neprepoznavanja problema kartografske projekcije poslužit ćemo se kopijom deformirane karte Hrvatske koja se nalazi na naslovnim stranicama barem dvaju pisanih materijala Državne geodetske uprave (Paj 1995a; Paj 1995b), vidi sliku 4. Vrlo je poučno pogledati sliku na 162. str. u zborniku radova simpozija "Državne geodetske osnove i zemljišni informacijski sustavi" održanog 1999. u Opatiji. Na toj je slici (kao i na nekim drugima) nedozvoljenom intervencijom tehničkog urednika (razvlačenjem slike samo u jednom smjeru) došlo do deformacije prikaza i samim time gubljenjem smisla ne samo teksta pod slikom, nego i propasti ukupnog nastojanja autora da ukažu na nepotrebno deformirane prikaze. Drugi primjeri nepotrebno deformiranih predstavljanja hrvatskog teritorija mogu se naći u (Frančula i dr. 1997, 2000).

Na kraju ovoga teksta želio bih izvjestiti da je Državna geodetska uprava Republike Hrvatske krajem 1999. godine prepoznala problem matematičke osnove službene kartografije i naručila od Geodetskog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu izradu projekta "Prijedlog službenih kartografskih projekcija Republike Hrvatske".

17

Literatura Abakumov, N. (1942): Gauss-Krüger-ova projekcija u primjeni na područje Nezavisne

Države Hrvatske, Hrvatska državna izmjera, br. 5, 70-74 Abakumov, N. (1946): Koordinacija svjetskih geodetsko-kartografskih radova, Geodetski

glasnik br. 2, 36-38. Abakumov, N., Dražić, M. P., Svečnikov, N., Sviščev, I. (1928, 1929): Projekcija novog

katastarskog premera u Kraljevini SHS. Geometarski glasnik 1928, 3, 53-61; 4, 101-109; 5, 165-170; 1929, 1, 16-25; 2, 80-87; 3, 130-135.

Adamik, E. (1949): Redukcija smjera i dužine u Gauss-Krügerovoj projekciji, Geodetski list, 46-50.

Adams, O. S. (1919): A Study of Map Projections in General. U. S. Coast and Geodetic Survey Special Publication 57. Reprinted 1934.

Adams, O. S. (1949): Latitude Developments Connected with Geodesy and Cartography. Special Publication No. 67, Department of Commerce, U. S. Coast and Geodetic Survey, Washington.

Board, Ch. (1989): Report of Working Group on Cartographic Definitions. ICA Newsletter 14, 14-15.

Board, Ch. (1991): Working Group on Cartographic Definitions. The Cartographic Journal, Vol. 28, No. 2, 249-250.

Board, Ch. (1992): Report of the Working Group on Cartographic Definitions. The Cartographic Journal, Vol. 29, No. 1, 65-69.

Bolt, M. (1974): Transformacija koordinata između susjednih koordinatnih sistema Gauss-Krügerove projekcije, Geodetski list, 18-22.

Borčić, B. (1954): Kloštar-Ivanićki sistem. Geodetski list 1-4, 41-62. Borčić, B. (1955): Matematička kartografija. Tehnička knjiga, Zagreb, 408 str. Borčić, B., Frančula, N. (1969): Stari koordinatni sustavi na području SR Hrvatske i njihova

transformacija u sustave Gauss-Krügerove projekcije. Geodetski fakultet Sveučilišta u Zagrebu.

Bugaevskij, L. M., Portnov, A. M. (1984): The Theory of Single Space Photographs, Nedra, Moscow.

Bugaevskij, L. M., Snyder, J. P. (1995): Map Projections – A Reference Manual, Taylor & Francis, London.

Cheng, Yang (1992): On conformal projection maintaining a desired curve on the ellipsoid without distortion, ASPRS/ACSM, Summer Convention, Washington, Technical papers, 3, 294-303.

Cigić, M. (1981): Transformacija koordinata iz sustava stare izmjere u sustave Gauss-Krügerove projekcije i obrnuto, primjenom džepnog računala, Geodetski list, 213-220.

