Clase del día jueves 10 de septiembre Curso: 5to. Sec ... · HIPÉRBOLA DEFINICIÓN DE HIPÉRBOLA Una hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos P del plano, tales que

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Hipérbola utor : Dr. José Manuel Becerra Espi nosa

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Clase del día jueves 10 de septiembre

Curso: 5to. Sec.

Profesor: Enzo Salvetti

HIPÉRBOLA

DEFINICIÓN DE HIPÉRBOLA

Una hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos P del plano, tales que la diferencia de sus

distancias a dos puntos fijos en el plano es constante. Los puntos fijos

Gráficamente esto es:

F1 y F2 se llaman focos.

y

B1 P

d1 d2

F2 V2 V1 F1 x

B2

d1-d2= constante

Con relación a la figura, el segmento de recta V2V1 que pasa por los focos es el eje real. La mediatriz B2 B1

del eje real es el eje imaginario. Cada extremo del eje real V1 y V2 se llama vértice. El punto medio del

segmento

F2 F1 se llama centro de la hipérbola. La distancia del centro a cada vértice se llama semieje real y

la distancia del centro a cada extremo del eje imaginario se conoce como semieje imaginario1.


2

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA HORIZONTAL CON CENTRO EN EL ORIGEN

A partir de la definición de la hipérbola y de la expresión para calcular la distancia entre dos puntos, se puede deducir la ecuación de una hipérbola en un sistema de coordenadas rectangulares.

1 Algunos textos, definen al eje real como eje transverso y al eje imaginario como eje conjugado.


3

x c2 y 2

Si los vértices se ubican en las coordenadas V1 a,0 y V2 a,0, los focos están en F1 c,0 y

F2 c,0, el eje real de la hipérbola es coincidente al eje x , y si su centro se ubica en el origen, tiene

la siguiente forma:

Si el punto P está en cualquiera de los vértices, la diferencia de distancias d1 d 2

da como resultado

a c c a , por lo que la suma constante se establece en 2a, a 0 .

El punto P x, y pertenecerá a la hipérbola si y sólo si: d1 d2 2a ,

por lo tanto:

que equivale a:

2a

2a

elevando ambos miembros al cuadrado: 2 2

desarrollando:

2a

x c2 y2 4a2 4a x c2

y2 x c2 y2

x 2 2xc c2 y 2 4a 2 4a

eliminando términos iguales:

x c2 y 2 x 2 2xc c 2 y 2

P

B1(0,b) d1

d2

F2(-c,0) V2(-a,0) V1(a,0) F1(c,0)

B2(0,-b)

x c2 y 02

x c2 y 02

x c2 y 2 x c2

y 2

x c2 y 2


4

x c2 y 2

x c2 y 2

2xc 4a 2 4a

que equivale a:

4a

4xc 4a 2

2xc

dividiendo todo por 4 :

a xc a 2

elevando nuevamente al cuadrado ambos miembros: 2 2 2

a

xc a

a2 x c2 y 2 xc a2 2

a2 x2 2xc c2 y 2 xc a2 2

a2 x2 2a2 xc a2c2 a2 y2 x2c2 2a2 xc a4

reduciendo términos semejantes:

a 2 x2 a 2c2 a 2 y 2 x2c2 a 4

invirtiendo nuevamente los miembros:

x2c2 a 4 a2 x2 a2c2 a 2 y 2

acomodando convenientemente:

x2c2 x2a 2 a 2 y 2 a 2c2 a 4

factorizando x 2 en el primer miembro y a 2 en el segundo miembro:

x2 c2 a 2 a 2 y 2 a 2 c2 a 2 si se denota como b2

x2b2 a2 y 2 a2b2

a la expresión c2 b2 , y se sustituye se tiene que:

dividiendo por a2b2 toda la expresión:

x2b2

a 2 y 2

a 2b2

a 2b2 a 2b2 a 2b2

finalmente queda como:

x 2

y 2

1 a2 b2

ecuación conocida como ecuación ordinaria o canónica de la hipérbola horizontal con centro en el origen,

de semieje real a y de semieje imaginario b .

