Clase 03 Estocastico

8/17/2019 Clase 03 Estocastico

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2


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3

1.1. Introducción

Las perturbaciones son unas de las razones de la existencia de la teoría de control.

Sin perturbaciones no habría necesidad de realimentación.

Limitan el ancho de banda y comportamiento de un sistema.

Midiendo perturbaciones se pueden detectar malfuncionamiento de los sistemas,Hay dos formas básicas de modelizar una perturbación: la determinística o clásica

y la estadística.


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4

1.2. Reducción del efecto de las Perturbaciones

reducción en la fuente

realimentación local

control en adelanto

predicción

- Reducción en la fuente

Ejemplos

- reducción de variaciones en una concentración utilizando un mezclador eficiente

- reducción de fricción usando buenos rodamientos

- cambiar de posición los sensores para evitar perturbaciones

- modificar la electrónica del sensor

- cambiar sensor para obtener mejor respuesta- cambiar el muestreo del sistema para tener mejor modelo.


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5

- Realimentación local

Es necesario poder medir una variable que esté influida por la perturbación ycercana a la misma.

y

Realimentación

local

Perturbación

u

Generalmente no se necesita gran precisión en el lazo interno.

Un regulador con alta ganancia es suficiente.

Ejemplos:

- variación de presión en válvulas. Se introduce un regulador de presión.

- variación de temperatura. Se estabiliza la fuente.

- realimentación en las fuentes eléctricas.


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6

- Control en Avance

y

G(q)

Hw

u

Hff

Perturbación

Proceso

Una forma obvia es

w ff

H H G

= − [1.1]

Si no es estable se puede aproximar a algo estable

Muchas veces es un modelo estático

Se usa en perturbaciones de carga


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7

- PredicciónLa perturbación no es medible

Se controla en avance con una predicción en base a alguna medición.

No es necesario predecir la perturbación sino el efecto que ella causa en el

proceso.Es importante tener un modelo


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8

1.3. Modelo de Perturbaciones

Un caso típico de modelización son las perturbaciones que puede tener una planta,ya sea por una imprecisión en la medición, la aparición de una carga o variación propiade la planta.

- Perturbación de carga: carga mecánica de un motor, olas en un barco, etc. Son

generalmente lentas o de bajas frecuencias.

- Error de medición: puede ser un error estático de calibración o con componentesde alta frecuencia muy importantes. Una solución habitual es filtrar esta señalcon el consiguiente retardo de la misma.

- Variación de Parámetros: debidas a una variación del punto de trabajo o aderivas del propio sistema.

El último tipo de perturbación se estudia como un cambio en el modelo de la planta en cambio los dos primeros se pueden modelizar como una dinámica adicionalal sistema original.


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9

0 5 10 15 20 25 30-0.5

0

0.5

1

1.5

0 5 10 15 20 25 30-0.5

0

0.5

1

1.5

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

0 20 40 60 80 100-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Figura 1-1. Cuatro tipos diferentes de perturbaciones: de corta duración, cargaconstante, deriva y periódica

Estas perturbaciones se podrían pensar como la respuesta impulsional de unsistema Gn

Gn

Gp

Planta

PerturbaciónImpulso

Entrada Salida

Gn Gp

Planta

PerturbaciónImpulso Salida

Figura 1-2. Diagrama de bloques de una perturbación y su efecto sobre la planta


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10

Las perturbaciones que serán materia de estudio en este trabajo no se podránrepresentar determinísticamente, serán de la forma,

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 5 10 15 20 25 30-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Figura 1-3. Perturbaciones de tipo estadístico

Las perturbaciones se pueden estudiar como entrada salida o como variables deestado.


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11

1.4. Perturbaciones Determísticas a Tramos

Predicción de un Escalón

/ˆkT mT kT kT y y+ = [1.2]

Este predictor tiene un error de predicción ˆkT kT y yε = − en los instantes

( )0, , , 1t T m T = − Predicción de una Rampa

( )( )

( ) ( )

/ 1

1

ˆ

1

kT mT kT kT kT k T

kT k T

y y m y y

m y my

+ −

−

= + − =

= + −

[1.3]

este predictor tiene un error en los instantes , ,t T mT =

Estos dos modelos no son muy adecuados como perturbación.

