相変化材料(PCM)を用いたモバイルデバイスの熱お …...相変化材料(PCM)を用いたモバイルデバイスの熱および強度信頼性に関する研究 Study

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Title 相変化材料(PCM)を用いたモバイルデバイスの熱および強度信頼性に関する研究

Author(s) 冨沢, 祐介

Citation 北海道大学. 博士(工学) 甲第13206号

Issue Date 2018-03-22

DOI 10.14943/doctoral.k13206

Doc URL http://hdl.handle.net/2115/69990

Type theses (doctoral)

File Information Yusuke_Tomizawa.pdf

Hokkaido University Collection of Scholarly and Academic Papers : HUSCAP

https://eprints.lib.hokudai.ac.jp/dspace/about.en.jsp

相変化材料(PCM)を用いたモバイルデバイスの

熱および強度信頼性に関する研究

Study on Thermal and Strength Reliability of

Mobile Devices Using Phase Change Material (PCM)

平成 30 年 3 月

冨沢祐介

相変化材料(PCM)を用いたモバイルデバイスの熱および強度信頼性に関する研究

目次

i

目次

主要記号一覧 .................................................................................................................. 1

第 1章序論 .......................................................................................................... 6

1.1 研究背景 ................................................................................................................................. 6

1.2 相変化材料に関する従来の研究 ....................................................................................... 10

1.3 はんだの繰返し塑性に関する従来の研究 ....................................................................... 11

1.4 本研究の目的および論文の構成 ....................................................................................... 13

第 2章 PCM/PE 複合材料による温度上昇遅延効果の検証 ............................... 15

2.1 緒言 ............................................................................................................................... 15

2.2 模擬スマートフォンへの PCM/PE 複合材料シート適用実験 ...................................... 16

2.2.1 PCM/PE 複合材料シートの作製 ................................................................................. 16

2.2.2 実験装置 ........................................................................................................................ 21

2.2.3 実験条件 ........................................................................................................................ 23

2.2.4 上昇温度と飽和時間 ..................................................................................................... 24

2.2.5 実験結果および考察 ..................................................................................................... 27

2.3 PCM シートの潜熱を考慮したシミュレーション ......................................................... 32

2.3.1 解析モデル..................................................................................................................... 32

2.3.2 PCM の潜熱のモデル化と熱物性値の予測 ............................................................... 33

2.3.3 物性値 ............................................................................................................................ 35

2.3.4 解析条件 ........................................................................................................................ 37

2.3.5 解析結果および考察 ..................................................................................................... 39

2.4 結言 ............................................................................................................................... 43


目次

ii

第 3章 PCM/PE 複合材料の強度特性 .................................................................... 44

3.1 緒言 ............................................................................................................................... 44

3.2 引張試験 ............................................................................................................................... 45

3.2.1 試験片の作製................................................................................................................. 45

3.2.2 試験条件 ........................................................................................................................ 48

3.2.3 試験結果および考察 ..................................................................................................... 49

3.3 マイクロスケール有限要素解析 ....................................................................................... 55

3.3.1 解析条件 ........................................................................................................................ 55

3.3.2 解析結果および考察 ..................................................................................................... 57

3.4 結言 ............................................................................................................................... 59

第 4章温度・振動複合負荷環境を模擬したはんだの強度特性試験 ................ 60

4.1 緒言 ............................................................................................................................... 60

4.2 銅-はんだ接合中空試験片 .................................................................................................. 60

4.3 二軸負荷試験機 ................................................................................................................... 63

4.4 試験条件 ............................................................................................................................... 64

4.5 試験結果および考察 ........................................................................................................... 67

4.5.1 繰返し硬化..................................................................................................................... 67

4.5.2 平均重畳応力の影響 ..................................................................................................... 67

4.5.3 軸方向繰返し負荷の影響 ............................................................................................. 70

4.5.4 二軸ラチェットひずみとサイクル数の関係 ............................................................. 70

4.5.5 二軸ラチェット疲労寿命 ............................................................................................. 73

4.6 結言 ............................................................................................................................... 78


目次

iii

第 5章弾粘塑性クリープ分離型構成式を用いた二軸ラチェット変形解析 .... 80

5.1 緒言 ............................................................................................................................... 80

5.2 弾塑性クリープ分離型構成モデル ................................................................................... 80

5.2.1 構成モデル..................................................................................................................... 80

5.2.2 材料定数の決定 ............................................................................................................. 82

5.2.3 弾塑性クリープ分離型構成モデルの問題点 ............................................................. 85

5.3 弾粘塑性クリープ分離型構成モデル ............................................................................... 87

5.3.1 弾塑性クリープ分離型構成モデルからの改良点 ..................................................... 87

5.3.2 材料定数の決定 ............................................................................................................. 88

5.3.3 応力-ひずみ関係 ........................................................................................................... 89

5.4 解析条件 ............................................................................................................................... 91

5.5 解析結果 ............................................................................................................................... 92

5.5.1 繰返し硬化..................................................................................................................... 92

5.5.2 平均重畳応力の影響 ..................................................................................................... 92

5.5.3 軸方向繰返し負荷の影響 ............................................................................................. 93

5.6 非比例負荷による硬化を考慮したシミュレーション ................................................... 98

5.6.1 非比例負荷のモデル化 ................................................................................................. 98

5.6.2 軸方向繰返し負荷を与えた場合の解析結果 ............................................................. 99

5.6.3 せん断負荷サイクル数と二軸ラチェットひずみの関係 ....................................... 100

5.7 二軸疲労寿命の推定 ......................................................................................................... 107

5.8 結言 ............................................................................................................................. 109

第 6章総括 ....................................................................................................... 110

6.1 結論 ............................................................................................................................. 110

6.2 展望 ............................................................................................................................. 113


目次

iv

付録 A リターンマッピング法 ............................................................................... 114

付録 B コンシステント接線剛性マトリクスの導出 .......................................... 125

文献 ...................................................................................................................... 132

図表一覧 ...................................................................................................................... 140

発表論文一覧 .............................................................................................................. 147

謝辞 ...................................................................................................................... 148


主要記号一覧

1

主要記号一覧

第 2 章

A ：断面積 [m2]

cp ：比熱 [J/kg∙K]

d ：厚さ [m]

g ：重力加速度 [m/s]

h ：対流熱伝達係数 [W/m2∙K]

H ：エンタルピー [J/kg]

hs ：顕熱 [J/kg]

k ：熱伝導率 [W/m∙K]

L ：総潜熱量 [J/kg]

L' ：代表長さ [m]

Nu ：ヌッセルト数

Pr ：プラントル数

Ra ：レイリー数

Rcontact

：接触熱抵抗 [m2∙K/W]

T ：温度 [°C]

t ：時間 [s] or [min]

Ta ：雰囲気温度 [°C]

Tref

：参照温度 [°C]

Ts ：表面温度 [°C]

β ：体膨張係数 [/K]

βl ：液相の体積分率

ΔH ：潜熱 [J/kg]

ΔT ：上昇温度 [°C]


主要記号一覧

2

：動粘度 [Pa∙s]

：密度 [kg/m3]

：体積分率

第 3 章

E ： Young 率 [MPa]

：応力 [MPa]

：ひずみ (%)

B ：引張強さ [MPa]

第 4 章

faxial

：軸方向繰返し負荷周波数 [Hz]

fshear

：せん断繰返し負荷周波数 [Hz]

N ：負荷サイクル数

Nf ：疲労寿命

W 非弾性ひずみエネルギー密度 [MJ/m3]

W' 修正非弾性ひずみエネルギー密度 [MJ/m3]

：せん断ひずみ (%)

Δ ：せん断ひずみ範囲 (%)

Δ ：軸方向繰返し負荷応力範囲 [MPa]

r ：二軸ラチェットひずみ (%)

r , dN

d r ：二軸ラチェットひずみ速度 (%/cycle)

mean

：軸方向平均応力 [MPa]

：せん断応力 [MPa]


主要記号一覧

3

第 5 章

A ：クリープ定数（Norton 則）

D ：参照応力（Ramberg-Osgood 則）[MPa]

D0 ：材料定数（D のひずみ速度依存性を表す） [MPa]

E ： Young 率 [MPa] or [GPa]

faxial

：軸方向繰返し負荷周波数 [Hz]

fNP

：負荷経路の非比例度

fshear

：せん断繰返し負荷周波数 [Hz]

H' ：塑性接線係数 [MPa]

m ：硬化指数（Ramberg-Osgood 則）

n ：クリープ定数（Norton 則）

N ：負荷サイクル数

Nf ：疲労寿命

p ：材料定数（D のひずみ速度依存性を表す）

T ：せん断負荷サイクル周期 [s]

W ：非弾性ひずみエネルギー密度[MJ/m3]

W' ：修正非弾性ひずみエネルギー密度[MJ/m3]

：材料定数（負荷経路の非比例度依存性を表す）

：せん断ひずみ

Δt ：時間増分 [s]

Δ ：せん断ひずみ範囲

cΔ ：相当クリープひずみ増分

pΔ ：相当塑性ひずみ増分

vpΔ ：相当粘塑性ひずみ増分

Δ ：軸方向繰返し負荷応力範囲 [MPa]


主要記号一覧

4

：相当ひずみ

：相当ひずみ速度 [/s]

0 ：基準塑性ひずみ（Ramberg-Osgood 則）

c , dt

d c ：相当クリープひずみ速度 [/s]

ep ：相当弾塑性ひずみ

evp ：相当弾粘塑性ひずみ

r ：二軸ラチェットひずみ

r , dN

d r ：二軸ラチェットひずみ速度(%/cycle)

：偏差有効応力と偏差応力速度の間の角度

：ポアソン比

：相当応力 [MPa]

mean

：軸方向平均応力 [MPa]

p ：引いた応力成分から求めた相当応力 [MPa]

Y ：降伏応力 [MPa]

：せん断応力 [MPa]

b ：背応力テンソル

De ：弾性テンソル

s ：偏差応力テンソル

s ：偏差応力速度テンソル

bs ：偏差有効応力テンソル

Δεc ：クリープひずみ増分テンソル

Δεp ：塑性ひずみ増分テンソル


主要記号一覧

5

Δεvp

：粘塑性ひずみ増分テンソル

ε ：全ひずみテンソル

εc ：クリープひずみテンソル

εe ：弾性ひずみテンソル

εp ：塑性ひずみテンソル

εvp

：粘塑性ひずみテンソル

σ ：応力テンソル


第 1 章序論

6

第 1 章

序論

1.1 研究背景

近年，スマートフォンやタブレット端末等のように高機能化，高性能化されたモバイルデ

バイスが普及してきている．これらのモバイルデバイスは小型であるため，表面積が少なく，

外部への放熱に対して不利である．また，高機能化，高性能化が進んでおり，発熱密度の著

しい増加がもたらされている[1]．発熱密度の増加によって，低温火傷や熱暴走，はんだの熱

サイクル疲労の加速を招く恐れがある[2]．これらを防止するためには，熱信頼性およびは

んだ接続部の強度信頼性を向上させる必要がある．ここでの熱信頼性の向上は，筐体表面温

度と実装基板上の IC チップの温度（ジャンクション温度）を低く保つことにより実現され

る．また，はんだ接続部の強度信頼性の向上は，実装基板上のはんだ接続部の疲労寿命を正

確に予測することによってなされる．

多くの電子機器の冷却方法として，ファンを使用した強制対流による空冷が一般的であ

る．強制対流を起こすことによって，電子機器と空気の間の熱伝達係数を大きくすることが

できるためである．しかし，小型のモバイルデバイスに対しては，ファンおよびヒートシン

クを取り付けるスペースがない[3]．また，ファンはノイズや振動が発生するため，小型のモ

バイルデバイスには不向きである[4]．さらに，近年のモバイルデバイス，特にスマートフォ

ンは防水，防塵機能を有しているものが多く，機器内部が密閉されている場合が多い．以上

の理由で，自然空冷による冷却が主となっている．しかしながら，自然空冷は冷却性能の低

さが課題となっており，筐体表面温度が高いとユーザーに対して不快感を与える可能性が

ある[5]ため，自然空冷の冷却性能を補うことが求められている．

近年では，電子機器の冷却方法として，相変化材料を用いた受動的冷却が注目を集めてい

る．相変化材料は Phase Change Material を略して PCM と呼ばれ，PCM にはパラフィン系，

無機塩系，有機塩系，低融点合金系等の種類があるが，パラフィン系 PCM が最も有望な PCM


第 1 章序論

7

と言われている[6]．パラフィンは大きな融解潜熱と大きな比熱を持っており，相変化中の

体積変化が小さいという利点がある[7]．PCM は融解時の潜熱により，温度をほとんど変化

させることなく熱を吸収することができるため，温度上昇にかかる時間を遅らせる効果，い

わゆる遅延効果が得られる．この遅延効果によって温度を低く保つことができる．特に，断

続的に発熱をする電子機器に対して PCM を用いた冷却は有効である[1]とされている．これ

までに，電子機器の冷却における PCMの効果的な利用方法を検討する研究が行われている．

特に，フィン付きヒートシンクと PCM の組み合わせに関する研究が盛んに行われている．

しかしながら，フィン付きヒートシンクを取り付けるスペースのないモバイルデバイスに

対する PCM の効果的な利用方法についてはほとんど検討がなされていない．モバイルデバ

イスに PCM を用いるためには，融解した PCM の漏出を防止する必要がある．近年，マイ

クロカプセル PCM を用いた複合材料に関する研究が行われている．PCM をマイクロカプ

セル化することにより，PCM の体積含有率は低下してしまうが，液相の PCM がカプセル外

に漏れ出ず，形状を維持できるという利点がある．また，さまざまな材料に複合し，蓄熱機

能を付加することができることも大きな利点である．本研究では，マイクロカプセル PCM

と樹脂の複合材料を小型モバイルデバイスに適用することを検討する．さらに，既存の構造

部材に使用されている樹脂材料をマイクロカプセル PCM複合材料に置き換えることができ

ると考えられ，モバイルデバイスに対して有効な手段となる可能性があり，このためには，

樹脂材料をマイクロカプセル PCM 複合材料へ置換することの有効性を検討する必要があ

る．

また，モバイルデバイスの発熱密度の増加に起因する温度環境の悪化により，はんだ接続

部の強度信頼性のさらなる向上が求められている．近年，電子機器の強度信頼性向上を目的

とした加速試験として，HALT (Highly Accelerated Limit Test)が着目されている．HALT とは

電子機器に急激な温度サイクル負荷と振動負荷の複合負荷を与えることにより，製品を短

時間で破壊に至らしめ，製品の潜在的な弱点や稼働限界・破壊限界を明らかにする試験[8]

である．HALT によって得られるこれらの情報を設計へのフィードバックや強度信頼性の評


第 1 章序論

8

価に用いる．HALT に関して，従来の加速試験より短時間で強度信頼性評価が可能となると

いう報告[9]がなされている．図 1.1 に HALT 試験機の外観を示す．ダクトから高温，低温の

気体が吹き出し，周期的な温度負荷を与える．被験体は加振台に固定され，加振台が六軸の

振動をすることにより，振動負荷が与えられる．図 1.2 に HALT における温度および振動の

プロファイルの一例を示す．

はんだ接続部に温度サイクル負荷が与えられると，はんだと基板の線膨張係数の違いに

より，はんだに繰返しの非弾性変形が生じ，低サイクル疲労を引き起こす．また，実装基板

上のはんだ接続部に温度サイクル負荷が作用することにより，はんだと基板との接合部付

近で二軸ラチェット変形を生じる[10]ということがわかっている．ラチェット変形とは繰返

し負荷によって非弾性ひずみが蓄積する現象のことであり，疲労寿命の大幅な低下の原因

となる．このように，温度サイクル負荷を与えた場合のはんだの変形については明らかにさ

れているが，HALT のように温度サイクル負荷に振動負荷を重畳させた場合のはんだの変形

については詳細な研究がなされていない．よって，温度サイクル負荷によってはんだに生じ

る二軸ラチェット変形に対して，振動負荷が与える影響を明らかにする必要がある．さらに，

はんだ接続部の強度設計を行う際には，有限要素法(FEM)による数値シミュレーションと材

料試験による疲労強度データを組み合わせた，低サイクル疲労寿命予測手法が必要となる．

この手法における疲労寿命予測精度はシミュレーションに用いる構成モデルに依存するた

め，振動負荷を重畳した場合のはんだの二軸ラチェット変形挙動をシミュレーションでよ

り正確に記述できる構成モデルが必要である．振動負荷の影響を考慮した低サイクル疲労

寿命予測手法が確立できれば，HALT ではんだ接続部に不具合が見つかった場合の設計改善

指標の明確化や，HALT 実施前のシミュレーションによる弱点の洗い出しに繋がり，はんだ

接続部の強度信頼性の向上に寄与すると考えられる．


第 1 章序論

9

Fig. 1.1 An example of HALT machines.

Fig. 1.2 An example of temperature and vibration profile of HALT.


第 1 章序論

10

1.2 相変化材料に関する従来の研究

これまでに電子機器の冷却における PCMの利用を検討するための研究がいくつか行われ

てきた．Alawadhi と Amon はポータブル電子機器用の PCM 熱制御ユニット（TCU）に関す

る実験および数値解析を行い，熱源の発熱条件やステファン数の影響について検討を行っ

ている[11]．Tan らは，内部に n-エイコサンというパラフィンで満たされた蓄熱ユニットを

用いた携帯情報端末（PDA）やウェアラブル・コンピュータ，携帯電話に関する実験を行い，

発熱の分布の影響[12]，ヒートシンクユニットの内側にアルミニウムのフィンをつける影響

[7]，異なる電力設定での定常的および過渡的な加熱・放熱の影響[1]について検討を行って

いる．また，電力設定やフィンの数，フィンの形状の影響を調べるために数値解析も行って

いる[13]．石塚らは PCM を用いたヒートシンクの熱回路網法による数値解析を試みている

[14-16]．Kandasamy ら[17, 18]はモバイル機器の熱設計のために，PCM を用いたヒートシン

クの配置の影響について実験的および数値的に検討を行っている．Mahmoud ら[19]は，ヒー

トシンクに用いる PCM の種類とヒートシンクの形状，出力レベルが電子機器冷却性能に対

して与える影響について実験的に検討を行っている．発泡金属／PCM 複合材料を用いたヒ

ートシンクに関する研究も行われている[20]．Kizilel ら[21]や Li ら[22]は，リチウムイオン

電池の温度上昇を抑制するために PCM を用いた実験を行っており，発泡金属とともに用い

ることによる影響について検討を行っている．このように，従来の PCM の研究は，対象と

しているものがヒートシンクや自動車用のリチウムイオン電池のように大きいものが多く，

モバイルフォンのようにヒートシンクを取り付けるスペースもないものを対象とした研究

はほとんど行われていない．

モバイルデバイスに PCM を用いる場合，融解した PCM が漏れ出ないようにする必要が

ある．近年，マイクロカプセル PCM，特にマイクロカプセル PCM 複合材料に関する研究が

行われている．義則ら[23]は，マイクロカプセル PCM とシリコンゴムの複合材料の熱物性

値を測定している．葛木ら[24]は，非定常熱伝導実験を行い，数値解析モデルの検証を行っ

ている．Wang ら[25]は，膨張化黒鉛とマイクロカプセル PCM，ポリエチレンの複合材料を


第 1 章序論

11

作製し，熱伝導率の向上について検討している．Zhang ら[26]は，マイクロカプセル PCM と

エポキシ樹脂に炭素繊維やアルミニウム粉末，シリカゲルを複合した材料を作製し，融解熱

性能について実験的に検討を行っている．マイクロカプセル PCM を含有した複合材料の物

性値は様々な研究者によって報告[27-33]されている．しかしながら，マイクロカプセル PCM

複合材料の熱物性データは依然として不足しており，熱シミュレーションを行う上での障

壁となっている．

さらに，既存の構造部材に使用されている樹脂材料をマイクロカプセル PCM 複合材料に

置き換える場合には，マイクロカプセル PCM 複合材料の強度特性を明らかにする必要があ

るが，マイクロカプセル PCM複合材料の強度特性について研究を行った例はほとんどない．

1.3 はんだの繰返し塑性に関する従来の研究

金属材料のラチェット変形に関して多くの研究者によって研究がなされてきた．Inoue ら

[34, 35]は 2(1/4)Cr-1Mo 鋼の単軸ラチェット，二軸ラチェット変形挙動について 10 種類の構

成モデルによる解析結果と実験結果を比較し，構成モデルの評価を行っている．Chaboche

[36]は Type 316L ステンレス鋼の単軸ラチェット挙動を移動硬化則で表現することを試みて

いる．Ohno ら[37-39]は Ohno-Wang モデルを提案し，9Cr-1Mo 鋼や IN738LC 合金，316FR 鋼

での実験結果との比較を行っている．Hassan ら[40, 41]は CS1018 炭素鋼，SS304 ステンレス

鋼を用いた単軸，二軸ラチェットの実験および解析を行っている．Sasakiら[42, 43]は SUS304

ステンレス鋼の単軸，二軸ラチェット変形とクリープ変形（粘性）との関連性について検討

を行っている．Kang ら[44]は SS304 ステンレス鋼の単軸ラチェット変形が疲労寿命に与え

る影響について検討を行っている．Lin ら[45]は AZ31B マグネシウム合金の単軸ラチェット

挙動を自ら提案する修正移動硬化則を用いてシミュレーションしている．以上のように多

くの研究例はあるが，ラチェット変形をシミュレーションで完全に記述できる構成モデル

はほとんど見当たらない．

はんだのラチェット変形挙動を明らかにする研究も報告されており，X. Chen ら[46]と G.


