Control Analogo-libro de Texto

FACULTAD DE INGENIERA MECATRNICA

ISEO Y JUSTE DE EGULADORES NALGICOSAutor:

Ph.D.Dr.Sc.Ing. Antonio Faustino Muoz Moner

Diseo y Ajuste de Reguladores Analgicos

TABLA DE CONTENIDO:DISEO Y AJUSTE DE REGULADORES ANALGICOS ........................................................2 1.1 INTRODUCCIN .............................................................................................................................2 1.2 DISEO DE REGULADORES POR MTODOS PTIMOS ......................................................................2 1.2.1 Clculo de reguladores por el mtodo Modulo Optimo (O2)...............................................5 1.2.2 Casos prcticos de sistemas regulados mediante Modulo Optimo (O2) ..............................7 1.2.2.1 Sistema con un retardo de primer orden .........................................................................7 1.2.2.2 Sistemas con dos retardos de primer orden ....................................................................7 1.2.2.3 Sistema con tres retardos de primer orden......................................................................7 1.2.3 Clculo de reguladores con el mtodo Optimo Lineal (OL).................................................8 1.2.4 Observaciones sobre los ajuste al mdulo ptimo y al ptimo lineal...................................9 1.2.5 Clculo de reguladores mediante el ajuste Optimo Simtrico (O3) .....................................9 1.2.6 Casos prcticos de sistemas controlados mediante ajuste ptimo simtrico .....................11 1.2.6.1 Sistema con una accin integral y un retardo de primer orden.....................................11 1.2.6.1 Sistema con una accin integral y dos retardos primer orden ......................................12 1.2.7 Alisamiento de la referencia ...............................................................................................12 1.2.8 Clculos de reguladores para sistemas con dos bloques de primer orden (T1 > 4 ) .........15

1.2.9 Clculo de reguladores para sistemas con tres bloques de primer orden..........................17 1.2.10 Sistema equivalente a lazo cerrado de un lazo controlado...............................................17 1.2.11 Influencia de las perturbaciones.......................................................................................18 1.2.12 Ejemplo de anlisis y diseo .............................................................................................20 Ejemplo 1: Diseo y Anlisis por los mtodos Modulo Optimo y Optimo Lineal. .................20 Ejemplo 2: Diseo y Anlisis por el mtodo Optimo Simtrico ..............................................22 1.3 DISEO POR EL MTODO DE REPUESTA DE FRECUENCIA .............................................................26 1.3.1 Mtodo de diseo ................................................................................................................26 1.3.2 Ejemplo de anlisis y diseo ...............................................................................................28 Ejemplo 1: Anlisis de los indicadores de frecuencia de un diseo de sistema de control. .....28 Ejemplo 2: Diseo de sistema de control por el mtodo de la respuesta de frecuencia. ..........30 1.4 DISEO DE REGULADORES POR LOS MTODOS DE ZIEGLER NICHOLS ......................................32 1.5 DISEO DE REGULADORES PARA SISTEMAS DE PRIMER ORDEN CON RETARDO DE TIEMPO ..........33 1.6 CONCLUSIONES ..........................................................................................................................35 1.7 BIBLIOGRAFA ............................................................................................................................36-1-


Diseo y Ajuste de Reguladores Analgicos1.1 Introduccin La funcin de los ingenieros de control es elegir y ajustar los sistemas controlados de forma que proporcionen una variable correctora que resulte adecuada para llevar a la variable controlada x con la mxima rapidez, la mxima exactitud y el mnimo de oscilaciones posibles al valor original despus de que se halla producido una modificacin de la variable perturbadora z o al nuevo valor que le corresponda como consecuencia de una variacin de la variable de referencia x ref .

El comportamiento ideal del lazo de control se alcanza, por tanto, cuando el sistema controlador llega a reaccionar tan rpidamente que la variable controlada x no resulta influida por una modificacin de la variable perturbadora z o sigue sin retarde y sin ninguna tendencia a la oscilacin, a una modificacin de la variable de referencia x ref . Sin embargo, el efecto de retardo debido al sistema controlado impide que llegue alcanzarse este comportamiento ideal. En la prctica ha de determinarse, para un sistema controlado dado, el controlador que resulta ms apropiado y que presenta la mejor respuesta temporal para minimizar, de esta forma, dicho efecto de retardo. Este proceso se denomina optimizacin. En la prctica no resulta posible estudiar el comportamiento de los lazos de control empleando perturbaciones reproducibles. Para ello habitualmente se evala su comportamiento considerando la respuesta que presentan frente a un escaln de la variable de referencia. Aunque en realidad tienen mucha ms importancia la respuesta de la variable controlada frente a una modificacin de la variable perturbadora, el conocimiento de las relaciones existentes en un lazo de control dado permite reconocer que su optimizacin es correcta considerando nicamente la respuesta de la variable controlada frente a un escaln de la variable de referencia.1.2 Diseo de reguladores por mtodos ptimos Para la implementacin fsica total de los sistemas de control, se determina las caractersticas del regulador a emplear. Dada la variacin de los parmetros del sistema y al no perfecto conocimiento de algunos de ellos, no normal es aproximar el orden de magnitud de los parmetros del regulador y realizar su ajuste con todo el equipo montado para obtener una respuesta satisfactoria. Dado que no necesitamos una gran precisin y exactitud en el clculo del regulador, esto puede hacerse para sistemas sencillos, en base a unos criterios de respuesta dinmica preestablecida, de forma muy sencilla. A continuacin se realizan estos criterios y los sistemas a los cuales son aplicables. En la figura 1.1 se representa el sistema a controlar, sobre el que pueden definirse los siguientes parmetros.