Una de las asíntotas pasa por el origen y el punto a,b , por lo que su ecuación está dada por: y 0

0 b

b

. La otra asíntota pasa por el origen y el punto a,b , por lo que su ecuación está

x 0 0 a a dada por: y 0

0 b

b . Esto significa que las ecuaciones de las asíntotas para este caso son:

y b

x . a

x 0 0 a a

x c2 y 2

x c2 y 2


5

b

c, b

2

a a

a a

LONGITUD DE LOS LADOS RECTOS DE UNA HIPÉRBOLA HORIZONTAL

Para cualquier hipérbola, los segmentos perpendiculares al eje real que pasan por sus focos y que

incluyen a los extremos de la curva se denominan lados rectos LR . Gráficamente es:

LR

Para encontrar las coordenadas de los extremos del lado recto, que pasa por el foco

por c en la ecuación despejada para y :

F1 , se sustituye x

y b

a

c2 a2

pero como b2 c2 a2 , se tiene:

y b

a b2

b b

b

a a

por lo cual, las coordenadas de los extremos P1 y P2 del lado recto asociado a F1 son:

P1 c,

2 2 y P2 c,

Similarmente, para encontrar las coordenadas de los extremos del lado recto que pasa por el foco F2 , el

procedimiento es idéntico al tomar en cuenta que los puntos P3 y P4 son simétricos a los puntos P1 y

P2 con respecto al eje x , con lo que se tienen la mismas ordenadas respectivas, por lo que las

coordenadas de los extremos P3 y P4 del lado recto asociado a F2 son:

P3

2 2 y P4 c,

P3 P1

V2 V1

P4 P2

b

b


6

a 2 b 2

La longitud, medida en unidades lineales u , de cada lado recto viene dado por la diferencia de sus

ordenadas. Por lo tanto:

LR 2b 2

a

EXCENTRICIDAD DE UNA HIPÉRBOLA

Para cualquier hipérbola, a la relación que existe entre c y a , se le conoce como su excentricidad y se

denota con la letra e :

e c

a

Como el valor de c (foco) es más grande que el a (vértice), siempre se cumple que

e 1 .

Ejemplos. Calcular las longitudes de los semiejes real e imaginario, las coordenadas de los vértices, focos, la longitud del lado recto, la excentricidad y las ecuaciones de las asíntotas de las siguientes hipérbolas:

x 2

y 2

1) 25 9

1

Solución.

El eje real es x . a 2 25 , b 2 9 a 5, b 3

los vértices se encuentran en: V1 5,0 y

los extremos del eje imaginario están en:

obteniendo c :

V2 5,0

B1 0,3 y B2 0, 3

c

los focos se ubican en: F1 34 ,0 y F2 34 ,0e

34 1 232

29

18

La excentricidad es: 5

. El lado recto es: u. 5 5 5

las ecuaciones de las asíntotas son:

2) 8x 2 12 y 2 96

Solución.

Dividiendo todo por 96 :

y 3

x , es decir:

5 y

3 x y

5 y

3 x

5

x 2

y 2

12 8

De la ecuación se deduce que: a

obteniendo c : y b . 12

LR

1


7

2

12

c 2 a 2 10 2 82

c

los vértices se ubican en V1 12 ,0 y V2 12 ,0

los extremos del eje imaginario están en: B1 0, 8 y B2 0, 8

los focos se encuentran en: F1 20 ,0 y F2 20 ,0 20 2 5 5 28 16

la excentricidad es: e 1 . El lado recto es: LR u.

12 2 3 3 12 12

las ecuaciones de las asíntotas son: y

8 x , es decir: y

2

3 x y

y 2

x 3

Ejemplo.

Si se sabe que se tiene un foco en V1 10,0hipérbola.

y un vértice en F2 8,0 , obtener las características de la

Solución.

