Hiprbola

MATEMTICA BSICA CNICAS

ELIPSE

Es la cnica que se obtiene cuando el plano secante es oblicuo al eje del cono, corta a todas las generatrices y no pasa por el vrtice.

Definicin.

Una elipse E es el conjunto de puntos P(x; y) del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos.

Sea F1 y F2 dos puntos del plano y sea d una constante mayor que la distancia F1 F2. Un punto Q pertenece a la elipse de focos F1 y F2 si: F1 Q + F2 Q = d = 2a, donde a es el semieje mayor de la elipse.

Es decir,

La grfica de una elipse cuyos focos estn en el eje de abscisas sera la siguiente:

Elementos de la elipse

Los principales elementos de la elipse son:Focos: Puntos fijos y

Eje focal: recta que pasa por los focos.

Vrtices: QUOTE

y , puntos de interseccin de la elipse con su eje focal.

Eje mayor:

, segmento que une los vrtices. Su longitud es 2a.

Centro: C punto medio del eje mayor o punto medio del segmento

.

Eje menor: segmento que une los dos puntos determinado al cortar el eje normal a

la elipse, Su longitud es 2b, donde

Distancia focal:

Lado recto: segmento con extremos en la elipse y que es perpendicular al eje focal.

Cuerda: segmento que une dos puntos arbitrarios de la elipse.

Dimetro: cuerda que pasa por el centro de la elipse.

Excentricidad:

Notemos que al estar situados los focos en el eje mayor entre el centro y los vrtices, siempre se tiene que:

Propiedad

En cualquier elipse siempre se verifica que:

PropiedadLa longitud del lado recto de una elipse es:

Ecuacin de la elipse cuyo eje focal es paralelo a un eje coordenado

a) Elipse con eje focal horizontal

Aplicando la definicin de elipse al caso en el que los focos son

QUOTE

y

Su ecuacin es:

b) Elipse con eje focal vertical

Aplicando la definicin de elipse al caso en el que los focos son

QUOTE

y

Su ecuacin es:

Ecuaciones Cannicas de la ElipseResultan cuando el centro de la hiprbola (E) coincide con el origen de coordenadas

C(0, 0) y el eje focal es uno de los ejes coordenados.

Problema 1Se sabe que los focos de una elipse se encuentran sobre la recta y el los puntos es uno de los extremos de su eje menor. Si adems se sabe que el valor de excentricidad de la elipse coincide con la longitud del lado recto de la parbola, P: : hallar la ecuacin de la elipse.

Problema 2

Una partcula gira siguiendo una rbita elptica. Desde lo puntos A y B separados 6 cm. y ubicados en los focos de su rbita, se logra divisar en un instante dado a la partcula a una distancia de 5 cm. del punto A y a una distancia de 3 cm. del punto B. Determinar la distancia mxima y mnima a la que se encuentra la partcula del punto B.

Problema 3

La recta contiene a un foco y a un extremo del eje menor de una elipse E. Se sabe adems que el centro de E pertenece a la recta y su distancia al origen es igual a su distancia a la recta . Si el eje focal de E es paralelo al eje de ordenadas, halle la ecuacin de la elipse E, indicando sus vrtices, focos y centro.Problema 4

Se tiene una elipse E en la que los puntos y son los extremos de uno de sus lados rectos y su centro pertenece a la recta . Halle la ecuacin de E.

Problema 5Dadas las siguientes cnicas:

Circunferencia C:

Parbola P: con foco (0, 4) y eje focal paralelo al eje X Elipse E tangente a P en su vrtice, inscrita a C(con eje mayor un dimetro de C) tangente a la directriz de PHalle la ecuacin de la elipse P y la parbola P.

HIPRBOLAEs la cnica no degenerada que se obtiene cuando el plano es paralelo al eje del cono y no pasa por el vrtice.

Definicin.

Una hiprbola (H) es el lugar geomtrico de un punto P(x, y) que se mueve en el plano cartesiano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano cartesiano (denominados focos F1 y F2), es siempre igual a una cantidad constante positiva (2a) y es menor que la distancia entre los focos.