第 1 章序論

12

Chen ら[47]は共晶 63Sn–37Pb はんだの単軸，二軸ラチェット挙動を実験によって明らかに

している．Gao と Chen [48]は Sn-3.5Ag はんだの二軸ラチェット変形と疲労寿命について実

験的な検討を行っている．Kobayashi と Sasaki [49]は Sn-3Ag-0.5Cu はんだと Sn–37Pb はんだ

の単軸ラチェット試験およびシミュレーションを行い，背応力の動的回復項を考慮した構

成モデルの検討を行っている．Sasaki と Ohguchi [50]は弾・塑性・クリープ分離モデルを用

いて Sn-3Ag-0.5Cu はんだと Sn–37Pb はんだの単軸ラチェットのシミュレーションを試みて

いる．Liang ら[51]は Sn-3Ag-0.5Cu はんだの二軸ラチェット試験を行い，疲労寿命予測式の

検討を行っている．これらの研究により，はんだのラチェット変形挙動は明らかにされてき

たが，はんだのラチェット変形に対して振動負荷を重畳した場合についての検討はなされ

ていない．

はんだの構成モデルに関して，弾性ひずみ以外のひずみを非弾性ひずみとしてまとめて

扱う統一型構成モデルと，非弾性ひずみを 2 つ以上の成分（例えば，塑性ひずみとクリープ

ひずみ）に分ける分離型構成モデルがある．分離型構成モデルは，統一型構成モデルに比べ

て，塑性と粘性の相互作用のような複雑な現象を表現することはできない．しかし，材料定

数の物理的意味が明確であり，その決定が比較的容易にできるという利点があるため，分離

型構成モデルの方が工業的に有用であると言われている．Kobayashi ら[52]や Takahashi ら

[53]は非弾性ひずみを背応力に依存する過渡的成分と背応力に依存しない定常成分に分離

し，背応力の発展式に Ohno-Wang モデルを用いる構成モデルを提案している．大口[54]や

Sasaki ら[50]は弾・塑性・クリープ分離モデルをはんだに適用させている．


第 1 章序論

13

1.4 本研究の目的および論文の構成

本論文の目的は，大きく分けて 2 つある．1 つ目は，通常使用時のモバイルデバイスに対

する PCM の最適な使用条件の検討を行い，モバイルデバイスの熱信頼性向上に繋げること

である．2 つ目は，HALT 環境におけるはんだ接続部の二軸ラチェット変形挙動を解明する

ことにより，モバイルデバイスの強度信頼性向上に繋げることである．

小型のモバイルデバイスに対する PCM の効果的な利用方法についてはほとんど研究例

がない．小型のモバイルデバイスに PCM を用いる場合，融解して液体となった PCM が漏

れ出ないようにする必要がある．本研究では，MPCM とポリエチレン(PE)を加熱成型する

ことによって作製した PCM/PE 複合材料シートを用いて，モバイルフォンに PCM を適用す

ることを模擬した温度測定実験およびシミュレーションを行う．これにより，通常使用時の

モバイルデバイスに対する PCM の最適な使用条件の検討を行う．また，モバイルデバイス

の薄型化を妨げずに十分な PCM の潜熱量を確保する必要がある．この課題を解決する方策

の１つとして，構造部材に用いられている樹脂材料をマイクロカプセル PCM（MPCM）と

樹脂の複合材料に置き換える方法が考えられる．このためには，PCM/PE 複合材料の強度特

性を知る必要があり，これを引張試験およびマイクロスケールシミュレーションによって

明らかにする．

温度サイクル負荷によるはんだ接続部の二軸ラチェット変形に対して振動負荷が与える

影響については明らかにされておらず，はんだ接続部の強度信頼性の向上のためには，これ

を正確に把握する必要がある．本研究では，Sn-3Ag-0.5Cu はんだを用いて二軸ラチェット

試験を行う．Sn-3Ag-0.5Cu はんだを用いた理由は，近年のはんだの鉛フリー化によって，錫

-銀-銅（Sn-Ag-Cu）系はんだ（SAC はんだ）が一般的に用いられるようになってきており，

電子情報技術産業協会（JEITA）では Sn-3Ag-0.5Cu はんだを用いることを推奨しているため

である．二軸ラチェット試験において，軸方向重畳応力に微小な応力振動を与えることによ

り，温度サイクルと振動の複合負荷条件下でのはんだの変形特性を明らかにする．また，二

軸ラチェット疲労寿命を予測するためのパラメータの検討を行う．さらに，温度・振動複合


第 1 章序論

14

負荷条件下における Sn-3Ag-0.5Cu はんだの変形をシミュレーションするための構成モデル

の検討を行い，二軸ラチェット試験で得られた疲労データと組み合わせて，温度・振動複合

負荷条件を考慮した低サイクル疲労寿命評価法を確立する．

本論文は全 6 章で構成されており，以下に各章の概要を述べる．

第 1 章では，本研究の背景と近年の研究動向，本研究の目的および本論文の構成につい

て述べる．モバイルデバイスの信頼性を向上させるために，PCM による熱対策とはんだ接

続部の強度信頼性評価の抱える問題点を示し，本論文の目的を明確にする．

第 2 章では，PCM を模擬スマートフォンに適用した温度測定実験および伝熱シミュレー

ションを行い，PCM をモバイルデバイスに適用させる上で最適な方法について検討を行う．

第 3 章では，PCM を含有する樹脂材料の強度特性を引張試験およびマイクロスケールの

シミュレーションによって明らかにし，構造部材の樹脂材料を PCM/樹脂複合材料に置き換

えることの可能性について検討する．

第 4 章では，はんだ接続部の強度信頼性評価の精度向上を目的として，HALT を模擬した

二軸ラチェット試験を行い，振動負荷を重畳した負荷条件下でのはんだの二軸ラチェット

変形特性を明らかにする．また，振動負荷を重畳した場合でも強度設計が可能となるように，

疲労寿命予測が可能なパラメータの検討を行う．

第 5 章では，弾塑性クリープ分離型構成モデルを用いたシミュレーションにより，第 4 章

で行ったはんだの二軸ラチェット試験の再現を行う．従来の弾塑性クリープ分離型構成モ

デルの問題点を明らかにし，これを改良することで，より正確な二軸ラチェットシミュレー

ションが可能な構成モデルの検討を行う．また，シミュレーション結果を用いて疲労寿命予

測が可能であることを示し，構成モデルの有効性を示す．

第 6 章では，全体の総括と本研究より得られた結論について述べる．


第 2 章 PCM/PE 複合材料による温度上昇遅延効果の検証

15

第 2 章

PCM/PE複合材料による温度上昇遅延効果の検証

2.1 緒言

近年，PCM を用いた電子機器の冷却が注目を集めている．断続的に発熱をする電子機器

に対して PCM は有効であるとされており，スマートフォンのような小型のモバイルデバイ

スに対しても有効であると考えられる．しかしながら，小型のモバイルデバイスに対する

PCM の効果的な利用方法についてはほとんど検討がなされていない．小型のモバイルデバ

イスに PCM を用いる場合，相変化後の液体 PCM が漏れ出ないようにし，また，薄型化を

妨げずに十分な潜熱量を確保しなければならないという課題がある．これらの課題を解決

する方策の１つとして，構造部材に用いられている樹脂材料をマイクロカプセル PCM

（MPCM）と樹脂の複合材料に置き換える方法が考えられる．

本章では，MPCM とポリエチレン（PE）から作製した PCM/PE 複合材料シート（以下で

は PCM シートと記す）を用いて，モバイルフォンに PCM を適用することを模擬した温度

測定実験を行う．この実験により，PCM シートの潜熱量，熱伝導率，形状の影響，および

高熱伝導シートとの同時利用の効果を明らかにする．さらに，PCM/PE 複合材料の熱物性値

を混合則によって推定し，実験と同様の条件での有限要素解析を行い，シミュレーションに

よる実験の再現が可能か検証する．



16

2.2 模擬スマートフォンへの PCM/PE 複合材料シート適用実験

2.2.1 PCM/PE 複合材料シートの作製

本研究で用いた PCM はパラフィンである．パラフィンは他の PCM より比較的安価であ

り，潜熱量が大きく，化学的に不活性であるため金属を腐食させないといった利点があり，

最も有望な PCM と言われている．また，パラフィンの分子に含まれる炭素量を変化させる

ことにより，融点をおよそ 5°C から 60°C の間で設定可能であることも大きな利点である．

このことにより，目的の温度で蓄熱機能を発揮させることが可能である．本研究では液化し

た PCM が漏れ出ないようにメラミン樹脂によってマイクロカプセル化された PCM を採用

した．このようなマイクロカプセル PCM を用いることで，スマートフォン等のモバイルデ

バイスに対しても適用可能となる．採用したマイクロカプセル PCM（MPCM）は，三木理

研工業株式会社製の PMCD-32SP である．この諸物性を表 2.1 に示す．本研究では，MPCM

とポリエチレン（PE）を 1 : 1 の質量割合で混合し，ペレット状にしたマスターバッチを用

いて PCM/PE 複合材料シートの作製を行った．なお，PCM/PE 複合材料シートのことを以下

では PCM シートと呼ぶこととする．図 2.1 にマイクロカプセル PCM，PCM マスターバッ

チの外観を示す．

図 2.2 に PCM シートを成型するために使用した金型を示す．材料には S45C を用いた．

金型は雄型と雌型で構成され，雌型が雄型のガイドを兼ねているため，ほとんど厚さが均一

な PCM シートを作製することができる．また，成型後に PCM シートを取り出すときには

雄型を押出すことにより，成型物を簡単に取り出すことができるようになっている．図 2.2

に示すように雌型の下にアルミ板を設置し，その下から強力な磁石で固定を行うことによ

り，雌型とアルミ板の間から溶けた PCM マスターバッチが漏れ出ないようにしている．図

2.3 に PCM マスターバッチおよび金型の加熱に使用した小型プログラム電気炉（MMF-2W,

AS ONE Corporation）の外観を示す．PCM マスターバッチ，金型，電気炉を用いて PCM シ

ートを成型する手順を以下に示す．



17

i) 雌型に離型剤（シリコンオイル）を塗布し，PCM マスターバッチを入れる．

ii) 雄型にも離型剤を塗布し，雌型にセットする．

iii) 温度を 155°C に設定した電気炉の中に金型を入れ，10 分間予熱する．

iv) 雄型の上から 3 kg のおもりを乗せ，5 分間加熱する．

v) 電気炉から取り出し，十分に空冷した後，雄型を押出すことで成型物を取り出す．

なお，電気炉の温度を 155°C に設定することにより，マイクロカプセル PCM のメラミン

樹脂膜がほとんど破壊されずにポリエチレンのみが溶融するため，マイクロカプセル PCM

内部の PCM を保持したまま成型することが可能となる．また，相変化をしないものとの比

較のためにポリエチレンシート（PE シート）も作製した．ポリエチレン粉末として旭化成

ケミカルズ株式会社製のサンファイン TM XLH451 を用い，上記の PCM シートの成型手順と

同様の手順で PE シートを作製した．図 2.4 に作製した PCM シートの外観を，表 2.2 に PCM

シートの寸法および質量を示す．



18

Table 2.1 Material properties of microencapsulated PCM (MPCM).

Melting point

[°C]

Latent heat

[kJ/kg]

Specific heat

[kJ/kg∙K]

Bulk density

[kg/m3]

PMCD-32SP 32 140-160 1.6 300-600

Fig. 2.1 Pictures of phase change materials (PCM).

(a) Microscopic view of Microencapsulated PCM (MPCM).

(b) Macroscopic view of MPCM. (c) PCM master batch.

(a)

(b) (c)



19

Fig. 2.2 Male mold and female mold for fabrication of PCM/PE composite sheet.

(a) Dimensions of the mold. (b) General view.

Female mold Male mold

Female mold

Aluminum

plate

Magnet Male mold

(a)

(b)



20

Fig. 2.3 Electric furnace MMF-2W.

Fig. 2.4 PCM sheets.

Table 2.2 Dimensions and mass of PCM sheets and PE sheet.

Dimensions [mm]

Mass [g]

Length Width Thickness

PE sheet (25×25×4) 25 25 4.0 1.94

PCM sheet (25×25×4) 25 25 4.4 2.24

PCM sheet (50×50×1) 50 50 1.1 2.32



21

2.2.2 実験装置

本実験では図 2.5 に示すような実験装置を試作した．試験領域の模式図を図 2.6 に示す．

筐体にはフロント側にポリカーボネート製のケース，リア側にアクリル製の板を用いた．ボ

ルトとナットを用いて基板をリア側ケースから離すとともに基板の位置決めを行った．そ

して，基板上に LSI を模擬したセラミックヒーターを放熱用両面テープで固定し，セラミッ

クヒーター上に PCM 試料または PE 試料を放熱用両面テープで固定した．温度測定には T

型熱電対を用いた．T 型熱電対は使用温度範囲が−200°C～300°C であるため高温の測定には

適していないが，電気抵抗が小さく，起電力が安定しているため，比較的低温での高精度な

温度測定に広く用いられている．温度測定点はヒーター，PCM シート（あるいは PE シー

ト）2 か所，基板 2 か所，フロント側ケース 2 か所，リア側ケース 2 か所，室温の計 10 か

所である．図 2.6(b)に温度測定点の位置を示す．なお，PCM シートとケースには温度測定点

に小さな溝をつくり，その溝と熱電対との隙間をエポキシ樹脂で埋め，さらにカプトンテー

プで固定をした．ヒーターと基板には溝をつくらず，カプトンテープのみで熱電対を固定し

た．熱電対は 0°C～100°C の温度域でキャリブレーションを行い±0.5°C の精度を有してい

る．温度データはデータロガーを通して収集を行った．実験に使用した器具を以下に示す．

・フロント側ケース 122 62 11 mm，板厚 1 mm

（材料：ポリカーボネート，株式会社ミスミ）

・リア側ケース 122 62 11 mm（材料：アクリル）

・基板（実際にモバイルフォンに使用されているもの，富士通株式会社より提供）

・セラミックヒーター 20 15 1.27 mm（MMCPH-20-15，株式会社ミスミ）

・放熱用両面テープ（HF-S43，サンハヤト株式会社）

・直流電源装置（PMC35-1，菊水電子工業株式会社）

・デジタルマルチメータ（VOAC7522，岩通計測株式会社）

・データロガー（NR-1000，株式会社キーエンス）

・T 型熱電対（素線径：0.1 mm）



22

Fig. 2.5 Experimental setup.

Fig. 2.6 Test section of the experiment using smart phone simulator.

(a) Dimensions. (b) Thermocouple locations.

Test section

Digital multimeter

DC power supply

Data logger

Ambient temperature

62 mm

14 m

m

Front case #1

Front case #2

PCM (PE) #1

Heater

Substrate #1

Substrate #2

Rear case #1

Rear case #2

PCM (PE) #2

(b) (a)



23

2.2.3 実験条件

セラミックヒーターに与える電圧を 8.5 V に設定し，電源装置の OUTPUT ボタンを押す

のと同時に測定を開始した．そして，ヒーターを ON にした状態で 60 分間の温度測定を行

った．なお，セラミックヒーターの内部抵抗は温度によって変化し，電流値が変動するため，

ヒーターの消費電力も変動する．実験開始直後のヒーターの消費電力は 1.5 W で，定常状態

に達したときのヒーターの消費電力は 1.3 W であった．なお，ここでの発熱条件は通常使用

時を想定したものとなっている．以上のような手順の実験を以下の 4 通りの条件で，それぞ

れ 3 回ずつ行った．

a) シートなし

b) PE シート（25×25×4 mm）

c) PCM シート（25×25×4 mm）

d) PCM シート（50×50×1 mm）

PCM シート（25×25×4 mm）と PCM シート（50×50×1 mm）は体積と質量がほとんど等し

く，潜熱量もほぼ同等であると考えられる．両者を比較することにより，形状（板厚，底面

積）の影響について検討を行った．

さらに，PCM シート（25×25×4 mm，50×50×1 mm）に銅シートを貼付し，高熱伝導シート

との使用を想定した実験も行い，その影響についても検討した．なお，銅シートは PCM シ

ート下面（ヒーター側）に貼付した．銅シートを貼付した次の 2 条件についても，それぞれ

3 回ずつ実験を行った．

e) PCM シート（25×25×4 mm）＋銅シート

f) PCM シート（50×50×1 mm）＋銅シート

なお，模擬スマートフォンは水平に保った状態で全ての外表面が空気に面しているような

放熱条件となっている．実際の使用時には，手に持っている状態，バッグに入れている状態，

衣服のポケットに入れている状態等の放熱条件も想定されるが，最も基本的な放熱条件で

ある，全面が自然空冷となる放熱条件を採用した．



24

2.2.4 上昇温度と飽和時間

温度測定点ごとの結果を比較する上で，室温の違いが問題となる．室温が高いとその分，

各温度測定点の温度も高くなってしまうためである．そこで，上昇温度T を用いて評価を

行うこととする．上昇温度T での温度評価は電子機器メーカーでも用いられている方法で

ある．上昇温度T の定義は以下の通りである．

aΔ TTT (2.1)

ここで，T は各測定点の温度であり，Taは雰囲気温度（室温）である．上昇温度を用いるこ

とにより，室温の影響を少なくすることが可能である．

また，PCM による温度上昇遅延効果を定量的に評価する基準は現在のところまだない．

そこで，本研究では定常状態に達するまでにかかる時間を飽和時間と定義し，飽和時間を比

較することにより，温度上昇遅延効果の定量的評価を試みた．すなわち，本研究における遅

延効果とは定常状態に達するまでにかかる時間を増加させる効果であるとする．

実験データはノイズの影響により一定値になることはほとんどなく，最高上昇温度を求

めたり，定常状態に達したかどうかを判定したりすることが困難である．そこで，次式に示

す関数 f (t)を最小二乗法によって実験値にフィッティングし，この関数 f (t)を用いて最高上

昇温度および飽和時間を求めることとした．

CtBAtBAtBAtf 332211 erferferf (2.2)

ここで，A1，A

2，A

3，B

1，B

2，B

3，C は最小二乗法によって決定される定数である．erf はガ

ウスの誤差関数であり，次式のように定義される．

t

det0

22erf

(2.3)

誤差関数を用いた理由は，非定常状態から定常（温度が一定となる）状態までを表現できる

関数であるためである．誤差関数の項数を 4 以上にしてもフィッティング曲線の形状に大

きな違いが見られないため，誤差関数の項数は 3 とした．PCM シートを用いた場合，相変

化が起こっている間は温度変化が緩やかになるため，相変化が終わった後の範囲でフィッ



25

ティングを行うこととした．図 2.7 に PE シート（25×25×4 mm）および PCM シート（25×25×4

mm）を用いた場合の温度測定点 PCM (PE) #1 における実験結果にフィッティングした曲線

の例を示す．横軸が時間，縦軸が上昇温度を表しており，□が実験値，実線がフィッティン

グ曲線をそれぞれ表している．本研究では最高上昇温度Tmaxおよび飽和時間 t

satをフィッテ

ィング関数 f (t)を用いて以下のように定義する．

finalmaxΔ ttfT (2.4)

2

sat 1031|min tftftt (2.5)

ここで，tfinalは加熱時間の最終時間であり，本実験では t

final = 60 min である．時間の単位は

分(min)とする．式(2.5)の右辺は 1 分間あたりの上昇温度の変化量が始めて 3×10-2°C/min よ

り小さくなった時間を意味している．



26

Fig. 2.7 Examples of fitting curve and the definition of maximum temperature rise T

and saturation time tsat

.

(a) Temperature rise at PE #1 on the PE sheet (25×25×4 mm).

(b) Temperature rise at PCM #1 on the PCM sheet (25×25×4 mm).

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50 60

Tem

per

atu

re r

ise

T, °C

Time t, s

Experimental data

Fitting curve

tsat

Tmax

Steady state

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50 60

Tem

per

atu

re r

ise

T, °C

Time t, min

Experimental data

Fitting curve

tsat

Tmax

Steady state

End of phase change

(a)

(b)



27

2.2.5 実験結果および考察

シートなし，PE シート（25×25×4 mm），PCM シート（25×25×4 mm，50×50×1 mm），PCM

シート（25×25×4 mm，50×50×1 mm）＋銅箔の場合における，ヒーターおよびフロントケー

スの上昇温度と時間の関係を図 2.8 に示す．また，最高上昇温度の比較を図 2.9 に，飽和時

間の比較を図 2.10 にそれぞれ示す．図 2.8 より，板厚の厚い PCM シート（25×25×4 mm）

のほうが面積の大きい PCM シート（50×50×1 mm）よりも温度変化が緩やかになることが

わかる．さらに，銅シートを貼付したシートの場合，銅シートを貼付しなかった場合に比べ

て温度変化が緩やかになる．

シートなし，PE シート（25×25×4 mm），PCM シート（25×25×4 mm）の結果を比較する．

図 2.9 より，PE シートあるいは PCM シートをヒーターの上に配置することにより，シート

なしの場合よりヒーターの温度は低下することがわかった．また，PCM シートを用いた場

合のほうが PE シートを用いた場合よりもヒーターの温度が上昇し，フロントケースの温度

が低下することがわかった．これは PCM がポリエチレンよりも熱伝導率が低いことが原因

である．したがって，モバイルデバイスの隙間（筐体内部の空気がある部分）に PCM を用

いる場合には，LSI の温度は低下するが，樹脂を PCM に置き換える場合には，熱抵抗が増

加し，LSI の温度が上昇することになる．飽和時間に関しては，図 2.10 より，PE シートを

用いた場合よりも PCMシートを用いた場合のほうがシートなしの場合と比較して大幅に飽

和時間が増加していることがわかった．ポリエチレンと PCM の熱容量を比較すると大きな

差はない．しかし，飽和時間に大きな差が生じており，PCM シートの顕熱よりも潜熱のほ

うが飽和時間に与える影響が大きいことを表している．

次いで，PCM シートの体積（潜熱量）が同等で形状が異なる 25×25×4 mm，50×50×1 mm

の結果を比較し，PCM シートの形状の影響について検討する．図 2.10 より，PCM シートの

板厚を大きくしたほうが飽和時間は大幅に増加することがわかった．このことから，底面積

よりも板厚のほうが遅延効果に与える影響が大きいといえる．以上より，PCM シートをモ

バイルデバイスに用いる場合には，板厚をできるだけ大きくしたほうが熱設計上効果的で



28

あるといえる．

PCM シート（25×25×4 mm，50×50×1 mm）に銅シートを貼付した場合の結果を比較す

る．図 2.9 より，銅シートを用いることによってヒーターの温度が低下することがわか

る．また，PCM シート（25×25×4 mm）を用いた場合には銅シートを用いることによりフ

ロントケースの温度は上昇し，PCM シート（50×50×1 mm）を用いた場合には銅シートを

用いることによりフロントケースの温度は低下した．すなわち，銅シートによって温度を

均一化される面積が大きくなければ，銅シートを同時に用いる利点を最大限に引き出すこ

とはできない．図 2.10 より，銅シートを用いても飽和時間はほとんど変化せず，板厚が厚

いほうが遅延効果は大きいことがわかる．したがって，PCM シートと高熱伝導シートの同

時利用を行う場合には，板厚の厚い PCM シートと面積の大きい高熱伝導シートを用いる

ことが効果的であるということがわかった．以上のように，実際のモバイルフォンにおい

ては，板厚の厚い PCM シートとグラファイトシートのような高熱伝導シートと組み合わ

せることで最高温度を大幅に下げることと大きな遅延効果を得ることの両立ができる可能

性を示した．



29

Fig. 2.8 Relationships between temperature rise and time in experiments.

(a) At the heater. (b) At the front case #1.

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

Tem

per

ature

ris

e Δ

T, ˚C

Time t, min

Nothing

PE (25×25×4)

PCM (25×25×4)

PCM (50×50×1)

PCM (25×25×4) + copper


0

5

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50 60

Tem

per

atu

re r

ise

ΔT

, ˚C

Time t, min

Nothing

PE (25×25×4)

PCM (25×25×4)

PCM (50×50×1)



(a)

(b)



30

Fig. 2.9 Comparison of maximum temperature rises in each condition.


