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T E M I

MEREOLOGIAdi Claudio Calosi

ABSTRACT ndash La mereologia egrave la teoria formale della parti e delle relazioni di parte

Questo lavoro presenta uno sviluppo formale di teorie mereologiche di diversa forza e

portata derivate dallrsquoassunzione di assiomi filosoficamente controversi Discute inoltre i

principali problemi filosofici e soluzioni possibili sollevati dallrsquoassunzione di tali assiomi

Una particolare attenzione egrave data a questioni particolarmente importanti in metafisica a-

nalitica quali identitagrave e composizione

1 RELAZIONE DI PARTE ASSOLUTISMO NEUTRALITAgrave

2 RELAZIONI DI PARTE E ASSIOMI LESSICALI

21 Riflessivitagrave Antisimmetria Transitivitagrave

3 PRINCIPI DI DECOMPOSIZIONE

31 Supplementazione Forte Estensionalitagrave Identitagrave


41 Nichilismo Universalismo Ontologia

5 APPENDICE

6 RIFERIMENTI



Claudio Calosi - Mereologia

Periodico On-line ISSN 2036-9972

La mereologia egrave la teoria formale delle parti e delle relazioni di parte La teoria delle

parti egrave stata al centro dellindagine filosofica fin dai Presocratici passando poi da Platone e

Aristotele attraverso la Scolastica medievale fino agli scritti di Leibniz e Kant Brentano e

Husserl possono essere forse considerati i primi a cercare di proporre una teoria formale

delle relazioni di parte Si deve comunque attendere Lesniewski [1916] per una rigorosa

formulazione Lesniewski [1916] viene tuttavia originariamente pubblicato in polacco e ri-

sulta quindi inaccessibile ai piugrave Egrave solo dunque da Leonard e Goodman [1940] che la me-

reologia rappresenta un argomento fondamentale di molta ricerca ontologica e metafisica

Il seguente lavoro vuole essere una introduzione allo sviluppo formale di diverse teorie

mereologiche e dei problemi filosofici da esse sollevati La struttura egrave molto semplice1

Nella sezione 1 si affronteranno alcuni problemi iniziali riguardanti la possibilitagrave stessa

di sviluppare una teoria formale delle relazioni di parte Nella sezione 2 si introdurranno le

nozioni primitive di una possibile teoria mereologica e si irreggimenteranno tali nozioniattraverso assiomi che dovrebbero in qualche modo catturare il significato stesso del predi-

cato essere parte di Teorie mereologiche alternative possono essere costruite aggiun-

gendo a questo nucleo lessicale assiomi considerati filosoficamente controversi Si egrave soliti

dividere tali assiomi in assiomi di decomposizione ie quelli che portano idealmente dal

tutto alle parti costituenti e assiomi di composizione ie quelli che portano dalla parti al

tutto che queste costituiscono Questo occuperagrave dalla sezione 3 alla sezione 4 rispettiva-

mente Si concluderagrave con una breve appendice formale sulle relazioni di inclusione tra le

varie teorie mereologiche sviluppate nel lavoro

1 Il lavoro ha un debito particolare in termini di struttura e scelte terminologiche con Varzi [2009a]





1 RELAZIONI DI PARTE ASSOLUTISMO NEUTRALITArsquo

Ci sono diversi sensi in cui la parola parte egrave usata nel linguaggio naturale Armstrong

[1978] e Winston Chaffin e Harrmann [1987] contengono numerosi esempi in proposito

Non egrave detto che tali usi corrispondano necessariamente alla stessa relazione Tali relazioni

possono avere un senso piugrave ristretto della nozione di parte di cui si egrave storicamente occupata

la mereologia Si considerino

(11) La maniglia egrave parte della porta

(12) La metagrave superiore della porta egrave parte della porta

Nellrsquoesempio (11) ldquomanigliardquo designa probabilmente una parte funzionale della porta

Questo non vale nel caso de ldquola metagrave superiore della portardquo in (12) In questo caso non ci

si deve aspettare che gli stessi assiomi possano irreggimentare entrambe le nozioni quella

ristretta di parte funzionale e quella piugrave ampia di semplice parte mereologica Talvolta in-

vece le relazioni di parte usate nel linguaggio naturale possono avere un senso piugrave ampio di

quanto non lo abbia la nozione mereologica come ad esempio

(13) La lavanda fa parte del profumo che hai appena comprato

Si puograve sostenere infatti che nel caso delle cosiddette miscele esemplificato in (13) la

relazione di parte interessata non puograve essere la semplice parte mereologica in quanto le

parti costituenti possono acquistare proprietagrave proprio in virtugrave del fatto di costituire il com-





posto in questione proprietagrave che non potrebbero invece avere separatamente Ad esempio

si potrebbe sostenere che la lavanda nel caso della miscela (13) in quanto non sarebbe

possibile riuscire ad isolarla dagli altri elementi che compongono il profumo acquisti la

proprietagrave della non -separabilitagrave

Sarebbe tuttavia assai problematico farsi guidare da considerazioni legate al linguaggio

naturale qualora si voglia formulare una teoria formale

La mereologia classica assume che la relazione di parte sia una relazione a due posti

senza alcuna restrizione ontologica nel proprio dominio di applicazione Egrave importante ren-

dere esplicite tali assunzioni2

(14) Neutralitagrave Mereologica Esiste una e una sola relazione fondamentale di

parte che si applica a tutti gli oggetti indipendentemente dalla loro categoria onto-

logica di appartenenza

(15) Assolutismo Mereologico La fondamentale relazione di parte egrave una relazio-

ne a due posti che vale assolutamente cioegrave non vale relativamente a tempi regioni

spaziali sortali mondi o altro

Egrave facile vedere che le due assunzioni sono correlate ma logicamente indipendenti En-

trambe sono controverse

2 Le considerazioni seguenti si trovano in Sider [2007] La terminologia adottata egrave tuttavia leggermente di-

versa





Si cominci da (14) In discussione egrave la cosiddetta neutralitagrave metafisica della mereologia

Mellor [2006] contiene un interessante argomento contro tale presunta neutralitagrave Si vuole

infatti sostenere la tesi secondo cui diverse relazioni di parte valgono per diversi tipi di en-

titagrave Si prendano ad esempio due categorie ontologiche diverse come proposizioni e pro-

prietagrave Sia p una proposizione atomica Che cosa rende p parte della proposizione com-

plessa ( p and q) Il candidato naturale sembra essere limplicazione Il fatto che p egrave inclusa in

( p and q) ossia che p egrave parte di ( p and q) dipende dal fatto che (p and q) rarr p egrave una legge logi-

ca Si prendano adesso invece due proprietagrave F e G Si supponga come in Lewis [1986]

che una proprietagrave sia linsieme dei particolari che la instanziano Che cosa rende la proprie-

tagrave F ad esempio essere freddo parte della proprietagrave (F amp G) ad esempio essere freddo e

grande Il candidato naturale sembra essere linclusione insiemistica Ma in tal caso il rap-

porto di inclusione e dunque di parte sembra essere invertito rispetto al caso delle propo-

sizioni visto che vale che linsieme dei particolari che godono di F include linsieme di

particolari che godono di F amp G Da questo Mellor conclude che quello che rende unrsquoentitagrave

parte di unaltra puograve variare al variare della loro categoria ontologica di appartenenza Allo-

ra prosegue Mellor ne deriveranno diverse relazioni di parte per diversi tipi di entitagrave que-

ste relazioni erediteranno infatti le caratteristiche di quello che le rende parti di entitagrave di-

verse E questo falsifica (14)

Cosigrave considerato largomento pare tuttavia debole Esso infatti dipende da una particola-

re caratterizzazione metafisica delle proprietagrave intese come insieme di quei particolari che

godono di tale proprietagrave Lo stesso vale per altri esempi che Mellor utilizza 3 Tuttavia po-

3 Ad esempio l esempio che riguarda gli eventi da un lato e gli oggetti materiali da un altro dipendeda una tesi metafisica controversa sulla persistenza degli oggetti materiali il cosiddetto tridimensionalismo oendurantismo





che righe in Mellor [2006] sembrano suggerire un argomento molto generale contro (14)

Da un lato le entitagrave che possono essere argomenti possibili della relazione di parte sono e-

terogenee esse comprendono proposizioni oggetti materiali proprietagrave eventi e cosigrave via E

tuttavia non va sottovalutata dallaltro lato una certa omogeneitagrave consistente nel fatto che la

relazione di parte vale tra entitagrave dello stesso tipo essendo gli eventi parti di eventi le pro-

posizioni di proposizioni gli oggetti materiali di oggetti materiali e cosigrave via Questa regola

secondo cui la relazione di parte vale tra entitagrave dello stesso tipo ammette delle eccezioni

Se tuttavia la regola ammette eccezioni allora argomenta Mellor il modo migliore di

spiegare sia la regola sia le eccezioni alla regola egrave quello di ammettere una varietagrave di re-

lazioni di parte dall implicazione allinclusione insiemistica dalla dipendenza causale alla

contiguitagrave spazio-temporale Questo pare essere un argomento tipico di inferenza alla mi-

gliore spiegazione In tal caso deve essere chiaro quale sia il fenomeno da spiegare Lar-

gomento di Mellor sembra essere il seguente La negazione di (14) egrave la migliore spiega-zione possibile per rispondere alla domanda cosa rende una certa entitagrave parte di unaltra

Questo argomento non sembra molto forte Si consideri infatti la seguente situazione Ho

un fratello x che egrave mio fratello percheacute siamo entrambi figli biologici degli stessi genitori

Ho un fratello adottivo y che egrave mio fratello grazie alla sentenza di un giudice La migliore

spiegazione di che cosa renda x e y entrambi miei fratelli sarebbe dunque da ricercarsi nel

fatto che esistano due diversi tipi di relazioni di fratellanza4 Questo pare quantomeno

dubbio Inoltre i difensori di (14) potrebbero ribattere che la relazione di parte egrave una rela-

zione metafisica di base Non cegrave altra relazione nei termini della quale il valere o il non va-

lere della relazione di parte debba essere spiegato Dunque largomento di Mellor puograve certo

4 Devo questo suggerimento a uno dei referee





offrire un valido aiuto per coloro che sono giagrave scettici sulla validitagrave di (14) ma non sem-

bra fornire da solo una ragione sufficiente per abbandonare tale principio

Passiamo ad (15) Coloro che sostengono una particolare Metafisica della Persistenza5

il cosiddetto tridimensionalismo o endurantismo ne hanno piugrave volte contestato la validitagrave6

Lendurantismo7 sostiene che gli oggetti materiali sono interi tridimensionali che perman-

gono nel tempo essendo interamente presenti ad ogni istante della loro esistenza Egrave facile

costruire un argomento contro (15) a partire dal tridimensionalismo e dallrsquoassunzione ap-

parentemente non controversa che gli oggetti materiali possono sopravvivere al cambia-

mento mereologico cioegrave possano perdere o acquistare parti

Si supponga che loggetto x sia esattamente collocato8 a due distinte regioni temporal-

mente inestese R1 e R2 Supponiamo inoltre che loggetto x acquisti una parte chiamia-

mola y a R2 che non ha invece ad R1 Dato (15) segue che y non egrave parte di x Dalla tesi

della sopravvivenza al cambiamento mereologico e dall affermazione che x acquista laparte y a R2 segue dato (15) che y egrave parte di x Si ha dunque una contraddizione Tale

contraddizione puograve essere evitata se si assume che la relazione di parte sia una relazione a

tre posti che vale tra x y e una regione spazio-temporale R contro (15) In questo caso in-

fatti varrebbe che y non egrave parte di x a R1 e che y egrave parte di x a R2

5 Gli oggetti materiali persistono attraverso il tempo Il tavolo su cui scrivo sembra essere lo stesso

oggetto su cui ho scritto ieri Se questo pare essere poco controverso risulta controverso invece come gli og-getti persistano attraverso il tempo La metafisica della persistenza si occupa allora di trovare un resocontometafisicamente accettabile di come gli oggetti materiali persistano Per una esauriente panoramica si vedaSider [2001]6 Come esempio si veda McDaniel [2004]7 Questa egrave una caratterizzazione assai vaga Per una formulazione piugrave precisa vedi ad esempio Sider[2001]8 Il miglior modo per intendere queste nozioni egrave quello legato alla formulazione di una teoria formaledella locazione Si veda Casati e Varzi [1999] e Parsons [2006] in proposito Questrsquoultimo nega che un og-getto tridimensionale sia esattamente collocato a regioni distinte Un oggetto tridimensionale deve essereconsiderato invece interamente collocato a tali regioni La motivazione di questa differenza ha a che fare coni dettagli della teoria della locazione proposta da Parsons Si veda in proposito Calosi [2010]





Ci sono vari modi per rispondere a questo argomento Uno radicale egrave sostenere che quel-

lo appena presentato non egrave un argomento contro (15) ma piuttosto contro il tridimensiona-

lismo9 Gilmore [2009] argomenta che la relazione di parte potrebbe addirittura essere una

relazione a quattro posti contro largomento appena discusso e contro (15) Lingegnoso

argomento di Gilmore parte proprio dalla congiunzione della possibilitagrave della variazione

mereologica e tridimensionalismo Si ricordi che la conclusione classica dei tridimensiona-

listi egrave che la relazione di parte egrave a tre posti intercorre cioegrave tra un intero x una sua parte y e

una regione spazio-temporale R Ma allora il tridimensionalista deve rispondere alla se-

guente domanda rispetto a quale regione spazio-temporale R sussiste la relazione di parte

Gilmore divide le possibili risposte a tale domanda in risposte pluraliste le quali manten-

gono generalmente che vi sono diverse regioni spazio-temporali rispetto cui tale relazione

si ottiene e risposte non pluraliste che invece negano questa tesi Gilmore [2009] mostra

analiticamente che tutti i plausibili candidati per la risposta a tale domanda che includonoad esempio lesatta collocazione di x lesatta collocazione di y una regione spazio-

temporale massimale contenente sia x che y soffrono di gravissimi problemi Tali problemi

verrebbero invece banalmente superati se si ritenesse che la relazione di parte egrave una rela-

zione a quattro posti che intercorre tra lintero x la parte y e due regioni spazio-temporali

R1 e R2 che sono lesatta collocazione10 di x e y rispettivamente Naturalmente egrave possibile

leggere largomento di Gilmore ancora come un argomento contro il tridimensionalismo

piuttosto che contro (15)

9 Si mostra infatti che il quadridimensionalismo o perdurantismo la principale alternativa in metafisi-ca della persistenza non ha problemi nel ritenere possibile il cambiamento mereologico e fornirne un sem-plice resoconto10 Si veda ancora Casati e Varzi [1999]





Prima di passare allo sviluppo formale di teorie mereologiche diverse visto che si sono

sottolineate le difficoltagrave maggiori riguardo le assunzioni (14) e (15) egrave doveroso anche ri-

cordare qualche considerazione in loro favore

In particolare Sider [2007] contiene un argomento controverso che parte dalla considera-

zione secondo cui la relazione di parte egrave intimamente correlata alla relazione di identitagrave11