Colvocoresses, A. P. (1974): Space Oblique Mercator, Photogrammetric Engineering, 40, 921-926.

Committee on Map Projections (1986): Which Map is the Best? Projections for World Maps. Special Publication No. 1 of the American Cartographic Association, American Congress on Surveying and Mapping, Falls Church, Virginia.

Committee on Map Projections (1991): Matching the Map, Projection to the Need. Special Publication No. 3 of the American Cartographic Association, American Congress on Surveying and Mapping, Bethesda, Maryland.

Čubranić, N. (1947): Projekcioni sistemi u Hrvatskoj. Geodetski list 1-2, 3-19. Čubranić, N. (1948): Tablica za redukciju dužina kod Gauss-Krügerove projekcije, Geodetski

list, 14-16. Čubranić, N. (1954, 1974): Viša geodezija, I dio. Sveučilište u Zagrebu, Zagreb.

18

Deetz, C. H., Adams, O. S. (1934): Elements of Map Projection with Application to Map and Chart Construction. U. S. Coast and Geodetic Survey Special Publication 68, Washington.

Driencourt, L., Laborde, J. (1932): Traité des projections des cartes géographiques à l'usage des cartographes et des géodésiens. Hermann et Cie, Paris.

Fiala, F. (1957): Mathematische Kartographie. VEB Verlag Technik, Berlin. Filkuka, V. (1919): Projekcije zemaljske izmjere u Hrvatskoj i Slavoniji, Glasilo geometara,

br. 1 i 2, 2-5; br. 4, 5 i 6, 49-54; br. 7 i 8, 81-90. Frančula, N. (1972): Dvostruka kosa konformna cilindrična projekcija. Zbornik radova,

publikacija br. 9, Geodetski fakultet Sveučilišta u Zagrebu, 85 str. Frančula, N. (1974): Izbor projekcije, Geodetski fakultet Sveučilišta u Zagrebu. Frančula, N., Lapaine, M., Vučetić, N. (1997): Izbor kartografske projekcije za karte sitnih

mjerila, Geodetski list 1, 43-52. Frančula, N., Lapaine, M., Vučetić, N. (2000): Auswahl einer geeigneten kartographischen

Abbildung für kleinmaßstäbige Karten, in: Per Aspera ad Astra, Festschrift für Fritz Kelnhofer zum 60. Geburtstag (Hrsg. M. Lechthaler, G. Gartner), Geowissenschaftlichen Mitteilungen, Technische Universitat Wien, Heft Nr. 52, 33-42.

Frankich, K. (1980): Mathematical Cartography, Part one, Geographic Map Projections. Division of Surveying Engineering, The University of Calgary.

Frischauf, J. (1905): Die Abbildungslehre und deren Anwendung auf Kartographie und Geodäsie. Druck und Verlag von B. G. Teubner, Leipzig.

Gauß, C. F. (1825): Allgemeine Auflösung der Aufgabe: Die Theile einer gegebnen Fläche auf einer andern gegebnen Fläche so abzubilden, dass die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten Theilen änlich wird. Astronomischen Abhandlungen, herausgegeben von H. C. Schumacher, Heft 3, 1-30, Altona. Also in: Gauß' Werken Bd. IV, 189-216, Göttingen, 1873; Ueber Kartenprojection. Abhandlungen von Lagrange (1779) und Gauß (1822). Herausgegeben von A. Wangerin. Ostwald's Klassiker der exakten Wissenschaften, Nr. 155, 57-101, Verlag von Wilhelm Engelmann, Leipzig.

Gavazzi, A. (1933): Kartografijske projekcije, Akademski geografski klub u Zagrebu, 1-66. Ginzburg, G. A., Salmanova, T. D. (1957): Atlas dlja vybora kartograficheskih proekcij.

Trudy Central'nogo nauchno-issledovatel'skogo instituta geodezii, aeros'emki i kartografii, Vypusk 110, Geodezizdat, Moskva.