0

10

20

30

40

50

60

Nothing PE

(25×25×4)

PCM

(25×25×4)

PCM

(50×50×1)

PCM

(25×25×4)

+ copper

PCM

(50×50×1)

+ copper

Max

imum

tem

per

ature

ris

e Δ

Tm

ax, ˚C

0

5

10

15

20

25

30

Nothing PE

(25×25×4)

PCM

(25×25×4)

PCM

(50×50×1)

PCM

(25×25×4)

+ copper

PCM

(50×50×1)

+ copper

Max

imum

tem

per

ature

ris

e Δ

Tm

ax, ˚C

(a)

(b)



31

Fig. 2.10 Comparison of saturation times in each condition.


0

10

20

30

40

Nothing PE

(25×25×4)

PCM

(25×25×4)

PCM

(50×50×1)

PCM

(25×25×4)

+ copper

PCM

(50×50×1)

+ copper

Sat

ura

tio

n t

ime

t sat, m

in

0

10

20

30

40

Nothing PE

(25×25×4)

PCM

(25×25×4)

PCM

(50×50×1)

PCM

(25×25×4)

+ copper

PCM

(50×50×1)

+ copper

Sat

ura

tio

n t

ime

t sat, m

in

(a)

(b)



32

2.3 PCM シートの潜熱を考慮したシミュレーション

2.3.1 解析モデル

汎用有限要素解析ソフト ANSYS 14.5 (ANSYS, Inc.)の ANSYS Fluent を用いて PCM の相

変化時の潜熱を考慮した熱流体解析を行った．図 2.6 の実験装置を再現し，図 2.11 のように

フロントケース，リアケース，基板，ヒーター，PCM シート（PE シート），内部空気，基

板を固定するためのボルトおよびナットから構成される有限要素モデルを作成した．節点

数は 93196，要素数は 317388 となっている．

Fig. 2.11 Finite element model (FE model).

Front case

PCM sheet

(PE sheet)

Heater

Substrate

Bolt and nut

Rear case

x z

y



33

2.3.2 PCM の潜熱のモデル化と熱物性値の予測

本解析では PCM シートの相変化を表現するため，PCM のエンタルピーH を顕熱 hsと潜

熱 ΔH の和で表現した．顕熱 hsおよび潜熱 ΔH は次の式(2.6)，(2.7)で与えられる．

T

T

ps

ref

dTcTh (2.6)

LTTTH refll Δ (2.7)

ここで，cpは比熱，T は温度，T

refは参照温度（本研究では実験での雰囲気温度 19°C に設定），

βlは液相の体積分率，L は固相から液相へ相変化し終えるまでに吸収する熱量（総潜熱量）

を表す．固相線温度 Ts以下の温度域では 0l であり，液相線温度 T

l以上の温度域では 1l

である．相変化時の βlは固相線温度 T

sと液相線温度 T

lの間で線形的に変化するものと仮定

した．PCM のエンタルピーと温度の関係の模式図を図 2.12 に示す．PCM シートの密度，

比熱 cp，潜熱 L，熱伝導率 k については，マイクロカプセル PCM の芯物質（パラフィン）

と膜材（メラミン樹脂），ポリエチレンの物性値をもとに，式(2.8)-(2.10)に示す体積分率を用

いた簡易的な複合則および式(2.11)に示す Bruggeman の式によって推定した値を用いた．

2211 (2.8)

222111 pp

p

ccc

(2.9)

222111 LLL

(2.10)

31

1

c

m

mp

cp

k

k

kk

kk (2.11)

ここで，は体積分率を表す．下付きの数字は物質の種類を表し，下付き文字の m は母材，

p は母材中の粒子，c は複合材料を表す．本解析に用いた PCM シートの物性値を表 2.3 に示

す．



34

Fig. 2.12 Modeling of latent heat of PCM.

Table 2.3 Estimated material properties of PCM sheet.

Density

[kg/m3]

Specific heat

[kJ/kg∙K]

Thermal conductivity

[W/m∙K]

Emissivity Latent heat

[kJ/kg]

846 1.97 0.26 0.9 86.7

Melting temperature

[°C]

Solidus temperature

[°C]

Liquidus temperature

[°C]

32 31 33

Solid phase Liquid phase

Solid/liquid phase mixture

Latent heat

L

Solidus temperature

Ts

Liquidus temperature T

l

H

T



35

2.3.3 物性値

本解析に用いた物性値を表 2.4 に示す．なお，内部の輻射を考慮するため，Surface-to-

Surface 輻射モデルを用い，各材料に応じた放射率を与えた．また，内部空気の自然対流を

考慮するため，重力を設定し，内部空気の物性値には温度依存性を与えた．自然対流を考慮

しない場合の厚さ方向（y 方向）の運動量保存則は次式である．

gy

pvv

t

v abs

2u (2.12)

ここで，は密度，v は y 方向の流速，u は流速ベクトル，は粘性係数，pabsは絶対圧力，

g は重力加速度である．自然対流を考慮すると，式(2.12)の右辺に浮力が考慮され，運動量

保存則は次式のようになる．

gy

pvv

t

v0

2

u (2.13)

ここで，0は参照密度であり， pは絶対圧力から解析場の圧力 p

operatingと参照圧力

0gz を減

じた圧力である． pを用いることにより計算中の丸め誤差を低減することができる．本研

究では参照密度0を実験での雰囲気温度 19°C における空気の密度 1.2 kg/m3に設定した．解

析場の圧力 poperating

は 1 気圧（101325 Pa）に設定した．空気の物性値を表 2.5 に示す．



36

Table 2.4 Material properties used in the simulation.

Parts Materials Density

[kg/m3]

Specific heat

[kJ/kg∙K]


[W/m∙K]

Emissivity

Front case Polycarbonate 1200 1.20 0.19 0.9

Rear case Acrylic 1190 1.47 0.21 0.9

Substrate Epoxy and copper 3690 0.880 25

0.5 (thickness direction)

0.7

Heater Ceramic 3890 0.780 18 0.7

PE sheet Polyethylene 953 1.89 0.5 0.9

Bolt and nut Steel 7830 0.461 16.3 0.7

Thermal tape − 3900 0.800 0.5 −

Table 2.5 Material properties of inner air.[55]

Temperature

[K]

Density

[kg/m3]

Specific heat

[kJ/kg∙K]


[W/m∙K]

Viscosity

[kg/m∙s]

273 1.275 1.006 0.02421 1.72×10−5

300 1.161 1.007 0.02623 1.86×10−5

340 1.024 1.009 0.02984 2.09×10−5

400 0.8703 1.015 0.03328 2.31×10−5



37

2.3.4 解析条件

シートなし，PE シート（25×25×4 mm），PCM シート（25×25×4 mm），PCM シート（50×50×1

mm）の 4 通りの条件において，60 分間ヒーターを ON にした場合の非定常解析を行った．

ヒーターの発熱部に対して，実験での消費電力と等しい 1.3 W を与えた．ヒーターと基板の

間，およびヒーターとシートの間には接触熱抵抗 15×10−4 m2∙K/W を与えた．接触熱抵抗は

PE シートを用いた場合のシミュレーションから得られるヒーターの温度とフロントケース

の温度のデータが実験データに近づくように設定した．PE シートを用いた場合のヒーター

と前面ケースの間の熱抵抗を図 2.13 に示す．ヒーターと前面ケースの間の熱抵抗 R は次式

で表される．

casecase

case

PEPEPE

PEcontact

heaterheater

heater

Ak

d

hAAk

dR

Ak

dR

1 (2.14)

ここで，d は厚さ，k は熱伝導率，A は断面積，Rcontact

は接触熱抵抗，h は対流熱伝達係数を

それぞれ表す．式(2.14)右辺の中で Rcontact

のみが未知の値であるため，温度の解析値が実験

値に近づくように Rcontact

を同定した．なお，接触熱抵抗の値には放熱用両面テープの熱抵抗

も含まれる．

Fig. 2.13 Thermal resistance between the heater and the front case in the model with PE sheet.

(a) Cross sectional view of the model. (b) Schematic of thermal resistance.

Front case

Rear case Substrate

PE sheetHeater

Thermal contact resistance

Heater PE Inner air Front case

Conduction Contact

resistance

Conduction Convection Conduction

(a)

(b)



38

初期条件は 19°C とし，雰囲気温度も 19°C で一定とした．さらに，ケース表面から対流

熱伝達によって放熱を行うように設定するため，境界条件としてケース上面に 5.7 W/m2∙K，

ケース下面に 3.7 W/m2∙K，ケース側面に 6.0 W/m2∙K の対流熱伝達率を与えた．これらの熱

伝達係数は次の経験則や近似式[56]を用いて計算して求めた．

上面（上向き加熱面）

4154.0 RaNu (2.15)

下面（下向き加熱面）

4127.0 RaNu (2.16)

側面（垂直平板）

41

41

033.2005.2180.0

PrPr

PrRaNu (2.17)

ここで，Nu はヌッセルト数，Ra はレイリー数，Pr はプラントル数を表しており，それぞれ

次の式(2.18)-(2.20)で定義される無次元数である．

k

LhNu

(2.18)

PrLTTg

Ra as

2

3

(2.19)

k

cPr

p (2.20)

ここで，L'は代表長さ，g は重力加速度，βは体膨張係数( 15.273/1 aT )，Tsは表面温度，

νは動粘度である．

輻射による放熱も考慮するため，ケース全表面に放射率 0.9 を与えた．



39

2.3.5 解析結果および考察

図 2.14 にシートなしの場合，PE シートを用いた場合，PCM シート（25×25×4 mm，50×50×1

mm）を用いた場合における，ヒーター温度およびフロントケース表面温度の解析結果と実

験結果の比較を示す．図中の実線がヒーター温度の解析結果，破線がフロントケース表面温

度の解析結果，□がヒーター温度の実験結果，◇がフロントケース表面温度の実験結果をそ

れぞれ表している．図 2.14 より，解析と実験はよく一致することがわかる．このことから，

マイクロカプセル PCM／PE 複合材料の物性値として複合則から推定した値を用いること

が有効であるといえる．マイクロカプセル PCM／樹脂複合材料に関する熱物性データは少

ないが，複合則を用いて熱物性値を推定することにより熱シミュレーションが可能である．

これにより，様々な使用条件での熱シミュレーションを行い，PCM シートの最適な使用条

件を明らかにすることができると考えられる．

筐体内の空気中の伝熱形態について以下で考察を行う．図 2.15 に PCM シート（25×25×4

mm）を用いた場合の 60 分後のヒーター中心部を通る yz 断面における流速分布を示す．ヒ

ーター中心部からフロントケースまでの最短経路が主要な熱経路となるため，この経路に

着目する．図 2.15 より，PCM シートとフロントケース上面との間の流速は 0.5 mm/s 未満と

非常に小さく，自然対流の寄与は小さいことがわかる．これは空気層の厚さが小さいためで

ある．実際のモバイルデバイスではより多くの部品が筐体内部にあるため，空気層の厚さは

本実験装置よりも小さくなる場合が多い．よって，本研究のようにモバイルデバイスを水平

に保持した場合には，重力を考慮して自然対流を解く必要性はほとんどないと考えられる．

また，図 2.15 の点 A における全熱流束 299 W/m2のうち，輻射による熱流束が 108 W/m2と

なっており，輻射が 36.1%を占めている．また，図 2.16 に点 A を通る y 方向の温度分布を

示す．図 2.16 より，空気中の温度勾配が概ね一定となっており，このことからも自然対流

の影響はほとんどないことが確認できる．以上より，筐体内の空気中では伝導伝熱が約 6 割，

輻射伝熱が約 4 割を占めており，対流による熱輸送はほとんど無視できるほど少ないこと

がわかる．



40

Fig. 2.14 Comparison between simulation and experimental results.

(a) With no sheet. (b) With PE sheet.

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

Tem

per

atu

re r

ise

ΔT

, ˚C

Time t, min

Heater (Sim.)

Heater (Exp.)

Front case (Sim.)

Front case (Exp.)

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

Tem

per

atu

re r

ise

ΔT

, ˚C

Time t, min

Heater (Sim.)

Heater (Exp.)

Front case (Sim.)

Front case (Exp.)

(a)

(b)



41

Fig. 2.14 Comparison between simulation and experimental results. (Continued.)

(c) With PCM sheet (25×25×4 mm). (d) With PCM sheet (50×50×1 mm).

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

Tem

per

atu

re r

ise

ΔT

, ˚C

Time t, min

Heater (Sim.)

Heater (Exp.)

Front case (Sim.)

Front case (Exp.)

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

Tem

per

atu

re r

ise

ΔT

, ˚C

Time t, min

Heater (Sim.)

Heater (Exp.)

Front case (Sim.)

Front case (Exp.)

(c)

(d)



42

Fig. 2.15 Air flow velocity distribution in the cross section passing through the center of the heater

at t = 60 min.

Fig. 2.16 Temperature distribution in the line passing through the point A (in Fig. 2.15)

in the thickness (y) direction.

AFront case

PCM sheet

Rear case Heater Substrate

40

45

50

55

60

65

70

75

0 2 4 6 8

Tem

per

atu

re T

, °C

y, mm

PCM sheet Inner air Front

case

A



43

2.4 結言

本章では，モバイルデバイスを模擬した実験装置での PCM シート応用実験を行い，PCM

シートの潜熱および熱伝導率，形状がモバイルデバイスの温度変化に与える影響について

検討を行った．また，PCM シートと高熱伝導シートがモバイルデバイスの温度変化に与え

る影響についても検討を行った．加えて，ANSYS Fluent を用いて PCM シートの相変化を考

慮した熱流体解析を行い，実験結果と比較を行うことにより，マイクロカプセル PCM／樹

脂複合材料の物性値推定方法の適用性の検討を行った．その結果，以下の結論を得た．

(1) モバイルデバイスの隙間に PCM を用いる場合には，LSI の温度は低下するが，樹脂を

PCM に置き換える場合には，PCM のほうがポリエチレンよりも熱伝導率が低いため，

熱抵抗が増加し，LSI の温度が上昇することになる．

(2) PCM シートの顕熱よりも潜熱のほうが飽和時間に与える影響が大きく，潜熱による遅

延効果の定量的評価に飽和時間を用いることは有効である．

(3) PCM シートの底面積よりも板厚のほうが遅延効果に与える影響が大きい．よって，PCM

シートを用いる場合には，板厚を大きくすることが熱設計上効果的である．

(4) 高熱伝導シートを PCM シートと同時に用いても，PCM シートの持つ遅延効果にほと

んど影響を与えない．PCM シートと高熱伝導シートの同時利用を行う場合には，板厚

の大きい PCMシートと面積の大きい高熱伝導シートを用いることで最高温度を大幅に

下げることと大きな遅延効果を得ることの両立ができる可能性がある．

(5) マイクロカプセル PCM／樹脂複合材料の熱物性値の推定に，体積分率を用いた複合則

および Bruggeman の式を用いることは有効である．PCM シートの最適な使用条件をシ

ミュレーションによって明らかにできる可能性がある．


第 3 章 PCM/PE 複合材料の強度特性

44

第 3 章

PCM/PE複合材料の強度特性

3.1 緒言

前章では，PCM を模擬スマートフォンに適用した温度測定実験により，温度の上昇を遅

らせる効果（遅延効果）が得られることを明らかにした．さらに，板厚を大きくすることに

よって，より大きな遅延効果が得られることがわかった．しかしながら，モバイルデバイス

は薄型化が進んでおり，PCM の量を十分に確保することが困難となっている．この問題を

解決する方策の１つとして，PCM/樹脂複合材料を構造部材に使用されている樹脂の代わり

に用いる方法が考えられる．このためには，PCM を用いた複合材料の強度特性を明らかに

する必要がある．そこで，本章では，MPCM/PE 複合材料の強度特性を引張試験およびマイ

クロスケールの有限要素解析によって明らかにすることを試みた．



45

3.2 引張試験

3.2.1 試験片の作製

材料には表 3.1 に示す 3 種類の MPCM と高密度ポリエチレン（HDPE）パウダーを用い

た．MPCM，HDPE パウダーには前章で用いたものと同様，それぞれ三木理研工業株式会社

製，旭化成ケミカル株式会社製のものを用いた．カプセル強度の違いはホルムアルデヒド濃

度を低下させる処理方法の違いによって生じるものであり，カプセル強度の弱いものは繊

維と混合させる用途に用いられ，カプセル強度の強いものはマスターバッチ用となってい

る．パラフィンの融点の違いは，パラフィンの分子を構成する炭素の量によって生じる．パ

ラフィンの化学式は CnH

2n+2と表され，n の値が大きくなるほどパラフィンの融点は高くな

る．本論文では，繊維用 PMCD-32SP，マスターバッチ用 PMCD-32SP，マスターバッチ用

PMCD-56SP をそれぞれ PMCD-32SP-S，PMCD-32SP-H，PMCD-56SP-H と呼ぶこととする．

パラフィンの違いおよびカプセル強度の違いが複合材料の強度に与える影響について検討

するため，これら 3 種類の MPCM を採用した．

本試験に使用した試験片形状を図 3.1 に示す．試験片の形状は，JIS K 7139 で定められて

いるプラスチック用の試験片形状ダンベル形引張試験片（タイプ A）に従っている．HDPE

のみの試験片および MPCM と HDPE を混合した試験片を圧縮成型によって作製した．作製

した試験片の種類は，HDPE のみ，PMCD-32SP-S 50%，PMCD-32SP-H 10%，PMCD-32SP-H

30%，PMCD-32SP-H 50%，PMCD-56SP-H 50%の 6 種類である．図 3.2 に MPCM と HDPE を

成型するために用いた金型を示す．金型は雄型，雌型，押さえ板から構成されている．雄型

と雌型は軸の公差 g6，穴の公差 H7 のはめあいとなっており，雌型は雄型のガイドを兼ねて

いる．このようにして，試験片の板厚がほぼ一様となるよう工夫されている．また，MPCM

および HDPE に触れる面は平均算術粗さ Ra が 1.6 になるように加工し，試験片の表面が滑

らかになるように配慮した．引張試験を行うにあたり，試験片内にボイドが存在すると強度

が著しく低下するため，ボイドを抑制する必要がある．そこで，前章での PCM シート作製

時よりも大きな圧縮荷重を材料試験機によって加えることにより，ボイドを抑制した．材料



46

試験機に電気炉と圧縮治具を取り付けたときの写真を図 3.3 に示す．試験片の成型手順を以

下に示す．

i) 雌型に離型剤を塗布し，MPCM および HDPE を入れる．

ii) 雄型にも離型剤を塗布し，雌型にセットする．

iii) 温度を 155°C に設定した電気炉の中に金型を入れ，60 分間予熱する．

iv) 雄型の上から 1.4 MPa の圧力を加えながら，10 分間保持する．

v) 電気炉から取り出し，十分に空冷した後，雄型を押出し，成型物を取り出す．

また，HDPE は結晶構造により強度が異なる[57]とされており，HDPE の結晶構造を統一

するため試験片には 110°C で 16 時間保持した後に空冷する熱処理を行った．

Table 3.1 MPCMs for tensile test specimens.

MPCM PCM (Melting

temperature)

Microcapsule material

PMCD-32SP-S Paraffin (32°C) Melamine resin (Soft)

PMCD-32SP-H Paraffin (32°C) Melamine resin (Hard)

PMCD-56SP-H Paraffin (56°C) Melamine resin (Hard)

Fig. 3.1 Geometry of tensile test specimen of PCM/PE composite material.

3.5

7.2

24

60



47

Fig. 3.2 Mold for fabrication of tensile test specimen of PCM/PE composite material.

Fig. 3.3 Electric furnace and compression jigs of material test machine INSTRON 5565.

Male mold

Female mold

Electric furnace

Compression jigs



48

3.2.2 試験条件

万能材料試験機 INSTRON 5565（INSTRON Corporation）を用いて引張試験を行った．電

気炉（INSTRON Corporation）を用いて試験温度の設定を行い，伸び計（INSTRON Corporation）

を用いてひずみの測定を行った．試験温度として 25°C，40°C，60°C の 3 通りを採用した．

本試験に用いた PCM の融点は 32°C と 56°C であり，PCM が固体の状態と液体の状態で複

合材料の強度に差が出るかどうかを検討するため，このように設定した．ひずみ速度は

1.0%/min に設定した．なお，それぞれの温度条件につき 3 回ずつ試験を行った．全ての試

験条件を表 3.2 にまとめて示す．

Table 3.2 Tensile test conditions.

Test specimen Test temperature [°C] Strain rate [%/min]

Pure HDPE

25

1.0

40

60

PMCD-32SP-S 50%

25

40

60

PMCD-32SP-H 50%

25

40

60

PMCD-56SP-H 50%

25

40

60

PMCD-32SP-H 10% 25

PMCD-32SP-H 30% 25



49

3.2.3 試験結果および考察

図 3.4(a)に HDPE のみの場合，図 3.4(b)に PMCD-32SP-S 50%の場合，図 3.4(c)に PMCD-

32SP-H 50%の場合，図 3.4(d)に PMCD-56SP-H 50%の場合の応力-ひずみ関係をそれぞれ示

す．図 3.4 より，複合材料，HDPE ともに温度の上昇によって引張強さが大きく低下してい

ることがわかる．弾性域の傾きが温度によって異なっていることもわかる．また，HDPE の

みの場合と比較すると，PCM/PE 複合材料は引張強度が大幅に低下しており，伸びも大きく

低下している．すなわち，HDPE に MPCM を混合することにより靭性が大きく低下する．

このことは，モバイルデバイスの構造部材に使用されている樹脂を PCM/PE 複合材料で置

き換えることを考えるときに，大きな障害になり得る．炭素繊維等の補強材を混合すること

により，高強度化を図る必要がある．

図 3.5 に HDPE のみ，PMCD-32SP-S 50%，PMCD-32SP-H 50%，PMCD-56SP-H 50%の場

合のヤング率，引張強さの比較を示す．棒グラフの値は 3 回の実験で得られた値の平均値を

表しており，エラーバーは最大値，最小値を表している．図 3.5 より，PCM/PE 複合材料の

ヤング率および引張強さは温度が高くなるほど低下することがわかるが，HDPE のみの場合

と比較するとそれらの低下率は小さい．これは MPCM のカプセルが熱硬化性樹脂のメラミ

ン樹脂でできており，HDPE のような熱可塑性樹脂と比べて強度特性の温度依存性が強くな

いためであると考えられる．また，PCM が固体から液体へ変化しても低下率ほとんど変化

しない．このことから，温度上昇による PCM/PE 複合材料の強度低下は HDPE の強度特性

の温度依存性による影響が大きく，PCM の相変化が PCM/PE 複合材料全体の強度に与える

影響は小さいと考えられる．

PMCD-32SP-S と PMCD-32SP-H の結果を比較すると，室温での引張強さはほぼ等しい結

果となった．一方で 40°C，60°C での PCM 融解後においては PMCD-32SP-H の方が大きい

値を示した．高温環境下では母材の HDPE の強度が大幅に低下することによって，マイク

ロカプセルの強度の差が顕在化したと考えられる．つまり，マイクロカプセルの強度を高め

ることにより，高温環境下での PCM の複合材料の強度低下を小さくすることができると考



50

えられる．

PMCD-32SP-H と PMCD-56SP-H の結果を比較すると，室温，40°C では有意な差は見られ

ない．しかし，60°C においては PMCD-56SP-H の方がヤング率，引張強さともに高い結果

となった．60°C においては母材の HDPE の強度が大幅に低下するため，マイクロカプセル

の強度の差のみならず，マイクロカプセル中の PCM の強度の差も顕在化するのではないか

と考えられる．60°C での試験のときに，PMCD-32SP-H の中の PCM は確実に融解していた

が，PMCD-56SP-H の中の PCM は完全に融解していない状態，あるいは溶融していたが粘

度の高い状態であった可能性があり，PMCD-56SP-Hの方が強度が高くなったと考えられる．

図 3.6 に HDPE のみ，PMCD-32SP-H 10%，PMCD-32SP-H 30%，PMCD-32SP-H 50%の場

合の 25°C における応力-ひずみ関係を示す．実線，破線，一点鎖線，二点鎖線はそれぞれ

PMCD-32SP-H の質量割合 0，10，30，50%のときの結果を表している．図 3.6 より，MPCM

の割合を多くするほど，ヤング率，引張強さ，破断伸びはいずれも小さくなることがわかる．

すなわち，MPCM の割合が増加するほど PCM/PE 複合材料の強度は低下する．MPCM の割

合を増やすと温度上昇遅延効果は大きくなるため，温度上昇遅延効果と強度特性はトレー

ドオフの関係にある．したがって，遅延効果と強度特性のどちらを優先するかによって最適

な MPCM の割合が決まることになる．



51

Fig. 3.4 Stress-strain relations obtained by tensile tests.