Ogni teoria formale della parti dovrebbe dunque tenere in considerazione questa analogia

In particolare dovrebbe costruire la relazione di parte in modo tale da condividere piugrave ca-

ratteristiche metateoriche possibili con la relazione di identitagrave Ora esiste una sola relazio-

ne di identitagrave senza alcuna restrizione ontologica nel dominio di applicazione Gli oggetti

materiali sono identici a se stessi nello stesso modo in cui sono identiche a se stesse le pro-

posizioni o i numeri Se si vuole ammettere unrsquo affinitagrave tra la relazione di identitagrave e la rela-

zione di parte si deve allora sostenere (14) Lo stesso vale per (15) La relazione di iden-

titagrave egrave infatti assoluta

12

non vale relativamente a tempi regioni spaziali mondi sortali o al-tro LrsquoAssolutismo Mereologico segue allora dallo stesso argomento in favore di (14)

Come si vede la questione egrave complessa e delicata Comunque sono ancora pochi i tentativi

di formulare precisamente teorie mereologiche che neghino (14) e (15)13 Nel prosegui-

mento dellrsquoarticolo dunque Neutralitagrave e Assolutismo mereologici vengono presupposti


Possiamo a questo punto procedere con lo sviluppo formale di diverse teorie mereologi-

che Si assume la logica dei predicati del primo ordine con identitagrave a cui si aggiunge la

11 Si veda la sezione 3 in proposito12 Pace Geach [1972] e Gallois [1998]13 Si veda perograve Gilmore [2009]





nozione primitiva di parte di Si scriveragrave x lt y per ldquo x egrave parte di yrdquo Diversi assiomi ver-

ranno proposti per irreggimentare tale nozione primitiva Come al solito diversi gruppi di

assiomi danno origine a diverse teorie mereologiche con forza e portata diverse I primi tre

assiomi vengono detti talvolta assiomi lessicali percheacute si suppone formalizzino il signifi-

cato stesso del predicato essere parte di Questo uso terminologico deriva da Casati e

Varzi [1999] Le formule seguenti devono intendersi come universalmente chiuse14 I primi

tre assiomi lessicali sono rispettivamente la riflessivitagrave lantisimmetria e la transitivitagrave

Questi assiomi rendono la relazione parte di un ordine parziale Formalmente si ha

(P1) ( Riflessivitagrave) x lt x

(P2) ( Anti-Simmetria) ( x lt y and y lt x) rarr x = y

(P3) (Transitivitagrave) ( x lt y and y lt z) rarr x lt z

Nonostante dubbi siano stati sollevati su ognuno degli assiomi lessicali (P1)-(P3) nessuna

teoria mereologica comprensiva che faccia a meno di tutti e tre egrave stata proposta Dunque

questi si possono considerare come il cuore fondamentale di ogni teoria formale della parti

Talvolta ci si riferisce a tale debole teoria mereologica indicandola come Ground Mereo-

logy (M)

Dati (P1)-(P3) si possono definire altre fondamentali nozioni mereologiche

(21) (Parte Propria) x ltlt y ( x egrave una parte propria di y) = df ( x lt y) and sim ( y lt x)

14 Ad esempio il primo assioma lessicale x lt x deve essere letto come (forall x) ( x lt x)





(22) ( Estensione Propria) x gtgt y ( x egrave una estensione propria di y) = df sim ( x lt y)

and y lt x

(23) (Overlap) O ( x y) ( x overlaps15 y) = df (exist z) ( z lt x and z lt y)

(24) (Underlap) U ( x y) ( x underlaps y) = df (exist z) ( x lt z and y lt z)

(25) ( Discretezza) D ( x y) ( x egrave discreto da y) = df simO ( x y)

Segue dalle definizioni (21)-(25) e dagli assiomi (P1)-(P3) che le relazioni di parte ed e-

stensione propria sono irriflessive asimmetriche e transitive mentre le relazioni di overlap

e discretezza sono riflessive simmetriche ma non transitive

Come si egrave detto gli assiomi (P1)-(P3) dovrebbero in qualche modo fissare il significato

del predicato relazionale ldquoessere parte dirdquo dunque ogni volta che si usa tale predicato

questo dovrebbe obbedire a tali assiomi Tuttavia a partire da Rescher [1955] sono stati

avanzati diversi dubbi su ciascuno degli assiomi (P1)-(P3) Esisterebbero usi legittimi della

nozione di parte in vari contesti che violano uno o piugrave assiomi lessicali Dunque tali as-

siomi non possono fissare il significato del predicato mereologico fondamentale Il resto di

questa sezione egrave dedicato a unrsquoanalisi di queste problematiche


Preoccupazioni riguardo la riflessivitagrave della relazione di parte sono state avanzate giagrave a

partire da Rescher [1955] Rescher fa notare che ci sono usi legittimi della nozione di parte

che non sono riflessivi Rescher sottolinea il caso della biologia Alcune sotto-unitagrave di un

15 Informalmente O ( x y) significa che x e y condividono una parte z mentre U ( x y) significa che esiste una z di cui entrambe sono parte





organismo non conterebbero come parti di se stesse Rescher deve avere in mente usi del

tipo

(26) Il cuore non egrave parte del cuore

che violano la riflessivitagrave Questa preoccupazione non egrave grave e puograve essere facilmente

superata Infatti la seguente equivalenza egrave una semplice conseguenza degli assiomi (P1)-

(P3)

(27) x lt y harr ( x ltlt y or x = y)

Ne segue che si sarebbe potuto prendere la nozione di parte propria come primitiva Que-

sto egrave quanto si fa infatti in Simons [1987] Una volta presa la nozione di parte propria

come primitiva si puograve definire la nozione di parte usando la direzione da sinistra a destra di

(27)

(28) x lt y = df x ltlt y or x = y

e andare avanti formalizzando il discorso biologico con questa nuova nozione primitiva

Visto che vale sim ( x ltlt x) la non riflessivitagrave delluso biologico della nozione di parte viene

catturata





Come nel caso della riflessivitagrave anche lantisimmetria ha dato adito a diverse obiezioni

La prima obiezione egrave che lantisimmetria egrave troppo restrittiva Si potrebbero avere infatti te-

orie mereologiche che permettono catene chiuse come la seguente

(29) x lt y lt z lt x

dove x ne y Dalla transitivitagrave in (P3) e da (29) si deduce che

(210) y lt x

Ma la congiunzione di (29) e (210) viola lantisimmetria dato x ne y Questa possibilitagrave egrave

molto interessante ma ancora non egrave stata sufficientemente esplorata in letteratura

Unaltra considerazione contro (P2) viene dalla letteratura metafisica su costituzione e i-

dentitagrave16 Sia q una quantitagrave di argilla che costituisce una statua s Si puograve sostenere che q e

s intrattengano le seguenti relazioni mereologiche

(211) q lt s

(212) s lt q

Una serie di autori tra i quali Wiggins Johnston Baker e Lowe solo per citarne alcuni

sostiene inoltre che la costituzione non egrave identitagrave ie vale

16 Si veda in proposito la sezione 31





(213) q ne s

Naturalmente la congiunzione di (211)-(212) porta alla violazione dellantisimmetria per

la nozione di parte Anzi dato (213) porta addirittura alla violazione dellantisimmetria

per la nozione di parte propria Questo deriva dal fatto che dalla congiunzione di (211) e

(213) deriva che q egrave parte propria di s e dalla congiunzione di (212) e (213) che s egrave parte

propria di q Egrave difficile valutare in breve tale argomento ma bisogna tenere conto di due

considerazioni La prima riguarda il fatto che molti autori ritengono la relazione di costitu-

zione che vale tra q e s una relazione sui generis che non egrave riducibile ad alcuna relazione

mereologica17 Questo blocca largomento contro (P2) semplicemente percheacute non valgono

(211) e (212) Laltra considerazione egrave che la tesi metafisica secondo cui la costituzione

non egrave identitagrave o almeno come lrsquo identitagrave18 egrave controversa In effetti esistono ragioni meta-

fisiche per sostenere con Baxter [1988] che la costituzione egrave identitagrave Se questo fosse il

caso allora si avrebbe

(214) q = s

e lantisimmetria sarebbe valida Inoltre esistono anche ragioni strettamente mereologiche

a favore di (214) In particolare si puograve sostenere che qualora q e s condividano le stesse

parti ultime (214) segua Questo egrave valido in un qualunque modello di una mereologia e-

stensionale e si rimanda dunque per una discussione alla sezione 31

17 Si veda per una discussione la sezione 3118 Si veda in proposito la sezione 41





La transitivitagrave egrave certamente il piugrave controverso tra gli assiomi lessicali Anche in questo

caso sono stati sollevati dei dubbi sulla transitivitagrave a partire da Rescher [1955] Gli esempi

di usi legittimi e non transitivi della nozione di parte si sono da allora moltiplicati19 Se ne

riporta uno soltanto

(215) Un braccio egrave parte di un musicista

(216) Un musicista egrave parte di un orchestra

(217) Un braccio non egrave parte di un orchestra

Ci sono diversi modi di rispondere allargomento uno dei quali ormai classico almeno

da Simons [1987] Il primo egrave far notare che largomento dipende implicitamente da una tesi

metafisica riguardo quelle particolari entitagrave che sono i gruppi di individui Supponiamo

che lrsquoorchestra sia un gruppo di individui e si supponga di sostenere inoltre la tesi secondocui un gruppo di individui non egrave a sua volta che un individuo sparso Allora in questo caso

sembra lecito insistere che un braccio egrave in fin dei conti parte di unorchestra contro (217)

Il secondo modo egrave insistere che la relazione espressa da (216) non egrave quella di parte me-

reologica ma quella insiemistica di appartenenza Il controesempio non sarebbe dunque

lecito Queste due risposte possono apparire troppo specifiche ad esempio non potrebbero

far fronte ad altri controesempi presenti in Rescher [1955] come

(218) la maniglia egrave parte della porta che egrave parte della casa ma la maniglia non egrave

parte della casa

19 Si veda ad esempio Johansson [2004] e Johnston [2005] tra i piugrave recenti





La linea standard di difesa della transitivitagrave egrave tuttavia piugrave generale e puograve far fronte ad en-

trambi i controesempi Secondo questa linea nei controesempi elencati non si farebbe rife-

rimento alla nozione di parte mereologica simpliciter ma piuttosto a una nozione ristretta

di parte quale ad esempio parte diretta nel caso di (215)-(217) o parte funzionale in

(218) Piugrave in generale il dominio della nozione di parte mereologica verrebbe ristretto

dallazione di un modificatore predicativo φ20 Allora (215)-(217) e (218) attesterebbero

naturalmente soltanto la non transitivitagrave della nozione di φ-parte e non di parte mereologi-

ca21


Gli assiomi lessicali (P1)-(P3) rendono la nozione di parte un ordine parziale Questo tut-

tavia non basta per dare unrsquoadeguata caratterizzazione della nozione di parte Esistono in-

fatti relazioni diverse da quella di parte che sono un ordine parziale Per fare un esempio

banale si prenda la relazione di essere estensione di cosigrave definita

(31) x gt y = df y lt x

Non egrave possibile distinguere la nozione di estensione da quella di parte facendo solo rife-

rimento a (P1)-(P3) Questo significa che si devono aggiungere altri assiomi per irreggi-

20 Lrsquo argomento assume che una relazione egrave una classe di n-ple ordinate

21 Per dovere di completezza si nota che Johansson [2004] ritiene tale linea di difesa insoddisfacente ed avan-za altri argomenti contro (P3) Varzi [2006] risponde a tali argomenti in difesa di (P 3) A sua volta Johanssonrisponde a Varzi in Johansson [2006]





mentare la nozione mereologica fondamentale Egrave pratica abbastanza comune dividere i

principi addizionali in principi di decomposizione ie quei principi che portano dallintero

alle parti costituenti e principi di composizione ie quei principi che portano dalle parti

costituenti allintero che queste costituiscono Da (27) deriva

(32) x ltlt y rarr x lt y and x ne y

Sembra dunque ci debba essere una differenza di contenuto fra una parte propria e lintero di

cui questa egrave parte Allora sembra ragionevole richiedere che nessun oggetto possa avere

una sola parte propria Infatti si supponga sia cosigrave e si supponga di annichilire tale parte

Siccome questa parte egrave per ipotesi lunica parte propria delloggetto in questione sembra

che non rimanga niente dellintero di partenza annullando in questo modo ogni presunta

differenza di contenuto Dare una caratterizzazione formale di questa intuizione non egrave cosigrave

semplice come puograve sembrare

Il primo principio che sembra effettivamente capace di renderla adeguatamente22 egrave il co-

siddetto principio di supplementazione debole

(P4) (Principio di Supplementazione Debole) x ltlt y rarr (exist z) ( z lt y and sim O ( x z))

22 Si potrebbe pensare di formalizzare lrsquo intuizione secondo cui nessuno individuo possa avere una sola parte

propria tramite x ltlt y rarr (exist z) ( z ne x and z ltlt y) Questa potrebbe essere infatti considerata una traduzione for-male quasi letterale dellrsquointuizione che stiamo cercando di catturare Supponiamo tuttavia di avere un model-

lo merceologico in cui valgono le seguenti condizioni i) x ltlt y ii) z ltlt x e iii) (forallw) (w ltlt yrarr (w = x or w = z)) Dato (P3) vale z ltlt y Il modello mereologico appena presentato non costituendo un controesempio allrsquoassioma che si egrave proposto sarebbe dunque ammissibile Tuttavia si supponga adesso di annichilire x con tut-te le sue parti proprie Non rimarrebbe nulla di y Lrsquo intuizione che volevamo formalizzare non sarebbe pre-servata E dunque lrsquo assioma che si egrave proposto risulterebbe troppo debole per poter giudicare il modello pre-sentato come inammissibile Da notare che invece (P4) risulta invece abbastanza forte Infatti deriva da ii) O ( x z) e il nostro supposto modello mereologico viola dunque il principio di supplementazione debole





Lassioma (P4) dice informalmente che se x egrave una parte propria di y allora esiste unaltra

parte di y che egrave discreta da x Egrave proprio questa clausola di discretezza a far si che (P4) sia

una adeguata caratterizzazione formale dellintuizione discussa sopra Sebbene siano state

proposte teorie mereologiche che violano (P4) alcuni autori primo fra tutti Simons [1987]

considera (P4) un assioma lessicale uno di quegli assiomi cioegrave che fissano il significato

stesso della nozione di parte La teoria mereologica che comprende gli assiomi (P1)-(P4) egrave

chiamata Minimal Mereology (MM in breve)

Un modo di formalizzare unrsquointuizione analoga riguardo la differenza tra intero e parte

egrave dato dal cosiddetto principio di supplementazione forte che egrave diverso dal principio debo-

le nellantecedente

(P5) (Principio di Supplementazione Forte) sim ( y lt x) rarr (exist z) ( z lt y and sim O ( x z))