Por simetría se deduce que el otro vértice está en V2 10,0 y el otro foco en:

obteniendo b :

F1 8,0

b b

x 2

y 2

6

la ecuación buscada es: 64 36

1 10 5 262

236 72

la excentricidad es: e 8 1 . El lado recto es:

4 LR

8 9 u.

8 8

las ecuaciones de las asíntotas son: y

6 x , es decir:

8 y

3 x

4

y y 3

x

4

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA VERTICAL CON CENTRO EN EL ORIGEN

El procedimiento para obtener la ecuación de la hipérbola vertical es muy similar al que se hizo con la hipérbola horizontal.

En este caso, los vértices y focos están sobre el eje y en las coordenadas V1 0,a, V2 0, a,

F1 0,c y F2 0, c, respectivamente, y aplicando la expresión de distancia entre dos puntos se tiene

que:

que equivale a:

2a

2a

después de desarrollar, eliminar radicales y simplificar, se llega a:

x 02 y c2

x 02 y c2

x2 ( y c )2 x2 y c2


8

y 2

x2

1 a 2 b2

ecuación conocida como ecuación ordinaria o canónica de la hipérbola vertical con centro en el origen, de

semieje real a y de semieje imaginario b . La hipérbola en este caso tendría la siguiente forma:

Una de las asíntotas pasa por el origen y el punto b,a , por lo que su ecuación está dada por: y 0

0 a

a

. La otra asíntota pasa por el origen y el punto b,a, por lo que su ecuación está

x 0 0 b b dada por: y 0

0 a

a . Esto significa que las ecuaciones de las asíntotas para este caso son:

y a

x . b

x 0 0 b b

LONGITUD DE LOS LADOS RECTOS DE UNA HIPÉRBOLA VERTICAL

Para encontrar las coordenadas de los extremos del lado recto de una hipérbola vertical, que pasa por el

foco F1 , se sustituye el valor de y por c en la ecuación despejada para x :

x b

a

c 2 a2

pero como b2 c2 a2 , se tiene:

P(x,y)

d2

F1(0,c)

V1(0,a)

B2(-b,0) B1(b,0)

V2(0,-a)

d1

F2(0,-c)


9

2

a

a a

x b

a b2

b b

b

a a

por lo cual, las coordenadas de los extremos P1 y P2 del lado recto asociado a F1 son:

b2 b2 P1 ,c y P2

,c

a

Similarmente, para encontrar las coordenadas de los extremos del lado recto que pasa por el foco F2 , el

procedimiento es idéntico al tomar en cuenta que los puntos P3 y P4 son simétricos a los puntos P1 y

P2 con respecto al eje y , con lo que se tienen la mismas ordenadas respectivas, por lo que las

coordenadas de los extremos P3 y P4 del lado recto asociado a F2 son:

b 2 b 2 P1 ,c y P2 ,c

LR

La longitud, medida en unidades lineales u , de cada lado recto viene dado por la diferencia de sus

abscisas. Por lo tanto:

LR 2b 2

a .

Ejemplos. y 2

x2

1) Obtener todas las características de la hipérbola de ecuación: 9 16

1

LR

P3

F1(0,c) P1

V1

V2

P4 P2

F2(0,-c)


10

16

32 42

41 41

2

41

Solución.

De la ecuación se deduce que: a

obteniendo c :

3 y b 4

c 5

los vértices se ubican en V1 0,3 y V2 0, 3los extremos del eje imaginario están en: B1 4,0 y B2 4,0

los focos se encuentran en: F1 0,5 y F2 0, 5

la excentricidad es: e 5 1

3

. El lado recto es: LR

242

3

216

3

32 u.