Fig. 1.1 Estructura general de un lazo controlado y seal de perturbadora Z.

-2-


Funcin transferencia en lazo abierto:Z 0 (s) N 0 (s) Funcin de transferencia de la salida respecto a la entrada referencia: F0 ( s ) = R( s ) F1 ( s ) F2 ( s ) =F ( s) = X ( s) Xref ( s ) =z =0

(1.1)

F0 ( s ) 1 + F0 ( s )

(1.2)

Funcin de transferencia de la salida respecto a la entrada de perturbacin:Fz ( s ) = X (s) Z (s) =Xref = 0

F2 ( s ) F (s) = 1 + F0 ( s ) R( s ) F1 ( s )

(1.3)

La salida total del sistema es: X (s ) = Fz ( s ).[Xref .R( s ) F1 ( s ) + Z ( s )]

(1.4)

El clculo de los parmetros del regulador va a establecer en base a unas suposiciones, las cuales son bastante aceptables en condiciones normales y aplicables a sistemas en donde se utiliza una mquina elctrica con una carga mecnica. Estas suposiciones son: El regulador siempre va a llevar una accin integral para anular errores en rgimen permanente. Como mximo vamos a poner una estructura de regulador PID. Los bloques constituyentes del sistema pueden considerarse, o como bloques de primer orden, o bloques de ganancia. En consecuencia, la estructura de los reguladores que se van a utilizar son: Regulador I: Regulador PI:Regulador PID:D (s ) = 1 s Ti

(1.5)(1.6) (1.7)

D (s ) = K r D (s ) = K r

1 + Tn s 1 = K c 1 + T s Tn s i

(1 + Tn s )(1 + Tv s )Tn s

1 = Kc 1 + Td s + Ti s

Antes de comenzar con la explicacin de los mtodos empleados conviene realizar una aclaracin sobre sistemas de primer orden aproximables por uno constante de tiempo equivalente. A este respecto podemos decir lo siguiente: Un sistema con una accin integral y varios bloques de primer orden puede sustituirse por un sistema con la accin integral y un bloque con una constante de tiempo equivalente, suma de las anteriores. En la figura 1.2 est representada esta equivalencia.

-3-


Fig. 1.2 Equivalencia de varios bloques de primer orden y accin integral

Donde cada una de los bloques viene dado por: 1 1 + Ti s

(1.8)

y el sistema equivalente por: 1 (1.9) Ti s (1 + s ) Siendo = ti (1.10) Y 20

(1.60) (1.61) (1.62) (1.63)

(1.64)

- 11 -

Diseo y Ajuste de Reguladores Analgicos 1.2.6.1 Sistema con una accin integral y dos retardos primer orden

Fig. 1.13 Estructura de control para un sistema con un integrador y dos retardos.

El sistema a controlar es: Ks (1.65) To s (1 + T2 s ) (1 + s ) Puesto que tenemos un polo dominante T0 , podemos compensar T2 , para lo cual empleamos un regulador PID y obteniendo en lazo abierto la funcin (1.55), si: TV = T2 (1.66) En consecuencia: Tn = 4 (1.67) Y: T Kr = o (1.68) 2 K s Estando determinado el comportamiento en lazo cerrado mediante (1.53) con: = (1.69)1.2.7 Alisamiento de la referencia Puede evitarse la sobreoscilacin en lazo cerrado de los sistemas calculados mediante ajuste a ptimo simtrico (O3), y en general cualquier sistema con una respuesta en lazo cerrado dado por una funcin del estilo de la (1.53), metiendo un retardo en la cadena de la seal de referencia, como puede verse en la figura 1.14.

Fig. 1.14 Estructura de alisamiento de la referencia.

La funcin de transferencia en este retardo es: 1 1 + tg s

(1.70)

Siendo, para el caso del mtodo ptimo simtrico (O3), y para compensar el cero original: t g = Tn = 4 (1.71) Obteniendo en lazo cerrado la funcin de transferencia original (1.53), que reproducimos nuevamente: 1 FLC = (1.72) 1 + 4 s + 8 2 s 2 + 8 3 s 3- 12 -


Los parmetros tpicos de esta respuesta son: Tiempo de subida: t r = 7.6 Tiempo establecimiento: t s = 13.3 Sobreoscilacin: M p = 8.1 % La respuesta ante escaln puede verse en la figura 1.15.

Fig. 1.15 Respuesta ante escaln de un sistema regulado con O3, alisada la referencia

La obtencin prctica de este bloque es fcil realizarla mediante el circuito de la figura 1.16 en la cual:tg = R1 R2 R1 + R2 C

(1.73)

Fig. 4.16 Realizacin prctica del circuito de alisamiento de referencia

Y para ganancia =1 debemos poner: R1 + R2 = Rs = R f

(1.74)

- 13 -


Para el caso general, la constante t g debe compensar la constante del cero que aparece en lazo cerrado. Podemos obtener una respuesta ms rpida y menos sobreoscilatoria, en el caso de que sea necesario, si derivamos en paralelo la seal de referencia con el diagrama representado en la figura 1.17

Fig. 1.17. Estructura de alisamiento y derivacin de la referencia.

