clase2-ESTADISTICA

7/21/2019 clase2-ESTADISTICA

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERU

FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS

HUANCAYO – 2010 - I

ESTADISTICA APLICADA A LA

INVESTIGACION INGENIERIL (2)

Ing. Ms. Eli Teobaldo Caro Meza

UNIDAD DE POST GRADO



LA MODA (Mo)• De una serie de datos es el valor Mo que se

define como el dato que ocurre con mayorfrecuencia.

• La moda no siempre existe y si existe, no

siempre es única. La moda es el promediomenos importante debido a su ambigüedad.

• MODA EN DATOS NO AGRUPADOS

E!" Determine la moda de los siguientes

datos:

a) #$ %$ #$ &$ #$ '$ #$ $ #

b) *$ $ '$ *$ #$ $ *$ +$

,) $ $ -$ %



SOLUCION

a) Mo !. "sta serie de datos esni"odal

b) #enemos: Mo$ % y Mo& '. "staserie de datos es bi"odal .

c) Mo no existe. #ambi(n se dice que

cada uno de los datos es una moda.



MODA DE DATOS AGRUPADOS POR

INTER/ALOS• ara calcular la Mo de n datos organi*ados

por intervalos se +ace:

$) e determina el intervalo que contiene a la Mo."ste intervalo modal -Li, i/, debe ser el único conla mayor frecuencia, tiene amplitud 0, frecuenciaabsoluta fi y sus frecuencias vecinas antes ydespu(s son fi1$ y fi2$ respectivamente.

&) Luego se aplica la formula:

Donde: Li limite inferior del intervalo modal3

++= A xd d

d

L Mo i

21

1

111 −−= i f f d 12 +−= ii f f d

modalintervalodelAmplitud= A



"4m: "n la siguiente distribuci5n defrecuencias calcule la moda 6Mo):

Ii fi Fi

[26, 34[ 1 1

[34, 42[ 2 3

[42, 50[ 4 7

[50, 58[ 10 17

[58, 66[ 16 33

[66, 74[ 8 41

[74, 82] 4 45

45



SOLUCION

• e observa que la Moϵ-'7, 88- • 0dem9s:

Li 73 d$ $8 $; 3 d& $8 7 73

0 7 • Luego la Mo de la distribuci5n es:

=

++=

++= 886

6

5821

1

x A xd d

d

L Mo i

429,61= Mo



LA MEDIA ARITMETICA( )• "s el valor num(rico que se obtiene dividiendo

la suma total de los valores observados de unavariable entre el numero de observaciones.• CALCULO DE LA MEDIA ARITMETICA

) MEDIA ARITMETICA DE DATOS NO AGRUPADOS La Media aritm(tica de n valores x$,

x&, x%, <, xn de la variable cuantitativa =,observados en una muestra es:

"4emplo: >alcular la media aritm(tica de los &;datos siguientes:&, $, &, ?, $, %, &, %, &, ;, %, &, $, %, &, %, %, &, ?, $

−

X

n

x

x

n

i

i∑=

−

==

1

datosde#

totalSuma



SOLUCION

• 0plicando la formula:

• #enemos:

n

x

x

n

i

i∑=

−

== 1

datosde#

totalSuma

20

44

20

20

1 ==∑=

−i

i x

x

2,2=−

x



-) MEDIA ARITMETICA DE DATOS

AGRUPADOS

a) DATOS AGRUPADOS DE /ARIA0LEDISCRETA i n valores de una variablediscreta = se clasifican en @ valores distintos

x$, x&, <, x@ con frecuencias absolutasrespectivas f$, f&, <,f@, entonces la mediaaritm(tica es:

n

x f x

k

iii

∑=−== 1 *

datosde#

totalSuma



E!e"1lo

>alcule la media aritm(tica de ladistribuci5n de frecuencias siguientes:

N"ero de 2i!os 3i 4. Absol5as

6i

0 1

1 4

2 7

3 6

4 2



SOLUCION• #enemos:

• La media aritm(tica ser9:

N"ero de 2i!os

3i

4. Absol5as

6i 6i73i

0 1 0

1 4 4

2 7 14

3 6 18

4 2 8

TOTAL 20 44

2044

20

*

datosde# totalSuma

5

1 ===

∑=

−

i

ii x f

x

2,2=−

x



b) DATOS AGRUPADOS POR INTER/ALOS

i n valores de una variable cuantitativa =

estan organi*ados en una frecuencia de @intervalos, donde:

"($ "- $ 8$ "9 son las "ar,as de ,lase :

6 ($ 6 - $ 8$ 6 9 son las 6re,en,ias abs. res1.

"ntonces la media aritm(tica es:

n

m f

datosde

total Suma x

k

i

ii∑=−

== 1

*

#



E!e"1lo

>alcule la media aritm(tica de la

distribuci5n de frecuencias por intervalossiguientes:

Ii fi

[26, 34[ 1

[34, 42[ 2

[42, 50[ 4

[50, 58[ 10

[58, 66[ 16[66, 74[ 8

[74, 82] 4

45




• La media aritm(tica ser9:

45

2694

45

*

datosde#

totalSuma

7

1 ===∑=

−i

ii m f

x 867,59=−

x

Ii mi f i f i*mi

[26, 34[ 30 1 30

[34, 42[ 38 2 76

[42, 50[ 46 4 184

[50, 58[ 54 10 540

[58, 66[ 62 16 992

[66, 74[ 70 8 560

[74, 82] 78 4 312

45 2694



. PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMETICA

a) La suma total de !alo"es #u$a media es % esi&ual a %' ( efe#to, a"a datos oa&"uados $ a&"uados "ese#ti!amete, setiee

+) i a la !a"ia+le - se le .a#e la t"asfo"ma#i/lieal a- +, es de#i" si a #ada uo de los !alo"es %i de - es t"asfo"mado e el !alo"

$i a%i + de , siedo a $ + #ostates,eto#es, a media de los !alo"es $i es

∑∑=

−−

=

==k

i

ii

n

i

i xn x f xn x11

;

b xa y +=−−



c) La suma algebraica de las desviaciones de n

datos x i con respecto a su media x es igual acero. e tiene para datos no agrupados yagrupados:

d) La suma de los cuadrados de las desviacionesde n datos con respecto a su media es

minima.

.

∑ ∑=

=

−−

=−=−n

i

k

i

iii x x f x x1

1

0)*;0)

∑=

−

==−n

i

i xcc x1

2 si minima,)



MEDIA PONDERADA

• La media ponderada se obtiene or lasiguiente relaci5n:

"4emplo: n alumno en el semestreanterior +a obtenido $$ en el curso 0 de 'cr(ditos, $% en el curso A de ? cr(ditos, y

$8 en el curso > de % cr(ditos, entoncessu promedio de notas 6ponderado por loscr(ditos) es:

∑

∑

=

=−

=+++

+++=

k

i

i

k

i

ii

k

k k

w

xw

www

xw xw xw x

1

1

21

2211

)*

!!!

)*!!!)*)*



BL>CB:

"E"MLB:Los sueldos del mes de "nero de &;;empleados de una empresa tienen una media

de &%; 6nuevos soles por $;).a) i el 8;F de los empleados son +ombres 6el resto

son mu4eres) y tienen un sueldo promedio de &';,G>u9nto es el sueldo medio de las mu4eres eneneroH

b) i para el mes de 4ulio, se propone un aumentogeneral que consiste de un aumento variable del%;F a cada sueldo de enero mas una bonificaci5nde %;, G>u9nto dinero adicional necesitara laempresa para pagar los sueldos incrementadosH