3

las ecuaciones de las asíntotas son:

y 3

x , es decir:

4 y

3 x y

4 y

3 x

4

2) Obtener todas las características de la hipérbola con focos en F 0, 6

y que tiene asíntotas de

ecuaciones:

Solución.

y 4

x . 5

De los datos se deduce que: c 6 y que el eje real es y

De las ecuaciones de las asíntotas se despeja a :

y a

x a

4 a

4 b

b b 5 5 pero también se sabe que:

c

4 30 24 a 5 41

por lo tanto, la ecuación buscada es:

y 2

x 2

41y 2

41x2

24 2

1 30

2

576

24

1 900

e 6

6 41

41 1

los vértices están en V 0, , la excentricidad es: 41

24 24 4

30

2

900

1800

la longitud del lado recto es: LR

2

41 41

75 u.

24 24 24

41

41 41 41

9

41

a2 b2 6 4 2

2

b b 16 b2 b2 41 b2 6 b 6 3 0

5 25 25 41 41 25


10

ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA HORIZONTAL CUANDO SU CENTRO ES CUALQUIER PUNTO DEL PLANO

Si el centro de la hipérbola horizontal es el punto

x' y' , su ecuación ordinaria viene dada por:

C h,k , que es el origen del sistema coordenado

x2

a 2 y2

b2

pero teniendo en cuenta las fórmulas de traslación:

x' x h y y' y k

y sustituyendo en la ecuación anterior se tiene que:

x h2

a 2 y k 2

b2

que es la ecuación ordinaria de la hipérbola horizontal con centro en

semieje imaginario b .

La siguiente figura muestra este caso:

C h,k , de semieje real a y de

y y’

V2(h-a,k) k

V1(h+a,k)

F2(h-c,k) C(h,k)

F1(h+c,k) x’

h x

1

1


11

a 2 b 2

a

De la figura se puede apreciar que los vértices están en: V1 h a,k y V2 h a,k , los extremos del eje

imaginario están en: B1 h,k b y B2 h,k b, por su parte, los focos se ubican en F1 h c,k y 2b 2

F2 h c,k . La longitud del lado recto sigue siendo LR , los extremos de los lados rectos son: a

h c, k 2 y las ecuaciones de las asíntotas son:

y k b x h .

Ejemplo.

Encontrar todos los elementos de la hipérbola cuya ecuación es:

x 12

9 y 52

36

Solución. De la ecuación se aprecia que h 1 y k 5

por lo tanto, el centro se ubica en C 1,5 . Por otra parte, se tiene:

a 2 9, b 2 36 a 3, b 6

los vértices están en: V 1 3,5 que equivale a:

V1 2,5 y V2 4,5obteniendo c :

c 3 5

los focos se ubican en: F 1 3 5 ,5 que equivale a:

F1 1 3 5 ,5 y F2 1 3 5 ,5

la excentricidad es: e

3 5

2 1 .

el lado recto es: LR

262

3

236 3

24 u.

las ecuaciones de las asíntotas son: y 5

6 x 1 , que equivale a:

3 y 5 2x 1

desarrollando y reduciendo se obtienen las rectas: 2x y 7 0 y 2x y 3 0 .

ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA VERTICAL CUANDO SU CENTRO ES CUALQUIER PUNTO DEL PLANO

Si el centro de la hipérbola vertical es el punto C h,k , que es el origen del sistema coordenado

su ecuación ordinaria viene dada por:

x' y' ,

y' 2

a 2 x' 2

b2

5

b

a

1

1


12

b

pero teniendo en cuenta las fórmulas de traslación:

x' x h y y' y k

y sustituyendo en la ecuación anterior se tiene que:

y k 2

a 2 x h2

b2

que es la ecuación ordinaria de la hipérbola vertical con centro en

semieje imaginario b . La siguiente figura muestra este caso:

C h,k , de semieje real a y de

De la figura se puede apreciar que los vértices están en: V1 h,k a y V2 h,k a y los focos se ubican 2b 2

en F1 h,k c y F2 h,k c . La longitud del lado recto sigue siendo LR , los extremos de los a

2

lados rectos son: h

a

, k c y las ecuaciones de las asíntotas son:

y k a x h .

b

Ejemplo.

Encontrar la ecuación de la hipérbola y sus características si tiene vértices en V1 5,1 y V2 5,7 y cuya

longitud de sus lados rectos es

8 u.