Las perturbaciones son difíciles de predecir

Una forma de hacerlas más realistas es como en la figura siguiente donde laaparición de las perturbaciones es aleatorio


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12


13/50

13

1.4.1. Modelo en Espacio de estado

1k k k

k k

x x v

y Cx

+ = Φ +

= [1.4]

se supone que la salida es escalar y el sistema es observable.

La entrada se supone cero excepto en determinados puntos.

Si se puede medir la salida, se puede predecir el estado mientras la entrada es nula.

El estado se puede calcular en base a la matriz de observabilidad

[ ]1

1 1

T

k n o k n k x W y y

−

− + − +=

[1.5]

La predicción a m pasos será

[ ]1 1/ 1ˆ T m n

k m k o k n k x W y y+ − −

+ − += Φ [1.6]

es una combinación lineal de n valores de la salida o sea

( )* 1/ˆk m k k x P q y−+ = [1.7]

con P polinomio de orden n-1


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14

Se puede usar una forma recursiva de cálculo

[ ]/ 1/ 1 1/ 1ˆ ˆ ˆk k k k k k k x x K y C x− − − −= Φ + − Φ [1.8]

/ /ˆ ˆm

k m k k k x x+ = Φ [1.9]


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15

1.4.2. Modelo Entrada-Salida

ya que se puede expresar como un polinomio se hace

( )

( )k k C q

y w A q

= [1.10]

donde w es cero excepto en ciertos instantes espaciados en un número mayor al grado(A+m)

Si se define F y G tal que cumplan

( ) ( ) ( ) ( )1m z C z A z F z G z − = + [1.11]

se puede demostrar que un predictor a m pasos es

( ) ( )/ˆk m k k C q y qG q y+ = [1.12]


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16

1.5. Perturbaciones estocásticas

Variable aleatoria: magnitud caracterizada estadísticamente.

Proceso estocástico es una variable estocástica que varía en el tiempo.

La variable estadística depende de dos parámetros: la realización y la muestratemporal.

Ejemplo proceso determinístico con valor inicial aleatorio.

Este proceso es llamado proceso estocástico completamente determinístico ya quese puede predecir completamente.

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 20 40 60 80 1000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5


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17

- Función de Distribución.

( ) ( ) X x P X x= ≤ [1.13]

) X

X

(- = 0 F

( ) = 1 F

∞

∞ [1.14]

0 20 40 60 80 100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


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18

- Función Densidad.

( ) ( ) X

X

dF x f x

dx= [1.15]

0 20 40 60 80 100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

( ) ( )

2

11 2

x

X x

x X x f x dx≤ ≤ = ∫ [1.16]

- Esperanza.

1 1 1 x

-

( x , ) = ( , ) d = m( ) f k k k ξ ξ ξ

∞

∞∫ [1.17]

( ) = ( E )∑ ∑ [1.18]


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19

- Momentos

( )b

n n

X a

X x f x dx = ∫ [1.19]

momentos centrados

( ) ( ) ( )bn n

X X X

a

X m x m f x dx − = −

∫ [1.20]

- Varianza

[ ] ( ) ( ) ( )2 22 var

b

X X X X a

X E X m x m f x dxσ = = − = − ∫ [1.21]

- Correlación

[ ] ( ), ,b b

X Y a a

XY xyf x y dxdy= ∫ ∫ [1.22]

ortogonales

[ ] 0 E XY = [1.23]


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20

- Covarianza

( )( )

( ) ( )

XY Xj Yk j k j k

Xj Yk

(j,k)= cov X Y = E X - Y -m mr

= x - y - f(X,Y, j,k) dx,dym m

∫ ∫ [1.24]

llamando [ ] X m E X = y [ ]Y m E Y = resulta:

XY j k j k Xj Yk (j,k)= cov X Y = E X Y m mr − [1.25]

no correlacionadas

0 XY (j,k)=r [1.26]

Autocorrelación

( )

( )

2

2 2

Xj X j j

Xj

r (j,k)= cov X = E X - m

= x - f(X, j,k) dxm

∫ ∫

[1.27]


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21

- Densidad Espectral Cruzada

( ) ( )1

2 jk

xy XY

k

r k e ω ω φ π

∞−

=−∞

= ∑ [1.28]