Gojčeta, B., Zekušić, S. (1998): Geodetsko-prostorni sustav Republike Hrvatske kao osnova za GIS, GIS Croatia 98, Osijek, Zbornik radova, 19-23.

Graur, A. V. (1956): Matematicheskaja kartografija. Izdatel'stvo Leningradskogo Universiteta, Leningrad.

Hartl, H. (1886): Die Projectionen der wichtigsten vom k. k. Generalquartiermeisterstabe und vom k. k. militärgeographischen Institute herausgegebenen Kartenwerke, Mittheilungen des k. k. Militär-Geographischen Institutes, VI. Band 1886, Wien 1886, 120-197.

Hartl, H. (1896): Studien über fläschentreue Kegelprojectionen, Mittheilungen des k. und k. Militär-Geographischen Institutes, XV. Band 1895, Wien 1896, 203-249.

Hinks, A. R. (1912): Map Projections. Cambridge University Press, Cambridge. Hoschek, J. (1969, 1984): Mathematische Grundlagen der Kartographie. Bibliographisches

Institut, Mannheim, Zürich. Hristow, W. K. (1943): Die Gauss-Krüger'schen Koordinaten auf dem Ellipsoid. B. G.

Teubner, Leipzig, Berlin.

19

Hristow, W. K. (1955): Dei Gaußschen und geographischen Koordinaten auf dem Ellipsoid von Krassowsky. VEB Verlag Technik, Berlin.

Hristov, V. K. (1957): Koordinaty Gaussa-Krjugera na ellipsoide vraščenija. Geodezizdat, Moskva.

Jacobi, C. G. J. (1866): Vorlesungen über Dynamik, nebst fünf hinterlassenen Abhandlungen desselben, herausgegeben von A. Clebsch, Berlin, Druck und Verlag von Georg Reimer, 28. Vorlesung: Die kürzeste Linie auf dem dreiaxigen Ellipsoid. Das Problem der Kartenprojection, 212-220.

Jakić, T. (1916): Crtanje mreža za geografske karte. Nastavni vjesnik, Zagreb, Knjiga XXIV, 353-366, 418-430, 492-503, 544-556.

Kavrajskij, V. V. (1958): Izbrannye trudy, Tom II, Matematicheskaja kartografija, Vypusk 1, Obshchaja teorija kartograficheskih proekcij. Izdanie Upravlenija nachal'nika Gidrograficheskoj sluzhby VMF.

Kavrajskij, V. V. (1959): Izbrannye trudy, Tom II, Matematičeskaja kartografija, Vypusk 2, Koničeskie i cilindričeskie proekcii, ih primenenie. Izdanie Upravlenija načal'nika Gidrografičeskoj služby VMF.

Kavrajskij, V. V. (1960): Izbrannye trudy, Tom II, Matematičeskaja kartografija, Vypusk 3, Perspektivnye, krugovye i drugie važnejšie proekcii. Navigacionnye zadači. Izdanie Upravlenija načal'nika Gidrografičeskoj služby VMF.

Kozličić, M. (1995): Kartografski spomenici hrvatskoga Jadrana. Izbor karata, planova i veduta do kraja 17. stoljeća. AGM, Zagreb.

Kuntz, E. (1983): Kartennetzentwurfslehre. Herbert Wichmann Verlag, Karlsruhe. Kurepa, S., Kraljević, H. (1986): Matematička analiza, 4. dio, Funkcije kompleksne varijable.

Tehnička knjiga, Zagreb. Lago, L., Rossit, C. (1981): Descriptio Histriae. Trieste. Lago, L. (1996): Stare karte Jadrana, C.A.S.H., Pula. Lagrange, J. L. de (1781): Sur la construction des cartes géographiques, Nouveaux Mémoires

de l'Académie Royale des Sciences et Belles Lettres de Berlin, Année 1779, 161-210 (Berlin 1781). Also in: Oeuvres de Lagrange, T. IV, 635-692, and in: Ueber Kartenprojection. Abhandlungen von Lagrange (1779) und Gauß (1822). Herausgegeben von A. Wangerin. Ostwald's Klassiker der exakten Wissenschaften, Nr. 155, Verlag von Wilhelm Engelmann, Leipzig, 3-56.