Para este esquema, la respuesta en lazo cerrado es: 1 + (1 + ) st d + t g t d s 2 1 + 4 s FLC = * (1 + t g s )(1 + t d s ) (1 + 2 s )(1 + 2 s + 4 2 s 2 )La constante tg la ponemos para que compense el cero original: t g = 4 Mediante el trmino: 1 + (1 + ) st d + t g t d s 2 Compensamos: 1 + 2 s + 4 2 s 2 Y obtenemos:td =

(1.75)

(1.76) (1.77) (1.78) (1.79) (1.80)

=1 La realizacin de estos bloques es fcil con el circuito de la figura 1.18.

Y:

Fig. 1.18 Realizacin prctica del circuito de alisamiento y derivacin de la referencia.

Para este circuito se cumple que: R + R2 = 1 Rp- 14 -

(1.81)


R1 R2 (1.82) C R1 + R2 td = R p C p (1.83) En el caso de haber diseado el regulador con el mtodo O3 tras el alisamiento y diferenciacin de la consigna, obtenemos una respuesta en lazo cerrado, dada por: 1 FLC = (1.84) 1 + 3s + 2 2 s 2 La respuesta ante escaln puede verse en la figura 1.19. tg =

Fig. 1.19 Respuesta ante escaln de un sistema ajustado ptimo simtrico, con la referencia aislada y derivada

1.2.8 Clculos de reguladores para sistemas con dos bloques de primer orden (T1 > 4 )

En la figura 1.20 se representa la estructura tpica de este tipo de sistemas.

Fig. 1.20 Estructura de control de un sistema de control de dos bloques de primer orden

En el caso de que T1 > 4 , pero T1 < 20 , no podemos aplicar ni el mtodo de mdulo ptimo (O2) ni el mtodo ptimo simtrico (O3) directamente. Sin embargo, s pueden situarse los polos del sistema en lazo cerrado, en la misma posicin que para el caso ptimo simtrico. Utilizando un regulador PI, la funcin de transferencia en lazo abierto es: K R K s (1 + sTn ) FLA = (1.85) sTn (1 + T1 s )(1 + s ) En lazo cerrado, la funcin de transferencia ser: K R K s (1 + Tn s ) FLC = (1.86) K R K s + sTn ( K R K s + 1) + s 2 Tn (T1 + ) + s 3Tn T1

- 15 -


Pudiendo estructurarlo como: (1.87) T1 1 T1 + 2 3 1 + T n 1 + K K s + K K Tn s + K K Tn s R s R s R s Identificando el denominador de (1.87) con el de (1.50), podemos situar los polos en la posicin del ptimo simtrico. Tras esta identificacin obtenemos: 1 Tn 1 + (1.88) = 4 Kr Ks T1 + = 8 2 Kr Ks T Tn 1 = 8 3 Kr Ks De donde extraemos los valores correspondientes al regulador Tn 1+ T 12

FLC =

1 + Tn s

(1.89) (1.90)

1 + T 1 2 T1 1 + Kr = (1.92) 2 K s t T1 2 La respuesta en lazo cerrado es, entonces: 1 + Tn s FLC = (1.93) 1 + 4 s + 8 2 s 2 + 8 3 s 3 Siendo: T = 1 (1.94) T1 + En este caso, y dependiendo de la relacin entre T1 y 4 , obtenemos un sistema con una respuesta del estilo de la obtenida en el ptimo simtrico, pero menos sobreoscilatoria. Puede realizarse un alisamiento en la consigna para anular el cero, con una constante de alisamiento: 1+ T 12

Tn = 4

3

(1.91)

(1.95) 3 1 + T 1 Y en el caso de dar ms rapidez al sistema, podemos derivar la consigna al mismo tiempo, con una constante de tiempo dada por las mismas condiciones que en (1.79). T td = = 1 T1 + (1.96)

t g = Tn = 4

- 16 -

Diseo y Ajuste de Reguladores Analgicos 1.2.9 Clculo de reguladores para sistemas con tres bloques de primer orden La estructura de este tipo de sistema puede verse en la figura 1.21.

Fig. 1.21 Estructura de control de un sistema de tres bloques de primer orden

En l se cumple que: T1 > T2 > Y: T1 > 4

(1.97) (1.98)

Empleando un regulador PID podemos compensar la constante de tiempo T2 y reducir el sistema al clculo de uno con dos bloques de primer orden y un regulador PI, realizado anteriormente en 1.2.7 si, Tv = T2 (1.99) En el regulador, la funcin en lazo abierto queda como: K r K s (1 + Tn s ) FLA = sTn (1 + T1 s ) (1 + s ) Coincidente con la expresin (1.84).1.2.10 Sistema equivalente a lazo cerrado de un lazo controlado Los lazos anteriores pueden actuar en ocasiones subordinados a otros lazos, que en general deben de ser ms lentos. En estos casos, puede sustituirse el lazo de control estudiado mediante un sistema equivalente de primer orden, con una funcin de transferencia: 1 G LC (s ) = (1.101) 1 + te s

(1.100)

