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, pues hay 10 formas de
escoger (en rojo) tres objetos a partirde un conjunto con cinco elementos.
Coeficiente binomialDe Wikipedia, la enciclopedia libre
Los coeficientes binomiales, números combinatorios o combinacionesnota 1 son números estudiados encombinatoria que corresponden al número de formas en que se pueden extraer subconjuntos a partir de unconjunto dado. Sin embargo, dependiendo del enfoque que tenga la exposición, se pueden usar otrasdefiniciones equivalentes.
Índice
1 Definición combinatoria2 Definición algebraica3 Definición recursiva4 Definición por inducción matemática5 El teorema de binomio y coeficientes binomiales6 El teorema de Pascal
6.1 Prueba del teorema de Pascal7 Identidades que involucran coeficientes binomiales
7.1 Identidad de simetría7.2 Número total de subconjuntos posibles
8 Multiconjuntos y combinaciones con repetición9 Véase también10 Notas al pie11 Referencias12 Bibliografía13 Enlaces externos
Definición combinatoria
Se tiene un conjunto con seis objetos diferentes A,B,C,D,E,F, delos cuales se desea escoger dos (sin importar el orden de elección).Existen 15 formas de efectuar tal elección:
A,B A,C A,D A,E A,FB,C B,D B,E B,F
C,D C,E C,FD,E D,F
E,F
Hay 5×4×3 formas de escogerordenadamente tres objetos de unconjunto con cinco.
El número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto de n, puede denotarse de varias
formas:nota 2 , , , o . Así, en el ejemplo anterior se tiene entonces que C(6,2)=15,
puesto que hay 15 formas de escoger 2 objetos a partir de un conjunto con seis elementos.
Los números C(n,k) se conocen como «coeficientes binomiales», pero es frecuente referirse a ellos como«combinaciones de n en k», o simplemente «n en k». Por tanto, la primera definición es:
El coeficiente binomial es el número de
subconjuntos de k elementos escogidos de un conjuntocon n elementos.
Es importante notar que la definición asume implícitamente que n y k son naturales, y que además k noexcede a n. Podemos definir C(n,k)=0 si k>n, puesto que no es posible escoger más elementos que los quetiene el conjunto dado (por tanto hay cero formas de hacer la elección). Estas precisiones cobraránrelevancia más adelante cuando se discutan generalizaciones del concepto (por ejemplo, cuando n o k seannegativos o cuando no sean números enteros).
Definición algebraica
La definición no permite calcular el valor de los coeficientesbinomiales, salvo listando los subconjuntos y contándolos. Sinembargo, existe una fórmula explícita que nos proporciona el valorde C(n,k).
Supongamos que el conjunto original tiene cinco elementos, de loscuales se deben escoger tres. Al momento de escoger el primero, setiene cinco opciones disponibles, pero una vez fijo el primero, sólohay cuatro opciones para el segundo, y por tanto sólo tres opcionespara el último (pues no se puede repetir los escogidos en losprimeros dos pasos). De este modo, la selección puede hacerse de5×4×3=60 formas.
Sin embargo, en tal conteo, el orden en que se escogen loselementos hace diferencia. Por ejemplo, tomar C, luego B, luego E,es una selección diferente de tomar B, luego C y luego E. Pero en ladefinición de coeficiente binomial, no importa el orden en que se eligen los objetos, únicamente cuáles se
escogen. Por tanto, las elecciones BCE, BEC, CEB, CBE, ECB y EBC son todas equivalentes. Del mismomodo, las elecciones ABC, ACB, BCA, BAC, CAB y CBA son equivalentes, y así para cualquier terna deletras.
De esta forma, el resultado obtenido (60) no es la cantidad de subconjuntos de 3 elementos deA,B,C,D,E, sino que cada subconjunto está contado seis veces, por lo que la cantidad de subconjuntos esrealmente 60/6 = 10.