(a) Pure HDPE. (b) PMCD-32SP-S 50%. (c) PMCD-32SP-H 50%.(d) PMCD-56SP-H 50%.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 2 4 6 8 10

Str

ess

, M

Pa

Strain , %

25°C

40°C

60°C

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Str

ess

, M

Pa

Strain , %

25°C

40°C

60°C

(a)

(b)



52

Fig. 3.4 Stress-strain relations obtained by tensile tests.

(a) Pure HDPE. (b) PMCD-32SP-S 50%. (c) PMCD-32SP-H 50%.(d) PMCD-56SP-H 50%.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Str

ess

, M

Pa

Strain , %

25°C

40°C

60°C

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 2 4 6 8 10

Str

ess

, M

Pa

Strain , %

25°C

40°C

60°C

(c)

(d)



53

Fig. 3.5 Comparison of mechanical properties obtained by tensile tests.

(a) Young’s modulus. (b) Tensile strength.

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

PMCD-32SP-S PMCD-32SP-H PMCD-56SP-H HDPE

Yo

un

g's

m

od

ulu

s E

, M

Pa 25°C 40°C 60°C

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

PMCD-32SP-S PMCD-32SP-H PMCD-56SP-H HDPE

Ten

sile

str

ength

B,

MP

a 25°C 40°C 60°C

(a)

(b)



54

Fig. 3.6 Stress-strain relations obtained by tensile tests in cases of pure HDPE,

PMCD-32SP-H 10%, PMCD-32SP-H 30% and PMCD-32SP-H 50%.

0

4

8

12

16

20

0 2 4 6 8 10

Str

ess

, M

Pa

Strain , %

MPCM 0%

MPCM 10%

MPCM 30%

MPCM 50%



55

3.3 マイクロスケール有限要素解析

3.3.1 解析条件

汎用有限要素解析ソフト ANSYS 17.1（ANSYS, Inc.）を用いて解析を行った．図 3.7 に有

限要素モデルを示す．3 次元 20 節点構造ソリッド要素である SOLID186 要素を用いた．

MPCM の直径は 30 μm，マイクロカプセルの厚さは 0.8 μm とした．マイクロカプセルの中

は空げきとして扱った．MPCM は一様に分布しており，体心立方格子で表すことができる

と仮定した．MPCM と HDPE が境界面において完全に接着して節点を共有している「完全

接着モデル」と，接着せずに摩擦係数 0 で接触しているだけの「完全はく離モデル」，接着

界面とはく離界面が 1:1 の割合で存在する「接着/はく離混在モデル」の 3 種類の解析を行

った．物性値として与えた応力-ひずみ関係を図 3.8 に示す．境界条件として全方向に周期

対称条件を与え，負荷条件として上下方向に引張方向の変位を与えた．



56

Fig. 3.7 Finite element model of micro scale PCM/PE composite material.

Fig. 3.8 Stress-strain relations applied to the PE and the melamine resin capsule.

PE

Melamine

resin capsule

(MPCM)

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8

Str

ess

, M

Pa

Strain , %

Melamine resin

PE



57

3.3.2 解析結果および考察

図 3.9 に MPCM の質量割合 50%のときの実験結果と解析結果の比較を示す．◇は引張試

験結果，実線は完全接着モデルの解析結果，破線は完全はく離モデルの解析結果，一点鎖線

は接着/はく離混在モデルの解析結果をそれぞれ表している．実験結果が，完全接着モデル

と完全はく離モデルの中間にあり，ひずみ 2%までは接着/はく離混在モデルの解析結果とよ

く一致しているため，PCM/PE 複合材料作製時の段階で MPCM と HDPE の界面は接着界面

とはく離界面が混在していると考えられる．また，ひずみ 2%以上の領域ではひずみが増加

するにしたがって実験結果が完全はく離モデルに近づいていくため，はく離界面が増加し

ていると考えられる．したがって，MPCM と HDPE の界面強度が低いことがわかった．母

材の変更を検討する必要があるが，MPCM のメラミン樹脂カプセルの耐熱温度が 160°C で

あることを考慮すると，現状では他に有望な熱可塑性樹脂材料はほとんどない．エポキシ樹

脂等の熱硬化性樹脂材料を母材として用いることで界面強度および複合材料の強度特性を

向上させることができる可能性がある．



58

Fig. 3.9 Comparison of Stress-strain relations between experiment and simulations.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 1 2 3 4

Str

ess

, M

Pa

Strain , %

Experiment

Bonding model

Debonding model

Bonding/debonding model



59

3.4 結言

本章では，従来の研究ではほとんど明らかにされてこなかった PCM/PE 複合材料の強度

特性を調べるため，引張試験およびマイクロスケール有限要素解析により，MPCM の相変

化やマイクロカプセルの強度，MPCM と HDPE の界面強度が PCM/PE 複合材料の強度特性

に与える影響について検討を行った．その結果，以下の結論を得た．

(1) HDPE に MPCM を混合することにより強度特性が大きく低下する．このことは，モバ

イルデバイスの構造部材に使用されている樹脂を PCM/PE 複合材料で置き換えること

を考えるときに，大きな障害になり得る．炭素繊維等の補強材を混合することにより，

高強度化を図る必要がある．

(2) 温度上昇による PCM/PE 複合材料の強度低下は HDPE の強度特性の温度依存性によ

る影響が大きく，PCM の相変化が PCM/PE 複合材料全体の強度に与える影響は小さ

い．

(3) マイクロカプセルの強度を高めることにより，高温環境下での PCM の複合材料の強度

低下を小さくすることができる．

(4) PCM/PE 複合材料の温度上昇遅延効果と強度特性はトレードオフの関係にあるため，遅

延効果と強度特性のどちらを優先するかによって最適な MPCM の割合が決まる．

(5) PCM/PE 複合材料作製時の段階で MPCM と HDPE の界面は接着界面とはく離界面が混

在しており，ひずみ 2%以上の領域ではひずみの増加に伴ってはく離界面が増加する．

(6) MPCM と HDPE の界面強度が低いことがわかった．HDPE のような熱可塑性樹脂材料

には有望な材料はほとんどなく，エポキシ樹脂等の熱硬化性樹脂材料を母材として用

いることで界面強度および複合材料の強度特性を向上させることができる可能性があ

る．


第 4 章温度・振動複合負荷環境を模擬したはんだの強度特性試験

60

第 4 章

温度・振動複合負荷環境を模擬した

はんだの強度特性試験

4.1 緒言

第 2 章，第 3 章では PCM を用いたモバイルデバイスの熱対策について述べた．PCM の

遅延効果を利用してある時間内で温度を低く保つことができることを示したが，PCM が完

全に液化し，定常状態に入った後は温度を低く保つことができない．したがって，モバイル

デバイスの信頼性向上のためには，熱対策だけではなく，実装基板上のはんだ接続部の強度

信頼性向上も必要不可欠である．

本章では，実装基板上のはんだ接続部の強度信頼性を向上させるために，HALT (Highly

Accelerated Limit Test)の負荷条件を二軸ラチェット試験で模擬し，温度サイクルと振動の複

合負荷条件下での Sn-3Ag-0.5Cu はんだの変形特性を明らかにすることを試みる．また，温

度・振動複合負荷条件下での二軸ラチェット疲労寿命の予測に必要なパラメータについて

検討を行う．

4.2 銅-はんだ接合中空試験片

微小体積のはんだの機械的特性は標準バルク試験片での機械的特性と異なる[58], [59]こ

とが報告されており，より実装状態に近い大きさの試験片での試験が求められる．実装形態

によってはんだ接合部の大きさは異なるが，図 4.1 の BGA (Ball Grid Array)や図 4.2 の LLP

(Leadless Leadframe Package)といった実装形態を例に取ると，はんだ接合部の大きさは小さ

いもので数百 μm のオーダーとなっている[60]．本研究では，Zimprich ら[59]のように銅と

はんだの接合試験片を用いることにより，小型のはんだ接続部を作製した．図 4.3 に銅-は

んだ接合中空試験片の外見を，図 4.4 に試験片の寸法を示す．本研究では Sn-3.0Ag-0.5Cu は

んだと銅管の接合試験片を作製することにより，内径 8mm，肉厚 1mm，長さ 1mm の薄肉



61

円環形状の小型はんだ接続部を実現した．作製方法は以下の通りである．図 4.5 のように 2

つの銅管を鋳型に配置し，アルミニウム丸棒を銅管の中に通す．鋳型を閉じ，湯口から溶融

はんだを流し込む．空冷した後，鋳型から取り外し，湯口部を旋盤で切削加工する．最後に

結晶組織安定化と残留応力除去のために 0.87Tm [K]（T

mははんだの融点[K]であり，Sn-3.0Ag-

0.5Cu はんだの場合 0.87Tm = 429K）の温度で 1 時間保持後，空冷する熱処理[61]を行った．

Fig. 4.1 Schematic of BGA (Ball Grid Array) solder.

Fig. 4.2 LLP (Leadless Leadframe Package) solder.

0.2-0.5 mm

0.10 mm



62

Fig. 4.3 Tubular Cu-solder joint specimen.

Fig. 4.4 Dimensions of Cu-solder joint specimen.

Solder

Copper

8

10

12

Solder

Copper

1

7

43

Lower mold

Copper tubes Aluminum core

cylinderMold sprue

Upper molds

(a) (b)

Fig. 4.5 Mold for fabrication of Cu-solder joint specimens.

(a) Before assembly. (b) After assembly.



63

4.3 二軸負荷試験機

図 4.6 に本研究で使用した二軸負荷試験機を示す．上部のクロスヘッドが上下することに

より軸方向の引張圧縮負荷を与え，下部の軸が回転することによりねじりのせん断負荷を

与える．試験片取り付け部の上部と下部に線膨張係数の低いセラミック製のプレートがあ

り，それぞれのプレートの変位を 2 個のレーザー変位計を用いて計測し，両者の差分を試験

片に生じた軸方向変位としている．クロスヘッドに二軸の力学センサーがあり，軸方向荷重

および軸まわりのトルクを測定することが可能である．下部の軸にエンコーダーがついて

おり，軸まわりの回転角度が測定可能である．

Crosshead

Biaxial load cell

(force and torque)

Electric furnace

Encoder

(torsion angle)

Laser displacement

gauges

Collet chucks

(a) (b)

Fig. 4.6 Biaxial loading test machine. (a) General view.

(b) Enlarged view around the electric furnace.



64

4.4 試験条件

HALT において，はんだ接続部には温度サイクル負荷と振動負荷が加わる．実装基板上の

はんだ接続部に温度サイクル負荷が与えられると，はんだの接合面付近で二軸ラチェット

変形を生じる[10]ことがわかっている．実装基板の反りによってはんだ接続部には引張負荷

が加わっている．さらに，温度サイクル負荷が与えられると，はんだと実装基板との間の線

膨張係数の違いにより繰返しせん断負荷が生じる．このように引張の重畳応力が加えられ

た状態で繰返しせん断負荷が与えられると二軸ラチェット変形を生じ，純粋な繰返しせん

断負荷による疲労よりも早く破断に至る．したがって，HALT における温度サイクル負荷は

二軸ラチェット試験のねじり方向の繰返しせん断ひずみ負荷と軸方向の重畳応力負荷で模

擬できるものとする．HALT における振動負荷については，本研究では軸方向の重畳応力に

微小な繰返し負荷を与えることにより模擬する．

二軸ラチェット試験の負荷条件を決定するための前試験としてねじり試験を行った．せ

ん断ひずみ速度を 1.7%/s，0.17%/s，0.017%/s（相当ひずみ速度 1%/s，0.1%/s，0.01%/s）に設

定した．図 4.7 にねじり試験で得られた相当応力-相当ひずみ関係を示す．図中の青色の□

は相当ひずみ速度 1%/s，橙色の◇は相当ひずみ速度 0.1%/s，緑色の△は軸方向の相当ひず

み速度 0.01%/s のときの結果をそれぞれ表す．

重畳応力ははんだの降伏応力を超えない範囲で設定した．本実験では軸方向の平均重畳

応力mean

を 0 MPa，5 MPa，10 MPa とした．低サイクル疲労を想定しているため，与えるせ

ん断ひずみ範囲において非弾性変形を生じることが望ましい．図 4.7 より，相当ひずみ

0.5%を与えれば非弾性変形を生じることがわかる．したがって，相当ひずみ範囲 3/Δ で

1%（せん断ひずみ範囲で 1.73%）の繰返し負荷をねじり方向に与えることとした．図 4.8

に本研究における二軸ラチェット試験の負荷経路を示す．図中の縦軸は軸方向応力，横軸は

ねじり方向のせん断ひずみを表している．繰返しせん断負荷としてせん断ひずみ範囲が

1.73%，周波数 fshear

が 0.04 Hzの正弦波負荷をねじりにより与えた．軸方向応力として 0 MPa，

5 MPa，10 MPa の平均重畳応力mean

を与えた．さらに，軸方向に正弦波による繰返し負荷を



65

与えた．軸方向繰返し負荷の応力範囲は 0 MPa，2 MPa，4 MPa，周波数 faxialは 1 Hz，2

Hz に設定した．全ての試験条件を表 4.1 に示す．なお，本実験は 25°C で行った．

Fig. 4.7 Equivalent stress-equivalent strain relationships obtained by torsion tests.

Fig. 4.8 Loading path of biaxial ratchetting tests imitating HALT.

0

10

20

30

40

50

60

0 0.5 1 1.5 2

Eq

uiv

alen

t st

ress

, M

Pa

Equivalent strain , %

1%/s

0.1%/s

0.01%/s

Shear strain

Shear strain range

Axia

l st

ress

Cyclic axial

loading

Mean axial

stress mean



66

Table 4.1 Biaxial ratchetting test conditions.

Case

Mean axial

stress

mean

[MPa]

Cyclic axial

stress range

[MPa]

Frequency of

axial loading

faxial

[Hz]

Shear strain

range

[%]

Frequency of

shear loading

fshear

[Hz]

0 MPa without

0.0

0.0 0

1.73 0.04

0 MPa with 2.0 1

0 MPa with large 4.0 1

0 MPa with rapid 2.0 2

5 MPa without

5.0

0.0 0

5 MPa with 2.0 1



10 MPa without

10

0.0 0

10 MPa with 2.0 1





67

4.5 試験結果および考察

4.5.1 繰返し硬化

図 4.9 にmean

= 5 MPa，なしの場合のせん断負荷 3 サイクル目までのせん断応力-せん

断ひずみ関係を示す．図 4.9 より，ほとんどヒステリシスループの形状に変化が生じないこ

とがわかる．図 4.10 にmean

= 5 MPa（なし）の場合のせん断負荷 5 サイクル目までのせ

ん断応力範囲の変化を示す．図 4.10 より，1 サイクル目から 2 サイクル目にかけてわずか

に繰返し硬化が生じ，せん断応力範囲が大きくなっているが，3 サイクル目以降はほとんど

変化しないことがわかる．その他の負荷条件においても同様の結果が得られたため，本研究

では後述する低サイクル疲労寿命評価において 3 サイクル目のせん断応力-せん断ひずみ関

係を基準とする．

4.5.2 平均重畳応力の影響

図 4.11 にmean

= 0，5，10 MPa（なし）の場合のせん断応力-せん断ひずみ関係を示す．

図中の黒色実線がmean = 0 MPa の場合，橙色破線がmean = 5 MPa の場合，青色一点鎖線が

mean = 10 MPa の場合を表す．図 4.11 より，軸方向の平均重畳応力によってヒステリシスル

ープはほとんど変化しないことがわかる．すなわち，平均重畳応力はせん断方向の応力-ひ

ずみ関係に影響を及ぼさないと言える．

図 4.12 にmean

= 5，10 MPa（なし）のときの二軸ラチェットひずみとせん断ひずみの

関係を示す．本研究では，繰返しせん断負荷によって軸方向に生じる非弾性ひずみを二軸ラ

チェットひずみとしている．図 4.12 より，せん断負荷サイクル数の増加に伴って二軸ラチ

ェットひずみが増加している様子がわかる．1 サイクルあたりの二軸ラチェットひずみ増分

はサイクル数の増加に伴い徐々に減少し，やがてほぼ一定になることがわかる．また，平均

重畳応力の増加によって二軸ラチェットひずみが著しく増加することがわかる．



68

Fig. 4.9 Shear stress-shear strain relationship until the third cycle in experiment

(mean

= 5 MPa without ).

Fig. 4.10 Relationship between shear stress range and number of cycles in experiment

(mean

= 5 MPa without ).

-30

-20

-10

0

10

20

30

-1 -0.5 0 0.5 1

Sh

ear

stre

ss τ

, M

Pa

Shear strain γ, %

40

42

44

46

48

50

52

54

56

58

60

0 1 2 3 4 5 6

Sh

ear

stre

ss r

ang

e Δτ,

MP

a

Number of cycles N



69

Fig. 4.11 Shear stress-shear strain relationships at mean

= 0, 5 and 10 MPa without

in experiment.

-30

-20

-10

0

10

20

30

-1 -0.5 0 0.5 1

Sh

ear

stre

ss

, M

Pa

Shear strain , %

0MPa

5MPa

10MPa

(a) (b)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

Bia

xia

l ra

tch

etti

ng s

trai

n ε

r(%

)

Shear strain / (%)3

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

Bia

xia

l ra

tch

etti

ng s

trai

n ε

r(%

)

Shear strain / (%)3

Fig. 4.12 Relationships between biaxial ratchetting strain and shear strain without

in experiment. (a) mean

= 5 MPa. (b) mean

= 10 MPa.



70

4.5.3 軸方向繰返し負荷の影響

図 4.13 にを付与しない場合と付与した場合（mean

= 5 MPa）のせん断応力-せん断ひず

み関係を示す．図 4.13 より，によってせん断応力範囲が大きくなることがわかる．この

理由として，によるひずみ速度の増加による硬化の影響や，非比例負荷による硬化の影

響が考えられる．軸方向繰返し負荷を考慮した二軸ラチェットシミュレーションを行う

場合には単純な移動硬化則ではなく，による降伏曲面の大きさの変化，すなわち，等方

硬化を考慮した移動硬化則を適用しなければならない可能性がある．なお，二軸ラチェット

シミュレーションについては第 5 章にて検討を行う．

図 4.14 にmean

= 5 MPaでを付与したときの 20 サイクル目までの二軸ラチェットひず

みとせん断ひずみの関係を示す．図 4.12(a)と図 4.14 を比較すると，軸方向繰返し負荷に

よって生ずる二軸ラチェットひずみ量が増加することがわかる．したがって，振動負荷によ

って二軸ラチェットひずみ量の増加が加速する可能性のあることがわかる．これをシミュ

レーションで再現することが，温度・振動複合負荷環境における強度信頼性確保のために必

要である．

4.5.4 二軸ラチェットひずみとサイクル数の関係

図 4.15 に二軸ラチェットひずみとせん断負荷サイクル数の関係を示す．図 4.15 より，Sn-

3.0Ag-0.5Cu はんだの二軸ラチェット変形は次の 2 つの段階に分けられることがわかる．第

1 段階はラチェットひずみがほぼ一定の割合で増加する段階，第 2 段階はラチェットひずみ

増分が急激に増加する段階である．この分類はクリープ変形における定常クリープ，加速ク

リープと類似しており，Sn-3Ag-0.5Cu はんだにおける二軸ラチェット変形はクリープ変形

と密接な関わりがあると考えられる．SUS304 ステンレス鋼の二軸ラチェット変形では，二

軸ラチェットひずみは塑性および粘性によって生じる[42]と報告されており，Sn-3.0Ag-

0.5Cu はんだは粘性が大きいことを考慮すると，本実験の結果は妥当であると言える．



71


= 5 MPa with and without

in experiment.

-30

-20

-10

0

10

20

30

-1 -0.5 0 0.5 1

Sh

ear

stre

ss

, M

Pa

Shear strain , %

fshear

0MPa

2MPa 1Hz

2MPa 2Hz

4MPa 1Hz

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

Bia

xia

l ra

tch

etti

ng s

trai

n ε

r(%

)

Shear strain / (%)3

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

Bia

xia

l ra

tch

etti

ng s

trai

n ε

r(%

)

Shear strain / (%)3

(a) (b)

Fig. 4.14 Relationships between biaxial ratchetting strain and shear strain at mean

= 5 MPa until

the 20th cycle in experiment. (a) = 2 MPa and fshear

= 1 Hz. (b) = 2 MPa and fshear

= 2 Hz.