( ) ( ) jk xy xyr k e d π

ω

π φ ω ω

−= ∫ [1.29]

la función

( )2

1

2 xy d ω

ω φ ω ω ∫ [1.30]

es la potencia de la señal en una banda [ ]1 2,ω ω

Si tiene algún pico significa que existe una componente periódica


22/50

22

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

-15

-10

-5

0

5

10

15

5000 6000 7000 8000 9000 10000

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12x 10

4

100

101

102

103

104

10-2

100

102

104

106

108

.99,

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

5000 6000 7000 8000 9000 10000-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12x 10

4

100

101

102

103

104

10-1

100

101

102

103

104

105

.3


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23

1.6. Procesos Especiales

1.6.1. Procesos Estocástico Discreto

Son procesos en donde la aleatoriedad interviene en algunos instantes de tiempo

0 5 10 15 20-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.6.2. Procesos Estacionario

Un proceso aleatorio ( ) X t se dice estacionario, si ( ) ( ) X t x es independiente de t

y por lo tanto:

( ) X X m t m t = ∀ [1.31]

Para un proceso estacionario, la función de autocorrelación depende sólo de ladiferencia 1t - 2t , es decir:

( ) ( )1 2 1 2 1 2, , X X t t R t t t t = − ∀ [1.32]


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24

Si los procesos aleatorios ( )t e ( )Y t son cada uno estacionarios y además son

conjuntamente estacionarios, entonces la matriz de correlación puede escribirse como:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) X XY

YX Y

R R R

R R

τ τ τ

τ τ

=

[1.33]

donde 1 2t t τ = − aquí las propiedades estadísticas no dependen del tiempo en sí sino de la distancia

entre muestras temporales.

- Propiedades

i.

( ) ( )

( ) ( )

T

XY YX

T

X X

R R

R R

τ τ

τ τ

= −

= − [1.34]

ii. ( )0 0 X R ≥ [1.35]

iii. ( ) ( ) ( )2 0 0 XY X Y R R Rτ ≤ [1.36]

iv. ( ) ( )0 X X R Rτ ≤ [1.37]


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25

1.6.3. Procesos Independientes

Se debe cumplir que para todo instante de tiempo,

[ ] [ ]1 1 2 21

( ) , ( ) ( ) ( )n

n n i i i

i

P X t x X t x X t x P X t x=

≤ ≤ ≤ = ≤∏ [1.38]

se podría expresar en función de la densidad o distribución.

Si se trata de dos procesos X e Y se dice que son independientes si

[ ]

[ ] [ ]

1 1 1 1

1 1 1 1

( ) , , ( ) , ( ) , , ( )

( ) , , ( ) ( ) , , ( )

n n n n

n n n n

P X t x X t x Y t y Y t y

X t x X t x P Y t y Y t y

≤ ≤ ≤ ≤ =

= ≤ ≤ ≤ ≤

[1.39]

1.6.4. Procesos Incorrelados

Un proceso es incorrelado consigo mismo cuando

[ ] [ ]( , ) ( ) ( ) ,T

X t E X t E X t t τ τ = ∀ [1.40]

Un proceso independiente es incorrelado. No siempre ocurre al revés.Dos procesos son incorrelados si

[ ] [ ]( , ) ( ) ( ) ,T

XY t E X t E Y t t τ τ = ∀ [1.41]


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26

1.6.5. Proceso Blanco

Si un proceso tiene una distribución Gaussiana, es estacionario e independiente sedenomina proceso blanco

k x es totalmente independiente de j x ∀ k ≠ j

,k x

δ

secuencia de elementos independientes

La media es nula

covarianza

2

2

= 0

r( ) = 0 0

( ) =2

τ σ

τ τ

σ φ ω ω

π

∀ ≠

∀

[1.42]

La mayoría de los procesos estacionarios pueden generarse a partir del filtrado del

ruido blanco. Es como el impulso de los sistemas deterministas.


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27

1.6.6. Procesos Estocásticos Ergódicos

Para un proceso estocástico es posible calcular la media temporal de cadarealización como sigue:

( ) ( )1

2

T

X T

m T x t dt T −

= ∫ [1.43]

Esta media es obviamente una variable aleatoria que depende del intervalo deobservación T t T − ≤ ≤ .

Si se calcula la correlación promediada temporalmente, para cada realización,

1

( ) lim ( ) ( )2

T

T T x t x t dt T τ τ →∞ −= +∫

[1.44]

que constituye un proceso estocástico.

Sería de mucha utilidad que la media temporal coincida con la media del procesoestudiado así como su correlación. De este modo bastaría con conocer una solarealización para conocer todo el proceso.