3

y’

F1(h,k+c)

V1(h,k+a)

k C(h,k)

x’

V2(h,k-a)

F2(h,k-c)

h

1


13

a 2 b 2 32 22

Solución. Como las abscisas de los vértices no cambian, se trata de una hipérbola vertical.

el centro se ubica en C 5,

1 7 C 5,4, esto es, h 5 y k 4

2

así que el semieje real es: a 7 4 3

despejando b de la expresión del lado recto:

LR 8

3

2b2

8

3 3 b2

38 4

23 b 2

así que la ecuación buscada es:

y 42

x 52

y 42

x 52

1 1 32 22 9 4

obteniendo c :

c

los focos se ubican en: F 5,4 13 que equivale a: F1 5,4 13 y F2 5,4 13


3 x 5 , que equivale a: 2

2y 4 3x 5

desarrollando y reduciendo se obtienen las rectas: 3x 2 y 7 0 y 3x 2 y 23 0 .

ECUACIÓN GENERAL DE LA HIPÉRBOLA HORIZONTAL

Sea la ecuación ordinaria trasladada de la hipérbola horizontal:

x h2

a 2 y k 2

b2

desarrollando se tiene:

x 2 2xh h2

y 2 2 yk k 2

a2

multiplicando por

1 b2

a2b2 :

a2b2 x2 2xh h2

a2b2 y 2 2 yk k 2 a

2b

2 1 a 2 b2

b2 x2 2xh h2 a 2 y 2 2 yk k 2 a 2b2

b2 x2 2b2 xh b2h2 a2 y2 2a2 yk a2k 2 a2b2

acomodando:

b 2 x 2 a 2 y 2 2b 2hx 2a 2ky b2h 2 a 2k 2 a 2b 2 0

realizando los siguientes cambios de variable:

A b 2 , C a 2 , D 2b2h, E 2a 2k , F b 2h 2 a 2k 2 a 2b2

la expresión queda como:

Ax 2 Cy 2 Dx Ey F 0

1


14

62 52 36 25 61

que es la ecuación general de la hipérbola horizontal. Nótese como A C , tanto en signo como en magnitud.

Ejemplo. Obtener la ecuación general de la hipérbola horizontal y sus características si el semieje real igual a seis,

el semieje imaginario es cinco y su centro está en C 3, 4 .

Solución.

a 6, b 5

los vértices están en: V 3 6,4

obteniendo c :

V1 9, 4, V2 3, 4

c c

los focos se ubican en: F 3 61, 4 F1 3 61, 4, F2 3

252

61, 4225 50 25

la excentricidad es: e 6

1 , la longitud del lado recto es: LR 6

6 6 3

u. .

Las ecuaciones de las asíntotas son: y 4 5 x 3 , que equivale a: 6y 4 5x 3

6

desarrollando y reduciendo se obtienen las rectas: 5x 6y 39 0 La ecuación ordinaria trasladada queda:

y 5x 6 y 9 0 .

x 32

y 42

x 32

y 42

1 62 52

1 36 25

multiplicando por 900 : 25x 32 36y 42

900 desarrollando:

25x 2 6x 9 36y 2 8 y 16 900 25x 2 150x 225 36 y 2 288 y 576 900

acomodando se llega a la ecuación general pedida:

25 x 2 36 y 2 150 x 288 y 1251 0

ECUACIÓN GENERAL DE LA HIPÉRBOLA VERTICAL

Sea la ecuación ordinaria trasladada de la hipérbola vertical:

y k 2

a 2 x h2

b2

desarrollando se tiene:

y 2 2 yk k 2

x2 2xh h2

a2

multiplicando por

1 b2

a 2b2 :

a2b2 y 2 2 yk k 2

a2b2 x2 2xh h2 a

2b

2 1 a2 b2

b 2 y 2 2 yk k 2 a 2 x 2 2xh h 2 a 2b2

b2 y 2 2b2 yk b2k 2 a 2 x2 2a2 xh a2h2 a2b2

acomodando:

a 2 x2 b2 y 2 2a 2hx 2b2ky a 2h2 b2k 2 a 2b2 0

61

1

15


c2 a 2 32 22

1

realizando los siguientes cambios de variable:

A a2 , C b2 , D 2a2h, E 2b2k , F a 2h2 b2k 2 a 2b2

la expresión queda como:

Ax 2 Cy 2 Dx Ey F 0

que es la ecuación general de la hipérbola vertical. Adviértase que en este caso el signo negativo lo lleva

la variable x .

Ejemplo.

Obtener la ecuación general de la hipérbola con focos en

. Solución.

F1 1,6 y F2 1,0 y con excentricidad e

3

2

Al no cambiar las abscisas de los focos, se trata de una hipérbola vertical con centro en

C 1,

6 0 C 1,3, esto es, h 1 y k 3

2

obteniendo c : c 6 3 3 despejando a de la excentricidad:

e c

3 2c 3a a

2c

23 2

a 2 3 3

obteniendo b :

b

así que la ecuación buscada es:

y 32

x 12

y 32

x 12

22 5 2 4 5

multiplicando por 20 :

20y 32

20x 12

20

5y

32

4x

12

20 4 5

5y 2 6 y 9 4x2 2x 1 20 5 y 2 30 y 45 4x2 8x 4 20

acomodando se llega a la ecuación general pedida:

4x 2 5 y 2 8x 30 y 21 0

CARACTERÍSTICAS DE LA HIPÉRBOLA A PARTIR DE SU ECUACIÓN GENERAL

Para transformar la ecuación general de la hipérbola horizontal: Ax 2 Cy 2 Dx Ey F 0 a su

x h2

y k 2

ecuación ordinaria: a

1 , o para pasar de la ecuación general de la hipérbola vertical: b2

2 2 y k 2

x h2

Ax Cy Dx Ey F 0 a su respectiva ecuación ordinaria: a

1, se puede b2

lograr realizando los siguientes pasos:

1

2

2

16


a 2 b2 7 5 12

1. Se reordenan los términos en x y en y

2. Se extrae como factor común al coeficiente de la variable elevada al cuadrado 3. Se completan los cuadrados perfectos(TCP) 4. Se factoriza 5. Se divide entre el término independiente.

Ejemplos. Obtener todas las características de las siguientes hipérbolas:

1) 5x2 7 y2 40x 84 y 207 0

Solución. Siguiendo la metodología sugerida, se tiene:

5x2 40x 7 y 2 84 y 207 0

5x2 8x 7y2 12 y 207 0

5x 2 8x 16 7y 2 12 y 36 207 516 736 0

5x 42 7y 62

207 80 252 35

5x 42

35

7y 62

35

x 42

7 y 62

5

El eje real es x . Se aprecia que h 4, k 6 , por lo que el centro se ubica en: C 4, 6a 2 7 a 7 , b 2 5 b

la ubicación de los vértices es: V1 4

obteniendo c :

7 , 6 y V2 4 7 , 6

c

los focos se ubican en: F1 4 12 , 6 y F2 4 12 , 6 12 10

La excentricidad es: e 1. La longitud del lado recto es: 7

LR u. 7

las ecuaciones de las asíntotas son: y 6 x 4

desarrollando y reduciendo se obtienen las rectas:

5x 7 y 4 6 0 y 5x 7 y 4 6 0

2) 4 x 2 25 y 2 24 x 100 y 36 0

Solución. De acuerdo a la metodología mencionada, se tiene:

4x 2 24x 25 y 2 100 y 36 0

4x 2 6x 25y 2 4 y 36 0

4x 2 6x 9 25y 2 4 y 4 36 49 254 0

1 1

17


25

a 2 b2

a 2 b2 9 4

4x 32 25y 22

36 36 100 100

4x 32

100

25y 22

100

que equivale a:

y 22

4 x 32

25

El eje real es y . Se aprecia que h 3, k 2 , por lo que el centro se ubica en C 3,2

a 2 4 a 2, b 2 25 b 5

la ubicación de los vértices están en: V1 3,4 y V2 3,0obteniendo c :

c 29

los focos se ubican en: F1 3,2 29 y F2 3,2 29 252

la excentricidad es: e 1. La longitud del lado recto es: 2

LR 25 u. 2


2 x 3, es decir: 5y 2 2x 3

5

desarrollando y reduciendo se obtienen las rectas: 2x 5y 16 0 y 2x 5y 4 0 .

