Clase_3v2

Preparacin y Evaluacin de ProyectosAEA 555Facultad de Ingeniera y Negocios

PREPARACIN DE PROYECTOS

Las Finanzas en la Evaluacin de ProyectosClase 3 Unidad I

MATERIAL PROPIEDAD DE UDLA.AUTORIZADA SU UTILIZACIN SLO PARA FINES ACADMICOS.

Finanzas en la Evaluacin de Proyectos

Abstract de la Unidad

Esta unidad hace referencia a la determinacin de los factores y criterioseconmicos utilizados cuando se considera una seleccin entre una o msalternativas de inversin para un inversionista.

Est destinada al estudio y anlisis de tcnicas matemticas que simplifican lascomparaciones econmicas. Con estas tcnicas, es posible desarrollar unenfoque racional y significativo para evaluar los aspectos econmicos de losdiferentes mtodos (alternativos) empleados en el logro de un objetivodeterminado.

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Matemticas Financieras Las Matemticas Financieras son un conjunto de herramientas matemticas, las cuales permitenanalizar cuantitativamente la viabilidad o factibilidad econmica y financiera de los proyectos deinversin.

Permiten responder interrogantes tales como;

1. Individuo

Debo pagar el saldo de mi tarjeta de crdito con dinero prestado?.

En cuntos aos comprar mi departamento?.

Cundo dinero tendr al cabo de un tiempo determinado al depositar mis ahorros en unbanco?.

En cuntas cuotas comprar mi auto?.

2. Corporaciones o Negocios

Lograremos el retorno requerido si instalamos esta nueva tecnologa de fabricacin en laplanta?.

Construimos o arrendamos las instalaciones para la nueva sucursal en Asia?.

En trminos econmicos es mejor fabricar internamente o comprar por fuera una partecomponente de una nueva lnea de producto?.

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Valor del Dinero en el Tiempo (VDT)

El VDT es el cambio en la cantidad de dinero durante un perodo detiempo dado.

$100 de hoy no son $100 de maana.

El Dinero hace Dinero. Ejemplos:

Un depsito en el banco.

Invertir en un negocio.

Invertir en un fondo mutuo.

Pedir un prstamo.

El VDT se manifiesta en el Mercado a travs de las Tasas de Inters.

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Tasa de Inters: Es la manifestacin del Valor del Dinero en elTiempo (VDT). Es el costo de mantener dinero en el tiempo.

Tenemos que:

- Inters (Si se invierte)= Monto actual Inversin original

- Inters (Si se pide prestado)= Monto debido actualmente Prstamo Original

La Tasa de Inters se expresa como un porcentaje (%) de la suma originalpor unidad de tiempo.

Perodo de Inters es la unidad de tiempo de la tasa de inters.

Las Tasas de Inters son un concepto de

Costo de Oportunidad

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Costo de Oportunidad: Se refiere a aquello de lo que un agente se priva o renunciacuando hace una eleccin o toma de una decisin.

Fuente: Case, Karl y Fair, Ray. Principios de microeconoma. Bogot, editorial PrenticeHall, 1997.

Ejemplo: Una empresa invirti $100.000 y obtuvo un total de $106.000exactamente un ao ms tarde:

Inters = $106.000 (monto actual) - $100.000 (inversin original) = $6.000

Tasa de Inters = $6.000 (inters) / $100.000 (inversin original) = 6% anual

Perodo de Inters = anual

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Clasificacin General de las Tasas de Inters

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Tasas de Inters

Tasas Simples

Tasas Nominales

Tasas Reales

Tasas Compuestas

Tasas Nominales (Aparentes)

Tasas Efectivas (Verdaderas)

Tasas Nominales

Tasas Reales

Tasas Spots

Tasas Forwards

Tasas Nominales

Tasas Reales

Tasas Nominales

Tasas Reales

Diagrama de Flujo de Caja

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0 1 2 3 4 5 6 7

n

VP

VF

Capitalizacin

Actualizacin

Dnde: VP: Valor Presente.VF: Valor Futuro.n: Periodo u horizonte de tiempo.

Definicin: DFC es unhorizonte de tiempo en elcual se registran ingresos yegresos efectivos de dinerojusto en el momento en queocurren. Su utilidad es quenos permite hacerequivalencias entre valorespresentes y valores futurosen cualquier instante detiempo.