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28

Un proceso aleatorio se dice ergódico si se verifican las siguientes condiciones:

i. ( )lím X X T

m T m→∞

=

ii. ( )lim var 0 X T

m T →∞

=

iii. ( ) ( )lím , X X T

R T Rτ τ →∞

=

iv. ( )lím var , 0 X T

R T τ →∞

=

En este caso se puede substituir el cálculo de la esperanza por la integral1

lim ( )2

T

T T x t dt T →∞

−∫


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29

1.6.7. Proceso de Wiener

Se dice que un proceso x es un proceso de Wiener si el proceso ( ) ( ) z x t x τ = − esen realidad una variable aleatoria independiente. Además se debe cumplir que

i. [ ( )] 0 x t =

ii. (0) 0 x = iii. la varianza de z es proporcional a la diferencia de triempos:

( ) 2( ) ( ) ( ) ( ) R z R x t x t τ σ τ = − = −


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30

1.6.8. Proceso de Markov

Un proceso estocástico se dice de Markov de primer orden si la probabilidadcondicionada de un elemento solo depende de su valor anterior es decir

1 2 1[ | , ........] [ | ]k k k k k p x x x p x x− − −= [1.45]

o sea1k k k x ax fv+ = + [1.46]

el valor futuro de x solo depende de su valor actual y de v.

Si v es ruido blanco genera una proceso de Markov.

Si x depende de valores anteriores se puede hacer lo siguiente

1 1 1

2 1 21 2

0 1 0k k k

k k

x xv

x xa a f

+

+

= +

[1.47]

lo que matricialmente resulta1k k k x Ax Fv+ = + [1.48]


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31

1.7. Modelo ARMA

Una perturbación estocástica se puede modelar como generada por ruido blanco

1 1 1 1k k n k n k k n k n y a y a y e c e c e− − − −+ + + = + + + [1.49]


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32

1.8. Modelo en Variables de Estado

sea el sistema

1k k k x x v+ = Φ + [1.50]

con 1k k k x x v+ = Φ + [1.51]

con v ruido blanco. Su valor medio es1k k m m+ = Φ [1.52]

y la covarianza

( ) ( ),r k k P k τ τ + = Φ [1.53]

con

( ) ( )cov k k k x x= [1.54]

y dada por la siguiente fórmula

( ) ( ) 11 T k P k R+ = Φ Φ + [1.55]

Nota 1: Si v es Gaussiana, el proceso estocástico queda definido por su media y sucovarianza


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33

Nota 2: si el sistema tiene una salida

ym Cm= [1.56]

T

yy xxr Cr C = [1.57]

y la covarianza cruzada

yx xxr Cr = [1.58]

Nota 3: la ecuación [1.55] parece una función de Lyapunov

Nota 4: la covarianza P representa la incertidumbre en el estado.( ) T P k Φ Φ representa la propagación debida a la dinámica y 1 es la covarianza del

ruido.


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34

Ejemplo 1. Sistema de Primer Orden

1k k k x ax v+ = + [1.59]

1r cov de v. 0r cov inicial de x.

{ }k k m E x= [1.60]

1k k m am+ = [1.61]

0

0k k

k m a m−= [1.62]

21 1k k a P r + = + [1.63]

( ) ( )00 220 12

11

k k k k

k

aa r r a

−− −= +−

[1.64]

( ) ( ), l k xr l k a P k l k −= ≥ [1.65]

( ) ( ), k l

x

r l k a P l l k −= < [1.66]

si 1a < y 0k → −∞entonces

0k m → [1.67]


35/50

35

12

1k

r P

a

→

−

[1.68]

( ) 1 2, 1 xr a

r k k a

τ

τ + →−

[1.69]

se convierte en estacionario ya que m es constante y la covarianza solo depende de

la distancia entre muestras.Si el filtro tuviese ganancia unitaria

12

1

1k a

r a

−→

− [1.70]

en la figura se ve cómo varía la varianza en función de a .

