Clase Practica1-Generaci Aleatorias

20 de Febrero de 2007 1

Generación de variables aleatorias


ÍNDICE

Definición de simulación.Generación de variables aleatorias:✔ Generación de número aleatorios✔ Método de la función inversa✔ Otros métodos:

✔ Composición✔ Convolución✔ Transformaciones conocidas

✔ Generación de secuenciasComprobación de resultadosBibliografía


DEFINICIÓN DE SIMULACIÓN

SIMULACIÓN: "Experimentar con modelos matemáticos en un computador".Esquema general de la simulación:

En este curso cubriremos los tres aspectosNotar que, al trabajar en computador, siempre trabajaremos con secuencias discretas (muestras, en todo caso, de señales continuas)

Análisis de resultados

Sistema

Generación de señales de entrada

Modelo matemático del sistema

Análisis de resultados

Experimentación/Medida

Simulación


GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS

Muchos modelos de sistemas reales contienen elementos que precisan o admiten un modelado estadístico:✔ Sistemas de comunicaciones: ruido, desvanecimiento, ...✔ Sistemas de conmutación: llegadas de usuarios al sistema,

duración de servicios, ...✔ Sistemas sensores: proceso de detección, proceso de medida, ...✔ ...Modelado toma forma definiendo:✔ Variables aleatorias que rigen ciertos comportamientos del

sistema✔ Procesos estocásticos para modelar variación de entradas en el

tiempo.Se deben definir métodos para generar muestras de variables aleatorias y muestras de procesos estocásticos.


GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS (II)

Esquema general de generación de variables aleatorias y muestras de procesos estocásticos:

{Ui}: Conjunto de números generados en el computador, que siguen una distribución uniforme entre 0 y 1, independientes.{xi}: Conjunto de números que pueden verse como:✔ Muestras de una determinada variable aleatoria✔ Muestras de un proceso estocástico en distintos instantes de

tiempo

Generación de números

pseudoaleatorios

Transformación X=f(U)

{Ui} {xi}


GENERACIÓN DE NUMEROS ALEATORIOS

Números aleatorios: los que generan variables aleatorias con distribución uniforme entre 0 y 1.Importante: Poder reproducir exactamente el mismo experimento:✔ Detectar casos singulares✔ Comparar sistemas similares bajo condiciones idénticas.Objetivo: ✔ U(0,1)✔ Secuencia de números independientes linealmente: Incorrelados✔ Secuencia reproducible a partir de pocos datos✔ Coste computacional reducido


GENERACIÓN DE NUMEROS ALEATORIOS (II)

Existen varias familias de métodos de generación de números aleatorios.Aquí explicaremos el funcionamiento de los más usuales: tipo congruencial lineal.Fórmula:Genera una secuencia de enteros {z

i} como:

zi=(a zi1 + c) mod m✔ m es el módulo✔ a es el multiplicador✔ c es el incremento✔ m>0 , m>a , m>c El número aleatorio entre 0 y 1 se obtiene como:

Ui=z

i/m


GENERACIÓN DE NUMEROS ALEATORIOS (III)

Propiedades:✔ Ecuación recursiva: con un valor inicial (zo) se define la

secuencia completa. A este valor se el denomina semilla aleatoria.

✔ Como máximo se pueden conseguir m números aleatorios distintos.

✔ Tiene comportamiento cíclico. Longitud del ciclo como máximo m, depende de z0.

✔ ¿Que pasa si z0=0? Selección de z0 puede ser importante.✔ No puede salir cualquier número, solo los de la forma z/m.✔ Dependencia fuertemente no lineal Ejemplo: función rand de MATLAB 4:

zi=(77 zi1) mod(2311)


GENERACIÓN DE NUMEROS ALEATORIOS (IV)

Otros métodos, con carácter general, mantienen misma estructura: ✔ Ecuación recursivas, reproducibles a partir de valor inicial

seleccionable. ✔ Dependencias no lineales => lineales implican correlación entre

muestras.✔ Tienen comportamiento cíclico.


GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS

Sabemos generar U(0,1). Aquí generalizaremos para conseguir muestras que:✔ Sigan una distribución deseada (función de distribución FX(x) o

densidad de probabilidad fX(x)). ✔ Sean independientes (linealmente).

Como debe ser f(U) para conseguir la distribución deseada


pseudoaleatorios

Transformación X=f(U)

{Ui} {xi}


MÉTODO DE LA FUNCIÓN INVERSA

Método para funciones continuas:f(U)=FX

1(U)Demostración de su validez:

✔ Definimos Y=f(U) ✔ Queremos calcular FY(y)=P(Y≤y)✔ FX(.) es monótona creciente => P(Y≤y)=P(FX(Y)≤FX(y))✔ FY(y)=P(FX(f(U))≤FX(y))✔ FY(y)=P(FX(FX

1(U))≤FX(y))✔ FY(y)=P(U≤FX(y))✔ Como U es una variable aleatoria uniforme, si 0<p<1

P(U≤p)=p.✔ Por tanto FY(y)=FX(y)


MÉTODO DE LA FUNCIÓN INVERSA (II)

1

0

FX(X)U

fU(U)

fX(X)

X


MÉTODO DE LA FUNCIÓN INVERSA (III)

Generación completa de una muestra de una variable aleatoria: ✔ Se genera un numero aleatorio ui con un generador de números

aleatorios.✔ Se transforma utilizando xi=FX

1(ui) Propiedades del método:

✔ Si podemos asumir que los números aleatorios son independientes, las muestras de las variables aleatorias transformadas también serán independientes

✔ General, vale para cualquier distribución.✔ Problema: Generar FX

1(U)


MÉTODO DE LA FUNCIÓN INVERSA (IV)

Extensión a variables aleatorias discretas: ✔ Solo los puntos xk tienen una cierta probabilidad de aparecer

(p(xk)).✔

Al fin y al cabo, son distribuciones como cualquier otraVeamos gráficamente

FX x =P X≤ x=∑x i≤ x

p x i


MÉTODO DE LA FUNCIÓN INVERSA (V)

1

0

FX(X)U

fU(U)

fX(X)

X


MÉTODO DE LA FUNCIÓN INVERSA (VI)

Lo que cambia es el método de generación:Generación completa de una muestra de una variable aleatoria discreta:

✔ Se genera un numero aleatorio ui con un generador de números aleatorios.

✔ Se transforma seleccionando el menor xk tal que ui<F(xk).Implementación práctica: Ordenar xk, ir recorriendo hasta que se cumpla la anterior condición, devolver xi=xk. Generalización a distribuciones mixtas es inmediata.


EJEMPLOS

Generación de muestras que siguen una distribución exponencial:✔ fX(x)=1/c exp(x/c) para valores positivos de x. ✔ FX(x)=1exp(x/c) ✔ f(u)=FX

1(u)= c ln(1u)✔ MATLAB: >>x=c*log(1rand(1,1));Generación de muestras que siguen una distribución discreta:✔ p(1)=1/3, p(2)=1/2, p(4)=1/6 ✔ MATLAB:

>>u=rand(1,1)>>if(u<1/3) x=1;>>else if(u<5/3) x=2;>>else x=4;


OTROS MÉTODOS

Problema del método anterior es sintetizar FX1(U).

En ocasiones, mas sencillo emplear propiedades de distribuciones. Ejemplos:✔ Composición✔ Convolución✔ Transformaciones conocidas


COMPOSICIÓN

Método típico para generar distribuciones multimodales:fX(X)=p1fX1(X)+p2fX2(X)+p3fX3(X)+ ...+pNfXN(X)

Si una distribución es mezcla estadística de otras, por que no:✔ Generar una variable aleatoria discreta coherente con la

probabilidad de cada modo✔ Seleccionar el modo resultante✔ Generar la variable aleatoria con la distribución asociada al

modo.