92,12

12

155

"45

)"*16)4*1")5*11==

++

++=

−

x



RELACION ENTRE MEDIA $ MEDIANA ; MODA

$) i la distribuci5n de los datos es sim(trica,

entonces, la media, la mediana y la modatienen el mismo valor 6fig &.& a). "sto es:

&) i la distribuci5n es asim(trica de cola a laderec+a, entonces, la moda es menor que lamediana y esta a su ve* es menor que lamedia 6fig. &.& b). "s decir:

%) i la distribuci5n es asim(trica e cola a lai*quierda, entonces, la relaci5n es 6fig. &.& c):

Mo Me x ==−

−

<< x Me Mo

Mo Me x <<−





?. ara distribuciones unimodales y de "ar,ada

asi"e5r<a, se tiene la siguientes relaci5nempIrica:

'. Los tres promedios pueden calcularse tambi(n para distribuciones de frecuencias conintervalos de diferente longitud, siempre que

puedan determinarse o las marcas de clase6para la media) o de limite inferior L i delintervalo 6para la mediana y la moda).

)*" Me X Mo X −≅−−−



LA MEDIA GEOMETRICA

• La media geom(trica de n valores positivos x $,

x & , <, x n es:

or e4emplo, la media geom(trica de los valores%, J, &! es igual a:

• La media geom(trica se aplica para promediar: ra*ones 6aKb), Indices 6aKb en F), proporciones-aK6a2b)/, tasa de cambio -6a1b)Kb/, que varIancon el tiempo, etc.

nn x x x x *!!!** 21=

−

927*9*"" ==−

G x



"4emplo $:

i la producci5n de un bien +aexperimentado un crecimiento del %;Fdel primero al segundo ao y unincremento del %'F del segundo al

tercer ao y un decrecimiento del $'Fdel tercer al cuarto ao.

a) >alcule la tasa promedio de cambio y el porcenta4e promedio de crecimiento de la producci5n de los tres últimos aos.

b) >alcule la producci5n del quinto ao, si ladel primer ao fue $;;.



"4emplo &:

upongamos que la poblaci5n de una ciudad

aumento de $;;;; a $&8;; en el periodocomprendido del ao &;;; al ao &;;? como seindica en el cuadro. >alcule la tasa promedio yel porcenta4e promedio del crecimiento de la

poblaci5n.



LA MEDIA ARMONICA

• La media arm5nica de n valores no nulos x $, x & ,

<, x n es un numero real, dado por:

or e4emplo la media arm5nica de 8, ?, y % es ?.• La media arm5nica se aplica para promediar

datos cuyas unidades de medici5n soncocientes de unidades de medici5n de dosvariables, por e4m. Datos expresados en@mK+ora. iendo una formula practica la sgte:

∑=

−

=n

i i

H

x

n x

1

1

2varialedemedi$ionesde%otal

1varialedemedi$ionesde%otal=

−

H x



• B#0: La media arm5nica es siempre menor que lamedia geom(trica, esta a su ve* es menor que la mediaaritm(tica.

"4emplo $:

na persona mane4ando su autom5vil recorre los primeros $; @m a 8; @m por +ora y los siguientes $; @ma !; @m por +ora, calcule la velocidad promedio.

"4emplo &:

na empresa de transporte gasta K.?;; en latas de

aceite que cuestan K. $; la docena3 K. ';; en latasque cuestan K.$&,'; la docena3 K. 8;; mas en latasque cuestan K. &; la docena y K. %;; en otras quecuestan K. &' la docena. >alcule el costo promedio pordocena de las latas de aceite.

−−−<< x x x G H



MEDIDAS DE DISPERSION



INTRODUCCION

• Los promedios determinan el centro, pero noindican acerca de c5mo est9n situados los datosrespecto al centro.

• "n primer lugar se necesita una medida del nivalde la disp!si"# $ %& '&!i&i%id&d de los datos

con respecto a su centro con la finalidad deampliar la descripci5n de los datos o de comparardos o mas series de datos.