72

Fig. 4.15 Relationships between ratchetting strain and number of cycles until the 100th cycle

in experiment.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 100 200 300 400 500 600

Bia

xia

l ra

tch

etti

ng s

trai

n

r, %

Number of cycles N

5MPa

without Δσ

5MPa with

Δσ

10MPa

without Δσ



73

4.5.5 二軸ラチェット疲労寿命

低サイクル疲労における疲労寿命の定義として，ヒステリシスループの応力振幅が一定割

合減少したときのサイクル数とする方法[48]や日本材料学会のはんだの低サイクル疲労試

験法標準で定められている方法[60]等がある．日本材料学会標準では，図 4.16 に示すよう

に，応力振幅が fN2/1 の繰返し数における応力振幅の 3/4 となる繰返し数 fN を疲労寿命と

定義している．本研究では，日本材料学会標準の定義を用いる．

一般的に低サイクル疲労における疲労寿命予測式として次式に示す Coffin-Mansonの式が

用いられる．

fNCΔ (4.1)

ここで，はせん断ひずみ範囲，Nf は疲労寿命，C，は式(4.1)を疲労試験結果にフィッ

ティングすることで決定される定数である．しかしながら，Coffin-Manson の式では二軸ラ

チェット疲労の重畳応力の影響や，本実験で得られたような軸方向の振動負荷によるせん

断応力振幅の増加の影響を考慮することができない．したがって，本研究では予測パラメー

タとしてせん断ひずみ範囲の代わりにラチェットひずみ速度と非弾性ひずみエネルギー密

度を選択し，それぞれのパラメータと疲労寿命との関係を調べた．

本研究におけるラチェットひずみ速度とは，1 サイクルあたりのラチェットひずみの変化

量のことである．図 4.17 にラチェットひずみ速度の定義を図示する．3 サイクル目以降で 1

サイクルあたりのラチェットひずみの増分がほとんど一定になった領域からラチェットひ

ずみ速度を求める．図 4.18 にラチェットひずみ速度と疲労寿命の関係を示す．図 4.18 より，

ラチェットひずみ速度と疲労寿命の間には強い相関があり，全ての結果が概ね同一直線上

にあることがわかる．ラチェットひずみ速度 r と疲労寿命 Nf の関係は次式のように単純な

関係式で表すことができることがわかった．

56.1

r 313

fN (4.2)

非弾性ひずみエネルギー密度 W は図 4.19 の青色の塗りつぶしで示すようにせん断応力-

せん断ひずみ関係を表すヒステリシスループで囲まれた面積で表され，次式で算出する．



74

dW (4.3)

ここで，はせん断応力，はせん断ひずみを表す．既述の通り，3 サイクル目以降でせん

断応力-せん断ひずみ関係がほぼ安定するため，3 サイクル目のヒステリシスループから算

出する．図 4.20 に非弾性ひずみエネルギー密度と疲労寿命の関係を示す．図 4.20 より，同

じ平均重畳応力mean

の条件では，軸方向繰返し負荷によって非弾性ひずみエネルギー密

度 W は増加し，疲労寿命 Nf は低下していることがわかる．しかしながら，平均重畳応力

mean

の違いによる非弾性ひずみエネルギー密度 W の変化は非常に小さく，ほとんど横軸に

平行になるため，このままでは寿命予測ができない．そこで，非弾性ひずみエネルギー密度

W に対して平均重畳応力mean

による補正を加えた修正非弾性ひずみエネルギー密度 W’を次

式のように定義した．

mean0 WW (4.4)

ここで， 0 は補正係数である． 0 は基準となるラチェットひずみ量を表し，式(4.4)の右辺

第 2 項はラチェットひずみが 0 に達するまでの軸方向の非弾性ひずみエネルギーを表す．

0 は

fCNW の形で表される近似式との相関係数が最大となるように同定した結果，

10.00 となった．図 4.21 に修正非弾性ひずみエネルギー密度W’と疲労寿命の関係を示す．

図 4.21 より，振動負荷の有無に関わらず，全ての結果が概ね同一直線上にあり，修正非弾

性ひずみエネルギー密度 W’と疲労寿命 Nf の関係は次式のように単純な関係式で記述でき

ることがわかった．

436.0

2.12

fNW (4.5)



75

Fig. 4.16 Definition of fatigue life standardized by the Society of Materials Science, Japan (JSMS).

Fig. 4.17 Definition of biaxial ratchetting strain rate.

0

10

20

30

40

50

1 10 100 1000

Sh

ear

stre

ss r

ang

e Δτ

Number of cycles N

Nf(1/2) Nf

(3/4) Δτf

Δτf

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-1 -0.5 0 0.5 1

Bia

xia

l ra

tch

etti

ng s

trai

n ε

r , %

Shear strain / , %3

dN

d r

Biaxial ratchetting

strain rate



76

Fig. 4.18 Relationship between ratchetting strain rate and fatigue life.

Fig. 4.19 Definition of inelastic strain energy density.

y = 312.66x-1.559

R² = 0.9794

0.01

0.1

1

10 100 1000

Rat

chet

tin

g s

trai

n r

ate

d r

/dN

, %

/Cycl

e

Fatigue life Nf , Cycles

5MPa w/o vib.

5MPa with vib. (2MPa, 1Hz)



10MPa w/o vib.




979.0

313

2

56.1

r

R

N f

-30

-20

-10

0

10

20

30

-1 -0.5 0 0.5 1

Sh

ear

stre

ss

, M

Pa

Shear strain , %



77

Fig. 4.20 Relationship between inelastic strain energy density and fatigue life.

Fig. 4.21 Relationship between modified inelastic strain energy density and fatigue life.

y = 0.4522x0.001

R² = 0.001

0.1

1

10 100 1000 10000

Sh

ear

inel

asti

c st

rain

en

erg

y

den

sity

W, M

J/m

3


0MPa w/o vib.




5MPa w/o vib.




10MPa w/o vib.




001.0

452.0

2

001.0

R

NW f

y = 12.199x-0.436

R² = 0.9705

0.1

1

10

10 100 1000 10000

Mo

dif

ied i

nel

asti

c st

rain

en

erg

y

den

sity

W',

MJ/

m3


0MPa w/o vib.




5MPa w/o vib.




10MPa w/o vib.




971.0

2.12

2

436.0

R

NW f



78

4.6 結言

本章では，銅-はんだ接合中空試験片を用いて HALT の温度・振動複合負荷環境を模擬し

た二軸ラチェット試験を実施し，温度・振動複合負荷環境下での Sn-3Ag-0.5Cu はんだの二

軸ラチェット変形挙動について考察を行った．また，温度・振動複合負荷環境を考慮した強

度設計を可能とするため，Sn-3Ag-0.5Cu はんだの二軸ラチェット疲労寿命を予測するため

のパラメータの検討を行った．その結果，以下のような結論を得た．

(1) 銅-はんだ接合中空試験片を用いて小型のはんだ接合部による二軸ラチェット試験を実

施することができた．

(2) 繰返しせん断ひずみ負荷によるせん断応力-せん断ひずみ関係を表すヒステリシスルー

プの形状はサイクル数によってほとんど変化せず，繰返し硬化はほとんど生じない．3

サイクル目以降は確実に安定するため，3 サイクル目のヒステリシスループを基準とす

ることができる．

(3) 平均重畳応力によってせん断応力-せん断ひずみ関係のヒステリシスループ形状はほと

んど変化しない．平均重畳応力の増加によって二軸ラチェットひずみは大幅に増加す

る．

(4) 軸方向繰返し負荷によってせん断応力振幅が増加する．によるひずみ速度の増加に

よる硬化の影響や，非比例負荷による硬化の影響によるものと予想される．軸方向繰返

し負荷によって二軸ラチェットひずみは増加する．しかし，軸方向繰返し負荷の応力範

囲や周波数に対してあまり敏感ではない．

(5) 二軸ラチェットひずみの増加の仕方は 2 段階に分けることができ，クリープ変形にお

ける定常，加速クリープ領域と類似している．Sn-3Ag-0.5Cu はんだの二軸ラチェット

変形はクリープ変形と関わりが強いと考えられる．

(6) 二軸ラチェット疲労寿命は二軸ラチェットひずみ速度と強い相関があり，疲労寿命と

二軸ラチェットひずみ速度の関係は単純なべき乗則で近似できる．また，せん断方向と

軸方向の非弾性ひずみエネルギー密度の和（修正非弾性ひずみエネルギー密度）とも強



79

い相関があり，疲労寿命と修正非弾性ひずみエネルギー密度との関係も同様に単純な

べき乗則で表現することが可能である．


第 5 章弾粘塑性クリープ分離型構成式を用いた二軸ラチェット変形解析

80

第 5 章

弾粘塑性クリープ分離型構成式を用いた

二軸ラチェット変形解析

5.1 緒言

本章では，前章で行った二軸ラチェット試験を，弾塑性クリープ分離型構成モデルを用い

た有限要素解析（FEM 解析）により再現することを試みる．分離型構成モデルは，統一型

構成モデルに比べて，塑性と粘性の相互作用のような複雑な現象を表現することはできな

い．しかし，材料定数の物理的意味が明確であり，その決定が比較的容易にできるという利

点があるため，分離型構成モデルの方が工業的に有用であると言われている．前半では，従

来の弾塑性クリープ分離型構成モデルを鉛フリーはんだに適用する場合の問題点を示し，

これを改善した弾粘塑性クリープ分離型構成モデルについて述べる．後半では，前章で行っ

た二軸ラチェット試験の再現シミュレーションを行い，実験結果と解析結果を比較して，弾

粘塑性クリープ分離型構成モデルがはんだの二軸ラチェット変形に適用可能かどうかを検

討する．

5.2 弾塑性クリープ分離型構成モデル

5.2.1 構成モデル

本研究で用いた弾塑性クリープ構成モデルの概要を以下に記す．

全ひずみ ε を次式のように弾性ひずみ εe，塑性ひずみ ε

p，クリープひずみ εcの和で表す．

cpeεεεε (5.1)

弾性ひずみ εeは Hooke の法則を用いて次式で表される．

σDε :1ee

(5.2)

ここで Deは弾性テンソル，σ は応力テンソルである．

式(5.1)の塑性ひずみ εp，クリープひずみ ε

cは後退オイラー法を用いて，それぞれ次式のよ



81

うに表される．

ppp

1 Δεεε ii (5.3)

ccc

1 Δεεε ii (5.4)

ここで添え字 i，i+1 はそれぞれ現計算ステップの始点，終点を表す．Δεpは塑性ひずみ増分，

Δεcはクリープひずみ増分である．

移動硬化則を適用する場合，塑性ひずみ増分 Δεpは背応力を考慮した von Mises 型の降伏

関数および関連流れ則より，次式のように表される．

p

p

p Δ2

3Δ

bsε (5.5)

ここで s は偏差応力テンソル，b は背応力テンソルの偏差成分を表す．背応力とは降伏曲面

の中心を表す内部変数である． p は背応力を引いた応力成分から求めた相当応力， pΔ は

相当塑性ひずみ増分である． p は次式により与えられる．

bsbs :2

3p (5.6)

b は線形移動硬化則に従うと仮定すると，次式により算出される．

p

1 Δ3

2εbb Hii

(5.7)

ここで H’は塑性接線係数である．H’は応力-塑性ひずみ関係より求める．クリープひずみを

除去した応力-ひずみ関係を二直線近似した場合には H’は定数となる．本研究では，応力-ひ

ずみ関係を非線形近似式である Ramberg-Osgood 則で近似するため，H’は計算ステップ毎に

変化する．Ramberg-Osgood 則は次式で表される．

m

DE

0

ep (5.8)

ここで ep は相当弾塑性ひずみ（弾性ひずみと塑性ひずみの和），は相当応力，E は Young

率，ε0は基準塑性ひずみ，D は塑性ひずみ ε

0が生じるときの応力，m は硬化指数である．本

研究では μm/m2000 と設定しているため，D は 0.02%耐力を表す定数となる．式(5.8)の右



82

辺第 1 項が弾性ひずみ，第 2 項が塑性ひずみを表している．H’は Ramberg-Osgood 則の塑性

成分 mD 0

p を微分して導出した次式により求められる．

m

mm

m

D

Dm

D

d

dH

1

0

p

0

1

0

p

(5.9)

式(5.9)により，任意の塑性ひずみにおける塑性接線係数の算出が可能となる．

クリープひずみ増分 Δεcは背応力の影響を受けないと仮定すると，von Mises 型の降伏関

数および関連流れ則より次式によって与えられる．

tΔ2

3Δ

2

3Δ ccc

ss

ε (5.10)

ここで cΔ は相当クリープひずみ増分， c は相当クリープひずみ速度，Δt は時間増分を表

す．背応力の影響を受けないと仮定しているため，相当応力は次式により求められる．

ss :2

3 (5.11)

クリープ変形が Norton 則に従うとき， c は次式から得られる．

nA c (5.12)

ここで A，n は材料定数である．

なお，相当塑性ひずみ増分 pΔ は降伏条件式 0Y

p を満足する値として繰返し計算

によって算出される．ここでYは降伏応力である．本研究では Newton-Raphson 法によるリ

ターンマッピングを用いて pΔ および σを算出している．Newton-Raphson 法によるリター

ンマッピングの詳細については付録 A に記載する．また，コンシステント接線剛性マトリ

クス dσ/dΔε の導出方法については付録 B を参照されたい．

5.2.2 材料定数の決定

Young 率 E は引張試験あるいはねじり試験により求める．本研究では，ねじり試験により

せん断弾性率 G を求め，ポアソン比 ν = 0.35 [52]を用いて以下に示す式(5.13)により E を算

出した．なお，ねじり試験で得られた相当応力-相当ひずみ関係は既に前章の図 4.5 に示し



83

ている．

GE 12 (5.13)

次に，ねじり試験および応力緩和試験より Norton 則の定数 A，n を決定した．求め方は以

下の通りである．1%/s，0.1%/s，0.01%/s の 3 種類の相当ひずみ速度でのねじり試験を行い，

応力-ひずみ関係を取得する．応力-ひずみ関係において，図 4.5 に示すように相当応力の値

がほぼ一定になる領域がある．この領域では応力が一定でありながら，一定のひずみ速度で

ひずみが増加しており，この領域での変形はクリープ変形による現象と考えることができ

る．よって，相当クリープひずみ速度は相当ひずみ速度と等しくなる．また，ひずみ保持の

応力緩和試験において，相当クリープひずみ速度 c は相当弾性ひずみ速度 e と等しくなる

ため，次式により c を求められる．

E

ec (5.14)

ここでは相当応力速度，E は Young 率である．ねじり試験および応力緩和試験で得られ

た相当クリープひずみ速度と応力の関係を図 5.1 に示す．中実の□が 3 種類のひずみ速度に

おけるねじり試験結果を，中空の◯が相当ひずみ 4%で保持したときの応力緩和試験結果を

それぞれ表している．図 5.1 より，試験方法に依らず，全ての結果が破線で示すような直線

で近似できることがわかる．図 5.1 の近似直線の傾きおよび切片より Norton 則の定数 A，n

を求めることができる．

最後に，Ramberg-Osgood 則の定数0，D，m を求めた．クリープ変形の影響が少ないと考

えられる速いひずみ速度 1%/s でのねじり試験から得られた応力-ひずみ関係を式(5.8)の

Ramberg-Osgood 則で近似し，定数 D，m を求めた．なお，本研究では0 = 0.02% (= 200 μm/m)

としている．

以上の手順により決定した材料定数を表 5.1 に示す．



84

Fig. 5.1 Relationship between creep strain rate and stress.

Table 5.1 Material constants of Sn-3Ag-0.5Cu solder used

in the elasto-plastic-creep constitutive model.

E [GPa] ν ε0 D

0 [MPa] m A n

21.0 0.35 0.0002 29.6 6.74 5.23×10-28 14.9

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

Stress relaxation tests

Torsion tests

20 30 40 50 60 70

Cre

ep s

trai

n r

ate

dc

/dt,

s-1

Stress , MPa

9.14281023.5 c



85

5.2.3 弾塑性クリープ分離型構成モデルの問題点

弾塑性クリープ分離型構成モデルを用いて 1%/s，0.1%/s，0.01%/s の 3 種類のひずみ速度

における引張試験のシミュレーションを行い，応力-ひずみ関係を取得した．図 5.2 に実験

とシミュレーションより求めた応力-ひずみ関係の比較を示す．図中の◯，□，△がねじり

試験により得られた応力-ひずみ関係を，実線がシミュレーションにより得られた応力-ひず

み関係をそれぞれ表している．図 5.2 より，ひずみ速度 1%/s のとき実験と解析は非常に良

く一致しているが，ひずみ速度 0.1%/s，0.01%/s のときには解析結果が実験と合わなくなる

ことがわかる．すなわち，この弾塑性クリープ分離型構成モデルでは Sn-3Ag-0.5Cu はんだ

のひずみ速度依存性を精度良く表現できない．よって，弾塑性クリープ分離型構成モデルを

改善する必要がある．ひずみ速度依存性を良く表現できていない理由として，Norton 則に

よる定常クリープでしか時間依存変形を考慮していないことが考えられる．ねじり試験に

より得られた応力-ひずみ関係からNorton則で計算した定常クリープひずみを除去した結果

を図 5.3 に示す．もし定常クリープひずみを除去して残ったひずみが弾塑性ひずみで構成さ

れるならば，弾塑性ひずみは時間非依存のひずみであるため応力-ひずみ関係は 1 本の曲線

に集約されるはずである．しかしながら，図 5.3 に示す通り，ねじり試験により得られた応

力-ひずみ関係から定常クリープひずみを除去した曲線はひずみ速度によって異なる．定常

クリープひずみを除去しても時間依存変形が存在していることを示している．すなわち，遷

移クリープ変形を考慮する必要があるということがわかる．



86

Fig. 5.2 Comparison of stress-strain relations between experiments and

simulations using the elasto-plastic-creep constitutive model.

Fig. 5.3 Relationships between stress and elasto-viscoplastic strain obtained by

subtracting steady-state creep strain from total strain.

0

10

20

30

40

50

60

0 0.5 1 1.5 2

Eq

uiv

alen

t st

ress

σ, M

Pa

Equivalent strain ε, %

1%/s (Exp.) 1%/s (Sim.)

0.1%/s (Exp.) 0.1%/s (Sim.)

0.01%/s (Exp.) 0.01%/s (Sim.)

0

10

20

30

40

50

60

0 0.5 1 1.5 2

Eq

uiv

alen

t st

ress

, M

Pa

Equivalent strain , %

1%/s 0.1%/s 0.01%/s

-

- evp



87

5.3 弾粘塑性クリープ分離型構成モデル

5.3.1 弾塑性クリープ分離型構成モデルからの改良点

前節において，弾塑性クリープ分離型構成モデルでは Sn-3Ag-0.5Cu はんだのひずみ速度

依存性を精度良く表現できないことを示し，遷移クリープ変形を考慮する必要があること

を示した．本研究では Ramberg-Osgood 則の定数 D をひずみ速度の関数に置き換えることに

より，式(5.8)の右辺第 2 項を塑性ひずみだけでなく，遷移クリープひずみも含むひずみとみ

なすこととした．塑性変形と遷移クリープ変形はともに転位密度の増加によるひずみ硬化

を引き起こすことから，塑性ひずみと遷移クリープひずみの両方を含むひずみで表すとい

う仮定は妥当であると考えられる．このひずみを本研究では粘塑性ひずみと呼ぶこととす

る．D は次式のようなひずみ速度の関数で表されると仮定する．

pDD /1

0 (5.15)

ここで D0，p は材料定数である．式(5.15)のように仮定すると，式(5.8)の右辺第 2 項がひず

み速度に依存する粘塑性ひずみを表すようになる．式(5.1)，(5.3)，(5.5)，(5.7)，(5.8)，(5.9)

は以下のように置き換えられる．

cvpeεεεε (5.16)

vpvpvp

1 Δεεε ii (5.17)

vp

p

vp Δ2

3Δ

bsε (5.18)

vp

1 Δ3

2εbb Hii

(5.19)

m

pDE

1

0

0

evp

(5.20)

m

m

pm

p

p

m

D

Dm

D

d

dH

1

0

vp

0

1

0

1

1

00

1

0

vp

(5.21)

ここで上付き文字 vp は粘塑性を表す．



88

5.3.2 材料定数の決定

Young 率 E と Norton 則の定数 A，n は 5.2.2 節と同様に決定した．

Ramberg-Osgood 則の定数0，D

0，p，m の決定方法は以下の通りである．なお，

0 = 0.02%

(= 200 μm/m)としている．3 種類のひずみ速度 1%/s，0.1%/s，0.01%/s でのねじり試験から得

られた応力-ひずみ関係からNorton則で算出される定常クリープひずみを除去したものをそ

れぞれ式(5.8)の Ramberg-Osgood 則で近似し，それぞれのひずみ速度に対応する定数 D，m

を求めた．得られた D とひずみ速度の関係を図 5.4 に両対数グラフで示す．図 5.4 に示す

破線のように，D はのべき乗則で近似できることがわかる．図中の破線の傾きおよび切片

より D0，p を決定することができる．また，m に関しては，図 5.5 に示すようにひずみ速度

に対する変化がひずみ速度 1%/s でのばらつきの範囲内に収まっていたため，ひずみ速度に

はあまり敏感ではないと判断した．よって，3 種類のひずみ速度における m の平均値を採用

した．

以上の手順により決定した材料定数を表 5.2 にまとめて示す．

Fig. 5.4 Relationship between Ramberg-Osgood constant D and strain rate.

20

30

40

50

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

Mate

rial

con

stan

t D

, M

Pa

Strain rate d/dt, s-1

5.2112.37 D



89

Fig. 5.5 Relationship between hardening exponent m and strain rate.

Table 5.2 Material constants of Sn-3Ag-0.5Cu solder used

in the elasto-viscoplastic-creep constitutive model.

E [GPa] ν ε0 D

0 [MPa] p m A n

21.0 0.35 0.0002 37.2 21.5 6.74 5.23×10-28 14.9

5.3.3 応力-ひずみ関係

弾粘塑性クリープ分離型構成モデルを用いて 1%/s，0.1%/s，0.01%/s の 3 種類のひずみ速

度における引張試験のシミュレーションを行い，応力-ひずみ関係を取得した．図 5.6 に実

験とシミュレーションより求めた応力-ひずみ関係の比較を示す．図中の◯，□，△がねじ

り試験により得られた応力-ひずみ関係を，実線がシミュレーションにより得られた応力-ひ

ずみ関係をそれぞれ表している．図5.6を図5.2と比較すると，比較的遅いひずみ速度0.1%/s，

0.01%/s でも精度良く応力-ひずみ関係を再現できていることがわかる．この弾粘塑性クリー

プ分離型構成モデルを用いて二軸ラチェット変形解析を行う．

1

10

0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1

Har

den

ing e

xpon

ent

m

Strain rate d/dt, s-1



90

Fig. 5.6 Comparison of stress-strain relations between experiments and

simulations using the elasto-viscoplastic-creep constitutive model.

0

10

20

30

40

50

60

0 0.5 1 1.5 2

Eq

uiv

alen

t st

ress

σ, M

Pa

Equivalent strain ε, %

1%/s (Exp.) 1%/s (Sim.)

0.1%/s (Exp.) 0.1%/s (Sim.)

0.01%/s (Exp.) 0.01%/s (Sim.)