El argumento presentado para el ejemplo puede generalizarse de la siguiente forma. Si se tiene un conjuntocon n elementos, de los cuales se van a escoger k de ellos, la elección (ordenada) puede hacerse de
n × (n1) × (n2) ×... × (nk+1)
ya que en el primer paso se tienen n opciones, en el segundo se tienen n1, en el tercero n2, y asísucesivamente, terminando en el paso k que tendrá nk+1 opciones.
Ahora, hay que dividir el producto anterior entre el número de selecciones «equivalentes». Pero si se tiene kobjetos, hay k! formas de permutarlos, es decir, k! formas de listarlos en distinto orden. Recordemos que k!se lee kfactorial y es igual a
k! = 1×2×3×...× k
Concluimos que el número de subconjuntos con k elementos, escogidos de un conjunto con n elementos es
.
Multiplicando el numerador y el denominador de la fracción por 1×2×3×···×(nk)
La expresión anterior puede escribirse de forma más compacta usando factoriales, expresión que es usadaen ocasiones como la definición misma de coeficiente binomial (sobre todo en textos elementales que noexplican el origen combinatorio de la misma):
El coeficiente binomial está dado por la fórmula
Definición recursiva
Hay una fórmula recursiva para los coeficientes binomiales (véase El teorema de Pascal):
con los valores iniciales
Demostración:
Definición por inducción matemática
Algunos matemáticos esta definición la conocen como definición recursiva.1
Si se tiene un conjunto de n elementos, donde n ≥ 0, hay un único subconjunto sin elementos (o de ceroelementos), que es el conjunto vacío, por lo que el número de estos subconjuntos de cero elementos que hayes 1, cualquiera que sea n.2
1.
Por otro lado, si tenemos una lista de los subconjuntos de k elementos y a cada uno de ellos añadimos, porturno, cada uno de los nk elementos del conjunto inicial que no estaban en dicho subconjunto, la lista desubconjuntos resultante contendrá todos los subconjuntos de k+1 elementos y además cada uno de ellosaparecerá repetido k+1 veces en dicha lista.
2. 3
Desarrollo de (x+y)³
El teorema de binomio y coeficientes binomiales
Finalmente, existe una tercera forma de definir los coeficientes binomiales, la cual da origen a su nombre.Sin embargo, esta definición obscurece el significado combinatorio de los números, pues la equivalenciacon las definiciones anteriores no es evidente.
El coeficiente binomial es el coeficiente del
término obtenido al desarrollar
Por ejemplo, si desarrollamos (x+y)5 obtenemos:
,
por tanto, al ser 10 el coeficiente de x³y², concluimos que C(5,3)=10.
La afirmación de que esta definición es equivalente a las anterioresse conoce como teorema binomial o teorema de Newton, quien diouna prueba de una versión general del resultado. Sin embargo, laforma de calcular los coeficientes era conocida por diversas culturascon muchos siglos de anticipación.
Para ilustrar la equivalencia entre esta definición y la anterior,consideremos un ejemplo con n=3, k=2. Podemos pensar que losfactores de (x+y)³=(x+y)(x+y)(x+y) están coloreados de azul, rojo yverde respectivamente.
Por un lado, se sabe que (x+y)³ = x³+3x²y+3xy²+y³, por lo que el coeficiente de x²y es 3. Por otro lado, aldesarrollar los factores, aparecerá un término x²y cada vez que se elija dos colores para x (dejando el colorrestante para y). El número de formas de escoger dos colores entre tres posibles opciones es precisamenteC(3,2), como se estableció con anterioridad. La conclusión es que el coeficiente de x²y es necesariamenteC(3,2).
Para el caso general, se puede imaginar que los n factores de (x+y)n han sido coloreados con diferentescolores, por lo que el coeficiente de xkynk será igual al número de formas de escoger k colores paraasignarlos a la variable x (dejando los nk colores restantes para y). El número de formas para escoger kcolores entre n posibles opciones es C(n,k), con lo que se termina la prueba.
En contextos más técnicos, suele usarse una forma diferente de expresar el teorema de Newton mediante eluso de sumatorios:
Página 4 del Traité du trianglearithmétique, escrito por Blaise Pascalen 1654.