Tale principio dice informalmente che se y non egrave una parte di x allora x ha una parte che egrave

discreta da y La teoria mereologica derivata dallaggiunta di (P5) agli assiomi lessicali (P1)-

(P3) egrave detta Extensional Mereology (EM) Il carattere estensionale di EM deriva dal fatto

che egrave possibile provare in EM che se x e y hanno le stesse parti proprie sono lo stesso og-

getto Lassioma (P5) egrave detto di supplementazione forte percheacute egrave possibile provare che (P 4)

egrave un teorema di EM ie il principio di supplementazione forte insieme agli assiomi lessi-

cali implica il principio debole (P4) Diamo qui una versione informale

dellrsquoargomentazione23

23 Per una prova formale vedi Simons [1987]





Si supponga per assurdo che il principio forte non implichi quello debole Allora (P5) va-

le ma non (P4) Si assuma inoltre che sim ( y lt x) valga Visto che (P4) non vale x ltlt y vale

ma (exist z) ( z lt y and sim O ( x z)) no Allora per ogni wi che ersquo parte di y si ha che O ( xwi) Dalla

validitagrave di (P5) discendono due casi z ltlt y o z = y Nel primo caso per qualche i vale wi = z

e dunque O ( x z) contro il secondo congiunto di (P5) Nel secondo caso dallantecedente di

(P4) segue che x ltlt z e dunque banalmente O ( x z) Ne segue dunque che il conseguente di

(P5) egrave falso e il suo antecedente egrave vero Dunque (P5) non vale contro la nostra assunzione

iniziale Si egrave cosigrave mostrato che (P5) implica (P4)

La conversa tuttavia non vale Egrave facile constatare che esistono modelli che soddisfano

(P4) ma non (P5) Si consideri

(33) y1 ltlt x1

(34) y2 ltlt x1

(35) y1 ltlt x2

(36) y2 ltlt x2

(37) x1 ne x2

(38) D ( y1 y2)

Si assuma inoltre che y1 e y2 siano le sole parti proprie sia di x1 che x2

(39) z ltlt x1 rarr z = y1 or z = y2





Allora data (37) la condizione espressa dallassioma (P4) egrave soddisfatta Tuttavia da (P5)

deriva che il modello (33)-(39) egrave mereologicamente inaccettabile Infatti si ha che per o-

gni parte propria yi di x2 vale banalmente O( yi x1)

Si egrave giagrave accennato al carattere estensionale di EM Infatti egrave possibile provare i due se-

guenti importanti teoremi presenti in Simons [1987]

(310) ( Estensionalitagrave) (exist z) ( zltlt x) or (exist z) ( zltlt y) rarr ( x= y harr (forall z) ( z ltlt x harr z ltlt y)

(311) ( Estensionalitagrave dell Overlap) O ( x y) harr O ( x z) rarr y = z

Si consideri il teorema (310) Si accetti che valga lantecedente Se infatti non valesse

ie fossero sia x che y atomi mereologici il teorema sarebbe banalmente valido24 percheacute in

tal caso lrsquoantecedente del condizionale sarebbe falso Informalmente il teorema dice che

lidentitagrave di composizione egrave una condizione necessaria e sufficiente per lidentitagrave Questo egrave

la tesi fondamentale dellrsquoestensionalismo mereologico Si noti che grazie a (310) egrave anco-

ra piugrave immediato capire percheacute (P5) rende il modello (33)-(39) mereologicamente inac-

cettabile Dato che x1 e x2 sono composti dalle stesse parti proprie deriverebbe da (310)

(312) x1 = x2

contro lassunzione (37)

24 Per questo da ora in poi si assumeragrave che tale antecedente sia soddisfatto





Gli ultimi principi di decomposizione che si prendono in considerazione prima di pas-

sare alla discussione dei problemi filosofici legati alle diverse teorie mereologiche fin qui

sviluppate hanno a che fare con la questione dellatomismo

Gli atomi mereologici sono quelle entitagrave che non hanno parti proprie ie

(313) A ( x) = df sim (exist y) ( y ltlt x)

Allora si possono aggiungere a una qualsiasi teoria mereologica assiomi di decomposi-

zione secondo cui tutto egrave al fondo composto da atomi o secondo cui gli atomi non esistono

Questi sono (P6) e (P7) rispettivamente

(P6) ( Atomismo) (exist y) (A ( y) and y lt x)

(P7) ( Non Atomismo) (exist y) ( y ltlt x)

Laggiunta di (P6) o (P7) dagrave luogo a modelli mereologici di cardinalitagrave diverse Bunt

[1985] si spinge oltre nellavere principi di decomposizione fino a richiedere lesistenza di

un elemento di fondo che egrave parte di ogni cosa tramite lassioma

(P8) ( Esistenza Elemento di Fondo) (exist y) (forall x) ( y lt x)

Come si nota in Varzi [2009a] laggiunta di (P8) ha una conseguenza importante di cui si

forniragrave una prova dettagliata in seguito Si chiami Ef l Elemento di Fondo

Si noti intanto che vale





(314) A ( Ef )

Se infatti lelemento di fondo Ef non fosse un atomo avrebbe parti proprie Ma Ef non

puograve essere parte delle proprie parti proprie per lrsquoantisimmetria Dunque esisterebbero entitagrave

di cui Ef non egrave parte contro (P8) Inoltre vale che

(315) (forall z) ((forall x) ( z lt x) rarr z = Ef )

Questo dice soltanto che lelemento di fondo egrave unico Supponiamo infatti che non lo sia

e che Ef e z siano due elementi di fondo distinti Dato (314) z egrave un atomo Allora esiste-

rebbe un oggetto in particolare z di cui Ef non egrave parte visto che si egrave assunto che i due e-

lementi di fondo sono distinti Ma allora Ef non si qualificherebbe come elemento di fondo

contro la nostra assunzione iniziale Ne segue che z = Ef

Supponiamo ora di avere una teoria mereologica anche abbastanza debole che contenga

cioegrave oltre agli assiomi lessicali solo il principio di supplementazione debole25 Si assuma

ora che esista un oggetto x diverso dall elemento di fondo Ef Siccome xne Ef per assunzio-

ne dato (P8) avremo che Ef ltlt x Ma da (P4) abbiamo che esiste una parte di x chiamia-

mola z che egrave discreta da Ef Ma allora esiste una entitagrave in particolare z di cui Ef non egrave par-

te Questo contraddice lipotesi che Ef sia lelemento di fondo Ne segue che in ogni teoria

mereologica in cui valgono (P4) e (P8) esiste uno e un solo oggetto lelemento di fondo

25 Anche la piugrave debole di queste ossia MM





Ci sono interessanti teorie che violano il principio di supplementazione debole tra cui

merita una particolare menzione Whitehead [1929] Uno studio di tali teorie egrave al di lagrave degli

scopi di questo lavoro Come al di lagrave dei suoi scopi egrave lanalisi degli argomenti filosofici e

scientifici a favore e contro latomismo Nel seguito ci occuperemo dunque soltanto dei

problemi filosofici legati allestensionalitagrave derivata dallassumere lassioma (P5)


Come si egrave visto il carattere estensionale di EM deriva dal fatto che (310) egrave un suo teo-

rema Si egrave anche giagrave detto che informalmente (310) dice che essere composto dalle stesse

parti proprie egrave condizione necessaria e sufficiente per lidentitagrave Sono state sollevate obie-

zioni ormai classiche che riguardano entrambe le direzioni del condizionale in (310)

Contro la direzione da sinistra a destra

(316) x= y rarr (forall z) ( z ltlt x harr z ltlt y)

si egrave argomentato che lessere composto dalle stesse parti proprie non egrave condizione neces-

saria per lidentitagrave Contro la direzione da destra a sinistra

(317) ( z ltlt x harr z ltlt y) rarr x =y

si egrave invece argomentato che non egrave nemmeno una condizione sufficiente Si considerano

le obiezioni contro (316) e (317) separatamente





Egrave relativamente facile far fronte alle argomentazioni contro (316) Secondo (316) se x

e y sono lo stesso oggetto ogni parte propria di y egrave parte propria di x Ne deriva che se

loggetto in questione perde o acquista una parte diventa letteralmente un oggetto numeri-

camente diverso Gli oggetti tuttavia persistono attraverso la variazione mereologica26

quindi (316) non vale

Una soluzione controversa sarebbe negare che gli oggetti materiali effettivamente persi-

stano attraverso il cambiamento mereologico come in Chisolm [1973] Difendere una

qualche forma di essenzialismo mereologico non egrave tuttavia necessario per bloccare largo-

mento contro (316)

La cosa piugrave naturale da rispondere egrave che il cambiamento mereologico non egrave che un caso

particolare di cambiamento Largomento non sarebbe dunque tanto un argomento contro

(316) ma la riformulazione in termini mereologici del cosiddetto problema del cambia-

mento secondo cui si deve trovare una spiegazione di come uno e un solo oggetto possaesemplificare due proprietagrave incompatibili Le soluzioni standard del tridimensionalismo e

quadridimensionalismo forniscono altrettante considerazioni che sono in grado di salvare

(316) Due cose sono tuttavia da notare

Le soluzioni tridimensionaliste al problema del cambiamento ruotano attorno alla pos-

sibilitagrave che fatti temporali medino linstanziazione di proprietagrave e che l instanziare due pro-

prietagrave incompatibili a tempi diversi non generi alcuna contraddizione Se la proprietagrave in

questione egrave quella di avere parti proprie si arriva tuttavia alla negazione dellassolutismo

mereologico in (15) Infatti la relazione di parte propria dovrebbe essere relativizzata ai

26 Ad esempio io non divento numericamente unaltro oggetto tutte le volte che taglio i capelli tolgodel sangue bevo del vino





tempi e da qui tramite (27) deriva che anche la relazione di parte deve essere relativizza-

ta ai tempi come discusso nella sezione 1

Le soluzioni quadridimensionaliste al problema del cambiamento secondo cui gli oggetti

materiali instanziano proprietagrave incompatibili a tempi diversi in virtugrave dell avere parti tem-

porali diverse che instanziano simpliciter queste proprietagrave non portano alla negazione di

(15) e permettono di salvare (316)

La parte veramente controversa egrave invece data da (317) Si sono avanzati diversi contro-

esempi per mostrare che lavere le stesse parti proprie non egrave sufficiente per lidentitagrave Que-

sti possono essere divisi in tre grandi gruppi i controesempi riguardanti entitagrave non spazio-

temporali possibilitagrave del cambiamento e costituzione materiale

Per quel che riguarda il primo caso si considerino due numeri reali a1 a2 tali che a1 ne a2

Si considerino adesso i vettori u1 = (a1 a2) e u2 = (a2 a1) In questo caso a1 a2 sono le soli

parti proprie di u1 e u2 tuttavia u1 ne u2 Dunque (317) non vale Si possono avanzare di-

verse osservazioni per far fronte a questo argomento La prima egrave concedere che largomen-

to sia valido ma limitare il dominio di applicazione della sua conclusione Quello che lar-

gomento mostra egrave che la mereologia estensionale non vale in un particolare dominio quel-

lo delle entitagrave che non hanno una collocazione spaziotemporale come le entitagrave matemati-

che La domanda interessante sarebbe a questo punto la seguente vale la mereologia esten-

sionale per il dominio delle entitagrave spaziotemporali O meglio ancora si ha qualche ragione

per sostenere una teoria mereologica per le entitagrave spazio-temporali che abbia il principio di

supplementazione debole ma non quello forte

La seconda egrave concedere ancora una volta che largomento sia valido ma che sia del tutto

ininfluente Un nominalista potrebbe sostenere che esistono solo individui spazio-





temporalmente collocati Il caso di cui si egrave discusso sopra non costituirebbe dunque alcun

vero problema Il nominalismo permetterebbe dunque di difendere sia la possibilitagrave di una

mereologia estensionale contro largomento appena presentato sia la possibilitagrave che questa

sia una teoria formale delle parti con dominio di applicazione non ristretto

Il secondo tipo di controesempi richiama in qualche modo la possibilitagrave del cambiamen-

to Eberle [1970] sostiene che un mazzo di fiori e dei fiori sparsi a caso sul pavimento non

sono lo stesso oggetto nonostante abbiano gli stessi fiori come parti proprie Maudlin

[1998] prende in considerazione un orologio Se smonto lorologio e metto in tasca tutte le

sue parti proprie non ho in tasca un orologio sebbene abbia tutte le sue parti proprie La

migliore risposta possibile in questo caso da parte di un estensionalista egrave far notare come

questi supposti controesempi prendano in considerazione le stesse parti proprie e ciograve che

queste compongono a tempi diversi Queste parti proprie non compongono un mazzo di

fiori e un gruppo di fiori sparsi allo stesso tempo neacute compongono un orologio e un gruppodi parti meccaniche allo stesso tempo In tempi diversi cambiando le loro proprietagrave e rela-

zioni tali parti compongono oggetti diversi Ma questo egrave ancora il vecchio problema del

cambiamento e non un vero controesempio a (317) La soluzione a tale problema indiche-

ragrave le revisioni necessarie per salvare (317) Ad esempio se si sostiene una ontologia qua-

dridimensionalista si puograve efficacemente argomentare che lorologio e la somma delle parti

meccaniche nellrsquoesempio di Maudlin e il mazzo di fiori e la somma dei fiori sparsi in quel-

lo di Eberle non hanno le stesse parti proprie percheacute hanno parti temporali diverse Ma

non avendo le stesse parti proprie non costituiscono un controesempio allestensionalitagrave

Un controesempio a (317) per essere ben formulato deve far vedere che le stesse parti

proprie costituiscono due oggetti diversi allo stesso tempo





Allo stesso modo o meglio combinando le strategie appena delineate si puograve rispondere

a dei classici controesempi dovuti a Hempel [1953] e Rescher [1955] In entrambi i lavori

si nota che frasi diverse possono essere composte dalle stesse parole La risposta a tali con-

troesempi egrave come si accennava una combinazione delle strategie giagrave descritte La prima

cosa egrave far notare che largomento puograve essere inteso in due modi o le parole che si suppone

essere le parti proprie e la frase che queste compongono sono tokens27 o sono types Nel

primo caso si ha ancora una volta il controesempio che riguarda la possibilitagrave del cambia-

mento nel secondo caso uno che riguarda il dominio delle entitagrave non spazio-temporali In

entrambi i casi lestensionalista puograve usare una delle strategie giagrave indicate

Egrave piugrave difficile far fronte a controesempi riguardanti la questione della costituzione mate-

riale In maniera approssimativa si potrebbe dire che tali controesempi sfruttano la plausi-

bilitagrave della seguente tesi La quantitagrave di materia q che costituisce un oggetto x e loggetto x

non sono la stessa entitagrave Esse infatti godono secondo i sostenitori di questa tesi di pro-prietagrave diverse in particolare di proprietagrave temporali o modali diverse Ma q e x hanno le

stesse parti proprie Dunque la diversitagrave di q e x fornisce un controesempio allestensionali-

tagrave Gli esempi sono vari e vanno dalla quantitagrave di bronzo Lumpl che costituisce la statua