Convenciones:Una flecha hacia abajo es un egreso efectivo de dinero (EED).Una flecha hacia arriba es un ingreso efectivo de dinero (IED).Se asume que los ingresos y egresos efectivos de dinero son vencidos(al final del perodo) salvo que se diga lo contrario (anticipados).Flujo de Caja Neto t = IED t EED t

Tasa de Inters Simple

Inters Simple: Es el inters que se paga (o gana) slo sobre la cantidad originalque se invierte o monto principal. No se cobra inters sobre inters.

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P 1 2 F

VP VP*i VP*i VP*i

T = 0 , VP = $100 e i = 10% anualT = 1, VF1 = VP + VP * i = $110T = 2, VF2 = VF1 + VP * i (Observemos que slo calculamos intereses sobre elprincipal original).VF2 = VP+ VP * i + VP * i = VP + 2 * VP * i = 120Para n perodos:

T = n, VFn = VP + n * VP * i ==> VFn = VP * (1 + n * i)

Tasa de Inters Compuesta

Inters Compuesto: Significa que el inters ganado sobre el capital invertido seaade al principal. Se gana inters sobre el inters.

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P 1 2 F

VP VF1 VF2 VFn

Supongamos que T = 0, VP = $100 e i = 10% anual:T = 1, VF1 = VP + VP * i = VP * ( 1 + i) = 110T = 2, VF2 = VF1 + VF1 * i Observemos ahora calculamos intereses sobre elprincipal original ms los intereses generados en el ao 1VF2 = VP * (1 + i) + (VP * (1 + i)) * iVF2 = VP * (1 + i) 2 = 121Para n perodos: VFn = VFn-1 + VFn-1 * i ==> VFn =VP*(1 + i)n

Tasa de Inters Simple y Compuesta

Ejemplo:

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Perodo

Valor

Futuro

Inters

Simple

10% anual

Valor

Futuro

Inters

Compuesto

10% anual

0 100 100

1 110 110

2 120 121

3 130 133

4 140 146

5 150 161

6 160 177

7 170 195

8 180 214

9 190 236

10 200 259

11 210 285

12 220 314

13 230 345

14 240 380

15 250 418

16 260 459

17 270 505

18 280 556

19 290 612

20 300 673

0

100

200

300

400

500

600

700

800

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Aos

Va

lor F

utu

ro

Valor Futuro Inters Simple Valor Futuro Inters Compuesto

Tasa de Inters Variable

Ejemplo:

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VP 100 200 300

0 1 2 310% 20% 30%

VP = 100/(1,1)1 + 200/(1,1)*(1,2) + 300/(1,1)*(1,2)*(1,3) = 417,249

n

VF = VP * *(1 + ij)j=1

Anualidades

Anualidades con cuotas iguales: es una serie de pagos uniformes en unhorizonte de tiempo.

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VP

0

A A A A A A A Vencida

n

n

ii

iAVP

)1(

1)1(

1)1(

)1(n

n

i

iVPiA Factor de Rec.

del Capital

n

Anualidades

Anualidades con cuotas iguales: es una serie de pagos uniformes en unhorizonte de tiempo.

15

VP

A A A A A A AnticipadaA

n

1)1(

1)1(n

n

ii

iAVP

Anualidades

Perpetuidades

16

VP

A A A A A A

i

AVP

iVPA

Gradientes(Series en escaleras)

Gradiente de Crecimiento Geomtrico Uniforme: es un incremento porcentual(%) que se aplica sobre un pago uniforme en un horizonte de tiempo.

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VPn

A

A(1+g)

A(1+g)^2

A(1+g)^n-1 g = tasa de escalada %

ig

i

g

AVPn

n

1)1(

)1(

con g i

Gradiente de Crecimiento Geomtrico Perpetuo

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VP

A

A(1+g)

A(1+g)^2

A(1+g)^n-1 g = tasa de escalada %

con g < igi

AVP


Gradiente de Crecimiento Aritmtico Uniforme (aumento uniforme): es unincremento que se aplica sobre un pago uniforme en un horizonte de tiempo.

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VP

A

A +G

A+2G

n Gradiente Aritmticoo Convencional

A+(n-1)G

A+(n-2)G

nn

n

ii

Gn

ii

i

i

GAVPVP

)1()1(

1)1()(


Tasas Nominales y Efectivas

Normalmente cuando se invierte o se pide prestado lo habitual es que se entregueel valor de una tasa que tiene un perodo que puede ser anual, semestral,trimestral, etc. y ste es el perodo de la tasa (pt).