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

Si se introduce una salida de la forma


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36

k k k y x e= + [1.71]

siendo 2r cov de e, resulta:

( )

12 2

1 2

01

01

y

r r

ar

r a

a

τ

τ

τ

τ

+ = −

=

≠ −

[1.72]

y el espectro

( ) ( )( )

1 1

2 2 2

1 1

2 2 1 2 cos y j j

r r r r

a ae a e aω ω ω φ

π π ω −

= + = +

+ −− −

[1.73]


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37

1.9. Modelo de Entrada Salida

0

k

k k n n n k n

n n

y g u g u∞

− −=−∞ =

= =∑ ∑ [1.74]

( ) { } { }

( )

0 0

0

y k n k n n k n

n n

n u

n

m k E y E g u g E u

g m k n

∞ ∞

− −

= =∞

=

= = =

= −

∑ ∑

∑ [1.75]

( ) ( )0

k y n k n u

n

y m k g u m k n∞

−

=

− = − − ∑ [1.76]

el valor medio de la entrada se propaga a la salida

Se puede considerar, por simplicidad, nulo.


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38

( ) { } { }

( )

0 0 0 0

0 0

T T T

y k k n k n l k l n k n k l l n l n l

T

n u l

n l

r E y y E g u g u g E u u g

g r l n g

τ τ τ τ

τ

∞ ∞ ∞ ∞

+ + − − + − −= = = =

∞ ∞

= =

= = = =

= + −

∑ ∑ ∑∑∑∑

[1.77]

( ) { } { }

( )

0 0

0

T T T yu k k n k n k n k n k

n n

n u

n

r E y u E g u u g E u u

g r n

τ τ τ τ

τ

∞ ∞

+ + − + −= =

∞

=

= = = =

= −

∑ ∑

∑ [1.78]

( ) ( ) ( )12

jn

y yy y

n

r n e ω φ ω φ ω π

∞−

=−∞

= = ∑ [1.79]


39/50

39

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

0 0

0 0

0 0

1

21

2

1

2

jn T

y k u l

n k l

j n l k jk jl T

k u l

k n l

j n l k jk jl T

k u l k n l

e g r n l k g

e g e r n l k e g

e g e r n l k e h

ω

ω ω ω

ω ω ω

φ ω π

π

π

∞ ∞ ∞−

=−∞ = =

∞ ∞ ∞− + −−

= =−∞ =

∞ ∞ ∞− + −−

= =−∞ =

= + −

= + −

= + −

∑ ∑∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

[1.80]

introduciendo la respuesta impulsional

( )0

n

n

n

G z z g ∞

−

=

= ∑ [1.81]

( ) ( ) ( ) ( ) j T j y uG e G eω ω φ ω φ ω −= [1.82]

de igual modo


40/50

40

( ) ( )

( )

( )( ) ( )

0

0

1

21

2

1

2

jn

yu yu

n

jn

k u

n k

jk jn

k uk n

j

u

e r n

e g r n k

e g e r n

G e

ω

ω

ω ω

ω

φ ω π

π

π

φ ω

∞−

=−∞

∞ ∞−

=−∞ =

∞ ∞− −

= =−∞

=

= −

=

=

∑

∑ ∑

∑ ∑

[1.83]

Filtrado de Procesos Estacionarios

Sea la entrada estacionaria.Si el sistema es estable, la salida también es estacionaria con valor medio

( )1 y um H m= [1.84]

espectro

( ) ( ) ( ) ( ) j T j y u H e H eω ω φ ω φ ω −= [1.85]

y espectro cruzado


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41

( ) ( ) ( ) j yu u H e ω φ ω φ ω = [1.86]

Nota 1: el valor ( ) j H e ω es la amplitud de la respuesta a un seno de frecuencia ω .El valor de la densidad espectral de la salida es el producto de la ganancia en potencia

( )2

j H e ω y la densidad espectral de la entrada ( )uφ ω .

Nota 2: Según [1.86], la densidad espectral cruzada es igual a la respuesta enfrecuencia cuando la entrada es ruido blanco.


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42

Ejemplo 2. Espectro de un sistema de Primer Orden

sea el sistema

( ) ( )

( )

1 X z H z

U z z a= =

− [1.87]

excitado por ruido blanco con densidad espectral

( ) 12ur

φ ω π

= [1.88]

( ) ( ) ( )

( )( )

( )

1

1

12

21

2

1

2 1 2 cos

j T j

x

j j

r H e H e

r

e a e a

r

a a

ω ω

ω ω

φ ω

π

π

π ω

−

−

=

=− −

=

+ −

[1.89]

si la salida es

k k k y x e= + [1.90]


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43

el espectro será

( )( )

12 2

1

2 1 2 cos y

r r

a aφ ω

π ω

= +

+ − [1.91]

comparar con ejemplo anterior


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44

1.10. Factorización Espectral

Se verá cómo una señal puede ser generada a partir del ruido blanco.