Goliath in Gibbard [1975]28 Johnston [1992] e Baker [1997] alla quantitagrave di legno che co-

stituisce un albero in Wiggins [1980] alla quantitagrave di tessuto felino che compone il gatto

Tibbles in Geach [ 1980] fino al mucchio di pezzi di lego29 che costituiscono una casa in

27 Supponiamo che scriva su un pezzo di carta la proposizione Dante ama Beatrice Supponiamo inoltre cheio tagli le singole parole e componga una nuova proposizione Beatrice ama Dante Avrei in tal modo com-posto due proposizioni diverse con le stesse parole intese come tokens28 Si noti che Gibbard [1975] usa lesempio a favore di unaltra tesi quella della contingenza delliden-titagrave29 Tinkertoy nellesempio originale Anche Thompson [1998] usa largomento in prima battuta per unaltro scopo ie contro (15)





Thompson [1998] Rea [1997] propone una interessante analisi generale del problema della

costituzione materiale30 Non si possono qui analizzare le sottigliezze dei diversi esempi

quindi se ne proveragrave a dare una ricostruzione generale che cerca di prescindere dalle loro

particolaritagrave31

Sia q una quantitagrave di materia composta per semplicitagrave di n elementi E sia x un oggetto

materiale di un certo tipo che q costituisce Ad esempio sia q una quantitagrave di rame compo-

sta da n atomi di rame e sia x una statua costituita dalla quantitagrave q Gli oggetti q e x hanno

proprietagrave diverse sia proprietagrave modali che proprietagrave temporali Ad esempio x ma non q

potrebbe sopravvivere allannichilimento di una parte propria Si supponga infatti di anni-

chilire uno degli n elementi di q Allora q non potrebbe sopravvivere come q Essa sarebbe

unaltra quantitagrave q1 contenente n-1 elementi Ma x continuerebbe a sopravvivere come x

Se non lo facesse significherebbe semplicemente che gli oggetti materiali non possono so-

pravvivere al cambiamento mereologico Allora q e x avendo proprietagrave diverse sono entitagravediverse per la legge di Leibniz E dunque conclude largomento costituiscono un controe-

sempio a (317)

Per valutare bene largomento egrave utile introdurre una notazione perspicua Sia

(318) q = quantitagrave di materia composta da n elementi

(319) x = oggetto materiale che egrave costituito da q

Sia inoltre y uno degli n elementi di q Allora largomento sembra il seguente

30 Inoltre quasi tutti i lavori citati ad eccezione di Baker [1997] vi si trovano ristampati31 Non egrave detto che tale operazione sia filosoficamente innocente





(320) y egrave necessariamente parte propria di q

(321) y non egrave necessariamente parte propria di x

(322) esiste una proprietagrave modale di cui gode q ma di cui non gode x (da (321) e

(322))

(323) x ne q (da (322) per applicazione della legge di Leibniz)

(324) x e q costituiscono un controesempio a (317)

Ci sono diverse risposte possibili alcune che si applicano solo a particolari modi di in-

tendere le tesi (320)-(321)

La prima possibilitagrave egrave semplicemente osservare che una forma di essenzialismo mereolo-

gico renderebbe largomento non valido semplicemente percheacute (321) sarebbe falsa Ma na-

turalmente laccusa che si puograve rivolgere a questa mossa egrave quella di sempre si egrave salvata una

tesi controversa lestensionalitagrave assumendone una piugrave controversa lrsquoessenzialismo mereo-

logico

Unaltra possibilitagrave egrave negare che gli oggetti materiali godano di proprietagrave modali o tem-

porali Questa tesi egrave essa stessa molto controversa e puograve essere indebolita nel modo se-

guente Gli oggetti materiali non godono di proprietagrave modali o temporali non sopravve-

nienti sulle proprietagrave attuali Non si possono dunque avere cambiamenti nelle proprietagrave

modali senza avere cambiamenti nelle proprietagrave attuali Ma visto che q e x condividono tut-

te le proprietagrave attuali le proprietagrave modali o temporali in (320)-(321) non possono venir

loro ragionevolmente attribuite Egrave facile capire che anche questa soluzione comporterebbe

molto lavoro per essere difesa da parte dellestensionalista





La terza possibilitagrave egrave far notare che cosigrave come presentato da (320)-(323) non segue la

conclusione (324) Infatti se anche si concede (323) x e q costituiscono un controesem-

pio allestensionalitagrave solo se hanno la stessa composizione mereologica ie se hanno le

stesse parti proprie Ma si supponga adesso con Wiggins [1980] e Thompson [1998] ad

esempio che esiste una relazione mereologica tra q e x ad esempio che valga

(325) q lt x

Allora vale anche dalla definizione di parte propria in (21)

(326) q ltlt x

Ma poicheacute la relazione di parte propria egrave antiriflessiva ne segue che q e x non hanno alfondo la stessa composizione mereologica Infatti esiste almeno una parte di q in particola-

re q stessa che egrave parte propria di x ma non di q E dunque x e q non costituiscono un con-

troesempio allestensionalitagrave contro (324) Questo argomento puograve essere ulteriormente

sviluppato fino a costituire un coerente e generale resoconto metafisico Infatti segue da

(326) e dal principio di supplementazione debole (P4) che cegrave una differenza mereologica

tra q e x Ma che cosa puograve rimanere di x una volta tolto q Si supponga che x e q siano og-

getti quadridimensionali Allora q ed x avranno naturalmente strutture mereologiche diver-

se percheacute hanno parti temporali diverse Inoltre si capisce subito percheacute

vale (326) Questa vale percheacute q egrave una parte temporale di x E inoltre si capisce anche la

ragione per cui il supposto argomento contro lestensionalitagrave era capace di indicare proprie-





tagrave temporali diverse per x e q Queste proprietagrave temporali sono proprietagrave di x e q solo in

modo derivato nel senso che x ma non q ha alcune parti temporali che godono di quelle

proprietagrave Lo stesso vale per le proprietagrave e parti modali Si puograve essere indotti per motivi di-

versi e indipendenti a sostenere il quadridimensionalismo o il pentadimensionalismo32 in

metafisica della persistenza o metafisica della modalitagrave Inoltre come si egrave giagrave notato que-

ste due possibilitagrave risolverebbero anche i problemi legati alla direzione sinistra destra del

condizionale esprimente lestensionalitagrave

A questo punto si arriva alla formulazione piugrave forte dellargomento antiestensionalista

Si supponga di sostenere che q e x non intrattengono nessuna relazione mereologica Egrave in

questo senso che nella sezione 21 si egrave detto che la relazione di costituzione materiale puograve

essere considerata sui generis Allora x e q possono avere le stesse parti proprie in partico-

lare la loro struttura mereologica puograve essere esaurita dagli n elementi cui si faceva cenno

nellesempio In questo caso x e q costituirebbero effettivamente un controesempio a(317)

Qui si puograve rispondere in almeno due modi diversi Il primo egrave far notare che le varianti

quadridimensionalista o pentadimensionalista prospettate sopra sarebbero comunque alter-

native praticabili E ancora una volta x e q non avrebbero la stessa struttura mereologica

percheacute avrebbero parti temporali e modali diverse

Il secondo egrave invece far fronte direttamente allargomento e notare che le premesse

(320) e (321) contengono una occorrenza ambigua delloperatore modale essere necessa-

32

Come il quadridimensionalismo egrave la tesi secondo cui gli oggetti materiali sono estesi anche lungo la di-mensione temporale avendo parti temporali il pentadimensionalismo egrave la tesi secondo cui sarebbero estesianche lungo la dimensione modale avendo parti modali





rio Egrave questa la risposta classica in Lewis [1971] e Jubien [1983] tra gli altri Si ammetto-

no due letture de dicto e de re di tale operatore Si introduca una notazione piugrave perspicua

per far notare come questo abbia un peso rilevante nella valutazione dellargomento anti-

estensionalista Sia

(327) PPy = la proprietagrave di avere y uno degli n elementi come parte propria

Allora le premesse (320) e (321) possono essere cosigrave formalizzate

(328) (PPy (q)) = in ogni mondo possibile y egrave parte propria di q

(329) sim (PPy ( x)) = cegrave un mondo possibile in cui y non egrave parte propria di x

Questa formalizzazione con loperatore di necessitagrave letto de dicto rende entrambe le

premesse vere Loperatore modale si applica tuttavia alle proposizioni PPy (q) e PPy( x) e

dunque non attribuisce due proprietagrave modali distinte a x e q Ma allora la legge di Leibniz

non puograve essere legittimamente applicata per derivare la conclusione (323) x ne q Sia inve-

ce

(330) PPy = la proprietagrave modale di avere necessariamente y uno degli n ele-

menti come parte propria

Allora le premesse in questione possono essere formalizzate con





(331) PPy (q) = loggetto designato da q in questo mondo ha la proprietagrave di

avere y come parte propria in ogni mondo possibile

(332) sim PPy ( x) = loggetto designato da x in questo mondo non ha la proprietagrave

di avere y come parte propria in ogni mondo possibile

Questa formalizzazione con loperatore di necessitagrave letto de re attribuisce due proprietagrave

modali diverse agli oggetti che in questo mondo vengono designati con q e x rispettiva-

mente e dunque legittimerebbe lapplicazione della legge di Leibniz Tuttavia (331) egrave con-

troversa Essa infatti dice che q non puograve essere costituita da parti diverse in mondi diversi

Ma questa ipotesi deve essere supportata da un argomento indipendente Naturalmente si

puograve argomentare a favore di (331) se si sa giagrave che x ne q Ma questo sarebbe banalmente

circolare Si puograve a questo punto apprezzare la forza di una particolare risposta estensionali-

sta allargomento cosigrave presentato Lestensionalista potrebbe infatti replicare che si deve

avere un argomento indipendente in favore di (331) Lestensionalismo per cui si avanza-

no motivazioni indipendenti offre invece un argomento per la tesi contraria

lrsquoestensionalismo implica che (331) egrave falsa almeno se (332) egrave vera Infatti siccome nel

caso che si sta analizzando x e q hanno la stessa struttura mereologica x e q sono la stessa

entitagrave e dunque se x puograve perdere una parte propria allora puograve perderla anche q Tutto que-

sto non costituisce una difesa diretta dellestensionalismo ma mostra come la sua falsitagrave

non sia tesi banale Tutti i controesempi analizzati infatti richiedono del sostanziale lavoro

metafisico per poter essere considerati controesempi legittimi

4 PRINCIPI DI COMPOSIZIONE





I principi di composizione portano dalle parti costituenti allintero che queste possono o

meno costituire Si puograve richiedere ad esempio che il dominio mereologico sia chiuso rispet-

to a particolari operazioni Si supponga che valga O ( x y) Allora cegrave unentitagrave z che egrave parte

sia di x che di y Tra tutte quelle entitagrave che soddisfano tale descrizione si puograve prendere in

considerazione la piugrave grande Si supponga invece che x e y siano parti di una entitagrave piugrave

grande Allora esiste almeno una entitagrave z tale che sia x che y ne sono parte Tra tutte le enti-

tagrave che soddisfano tale descrizione si puograve prendere in considerazione la piugrave piccola Queste

considerazioni portano alla formulazione degli assiomi riguardo prodotto e somma rispetti-

vamente

(P9) ( Esistenza del Prodotto) O ( x y) rarr (exist z) (forallw) (w lt z harr (w lt x and w lt y))

(P10) ( Esistenza della Somma) U ( x y) rarr (exist z) (forallw) (O (w z) harr (O (w x) or O (w y))

Lassioma (P9) dice che se due entitagrave condividono una parte allora esiste un entitagrave z tale

che per ogni w w egrave parte di z se e solo se w condivide una parte sia con x che con y Las-

sioma (P10) dice che se due entitagrave fanno parte di un altra allora esiste una entitagrave z tale che

per ogni w w condivide una parte con z se e solo se w o condivide una parte con x o con y

In altre parole z condivide una parte con tutte e sole le cose che condividono una parte o

con x o con y

Laggiunta di (P9) e (P10) alle teorie mereologiche fin qui viste dagrave luogo alle versioni

chiuse di tali teorie In particolare laggiunta a MM dagrave luogo alla cosiddetta Minimal Clo-

sure Mereology CMM e laggiunta a EM dagrave invece luogo alla cosiddetta Closure Exten-

sional Mereology o CEM





In presenza del principio di supplementazione forte (P5) si puograve mostrare che lentitagrave la cui

esistenza egrave affermata in (P9) e in (P10) egrave unica Per vedere che egrave effettivamente cosigrave si con-

sideri il seguente argomento informale per quanto riguarda il caso della somma Suppo-

niamo che z1 e z2 si qualifichino come somma di x e y Allora z1 e z2 avranno come parti

proprie soltanto x y e le loro parti Dunque avranno le stesse parti proprie Allora da (P5)

deriva che z1 = z2 Lo stesso vale per il prodotto e lunicitagrave egrave perciograve garantita Supponendo

di introdurre le seguenti definizioni dove ι z sta per quellentitagrave che soddisfa la descrizione

immediatamente seguente

(41) x times y = df ι z (forallw) (w lt z harr (w lt x and w lt y)

(42) x + y = df ι z (forallw) (O (w z) harr (O (w x) or O (w y))

gli assiomi (P9) e (P10) possono essere scritti in CEM piugrave perspicuamente come

(P11) ( Esistenza del Prodotto Estensionale) O ( x y) rarr(exist z) ( z = x times y)

(P12) ( Esistenza della Somma Estensionale) U ( x y) rarr(exist z) ( z = x+ y)

Per ragioni di completezza e simmetria rispetto alla sezione sui principi di decomposi-

zione si aggiunge che alcune teorie mereologiche possono richiedere lesistenza di un ele-

mento universale di cui tutto egrave parte con lassioma

(P13) ( Esistenza dellrsquo Elemento Universale) (exist z) (forall x) x lt z





Lassioma (P13) garantisce banalmente che prese due entitagrave qualsiasi queste stanno nella

relazione di underlap Dunque esiste sempre una loro somma

La maggiore limitazione nellassunzione degli assiomi (P9) e (P10) egrave che questi conside-

rano soltanto casi finiti Si puograve essere interessati a rafforzare gli assiomi che regolano lesi-

stenza di somma e prodotto mereologici anche in casi non finiti Si puograve cioegrave voler dire che

dati un qualunque insieme non vuoto di entitagrave esiste una loro somma o un loro prodotto

mereologico Egrave possibile dare diverse formulazioni di tali rafforzamenti utilizzando diver-

se strategie formali In quel che segue si considera soltanto la somma mereologica