La inversin o prstamo puede capitalizar o devengar intereses ms de una vez enel pt.

El perodo en el cual se capitalizan los intereses se denomina perodo decapitalizacin (pc).

Si pt es mayor que pc, estamos frente a una Tasa Nominal o Aparente.

Ejemplo: i = 10% nominal anual capitalizable semestralmente.

Tasa Nominal: Es aquella tasa de inters del periodo por el nmero de periodos,es decir, es aquella tasa que depende de los periodos de capitalizacin. Es unatasa aparente que se debe convertir a una tasa efectiva.

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Si pt es igual a pc, estamos frente a una Tasa Efectiva o verdadera.

Ejemplo: i = 10% anual (pt) capitalizable anualmente (pc). En este caso, como

pt = pc el pc se obvia y la tasa se menciona como i = 10% anual.

Tasa Efectiva: Es aquella tasa que no depende de los periodos de capitalizacin yque mide realmente el inters otorgado o cobrado.

Ejemplo: Si tenemos que:

VP=100 y tenemos una tasa de i = 10% anual capitalizable semestralmente

VF 6 meses = 100 * (1 + 10% / 2) = 105

VF 1 ao = 105 * (1 + 5%) = 110.25

10.25 / 100 = 10.25 % anual (Tasa Efectiva)

En este caso, la tasa efectiva o verdadera (10,25 % anual) es mayor que la tasanominal informada (10 % anual capitalizable semestralmente).

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Importante: todas las ecuaciones del valor del dinero en el tiempo utilizantasas efectivas. Por lo tanto, debemos transformar las tasas nominales queinforma el mercado en tasa efectivas y esto lo podemos hacer a travs de lasiguiente ecuacin:

( 1 + i pt ) = ( 1 + j / m ) m

Donde:

j = tasa nominal (10% anual capitalizable semestralmente)

m = n de veces que se capitaliza la tasa nominal en el pt (2 veces)

j / m = tasa efectiva del pc (5% semestral)

i pt = tasa efectiva del pt (10, 25% anual)

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Conclusin: mientras ms veces se capitaliza la tasa nominal en el pt, la tasaefectiva asociada a esta tasa nominal es cada vez mayor.

El caso extremo es cuando se capitalizan intereses segundo a segundo(capitalizacin continua, m tiende a infinito). Ejemplo: hay proyectos en que elstock de riqueza invertida crece instante a instante, entre ellos podemosmencionar la engorda de animales, el aejamiento de vinos, la crianza de aves, losproyectos forestales, etc.

En este caso, j = 10 % anual capitalizable continuamente, m tiende a infinito y laecuacin para encontrar ipt es

ipt = e j - 1

ianual = e 0.1 - 1 = 10,51% anual

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La ecuacin ( 1 + i pt ) = ( 1 + j / m )m tiene otra utilidad: nos permite establecerequivalencias entre tasa de inters efectivas de distintos perodos.

Ejemplos:

( 1 + iea ) = (1 + ies )2 = ( 1 + iet )4 = ( 1 + iem )12 = ( 1 + ied )365

En nuestro ejercicio en que j = 10 % anual capitalizable semestralmente lo quehicimos fue lo siguiente:

( 1 + iea ) = ( 1 + ies )2

( 1 + iea ) = ( 1 + 0.05 )2

iea = 10,25% (Tasa Efectiva)

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Tasas Nominales y Reales

Igualdad de Fisher y efecto de la Inflacin

La inflacin es el aumento sostenido y generalizado del nivel de precios.

La inflacin se mide a travs de ndices IPC en Chile que mide la evolucin delos precios de una canasta promedio de bienes y servicios.

Por lo tanto, la variacin del IPC no significa que todos los bienes y serviciosde esta canasta vare en el mismo porcentaje. Por otro lado el IPC no es elprecio de la canasta.

Igualdad de Fisher: (1 + in) = (1 + ir) * (1 + )

donde: in = tasa de inters nominal

ir = tasa de inters real

= inflacin esperada

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Igualdad de Fisher: (1 + in) = (1 + ir) * (1 + )donde: in = tasa de inters nominal

ir = tasa de inters real

= inflacin esperada

Tasa de Inters Nominal

Es la tasa ofrecida (para prestar o pedir prestado) a todo eventoindependiente de la inflacin durante el periodo. Transaccin en moneda noreajustable.

Una tasa de inters nominal es aquella que denota un crecimiento en elmonto de dinero, sin ajustar la moneda por inflacin.