COMPOSICIÓN (II)

Ejemplo: distribución de Laplace fX(X)=1/(2c) exp(|x|/c) ✔ Puede verse como composición de dos exponenciales, una

positiva y otra negativa✔ Generando dos números aleatorios u1 y u2 se puede calcular

decidiendo con el primero el signo (equiprobable) y con el segundo el módulo (exponencial).

✔ MATLAB:if rand(1,1)<0.5

x=c*log(1rand(1,1));else

x=c*log(1rand(1,1));


CONVOLUCIÓN

En otras ocasiones, se sabe que una variable aleatoria es resultado de la suma de varias otras variables. Si dos variables aleatorias (X e Y) son independientes, la función densidad de probabilidad se la suma Z=X+Y puede demostrarse (ISA) que es: fZ(z)=fX(z)*fY(z) => de hay el nombre del método.Si sabemos que Z cumple esta propiedad, por que no:✔ Generar muestras (en el ejemplo xi e yi) de las variables

aleatorias originales (X e Y en el ejemplo) utilizando el método que sea preciso.

✔ Sumarlas (en el ejemplo, zi=xi+yi)


CONVOLUCIÓN (II)

Ejemplo 1: mErlang que es la suma de m exponenciales.✔ MATLAB:

x=0;for i=1:m

x=xc/m *log(1rand(1,1));end


CONVOLUCIÓN (III)

Ejemplo 2: Síntesis de gaussianas como suma de uniformes ✔ Teorema de límite central.✔ Sumando suficientes uniformes, tenderemos a una gaussiana.✔ Método clásico usa 12 => resultado: N(6,1)


TRANSFORMACIONES CONOCIDAS

En ocasiones, se conocen relaciones entre variables aleatorias que permiten transformar unas en otras.Ejemplo clásico: Generación de variables aleatorias gaussianas ✔ Propiedad conocida: Si tenemos dos variables aleatorias

gaussianas X e Y (media nula y varianza igual):✔ ¿Cual es la distribución de |X+jY|?✔ ¿La de M=|X+jY|2 ? ✔ ¿Y la de F=arg(X+jY)?✔ ¿Hay dependencia entre M y F?

✔ Generar variables aleatorias exponencial y uniforme no es complicado => ya hemos visto como


TRANSFORMACIONES CONOCIDAS (II)

A partir de dos variables aleatorias, una exponencial (M) y la otra uniforme entre 0 y 1 (F), se pueden generar dos gaussianas independientes utilizando las siguientes transformaciones:

El método completo quedará:✔ Generar dos variables aleatorias uniformes (u1 y u2).✔ Utilizar la siguiente transformación:

Resultado: pareja de dos muestras de una gaussiana (N(0,1))), independientes entre si

X=M cos2FY=M sen 2F

x=−2 lnu1 cos2u2

Y=−2 ln u1 sen 2 u2


TRANSFORMACIONES CONOCIDAS (III)

Ejemplo 2: ¿Como modificar media y varianza de una variable aleatoria?✔ Traslación de la media: Y=X+m => aplicar sobre muestras

generadas de X (comprobar que E{Y}=E{X}+m): yi=xi+m

✔ Modificación de la varianza: Recordar que Y= a X implica que Var(Y)=a2 Var(X). Aplicar de forma equivalente a las muestras generadas de X:

yi=a xi ✔ Traslación de la media y modificación de la varianza conjuntas:

¿Que pasa con media y varianza si Y=a X+m? Pensar antes de ir a la práctica.