Egrave utile per ragioni filosofiche che saranno chiare nella sezione successiva presentare i

diversi rafforzamenti infinitari dellrsquoassioma di somma come altrettanti modi di rispondere

a una domanda metafisica ben precisa la cosiddetta domanda sulla composizione speciale

in Van Inwagen [1990] e Markosian [1998] Sia un ϕminuser unrsquoentitagrave che gode di una pro-

prietagrave ϕ33

(43) ( Domanda sulla Composizione Speciale) Qual egrave linsieme di condizioni neces-

sarie e sufficienti affincheacute dato un qualsiasi insieme di ϕminusers esista una loro somma me-

reologica

Tre diversi tipi di risposte a (43) sono possibili Due di queste costituiscono anche ver-

sioni dei rafforzamenti infinitari allassioma della somma

33 Se non si volesse per ragioni filosofiche quantificare sulle proprietagrave si potrebbe dare una riformulazio-

ne di tutto quello che segue considerando ϕ una qualsiasi formula del linguaggio e un ϕminuser una entitagrave chesoddisfa tale formula





La prima risposta tuttavia non solo non egrave un rafforzamento a tale assioma ma sembra

in prima battuta implicare linutilitagrave stessa delle mereologia come teoria delle parti Infatti

la risposta della (43) puograve essere semplicemente mai Non si dagrave mai il caso che esista una

somma mereologica di alcune entitagrave Questa posizione detta nichilismo mereologico cor-

risponde allassunzione del seguente semplice assioma

(P14) A ( x)

Secondo il nichilismo mereologico niente ha delle parti proprie e dunque la mereologia

egrave semplicemente la teoria dellidentitagrave Questa egrave una risposta radicale a (43)

Una risposta meno radicale egrave la seguente Esiste una somma mereologica dei ϕminusers se e

solo se viene soddisfatta la condizione Ψ dove naturalmente tale condizione egrave da specifi-

care Si pensi al seguente esempio34

Sia ϕ essere un pezzo di un puzzle Allora esiste una

somma mereologica dei pezzi del puzzle solo se questi soddisfano a una condizione Ψ che

potrebbe essere ad esempio quella di essere incastrati nel modo corretto Tale risposta vie-

ne formalizzata tramite lassunzione di

(P15) (Composizione Ristretta) (existwϕ w andforallw (ϕ w rarr ψ w)) rarr (exist z)(forallw) (O ( zw) harr

(existv) (ϕ v and O(vw)))

34 Se ne daranno altri in seguito





Lassioma (P15) infatti dice informalmente che se la condizione Ψ viene soddisfatta dai

ϕminusers allora esiste una loro somma mereologica ie una entitagrave z che sovrappone tutti e so-

li i ϕminusers

Lultimo tipo di risposta a (43) egrave altrettanto semplice della prima ed egrave il suo esatto con-

trario ie sempre Si dagrave sempre il caso che dato un qualsiasi insieme non vuoto di oggetti

esista una somma mereologica di questultimi Di contro al nichilismo mereologico si egrave so-

liti dare il nome di universalismo mereologico a tale risposta Corrisponde allassunzione

del seguente assioma

(P16) (Composizione Non Ristretta) (existw)ϕ w rarr (exist z)(forallw) ( O( zw) harr (existv) (ϕ v and

O(vw)))

che si ottiene da (P15) semplicemente scartando il secondo congiunto dellantecedente

Lestensione di EM tramite lassunzione di (P16) egrave detta General Extensional Mereology

(GEM) GEM egrave la teoria mereologica classica per eccellenza Egrave una teoria molto potente

Tarski [1935] mostra che la nozione di parte assiomatizzata da GEM ha le stessa proprietagrave

dellinclusione insiemistica quando questa sia ristretta a insiemi non vuoti Ed egrave per questo

che infatti era stata sviluppata in primo luogo come alternativa nominalistica alla teoria

degli insiemi

Tutte le mereologie chiuse e in particolare GEM hanno sollevato importanti obiezioni

filosofiche che vengono discusse nella sezione seguente






Prima di discutere le questioni filosofiche sollevate dai piugrave controversi principi di com-

posizione egrave doveroso soffermarsi su una recente proposta avanzata in Markosian [1998]

Tale proposta comporta che la mereologia come teoria formale non possa includere alcun

assioma che riguardi la somma mereologica Si egrave detto che si puograve considerare lrsquoassunzione

di tali assiomi come una formalizzazione della risposta alla domanda sulla composizione

speciale (43) Questo naturalmente presuppone che tale domanda possa avere una risposta

Ed egrave proprio quanto viene messo in dubbio in Markosian [1998] In particolare la tesi so-

stenuta della Brutalitagrave della Composizione egrave la congiunzione di queste due tesi

(44) Non esiste una risposta vera non banale e finita alla domanda sulla compo-

sizione speciale

(45) Dato un insieme di ϕminusers se queste entitagrave compongono un oggetto y egrave un

fatto bruto che ci sia un oggetto composto da queste entitagrave

Si capisce subito come il sostenere (44) e (45) porti alla rinuncia ad ogni teoria mereo-

logica con un assioma riguardante la somma Se la composizione egrave un fatto bruto non ci

possono essere assiomi che stabiliscano una volta per tutte quali siano i casi in cui questa

effettivamente avviene o meno La strategia di difesa di (44) e (45) egrave articolata e non egrave

possibile ripercorrerla qui Il maggior argomento a suo favore egrave un argomento eliminativi-

sta Tutte le possibili risposte non banali a (43) sono false Questo lascia secondo Marko-

sian la Brutalitagrave della Composizione come migliore tesi sostenibile Nel seguito si discu-

tono i problemi filosofici legati allrsquoadozione di un particolare assioma come risposta a

(43)





Si comincia dal nichilismo mereologico ovvero dallrsquoassunzione dellrsquoassioma (P14) La

prima cosa da notare egrave che tale assioma egrave molto piugrave forte dellrsquoassioma atomistico (P 6)

Questrsquoultimo dice infatti che tutto egrave composto da atomi mereologici (P14) dice invece che

esistono solo tali atomi Dunque strettamente parlando non esistono oggetti composti

Non esistono pesci non esistono gerani non esistono stelle Questa egrave anche la maggiore

obiezione che solitamente viene mossa alla teoria Essa implica che non esistano entitagrave cui

si fa comunemente riferimento sia quando si usa il linguaggio del senso comune sia quan-

do si usa il linguaggio della scienza contemporanea Per rispondere a tale accusa Rosen e

Dorr [2002] sviluppando alcune idee presenti in Van Inwagen [1990] mostra come sia

possibile riformulare in linea di principio affermazioni riguardanti gli oggetti composti nel

linguaggio del nichilismo mereologico La strategia egrave una classica strategia di parafrasi ba-

sata su questi punti fondamentali

(46) sostituire ogni occorrenza di ldquoesiste qualcosa cherdquo con ldquoesistono degli atomi

che sonordquo

(47) sostituire ogni occorrenza di ldquoper ogni cosa cherdquo con ldquotutte le volte che esi-

stono degli atomi che sonordquo

(48) sostituire ogni occorrenza di ldquoegrave parte dirdquo con ldquo sono trardquo

(49) sostituire ogni occorrenza di ldquo egrave identico conrdquo con ldquosono gli stessi atomi

cherdquo e

(410) sostituire ogni predicato singolare della teoria con un predicato plurale se-

condo le seguenti linee ldquoegrave Krdquo diventa ldquo sono strutturati K-menterdquo





Cosigrave la proposizione relativamente semplice

(411) crsquoegrave un tavolo

diventa

(412) ci sono degli atomi che sono strutturati tavola-mente

e la proposizione relativamente complessa

(413) le api che fanno parte di quello sciame sono le stesse che ti hanno punto

diventa

(414) esistono degli atomi che sono strutturati ape-mente e sono tra quegli atomi

che sono strutturati sciame-mente e sono gli stessi atomi che hanno punto gli atomi

che erano strutturati tue-mente

Comrsquo era da aspettarsi e come giagrave notato in Sider [1993] tale strategia di parafrasi non

funziona se la teoria di partenza contiene lrsquoassioma (P7) ie lrsquoassioma di non atomismo se-

condo cui ogni entitagrave ha parti proprie35 Questo punto puograve essere evidenziato in maniera

35 Tali entitagrave vengono chiamate gunk





molto piugrave semplice rispetto alla letteratura corrente Lrsquoassioma (P7) egrave infatti la negazione di

(P14) La teoria che li contenga entrambi sarebbe dunque inconsistente e la tecnica di para-

frasi non potrebbe che risultare in una contraddizione

Tutte le cosiddette risposte moderate alla domanda speciale di composizione ie quelle

risposte che convengono sul fatto che esiste una somma mereologica di alcune entitagrave solo

quando una certa condizione viene soddisfatta possono essere rappresentate formalmente

dallrsquoadozione dellrsquoassioma (P15) Forse tali risposte moderate sono quelle piugrave vicine al sen-

so comune Egrave comunque molto piugrave difficile di quanto possa sembrare individuare una con-

dizione ψ che sia insieme necessaria e sufficiente per avere una somma mereologica Van

Inwagen [1990] mostra come tutte le condizioni ψ piugrave plausibili diano luogo a conseguen-

ze inaccettabili Van Inwagen continua argomentando a favore di una particolare risposta

moderata dove la condizione ψ egrave quella di costituire una vita Talvolta si dagrave il nome di or-

ganicismo a questa teoria e corrisponde in maniera approssimativa alla seguente risposta a

(43)

(415) I ϕminusers compongono un oggetto y se i) lrsquoattivitagrave di tali entitagrave costituisce

una vita o ii) esiste solo un ϕminuser

La clausula i) indica la condizione ψ che secondo Van Inwagen alcune entitagrave devono

soddisfare per comporne unrsquoaltra Non egrave possibile rendere giustizia in questa sede alla pro-

posta di Van Inwagen Si riportano soltanto due conseguenze di tale proposta che Van In-

wagen stesso egrave pronto a sostenere ma che possono risultare controverse per ragioni indi-

pendenti Si tratta della tesi ontologica della vaghezza e della vaghezza dellrsquoidentitagrave





Non resta dunque che analizzare i problemi filosofici legati allrsquoadozione dellrsquoassioma

(P16) Si capisce subito che tale assioma non puograve che essere controverso Infatti egrave conse-

guenza della sua adozione che esistano molte piugrave entitagrave di quante il senso comune sia di-

sposto ad ammettere Se la composizione egrave non ristretta deriva che non solo esistono i pe-

sci i gerani e le stelle ma anche una entitagrave che egrave la somma mereologica dei miei occhi di

un girasole e del secondo anello di Saturno Non solo se esistono la proposizione ldquosembra

piovere semprerdquo i numeri naturali e la proprietagrave di non avere alcuna massa e il dominio di

applicazione di GEM non ha alcuna restrizione ontologica allora esiste anche una entitagrave

che egrave la somma mereologica del mio cuore della proposizione ldquosembra piovere semprerdquo

del numero quattro e dellrsquoessere senza alcuna massa Tutto questo pare senza dubbio con-

trointuitivo Lrsquo argomento piugrave influente a favore di (P16) si trova in Lewis [1986]

Tale argomento fa leva sulla tesi secondo cui la vaghezza egrave un fenomeno semantico e

puograve essere ricostruito sommariamente lungo le seguenti linee

(416) Ogni requisito che si vorrebbe la composizione intuitivamente soddisfaces-

se ad esempio agire insieme non essere troppo dispersi e cosigrave via egrave un requisito

vago

(417) Restringere la composizione per soddisfare tali requisiti sarebbe una restri-

zione vaga (da (416))

(418) Se la composizione soddisfa una restrizione vaga risulta qualche volta vago

se tale composizione avviene o meno (da (417))





(419) La domanda sulla composizione speciale puograve essere formulata facendo ri-

corso solo a linguaggio non vago ie quantificatori connettivi e relazione di identi-

tagrave

(420) La risposta alla domanda sulla composizione speciale non puograve essere dun-

que vaga (da (419))

(421) La restrizione della composizione comporta una risposta vaga (da (417)

(418))

(422) La composizione non egrave ristretta (da (420) (421))

Sider [2001] ne presenta una versione lievemente modificata Chiunque fosse disposto a

sostenere una concezione ontologica della vaghezza sarebbe naturalmente non convinto

dallrsquoargomento Un modo di bloccare lrsquoargomento egrave la giagrave citata tesi della Brutalitagrave della

Composizione Questa infatti rende (420) falsa semplicemente percheacute non esiste una ri-sposta alla domanda sulla composizione speciale

Gli argomenti contro (P16) si possono dividere in tre gruppi Abbiamo giagrave affrontato il

primo Infatti si mostra in Hovda [2009] e Varzi [2009b] che (P16) implica (P5) se la rela-

zione di parte egrave transitiva e si ha almeno la supplementazione debole Dunque (P16) implica

lrsquoestensionalismo mereologico Ogni argomento contro questrsquoultimo diventa dunque un ar-

gomento indiretto contro lrsquouniversalismo

Il secondo gruppo cerca di mostrare che (P16) implica conseguenze inconsistenti e

lrsquoultimo infine che implica conseguenze inaccettabili Il piugrave influente degli argomenti del

secondo tipo egrave forse quello in Van Inwagen [1990] Se ne presenta una ricostruzione modi-

ficata rispetto allrsquooriginale





Siano x1 e x2 due entitagrave qualsivoglia Allora dato (P16) ne esiste una somma mereologica

supponiamo di chiamarla y a t 1 Dunque

(423) (exist y) ( y = x1 + x236) a t 1

Supponiamo che y passi attraverso un graduale processo di cambiamento mereologico ta-

le che egrave costituito da z1 e z2 a t 2 Allora

(424) y = z1 + z2 a t 2

Si supponga inoltre che x1 e x2 siano ancora esistenti a t 2 Allora dato (P16) ne esiste una

somma mereologica Supponiamo di chiamarla w a t 2 Dunque

(425) (existw) ( w = x1 + x2) a t 2

Ora aggiunge Van Inwagen se lrsquouniversalismo egrave vero non si dagrave mai il caso che dati due

insiemi di entitagrave queste costituiscano oggetti diversi a momenti diversi

(426) (forallt 1) (forallt 2) (( x1 + x2 = y) a t 1 ( x1 + x2 = w) a t 2 )rarr y = w

Ma naturalmente deriva da (424) e (425) che

36 Si usa qui per motivi di chiarezza il linguaggio estensionale Questo non egrave strettamente necessarioNon egrave tuttavia nemmeno un errore visto che (P16) implica (P5)





(427) y ne w

che contraddice il conseguente di (426) Il problema con questo argomento egrave che (426)

sembra semplicemente falsa Van Inwagen offre la seguente considerazione in suo favore

Visto che se (P16) vale lrsquoarrangiamento di x1 e x2 egrave irrilevante affincheacute queste entitagrave costi-

tuiscano qualcosa deve essere irrilevante anche riguardo che cosa queste costituiscano

Questa considerazione non egrave affatto una considerazione in favore di (426) Si ritorni alla

formulazione stessa di (P16) Questa dice che se due insiemi di entitagrave qualsiasi godono di