Lambert, J. H. (1772): Beiträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendungen, Dritter Theil, im Verlag der Buchhandlung der Realschule, Berlin. Translated in English with an introduction by W. R. Tobler: Notes and Comments on the Composition of Terrestrial and Celestial Maps, Michigan Geographical Publication No. 8, Department of Geography, University of Michigan, Ann Arbor, 1972.

Lapaine, M., Frančula, N. (1992): Modificirana Gilbertova projekcija, Kompjutor u obnovi Hrvatske, CAD FORUM'92, CAD Sekcija Saveza društava arhitekata Hrvatske, Zagreb, Zbornik radova, 159-164.

Lapaine, M., Frančula, N. (1993): Gilbert Two-World Projection, Proceedings of the 16th International Cartographic Conference, Cologne/Köln, Vol. 1, Bielefeld, 66-82.

Lapaine, M., Frančula N. (1993): Usporedba dviju Gauß-Krügerovih projekcija za područje Hrvatske, manuscript.

Lapaine, M., Sudeta, N., Frančula, N. (1994): Gilbert's Globe, 6th International Conference on Engineering Computer Graphics and Descriptive Geometry, Otsuma Women's University, Tokyo, Proceedings, Vol. 1, 154-158.

Lapaine, M., Sudeta, N., Frančula, N., Vdović, R. (1995): Gilbert Projection and Gilbert Globe, in: Kremers, H., Pillmann, W. (eds.): Raum und Zeit in

20

Umweltinformationssystemen, Space and Time in Environmental Information Systems, Metroplois-Verlag, Marburg, Teil II/Part II, 870-871.

Lapaine, M., Tutić, D. (1999): Hrvatska državna kartografska projekcija, simpozij Državne geodetske osnove i zemljišni informacijski sustavi, Opatija, Hrvatsko geodetsko društvo, Zbornik radova, 155-164.

Lapaine, M. (2000): Proposal for Official Map Projections of the Republic of Croatia, State Geodetic Administration of the Republic of Croatia, University of Zagreb, Faculty of Geodesy, Zagreb.

Li Changming (1979): On the classification of map projections, Acta geographica Sinica, 34, 139-155.

Lee, L. P. (1976): Conformal Projections Based on Elliptic Functions. Cartographica Monograph 16, Supp. 1 to Canadian Cartographer 13.

Lovrić, P. (1988): Opća kartografija. Sveučilišna naklada Liber, Zagreb. Maling, D. H. (1973): Coordinate Systems and Map Projections. George Philip and Son Ltd.,

2nd ed., Pergamon Press, Oxford. Marek, J. (1875): Technische Anleitung zur Ausführung der trigonometrischen Operationen

des Katasters. A Magyar Királyi Államanyomdából, Budapest. Marković, M. (1993): Descriptio Croatiae. Naprijed, Zagreb. Marković, Ž. (1965): Uvod u višu analizu, II. dio, 1. i 2. svezak. Sveučilište u Zagrebu. Maurer, H. (1935): Ebene Kugelbilder. Ein Linnésches System der Kartenentwürfe.

Petermanns Mitteilungen, Ergänzungsheft 221. Melluish, R. K. (1931): An Introduction to the Mathematics of Map Projections. Cambridge

University Press, Cambridge. Merkel, H. (1956, 1958): Grundzüge der Kartenprojektionslehre, Teil I, Die theoretischen

Grundlagen, Teil II, Abbildungsverfahren. Deutsche Geodätische Kommission, Reihe A, Heft 17 und 17/II.

Meščerjakov, G. A. (1968): Teoretičeskie osnovy matematičeskoj kartografii. Izdatel'stvo Nedra, Moskva.