• "n segundo lugar se necesita una medida del

grado o nivel de la &si*!+& o la deformaci5n enambos lados del centro de una serie de datos,con el fin de describir la forma de la distribuci5nde datos. "sta medida se denomina +#di, d&si*!+&.



• "n tercer lugar se necesita una medida que nos

permita comparar el apuntamiento o curtosis dedistribuciones sim(tricas con respecto a ladistribuci5n sim(trica normal. "sta medida sellama +#di, d &p#*&i#*$ $ ,!*$sis.

• or otro lado, la forma de la distribuci5n quedadescrita por la ubicaci5n de los promedios en ladistribuci5n de frecuencias o por la ubicaci5n delos cuartiles en una grafica de ca4a.

• inalmente las medidas de ,!*$sis s$#

'&%id&s s$%$ p&!& dis*!i,i$#s si.*!i,&s.



MEDIDAS DE DISPERSION O DE

/ARIACION

• "stas medidas son números reales que id#

% /!&d$ $ #i'% d sp&!&,i"# d %$s d&*$s

,$# !sp,*$ & # '&%$! ,#*!&%, que

generalmente es la media aritm(tica.• Las principales medidas de dispersi5n son:

"l rango

"l rango intercuartil

La varian*a

La desviaci5n est9ndar, y

"l coeficiente de variaci5n.



. EL RANGO O RECORRIDO DE UNA

/ARIA0LE (R)

• Denotado por N es el numero que resulta de ladiferencia del valor m9ximo 6x max ) menos el valor mInimo6x min ) de una serie de datos observados de variable =:

N x max 1 x min

• "l rango es una medida muy f9cilmente calculable, peroes muy inestable, como depende de dos valoresextremos, su valor puede cambiar grandemente si seaade o elimina un solo dato.

E!e"1lo sean las dos series de datos

a) $, ?, ?, ', ', ', ', 8, 8, Jb) $, &, %, ?, ', 8, !, 7, J

0mbas tienen la misma media ', y el mismo rango 7, pero no tienen la misma dispersi5n, ya que la segunda

tiene mayor variabilidad.



-. EL RANGO INTERCUARTIL (RI)• "s el numero que resulta de la diferencia del

cuartil % menos el cuartil $ de los datos. "sto es:NC O% 1 O$

• "l rango intercuartil s #& did& ,% % 234 sp!i$! (,&!*$ sp!i$!) %

234 i#5!i$! (,&!*$ i#5!i$!), dando un rangodentro del cual se encuentra el ';F central delos datos observados y a diferencia del rango nose encuentra &5,*&d& p$! %$s '&%$!s

*!$s.• i el rango intercuartil es muy pequeo entonces

describe alta uniformidad o pequea variabilidadde los valores centrales.



"4m: "n la siguiente distribuci5n defrecuencias calcule el rango intercuartil:

Ii fi Fi

[26, 34[ 1 1

[34, 42[ 2 3

[42, 50[ 4 7

[50, 58[ 10 17

[58, 66[ 16 33

[66, 74[ 8 41[74, 82] 4 45

45



SOLUCION6

• >omo: NC O% O$

• >alculamos primero O$:

"l &'F inferior de los n ?', es $$,&' 6;,&'xn).

"ste &'F inferior esta entre las frecuencias

acumuladas ! y $! que se corresponden con elintervalo -';, '7-

"n este intervalo, Li';, fi$;, 07, i1$!

Pfi ;,&'xn i1$ $$,&' ! ?,&'

Luego:

4,5"810

25,450)1 =

+=

∆+= x xA

f

f LQ

i

ii



• 0 continuaci5n calculamos O%:

"l !'F inferior de los n ?', es %%,!' 6;,!'xn).