ϕ allora esiste una loro somma z ie una entitagrave che ha per parti proprie tutte e sole quelle

entitagrave che godono di ϕ Essa non dice nulla su che tipo di entitagrave sia z Non dice nemmeno

che z egrave un ϕminus er Dunque a fortiori non dice nulla sulla possibilitagrave di x1 e x2 di avere due

somme mereologiche diverse a tempi diversi Sembra che al massimo questo argomento

possa essere ancora una volta un argomento contro lrsquoestensionalismo In effetti si egrave visto

che alcuni dei supposti controesempi allrsquoestensionalismo mereologico ruotano appunto at-

torno alla possibilitagrave di entitagrave che costituiscano oggetti diversi in tempi diversi Visto che

(P16) implica (P5) si potrebbe ancora leggere lrsquoargomento di Van Inwagen come un argo-

mento indiretto contro lrsquouniversalismo Ma naturalmente le repliche estensionaliste pre-

sentate nella sezione 3 sarebbero valide anche in questo contesto

Le obiezioni tipiche rivolte allrsquoassunzione di (P16) sono solitamente rivolte al fatto che

questo comporta conseguenze non inconsistenti ma inaccettabili Se ne egrave giagrave fatto accen-

no La prima conseguenza inaccettabile egrave la moltiplicazione gratuita di entitagrave Supponiamo

di avere un mondo W contenente tre atomi mereologici x1 x2 x3 che sembrano non avere

alcuna relazione strutturale Quanti oggetti contiene W Il senso comune sembra voler ri-





spondere tre Ma se si assume (P16) continua lrsquoargomento W ne contiene almeno sette x1

x2 x3 x1+ x2 x1+ x3 x2+ x3 and x1+ x2+ x3 E questa egrave una moltiplicazione di entitagrave senza al-

cuna necessitagrave che contravviene dunque alla buona norma metodologica della parsimonia

ontologica

Le linee di difesa classiche contro questa obiezione si trovano in Baxter [1988] e Lewis

[1991] Baxter [1998] propone una teoria dellrsquoidentitagrave che egrave basata sulla possibilitagrave di di-

scriminare tra

(428) identitagrave in senso stretto una relazione uno a uno che intercorre solo tra un

oggetto e se stesso

(429) identitagrave in senso allentato una relazione uno-molti che puograve sussistere tra

un intero e le sue parti componenti

Se si ritiene che tale distinzione sia possibile e sia consistente allora egrave possibile sostenere

che la composizione egrave identitagrave Una somma mereologica y di parti x1 e x2 egrave identica in sen-

so stretto solo a y ma egrave identica in senso allentato dove allentato deve essere inteso se-

condo (429) alle sue parti x1 e x2 Anzi y non egrave secondo Baxter che x1 e x2 contate insie-

me Con questo apparato si puograve rispondere allrsquoobiezione di moltiplicazione ontologica Si

ritorni allrsquoesempio di sopra La somma mereologica x1 + x2 non egrave una entitagrave diversa rispetto

a x1 e x2 Egrave infatti identica in senso allentato a x1 e x2 Questo puograve sembrare contro-

intuitivo Ma seguendo Baxter si puograve pensare a questo scenario Si ricordi re Lear Lear

divide il regno in tre parti da destinare alle tre figlie Il regno di Lear non egrave che quelle tre

parti contate assieme ie egrave identico in senso allentato a quelle tre parti Non crsquoegrave nessuna





moltiplicazione ontologica Per vedere meglio tutto questo si pensi che Lear non puograve dare

le tre parti del regno alle figlie e mantenere la somma mereologica di quelle parti Quando

ha diviso il regno ha diviso tutto ciograve che crsquoera da dividere Se si accetta dunque questa teo-

ria dellrsquoidentitagrave non crsquoegrave nessuna moltiplicazione ontologica Tuttavia questa teoria

dellrsquoidentitagrave egrave controversa

Lewis [1991] indebolisce37 la tesi di Baxter secondo Lewis sebbene la composizione

non sia identitagrave essa egrave come lrsquoidentitagrave La parte dellrsquoanalogia tra identitagrave e composizione

che ha conseguenze per la questione della moltiplicazione ontologica egrave la seguente

(430) Se si egrave impegnati allrsquoesistenza di x egrave ridondante dire che si egrave ontologica-

mente impegnati allrsquoesistenza di una entitagrave che egrave identica a x Allo stesso modo egrave

ridondante se si egrave impegnati allrsquoesistenza di x1hellip xn dire che si egrave impegnati ontolo-

gicamente alla somma mereologica x1 +hellip+ xn

Quello che esprime (430) sarebbe lrsquoinnocenza ontologica della somma mereologica in

questo senso una volta che si egrave impegnati ontologicamente allrsquoesistenza di alcune entitagrave x

lrsquoesistenza della loro somma mereologica non costituisce un impegno ontologico ulteriore

Entrambe le parti e la somma sono infatti secondo Lewis la stessa porzione di realtagrave Egrave

difficile valutare sinteticamente tale argomento Una cosa egrave da notare Se si accetta la con-

troversa tesi che la composizione egrave identitagrave si puograve avere un modo per sostenere che nel no-

stro esempio dei tre atomi merceologici x1 x2 x3 esistono solo tre entitagrave Se si accetta la te-

37 Lewis porta diverse considerazioni a favore di tale indebolimento fra cui una condivisa da Van Inwa-

gen [1994] Per far riferimento allrsquoesempio qui presentato tale considerazione sottolinea che in fondo il regnodi Lear egrave uno mentre le parti sono molte





si piugrave debole che la composizione egrave come lrsquoidentitagrave una volta accettato (P16) si finisce con

lrsquoavere sette entitagrave Il punto cruciale dellrsquoargomento sembra dunque essere rispondere alla

seguente domanda lrsquoimpegno ontologico rispetto alle quattro entitagrave rimanenti egrave un impe-

gno ontologico ulteriore

Lrsquoaltra supposta conseguenza inaccettabile di (P16) egrave la stravaganza ontologica Non so-

lo la nostra ontologia si allarga a dismisura ma finisce per contenere anche entitagrave che

normalmente non saremmo mai disposti ad accettare Se ne egrave dato un esempio in preceden-

za Lrsquoassunzione di (P16) implica lrsquoesistenza di un oggetto che egrave la somma mereologica dei

miei occhi di un girasole e del secondo anello di Saturno In questo caso la risposta mi-

gliore egrave probabilmente far notare che potrebbe essere soltanto per pregiudizi psicologici o

per interessi epistemici che non si considerano tali oggetti come entitagrave in tutto e per tutto a

fianco di persone fiori pianeti Ma tali pregiudizi e interessi non hanno o meglio non do-

vrebbero avere un peso ontologico Inoltre il senso comune pare riconoscere in alcuni casiesempi di tali oggetti Si pensi al sistema solare Sarebbe difficile sostenere che il senso

comune e alcune tra le nostre migliori teorie scientifiche non lo considerino un oggetto ap-

partenente al proprio dominio di quantificazione Ma tale oggetto sembra essere proprio

una somma di diverse parti che non mostrano tutte un altissimo grado di relazione struttu-

rale

Egrave possibile che comunque la migliore risposta alle obiezioni delineate possa prendere

spunto da Van Inwagen [1994] Van Inwagen scrive che piuttosto che difendere

lrsquoassunzione di una forte teoria mereologica come GEM sulla base della sua presunta in-

nocenza ontologica si potrebbe difenderla mostrando come la sua assunzione porti a una

metafisica piugrave soddisfacente Questo lavoro egrave ancora da fare Alla fine di tale lavoro po-





trebbe risultare che la migliore risposta alle obiezioni sollevate a GEM sia ancora una vol-

ta la bellezza38

APPENDICE

In questa appendice si dagrave una panoramica drsquoinsieme delle relazioni logiche e di inclusio-

ne delle varie teorie mereologiche sviluppate nel lavoro

bull M = (P1) (P2) (P3) Ground Mereology

bull MM = (P1) (P2) (P3) (P4) Minimal Mereology

(P1) (P3) (P4)rarr (P2)

bull EM = (P1) (P2) (P3) (P5) Extensional Mereology

(P1) (P3) (P5)rarr (P4)

bull CM = (P1) (P2) (P3) (P9) (P10) Closure Mereology

38 Volevo ringraziare Pierluigi Graziani e due anonimi referee per i numerosi e importantissimi suggeri-menti che mi hanno dato durante la stesura del lavoro Non posso tacere naturalmente il mio debito con A-chille Varzi che ringrazio con queste parole che forse riconosceragrave ldquo[hellip] Dimmi veramente tra veritagrave allospirto perigliose unrsquo egrave che tanto desperatamente qui ti condanna che negar vorresti Disse la mereologiaegrave innocenterdquo





bull CMM = (P1) (P2) (P3) (P4) (P9) (P10) Minimal Closure Mereology

bull CEM = (P1) (P2) (P3) (P5) (P9) (P10) Closure Extensional Mereology

(P4) 983080983120983097983081rarr (P5)

bull GM = (P1) (P2) (P3) (P16) General Mereology

bull GEM = (P1) (P2) (P3) (P5) (P9) (P10) (P16) General Extensional Mereology

(P3) (P4) (P16)rarr (P5)

Il seguente diagramma mostra le varie relazioni di inclusione delle varie teorie mereolo-

giche preso da Casati e Varzi [1999]

I rapporti di inclusione delle diverse teorie mereologiche sono da intendersi lungo le li-

nee dal basso verso lrsquoalto





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ltltwwwaphexit gtgt 1 (2010)





La mereologia egrave la teoria formale delle parti e delle relazioni di parte La teoria delle

parti egrave stata al centro dellindagine filosofica fin dai Presocratici passando poi da Platone e

Aristotele attraverso la Scolastica medievale fino agli scritti di Leibniz e Kant Brentano e

Husserl possono essere forse considerati i primi a cercare di proporre una teoria formale

delle relazioni di parte Si deve comunque attendere Lesniewski [1916] per una rigorosa

formulazione Lesniewski [1916] viene tuttavia originariamente pubblicato in polacco e ri-

sulta quindi inaccessibile ai piugrave Egrave solo dunque da Leonard e Goodman [1940] che la me-

reologia rappresenta un argomento fondamentale di molta ricerca ontologica e metafisica

Il seguente lavoro vuole essere una introduzione allo sviluppo formale di diverse teorie

mereologiche e dei problemi filosofici da esse sollevati La struttura egrave molto semplice1

Nella sezione 1 si affronteranno alcuni problemi iniziali riguardanti la possibilitagrave stessa

di sviluppare una teoria formale delle relazioni di parte Nella sezione 2 si introdurranno le

nozioni primitive di una possibile teoria mereologica e si irreggimenteranno tali nozioniattraverso assiomi che dovrebbero in qualche modo catturare il significato stesso del predi-

cato essere parte di Teorie mereologiche alternative possono essere costruite aggiun-

gendo a questo nucleo lessicale assiomi considerati filosoficamente controversi Si egrave soliti

dividere tali assiomi in assiomi di decomposizione ie quelli che portano idealmente dal

tutto alle parti costituenti e assiomi di composizione ie quelli che portano dalla parti al

tutto che queste costituiscono Questo occuperagrave dalla sezione 3 alla sezione 4 rispettiva-

mente Si concluderagrave con una breve appendice formale sulle relazioni di inclusione tra le

varie teorie mereologiche sviluppate nel lavoro

1 Il lavoro ha un debito particolare in termini di struttura e scelte terminologiche con Varzi [2009a]













































versa




















































































































12




























logy (M)









and y lt x
























tipo




(P3)





(27)




catturata










(210) y lt x






(211) q lt s

(212) s lt q








(213) q ne s













(214) q = s



























parte della casa













ca21














































le nellantecedente

























(33) y1 ltlt x1

(34) y2 ltlt x1

(35) y1 ltlt x2

(36) y2 ltlt x2

(37) x1 ne x2

(38) D ( y1 y2)





















(312) x1 = x2




























(314) A ( Ef )



















































mento contro (316)










































































































sempio a (317)













(322))









logico


















(325) q lt x


(326) q ltlt x


































32









estensionalista Sia









ce









































vamente








con x o con y










































prietagrave ϕ33



reologica














(P14) A ( x)



















li i ϕminusers







O(vw)))







degli insiemi

















sizione speciale











(43)


















che sonordquo





cherdquo e









diventa




diventa

























(43)



























vago











tagrave


que vaga (da (419))


(418))





















(423) (exist y) ( y = x1 + x236) a t 1



(424) y = z1 + z2 a t 2



(425) (existw) ( w = x1 + x2) a t 2










(427) y ne w





























ontologica



scriminare tra


oggetto e se stesso


























































rale











ta la bellezza38

APPENDICE





(P1) (P3) (P4)rarr (P2)


(P1) (P3) (P5)rarr (P4)









(P4) 983080983120983097983081rarr (P5)



(P3) (P4) (P16)rarr (P5)









RIFERIMENTI


Cambridge


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pp 69-78



pp 581-603








221













pp 55-82












68 pp 203-211











82 1 pp 137-152




232













pp 201-220










146






York






















































versa




















































































































12




























logy (M)









and y lt x
























tipo




(P3)





(27)




catturata










(210) y lt x






(211) q lt s

(212) s lt q








(213) q ne s













(214) q = s



























parte della casa













ca21














































le nellantecedente

























(33) y1 ltlt x1

(34) y2 ltlt x1

(35) y1 ltlt x2

(36) y2 ltlt x2

(37) x1 ne x2

(38) D ( y1 y2)





















(312) x1 = x2




























(314) A ( Ef )



















































mento contro (316)










































































































sempio a (317)













(322))









logico


















(325) q lt x


(326) q ltlt x


































32









estensionalista Sia









ce









































vamente








con x o con y










































prietagrave ϕ33



reologica














(P14) A ( x)



















li i ϕminusers







O(vw)))







degli insiemi

















sizione speciale











(43)


















che sonordquo





cherdquo e









diventa




diventa

























(43)



























vago











tagrave


que vaga (da (419))


(418))





















(423) (exist y) ( y = x1 + x236) a t 1



(424) y = z1 + z2 a t 2



(425) (existw) ( w = x1 + x2) a t 2










(427) y ne w





























ontologica



scriminare tra


oggetto e se stesso


























































rale











ta la bellezza38

APPENDICE





(P1) (P3) (P4)rarr (P2)


(P1) (P3) (P5)rarr (P4)









(P4) 983080983120983097983081rarr (P5)



(P3) (P4) (P16)rarr (P5)









RIFERIMENTI


Cambridge


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pp 69-78



pp 581-603








221













pp 55-82












68 pp 203-211











82 1 pp 137-152




232













pp 201-220










146






York
































versa




















































































































12




























logy (M)









and y lt x
























tipo




(P3)