Moellering, H. (1980): Strategies of Real-Time Cartography, Cartographic Journal, 17 (1), 12-15.

Moellering, H. (ed, 1991): Spatial Database Transfer Standards: Current International Status, ICA, Elsevier Applied Science, London, New York.

Moellering, H. (1991): Whither Analytical Cartography, Cartography and Geographic Information Systems, Vol.18, No.1, 7-9.

Morrison, J. L. (1974): Changing Philosophical-Technical Aspects of Thematic Cartography, American Cartographer, 1 (1), 5-14.

Murdoch, P. (1758): On the best form of geographical maps. Philosophical Transactions of the Royal Society, Vo. 50, No. 2, 553-562.

Narobe, Z. (1975): Pojednostavljen način računanja konvergencije meridijana za potrebe žiroskopske orijentacije, Geodetski list, 68-73.

Niče, V. (1971): Perspektiva. Školska knjiga, Zagreb. Paj, R. (ed, 1995): Opći digitalni zemljovid Republike Hrvatske mjerila 1:300 000, prvo

privremeno izdanje, Radna grupa Zavoda za fotogrametriju d.d., Zagreb. Pandžić, A. (1987): Stare karte i atlasi Povijesnog muzeja Hrvatske. Katalog muzejskih zbirki

XXII, Zagreb. Pandžić, A. (1988): Pet stoljeća zemljopisnih karata Hrvatske. Katalog izložbe Povijesnog

muzeja Hrvatske, Zagreb. Pandžić. A. (1992): Hrvatska i njene granice na starim kartama. In: Granice Hrvatske na

zemljovidima od 12. do 20. stoljeća, katalog izložbe, Zagreb.

21

Pavlov, A. A. (1972): Nekatorye voprosy matematičeskoj kartografii. Geodezija i kartografija 2, 65-68.

Pavlov, A. A. (1974): Praktičeskoe posobie po matematičeskoj kartografii. Izdatel'stvo Leningradskogo universiteta, Leningrad.

Rajtr, J. (1914): Općenite zasade kartografije. Vijesnik, glasilo Udruženja civilnih tehnika kraljevina Hrvatske i Slavonije, br. 8, 118-121.

Randić, L. (1953): O konstrukciji vertikala u stereografskoj projekciji, Geodetski list, 299-306.

Reignier, F. (1957): Les systèmes de projection et leurs applications, Tome I, Texte, Tome II, Graphiques. Publications techniques de l'Institute Géographique National, Paris.

Richardus, P., Adler, R. K. (1972): Map Projections for Geodesists, Cartographers and Geographers. North Holland Publishing, Amsterdam.

Savezna geodetska uprava (1953): Osnovni geodetski radovi u F. N. R. Jugoslaviji. Beograd. Segen, D. (1881): O crtanju mreža za geografijske karte. Izviešće o Kr. velikoj realci u Osieku

koncem školske godine 1880/1, 3-44. Segen, D. (1893): Osnove relijef-perspektive. Nastavni vjesnik, Knjiga I., 209-227. Sijmons, K. (1992): Cartographic representation and production of GIS data, Proceedings of

the First International Conference on Surveying and Mapping, Tehran, Vol.2., 117-125.

Sirks, A. (1936): Triangulacije u geodetsko-geometarskoj praksi u raznim projekcionim i koordinatnim sistemima na teritoriji Kraljevine Jugoslavije. Geometarski i geodetski glasnik 2, 101-120.

Snyder, J. P. (1982): Map Projections Used by U. S. Geological Survey. U. S. Geological Survey Bulletin 1532, 2nd ed., Washington.

Snyder, J. P. (1985): Computer-Assisted Map Projection Research. U. S. Geological Survey Bulletin 1629, Washington.

Snyder, J. P. (1987): Map Projections: A Working Manual. U. S. Geological Survey Professional Paper 1395, Washington.

Snyder, J. P. (1993): Flattening the Earth, Two Thousand Years of Map Projections. The University of Chicago Press, Chicago, London.