En general ( ) j H e ω es racional y su densidad espectral también lo será.

Haciendo j z e ω = la función siguiente resulta

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 j T j T H e H e F z H z H z ω ω − −= = [1.92]

Los ceros y los polos de F son simétricos con respecto al círculo unidad.

Plano Z

Im

Re

Es posible encontrar un H con todos sus polos estables.


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45

Ejemplo 3. Factorización Espectral

Dado una densidad espectral racional ( )φ ω , existe un sistema lineal con funciónde transferencia

( ) ( )

( )

B z H z

A z = [1.93]

tal que, su respuesta al ruido blanco es un proceso estacionario con densidadespectral ( )φ ω .

Las raíces de ( ) z están dentro del círculo unidad y las de ( ) z están dentro o

sobre el círculo unidad. Nota 1: todo proceso estacionario puede ser pensado como un sistema lineal

estable excitado con ruido blanco (un proceso ARMA).

Nota 2: lo que se hace en la práctica es encontrar ( )φ ω y luego buscar el sistema

que lo representa de acuerdo al teorema. Nota 3: generalmente se asume que ( ) B z `tiene sus raíces dentro del círculo

unidad para que su inversa sea estable.


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46

Sistema de Primer Orden

( )( )( )

( ) ( )( )( )

2 11 2 21

2 1 1

11 1

2 2 j

y

z e z e

r r a r a z z r r

z a z a z a z aω ω

φ ω π π

−

− −

= =

+ + − += + =

− − − −

[1.94]

hay que factorizar el numerador

( )( ) ( ) ( )2 1 2 11 2 21 z b z b r r a r a z z λ − −− − = + + − + [1.95]

igualando por potencias

( ) ( )0 2 2 21 21 2

2

1 1 z b r r a

z b r a

λ

λ

+ = + +

=

[1.96]

despejando resulta una raíz en

( ) ( ) ( )2 221 2 1 2 1 2

2

1 1 1

2

r r a r r a r r ab

r a

+ + − + + + −

= [1.97]

la otra raíz es espejo de esta y está fuera del círculo unidad.

La variable λ resulta


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47

( ) ( ) ( )2 22 21 2 1 2 1 21

1 1 1

2

r r a r r a r r aλ = + + + + + + −

[1.98]

1.11. Innovación

De lo visto anteriormente un proceso estocástico estacionario puede representarsecomo

k

k k n n

n

y h e−=−∞

= ∑ [1.99]

con e ruido blanco.

Como H es racional y con inversa estable, se puede escribir lo contrariok

k k n n

n

e g y−=−∞

= ∑ [1.100]

reemplazando,


48/50

48

1

1 1

1 0 1

1 0 1

k

k k n n

n

k

k n n k

n

k k

k n n l l k

n l

y h e

h e h e

h g y h e

+

+ + −

=−∞

+ − +=−∞

+ − − +=−∞ =−∞

=

= +

= +

∑

∑

∑ ∑

[1.101]

la salida y tiene dos términos, uno que depende de sus valores anteriores y otro

0 1k h e + que contiene información nueva, no contenida en el pasado.

El proceso estocástico { }k e se denomina innovación del proceso { }k y

El término

1

k k

k n n l l

n l

h g y+ − −=−∞ =−∞∑ ∑ [1.102]

es la mejor estimación cuadrática media de la salida 1k y + (se verá más adelante)


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49

Sistema de Primer Orden

( )( )

12 2

1

2 1 2 cos y

r r

a aφ ω

π ω

= +

+ −

[1.103]

( )

( )( )( )( )

12

12 y

z b z b

z a z a

λ

φ ω π

−

−

− −

= − − [1.104]

este proceso puede ser generado filtrando ruido blanco con

( ) z b

H z

z a

−=

−

[1.105]

la relación entrada salida es

1 1k k k k y ay e be+ += + − [1.106]

donde e es ruido blanco con varianza 2λ


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1.12. Referencias

1. Åström, Karl J.: Computer Controlled Systems. Theory and Design, Prentice Hall – 1984

2. Haykin, Simon: Communication Systems, John Wiley & Sons, Inc., New York. -1994

3. Papoulis

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Clase 03 Estocastico