GENERACIÓN DE SECUENCIAS

De entre todos los procesos aleatorios, nos vamos a quedar con los estacionarios. Existen métodos para otras familias, pero no son de interés en este curso.OBJETIVO: Generar un proceso estocástico (discreto) con función densidad de probabilidad ( o distribución) y correlación (o espectro) arbitrarias.✔ Problema sin solución general.✔ En general, incluso cuando es posible, sintetizar adecuadamente

el proceso es difícil✔ Vamos a exponer un método de generación lo más genérico

posible


GENERACIÓN DE SECUENCIAS (II)

¿Como generar procesos gaussianos con una cierta correlación?Recordar de ISA:✔ Si tenemos un ruido blanco gaussiano✔ Pasamos por un filtro con respuesta en frecuencia H(f)✔ Espectro del ruido coloreado: |H(f)|2✔ Distribución sigue siendo gaussiana.Este es el fundamento de la generación de secuencias correladas:

SY(f)=|H(f)|2

RY[n]=ℱ1{|H(f)|2}

Generación degaussianas

H(f)x[n] y[n]


GENERACIÓN DE SECUENCIAS (III)

Tratemos de generalizar ahora a otras distribuciones:¿Que pasa si:

?✔ Espectro: |H(f)|2✔ Pero distribución se modifica: cada salida es resultado de sumas

ponderadas de entradas ✔ Efecto sumamente difícil de controlar

Generación devariables aleatorias

H(f)x[n] y[n]


GENERACIÓN DE SECUENCIAS (IV)

Cambiemos ahora el método:¿Que pasa si :

?✔ Z=f(Y): No linealidad sin memoria.✔ Distribución es una gaussiana tras pasar por la transformación

f(Y) => predecible => controlando f(Y) podemos generar la distribución deseada.

✔ Espectro, al pasar por no linealidad, se distorsiona (y por tanto correlación). También es predecible esta distorsión => controlando H(f), para una f(Y) dada, se puede controlar espectro de la salida.

Generación degaussianas

H(f)x[n] y[n] f(Y) z[n]=f(y[n])


GENERACIÓN DE SECUENCIAS (V)

¿Como calcular f(Y)?: Puede hacerse en dos etapas:✔ Convertir gaussiana en uniforme: al igual que FX

1(.) sirve para transformar una uniforme en una distribución, FX(.) sirve para transformar esa distribución en uniforme.

✔ Convertir uniforme en la distribución deseada (método de la función inversa):

✔ f(Y)=FZ1(FY(Y))


GENERACIÓN DE SECUENCIAS (VI)

¿Como calcular H(f)?: ✔ Autocorrelación antes de pasar por no linealidad: R'(n)✔ Función densidad de probabilidad conjunta de dos muestras (u y

v) de la variable aleatoria y[n] separadas n muestras:

✔ Autocorrelación a la salida (z[n]):

✔ A partir de autocorrelación =>|H(f)|2=ℱ{R'[n]}. Usar métodos de diseño de filtros digitales.

g u , v ,R 'n=1

2π1−R 'nexp −

12u2

v2−2R 'n uv

R n =∫−∞

∞

∫−∞

∞

f u ⋅f v ⋅g u , v , R ' n ⋅du⋅dv


GENERACIÓN DE SECUENCIAS (V)

Relación R'(n)=función(R(n)) complicada de resolver en general. En introducción teórica a la práctica se da resuelta para algunos casos de distribuciones.En introducción teórica también se propone un método de síntesis de filtros a partir de R(n) (usando la DFT).


COMPROBACIÓN DE RESULTADOS

En la práctica se van a generar un conjunto de muestras de variables aleatorias y de procesos estocásticos.Hay que validar los resultados.Para ello utilizaremos un conjunto de funciones de MATLAB, aplicándolas sobre los resultados obtenidos para estimar parámetros de las variable aleatorias y procesos estocásticos generados.En prácticas posteriores veremos que es lo que hacen internamente estas funciones.


COMPROBACIÓN DE RESULTADOS (II)

Habrá que utilizar las siguientes funciones de MATLAB:✔ mean: media✔ std: desviación típica (raiz cuadrada de la varianza)✔ xcorr: correlación cruzada (¿como la usaría para calcular

autocorrelación?)✔ psd: densidad espectral de potencia de una señal ✔ hist: Histograma (recordar de LSCM)


RESUMEN


pseudoaleatorios

Transformaciones X=f(U)

{Ui} {xi}Análisis de resultados

Requisitos:DistribuciónEspectro/Autocorrelación

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