"ste !'F inferior esta entre las frecuenciasacumuladas %% y ?$ que se corresponden con elintervalo -88, !?-

"n este intervalo, Li88, fi7, 07, i1$ %%

Pfi ;,!'xn i1$ %%,!' %% ;,!' Luego:

• inalmente calculamos el NC:NC O% O$ 88,!' '%,? $%,%'

• Por lo =e 1ode"os ,on,lir =e el *>? de los '*

da5os @aria en el rango de $*.

75,6688

75,066)" =

+=∆+= x xA

f

f LQ

i

ii



. LA /ARIANA ; LA DES/IACION

ESTANDAR

LA /ARIANA "s la media aritm(tica de loscuadrados de las diferencias de los datos conrespecto a su media aritm(tica.

• La varian*a se denota por , y si es calculada

para una poblaci5n se denota .

• La varian*a es una medida de dispersi5n quegenera unidades de medici5n al cuadrado 6Q & ,

m&

, etc.)DES/IACION ESTANDAR "s la raI* cuadrada

positiva de la varian*a.

• e denota por sn.

2

n s2σ



CALCULO DE LA /ARIANAa) /ARIANA DE DATOS NO AGRUPADOS

La varian*a de n mediciones: x $, x & , <, x n dealguna variable cuantitativa =, cuya media es

x , es el numero real:

e comprueba que:

or lo tanto:

n

x x

s

n

i

i

n

∑=

−

−

==

1

2

2

)

datosde#

sdi&eren$iade$uadradosdetotalSuma

2

1

2

1

2 *)−

==

−

−=− ∑∑ xn x x xn

i

i

n

i

i

2

1

2

2−

= −=∑

x

n

x

s

n

i

i

n



E!e"1lo

• Los salarios ui#eales, e d/la"es,

"e#oilados e ua muest"a de 45emleados so

63 82 36 49 56 64 59 35 78

43 51 70 57 62 43 68 62 2664 72 52 51 62 60 71 61 55

59 60 67 57 67 61 67 51 81

50 64 76 44 73 56 62 63 60• al#ule la !a"iaa $ la des!ia#i/

estda"'



SOLUCION

• #enemos:

• Luego la varian*a de los ?' salarios sin

agrupar es:

• Luego la desviaci5n est9ndar es:

1645"0;""",5945

2670;2670;45

1

2

1

===== ∑∑=

−

=

n

i

i

n

i

i x x xn

)'778,1"5)""",5945

1645"0 22

2

1

2

2 =−=−= −

=∑

xn

x

s

n

i

i

n

')652,11778,1"52=== nn s s



CALCULO DE LA /ARIANAb) /ARIANA DE DATOS AGRUPADOS

. /arianza de da5os agr1ados de @ariabledis,re5a

i n valores de una variable discreta = se clasifican en@ valores distintos x $, x & , <, x @ con frecuenciasrespectivas f $, f & , <, f @ , entonces su varian*a es el

numero:

e comprueba que:

or lo tanto:

n

x x f

s

k

i

ii

n

∑=

−

−== 1

2

2

)

datosde#


2

1

2

1

2

**)

−

==

−

−=− ∑∑ xn x f x x f

k

i

ii

k

i

ii

2

1

2

2

*−

= −=∑

xn

x f

s

k

i

ii

n



E!e"1lo

>alcule la varian*a y desviaci5n est9ndarde la distribuci5n de frecuenciassiguientes:

N"ero de 2i!os 3i 4. Absol5as

6i

0 1

1 4

2 7

3 6

4 2




• #enemos: n &;, @ ', x ??K&; &,&

• La varian*a ser9:

• La desviaci5n est9ndar es:

N"ero de 2i!os

3 i

4. Absol5as

6 i

6 i 73 i 6 i (3 i )-

0 1 0 0

1 4 4 4

2 7 14 28

3 6 18 54

4 2 8 32

TOTAL 20 44 118

06,1)2,220

118*2

2

12 =−=−= −

=∑ xn

x f s

k

i

ii

n

0296,106,12=== nn s s



-. /arianza de da5os agr1ados 1or in5er@alos

i n valores de una variable cuantitativa =, son

agrupados en @ intervalos, con marcas de clases m$,m& , <, m@ con frecuencias respectivas f $, f & , <, f @ ,entonces su varian*a es el numero:

e comprueba que:

or lo tanto:

n

xm f

s

k

i

ii

n

∑=

−

−

== 1

2

2

)

datosde#


2

1

2

1

2 **)−

==

−

−=− ∑∑ xnm f xm f k

i

ii

k

i

ii

2

1

2

2

*−

= −=∑

xn

m f

s

k

i

ii

n



E!e"1lo

>alcule la varian*a y desviaci5n est9ndar de la

distribuci5n de frecuencias por intervalossiguientes:

Ii f i

[26, 34[ 1

[34, 42[ 2

[42, 50[ 4

[50, 58[ 10

[58, 66[ 16

[66, 74[ 8

[74, 82] 4

45

SOLUCION




• La R0NC0S0 ser9:

• La D"RC0>CB "#0D0N es:

Ii mi f i f i*mi f imi)2

[26, 34[ 30 1 30 900

[34, 42[ 38 2 76 2888

[42, 50[ 46 4 184 8464

[50, 58[ 54 10 540 29160

[58, 66[ 62 16 992 61504

[66, 74[ 70 8 560 39200[74, 82] 78 4 312 24336

TOTAL6 73 2897 188732

916,11445

2694

45

166452* 2212 =

−=−=

−=∑ xn

m f s

k

iii

n

7199,10916,1142=== nn s s



'. COE4ICIENTE DE /ARIACION (C/)

• "s una medida de dis1ersiBn rela5i@a 6libre de

unidades de medici5n), se define como elcociente de la desviaci5n est9ndar entre lamedia aritm(tica. "sto es:

• "l coeficiente o Indice de variaci5n se utili*a para comparar la variabilidad de dos o masseries de datos que tengan medidas iguales o

diferentes o que tengan unidades de medidasiguales o diferentes 6por e4em., comparar lavariabilidad de una serie de datos, medidos en@ilogramos con la de otra serie de datos medidosen metros).

() eno

x

sCV −=



E!e"1lo

• i las calificaciones en matem9ticas C de

dos secciones T $ y T & tienen la mismadesviaci5n est9ndar igual a $?, no podemos concluir que las dos seccionestienen la misma variabilidad 6salvo que

tengan medias iguales).• Del mismo modo, si la desviaci5n est9ndar

de T $ es & y la de T & es ? no podemos

concluir que las notas de T & son masdispersas que las de T $. La variabilidad deestos dos grupos depende, adem9s, de susmedias.



• "n el primer caso, si se indica que lamedia de la secci5n T $ es $8 y la media

de la secci5n T & es $$, los coeficientes devariaci5n respectivo son:

• "s decir, las calificaciones obtenidas enT $ son mas +omog(neas o tienen menor

variabilidad que las calificaciones de T & .

(5,87,875,016

14

1

11 o

x

sCV === −

(127,27,111

14

2

22 o

x

sCV === −

USO DE LAS MEDIDAS DE DISPERCION O DE



USO DE LAS MEDIDAS DE DISPERCION O DE

/ARIACION

$. i dos o mas grupos de datos 6observados en

el mismo tipo de medici5n) tienen mediasaritm(ticas iguales, entonces, es mas dispersao de mayor variabilidad la serie que tienemayor valor, una cualquiera de sus medidasde variaci5n: Nango 6N), o NC, o s& , o s, o >R.6i +ay marcada asimetrIa, es preferiblecomparar la variabilidad con el NC)

&. i dos o mas series de datos, no tienenmedias iguales 6o casi iguales) o no tienen las

mismas unidades de medici5n 6variablesdiferentes), entonces, es mas +omog(nea ode menor variabilidad la serie que tengamenor coeficiente de variaci5n >R, sinimportar su forma de asimetrIa.

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