La constante de tiempo equivalente te puede sustituirse por el trmino en s de las respuestas del lazo cerrado de los sistemas estudiados, as que:Tabla 1.1: Sistemas equivalentes en lazo cerrado

Mtodo tc

O22

OL4

O34

O3 Alis.4

O3 Alis. Y Deriv.4

O3

4

T1 T1 +

Condicin < T1 < 4

< T1 < 4

T1 > 20

T1 > 20

T1 > 20

4 < T1 < 20

- 17 -


Prcticamente, no hay problema en asumir este comportamiento equivalente, pues todos los sistemas responden en lazo cerrado con poca sobreoscilacin. En todo caso, sera necesario comprobar la validez para el caso de haber regulado el sistema mediante O3 sin alisamiento en la referencia.1.2.11 Influencia de las perturbaciones. El clculo de los reguladores realizados se ha enfocado con respecto a la variable de referencia. En un sistema real pueden aparecer perturbaciones en el sistema. El comportamiento del sistema entre ellas puede ser deducido de las funciones de transferencia del lazo de control de la figura 1.1 La funcin de transferencia entre salida y variable perturbadora viene dada por la ecuacin (1.3), pudindose poner el lazo de control en la forma indicada en la figura 1.22, considerando entrada al sistema de perturbacin y entrada de referencia nula. En la figura 1.23 aparecen las respuestas ante un escaln en la referencia y en la perturbacin para el sistema representado en la misma y suponiendo que se ha calculado los reguladores con los mtodos anteriormente expuestos.

Con el tipo de sistemas estudiados, los cuales corresponden a los tipos de sistemas a que dan lugar los esquemas de regulacin anteriormente estudiados, podemos enunciar lo siguiente: = El clculo mediante el Optimo Lineal, solo tiene sentido en aquellos casos en los que desean eliminarse las sobreoscilaciones de la respuesta del sistema ante escalones en la variable de referencia, y la correccin de las perturbaciones es secundaria, pues, con este mtodo, ante una perturbacin el sistema responde con una relativa gran ganancia y una relativa gran lentitud. El clculo mediante el Modulo Optimo, que permite una respuesta muy satisfactoria ante la referencia, presenta una correccin de la perturbacin excesivamente lenta, aunque con una relativa pequea ganancia respecto a esa variable. El clculo mediante el Optimo Simtrico, el cual no es conveniente emplear inmediatamente siendo necesario un alisamiento de la seal de referencia, corrige muy rpidamente el efecto de la perturbacin. Esta es la principal ventaja ofrecida por este mtodo, y por ello los sistemas con dos bloques de primer orden con T1 > 4 se calcula situando los polos en la posicin indicada en la figura (4.10). Siempre que sea posible, y una caracterstica prioritaria del lazo de control sea anular las perturbaciones, hemos de emplear este mtodo.

=

=

Fig. 1.22 Estructura para el estudio del sistema ante perturbaciones

- 18 -


Fig. 1.23 Respuesta en escaln ante perturbacin y referencia de un sistema regulado mediante OL, O2, O3, y O3L (O3 alisado)

- 19 -

Diseo y Ajuste de Reguladores Analgicos 1.2.12 Ejemplo de anlisis y diseo Ejemplo 1: Diseo y Anlisis por los mtodos Modulo Optimo y Optimo Lineal. 1 Disear un regulador para el sistema (0.5 s + 1)(s + 1)

Para solucionar el problema planteado, primeramente analizamos la funcin de transferencia, de la que extraemos por simple inspeccin que es de segundo orden, ya que est formada por dos bloques de retardo de 1er orden, adems la menor constante de tiempo = 0.5 seg y T1 = 1 seg la restante, adems la ganancia del sistema es K s = 1 . Diseo por el Mtodo Modulo Optimo Para disear el regulador por el mtodo Modulo Optimo, como el sistema es de segundo orden entonces el regulador a escoger sera un PI, cuyos parmetros se determinan por la primera fila de la tabla resumen del anexo 1, obteniendo: Tn = T1 = 1 seg T1 1 = =1 2 K s 2 1 2,5 Por lo que la funcin de transferencia del regulador ser: T s + 1 D (s ) = K r n Tn s Kr =D (s ) = s +1 s

Los indicadores de la respuesta transitoria, estarn dados porque = = 0.5 seg . M p = 4.3 %

Ts = 8.4 = 8.4 = 8.4 0.5 = 4.2 seg Tr = 4.7 = 4.7 0.5 = 2.35 seg Dichos resultados se puede comprobar por los resultados de la simulacin.

- 20 -


Regulador con ajuste O2 1.4

1.2

1

0.8 a d i l a S

0.6

0.4

0.2

0

0

1

2

3

4

5 6 Tiempo [seg]

7

8

9

10

Diseo por el Mtodo Optimo Lineal Para disear el regulador por el mtodo Optimo Lineal, como el sistema es de segundo orden entonces el regulador a escoger sera un PI, cuyos parmetros se determinan por la segunda fila de la tabla resumen del anexo 1, obteniendo: Tn = T1 = 1 seg T1 1 = = 0.5 4 K s 4 1 2,5 Por lo que la funcin de transferencia del regulador ser: Kr = s + 1 D ( s ) = 0 .5 s

Los indicadores de la respuesta transitoria, estarn dados porque = = 0.5 seg . M p = 0% Ts = 11.7 = 11.7 = 11.7 0.5 = 5.8 seg Dichos resultados se puede comprobar por los resultados de la simulacin.