91

5.4 解析条件

汎用有限要素解析ソフトウェア ANSYS 18.1 を用いて実験の再現シミュレーションを行

った．ユーザーサブルーチン usermat を用いて前節で述べた構成モデルを ANSYS に組み入

れた．図 5.7 に示すように 8 節点一般軸対称ソリッド要素 SOLID273 を用いてはんだの部分

のみの軸対称モデルを作成した．z 軸まわりの軸対称条件に加えて，z = 0 の面に対称条件を

与えた．z 軸まわりに±0.87%の繰返しせん断ひずみ負荷を与え，z 軸正方向に平均重畳応力

として mean = 0，5，10 MPa を，振動を模擬した繰返し負荷の応力範囲として Δ = 0，2，4

MPa を与えた．このように，実験と同等の負荷条件を与えて 100 サイクルの解析を行った．

詳細な負荷条件については第 4 章の表 4.1 を参照されたい．

Fig. 5.7 Finite element model of biaxial ratchetting simulations.

1

ELEMENTS

/EXPANDED

MAT NUM

1

XY

Z

ELEMENTS

MAT NUM

U

ROT

F Axisymmetric

Symmetric

Rigid link elements

Copper

Solder

Solder



92

5.5 解析結果

5.5.1 繰返し硬化

図 5.8 にmean

= 5 MPa，なしの場合のせん断負荷 3 サイクル目までのせん断応力-せん

断ひずみ関係を示す．図 5.8 よりほとんどヒステリシスループの形状に変化が生じていな

い．このような結果は図 4.7 に示すような実験結果とも一致しており，Sn-3Ag-0.5Cu はんだ

は繰返し硬化を考慮する必要はないことをシミュレーションで再現することができた．

5.5.2 平均重畳応力の影響

mean = 0，5，10 MPa（なし）の場合における 3 サイクル目のせん断応力-せん断ひずみ

関係のシミュレーション結果を図 5.9 に示す．図中の黒色実線がmean = 0 MPa の場合，橙色

破線がmean = 5 MPa の場合，青色一点鎖線がmean = 10 MPa の場合を表す．図 5.9 より，平均

重畳応力が増加してもせん断応力-せん断ひずみ関係のヒステリシスループはほとんど変化

しておらず，シミュレーションにおいても図 4.9 の実験結果と同様の結果が得られた．なお，

本研究で用いている弾粘塑性クリープ分離型構成モデルでは，ひずみ速度に依存して 0.02%

耐力 D が変化するため，降伏曲面の大きさ（降伏応力Y）もひずみ速度に依存して変化す

る．しかし，平均重畳応力が 0，5，10 MPa の場合では定常クリープひずみ速度に違いはあ

るものの，全ひずみ速度に大きな差は生じないため，平均重畳応力が変化しても降伏曲面の

大きさはほとんど変わらない．

図 5.10 にmean = 5，10 MPa（なし）の場合のシミュレーションで得られた二軸ラチェ

ットひずみとせん断ひずみの関係を示す．図 5.10 と図 4.10 を比較すると，実験で得られた

せん断負荷サイクル数の増加に伴って二軸ラチェットひずみが増加していく挙動をシミュ

レーションでも再現できていることがわかる．また，平均重畳応力が増加すると二軸ラチェ

ットひずみが大きく増加する現象も再現できていることがわかる．mean = 5，10 MPa（な

し）の場合の各サイクル終点での軸方向の粘塑性ひずみ，定常クリープひずみを図 5.11 に

示す．図 5.11 より，平均重畳応力が増加すると定常クリープひずみが大きく増加すること



93

がわかる．軸方向（z 方向）の定常クリープひずみは次式によって計算される．

tAs n-z

z Δ2

3Δ 1c (5.22)

平均重畳応力（軸方向応力）の増加によって軸方向偏差応力 szおよび相当応力が増加す

るため，定常クリープひずみが大きく増加した．これにより，平均重畳応力が二軸ラチェッ

トひずみに与える影響を表現できていると考えられる．

5.5.3 軸方向繰返し負荷の影響

なし，あり（mean = 5 MPa）の場合における 3 サイクル目のせん断応力-せん断ひず

み関係のシミュレーション結果を図5.12に示す．黒色実線がmean = 5 MPaでなしの場合，

青色一点鎖線がmean = 5 MPa でありの場合を表す．図 4.11 に示すように実験ではあ

りの場合にせん断応力が増加しているが，図 5.12 のように解析ではほとんど変化がない．

今回の負荷条件において，軸方向繰返し負荷によって生じるひずみは小さく，ひずみ速度に

与える影響は非常に小さいため，ひずみ速度の増加による硬化ではなく，別の要因によって

硬化していると考えられる．その要因の一つとして，非比例負荷による硬化の影響が考えら

れる．鉛フリーはんだの一種である Sn-8Zn-3Bi はんだに非比例負荷を与えると硬化すると

いう報告[62]がなされている．そのため，Sn-3Ag-0.5Cu はんだにおいても非比例負荷によっ

て硬化する可能性があると考えられる．この非比例負荷による硬化をモデル化する必要が

ある．非比例負荷による硬化のモデル化については 5.6 節で述べる．

図 5.13 にシミュレーションにおけるあり（mean = 5 MPa）の場合の二軸ラチェットひ

ずみとせん断ひずみの関係を示す．図 5.10(a)と図 5.13 を比較すると，軸方向繰返し負荷

によって二軸ラチェットひずみはほとんど変化していないことがわかる．このことは，図

4.10(a)と図 4.12の実験結果で見られたによる二軸ラチェットひずみの増加を表現できて

いないことを意味する．シミュレーションでは軸方向繰返し負荷の影響をせん断方向，

軸方向ともに表現できていない．非比例負荷による硬化をモデル化し，構成モデルに組み入



94

れたシミュレーションを次節で行う．

Fig. 5.8 Shear stress-shear strain relationship until the third cycle in simulation

(mean

= 5 MPa without ).

-30

-20

-10

0

10

20

30

-1 -0.5 0 0.5 1

Sh

ear

stre

ss τ

, M

Pa

Shear strain γ, %



95



in simulation.


in simulation. (a) mean

= 5 MPa. (b) mean

= 10 MPa.

-30

-20

-10

0

10

20

30

-1 -0.5 0 0.5 1

Sh

ear

stre

ss

, M

Pa

Shear strain , %

0MPa

5MPa

10MPa

(a) (b)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

Bia

xia

l ra

tch

etti

ng s

trai

n ε

r , %

Shear strain / , %3

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-0.6 -0.1 0.4

Bia

xia

l ra

tch

etti

ng s

trai

n ε

r , %

Shear strain / , %3



96

Fig. 5.11 Relationships between viscoplastic or creep strain in axial direction and number of cycles

without in simulation. (a) mean

= 5 MPa. (b) mean

= 10 MPa.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 5 10 15 20

Vis

cop

last

ic o

r cr

eep

str

ain

εv

po

r εc

, %

Number of cycles N

Viscoplastic strain

Creep strain

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 5 10 15 20

Vis

cop

last

ic o

r cr

eep

str

ain

εv

po

r εc

, %

Number of cycles N

Viscoplastic strain

Creep strain

(a)

(b)



97



in simulation.


= 5 MPa

with = 2 MPa and fshear

= 1 Hz until the 20th cycle in simulation.

-30

-20

-10

0

10

20

30

-1 -0.5 0 0.5 1

Sh

ear

stre

ss

, M

Pa

Shear strain , %

fshear

0MPa

2MPa 1Hz

2MPa 2Hz

4MPa 1Hz

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

Bia

xia

l ra

tch

etti

ng s

trai

n ε

r , %

Shear strain / , %3



98

5.6 非比例負荷による硬化を考慮したシミュレーション

5.6.1 非比例負荷のモデル化

比例負荷とは降伏曲面の中心を通る直線の経路で表される負荷のことであり，非比例負

荷とは降伏曲面の中心を通らない直線の経路あるいは非線形の経路で表される負荷のこと

である．図 5.14 に比例負荷と非比例負荷の例を図示する．主に金属材料は非比例負荷の下

で硬化することが知られている．非比例負荷による硬化は材料内部に形成された複雑な転

位構造に起因する[63]とされている．鉛フリーはんだの一種である Sn-8Zn-3Bi はんだに非

比例負荷を与えると硬化するという報告[62]があり，Sn-3Ag-0.5Cu はんだも同様に硬化する

可能性がある．そこで，非比例負荷による硬化の影響を構成モデルに組み入れることを試み

た．

過去に McDowell[64]や Benallal ら[65]，田中ら[63]等によって非比例負荷による硬化のモ

デル化の検討がなされてきた．本研究の実験では，軸方向繰返し負荷がない場合，平均重畳

応力によってヒステリシスループが変化せず，また，繰返し硬化はほとんど起こらなかった

ことを表現する必要がある．また，モデル化の物理的な意味がわかりやすく，材料定数の数

が少なく，決定しやすいことが望まれる．本研究では，Benallal らによって提案された，塑

性ひずみ速度と応力速度の非共軸性により負荷経路の非比例度を定義する方法および

Mayama らの負荷経路の非比例度の定義方法[66]を参考にして，負荷経路の非比例度を定義

して構成モデルに組み入れる．

負荷経路の非比例度 fNPは偏差有効応力 bs と偏差応力速度 sを用いて次式のように表さ

れると仮定する．

Tiii

iii

T

dtT

dtT

f

2

111

111NP

:1

1sin

1

sbs

sbs

(5.22)

ここで，は偏差有効応力 bs と偏差応力速度 sの間の角度，T はせん断負荷サイクルの周

期である．本研究ではせん断負荷サイクルを 0.04 Hz で与えているため，周期は 25 s であ

る．fNPは 10 NP f を満足する．なお，偏差有効応力 bs は粘塑性ひずみ増分の方向を表し



99

ている．sinは軸方向の微小繰返し負荷によって容易に変化する値であるが，材料内部の転

位構造は容易には変化しない[63]と考えられるため，sinの 1 周期あたりの時間平均をとる

ことにより，fNPを定義した．なし，あり（mean = 5 MPa）の場合，シミュレーション

で得られた sinの時間変化を図 5.15 に示す．図 5.15 より，なしの場合には 3 サイクル

目以降に sinがほぼ 0 になっており，ありの場合には 3 サイクル目以降でも sinが高い

状態が維持されることがわかる．sinを 1 周期毎に時間平均をとることによって算出した

fNPを表 5.3 に示す．表 5.3 より，非比例度 f

NPはなしの場合には 3 サイクル目以降は 0 に

近い値となり，の有無に関わらず 3 サイクル目以降はほぼ一定になることがわかる．し

たがって，がない場合には非比例負荷による硬化はほとんど生じず，ヒステリシスルー

プの形状に影響を及ぼさない．がある場合には負荷経路の非比例度 fNPが大きいため，非

比例負荷による硬化が生じると考えられる．また，非比例度 fNPが 3 サイクル目以降はほぼ

一定になることから，非比例負荷による硬化を構成モデルに組み入れることによって繰返

し硬化が生じることもない．

負荷経路の非比例度 fNPを構成モデルに組み入れるため，本研究では，Ramberg-Osgood 則

の定数 D を次式のように fNPの関数として表記できると仮定する．

pfDD /1

NP0 1 (5.23)

ここで，は 0.02%耐力Dの負荷経路の非比例度 fNPに対する依存度を表す材料定数である．

がある場合のシミュレーションにおけるせん断応力範囲が実験結果に近づくように定

数は 15.0 と決定した．

5.6.2 軸方向繰返し負荷を与えた場合の解析結果

図 5.16 になしの場合とありの場合（mean

= 5 MPa）のシミュレーションによって得ら

れたせん断応力-せん断ひずみ関係を示す．図 4.11 と図 5.16 より，実験でのによってせ

ん断応力範囲が大きくなる現象がシミュレーションでも表現できていることがわかる．

図 5.17 になしの場合とありの場合（mean

= 5 MPa）のシミュレーションから得られた



100

二軸ラチェットひずみとせん断ひずみの関係を示す．図 4.10(a)，図 4.12 と図 5.17 を比較す

ると，シミュレーションでは実験よりも二軸ラチェットひずみが大きくなっている．しかし

ながら，負荷経路の非比例度を考慮することにより，による二軸ラチェットひずみの増

加を表現できていることがわかる．による二軸ラチェットひずみの増加の要因を考察す

るため，mean

= 5 MPa でありの場合のシミュレーションにおける各サイクル終点での軸

方向の粘塑性ひずみ，定常クリープひずみを図 5.18 に示す．非比例負荷による硬化を考慮

しないときの結果を図 5.18(a)に，非比例負荷による硬化を考慮したときの結果を図 5.18(b)

に示す．図 5.10(a)と図 5.18 を比較すると，の有無によって粘塑性ひずみの値はほとんど

変化しないことがわかる．ありのときに非比例負荷による硬化を考慮した場合には，ク

リープひずみが増加していることがわかる．これは，非比例負荷による硬化によってせん断

応力が大きくなり，その結果，相当応力が増加して定常クリープひずみが増加したためであ

る．このことから，Sn-3Ag-0.5Cu はんだにおける二軸ラチェット変形は定常クリープ変形

が支配的であることがわかる．

5.6.3 せん断負荷サイクル数と二軸ラチェットひずみの関係

図 5.19 に実験とシミュレーションにおける二軸ラチェットひずみとせん断負荷サイクル

数の関係を示す．図 5.19 より，実験とシミュレーションともに，mean

= 5 MPa の場合には二

軸ラチェットひずみがほぼ一定の割合で増加しており，良い一致を得られている．しかしな

がら，シミュレーションの方が二軸ラチェットひずみは少し大きくなっている．mean

= 10

MPa の場合にはサイクル数が増加するにしたがい，実験とシミュレーションの差が大きく

なる．図 5.20 にせん断応力範囲と負荷サイクル数の関係を示す．図 5.20 より，mean

= 10 MPa

の場合，100 サイクルに到達する前にせん断応力範囲が急激に低下し始めており，材料内部

の欠陥やクラックといった損傷が生じ始めていることがわかる．実験においては，損傷によ

って軟化し，より二軸ラチェットひずみが生じやすくなったと考えられる．このことが，図

5.19 でmean

= 10 MPa の場合に実験と解析で差が生じた理由であると考えられる．



101

Fig. 5.14 Examples of loading path. (a) Proportional loading. (b) Non-proportional loading.

(a)

(b)



102

Fig. 5.15 Relationships between sin and time, where is an angle between

deviatric effective stress bs and deviatric stress rate s .

(a) mean

= 5 MPa without (b) mean

= 5 MPa with = 2 MPa and fshear

= 1 Hz.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 25 50 75 100

sin

Time t, s

1st cycle 2nd cycle 3rd cycle 4th cycle

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 25 50 75 100

sin

Time t, s

1st cycle 2nd cycle 3rd cycle 4th cycle

(a)

(b)



103

Table 5.3 Non-proportionality of loading path until the third cycle.

Conditions 1st cycle 2nd cycle 3rd cycle

mean

= 0 MPa without 6.03×10-9

5.23×10-9

5.48×10-9

mean

= 0 MPa with = 2 MPa (1 Hz) 0.490 0.530 0.530

mean

= 0 MPa with = 2 MPa (2 Hz) 0.630 0.668 0.668

mean

= 0 MPa with = 4 MPa (1 Hz) 0.638 0.679 0.679

mean

= 5 MPa without 3.11×10-2

2.50×10-3

2.08×10-3

mean

= 5 MPa with = 2 MPa (1 Hz) 0.496 0.530 0.530

mean

= 5 MPa with = 2 MPa (2 Hz) 0.638 0.672 0.672

mean

= 5 MPa with = 4 MPa (1 Hz) 0.643 0.675 0.675

mean

= 10 MPa without 6.17×10-2

2.65×10-2

1.69×10-2

mean

= 10 MPa with = 2 MPa (1 Hz) 0.499 0.531 0.531

mean

= 10 MPa with = 2 MPa (2 Hz) 0.643 0.668 0.666

mean

= 10 MPa with = 4 MPa (1 Hz) 0.650 0.685 0.684



104



in simulations considering non-proportionality of loading path.


= 5 MPa until the

20th cycle in simulations considering non-proportionality of loading path.

(a) = 2 MPa and fshear


= 2 Hz.

-30

-20

-10

0

10

20

30

-1 -0.5 0 0.5 1

Sh

ear

stre

ss

, M

Pa

Shear strain , %

fshear

0MPa

2MPa 1Hz

2MPa 2Hz

4MPa 1Hz

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-0.6 -0.1 0.4

Rat

chet

tin

g s

trai

n ε

r , %

Shear strain / , %3

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-0.6 -0.1 0.4

Rat

chet

tin

g s

trai

n ε

r , %

Shear strain / , %3

(b) (a)



105

Fig. 5.18 Relationships between viscoplastic or creep strain in axial direction and number of cycles

at mean


= 1 Hz in simulation.

(a) Without non-proportionality of loading path.

(b) With non-proportionality of loading path.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 5 10 15 20

Vis

cop

last

ic o

r cr

eep

str

ain

εv

po

r εc

, %

Number of cycles N

Viscoplastic strain

Creep strain

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 5 10 15 20

Vis

cop

last

ic o

r cr

eep

str

ain

εv

po

r εc

, %

Number of cycles N

Viscoplastic strain

Creep strain

(a)

(b)



106

Fig. 5.19 Comparison between experiments and simulations about relationships between biaxial

ratchetting strain and number of cycles until the 100th cycles. The loading conditions are mean

= 5

MPa without , mean

= 10 MPa without and mean

= 5 MPa with = 2 MPa (1 Hz).

Fig. 5.20 Relationships between shear stress range and number of cycles in experiments.

0

2

4

6

8

10

12

14

0 20 40 60 80 100

Bia

xia

l ra

tch

etti

ng s

trai

n

r, %

Number of cycles N

5MPa (Exp.)

10MPa (Exp.)

5MPa with Δσ (Exp.)

5MPa (Sim.)

10MPa (Sim.)

5MPa with Δσ (Sim.)

5MPa with Δσ (Sim.)(Non-

proportionality of loading)

0

10

20

30

40

50

60

1 10 100 1000

Sh

ear

stre

ss r

ang

e

, M

Pa

Number of cycles N

5MPa w/o Δσ

5MPa with Δσ

10MPa w/o Δσ



107

5.7 二軸疲労寿命の推定

FEM シミュレーション結果から修正非弾性ひずみエネルギー密度 W’とラチェットひず

み速度 r を算出し，第 4 章で定数を同定した式(4.2)および式(4.5)にそれぞれ代入して疲労

寿命予測を行った．図 5.21 に予測した疲労寿命 Nf est.と実験で得られた疲労寿命 N

f exp.との関

係を示す．図中の実線は予測値と実験値が一致する 1.exp. festf NN を表し，破線は

2/1.exp. festf NN と 2.exp. festf NN をそれぞれ表している．予測値は 2 本の破線の間に位置

し，概ね実験値と良い一致を得られている．すなわち，予測値と実験値との誤差を表すファ

クターが 2 の範囲に収まっており，精度良い予測が可能であることを意味している．以上よ

り，本研究の非比例負荷による硬化を考慮した弾粘塑性クリープ分離型構成モデルを用い

た有限要素解析は，疲労寿命予測を行うために必要な精度を持っているといえる．また，第

4 章で提案した修正非弾性ひずみエネルギー密度とラチェットひずみ速度を予測パラメー

タとして用いることにより，実際に寿命予測を行うことができることを実証することがで

きた．



108

Fig. 5.21 Relationships between estimated fatigue life and experimental fatigue life.

(a) Using biaxial ratchetting strain rate with Eq. (4.2).

(b) Using modified inelastic strain energy density with Eq. (4.5).

10

100

1000

10000

10 100 1000 10000

Est

imat

ed f

atig

ue

life

Nf

est.

Experimental fatigue life Nf exp.

5MPa without Δσ

5MPa with Δσ (2MPa, 1Hz)



10MPa without Δσ




2

1

exp.

est.

f

f

N

N

2exp.

est.

f

f

N

N

10

100

1000

10000

10 100 1000 10000

Est

imat

ed f

atig

ue

life

Nf

est.

Experimental fatigue life Nf exp.