El desarrollo de es
.
Esta fórmula se generaliza para más de dos sumandos de la siguiente manera:
,
donde es un coeficiente multinomial que se define: . Los
coeficientes multinomiales también tienen definición combinatoria. Puesto que no es más que la suma de , ,... y , también se emplean notaciones en las que , no aparece, como . Otras
notaciones son ó .
El teorema de Pascal
En 1654, Blaise Pascal entabló correspondencia con Pierre deFermat sobre ciertos problemas de probabilidad, correspondenciaque daría origen a su Traité du triangle arithmétique, consideradouno de los trabajos pioneros en el estudio moderno de laprobabilidad. En ese trabajo, entre otras cosas, estudia lo que hoy seconoce como triángulo de Pascal que es un arreglo de númerosdefinido a continuación.
Se tiene una cuadrícula rectangular en la cual se escribe el número 1en las casillas del borde superior y el borde izquierdo:
1 1 1 1 ...111...
Los números de las demás casillas se obtienen con la siguiente regla: en cada casilla se escribe la suma delos valores de las dos casillas contiguas situadas a su izquierda y en la parte superior:
Forma común de ilustrar el triángulode Pascal
Las entradas del triángulo de Pascalconsisten de coeficientes binomiales.
1 1 1 1 1 1 1 ...1 2 3 4 5 6 7 ...1 3 6 10 15 21 28 ...1 4 10 20 35 56 84 ...... ... ... ... ... ... ...
La matriz es simétrica, por ello es común presentar el arreglo enforma triangular, con los bordes inclinados, tal como se ilustra en lafigura. De esta forma, cada número es igual a la suma de los dos quese encuentran arriba del mismo.
Pascal notó que para cualquier entero n, se cumple que
ya que sólo hay una forma de escoger cero o todos los elementos deun conjunto dado. De esta forma, se pueden reescribir los bordescomo:
C(0,0) C(1,1) C(2,2) C(3,3) ...C(1,0)C(2,0)C(3,0)...
Finalmente, Pascal notó que las demás casillas del arreglo también son coeficientes binomiales:
C(0,0) C(1,1) C(2,2) C(3,3) ...C(1,0) C(2,1) C(3,2) C(4,3) ...C(2,0) C(3,1) C(4,2) C(5,3) ...C(3,0) C(4,1) C(5,2) C(6,3) ...... ... ... ... ...
Cuando se listan las entradas de forma triangular como en la figura, es posible enunciar este resultado como
La posición k (contando desde cero) en la fila n deltriángulo de Pascal es igual al coeficiente binomial
.
El teorema de Pascal se pruebadividiendo la selección en dos casos.
La afirmación de que las entradas del triángulo de Pascal son precisamente los coeficientes binomiales, sebasa en la siguiente identidad, conocida ahora como identidad de Pascal o teorema de Pascal.
Para cualquier par de números naturales n, k secumple
Blaise Pascal, (1654)
Prueba del teorema de Pascal
Si bien puede probarse el teorema de Pascal por medio demanipulaciones algebraicas de la fórmula con factoriales, unaprueba puramente combinatoria es mucho más sencilla,proporcionando un ejemplo elegante del enfoque y técnicas de lacombinatoria.
Como ejemplo, se verificará el Teorema de Pascal cuando n=5, k=3.El lado izquierdo de la identidad cuenta el número de formas deescoger tres elementos a partir de un conjunto de cinco elementos.Supongamos ahora que el primer objeto se colorea de rojo y losdemás azules. Al escoger los tres objetos, hay dos casos:
Entre los objetos escogidos se incluye el objeto rojo.Todos los objetos escogidos son azules.
Ambos casos cubren la totalidad de subconjuntos con tres elementos, por tanto su suma debe ser igual a
.
Para contar el primer caso, dado que el objeto rojo tiene que estar incluido, sólo es necesario escoger dos
objetos entre los cuatro azules restantes, lo cual puede efectuarse de formas.