- 21 -


Regulador con ajuste OL 1.5

1

a d i l a S 0.5

0

0

1

2

3

4

5 6 Tiempo [seg]

7

8

9

10

Ejemplo 2: Diseo y Anlisis por el mtodo Optimo Simtrico 1 Disear un regulador para el sistema s (s + 1) Para solucionar el problema planteado, primeramente analizamos la funcin de transferencia, de la que extraemos por simple inspeccin que es de segundo orden, ya que est formada por un integrador puro y un bloque de retardo de 1er orden. Los parmetros seran To = 1 seg y = 1 seg , adems la ganancia del sistema es K s = 1 .

Ajuste por el Mtodo Optimo Simtrico Para disear el regulador por el mtodo Optimo Simtrico, como el sistema es de segundo orden entonces el regulador a escoger sera un PI, cuyos parmetros se determinan por la tercera fila de la tabla resumen del anexo 1, obteniendo:

- 22 -


Tn = 4 = 4 seg Kr = T0 1 = = 0.5 2 K s 2 1 1

T s + 1 4 s + 1 D (s ) = K r n = 0.5 4s Tn s Para el comportamiento: = M p = 43.4 %Ts = 16.5 = 16.5 = 16.5 seg Tr = 3.1 = 3.1 = 3.1 seg Dichos resultados se puede comprobar por los resultados de la simulacin.

Regulador con ajuste O3 1.5

1

a d i l a S 0.5

0

0

5

10

15 Tiempo [seg]

20

25

30

- 23 -


Ajuste Optimo Simtrico con filtrado de la referencia En este caso, como en el siguiente el ajuste del regulador es el mismo, slo que se le aade un prefiltro con el objetivo de alisar la referencia, a travs de un bloque de primer orden, limitando que esta vare bruscamente. Para disear el prefiltro Tg = Tn = 4 = 4 1 = 4 seg Bloque de alisamiento 1 1 = T g s + 1 4 s + 1 Para el comportamiento = M p = 8.1 % t s = 13.3 = 13.3 seg t r = 7.6 = 7.6 seg Dichos resultados se puede comprobar por los resultados de la simulacin.

Regulador con ajuste O3 con alisamiento 1.5

1

a d i l a S 0.5

0

0

5

10

15 Tiempo [seg]

20

25

30

- 24 -


Ajuste Optimo Simtrico con filtrado y derivacin de la referencia. En este caso, como en el anterior el ajuste del regulador es el mismo, slo que se le aade adems del prefiltro con el objetivo de alisar la referencia un bloque de derivacin junto con el prefiltro en la misma referencia Para el bloque de derivacin Td = = = 1 seg Bloque de derivacin: td 1 = td s + 1 s + 1 Para el comportamiento = M p = 0%t s = 9.2 = 9.2 = 9.2 seg Dichos resultados se puede comprobar por los resultados de la simulacin.

Regulador con ajuste O3 con alisamiento y derivacin 1.5

1

a d i l a S 0.5

0

0

5

10

15 Tiempo [seg]

20

25

30

- 25 -


1.3 Diseo por el mtodo de repuesta de frecuencia 1.3.1 Mtodo de diseo Este es uno de los mtodos ms empleados en el diseo de reguladores por su relativa sencillez, como se mostrar a continuacin. Para este tipo de diseo los indicadores del proyecto son la frecuencia de cruce por cero del diagrama de Bode de amplitud c y el margen de fase . Sobre la correlacin entre respuesta transitoria escaln y respuesta de frecuencia queda claro que el parmetro c determina la rapidez de la respuesta y el segundo , que determina directamente la sobreregulacin (sobreimpulso mximo) y la estabilidad relativa y tambin influye tambin en el tiempo de respuesta. Con referencia a este ltimo indicador, existen varios criterios de diseo, pero deben de estar en un rango de 30 a 60.

Para un sistema de control en lazo cerrado como muestra la figura:

Fig. 1.24 Sistema en lazo cerrado.

Donde R(s) y C(s) son las seales de entrada y salida respectivamente, Gp(s) es la funcin de transferencia de la planta, H(s) es la funcin de transferencia de la realimentacin y D(s) es la funcin de transferencia del regulador a disear. Para realizar el mtodo, primeramente se determina la funcin de transferencia del sistema del sistema completo en lazo abierto, sin incluir al regulador, como sigue: G (s ) = Gp(s ) H (s ) Luego, con el parmetro de diseo de la frecuencia de cruce c . Se sustituye en G(s), el operador de Laplace s por j c , obteniendo G ( j c ) que un nmero complejo. Del cual se determina el mdulo (valor absoluto) G ( j c ) y el ngulo (argumento) Arg [G ( j c )] . Conociendo que G LA ( j c ) = 1 (ya que log10G LA ( j c ) = 0 ) y = 180 + , se obtiene: Arg [G LA ( j 500)] = = 180 G LA ( j 500) = 1

Y como G LA (s ) = D(s ) G (s ) , entonces: G LA ( j c ) D ( j c ) = G ( j c )

Arg D( j c ) = Arg G LA ( j c ) Arg G ( j c )