0MPa without Δσ




5MPa without Δσ




10MPa without Δσ




2

1

exp.

est.

f

f

N

N

2exp.

est.

f

f

N

N

(a)

(b)



109

5.8 結言

本章では，第 4 章で実施した温度・振動複合負荷環境を模擬した二軸ラチェット試験を

シミュレーションによって再現するための弾塑性クリープ分離型構成モデルの検討を行っ

た．また，その構成モデルを用いた FEM シミュレーションによって得られる結果から二軸

ラチェット疲労寿命予測の検討を行った．その結果，以下のような結論を得た．

(1) 従来の弾塑性クリープ分離型構成モデルでは，遅いひずみ速度域において応力-ひずみ

関係を精度良く表現することができないという問題点が明らかになった．これは，定常

クリープひずみでしか時間依存変形を考慮していないためであり，遷移クリープ変形

を考慮する必要があるということがわかった．

(2) Ramberg-Osgood 則の定数 D（0.02%耐力を表す）をひずみ速度に依存すると仮定するこ

とにより，塑性ひずみと遷移クリープひずみを含む粘塑性ひずみを表現できるように

弾塑性クリープ分離型構成モデルの改良を行った．改良した構成モデルを弾粘塑性ク

リープ分離型構成モデルと呼ぶ．この構成モデルを用いることにより，比較的遅いひず

み速度でも精度良く応力-ひずみ関係を再現できる．

(3) 弾粘塑性クリープ分離型構成モデルを用いて二軸ラチェットシミュレーションを行っ

たところ，平均重畳応力の影響は表現できたが，重畳繰返し負荷の影響は表現できなか

った．

(4) 非比例負荷による硬化をモデル化し，弾粘塑性クリープ分離型構成モデルの Ramberg-

Osgood 則の定数 D（0.02%耐力）を負荷経路の非比例度に依存すると仮定することによ

り，重畳繰返し負荷の影響を表現することが可能となった．

(5) 非比例負荷による硬化を考慮した弾粘塑性クリープ分離型構成モデルを用いた FEMシ

ミュレーションは二軸ラチェット疲労寿命の予測に十分な精度を有していることがわ

かった．


第 6 章総括

110

第 6 章

総括

6.1 結論

本研究では，モバイルデバイスの信頼性向上のために，相変化材料（PCM）を用いた熱対

策およびはんだ接続部の強度信頼性評価の 2 つの観点から検討を行った．

相変化材料（PCM）を用いた熱対策に関しては，PCM/PE 複合材料を模擬スマートフォン

に適用して温度測定実験を行い，モバイルデバイスに PCM を適用する場合の PCM の潜熱

量の影響，形状の影響，および高熱伝導シートとの同時利用の効果を明らかにした．さらに，

PCM/PE 複合材料の熱物性値を混合則により推定し，シミュレーションによる実験の再現を

試みた．また，PCM/PE 複合材料の引張試験およびマイクロスケールシミュレーションを行

い，PCM/PE 複合材料の強度特性を明らかにすることにより，構造部材としての適用性を検

証した．

はんだ接続部の強度信頼性評価に関しては，HALT の温度・振動複合負荷環境を模擬した

Sn-3Ag-0.5Cu はんだの二軸ラチェット試験を行い，振動を模擬した重畳繰返し負荷がはん

だの二軸ラチェット変形特性に与える影響について検討を行った．また，温度・振動複合負

荷条件下での二軸ラチェット疲労寿命予測のパラメータについても検討を行った．そして，

従来の弾塑性クリープ分離型構成モデルを修正し，その構成モデルを用いて実験の再現シ

ミュレーションを行い，適用可能性の検証を行った．

以上の検討を行い，本研究で得られた結論を各章毎に以下で述べる．

第 1 章では，モバイルデバイスの信頼性向上のためには熱と強度の両面から対応しなけ

ればならないことを示した．電子機器の熱対策では近年，相変化材料（PCM）が注目を集め

ているが，モバイルデバイスを対象とした研究を行うことの必要性を示した．はんだ接続部

の強度信頼性評価では，近年盛んに行われるようになってきた HALT に着目し，温度・振動


第 6 章総括

111

複合負荷環境下でのはんだの変形特性を明らかにする必要があることを示した．

第 2 章では，PCM が液化しても形状を維持できる PCM/PE 複合材料を用いたシート（PCM

シート）を作製し，それを模擬スマートフォンに適用して温度測定実験を行った．さらに，

PCM/PE 複合材料の熱物性値を複合則等で推定し，実験の再現シミュレーションを行い，物

性値推定の適用性について検討を行った．その結果，PCM シートの底面積よりも板厚を大

きくしたほうが遅延効果を大きくすることができ，また，面積の大きい高熱伝導シートとと

もに使用することが有効であり，最高温度の低下と遅延効果の増大の両立ができる可能性

があることを明らかにした．さらに，PCM/PE 複合材料の熱物性値推定に，体積分率を用い

た複合則および Bruggeman の式を用いることは有効であることを示し，母材の樹脂を変更

した場合の予測や，PCM シートの使用条件の最適化をシミュレーションによって行うこと

ができる可能性があることを明らかにした．

第 3 章では，PCM/PE 複合材料の強度特性を引張試験およびマイクロスケールシミュレー

ションによって調べた．その結果，温度が上昇すると PCM/PE 複合材料の強度は低下する

が，これは HDPE の温度依存性による影響が大きく，PCM の液相化による影響は小さいこ

と，また，ポリエチレンに MPCM を混合することにより強度が大きく低下するため，遅延

効果と強度特性はトレードオフの関係にあることを示し，炭素繊維等の補強材を混合する

ことが有効であることを明らかにした．さらに，PCM/PE 複合材料作製時の段階で MPCM

と HDPE の界面は接着界面とはく離界面が混在し，ひずみ 2%以上の領域では次第にはく離

界面が増加することを示し，MPCM と HDPE の界面強度の低さを明らかにした．

第 4 章では，HALT を模擬した二軸ラチェット試験を実施し，温度・振動複合負荷環境下

での Sn-3Ag-0.5Cu はんだの二軸ラチェット変形挙動および二軸ラチェット疲労について考

察を行った．その結果，軸方向に重畳した繰返し負荷によってはんだは硬化することがわか

り，振動負荷条件下でも同様に硬化する可能性があることがわかった．また，二軸ラチェッ


第 6 章総括

112

トひずみが軸方向に重畳した繰返し負荷によって増加することがわかり，HALT 環境ではん

だ接続部が早く破断する現象を裏付ける結果が得られた．さらに，二軸ラチェット疲労寿命

は軸方向に重畳した繰返し負荷の有無に関わらず，二軸ラチェットひずみ速度や修正非弾

性ひずみエネルギー密度と強い相関があり，単純なべき乗則によって疲労寿命を予測でき

ることがわかった．

第 5 章では，従来の弾塑性クリープ分離型構成モデルでは，遅いひずみ速度域において

Sn-3Ag-0.5Cu はんだの応力-ひずみ関係を精度良く表現することができないという問題点を

示した．そして，Ramberg-Osgood 則の定数 D（0.02%耐力を表す）をひずみ速度に依存する

と仮定することにより，塑性ひずみと遷移クリープひずみを含む粘塑性ひずみを表現でき

るように弾塑性クリープ分離型構成モデルの改良を行った．改良した弾粘塑性クリープ分

離型構成モデルを用いて二軸ラチェットシミュレーションを行ったところ，平均重畳応力

の影響は表現できたが，重畳繰返し負荷の影響は表現できなかった．そのため，非比例負荷

による硬化を偏差有効応力と偏差応力速度との間の角度を用いてモデル化し，弾粘塑性ク

リープ分離型構成モデルの Ramberg-Osgood 則の定数 D（0.02%耐力）に組み入れた．これ

により，重畳繰返し負荷の影響を表現することが可能となった．非比例負荷による硬化を考

慮した弾粘塑性クリープ分離型構成モデルによるシミュレーション結果は二軸ラチェット

疲労寿命の予測に十分な精度を有していることを確認した．


第 6 章総括

113

6.2 展望

PCM を用いたモバイルデバイスの熱対策に関して，本研究では，実験において PCM/PE

複合材料で作製した PCMシートの形状や熱伝導率がモバイルデバイスの温度変化に与える

影響を明らかにし，さらに，物性値を複合則等で予測して行ったシミュレーションにおいて

それらの影響を再現できることを実証した．すなわち，母材の樹脂を変更した場合の結果の

予測や，PCM の使用条件の最適化をシミュレーションによって行うことができる可能性を

示した．しかしながら，他の樹脂材料や他条件における適用性の検証は十分に行われていな

いため，それらを行うことが今後の課題である．また，PCM/PE 複合材料の MPCM と HDPE

の界面強度の低さが明らかとなったため，炭素繊維等の補強材を用いたり，母材の樹脂を変

更したりする必要がある．これについても今後の課題である．

はんだ接続部の強度信頼性評価に関しては，本研究では，HALT を模擬した二軸ラチェッ

ト試験を行い，軸方向に重畳した繰返し負荷によって Sn-3Ag-0.5Cu はんだが硬化すること

を明らかにした．しかし，この軸方向に重畳した繰返し負荷の周波数は試験機の制限により，

2 Hz までにしか設定できなかった．より高周波な振動負荷が与えられた場合の検証も行う

必要がある．また，弾粘塑性クリープ分離型構成モデルはRamberg-Osgood則の定数D（0.02%

耐力）にひずみ速度依存性を与えることにより，粘塑性ひずみを表現できるように改良を行

ったが，一定応力下での遷移クリープひずみを表現できていない．今後，Ramberg-Osgood 則

の塑性ひずみ項を真の意味での時間依存の形に拡張することができれば，より正確なシミ

ュレーションを行うことができる．


付録 A リターンマッピング法

114

付録 A

リターンマッピング法

第 5 章にて本研究で用いた構成モデルの概要を説明した．ここでは，非弾性構成モデルを用

いた場合における現計算ステップ終点の応力 σi+1を導出するための計算方法であるリター

ンマッピングアルゴリズムについて説明する．なお，ここで述べる内容は文献[52, 54, 67]を

参考にしている．

図 A.1 はリターンマッピング法を図示したものである．現計算ステップでの全ひずみ増分

を弾性ひずみ増分としてトライアル応力 tr

1iσ を算出し（弾性予測子），それから非弾性ひず

みでの応力緩和量による修正を行い（非弾性修正子），現計算ステップ終点の応力 σi+1を導

出するという手順を踏む．このように，トライアル応力から非弾性変形分だけ「戻ってくる」

ような修正計算を行うことになるので，リターンマッピングと呼ばれる．

Fig. A.1 Return mapping algorithm. (a) Yielding state. (b) Non-yielding state.

Yield surface

at state i

1iσ

iσ

tr

1iσ

Elastic predictorInelastic corrector

Yield surface

at state i+1

Yield surface

at state i

1iσ

iσ

tr

1iσ

Elastic predictor Inelastic corrector

(a) (b)



115

トライアル応力 tr

1iσ は次式によって計算される．

treetr

1 Δ: εεDσ ii (A.1)

ここで e

iε は現計算ステップ始点での弾性ひずみ，εtr は現計算ステップでの全ひずみ増分

ε から熱ひずみ増分εthを引いた値である．トライアル応力 tr

1iσ を用いて次式よりトライア

ル偏差応力 tr

1is を求める．

Iσσstr

1

tr

1

tr

1 tr3

1 iii (A.2)

ここで I は単位行列である．トライアル偏差応力 tr

1is と現計算ステップ始点での背応力の偏

差成分 biを用いてトライアル相当応力 trp

1i を次式より算出する．

iiiii bsbs

tr

1

tr

1

trp

1 :2

3 (A.3)

トライアル相当応力 trp

1i を用いて降伏判定を行う．降伏状態にあるときには粘塑性ひずみ

（塑性ひずみ）とクリープひずみによる応力緩和量で修正を行うことになり，降伏状態でな

いときにはクリープひずみによる応力緩和量のみで修正を行うことになるため，降伏判定

を行う必要がある．降伏判定には次式で求められる F を用いた．

Y

trp

1 iF (A.4)

ここでYは降伏応力であり，本研究では粘塑性ひずみ（塑性ひずみ） μm/m1Y を生じる

相当応力を降伏応力としている．降伏応力は Ramberg-Osgood 則の定数を用いて次式で表さ

れる．

D

m/1

0

YY

(A.5)

F>0 のとき降伏状態にあると判断し，F≤0 のとき降伏状態でないと判断する．

リターンマッピングを行うときに，非線形方程式を解く必要があり，本研究では Newton-

Raphson 法を用いて解を求める．



116

Newton-Raphson 法とはどのような方法かを簡単に説明する．変数 a についての関数 f (a)が f

(a) = 0 となるような解 a(∞)を求めることを考える．ある初期値 a

(0)から次式を用いて繰返し

計算を行い，解 a(∞)に収束させていく．

k

k

kkaf

afaa

1 (A.6)

ここで，a(k+1)，a

(k)はそれぞれ k+1 回目，k 回目の収束計算時の a の値を表す．この計算を図

示したものを図 A.2 に示す．繰返し計算を行うことで解 a(∞)に近づいていく様子がわかる．

収束計算前後の差 a(k+1)−a

(k)が設定したしきい値を下回れば解に収束したとみなす．

Fig. A.2 Newton-Raphson method.

f (a)

a

ak ak+1 ak+2

a∞



117

変数が 2 つ以上の場合には，変数 x = {a1, a

2, …, a

n}

Tについての関数 R(x) = { f1(x), f

2(x), …,

fn(x),}

Tが R(x) = 0 となるような解 x(∞)を求めることを考える．次式によって変数 x を更新し

ていく．

kkkk xRxJxx

1

1 (A.7)

ここで，J −1

(x)は R(x)の Jacobi 行列 J(x)の逆行列であり，J(x)は次式で定義される．

n

nnn

n

n

a

f

a

f

a

f

a

f

a

f

a

f

a

f

a

f

a

f

xxx

xxx

xxx

xJ

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

(A.8)

1 変数の場合と同様に，繰返し計算を行うことで解 x(∞)に近づいていく．ユークリッドノル

ム kxR が設定したしきい値を下回れば解に収束したとみなす．

以下に F ≥ 0 のとき，F < 0 のときのそれぞれの非弾性修正ステップの計算方法を記述する．



118

降伏状態（F ≥ 0）のとき

等方弾性と非弾性変形における非圧縮性を仮定すると，現計算ステップ終点の応力 σi+1はト

ライアル応力 tr

1iσ を用いて次式のように表される．

cvptr

11 ΔΔ2 εεσσ Gii (A.9)

ここで G はせん断弾性率，Δεvpは現計算ステップにおける粘塑性ひずみ増分，Δε

cは現計算

ステップにおけるクリープひずみ増分を表す．

Δεvpおよび Δε

cは偏差的である（後述の式(A.11)，(A.14)を参照）ため，式(A.7)の静水圧成分

は粘塑性流動に対して独立である．よって，式(A.9)の偏差成分は次式のようになる．

cvptr

11 ΔΔ2 εεss Gii (A.10)

さらに，第 5 章で述べた構成モデルの式（式(A.11)～(A.15)）と降伏条件式（式(A.16)）を満

たす必要がある．

11p

1

vpvp

2

Δ3Δ

ii

i

bsε

(A.11)

1111

p

1 :2

3 iiiii bsbs (A.12)

vp

1 Δ3

2εbb Hii

(A.13)

1

1

11

1

cc Δ

2

3

2

Δ3Δ

i

n

ii

i

tA ssε

(A.14)

111 :2

3 iii ss (A.15)

0Y

p

1 i (A.16)

式(A.10)～(A.16)の連立非線形方程式を解く手順を以下に示す．

式(A.10)に式(A.11)，(A.14)を代入して整理すると，



119

tr

11p

1

vp

1

1

1p

1

vp Δ3Δ3

Δ31

ii

i

i

n

i

i

GtGA

Gsbs

(A.17)

式(A.13)に式(A.11)を代入して整理すると，

ii

i

i

i

HHbbs

1p

1

vp

1p

1

vp Δ1

Δ

(A.18)

式(A.17)と式(A.18)を連立して si+1と b

i+1について解くと，以下のようになる．

p

1

vp

p

1

vp

p

1

vp1

1p

1

vp

p

1

vptr

1p

1

vp

1

ΔΔ3Δ1Δ3

Δ31

Δ3Δ1

iii

n

i

i

i

i

i

i

i

HGHtGA

G

GH

bs

s

(A.19)

p

1

vp

p

1

vp

p

1

vp1

1p

1

vp

1

1p

1

vptr

1p

1

vp

1

ΔΔ3Δ1Δ3

Δ31

Δ3Δ3

1Δ

iii

n

i

i

i

n

i

i

i

i

i

HGHtGA

G

tGAGH

bs

b

(A.20)

式(A.19)から式(A.20)を減ずると，次式が得られる．

p

1

vp

p

1

vp

p

1

vp1

1p

1

vp

1

1

tr

1

11

ΔΔ3Δ1Δ3

Δ31

Δ31

iii

n

i

i

i

n

ii

ii

HGHtGA

G

tGA

bsbs

(A.21)

式(A.21)を式(A.12)に代入して整理すると，

0

ΔΔ3Δ1Δ3

Δ31

Δ31:Δ312

3

p

1

p

1

vp

p

1

vp

p

1

vp1

1p

1

vp

1

1

tr

1

1

1

tr

1

i

iii

n

i

i

i

n

iii

n

ii

HGHtGA

G

tGAtGA

bsbs

(A.22)

式(A.19)を式(A.15)に代入して整理すると，



120

0ΔΔ3Δ

1Δ3Δ3

1

Δ3Δ1:

Δ3Δ1

2

3

1

p

1

vp

p

1

vp

p

1

vp1

1p

1

vp

p

1

vptr

1p

1

vp

p

1

vptr

1p

1

vp

i

iii

n

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

HGHtGA

G

GHGH

bsbs

(A.23)

式(A.16)より Y

p

1 i であるため，未知変数は1i と vpΔ の 2 つである．したがって，式

(A.22)と式(A.23)の 2 つの方程式より，2 変数1i と vpΔ の解を求めるという問題に帰着す

る．式(A.7)と対応させると，次のようになる．

vp

1

Δ

ix (A.24)

vp

12

vp

11

Δ,

Δ,

i

i

f

fxR (A.25)

p

1

p

1

vp

p

1

vp

p

1

vp1

1p

1

vp

1

1

tr

1

1

1

tr

1

vp

11

ΔΔ3Δ1Δ3

Δ31

Δ31:Δ312

3

Δ,

i

iii

n

i

i

i

n

iii

n

ii

i

HGHtGA

G

tGAtGA

f

bsbs

(A.26)

1

p

1

vp

p

1

vp

p

1

vp1

1p

1

vp

p

1

vptr

1p

1

vp

p

1

vptr

1p

1

vp

vp

12

ΔΔ3Δ1Δ3

Δ31

Δ3Δ1:

Δ3Δ1

2

3

Δ,

i

iii

n

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

HGHtGA

G

GHGH

f

bsbs

(A.27)

ここで，R(x)を残差ベクトルと呼ぶこととする．R(x) = 0 となるような解を求めるため，

式(A.7)を用いて反復計算を行う．残差ベクトル R(x)の Jacobi 行列 J(x)の各成分は以下のよ

うになる．



121

2

p

1

vp

p

1

vp

p

1

vp1

1p

1

vp

p

1

vp2

1

1

1

tr

1

1

1

tr

1

p

1

vp

p

1

vp

p

1

vp1

1p

1

vp

1

1

tr

1

1

1

tr

1

2

1

1

1

tr

1

1

1

ΔΔ3Δ1Δ3

Δ31

Δ1Δ13

Δ31:Δ312

3

ΔΔ3Δ1Δ3

Δ31

1

Δ31:Δ312

3

Δ13:Δ312

3

iii

n

i

i

i

n

i

i

n

iii

n

ii

iii

n

i

i

i

n

iii

n

ii

i

n

ii

n

ii

i

HGHtGA

G

HtnGA

tGAtGA

HGHtGA

G

tGAtGA

tnGAtGA

f

bsbs

bsbs

bbs

(A.28)

2

p

1

vp

p

1

vp

p

1

vp1

1p

1

vp

2p

1

vp

p

1

1

1p

1

vp

p

1

vp

p

1

1

1

tr

1

1

1

tr

1

vp

1

ΔΔ3Δ1Δ3

Δ31

Δ6Δ3

Δ31

Δ1

3

Δ31:Δ312

3

Δ

iii

n

i

i

ii

n

i

iii

i

n

iii

n

ii

HGHtGA

G

HGHtGA

GHG

tGAtGA

f

bsbs

(A.29)

1

ΔΔ3Δ1Δ3

Δ31

Δ1Δ13

Δ3Δ1:

Δ3Δ1

2

3

2

p

1

vp

p

1

vp

p

1

vp1

1p

1

vp

p

1

vp2

1

p

1

vptr

1p

1

vp

p

1

vptr

1p

1

vp

1

2

iii

n

i

i

i

n

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

HGHtGA

G

HtnGA

GHGH

f

bsbs

(A.30)



122

2

p

1

vp

p

1

vp

p

1

vp1

1p

1

vp

2p

1

vp

p

1

1

1p

1

vp

p

1

vp

p

1

p

1

vptr

1p

1

vp

p

1

vptr

1p

1

vp

p

1

vp

p

1

vp

p

1

vp1

1p

1

vp

p

1

vptr

1p

1

vp

p

1

vptr

1p

1

vp

p

1

tr

1p

1

p

1

vptr

1p

1

vp

vp

2

ΔΔ3Δ1Δ3

Δ31

Δ6Δ3

Δ31

Δ1

3

Δ3Δ1:

Δ3Δ1

2

3

ΔΔ3Δ1Δ3

Δ31

1

Δ3Δ1:

Δ3Δ1

2

3

3:

Δ3Δ1

2

3

Δ

iii

n

i

i

ii

n

i

iii

i

i

i

i

i

i

i

i

iii

n

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

HGHtGA

G

HGHtGA

GHG

GHGH

HGHtGA

G

GHGH

GHGH

f

bsbs

bsbs

bsbs

(A.31)

式(A.7)を用いて反復計算を行うことにより，1i と vpΔ を求めることができる．しかし

ながら，このままでは，1i が 0 付近の値であるときに計算が発散し易い．そこで，Newton-

Raphson 法で安定した収束計算を行うために減速を行う．具体的には次式を用いる．

kkkk xRxJxx

1

1 (A.32)

ここで，は減速係数であり，次式のユークリッドノルムが単調減少する条件を満たすまで

1 → 0.5 → (0.5)2 → …と減少させていく．

kkkk xRxRxJxR 11 (A.33)

ここで，は 0 < < 1 を満たす定数であり，本研究では= 0.25 とした．また，1i が負の

値になってしまうと計算が発散してしまうため，1i > 0 を満たす必要もあることに注意し

なければならない．



123

非降伏状態（F < 0）のとき

降伏状態のときと同様に，等方弾性と非弾性変形における非圧縮性を仮定する．粘塑性ひず

み（塑性ひずみ）は生じないので，現計算ステップ終点の応力 σi+1はトライアル応力 tr

1iσ を

用いて次式のように表される．

ctr

11 Δ2 εσσ Gii (A.34)

Δεcは偏差的であるため，式(A.34)の静水圧成分は粘塑性流動に対して独立である．よって，

式(A.34)の偏差成分は次式のようになる．

ctr

11 Δ2 εss Gii (A.35)

さらに，第 5 章で述べた構成モデルの式（式(A.14)～(A.15)）を満たす必要がある．

1

1

11

1

cc Δ

2

3

2

Δ3Δ

i

n

ii

i

tA ssε

(A.14)

111 :2

3 iii ss (A.15)

非降伏状態の場合のリターンマッピングでは，1 つのスカラー方程式に縮退させることによ

って，より効率的に計算を行うことが可能である．以下に縮退する手順を示す．

式(A.35)に式(A.14)を代入して整理すると，

1

ctr

1 Δ31 ii G ss (A.36)

式(A.36)より， tr

1is は si+1をスカラー倍したものであることがわかる．よって，次式が成り立

つ．

1

1

tr

1

tr

1

i

i

i

i

s

s

s

s (A.37)

ここで tr

1is は tr

1is のユークリッドノルムを表し， tr

1

tr

1

tr

1 : iii sss と定義される．トライアル

偏差応力から求める相当応力 tr

1i は tr

1is を用いて次式のように表すことができる．

tr

1

tr

1

tr

1

tr

12

3:

2

3 iiii sss (A.38)



124

式(A.15)も同様に 1is を用いて次式のように表すことができる．

112

3 ii s (A.39)

式(A.37)に式(A.38)，(A.39)を代入すると，次式のようになる．

1

1

tr

1

tr

1

i

i

i

i

ss (A.40)

式(A.35)，(A.14)，(A.40)より，

tr

1tr

1

c

1

Δ31

i

i

i

Gss

(A.41)

式(A.41)を式(A.15)に代入すると，

tr

1tr

1

ctr

1

tr

1tr

1

c

1

Δ31:

2

3Δ31

i

i

ii

i

i

GG

ss

0Δ3 11

tr

1 i

n

ii tAG (A.42)

このようにしてスカラーのリターンマッピング方程式に縮退させることが可能である．

式(A.42)の解を求めるために，Newton-Raphson 法による反復計算を用いる．式(A.42)の左辺

は 1i についての関数であるから，これを 1ir とすると，k+1 回目の反復計算の近似解

1

1

k

i は k 回目の k

i 1 を用いて次式で表される．

k

i

k

ik

i

k

ir

r

1

11

1

1

(A.43)

11

tr

11 Δ3 i

n

iii tAGr (A.44)