En el segundo caso, puesto que el objeto rojo no ha sido seleccionado, se debe escoger tres elementos entre
los cuatro azules. El número de formas de hacer esta elección es .
Simetría en el triángulo de Pascal
Hay la misma cantidad de formas deescoger tres objetos y pintarlos derojo, que formas de escoger dosobjetos y pintarlos de azul.
Concluimos entonces que el número total de subconjuntos con 3 elementos, , es igual al número de
subconjuntos del primer caso, sumado al número de subconjuntos incluidos en el segundo caso, ,
es decir:
.
El caso general se obtiene de forma similar, marcando un elemento particular, para luego dividir el conteoen dos casos, dependiendo si el elemento marcado está incluido o no. Cuando se incluye el elementomarcado falta escoger k1 objetos de los n1 no marcados, mientras que cuando no se incluye, hay queescoger k objetos de los n1 marcados, concluyendo que
.
Identidades que involucran coeficientes binomiales
Existe una cantidad muy grande de identidades que involucrancoeficientes binomiales. El teorema de Pascal es un primer ejemplode identidad relativa a coeficientes binomiales, a continuación seanalizarán algunas pocas de las más conocidas. Son de particularinterés puesto que sus pruebas proporcionan nuevamente ejemplosde razonamiento combinatorio, el cual no es usualmente presentadoal tratar el tema pues por lo general, en los pocos casos en que sedan razones sobre su origen, se limitan a simples manipulaciones dela definición algebraica.
Identidad de simetría
La primera identidad a considerar es una igualdad de simetría o lapropiedad de Stiffel que establece
Para todo n, k se cumple:
.
Correspondencia entre subconjuntos ysucesiones «sí/no»
Por ejemplo, C(12,5) = 792 = C(12,7). Es una propiedad de simetría porque equivale a la afirmación de queel triángulo de Pascal es simétrico respecto a su eje vertical. Es común remitirse a la fórmula de factorialespara verificar su veracidad.
La interpretación combinatoria de la identidad de simetría es la afirmación de que al escoger unsubconjunto automáticamente se determina su complemento, por lo que hay la misma cantidad desubconjuntos con k elementos que subconjuntos con nk elementos.
Por ejemplo, si se tiene un conjunto con cinco elementos, de los cuales se desea pintar tres de rojo, esposible hacer la selección de C(5,3)=10 formas. Pero cada selección automáticamente determina dosobjetos que no fueron escogidos. Así, hay una correspondencia entre selecciones de tres objetos yselecciones de dos. La conclusión es que debe haber el mismo número de formas de hacer una u otraselección, es decir:
.
Número total de subconjuntos posibles
Otra identidad muy famosa se refiere a la cantidad de subconjuntosque puede tener un conjunto dado. Esta identidad establece
.
Por ejemplo, si n=5:
Frecuentemente, la demostración de la identidad se reduce a «sustituir x=1, y=1 en el teorema de Newton»,aunque tal prueba impide entender la idea central detrás del resultado.
Partamos de un conjunto de 5 elementos. La suma
cuenta el número total de subconjuntos posibles, ya que
es el número de subconjuntos vacíos (sólo hay uno).
es el número de subconjuntos con un elemento.
es el número de subconjuntos con dos elementos.
es el número de subconjuntos con tres elementos.
es el número de subconjuntos con cuatro elementos.
es el número de subconjuntos con cinco elementos (sólo hay uno, el conjunto total).
La veracidad de la identidad quedará establecida si al contar el número total de subconjuntos de una formadistinta, se obtiene que tal cantidad es 25.
Supongamos que el conjunto original es A, B, C, D, E. Cada subconjunto está en correspondencia conuna serie de cinco opciones sí/no:
El subconjunto A, C, D corresponde a la serie «sí, no, sí, sí, no», ya que en el subconjunto síestán incluidos el primer, tercer y cuarto elementos del conjunto original, mientras que no estánincluidos el segundo y el quinto elemento.