(27)




catturata










(210) y lt x






(211) q lt s

(212) s lt q








(213) q ne s













(214) q = s



























parte della casa













ca21














































le nellantecedente

























(33) y1 ltlt x1

(34) y2 ltlt x1

(35) y1 ltlt x2

(36) y2 ltlt x2

(37) x1 ne x2

(38) D ( y1 y2)





















(312) x1 = x2




























(314) A ( Ef )



















































mento contro (316)










































































































sempio a (317)













(322))









logico


















(325) q lt x


(326) q ltlt x


































32









estensionalista Sia









ce









































vamente








con x o con y










































prietagrave ϕ33



reologica














(P14) A ( x)



















li i ϕminusers







O(vw)))







degli insiemi

















sizione speciale











(43)


















che sonordquo





cherdquo e









diventa




diventa

























(43)



























vago











tagrave


que vaga (da (419))


(418))





















(423) (exist y) ( y = x1 + x236) a t 1



(424) y = z1 + z2 a t 2



(425) (existw) ( w = x1 + x2) a t 2










(427) y ne w





























ontologica



scriminare tra


oggetto e se stesso


























































rale











ta la bellezza38

APPENDICE





(P1) (P3) (P4)rarr (P2)


(P1) (P3) (P5)rarr (P4)









(P4) 983080983120983097983081rarr (P5)



(P3) (P4) (P16)rarr (P5)









RIFERIMENTI


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pp 581-603








221













pp 55-82












68 pp 203-211











82 1 pp 137-152




232













pp 201-220










146






York





























































































































12




























logy (M)









and y lt x
























tipo




(P3)





(27)




catturata










(210) y lt x






(211) q lt s

(212) s lt q








(213) q ne s













(214) q = s



























parte della casa













ca21














































le nellantecedente

























(33) y1 ltlt x1

(34) y2 ltlt x1

(35) y1 ltlt x2

(36) y2 ltlt x2

(37) x1 ne x2

(38) D ( y1 y2)





















(312) x1 = x2




























(314) A ( Ef )



















































mento contro (316)










































































































sempio a (317)













(322))









logico


















(325) q lt x


(326) q ltlt x


































32









estensionalista Sia









ce









































vamente








con x o con y










































prietagrave ϕ33



reologica














(P14) A ( x)



















li i ϕminusers







O(vw)))







degli insiemi

















sizione speciale











(43)


















che sonordquo





cherdquo e









diventa




diventa

























(43)



























vago











tagrave


que vaga (da (419))


(418))





















(423) (exist y) ( y = x1 + x236) a t 1



(424) y = z1 + z2 a t 2



(425) (existw) ( w = x1 + x2) a t 2










(427) y ne w





























ontologica



scriminare tra


oggetto e se stesso


























































rale











ta la bellezza38

APPENDICE





(P1) (P3) (P4)rarr (P2)


(P1) (P3) (P5)rarr (P4)









(P4) 983080983120983097983081rarr (P5)



(P3) (P4) (P16)rarr (P5)









RIFERIMENTI


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221













pp 55-82












68 pp 203-211











82 1 pp 137-152




232













pp 201-220










146






York



































































































12




























logy (M)









and y lt x
























tipo




(P3)





(27)




catturata










(210) y lt x






(211) q lt s

(212) s lt q








(213) q ne s













(214) q = s



























parte della casa













ca21














































le nellantecedente

























(33) y1 ltlt x1

(34) y2 ltlt x1

(35) y1 ltlt x2

(36) y2 ltlt x2

(37) x1 ne x2

(38) D ( y1 y2)





















(312) x1 = x2




























(314) A ( Ef )



















































mento contro (316)










































































































sempio a (317)













(322))









logico


















(325) q lt x


(326) q ltlt x


































32









estensionalista Sia









ce









































vamente








con x o con y










































prietagrave ϕ33



reologica














(P14) A ( x)



















li i ϕminusers







O(vw)))







degli insiemi

















sizione speciale











(43)


















che sonordquo





cherdquo e









diventa




diventa

























(43)



























vago











tagrave


que vaga (da (419))


(418))





















(423) (exist y) ( y = x1 + x236) a t 1



(424) y = z1 + z2 a t 2



(425) (existw) ( w = x1 + x2) a t 2










(427) y ne w





























ontologica



scriminare tra


oggetto e se stesso


























































rale











ta la bellezza38

APPENDICE





(P1) (P3) (P4)rarr (P2)


(P1) (P3) (P5)rarr (P4)









(P4) 983080983120983097983081rarr (P5)



(P3) (P4) (P16)rarr (P5)









RIFERIMENTI


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221













pp 55-82












68 pp 203-211











82 1 pp 137-152




232













pp 201-220










146






York









































































12




























logy (M)









and y lt x
























tipo




(P3)





(27)




catturata










(210) y lt x






(211) q lt s

(212) s lt q








(213) q ne s













(214) q = s



























parte della casa













ca21














































le nellantecedente

























(33) y1 ltlt x1

(34) y2 ltlt x1

(35) y1 ltlt x2

(36) y2 ltlt x2

(37) x1 ne x2

(38) D ( y1 y2)





















(312) x1 = x2




























(314) A ( Ef )



















































mento contro (316)










































































































sempio a (317)













(322))









logico


















(325) q lt x


(326) q ltlt x


































32









estensionalista Sia









ce









































vamente








con x o con y










































prietagrave ϕ33



reologica














(P14) A ( x)



















li i ϕminusers







O(vw)))







degli insiemi

















sizione speciale











(43)


















che sonordquo





cherdquo e









diventa




diventa

























(43)



























vago











tagrave


que vaga (da (419))


(418))





















(423) (exist y) ( y = x1 + x236) a t 1



(424) y = z1 + z2 a t 2



(425) (existw) ( w = x1 + x2) a t 2










(427) y ne w





























ontologica



scriminare tra


oggetto e se stesso


























































rale











ta la bellezza38

APPENDICE





(P1) (P3) (P4)rarr (P2)


(P1) (P3) (P5)rarr (P4)









(P4) 983080983120983097983081rarr (P5)



(P3) (P4) (P16)rarr (P5)









RIFERIMENTI


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221













pp 55-82












68 pp 203-211











82 1 pp 137-152




232













pp 201-220










146






York



















































12




























logy (M)









and y lt x
























tipo




(P3)





(27)




catturata










(210) y lt x






(211) q lt s

(212) s lt q








(213) q ne s













(214) q = s



























parte della casa













ca21














































le nellantecedente

























(33) y1 ltlt x1

(34) y2 ltlt x1

(35) y1 ltlt x2

(36) y2 ltlt x2

(37) x1 ne x2

(38) D ( y1 y2)





















(312) x1 = x2




























(314) A ( Ef )



















































mento contro (316)










































































































sempio a (317)













(322))









logico


















(325) q lt x


(326) q ltlt x


































32









estensionalista Sia









ce









































vamente








con x o con y










































prietagrave ϕ33



reologica














(P14) A ( x)



















li i ϕminusers







O(vw)))







degli insiemi

















sizione speciale











(43)


















che sonordquo





cherdquo e









diventa




diventa

























(43)



























vago











tagrave


que vaga (da (419))


(418))





















(423) (exist y) ( y = x1 + x236) a t 1



(424) y = z1 + z2 a t 2



(425) (existw) ( w = x1 + x2) a t 2










(427) y ne w





























ontologica



scriminare tra


oggetto e se stesso


























































rale











ta la bellezza38

APPENDICE





(P1) (P3) (P4)rarr (P2)


(P1) (P3) (P5)rarr (P4)









(P4) 983080983120983097983081rarr (P5)



(P3) (P4) (P16)rarr (P5)









RIFERIMENTI


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221













pp 55-82












68 pp 203-211











82 1 pp 137-152




232













pp 201-220










146






York



























12




























logy (M)









and y lt x
























tipo




(P3)





(27)




catturata










(210) y lt x






(211) q lt s

(212) s lt q








(213) q ne s













(214) q = s



























parte della casa













ca21














































le nellantecedente

























(33) y1 ltlt x1

(34) y2 ltlt x1

(35) y1 ltlt x2

(36) y2 ltlt x2

(37) x1 ne x2

(38) D ( y1 y2)





















(312) x1 = x2




























(314) A ( Ef )



















































mento contro (316)










































































































sempio a (317)













(322))









logico


















(325) q lt x


(326) q ltlt x


































32









estensionalista Sia









ce









































vamente








con x o con y










































prietagrave ϕ33



reologica














(P14) A ( x)



















li i ϕminusers







O(vw)))







degli insiemi

















sizione speciale











(43)


















che sonordquo





cherdquo e









diventa




diventa

























(43)



























vago











tagrave


que vaga (da (419))


(418))





















(423) (exist y) ( y = x1 + x236) a t 1



(424) y = z1 + z2 a t 2



(425) (existw) ( w = x1 + x2) a t 2










(427) y ne w





























ontologica



scriminare tra


oggetto e se stesso


























































rale











ta la bellezza38

APPENDICE





(P1) (P3) (P4)rarr (P2)


(P1) (P3) (P5)rarr (P4)









(P4) 983080983120983097983081rarr (P5)



(P3) (P4) (P16)rarr (P5)









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82 1 pp 137-152




232













pp 201-220










146






York





























logy (M)









and y lt x
























tipo




(P3)





(27)




catturata










(210) y lt x






(211) q lt s

(212) s lt q








(213) q ne s













(214) q = s



























parte della casa













ca21














































le nellantecedente

























(33) y1 ltlt x1

(34) y2 ltlt x1

(35) y1 ltlt x2

(36) y2 ltlt x2

(37) x1 ne x2

(38) D ( y1 y2)





















(312) x1 = x2




























(314) A ( Ef )



















































mento contro (316)










































































































sempio a (317)













(322))









logico


















(325) q lt x


(326) q ltlt x


































32









estensionalista Sia









ce









































vamente








con x o con y










































prietagrave ϕ33



reologica














(P14) A ( x)



















li i ϕminusers







O(vw)))







degli insiemi

















sizione speciale











(43)


















che sonordquo





cherdquo e









diventa




diventa

























(43)



























vago











tagrave


que vaga (da (419))


(418))





















(423) (exist y) ( y = x1 + x236) a t 1



(424) y = z1 + z2 a t 2



(425) (existw) ( w = x1 + x2) a t 2










(427) y ne w





























ontologica



scriminare tra


oggetto e se stesso


























































rale











ta la bellezza38

APPENDICE





(P1) (P3) (P4)rarr (P2)


(P1) (P3) (P5)rarr (P4)









(P4) 983080983120983097983081rarr (P5)



(P3) (P4) (P16)rarr (P5)









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82 1 pp 137-152




232













pp 201-220










146






York















and y lt x
























tipo




(P3)





(27)




catturata










(210) y lt x






(211) q lt s

(212) s lt q








(213) q ne s













(214) q = s



























parte della casa













ca21














































le nellantecedente

























(33) y1 ltlt x1

(34) y2 ltlt x1

(35) y1 ltlt x2

(36) y2 ltlt x2

(37) x1 ne x2

(38) D ( y1 y2)





















(312) x1 = x2




























(314) A ( Ef )



















































mento contro (316)










































































































sempio a (317)













(322))









logico


















(325) q lt x


(326) q ltlt x


































32









estensionalista Sia









ce









































vamente








con x o con y










































prietagrave ϕ33



reologica














(P14) A ( x)



















li i ϕminusers







O(vw)))







degli insiemi

















sizione speciale











(43)


















che sonordquo





cherdquo e









diventa




diventa

























(43)



























vago











tagrave


que vaga (da (419))


(418))





















(423) (exist y) ( y = x1 + x236) a t 1



(424) y = z1 + z2 a t 2



(425) (existw) ( w = x1 + x2) a t 2










(427) y ne w





























ontologica



scriminare tra


oggetto e se stesso


























































rale











ta la bellezza38

APPENDICE





(P1) (P3) (P4)rarr (P2)


(P1) (P3) (P5)rarr (P4)









(P4) 983080983120983097983081rarr (P5)



(P3) (P4) (P16)rarr (P5)









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82 1 pp 137-152




232













pp 201-220










146






York















tipo




(P3)





(27)




catturata










(210) y lt x






(211) q lt s

(212) s lt q








(213) q ne s













(214) q = s



























parte della casa













ca21














































le nellantecedente

























(33) y1 ltlt x1

(34) y2 ltlt x1

(35) y1 ltlt x2

(36) y2 ltlt x2

(37) x1 ne x2

(38) D ( y1 y2)





















(312) x1 = x2




























(314) A ( Ef )



















































mento contro (316)










































































































sempio a (317)













(322))









logico


















(325) q lt x


(326) q ltlt x


































32









estensionalista Sia









ce









































vamente








con x o con y










































prietagrave ϕ33



reologica














(P14) A ( x)



















li i ϕminusers







O(vw)))







degli insiemi

















sizione speciale











(43)


















che sonordquo





cherdquo e









diventa




diventa

























(43)



























vago











tagrave


que vaga (da (419))


(418))





















(423) (exist y) ( y = x1 + x236) a t 1



(424) y = z1 + z2 a t 2



(425) (existw) ( w = x1 + x2) a t 2










(427) y ne w





























ontologica



scriminare tra


oggetto e se stesso


























































rale











ta la bellezza38

APPENDICE





(P1) (P3) (P4)rarr (P2)


(P1) (P3) (P5)rarr (P4)









(P4) 983080983120983097983081rarr (P5)



(P3) (P4) (P16)rarr (P5)









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68 pp 203-211











82 1 pp 137-152




232













pp 201-220










146






York



















(210) y lt x






(211) q lt s

(212) s lt q








(213) q ne s













(214) q = s



























parte della casa













ca21














































le nellantecedente

























(33) y1 ltlt x1

(34) y2 ltlt x1

(35) y1 ltlt x2

(36) y2 ltlt x2

(37) x1 ne x2

(38) D ( y1 y2)





















(312) x1 = x2




























(314) A ( Ef )



















































mento contro (316)










































































































sempio a (317)













(322))









logico


















(325) q lt x


(326) q ltlt x


































32









estensionalista Sia









ce









































vamente








con x o con y










































prietagrave ϕ33



reologica














(P14) A ( x)



















li i ϕminusers







O(vw)))







degli insiemi

















sizione speciale











(43)


















che sonordquo





cherdquo e









diventa




diventa

























(43)



























vago











tagrave


que vaga (da (419))


(418))





















(423) (exist y) ( y = x1 + x236) a t 1



(424) y = z1 + z2 a t 2



(425) (existw) ( w = x1 + x2) a t 2










(427) y ne w





























ontologica



scriminare tra


oggetto e se stesso


























































rale











ta la bellezza38

APPENDICE





(P1) (P3) (P4)rarr (P2)


(P1) (P3) (P5)rarr (P4)









(P4) 983080983120983097983081rarr (P5)



(P3) (P4) (P16)rarr (P5)