- 26 -


s Arg D( j c ) < 0 o sea negativo, habra que implementar un regulador PI. Esta conclusin se puede inferir de las funciones de transferencias de ambos reguladores, cuando se analizan en el dominio de la frecuencia D( j c ) , pues cuando el regulador es PD, D(s ) = K c (1 + Td s ) = P + sD , siendo D( j c ) = P + j c D , que es un nmero complejo con argumento positivo, mientras si el regulador fuera PI, entonces D(s ) = K c (1 + 1 Ti s ) = P + I s por

Este resultado constituye la representacin polar del nmero complejo que representa el regulador para la frecuencia de cruce c , pero realmente lo que nos resulta de inters es su representacin polar para poder conformar la funcin de transferencia del regulador. S Arg D( j c ) > 0 o sea positivo, el regulador a implementar es un regulador con estructura PD y

lo que D( j c ) = P + I j c = P j I c , que es un nmero complejo con argumento negativo. Para obtener un accin PID habra que entrar en algn compromiso entre las accin I y D, pues ambas acciones en el dominio de la frecuencia se pueden combinarse en una sola, pues corresponden a los trminos imaginarios de la funcin de transferencia del regulador en el dominio de la frecuencia.En el caso que Arg D( j c ) > 0 , el regulador sera PD y se determinara de la siguiente forma: Como D( j c ) = P + j c D D ( j c ) = P + ( j c D )

Arg D( j c ) = tan 1 [( c D ) P ]

De aqu que convirtiendo de notacin rectangular a polar, P = D( j c ) cos [Arg ( D( j c ) )]

c D = D( j c ) sen [Arg ( D( j c ) )]

De esta ltima expresin se obtiene, el trmino derivativo, D( j c ) sen [Arg ( D( j c ) )] D= cEn el caso que Arg D( j c ) < 0 , el regulador sera PI y se determinara de la siguiente forma:

Como D( j c ) = P jD ( j c ) = P j

I c

I c

I Arg D( j c ) = tan 1 P c De aqu que convirtiendo de notacin rectangular a polar, P = D( j c ) cos [Arg ( D( j c ) )]I = D( j c ) sen [Arg ( D( j c ) )] c

De esta ltima expresin se obtiene, el trmino integral,I = c D( j c ) sen [Arg ( D( j c ) )]- 27 -


Finalmente la funcin de transferencia del regulador obtenido, que logra los indicadores del proyecto a partir del procedimiento desarrollado, resultara al sustituir los parmetros antes determinados P, I o D segn corresponda en la funcin de transferencia del regulador.1.3.2 Ejemplo de anlisis y diseo Ejemplo 1: Anlisis de los indicadores de frecuencia de un diseo de sistema de control. Segn el siguiente servomecanismo de posicin, formado por un motor de CD (MOTOR), convertidor (AMP) y una computadora digital que integra un conversor digital anlogo (DAC), retenedor de orden cero (ZOH), encoder como sensor de posicin (ENCODER) y por un regulador digital (FILTRO DIGITAL).

Fig. 1.25 Elementos de un sistema de control de posicin con motor de CD

Determinando las funciones de transferencia de cada uno de los bloques anteriores:

(s ) K t 500 = = 2 , ya que J = 2.10 4 Nm y K t = 0.1 I (s ) J s 2 s Convertidor: K c = 4 A/V Conversor Anlogo Digital: 10 K DAC = = 0.0012 V/pulsos 8192 Encoder: 4N K enc = = 318 pulsos/rad, ya que N = 500 pulsos 2 Retenedor de Orden Cero: 1 2000 ZOH (s ) = = , ya que T = 1 ms = 0.001 seg T (s + 2000 ) 1 + s 2 Filtro digital: De forma general I C Ki PID(s ) = D(s ) = P + D s + , donde P = [K (1 A)] = Kp , D = [T K A] = T Kd , I = = s 8T T Para este caso particular el anlisis se hace para un diseo de un regulador PD con los siguientes datos Kp = 12.5 , Kd = 245 y por tanto Ki = 0 , y adems T = 0.001 seg , por lo tanto: D(s ) = 12.5 + 0.245 s = 0.245 (s + 51)M (s ) =- 28 -

Motor:


Con las funciones de transferencia de cada unos de los bloques, implicados en este sistema de control, podemos determinar la funcin de transferencia en lazo abierto, para luego conducir el anlisis del sistema en el dominio de la frecuencia. Por lo que el sistema de control resultante a analizar sera el siguiente:

Fig. 1.26 Diagrama en bloque del sistema de control en lazo cerrado del ejemplo 1

G LA (s ) = D(s ) ZOH (s ) K DAC K c M (s ) K enc 2000 500 G LA (s ) = [ 0.245(s + 51)] [0.0012] [4] 2 [318] s (s + 2000) s + 51 G LA (s ) 390 000 2 s (s + 2000)

Confeccionando el diagrama de Bode de amplitud de la funcin de transferencia anterior, obtenemos el siguiente resultado:Diagrama de Bode de Amplitud 80

60

40

] B d [ d u t i n g a M

20

0

-20

-40

-60 0 10

10

1

50

200 10 W [rad/s]

2

10

3

2000

10

4

Fig. 1.27 Diagrama de Bode de amplitud de

G LA (s )

Del cual se puede obtener la frecuencia de cruce por cero que sera c = 200 rad / seg