Elementos de una hiprbolaLos principales elementos de la hiprbola son: Focos: Puntos fijos y .

Eje focal: Recta que pasa por los focos. Vrtices y : son puntos de interseccin de la hiprbola con su eje focal. Eje transverso : segmento que une los vrtices. Su longitud es 2a.

Centro C: punto medio del eje transverso o punto medio del segmento

Eje normal: la recta que pasa por el centro y es perpendicular al eje focal. Eje conjugado : segmento del eje normal cuyo punto medio es C. Su longitud es 2b.

Distancia focal: = 2c.

Cuerda: segmento que une dos puntos arbitrarios de la hiprbola. Cuerda focal: cualquier cuerda que pasa por el foco. Segmento que une dos puntos arbitrarios de la hiprbola. Lado recto o cuerda normal: cuerda focal perpendicular al eje focal. Excentricidad de una hiprbola: dada por el cociente

Observemos que al estar situados los vrtices en el eje mayor entre el centro y los focos, siempre se tiene que:

es decir, las hiprbolas tienen una excentricidad mayor a uno.

Propiedad

En cualquier hiprbola se verifica que:

PropiedadLa longitud del lado recto de una hiprbola es:

Ecuacin de la hiprbola cuyo eje focal es paralelo a un eje coordenado

a) Hiprbola con eje focal horizontal

Su grfica es:

Elementos de la hiprbola:

b) Hiprbola con eje focal vertical

Elementos de la hiprbola

Ecuaciones Cannicas de la Hiprbola

Resultan cuando el centro de la hiprbola (H) coincide con el origen de coordenadas

C(0, 0) y el eje focal es uno de los ejes coordenados.

Hiprbolas conjugadasSi el eje transverso de una hiprbola es igual al eje conjugado de otra hiprbola, entonces ambas hiprbolas se llaman conjugadas. En este caso cada hiprbola es la hiprbola conjugada de la otra.

En el caso particular en el que una de las hiprbolas tenga ecuacin:

se cumplir que la ecuacin de su hiprbola conjugada ser:

Ejemplo 1

Halle la ecuacin cannica de una hiprbola si el eje normal es perpendicular al eje de las abscisas, la longitud del eje transverso es 8 y los focos estn a 20 unidades del centro. Adems determinar sus elementos restantes.

Ejemplo 2

Los focos de una hiprbola H son los extremos del lado recto de la parbola de ecuacin . Si una de las asntotas de H es paralela a la recta.a) Determinar las ecuaciones de H y de su hiprbola conjugada.

b) Graficar las dos cnicas en el mismo plano.

Ejemplo 3

Uno de los vrtices de la hiprbola H se encuentra sobre la recta . Si los vrtices del eje menor de la elipse son los focos de la hiprbola.

a) Determine la ecuacin de H.

b) Halle las ecuaciones de la asntotas y la longitud del lado recto de Hc) Grafique H y sus asntotas.

Ejemplo 4

La recta contiene a un foco y a un extremo del eje menor de una elipse E. Se sabe adems que el centro de E pertenece a la recta y su distancia al origen es igual a su distancia a la recta . Si el focal de E es paralelo al eje Y.

a) Halle la ecuacin de la elipse E, indicando sus vrtices, focos y centro.

b) Halle la ecuacin de la hiprbola H cuyos focos son los focos de la elipse y uno de sus vrtices esta en el eje X.

Ejemplo 5

En una hiprbola H su eje transverso es paralelo al eje X, y la recta es perpendicular a una de sus asntotas y pasa por uno de sus focos. El centro de H dista 4 unidades de la recta L, pertenece a la recta y su ordenada es menor que 3.

a) Halle la ecuacin de H y la de sus asntotas.

b) En un mismo sistema de coordenadas grafique H y sus asntotas indicando las coordenadas de sus focos.

Ejemplo 6La hiprbola tiene centro C(-2, 3) uno de sus vrtices se encuentra ubicado en el punto A(-2, 6). La parbola P tiene directriz y vrtice . Si el foco de la parbola coincide con el foco de ordenada negativa de la hiprbola H, halle la ecuacin de H.

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