RIFERIMENTI


Cambridge


599-621




pp 69-78



pp 581-603








221













pp 55-82












68 pp 203-211











82 1 pp 137-152




232













pp 201-220










146






York














(213) q ne s













(214) q = s



























parte della casa













ca21














































le nellantecedente

























(33) y1 ltlt x1

(34) y2 ltlt x1

(35) y1 ltlt x2

(36) y2 ltlt x2

(37) x1 ne x2

(38) D ( y1 y2)





















(312) x1 = x2




























(314) A ( Ef )



















































mento contro (316)










































































































sempio a (317)













(322))









logico


















(325) q lt x


(326) q ltlt x


































32









estensionalista Sia









ce









































vamente








con x o con y










































prietagrave ϕ33



reologica














(P14) A ( x)



















li i ϕminusers







O(vw)))







degli insiemi

















sizione speciale











(43)


















che sonordquo





cherdquo e









diventa




diventa

























(43)



























vago











tagrave


que vaga (da (419))


(418))





















(423) (exist y) ( y = x1 + x236) a t 1



(424) y = z1 + z2 a t 2



(425) (existw) ( w = x1 + x2) a t 2










(427) y ne w





























ontologica



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oggetto e se stesso


























































rale











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(P4) 983080983120983097983081rarr (P5)



(P3) (P4) (P16)rarr (P5)









RIFERIMENTI


Cambridge


599-621




pp 69-78



pp 581-603








221













pp 55-82












68 pp 203-211











82 1 pp 137-152




232













pp 201-220










146






York































parte della casa













ca21














































le nellantecedente

























(33) y1 ltlt x1

(34) y2 ltlt x1

(35) y1 ltlt x2

(36) y2 ltlt x2

(37) x1 ne x2

(38) D ( y1 y2)





















(312) x1 = x2




























(314) A ( Ef )



















































mento contro (316)










































































































sempio a (317)













(322))









logico


















(325) q lt x


(326) q ltlt x


































32









estensionalista Sia









ce









































vamente








con x o con y










































prietagrave ϕ33



reologica














(P14) A ( x)



















li i ϕminusers







O(vw)))







degli insiemi

















sizione speciale











(43)


















che sonordquo





cherdquo e









diventa




diventa

























(43)



























vago











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que vaga (da (419))


(418))





















(423) (exist y) ( y = x1 + x236) a t 1



(424) y = z1 + z2 a t 2



(425) (existw) ( w = x1 + x2) a t 2










(427) y ne w





























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oggetto e se stesso


























































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RIFERIMENTI


Cambridge


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pp 69-78



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pp 55-82












68 pp 203-211











82 1 pp 137-152




232













pp 201-220










146






York





















ca21














































le nellantecedente

























(33) y1 ltlt x1

(34) y2 ltlt x1

(35) y1 ltlt x2

(36) y2 ltlt x2

(37) x1 ne x2

(38) D ( y1 y2)





















(312) x1 = x2




























(314) A ( Ef )



















































mento contro (316)










































































































sempio a (317)













(322))









logico


















(325) q lt x


(326) q ltlt x


































32









estensionalista Sia









ce









































vamente








con x o con y










































prietagrave ϕ33



reologica














(P14) A ( x)



















li i ϕminusers







O(vw)))







degli insiemi

















sizione speciale











(43)


















che sonordquo





cherdquo e









diventa




diventa

























(43)



























vago











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que vaga (da (419))


(418))





















(423) (exist y) ( y = x1 + x236) a t 1



(424) y = z1 + z2 a t 2



(425) (existw) ( w = x1 + x2) a t 2










(427) y ne w





























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oggetto e se stesso


























































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York













































le nellantecedente

























(33) y1 ltlt x1

(34) y2 ltlt x1

(35) y1 ltlt x2

(36) y2 ltlt x2

(37) x1 ne x2

(38) D ( y1 y2)





















(312) x1 = x2




























(314) A ( Ef )



















































mento contro (316)










































































































sempio a (317)













(322))









logico


















(325) q lt x


(326) q ltlt x


































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estensionalista Sia









ce









































vamente








con x o con y










































prietagrave ϕ33



reologica














(P14) A ( x)



















li i ϕminusers







O(vw)))







degli insiemi

















sizione speciale











(43)


















che sonordquo





cherdquo e









diventa




diventa

























(43)



























vago











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que vaga (da (419))


(418))





















(423) (exist y) ( y = x1 + x236) a t 1



(424) y = z1 + z2 a t 2



(425) (existw) ( w = x1 + x2) a t 2










(427) y ne w





























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oggetto e se stesso


























































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(P4) 983080983120983097983081rarr (P5)



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RIFERIMENTI


Cambridge


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York























le nellantecedente

























(33) y1 ltlt x1

(34) y2 ltlt x1

(35) y1 ltlt x2

(36) y2 ltlt x2

(37) x1 ne x2

(38) D ( y1 y2)





















(312) x1 = x2




























(314) A ( Ef )



















































mento contro (316)










































































































sempio a (317)













(322))









logico


















(325) q lt x


(326) q ltlt x


































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estensionalista Sia









ce









































vamente








con x o con y










































prietagrave ϕ33



reologica














(P14) A ( x)



















li i ϕminusers







O(vw)))







degli insiemi

















sizione speciale











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che sonordquo





cherdquo e









diventa




diventa

























(43)



























vago











tagrave


que vaga (da (419))


(418))





















(423) (exist y) ( y = x1 + x236) a t 1



(424) y = z1 + z2 a t 2



(425) (existw) ( w = x1 + x2) a t 2










(427) y ne w





























ontologica



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oggetto e se stesso


























































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RIFERIMENTI


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146






York
























(33) y1 ltlt x1

(34) y2 ltlt x1

(35) y1 ltlt x2

(36) y2 ltlt x2

(37) x1 ne x2

(38) D ( y1 y2)





















(312) x1 = x2




























(314) A ( Ef )



















































mento contro (316)










































































































sempio a (317)













(322))









logico


















(325) q lt x


(326) q ltlt x


































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estensionalista Sia









ce









































vamente








con x o con y










































prietagrave ϕ33



reologica














(P14) A ( x)



















li i ϕminusers







O(vw)))







degli insiemi

















sizione speciale











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che sonordquo





cherdquo e









diventa




diventa

























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vago











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que vaga (da (419))


(418))





















(423) (exist y) ( y = x1 + x236) a t 1



(424) y = z1 + z2 a t 2



(425) (existw) ( w = x1 + x2) a t 2










(427) y ne w





























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oggetto e se stesso


























































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York




























(312) x1 = x2




























(314) A ( Ef )



















































mento contro (316)










































































































sempio a (317)













(322))









logico


















(325) q lt x


(326) q ltlt x


































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estensionalista Sia









ce









































vamente








con x o con y










































prietagrave ϕ33



reologica














(P14) A ( x)



















li i ϕminusers







O(vw)))







degli insiemi

















sizione speciale











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che sonordquo





cherdquo e









diventa




diventa

























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vago











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que vaga (da (419))


(418))





















(423) (exist y) ( y = x1 + x236) a t 1



(424) y = z1 + z2 a t 2



(425) (existw) ( w = x1 + x2) a t 2










(427) y ne w





























ontologica



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oggetto e se stesso


























































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York



































(314) A ( Ef )



















































mento contro (316)










































































































sempio a (317)













(322))









logico


















(325) q lt x


(326) q ltlt x


































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estensionalista Sia









ce









































vamente








con x o con y










































prietagrave ϕ33



reologica














(P14) A ( x)



















li i ϕminusers







O(vw)))







degli insiemi

















sizione speciale











(43)


















che sonordquo





cherdquo e









diventa




diventa

























(43)



























vago











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que vaga (da (419))


(418))





















(423) (exist y) ( y = x1 + x236) a t 1



(424) y = z1 + z2 a t 2



(425) (existw) ( w = x1 + x2) a t 2










(427) y ne w





























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oggetto e se stesso


























































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RIFERIMENTI


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York














(314) A ( Ef )



















































mento contro (316)










































































































sempio a (317)













(322))









logico


















(325) q lt x


(326) q ltlt x


































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estensionalista Sia









ce









































vamente








con x o con y










































prietagrave ϕ33



reologica














(P14) A ( x)



















li i ϕminusers







O(vw)))







degli insiemi

















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che sonordquo





cherdquo e









diventa




diventa

























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vago











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(418))





















(423) (exist y) ( y = x1 + x236) a t 1



(424) y = z1 + z2 a t 2



(425) (existw) ( w = x1 + x2) a t 2










(427) y ne w





























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York











































mento contro (316)










































































































sempio a (317)













(322))









logico


















(325) q lt x


(326) q ltlt x


































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estensionalista Sia









ce









































vamente








con x o con y










































prietagrave ϕ33



reologica














(P14) A ( x)



















li i ϕminusers







O(vw)))







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che sonordquo





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vago











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(423) (exist y) ( y = x1 + x236) a t 1



(424) y = z1 + z2 a t 2



(425) (existw) ( w = x1 + x2) a t 2










(427) y ne w





























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York






















mento contro (316)










































































































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logico


















(325) q lt x


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estensionalista Sia









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vamente








con x o con y










































prietagrave ϕ33



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(P14) A ( x)



















li i ϕminusers







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degli insiemi

















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che sonordquo





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(423) (exist y) ( y = x1 + x236) a t 1



(424) y = z1 + z2 a t 2



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York







































































































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(322))









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(325) q lt x


(326) q ltlt x


































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vamente








con x o con y










































prietagrave ϕ33



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(P14) A ( x)



















li i ϕminusers







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degli insiemi

















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che sonordquo





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diventa




diventa

























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vago











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(423) (exist y) ( y = x1 + x236) a t 1



(424) y = z1 + z2 a t 2



(425) (existw) ( w = x1 + x2) a t 2










(427) y ne w





























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York












































































sempio a (317)













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logico


















(325) q lt x


(326) q ltlt x


































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estensionalista Sia









ce









































vamente








con x o con y










































prietagrave ϕ33



reologica














(P14) A ( x)



















li i ϕminusers







O(vw)))







degli insiemi

















sizione speciale











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che sonordquo





cherdquo e









diventa




diventa

























(43)



























vago











tagrave


que vaga (da (419))


(418))





















(423) (exist y) ( y = x1 + x236) a t 1



(424) y = z1 + z2 a t 2



(425) (existw) ( w = x1 + x2) a t 2










(427) y ne w





























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York


















































sempio a (317)













(322))









logico


















(325) q lt x


(326) q ltlt x


































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ce









































vamente








con x o con y










































prietagrave ϕ33



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(P14) A ( x)



















li i ϕminusers







O(vw)))







degli insiemi

















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che sonordquo





cherdquo e









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diventa

























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vago











tagrave


que vaga (da (419))


(418))





















(423) (exist y) ( y = x1 + x236) a t 1



(424) y = z1 + z2 a t 2



(425) (existw) ( w = x1 + x2) a t 2










(427) y ne w





























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York



























sempio a (317)













(322))









logico


















(325) q lt x


(326) q ltlt x


































32









estensionalista Sia









ce









































vamente








con x o con y










































prietagrave ϕ33



reologica














(P14) A ( x)



















li i ϕminusers







O(vw)))







degli insiemi

















sizione speciale











(43)


















che sonordquo





cherdquo e









diventa




diventa

























(43)



























vago











tagrave


que vaga (da (419))


(418))





















(423) (exist y) ( y = x1 + x236) a t 1



(424) y = z1 + z2 a t 2



(425) (existw) ( w = x1 + x2) a t 2










(427) y ne w





























ontologica



scriminare tra


oggetto e se stesso


























































rale











ta la bellezza38

APPENDICE





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(P4) 983080983120983097983081rarr (P5)



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York

















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logico


















(325) q lt x


(326) q ltlt x


































32









estensionalista Sia









ce









































vamente








con x o con y










































prietagrave ϕ33



reologica














(P14) A ( x)



















li i ϕminusers







O(vw)))







degli insiemi

















sizione speciale











(43)


















che sonordquo





cherdquo e









diventa




diventa

























(43)



























vago











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que vaga (da (419))


(418))





















(423) (exist y) ( y = x1 + x236) a t 1



(424) y = z1 + z2 a t 2



(425) (existw) ( w = x1 + x2) a t 2










(427) y ne w





























ontologica



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oggetto e se stesso


























































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York



















(325) q lt x


(326) q ltlt x


































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estensionalista Sia









ce









































vamente








con x o con y










































prietagrave ϕ33



reologica














(P14) A ( x)



















li i ϕminusers







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degli insiemi

















sizione speciale











(43)


















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diventa

























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vago











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(423) (exist y) ( y = x1 + x236) a t 1



(424) y = z1 + z2 a t 2



(425) (existw) ( w = x1 + x2) a t 2










(427) y ne w





























ontologica



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oggetto e se stesso


























































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York

































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ce









































vamente








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reologica














(P14) A ( x)



















li i ϕminusers







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vago











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(424) y = z1 + z2 a t 2



(425) (existw) ( w = x1 + x2) a t 2










(427) y ne w





























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Cambridge


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York

















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(P14) A ( x)



















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(424) y = z1 + z2 a t 2



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(427) y ne w





























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York















































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(424) y = z1 + z2 a t 2



(425) (existw) ( w = x1 + x2) a t 2










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York






















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(424) y = z1 + z2 a t 2



(425) (existw) ( w = x1 + x2) a t 2










(427) y ne w





























ontologica



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(424) y = z1 + z2 a t 2



(425) (existw) ( w = x1 + x2) a t 2










(427) y ne w





























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vago











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(424) y = z1 + z2 a t 2



(425) (existw) ( w = x1 + x2) a t 2










(427) y ne w





























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(424) y = z1 + z2 a t 2



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(427) y ne w





























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(424) y = z1 + z2 a t 2



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(427) y ne w





























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(424) y = z1 + z2 a t 2



(425) (existw) ( w = x1 + x2) a t 2










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York



























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diventa




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vago











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(424) y = z1 + z2 a t 2



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(427) y ne w





























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(424) y = z1 + z2 a t 2



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(P1) (P3) (P4)rarr (P2)


(P1) (P3) (P5)rarr (P4)









(P4) 983080983120983097983081rarr (P5)



(P3) (P4) (P16)rarr (P5)









RIFERIMENTI


Cambridge


599-621




pp 69-78



pp 581-603








221













pp 55-82












68 pp 203-211











82 1 pp 137-152




232













pp 201-220










146






York
















(P4) 983080983120983097983081rarr (P5)



(P3) (P4) (P16)rarr (P5)









RIFERIMENTI


Cambridge


599-621




pp 69-78



pp 581-603








221













pp 55-82












68 pp 203-211











82 1 pp 137-152




232













pp 201-220










146






York














RIFERIMENTI


Cambridge


599-621




pp 69-78



pp 581-603








221













pp 55-82












68 pp 203-211











82 1 pp 137-152




232













pp 201-220










146






York






















pp 55-82












68 pp 203-211











82 1 pp 137-152




232













pp 201-220










146






York



















82 1 pp 137-152




232













pp 201-220










146






York



















146






York














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