Introducción a la LOGICA Matemática Matemáticas II

Introducción• La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina

que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido.

• La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.

Proposiciones y operaciones lógicas.

• Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática.

• Ejemplos:▫p: La tierra es plana.▫q: -17 + 38 = 21▫r: x > y-9▫s: El Morelia será campeón en la presente temporada de Fut-Bol.

▫ t: Hola ¿como estas?▫w: Lava el coche por favor.

Conectivos lógicos y proposiciones compuestas.•Existen conectores u operadores lógicas

que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones). Los operadores o conectores básicos son:▫Operador AND (y)▫Se utiliza para conectar dos proposiciones

que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Si símbolo es: { ó (.)}. Se le conoce como la multiplicación lógica.

Ejemplo de AND• Sea el siguiente enunciado “El coche enciende

cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería”

• Sean:▫p: El coche enciende.▫q: Tiene gasolina el tanque.▫r: Tiene corriente la batería.

• De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue:

• p = q r

Tabla de verdad del AND, p=q Λ rQ R P

V V V

V F F

F V F

F F F

1 = Verdadero0= Falso

En la tabla anterior el valor de q=1 significa que el tanque tiene gasolina, r=1 significa que la batería tiene corriente y p = q r=1 significa que el coche puede encender. Se puede notar que si q ó r valen cero implica que el auto no tiene gasolina y que por lo tanto no puede encender.

Operador OR (ó)• Con este operador se obtiene un resultado

verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera. Se indica por medio de los siguientes símbolos: {,+}. Se conoce como la suma lógica.

• Ejemplo: ▫Sea el siguiente enunciado “Una persona puede

entrar al cine si compra su boleto u obtiene un pase”.

▫Donde:  p: Entra al cine. q: Compra su boleto. r: Obtiene un pase.

Tabla de verdad del OR, p=q V rQ R P

V V V

V F V

F V V

F F F

1 = Verdadero0= Falso

La única manera en la que no puede ingresar al cine (p=0), es que no compre su boleto (q=0) y que no obtenga un pase (r=0).

Operador Not (no)

•Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es verdadera y se le aplica el operador not se obtendrá su complemento o negación (falso). Este operador se indica por medio de los siguientes símbolos: {‘, ,,˜}.

Ejemplo

P -P

V F

F V

Tabla del NOT

La negación de está lloviendo en este momento (p=1), es no está lloviendo en este momento (p’=0)

Ejemplo

•Sean las proposiciones:▫p: Hoy es domingo.▫q: Tengo que estudiar teorías del

aprendizaje.▫r: Ir al cine con mi novia.

•Como expresaría el enunciado:▫“Hoy es domingo y tengo que estudiar

teorías de aprendizaje o ir al cine con mi novia”.

•p q r

Ejercicios, Cuales de las siguientes frases son proposiciones?a) El pasto es amarillob) Hermosas Rosas blancasc) ¿Es 5 un numero primo?d) Si los perros pueden ladrar, entonces

ninguna casa cuidada por un perro necesita temerle a los intrusos.

e) Dame el libro.

Sea p la proposición “Las Matemáticas son fáciles”, y sea q la proposición “2 es menor que 3” escriba en español las proposiciones representadas por:

a) pqb) p+qc) (pq)’d) (p+q)’e) p’+q’f) pq’+p’q

Sea p la proposición “x es un numero par” y sea q la proposición “x es el producto de 2 enteros”. Traduzca a símbolos cada una de las siguientes proposiciones:

a) O x es un numero par o x es un producto de 2 enteros.

b) x es un numero impar y x es un producto de 2 enteros

c) O x es un numero par y un producto de enteros o x es un numero impar y no un producto de enteros.

d) x no es un numero par ni un producto de enteros.

Si p=1, q=0 y r=0, evalué las siguiente proposiciones:

i) (pq+p’q’)+(p’q+pq’)

j) (p’+q’)[(p+r’)(q+r)]

a) p’b) pqc) p+qd) (p+q)+re) p’+(q+r)f) p’+(q+r)’g) pq+qrh) pq+p’q’

Leyes de De Morgan:

•(p+q)’=p’q’•(pq)’=p’+q’

p q (p+q) (p+q)’

p’ q’ p’q’

0 0

0 1

1 0

1 1

Escriba la negación de las siguientes proposiciones:

a) El hielo es frio y estoy cansadob) O es deseable la buena salud o he sido

mal informado.c) Las naranjas no son adecuadas para

usarse en ensaladas verdes.d) Hay un numero que sumado a 6 da una

suma de 13

La tautología y la contradicción

•Aquella proposición cuya tabla de verdad siempre da verdadero es una tautología.

