Embed Size (px)
Citation preview
Una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, es una ecuación de la forma:
)(´´´ xhcybyay
Si y=c1y1+c2y2 es la solución de la ecuación ay´´+ by´+c = 0entonces la solución general de la ecuación no homogénea será:
24132211ycycycycy
con c1 y c2 constantes reales, y
y
dxyyyy
yxhc
1221
2
3
´´
)(dx
yyyy
yxhc
1221
1
4
´´
)(
Utilizando el método de variación de parámetros, resolver ecuación diferencial lineal no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes
2
2
4´4´´x
eyyy
x
04´4´´ yyy
0442 mm
0)2)(2( mm
0202 mm
xx xeyey 2
2
2
1
dxyyyy
yxhc
1221
2
3
´´
)(
dxyyyy
yxhc
1221
1
4
´´
)(2m
xx xeyey 2
2
2
1
1´y
2´y
xey 2
12´
xx xeey 22
22´
1221´´ yyyy xe 2
xe 4
xe 4
1221´´ yyyy
1221´´ yyyy
2´y)2(xe 2
)´(x xe 2 x )´( 2 xe
1xe 2 x 22 xe
)2( 22 xx xee xxe 2 xe 22xxe 42 xxe 42
xeyyyy 4
1221´´
xx xeyey 2
2
2
1yyy 4´4´´
dxyyyy
yxhc
1221
2
3
´´
)(dx
)(
dxx
xc
23dxx 1 )ln(x
2
2
x
e x
xxe 2
2
2
x
e x
xe 4
xeyyyy 4
1221´´
xx xeyey 2
2
2
1yyy 4´4´´
dxyyyy
yxhc
1221
1
4
´´
)(dx
)(
dxxc 2
4
1
1x 1x
2
2
x
e x
2
2
x
e x
xe 4
xe 2
24132211ycycycycy
xxxx xexexxececy 2122
2
2
1)ln(
xxxx eexxececy 222
2
2
1)ln(
xxxx exxeceecy 22
2
22
1)ln(
xxx exxeccey 22
21
2 )ln()1(
xxx exxececy 22
2
2
1)ln(
Utilizando el método de variación de parámetros, resolver ecuación diferencial lineal no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes xeyyy 34´4´´
04´4´´ yyy
0442 mm
0)2)(2( mm
0202 mm
xx xeyey 2
2
2
1
dxyyyy
yxhc
1221
2
3
´´
)(
dxyyyy
yxhc
1221
1
4
´´
)(2m
xx xeyey 2
2
2
1
)2(´ 2
1
xey
)´()´(´ 22
2
xx exexy
xey 2
12´
xx xeey 22
22´
1221´´ yyyy
xxxxx exexeee 22222 2)2(
xxx xexee 444 22xe 4
1221´´ yyyy
1221´´ yyyy
21´ 22
2
xx xeey
xeyyyy 4
1221´´
xx xeyey 2
2
2
1yyy 4´4´´
dxyyyy
yxhc
1221
2
3
´´
)(dx
)(
dxeexec xxx 423
3
xe 3 xxe 2xe 3
xe 4
dxxe x5
ca
xa
edxxe
ax
ax1
5
1
5
5
3x
ec
x
xx eex
55
25
1
5
xeyyyy 4
1221´´
xx xeyey 2
2
2
1yyy 4´4´´
dxyyyy
yxhc
1221
1
4
´´
)(dx
)(
dxeeec xxx 423
4dxe x5
5
5 xe
xe 3 xe 3
xe 4
xe 2
24132211ycycycycy
x
x
xxxxx xee
eeex
xececy 2
5
2552
2
2
1
5)
25
1
5(
xxxxx ex
eex
xececy 3332
2
2
1
525
1
5
xxx exececy 32
2
2
1
25
1
Utilizando el método de variación de parámetros, resolver ecuación diferencial lineal no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes 132´3´´ 2 xxyyy
02´3´´ yyy
0232 mm
0)1)(2( mm
1212
mm
xx eyey 2
21
dxyyyy
yxhc
1221
2
3
´´
)(
dxyyyy
yxhc
1221
1
4
´´
)(0102 mm
xx eyey 2
21
)1(1́
xey )2(´ 2
2
xey
xey1́
xey 2
22´
1221´´ yyyy xxxx eeee 222
xx ee 332xe 3
1221´´ yyyy
1221´´ yyyy
1221´´ yyyy
xx eyey 2
21
xey1́
xey 2
22´
yyy 2´3´´
dxyyyy
yxhc
1221
2
3
´´
)(dx
)(
dxe
exxc
x
x
3
22
3
)13(dxeexx xx 322 )13(
dxexxc xx 322
3)13( dxexx x)13( 2
13 2 xxxe 2
xe 3
13 2 xx
xe 3
dxexxc x)13( 2
3
Utilizando el Método de Integración por partes
vduuvudv
13 2 xxu xedv
dxxdu 16xev
dxxeexxc xx )16(13 2
3
Se vuelve a Utilizar el Método de Integración por partes
dxxeexxc xx )16(13 2
3
16xuxedv
dxdu 6xev
dxeexexxc xxx 6)16(13 2
3
xxx eexexxc 6)16(13 2
3
xxxxxx eexeexeexc 663 2
3
xxxxxx eexeexeexc 663 2
3
xxx exeexc 873 2
3
1221´´ yyyy
xx eyey 2
21
xey1́
xey 2
22´
yyy 2´3´´
dxyyyy
yxhc
1221
1
4
´´
)(dx
)(
13 2 xx
xe 3
13 2 xx
xe 3
xe
dxe
exxc
x
x
3
2
4
13 dxeexx xx 32 )13(
dxexxc x22
4)13(
Utilizando el Método de Integración por partes
vduuvudv
13 2 xxu xedv 2
dxxdu 162
2 xev
dxxee
xxcxx
)16(22
1322
2
4
Se vuelve a Utilizar el Método de Integración por partes
dxexxc x22
4)13(
16xuxedv 2
dxdu 62
2 xev
dxee
xe
xxcxxx
622
)16(2
1
213
222
2
4
dxxee
xxc x
x
)16(2
1
213 2
2
2
4
dxee
xe
xxc x
xx
2
22
2
43
2)16(
2
1
213
23
2)16(
2
1
213
222
2
4
xxx eex
exxc
23
2)16(
2
1
213
222
2
4
xxx eex
exxc
xxxxxx eexeexeexc 2222222
4
2
3
2
13
2
1
2
1
2
1
2
3
xxx exeexc 2222
4
2
32
2
3
xxxxxx eexeexeexc 2222222
4
4
3
4
1
2
3
2
1
2
1
2
3
24132211ycycycycy
xxxxxxxxxx eexeexeexeexececy 2222222
21)
2
32
2
3()873(
2
32
2
3873 222
21xxxxececy xx
2
135
2
322
21xxececy xx
TAREA 20
Utilizando el método de variación de parámetros. Resuelva la ecuación diferencial lineal NO homogénea de segundo orden con coeficientes constantes:
2
2
´4´´4)2
781´9´´)1x
eyyy
xyy