Snyder, J. P., Steward, H. (eds, 1988): Bibliography of Map Projections. U. S. Geological Survey Bulletin 1856, Washington.

Solarić, R. (1980): Računanje koordinata točaka u Mercatorovoj projekciji primjenom džepnog računala, Geodetski list, 181-187.

Solov'ev, M. D. (1946): Kartografičeskie proekcii. Izdatel'stvo geodezičeskoj i kartografičeskoj literatury, GUGK pri SNK SSSR, Moskva.

Solov'ev, M. D. (1969): Matematičeskaja kartografija. Izdatel'stvo Nedra, Moskva. Sowton, M. (1991): Development of GIS-related activities at the Ordnance Survey. In: J.

Maguire, M. F. Goodchild, D. W. Rhind (eds.): Geographical Information Systems, Vol. 2 - Application, Longman, London, 23-38.

Steers, J. A. (1970): An Introduction to the Study of Map Projections. 15th edition, University of London Press, London.

Steinhauser, A. (1857): Grundzüge der mathematischen Geographie und der Landkartenprojection. Friedrich Beck's Universitäts-Buchhandlung, Wien.

Teng, A. T. (1991): Building geographic data bases with input from federal digital data files, Technical Papers of 1991 ACSM-ASPRS annual convention, Baltimore 1991, Vol.4 GIS, 208-216.

Thomas, P. D. (1952): Conformal Projections in Geodesy and Cartography. U. S. Coast and Geodetic Survey Special Publication 251, Washington.

22

Tissot, A. (1881) Mémoire sur la représentation des surfaces et les projections des cartes géographiques. Gauthier-Villars, Paris.

Tissot, A. (1887) Die Netzentwürfe geographischer Karten (Autorisierte Deutsche bearbeitung mit einigen Zusätze besorgt von E. Hammer). J. B. Metzlersche Buchhandlung, Stuttgart.

Tobler, W. R. (1965): Medieval distortions: the projections of ancient maps, Annals, Association of American Geographers, 56 (2) 351-360.

Tobler, W. R. (1976): The geometry of mental maps, in: R. Golledge and G. Rushton, eds., Essays on the Multidimensional Analysis od Perceptions and Preferences, Columbus, Ohio State University Press, 69-81.

Tober, W. R. (1994): Bidimensional regression, Geographical Analysis, 26, 117-120. Urmajev (1941): Matematičeskaja kartografija, Izdatel'stvo Vojennoinženernoj Akademii,

Moskva. Vahramejeva, L. A., Bugajevskij, L. M., Kazakova, Z. L. (1986): Matematičeskaja

kartografija. Nedra, Moskva. Villi, M. (1993): Informacijski sustav okoliša Republike Hrvatske, Pilot projekt "Demografija",

CAD Forum '93, Zagreb, Zbornik radova, 5-10. Vranić, V. (1927): O izvođenju formula sferne trigonometrije s pomoću stereografske

projekcije. Nastavni vjesnik, knjiga XXXVI, sv. 1-2. Also: Über die Ableitung der Formeln der sphärischen Trigonometrie mit Hilfe der stereographischen Projektion.

Wagner, K.-H. (1949): Kartographische Netzentwürfe. Bibliographisches Institut, Leipzig. Wang Qiao et al. (1996): Methods for Variable Scale Map Projections, Publishing House of

WTUSM. Yang Qihe (1987): The perspective azimuthal projection under variable view points, Acta

Geodetica et Cartographica Sinica, 16, 306-131. Yang, Q., Snyder, J. P., Tobler, W. R. (2000): Map Projection Transformation, Priciples and

Applications, Taylor & Francis, London. Yang Qihe, Yang Xiaomei (1997): Three types of latitudinal function and linear interpolation

algorithms used in surveying and cartography, Acta Geodetica et Cartographica Sinica, 26, 92-95.

Young, A. E. (1920): Some Investigations in the Theory of Map Projections. Royal Geographical Society, Technical Series 1, London.

23