•Aquella que siempre da falso es una contradicción.

•Ejemplo:▫p+p’=1▫pp’=0

P P’ P+P’ PP’

0 1 1 0

1 0 1 0

Analice si las siguientes proposiciones son siempre verdaderas, siempre falsas o a veces verdaderas y falsas.

a) (p+p’)(q+r)b) (pq+pq’)+(p’q+p’q’)c) [p+(q+r’)][p’+(q+r)]d) [(p+q)(p+q’)][(p’+q)(p’+q’)]

Ejercicio tarea:• Un persona fue secuestrada por una pandilla. El líder

de la pandilla para divertirse lo encerró en un cuarto que tenia 2 cajas y le dio las siguientes instrucciones: Una caja contiene la llave del cuarto y la otra una víbora venenosa, debe introducir la mano en la caja que escoja y si consigue la llave puede irse. Para ayudarse puede preguntarle a mi ayudante una sola pregunta a la que le contestara “si” o “no”. Sin embargo el no tiene porque decirle la verdad, pudiéndole mentir. Después de un rato, la persona hizo la pregunta, saco la llave de la caja correcta y se fue. Que pregunto?

Proposiciones condicionales• Una proposición condicional, es aquella que está

formada por dos proposiciones simples (o compuestas) p y q. La cual se indica de la siguiente manera:

•p q Se lee “Si p entonces q”

▫p es el antecedente y q es el consecuente.

ejemploEl candidato del PRI dice “Si salgo electo presidente de la República

recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año”. Una declaración como esta se conoce como condicional. Su tabla de verdad es la siguiente: Sean p: Salió electo Presidente de la República.q: Recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año.

 De tal manera que el enunciado se puede expresar de las siguiente manera.  p q Su tabla de verdad queda de la siguiente manera:

p q p q

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

Condicional…

La interpretación de los resultados de la tabla es la siguiente:▫Considere que se desea analizar si el candidato

presidencial mintió con la afirmación del enunciado anterior. Cuando p=1; significa que salió electo, q=1 y recibieron un aumento de 50% en su sueldo, por lo tanto p q =1; significa que el candidato dijo la verdad en su campaña. Cuando p=1 y q=0 significa que p q =0; el candidato mintió, ya que salió electo y no se incrementaron los salarios. Cuando p=0 y q=1 significa que aunque no salió electo hubo un aumento del 50% en su salario, que posiblemente fue ajeno al candidato presidencial y por lo tanto; tampoco mintió de tal forma que p q =1.

Proposición bicondicional

Sean p y q dos proposiciones entonces se puede indicar la proposición bicondicional de la siguiente manera:

 p q Se lee “p si solo si q”

 Esto significa que p es verdadera si y solo

si q es también verdadera. O bien p es falsa si y solo si q también lo es.

EjemploEl enunciado siguiente es una proposición bicondicional “Es buen estudiante, si y solo si; tiene promedio de diez” Donde:

p: Es buen estudiante.q: Tiene promedio de diez.

 por lo tanto su tabla de verdad es.

p q p q

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

EjemploSea el siguiente enunciado “Si no pago la luz, entonces me

cortarán la corriente eléctrica. Y Si pago la luz, entonces me quedaré sin dinero o pediré prestado. Y Si me quedo sin dinero y pido prestado, entonces no podré pagar la

deuda, si solo si soy desorganizado”Donde:p: Pago la luz.q: Me cortarán la corriente eléctrica.r: Me quedaré sin dinero.s: Pediré prestado.t: Pagar la deuda.w: soy desorganizado.

