Bioestadstica

TABLAS DE CONTIGENCIA DE DOS FORMAS

1

Que se busca ?

Introducir parmetros que describen la asociacin poblacional entre dos variables categricas.

Datos Categoricos:

Consisten en el conteo de frecuencias de ocurrencia de las observaciones categoricas de la variable respuesta.

Para v. categoricas que tienen solamente dos nivels, se estudia los odds ratios , las diferencia de proporciones y la razon de proporciones.

2

TIPOS DE VARIABLES Cualitativas

Si sus valores (modalidades) no se pueden asociar naturalmente a un nmero (no se pueden hacer operaciones algebraicas con ellos)

Nominales: Si sus valores no se pueden ordenar Sexo, Grupo Sanguneo, Religin, Nacionalidad, Fumar (S/No)

Ordinales: Si sus valores se pueden ordenar Mejora a un tratamiento, Grado de satisfaccin, Intensidad del dolor

Cuantitativas o NumricasSi sus valores son numricos (tiene sentido hacer operaciones algebraicas con ellos)

Discretas: Si toma valores enteros Nmero de hijos, Nmero de cigarrillos, Num. de cumpleaos

Continuas: Si entre dos valores, son posibles infinitos valores intermedios. Altura, Presin intraocular, Dosis de medicamento administrado, edad

3

Estructura para las tablasde dos Dimensiones

4

X / Y 1 2 .. j J i+

1 11 12 1j 1J 1+

2 21 22 2j 2J 2+

. .. ..

i i1 i2 ij iJ i+

. ..

.

I I1 I2 Ij IJ I+

+j

+1 +2 +j +J

Estructura para las tablas de dos Dimensiones

Una relacin bivariada es definida por ladistribucin conjunta de dos variablesasociadas.

La distribucin de probabilidad { TT ij } es ladistribucion conjunta de X e Y .

Las distribuciones marginales son las filas ycolumnas de totales obtenidas mediante lasuma de probabilidades conjuntas.

5

Estructura para las tablas de dos Dimensiones

{ TT i+ } denota la distribucin marginalpara la variable fila.

{ TT +j } denota la distribucion marginal parala variable columna.

donde + denota la suma sobre el indice queremplaza, esto es:

6

Estructura para las tablasde dos Dimensiones

Y donde se verifica que:

Las distribuciones marginales soninformaciones de una sola variable , yno intervienen la asociacin entre lasvariables.

7

Estructura para las tablasde dos Dimensiones

En una Tabla de Contingencia ( Person 1904) otabla de clasificacin cruzada, una variable (Y) es una variable respuesta y otra ( X) es unavariable explicativa.

Cuando X es fijo en vez de aleatorio ,la nocinde distribucin conjunta para X e Y no essignificativa.

Pero para niveles fijos de X e Y tiene unadistribucin de probabilidad.

8

Estructura para las tablasde dos Dimensiones

Pero para niveles fijos de X e Y tiene una distribucin de probabilidad.

Ya que TT j/I denota la probabilidad de clasificacionen la columna j de Y , j= 1,2J

Y donde:

Luego: las propabilidades { } forma la distribucin condicional de Y en el nivel de i de X

9

Estructura para las tablas de dos Dimensiones

Entonces : un objetivo principal en muchosestudios es comparar la distribucincondicional de Y en varios niveles de lasvariables explicativas .

En otras palabras es usar la funcin deDistribucin condicional ( que es la sumade probabilidad de clasificacin en una de lasprimeras j columna, dado que esta en la fila i.

10

INDEPENDENCIA EN Tablas de dos Dimensiones

Si ambas variables son variablesrespuestas, se puede describir la asociacinusando su distribucin conjunta,Distribucin condicional de X dada la variableY, o la distribucin condicional de Y dada Xdada:

11

INDEPENDENCIA EN Tablas de dos Dimensiones

Las variables son estocsticamenteindependientes si todas las probabilidadesconjuntas es igual al producto de susprobabilidades marginales, esto es:

12

INDEPENDENCIA EN Tablas de dos Dimensiones

Cuando X e Y son independientes se

Cada distribucin condicional de Y es idntica ala distribucin marginal de Y.

Luego dos variables son independientes cuandola probabilidad de respuesta columna j es lamisma en cada fila , para j= 1,2 J.

13

INDEPENDENCIA EN Tablas de dos Dimensiones

Cuando Y es una respuesta e X una variable explicativa, la distribucin condicional esta expresada por :

queda una definicin mas natural de independencia.

14

X / Y 1 2

1 111/1

121/2

1+1

2 121/2

222/2

2+1

Total +1 +2

Formas de Comparar proporciones

Las variables de respuesta con dos categoras sondenominadas binarias.

Frecuentemente se comparan varios grupos en unarespuesta binaria Y

15

vacuna cura No cura

A A11 A12

B A21 A22

C A31 A23

D A41 A24

Diferencias de proporciones

Para sujetos en la fila i i= 1,2,..del grupoI, 1/i es la probabilidad respuesta (1). Y ( 1/i ,2/i ) = ( 1/i , 1 - 1/i ) es la distribucincondicional de la respuesta binaria.

Para comparar dos filas : h e i , usando la diferencia de proporciones seria:

( 1/h _ 1/i ) (2) , la respuesta en esta comparacin es equivalente a la comparacin en (1):

( 2/h - 2/i ) = ( 1 - 1/h ) - ( 1 _ 1/i ) = 1/i _ 1/h (*)

16

X / Y 1 2

1 111/1

121/2

1+1

2 212/1

222/2

2+1

Total +1 +2

Esta diferencia cae entre -1 a +1. Es igual a cero cuando las filas h e i tienen distribuciones

condicionales idnticas.

Diferencias de proporciones

Luego la v. respuesta Y es estadsticamente independiente de la clasificacin de la fila i, cuando se cumple que : 1/h - 1/i = 0 , para todo par de filas

h e i.

Para tablas de contingencia I x J se puede comparar las probabilides condicionales de la respuesta j para las filas h e i , usando la diferencia j/h - j /i

17

Diferencias de proporciones

Cuando ambas variables son variables respuestas y existe una distribucin conjunta

{TT ij }, la comparasion de proporciones dentro de la filah e I satisface :

1/h - 1/i = h1 / h+ - i1 / i+

Para el caso 2 x2 :

P(col 1 /fila 1 ) - P(col 1 /fila 2 )= 11 / 1+ - 21 / 2+

18

Odds Ratio=

Con respecto a las tablas 2 x 2

Para la fila 1 , el odds que es la respuesta esta en la columna 1 y esta definido por

Para una distribucin conjunta la definicin equivalente es:

i= 1,2

Cada i es no negativo, con valor mayor que 120

2

1

i

i

i

12

11

1

12

1

11

1/2

1/1

1