1Δ31

11

tAnGrn

ii (A.45)

式(A.43)の右辺第 2 項が 0 に収束するまで反復計算を行う．収束したときの 1

1

k

i が現計算

ステップにおける相当応力の決定値である． 1

11

k

ii を式(A.14)に用いることにより，相

当クリープひずみ増分 cΔ およびクリープひずみ増分 Δεcを算出する．その後，式(A.34)，

(A.35)に代入することで，σi+1および s

i+1を求めることができる．


付録 B コンシステント接線剛性マトリクスの導出

125

付録 B

コンシステント接線剛性マトリクスの導出

ANSYS のユーザーサブルーチン usermat に導入した構成モデルに応じたコンシステント

接線剛性マトリクスをメインルーチンに返す必要がある．コンシステント接線剛性マトリ

クス Depは次式で表される．

ε

σD

Δ

ep

d

d (B.1)

ここで，σ は応力テンソル，dεは各ステップ内での全ひずみ増分の変化量を表すテンソル

である．

非弾性ひずみ増分が粘塑性ひずみ増分εvp とクリープひずみ増分ε

c の和で表されるとき，

現ステップ終点の応力テンソルi+1は次式で表される．

cvpe

1 ΔΔ2Δ: εεεεDσ Gii (B.2)

ここで， eD は弾性剛性マトリクス，ε

iは現ステップ始点の全ひずみテンソル，ε は全ひず

み増分テンソルである．現ステップ始点の全ひずみテンソル εiは既知であることを考慮し

て，式(B.2)を全微分すると次式となる．

cvpe

1 ΔΔ2Δ: εεεDσ ddGdd i (B.3)

上式の粘塑性ひずみ増分の変化量 dεvpとクリープひずみ増分の変化量 dε

cの導出方法を以

下に記す．



126

粘塑性ひずみ増分の変化量 dεvpの導出

von Mises 型の降伏関数および関連流れ則より，粘塑性ひずみ増分εvp は次式により算出

できる．

vp

11p

1

vp Δ2

3Δ

ii

i

bsε (B.4)

ここで， p

1i は現計算ステップ終点における背応力を考慮した相当応力， 1is は現計算ステ

ップ終点における偏差応力， 1ib は現計算ステップ終点における背応力の偏差成分， vpΔ は

現計算ステップにおける相当塑性ひずみ増分を表す．式(B.4)を全微分すると，次式のように

なる．

vp

vp

vp

1

1

vp

1

1

vpp

1p

1

vpvp Δ

Δ

Δ:

Δ:

ΔΔΔ

ddddd i

i

i

i

i

i

εb

b

εs

s

εεε

vp

11p

1

11p

1

vpp

1112p

1

vp

Δ2

3

2

Δ3

2

Δ3

dddd ii

i

ii

i

iii

i

bsbsbs

(B.5)

p

1i は次式で表される．

1111

p

1 :2

3 iiiii bsbs (B.6)

ここで，:はテンソルの複内積である．式(B.6)を全微分することにより， p

1id は次式のよう

に表される．

1

1

p

11

1

p

1p

1 ::

i

i

ii

i

ii ddd b

bs

s

1111p

1

:2

3

iiii

i

dd bsbs

(B.7)



127

vpΔ と vpΔε との間は次式の関係がある．

vpvpvp Δ:Δ3

2Δ εε (B.8)

式(B.8)を全微分すると，次式が得られる．

vp

vp

vpvp

vp

vpvp Δ:

Δ3

Δ2Δ:

Δ

ΔΔ ε

εε

εddd

(B.9)

式(B.5)に式(B.7)と式(B.9)を代入して整理すると，次式が得られる．

1

vp

11vpp

1

vp ΔΔ

1Δ

εbsIε ii

i

d

11p

1

vp

1111p

1

2p

1

vp

:2

Δ3

2

3

2

Δ3:

ii

i

iiii

ii

dd bsIbsbs

(B.10)

ここで，はテンソル積， I は単位テンソルである．

次式のようなマトリクス pM を定義すると，

1

vp

11vpp

1

p ΔΔ

1

εbsIM ii

i

Ibsbsp

1

vp

1111p

1

2p

1

vp

2

Δ3

2

3

2

Δ3:

i

iiii

ii

(B.11)

pM を用いて，式(B.10)は次式のように表される．

11

pvp :Δ

ii ddd bsMε (B.12)

現計算ステップ終点での背応力の偏差成分 1ib は線形移動硬化則の次式によって得られる

と仮定する．

vp

1 Δ3

2εbb Hii

(B.13)



128

式(B.13)を全微分すると次式を得る．

vp

1 Δ3

2εb dHd i

(B.14)

式(B.14)を式(B.12)に代入して，整理すると次のようになる．

vpp

1

pvp Δ:3

2:Δ εMsMε dHdd i

1

p

1

pvp ::3

2Δ

idHd sMMIε (B.15)

上式で，

p

1

pp :3

2

MMIM H (B.16)

と置くと，塑性ひずみ増分の変化量 vpΔεd は次式のように表される．

1

pvp :Δ idd sMε (B.17)



129

クリープひずみ増分の変化量 dεcの導出

von Mises 型の降伏関数および関連流れ則より，クリープひずみ増分 cΔε は次式により算

出できる．

c

1

1

c Δ2

3Δ

i

i

sε (B.18)

なお，ここではクリープ変形は背応力の影響を受けないと仮定している． cΔε は相当クリー

プひずみ増分であり，次式の Norton 則で表される．

tAn

i ΔΔ 1

c

(B.19)

式(B.18)を全微分すると，

c

c

c

1

1

c

1

1

cc Δ

Δ

Δ:

ΔΔΔ

dddd i

i

i

i

εs

s

εεε

c

1

1

1

1

c

112

1

c

Δ2

3

2

Δ3

2

Δ3

ddd i

i

i

i

ii

i

sss (B.20)

式(B.19)を全微分すると，

1

1

1

c ΔΔ

i

n

i dtAnd (B.21)

1i は次式で表される．

111 :2

3 iii ss (B.22)

式(B.22)を全微分することにより， 1id は次式のように表される．

11

1

1 :2

3

ii

i

i dd ss

(B.23)

式(B.20)に式(B.21)と式(B.23)を代入して，

11

1

1

1

1

1

c

111

1

2

1

cc Δ

2

3

2

Δ3:

2

3

2

Δ3Δ

ii

n

i

i

i

i

iii

ii

dtAnddd

sssssε



130

1

c

111

1

c1

12

1

:ΔΔ

Δ2

3

2

3

iiii

i

n

i

i

dtAn sIss

(B.24)

上式で，

IssMc

111

1

c1

12

1

c ΔΔ

Δ2

3

2

3

iii

i

n

i

i

tAn (B.25)

と置くと，最終的にクリープひずみ増分の変化量 cΔεd は次式のように表される．

1

cc :Δ idd sMε (B.26)



131

コンシステント接線剛性マトリクスの算出

式(B.17)，式(B.26)より，塑性ひずみとクリープひずみの増分の和は次式のようになる．

1

cpcvp :ΔΔ iddd sMMεε (B.27)

式(B.2)の偏差応力成分は次式のようになる．

cpe

d1 ΔΔΔ:2 εεεεMs ii G (B.28)

ここで， dM は偏差成分変換テンソルである．式(B.28)を全微分すると，

cp

d1 ΔΔΔ:2 εεεMs dddGd i (B.29)

式(B.29)を式(B.27)に代入して，

cvp ΔΔ εε dd

cvp

d

cp ΔΔΔ::2 εεεMMM dddG

cvpcp

d

cp ΔΔ:2Δ::2 εεMMεMMM ddGdG (B.30)

さらに，右辺第 2 項を左辺に移項してまとめると次式を得る．

εMMMMMIεε Δ:::22ΔΔ d

cp1cpcvp dGGdd

(B.31)

式(B.3)に式(B.31)を代入して，

εMMMMMIεDσ Δ:::24Δ: d

cp1cp2e

1 dGGdd i

εMMMMMID Δ:::24 d

cp1cp2e dGG

(B.32)

したがって，コンシステント接線剛性マトリクス εσ Δ/1 dd iは次式となる．

d

cp1cp2e1 ::24Δ

MMMMMIDε

σ

GGd

d i (B.33)


文献

132

文献

[1] Setoh, G., Tan, F.L., Fok, S.C., Experimental studies on the use of a phase change material for

cooling mobile phones, International Communications in Heat and Mass Transfer, Vol. 37

(2010), pp. 1403-1410.

[2] 西野泰史, 石塚勝, 中川慎二, 垂直チャネル型電子機器モデルの自然空冷能力向上に

関する研究（チャネル壁面間距離の影響とその最適化）, 日本機械学會論文集 B 編,

Vol. 75, No. 755 (2009), pp. 1479-1484.

[3] Ling, Z., Zhang, Z., Shi, G., Fang, X., Wang, L., Gao, X., Fang, Y., Xu, T., Wang, S., Liu, X.,

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components, Li-ion batteries and photovoltaic modules, Renewable and Sustainable Energy

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による携帯電話の放熱設計, 日本機械学会熱工学コンファレンス 2007 講演論文集 ,

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Thermochimica Acta, Vol. 617 (2015), pp. 111-119.

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pp. 109-117.

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図表一覧

140

図表一覧

1. 図

第 1 章

Fig. 1.1 An example of HALT machines. ······························································ 4

Fig. 1.2 An example of temperature and vibration profile of HALT. ······························· 4

第 2 章

Fig. 2.1 Pictures of phase change materials (PCM). ··············································· 18

(a) Microscopic view of Microencapsulated PCM (MPCM).

(b) Macroscopic view of MPCM. (c) PCM master batch.

Fig. 2.2 Male mold and female mold for fabrication of PCM/PE composite sheet. ············ 19

(a) Dimensions of the mold. (b) General view.

Fig. 2.3 Electric furnace MMF-2W. ··································································· 20

Fig. 2.4 PCM sheets. ···················································································· 20

Fig. 2.5 Experimental setup. ············································································ 22

Fig. 2.6 Test section of the experiment using smart phone simulator. ···························· 22

(a) Dimensions. (b) Thermocouple locations.

Fig. 2.7 Examples of fitting curve and the definition of maximum temperature rise T

and saturation time tsat

. ········································································ 26

(a) Temperature rise at PE #1 on the PE sheet (25×25×4 mm).

(b) Temperature rise at PCM #1 on the PCM sheet (25×25×4 mm).

Fig. 2.8 Relationships between temperature rise and time in experiments. ······················ 29



図表一覧

141

Fig. 2.9 Comparison of maximum temperature rises in each condition. ························· 30


Fig. 2.10 Comparison of saturation times in each condition. ······································· 31


Fig. 2.11 Finite element model (FE model). ··························································· 32

Fig. 2.12 Modeling of latent heat of PCM. ···························································· 34

Fig. 2.13 Thermal resistance between the heater and the front case in the model

with PE sheet. ·················································································· 37

(a) Cross sectional view of the model. (b) Schematic of thermal resistance.

Fig. 2.14 Comparison between simulation and experimental results. ······························ 40

(a) With no sheet. (b) With PE sheet.

(c) With PCM sheet (25×25×4 mm). (d) With PCM sheet (50×50×1 mm).

Fig. 2.15 Air flow velocity distribution in the cross section passing through the center of

the heater at t = 60 min. ······································································· 42

Fig. 2.16 Temperature distribution in the line passing through the point A (in Fig. 2.15)

in the thickness (y) direction. ································································· 42

第 3 章

Fig. 3.1 Geometry of tensile test specimen of PCM/PE composite material. ··················· 46

Fig. 3.2 Mold for fabrication of tensile test specimen of PCM/PE composite material. ······· 47

Fig. 3.3 Electric furnace and compression jigs of material test machine INSTRON 5565. ··· 47

Fig. 3.4 Stress-strain relations obtained by tensile tests. ··········································· 51

(a) Pure HDPE. (b) PMCD-32SP-S 50%.

(c) PMCD-32SP-H 50%.(d) PMCD-56SP-H 50%.


図表一覧

142

Fig. 3.5 Comparison of mechanical properties obtained by tensile tests. ························ 53

(a) Young’s modulus. (b) Tensile strength.

Fig. 3.6 Stress-strain relations obtained by tensile tests in cases of pure HDPE,

PMCD-32SP-H 10%, PMCD-32SP-H 30% and PMCD-32SP-H 50%. ··············· 54

Fig. 3.7 Finite element model of micro scale PCM/PE composite material. ···················· 56

Fig. 3.8 Stress-strain relations applied to the PE and the melamine resin capsule. ············· 56

Fig. 3.9 Comparison of Stress-strain relations between experiment and simulations. ········· 58

第 4 章

Fig. 4.1 Schematic of BGA (Ball Grid Array) solder.··············································· 61

Fig. 4.2 LLP (Leadless Leadframe Package) solder. ················································ 61

Fig. 4.3 Tubular Cu-solder joint specimen. ·························································· 62

Fig. 4.4 Dimensions of Cu-solder joint specimen. ·················································· 62

Fig. 4.5 Mold for fabrication of Cu-solder joint specimens. ······································· 62

(a) Before assembly. (b) After assembly.

Fig. 4.6 Biaxial loading test machine.································································· 63

(a) General view. (b) Enlarged view around the electric furnace.

Fig. 4.7 Equivalent stress-equivalent strain relationships obtained by torsion tests. ··········· 65

Fig. 4.8 Loading path of biaxial ratchetting tests imitating HALT. ······························· 65

Fig. 4.9 Shear stress-shear strain relationship until the third cycle in experiment

(mean

= 5 MPa without ). ··································································· 68

Fig. 4.10 Relationship between shear stress range and number of cycles in experiment

(mean

= 5 MPa without ). ··································································· 68



in experiment. ·················································································· 69


図表一覧

143


in experiment. (a) mean

= 5 MPa. (b) mean

= 10 MPa. ····································· 69



in experiment. ·················································································· 71


= 5 MPa

until the 20th cycle in experiment. ·························································· 71



= 2 Hz.

Fig. 4.15 Relationships between ratchetting strain and number of cycles until the 100th

cycle in experiment. ··········································································· 72

Fig. 4.16 Definition of fatigue life standardized by the Society of Materials Science,

Japan (JSMS). ·················································································· 75

Fig. 4.17 Definition of biaxial ratchetting strain rate. ················································ 75

Fig. 4.18 Relationship between ratchetting strain rate and fatigue life. ··························· 76

Fig. 4.19 Definition of inelastic strain energy density. ··············································· 76

Fig. 4.20 Relationship between inelastic strain energy density and fatigue life. ················· 77

Fig. 4.21 Relationship between modified inelastic strain energy density and fatigue life. ······ 77

第 5 章

Fig. 5.1 Relationship between creep strain rate and stress. ········································ 84

Fig. 5.2 Comparison of stress-strain relations between experiments and simulations

using the elasto-plastic-creep constitutive model. ········································· 86

Fig. 5.3 Relationships between stress and elasto-viscoplastic strain obtained by

subtracting steady-state creep strain from total strain. ···································· 86

Fig. 5.4 Relationship between Ramberg-Osgood constant D and strain rate. ··················· 88

Fig. 5.5 Relationship between hardening exponent m and strain rate. ··························· 89


図表一覧

144

Fig. 5.6 Comparison of stress-strain relations between experiments and simulations

using the elasto-viscoplastic-creep constitutive model. ·································· 90

Fig. 5.7 Finite element model of biaxial ratchetting simulations. ································· 91

Fig. 5.8 Shear stress-shear strain relationship until the third cycle in simulation

(mean

= 5 MPa without ). ··································································· 94



in simulation. ··················································································· 95


in simulation. ··················································································· 95

(a) mean

= 5 MPa. (b) mean

= 10 MPa.

Fig. 5.11 Relationships between viscoplastic or creep strain in axial direction and

number of cycles without in simulation. ·············································· 96

(a) mean

= 5 MPa. (b) mean

= 10 MPa.



in simulation. ··················································································· 97


= 5 MPa

with = 2 MPa and fshear

= 1 Hz until the 20th cycle in simulation. ·················· 97

Fig. 5.14 Examples of loading path. ··································································· 101

(a) Proportional loading. (b) Non-proportional loading.

Fig. 5.15 Relationships between sin and time, where is an angle between

deviatric effective stress bs and deviatric stress rate s . ··························· 102

(a) mean

= 5 MPa without (b) mean


= 1 Hz.



in simulations considering non-proportionality of loading path. ······················· 104


図表一覧

145


= 5 MPa

until the 20th cycle in simulations considering non-proportionality of loading

path. ····························································································· 104



= 2 Hz.

Fig. 5.18 Relationships between viscoplastic or creep strain in axial direction and number

of cycles at mean


= 1 Hz in simulation. ·········· 105

(a) Without non-proportionality of loading path.

(b) With non-proportionality of loading path.

Fig. 5.19 Comparison between experiments and simulations about relationships between

biaxial ratchetting strain and number of cycles until the 100th cycles.

The loading conditions are mean

= 5 MPa without , mean

= 10 MPa without

and mean

= 5 MPa with = 2 MPa (1 Hz). ·············································· 106

Fig. 5.20 Relationships between shear stress range and number of cycles in experiments. ··· 106

Fig. 5.21 Relationships between estimated fatigue life and experimental fatigue life. ········· 108

(a) Using biaxial ratchetting strain rate with Eq. (4.2).

(b) Using modified inelastic strain energy density with Eq. (4.5).

付録 A

Fig. A.1 Return mapping algorithm. (a) Yielding state. (b) Non-yielding state. ················ 114

Fig. A.2 Newton-Raphson method. ··································································· 116


図表一覧

146

2. 表

第 2 章

Table 2.1 Material properties of microencapsulated PCM (MPCM). ······························ 18

Table 2.2 Dimensions and mass of PCM sheets and PE sheet. ······································ 20

Table 2.3 Estimated material properties of PCM sheet. ·············································· 34

Table 2.4 Material properties used in the simulation. ················································· 36

Table 2.5 Material properties of inner air. ······························································ 36

第 3 章

Table 3.1 MPCMs for tensile test specimens. ·························································· 46

Table 3.2 Tensile test conditions. ········································································ 48

第 4 章

Table 4.1 Biaxial ratchetting test conditions. ·························································· 66

第 5 章

Table 5.1 Material constants of Sn-3Ag-0.5Cu solder used in the elasto-plastic-creep

constitutive model. ············································································· 84

Table 5.2 Material constants of Sn-3Ag-0.5Cu solder used in the elasto-viscoplastic-creep

constitutive model. ············································································· 89

Table 5.3 Non-proportionality of loading path until the third cycle. ······························ 103


発表論文一覧

147

発表論文一覧

(1) Yusuke Tomizawa, Katsuhiko Sasaki, Akiyoshi Kuroda, Yoshihiko Kaito, Phase Change

Materials and High Thermal Conductive Materials for Thermal Management of Smart Phones,

Proceeding of International Conference on Advanced Technology in Experimental Mechanics

2015, p. 210, (2015)

(2) Yusuke Tomizawa, Katsuhiko Sasaki, Akiyoshi Kuroda, Ryo Takeda, Yoshihiko Kaito,

Experimental and numerical study on phase change material (PCM) for thermal management

of mobile devices, Applied Thermal Engineering, Vol. 98, pp. 320-329, (2016)

(3) Yusuke Tomizawa, Takehito Suzuki, Katsuhiko Sasaki, Ken-ichi Ohguchi, Daisuke Echizenya,

Biaxial Ratchetting Deformation of Solders Considering Halt Conditions, Key Engineering

Materials, Vol. 725, pp. 299-304, (2017).


謝辞

148

謝辞

本研究は，北海道大学大学院工学研究院佐々木克彦教授の懇切な御指導のもと行われた

ものです．研究計画から論文作成に至るまで終始丁寧で的確な御指導，御助言をいただきま

した．佐々木克彦教授のもとで研究をした 6 年間は，著者にとって非常に有意義な経験とな

りました．成長する機会を与えていただいたことを心より感謝いたします．

本論文の作成にあたり，北海道大学大学院工学研究院中村孝教授，山田雅彦准教授には

ご専門の立場から有益なご検討とご意見をいただきました．ここに感謝の意を表します．さ

らに，山田雅彦准教授には熱電対の作製に必要なアーク溶接機をお貸しいただき，PCM の

温度測定実験を行うことができました．深く感謝申し上げます．

秋田大学大学院理工学研究科大口健一教授には，はんだのシミュレーションおよび疲労

寿命評価法に関して数多くの御助言をいただきました．心より感謝いたします．北海道大学

大学院工学研究院黒田明慈准教授には，伝熱工学に関する御助言を数多くいただきました．

感謝を申し上げます．北海道大学大学院工学研究院武田量助教には，実験装置全般に関し

て御相談に乗っていただきました．また，英語での論文の書き方や，プレゼンテーションの

仕方について御指導をいただきました．ここに感謝の意を表します．北海道大学大学院工学

研究院本田真也准教授，李美龍助教は，研究室を異動することになった著者を温かく迎え

入れてくださいました．1 年間という短期間ではありましたが，研究室のゼミや口頭発表練

習の際に多くの貴重な御意見をいただきましたこと，感謝しております．

三菱電機株式会社越前谷大介様には，二軸負荷試験機を始め，鉛フリーはんだや銅のサ

ンプル等を御提供いただき，多大なご支援をいただきました．二軸試験の実験条件につきま

しても多くの御助言をいただきました．心より感謝申し上げます．富士通コネクテッドテク

ノロジーズ株式会社海藤義彦様には，モバイルデバイスを製作している立場からの数々の

御助言をいただき，PCM の温度測定実験に用いる基板を御提供いただきました．感謝を申


謝辞

149

し上げます．三木理研工業株式会社中川和城様，髙岡直樹様には，マイクロカプセル PCM

を本研究に用いるにあたり多くの御支援をいただきましたこと，感謝いたします．

マイクロエネルギーシステム研究室在籍時の先輩である秋田大学大学院理工学研究科

福地孝平助教，秋田県産業技術センター瀧田敦子研究員の御二方には，多くのサポートと

激励の御言葉をいただきました．厚く御礼申し上げます．マイクロエネルギーシステム研究

室卒業生宮下貴行君，鈴木健仁君，田中翼君，インテリジェントデザイン研究室修士 2 年

北尾俊喜君には，本研究の実験に関して多くの御協力をいただきました．本当にありがとう

ございました．また，多岐にわたり著者をサポートしてくれたインテリジェントデザイン研

究室の皆様，マイクロエネルギーシステム研究室卒業生の皆様に感謝の意を表します．

最後に，博士後期課程への進学を応援し，支えてくれた両親と，本論文の作成に御協力い

ただいた全ての皆様に心より感謝の意を表し，謝辞とさせていただきます．

平成 30 年 3 月

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相変化材料(PCM)を用いたモバイルデバイスの熱お …...相変化材料(PCM)を用いたモバイルデバイスの 熱および強度信頼性に関する研究 Study

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