Del mismo modo, dada una sucesión de cinco opciones sí/no, es posible recuperar el conjunto que le daorigen:
A la serie «sí, sí, no, no, sí» le corresponde el subconjunto A, B, E.
Por tanto, al corresponder cada subconjunto con una serie de sí/no, se tiene que el número de subconjuntoses igual al número de series posibles. Sin embargo, el número de formas de hacer cinco elecciones, cadauna con dos opciones, es 2×2×2×2×2 = 25.
La prueba del caso general con conjuntos de cualquier tamaño es directa. Cada subconjunto corresponde auna sucesión de n opciones «sí/no», habiendo 2×2×···×2=2n diferentes sucesiones.
Multiconjuntos y combinaciones con repetición
Así como los coeficientes binomiales enumeran formas de tomar subconjuntos a partir de un conjuto dado,es posible plantear el problema de determinar el número de formas de escoger un multisubconjunto de unconjunto.
Recordemos que en un multiconjunto es permitido repetir elementos aunque, al igual que en los conjuntos,el orden en que se mencionan es irrelevante.
Por ejemplo, a, e, e, i, o, o, o, u es el mismo multiconjunto que e, i, o, u, a, e, o, o
Para ilustrar el problema, consideremos el conjunto X=a, b, c, d. Listemos todos los posiblesmulticonjuntos de tres elementos obtenidos del conjunto X. Para brevedad, indicaremos las letras como sifuesen una palabra:
aaa aab aac aad abb abc abd acc acd addbbb bbc bbd bcc bcd bdd ccc ccd cdd ddd
Se recalca que el orden no importa, por esto es que no se lista por ejemplo, aca ya que el multiconjunto a,c, a es el mismo que el multiconjunto a, a, c. Estas selecciones donde se permite repetición pero no setoma en cuenta el orden se denominan combinaciones con repetición.
El número de formas en que se puede extraer unmulticonjunto con k elementos de un conjunto con nelementos se denota4 5
y corresponde al número de kcombinaciones conrepetición tomadas de un conjunto con n elementos.
Así, del listado inicial podemos deducir que . Antes de establecer una fórmula para el cálculodirecto de combinaciones con repetición, plantearemos un ejemplo clásico de problema relacionado conmulticonjuntos.
¿De cuántas maneras se puede repartir 10 caramelos a cuatro niños?
Vamos a imaginar que los nombres son Alonso, Beto, Carlos y Daniel (querepresentaremos como A, B, C, D).
Una posible forma de repartir los caramelos sería: dar dos caramelos a Alonso,tres a Beto, dos a Carlos y tres a Daniel. Dado que no importa el orden en quese reparten, podemos representar esta selección como
AABBBCCDDD
Otra forma posible de repartir los caramelos podría ser: dar un caramelo aAlonso, ninguno a Beto y Carlos, los nueve restantes se los damos a Daniel. Estarepartición la representamos como
ADDDDDDDDDD
De manera inversa, cualquier serie de 10 letras A, B, C, D corresponde a unaforma de repartir los caramelos. Por ejemplo, la serie AABBBBBDDDcorresponde a:
Dar dos caramelos a Alonso, cinco caramelos a Beto, ninguno a Carlos ytres a Daniel.
De esta forma, por el principio de la biyección, el número de formas en que sepuede repartir los caramelos es igual al número de series de 10 letras (sin tomaren cuenta el orden) A, B, C, D. Pero cada una de ellas corresponde a unmulticonjunto con 10 elementos, por lo que concluimos que el número total deformas de repartir los caramelos es .
La solución del ejemplo anterior es conceptualmente correcta (da el resultado mediante una interpretacióncombinatoria) pero no es práctica ya que no proporciona realmente el número de formas en que se puedehacer la repartición. Para obtener la fórmula procedemos a usar la siguiente estratagema.