(p’ q) p (rs) (r s) t’ w

Ejercicios (haga las tablas)

1. -p+q2. (pq) p3. -[(pq) p]4. p -p5. (-p+q) (p q)

Algebra de Boole

En 1854 George Boole introdujo una notación simbólica para el tratamiento de variables cuyo valor podría ser verdadero o falso (variables binarias) Así el álgebra de Boole nos permite manipular relaciones proposicionales y cantidades binarias. Aplicada a las técnicas digitales se utiliza para la descripción y diseño de circuitos mas económicos. Las expresiones booleanas serán una representación de la función que realiza un circuito digital. En estas expresiones booleanas se utilizarán las tres operaciones básicas ( AND, OR NOT ) para construir expresiones matemáticas en las cuales estos operadores manejan variables booleanas (lo que quiere decir variables binarias).

Funciones booleanas a partir de tablas de verdad.

A B F1

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

A B F2

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Utilizando min términos:Tomamos los valores que dan “1” y formamos una ecuación en forma de SUMA (OR) con las variables multiplicándose (AND):

F1=AB

F2=AB+AB’+A’B

Utilizando max términos:Tomamos los valores que dan “0” y formamos una ecuación en forma de AND con las variables sumándose (OR):

F1=(A’+B)(A+B’)(A+B)

F2=(A+B)

Continuación…p q p q

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Con Min-términos

F=p’q’+pq

p q p → q

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

Con Min-términos

F=p’q’+p’q+pq

Simplificando• F = A’C’ + ABC + BC’ + A’B’C + A’BC

▫Observando cada uno de los sumando podemos ver que hay factores comunes en los sumandos 2º con 5º y 4º con 5º que conllevan simplificación:

• F = A’C’ + BC’ + BC(A + A’) + A’C(B + B’)▫Note que el término 5º se ha tomado dos veces, de

acuerdo con la propiedad que dice que A + A´ = 1. Aplicando las propiedades del álgebra de Boole, queda

• F = A’C’ + BC’ + BC + A’C ▫Repitiendo nuevamente el proceso,

• F = A’( C’ + C) + B( C’ + C) = A’ + B

Simplificando…

•D =A’B’C+BC’+A’BC+ ABC

problemas

•Un marido le dijo a su esposa: “Nos llevaremos muy bien si observas las siguientes reglas en la mesa:”

a) En toda comida en que no sirvas pan, debes servir helado.

b) Si sirves pan y helado, entonces no debes servir pepinillos.

c) Si se sirven pepinillos o no se sirve pan, entonces no se debe servir helado.

Solución• b:debe servirse pan• i:debe servirse helado• p:deben servirse pepinillos

Las reglas quedarían:• (b i)(bi p’)(p+b’ i’) y haciendo las equivalencias:

• (b+i)(b’+i’+p’)(p’b+i’)• Simplifique la expresión: b(ip)’• Y hay una sola regla: “Siempre sirve pan y

nunca sirvas helado y pepinillos juntos.”

Problema•En un baile se establecieron las siguientes reglas:a) Si un muchacho baila con una pelirroja u omite

bailar con la chaperona, entonces debe bailar con la cocinera y no debe bailar con una rubia.

b) Un muchacho no debe bailar con la chaperona debe bailar con una rubia si no baila con la cocinera o si no baila con una pelirroja.

c) Un muchacho debe bailar con la chaperona pero no con la cocinera, a menos que baile con una pelirroja y no con una rubia.

Acertijos1. En una prisión de la que debemos salir, existen dos

puertas. Una lleva a la salida. La otra, a la muerte segura. Cada puerta está custodiada por un guardián. Sabemos que uno de ellos dice siempre la verdad y que el otro miente siempre, pero no sabemos cuál es cada uno. La cuestión es: si pudieras hacer sólo una pregunta a uno de los dos, ¿qué pregunta le harías para saber qué puerta es la buena?

La pregunta que le haría es: "¿Cuál es la puerta que diría tu compañero que es la correcta?". En todo caso, la respuesta será la falsa.

•pq+p’q’

Acertijos…1. Tenemos 4 cofres y dentro de uno hay un tesoro. Cada

cofre contiene una inscripción y sabemos que 2 dicen la verdad y 2 mienten. ¿Dónde está el tesoro?

Cofre 1: El tesoro no está aquí.Cofre 2: El cofre 1 dice la verdad.Cofre 3: El tesoro no está en el cofre 2.Cofre 4: El cofre 3 está vacío

Para que se cumpla que dos digan la verdad y dos mientan, el tesoro debe estar en el cofre 1