3) 4x 2 9 y 2 18 y 45 0

Solución. Conforme a la metodología expuesta, se tiene:

4x2 9 y2 18 y 45 0

4x 2 0x 9y2 2 y 45 0

4x 2 0x 0 9y 2 2 y 1 45 40 91 0

4x 02 9y 12

45 0 9 36

4x 02

36

9y 12

36

x 02

9 y 12

4

El eje real es x . Se aprecia que h 0, k 1 , por lo que el centro se ubica en C 0,1 .

a 2 9 a 3, b2 4 b 2

la ubicación de los vértices es: V1 3, 1 y V2 3, 1obteniendo c :

c 13

los focos se ubican en: F1 13, 1 y F2 13 , 1

La excentricidad es: e 13

1. La longitud del lado recto es: 3

LR 222

3

8 u.

3


2 x 3 , esto es: 3y 1 2x 3

3 desarrollando y reduciendo se obtienen las rectas:

29

1 1

1 1

18


2x 3y 9 0 y 2x 3y 3 0

CASO ESPECIAL O DEGENERADO DE UNA HIPÉRBOLA

Si en el proceso de transformación de la ecuación general a la ecuación ordinaria sucede que el término independiente es cero, el resultado no es una hipérbola sino dos rectas no paralelas que surgen de la factorización de la diferencia de dos cuadrados. Gráficamente esto es:

x

Ejemplos. Obtener todas las características de las siguientes ecuaciones:

1) 9x 2 25 y 2 0

Solución.

Se sabe que a 2 b2 a ba b, por lo tanto si se aplica se tiene que:

3x 5 y3x 5 y 0 , y las rectas que se cruzan son: 3x 5 y 0

2) 4x 2 y 2 24x 4 y 32 0

y 3x 5y 0

Solución.

Acomodando las variables:

4x 2 24 x y 2 4 y 32 0

Ahora, siguiendo el procedimiento planteado:

4 x 2 6x 1 y 2 4 y 32 0

4x 2 6x 9 1y 2 4 y 4 32 4(9) 1(4) 0

4x 32 1y 22

32 36 4

A2x+B2y+C2=0 L1

A1x+B1y+C1=0 L2

19


4x 32 1y 22

0

factorizando: 2x 3 1y 22x 3 1y 2 0 separando las variables se tiene:

2x 3 1y 2 0 2x 6 y 2 0 2x y 4 0

y 2x 3 1y 2 0 2x 6 y 2 0 2x y 8 0

3) 9x 2 16 y 2 96 y 144 0

Solución.

Acomodando las variables:

9x 2 16 y 2 96 y 144 0

Ahora, siguiendo el procedimiento planteado:

9 x 2 0x 16 y 2 6 y 144 0

9x 2 0x 0 16y2 6 y 9 144 9(0) 16(9) 0

9x 02 16y 32

144 144

9x 02 16y 32

0

16y 32 9x 02

0

factorizando: 4y 3 3x 04y 3 3x 0 0 separando las variables. Se tiene:

4y 3 3x 0 0 4 y 12 3x 0 0 3x 4 y 12 0

y 4y 3 3x 0 0 4 y 12 3x 0 0 3x 4 y 12 0.

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Clase del día jueves 10 de septiembre Curso: 5to. Sec ... · HIPÉRBOLA DEFINICIÓN DE HIPÉRBOLA Una hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos P del plano, tales que