- 29 -


= Arg [G LA ( j 200)] = tan 1 (200 51) 180 tan 1 (200 2000) = 76 180 6 = 110 Como el margen de fase por es = 180 + , para este caso obtenemos = 70 . De lo que podemos concluir, que como el margen de fase es positivo el sistema es estable (ya que el margen de ganancia lo es tambin). Sin embargo, es un sistema muy amortiguado por el alto valor del margen de fase, que resulta en un sistema con una respuesta lenta. Lo recomendable fuera que este valor estuviera entre 30 y 45. Para lograr esto ltimo habra que redisear el filtro digital para obtener mejores indicadores en la respuesta. Esto se logra calculando segn el margen de fase y la frecuencia de cruce deseados, los nuevos parmetros del regulador. A continuacin se muestra un ejemplo de clculo semejante para ilustrar el procedimiento.

Sustituyendo s por j c , determinando el argumento del nmero complejo resultante y por tanto la fase de dicha funcin de transferencia a lazo abierto obtenemos: j 200 + 51 G LA ( c ) = G LA ( j 200) = 390 000 2 ( j 200) ( j 200 + 2000)

Ejemplo 2: Diseo de sistema de control por el mtodo de la respuesta de frecuencia. Para este ejemplo vamos a calcular un regulador para el mismo sistema de la figura 1.25. Pero en este caso las funciones de transferencia seran: Motor: K 1000 M (s ) = t2 = 2 , ya que J = 2.10 4 Nm y K t = 0.2 Js s Convertidor: K c = 8 A/V Conversor Anlogo Digital: 10 K DAC = = 0.0012 V/pulsos 8192 Encoder: 4N K enc = = 636 pulsos/rad, ya que N = 1000 pulsos 2 Retenedor de Orden Cero: 1 2000 = ZOH (s ) = , ya que T = 1 ms = 0.001 seg T (s + 2000 ) 1 + s 2 Filtro digital: D (s ) = P + D s Resultando en el siguiente en el siguiente diagrama en bloques:

Fig. 1.28 Diagrama en bloque del sistema de control en lazo cerrado del ejemplo 1

- 30 -


El prximo caso sera combinar todas las funciones de transferencia para determinar la funcin de transferencia resultante en lazo abierto:G LA (s ) = D(s ) G (s ) Donde: G (s ) = ZOH (s ) K DAC K c M (s ) K enc12 700 000 2000 1000 G (s ) = [0.0012] [8] 2 [636] = 2 s (s + 2000 ) s (s + 2000 )

s 2 (s + 2000) Para este caso los parmetros de diseos especificados son c = 500 rad / seg y un margen de fase de = 45 . Sustituyendo s por j c obtenemos un nmero complejo: G ( j c ) = G ( j 500) =

G (s )

12.7 10 7

( j 500)2 ( j 500 + 2000)

12.7 10 7

Del cual determinando el mdulo (valor absoluto): G ( j 500) = 0.025 Y determinando el argumento: = Arg [G ( j 500 )] = 180 tan 1 (500 2000 ) = 194 Conociendo que G LA ( j c ) = 1 y = 180 + , obtenemos:Arg [G LA ( j 500 )] = = 180 = 135 o

G LA ( j 500) = 1

Y como G LA (s ) = D(s ) G (s ) G LA ( j 500 ) 1 D( j 500 ) = = = 40 G ( j 500 ) 0.025

Arg D( j 500 ) = Arg G LA ( j 500) Arg G ( j 500) = 135 194 = 59

Este resultado constituye la representacin polar del nmero complejo que representa el regulador para la frecuencia de cruce de 500 rad/seg, pero realmente lo que nos resulta de inters es su representacin polar para poder conformar la funcin de transferencia del regulador: Como el argumento es positivo el regulador a emplear sera un PD, por lo que, D(s ) = P + sD Por lo tanto: D( j 500) = P + ( j 500 D ) = 40

Arg D( j 500) = tan 1 [500 D P ] = 59- 31 -


De aqu que convirtiendo de notacin rectangular a polar, P = 40 cos 59 = 20.6 500 D = 40 sen 59 = 34.3 D = 0.0686 Finalmente la funcin de transferencia del regulador obtenido que logra los indicadores de c = 500 rad / seg y = 45 a partir de este procedimiento desarrollado sera:D(s ) = 20.6 + 0.0686s D(s ) = 20.6 (1 + 0.00333s )

1.4 Diseo de reguladores por los mtodos de Ziegler Nichols Estos mtodos fueron introducidos por sus autores (J.G. Ziegler y N.B. Nichols) en el ao 1942. Es el mtodo ms empleado en los ajustes de los sistemas de control de procesos, aunque no da un ajuste ptimo, pero posee un sencillo procediendo de ajuste con relativamente buenos resultados. El primer mtodo obtiene los parmetros de ajuste a partir de la respuesta antes un escaln unitario en la referencia, del sistema en lazo abierto. A partir de esta respuesta, sin inclusive conocer el modelo matemtico de la planta, la respuesta experimental da los parmetros para poder determinar Kc, Ti y Td del regulador PID desacoplado. (Teniendo la limitante que el sistema no debe de tener ni integradores ni polos complejos conjugados). El segundo mtodo en lazo cerrado, primeramente se establece Ti= y Td=0, aumentando solamente la accin proporcional (Kc) hasta que la respuesta sea oscilatoria sostenida. Este valor se conoce como ganancia crtica (Kccr), y al perodo de oscilaciones (Pcr). Estos valores pueden ser determinados experimentalmente si no se conoce el modelo matemtico de la planta o analticamente si se conoce. Adems, es importante sealar que de los dos mtodos, para la misma planta el que mejores resultados genera es el segundo mtodo.Tabla 1.2: Ajuste Ziegler - Nichols por el segundo mtodo