Queremos dividir 10 objetos (los caramelos) en cuatro grupos. Para ello colocamos 10 objetosen línea e insertamos tres separadores para dividirlos en cuatro secciones. Por ejemplo, sirepresentamos los caramelos con asteriscos y los separadores con barras,nota 3 los ejemplosmencionados serían:
AABBBCCDDD → **/***/**/***ADDDDDDDDDD → *///*********AABBBBBDDD → **/*****//***
Y cualquier disposición de 10 asteriscos separados por tres barras (permitiendo grupos vacíos)corresponde a una forma de repartir y a su vez, a un multiconjunto:
****/***/**/* → AAAABBBCCD (cuatro caramelos para Alonso, tres para Beto, dospara Carlos y uno para Daniel)*****/*****// → AAAAABBBBB (cinco caramelos para Alonso y cinco para Beto)
De esta forma, el número de formas de repartir corresponde al número de disposiciones de 13símbolos, de los cuales: 10 son asteriscos y tres barras. Pero esto es precisamente el número deformas de elegir tres objetos de un conjunto con 13 (de las 13 disposiciones se estánescogiendo cuales 3 serán barras) y por tanto el resultado (el número de ordenamientos) es
formas.
Este argumento se puede aplicar en general: repartir k objetos entre n personas, corresponde a formarmulticonjuntos de tamaño k (los karamelos) escogidos de un conjunto con n (los niños), y a su vez estopuede enumerarse con una serie de k asteriscos y n1 barras, que puede realizarse de
formas. Queda establecido así el siguiente teorema.
El número de multiconjuntos con k elementosescogidos de un conjunto con n elementos satisface:
Es igual al número de combinaciones conrepetición de k elementos escogidos de unconjunto con n elementos.Es igual al número de formas de repartir kobjetos en n grupos.
Y además
.
Véase también
Triángulo de PascalFactorialCombinaciones con repeticiónPermutaciones
Notas al pie1. Estrictamente hablando, una combinación es la selección de un subconjunto, de modo que un coeficiente binomialcuenta el número de combinaciones. Sin embargo es común usar el término para referirse también a la cantidad deéstas como "combinaciones" en expresiones como "combinaciones de 5 en 3 es igual a 10".
2. La forma C(n,k) se prefiere cuando no se dispone de medios para representar índices o no se dispone de símbolos
matemáticos (por ejemplo, en el texto de un email), sin embargo, la tercera forma es la más común en entornosacadémicos y textos sobre el tema
3. La elección de asteriscos y barras puede ser sustituida por cualquier par de símbolos, es frecuente usar también 0en vez de asterisco y 1 en vez de barras.
Referencias1. Markushevich en Sucesiones recurrentes y Schneider en Matemáticas discretas.2. Sadosky, Manuel Introducción al álgebra, Eudeba 1963.3. Ribnikov: Análisis combinatorio ,1985)4. Eric W. Weisstein. «Multichoose» (http://mathworld.wolfram.com/Multichoose.html). Wolfram Mathworld.Consultado el 15 de diciembre de 2011.
5. Quinn, Benjamin Arthur T.; Quinn, Jennifer J. (2003). Proofs that Really Count: The art of combinatorial proof.The Mathematical Association of America. pp. 7071. ISBN 0883853337.
Bibliografía
Quinn, Benjamin Arthur T.; Quinn, Jennifer J. (2003). Proofs that Really Count: The art ofcombinatorial proof. The Mathematical Association of America. ISBN 0883853337.Graham, Ronald L.; Knuth, Donald. E y Patashnik, Oren. (1994). «Concrete Mathematics». AddisonWesley (2a ed. edición). ISBN 0201558025.Grimaldi, Ralph P. (1998). Matemáticas Discreta y Combinatoria (5a edición). Addison WesleyLongman. ISBN 9684443242.
Enlaces externos Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Coeficiente binomial.
Weisstein, Eric W. «Coeficiente binomial»(http://mathworld.wolfram.com/BinomialCoefficient.html). En Weisstein, Eric W. MathWorld (eninglés). Wolfram Research.
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Categorías: Álgebra Combinatoria enumerativa Teoría de conjuntos
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