El ejemplo tpico son los depsitos en pesos a 30 das de los bancos o loscrditos en pesos.

As la tasa de inters nominal no necesariamente significa un incremento en elpoder adquisitivo.

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Tasa de Inters Real

Es aquella que denota un aumento del poder adquisitivo. Esto es, conservando elpoder adquisitivo del dinero, existe un incremento en el monto a pagar (o cobrar).Tasa que incorpora el efecto inflacionario. Transaccin en moneda reajustable.

El ejemplo clsico es el de las tasas en UF + X% o tasas reflejadas como IPC+X%.

Esto significa que al cabo de un ao el dinero debiera tener el mismo poderadquisitivo que el dinero que invert.

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Ejemplo: En que banco me conviene pedir prestado 500 U.M. en el queofrece 20% de inters anual o el que ofrece UF + 5% anual?.

Si ambas rindieran lo mismo:

500 (1+i) = 500 (1+r)(1+ )

(1+ ) = (1+i) / (1+r) = (1,2 / 1,05) -1 = 14,3%

Luego, si la inflacin esperada es mayor que 14,3% anual, conviene la alternativade 20% de inters anual, y si es menor que 14,3% anual conviene UF ms 5%anual.

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Tablas de Pagos de Crditos

Consideraciones generales:1.- Cuando se solicita un crdito y nos lo otorga cualquier institucin financiera,

adquirimos el compromiso a pagar intereses (costo del prstamo) y a devolver loque nos prestaron (esto ltimo se denomina amortizacin del prstamo).

2.- Cuota = amortizacin + intereses (siempre se cancelan primero los intereses yluego se amortiza el prstamo).

3.- En la evaluacin privada de proyectos los intereses son un costo del proyectofinanciado y se reconocen como un egreso en el flujo de caja operacional antes deimpuesto. La amortizacin del prstamo es un flujo de caja de capitales y sereconoce como un egreso.

4.- En la evaluacin social de proyectos los flujos asociados a la deuda (prstamo,intereses, ahorro de impuestos y amortizaciones) no son relevantes ya que es slouna transferencia de recursos dentro del mismo sistema (Sociedad Chilena).

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5.- Dependiendo del sistema o forma de pago, los crditos se clasifican en:

Cuotas iguales (aqu debemos recordar la frmula de anualidad).

Amortizaciones iguales

Slo se cancelan los intereses de cada perodo y se amortiza el total de ladeuda en el ltimo perodo del crdito.

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Veamos un ejemplo:

Prstamo hoy = $ 1.000

n = 5 aos

i = 10% efectiva anual

Cuotas iguales

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Ao Saldo Amortizacin Cuota Deuda Inters

0 1.000

1 836 164 264 100

2 656 180 264 84

3 458 198 264 66

4 240 218 264 46

5 0 240 264 24


Veamos un ejemplo:


n = 5 aos


Amortizaciones iguales

32


0 1.000

1 800 200 300 100

2 600 200 280 80

3 400 200 260 60

4 200 200 240 40

5 0 200 220 20


Veamos un ejemplo:


n = 5 aos


Slo intereses por perodo y la amortizacin total delprstamo en el ltimo perodo del prstamo.

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0 1.000

1 1.000 0 100 100

2 1.000 0 100 100

3 1.000 0 100 100

4 1.000 0 100 100

5 0 1.000 1.100 100


Los ejemplos anteriores son clsicos. Se pueden dar otras formas de pago derivadas de las anteriores:

Tasa de inters variable.

Perodos de gracia de intereses.

Perodos de gracia de amortizaciones.

Perodos de gracia de amortizaciones e intereses.

Cancelacin anticipada del crdito.

Renegociaciones.

En la evaluacin privada de proyectos y especficamente en el proyectofinanciado, los prstamos tienen impacto va ahorro de impuestos. No obstante, elsistema de pago a elegir va a depender de los flujos del proyecto (capacidad depago) y del impacto del prstamo en el VAN del proyecto (mejor indicador derentabilidad).

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BibliografaTEXTOS

Aching, Guzmn; Csar, Matemticas Financieras para Toma deDecisiones Empresariales, Serie Mypes, 2009.

Blank, Leland; Tarquin Anthony, Ingeniera Econmica, McGraw-Hill, 2006.

Sapag, Jos Manuel, Evaluacin de Proyectos, Gua de Ejercicios,Problemas y Soluciones, McGraw-Hill Interamericana, 2007.

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