Regulador P PD PI PID

Kp

Ti

Td

0.5 Kccr 0.6 Kccr 0.45 Kccr 0.6 Kccr

Pcr/ 1.2 Pcr/ 2

0Pcr/ 8

0Pcr/ 8

- 32 -


1.5 Diseo de reguladores para sistemas de primer orden con retardo de tiempo La determinacin de los parmetros de ajuste del algoritmo PID en controladores continuos puede realizarse de varias formas distintas, como las ilustradas anteriormente. Otro mtodo en que se obtienen buenos resultados se basa en la seleccin de dichos parmetros a partir de la minimizacin de los ndices de comportamiento basados en funciones integrales del error.ISE = e 2 dt0

IAE =

e t dt0

ITAE =

e t dt0

Este mtodo se aplica cuando el sistema controlado puede representarse satisfactoriamente como un K e sL . sistema de primer orden con un retraso puro, o sea, de funcin transferencia G (s ) = Tf s +1

(

)

Este mtodo fue desarrollado inicialmente para controladores continuos con diagramas de bloques como el de la figura 1.29. Y no se aplica mucho en los sistemas de control de los accionamientos elctricos, pues en estos sistemas el retardo es mnimo, llegando a considerarse nulo en la mayora de las aplicaciones.

Fig. 1.29 Lazo de control continuo donde el sistema controlado es de primer orden con retraso puro

Los parmetros del controlador en ese caso se calculan mediante las expresiones siguientes: L K = a Tf Kc L Td = c Tf Tf L Td = e Tf Tf b

(1.102)

d

(1.103)f

(1.104)

Donde los coeficientes a, b, c, d, e y f son los valores constantes que dependen del: a) Indice de comportamiento a minimizar (ISE, IAE o ITAE). b) Tipo de control a utilizar (P, PI o PID). c) Estmulo para el cual se requiere minimizar el ndice de comportamiento (referencia, R o carga, N).- 33 -


Los valores de los coeficientes mencionados aparecen en las tablas 1.3 y 1.4.Tabla 1.3 Coeficientes para calcular el ajuste de controladores continuos (para cambios en la carga)

ndice IEC IEC IEC IEA IEA IEA IEAT IEAT IEAT

Accin de control P PI PID P PI PID P PI PID

a

b

c

d

e

f

1,141 1,305 1,495 0,902 0,984 1,435 0,490 0,859 1,357

-0,917 -0,959 -0,945 -0,985 -0,986 -0,921 -1,084 -0,977 -0,947

0,492 1,101 0,608 0,878 0,674 0,842

-0,739 -0,771 -0,707 -0,749 -0,68 -0,738

0,560 1,006 0,482 1,137 0,381 0,995

Tabla 1.4 Coeficientes para calcular ajuste de controladores continuos(para cambios en la referencia)

Accin De control IEA PI IEA PID IEAT PI IEAT PID NOTA: En este caso T f Ti ndice

a

b

c

d

e

f

0,758 1,086 0,586 0,965 = c+b

(

-0,861 -0,869 -0,916 -0,855 L Tf

)

1,02 0,74 1,03 0,796

-0,323 -0,13 -0,165 -0,147

0,348 0,308

0,914 0,929

Los valores en los casos anteriores fueron determinados para controladores continuos. Si el controlador es discreto existe un muestreador fijador a la entrada del sistema controlado tal como se muestra en la figura 1.30.

Fig. 1.30 Lazo de control discreto

El muestreador puede aproximarse satisfactoriamente por un retraso puro igual a la mitad del intervalo de muestreo, es decir, que el trmino de retardo sera e ( L+T 2 )s . El valor L + T 2 sera el utilizado en las expresiones (1.102), (1.103) y (1.104). Para determinar la funcin transferencial del sistema controlado puede utilizarse el procedimiento que se muestra en la figura 4.31, donde trazando una tangente a la respuesta a un paso escaln por un punto de inflexin se obtienen Ti y L .

- 34 -


Fig. 1.31 Determinacin de Ti y

L a partir de la respuesta a un paso escaln

Como se aprecia en las tablas 1.3 y 1.4 los valores de ajuste a, b, c, d, e y f son diferentes para cambios en la carga o en la referencia. Una posible solucin a esta situacin, cuando ambos estmulos pueden estar presentes, es utilizar valores intermedios de los parmetros de ajuste entre los clculos para cada uno de los estmulos. Otra solucin ms elaborada consiste en almacenar en memoria los dos juegos de valores de los parmetros y que el propio algoritmo determine cul se utiliza, de acuerdo con el cambio que se halla producido al instante de ser producido.1.6 Conclusiones

La metodologa de ajuste de los reguladores analgicos, segn los mtodos de diseo recogidos en esta monografa, es posible de forma relativamente sencilla disear y analizar sistemas de control continuos. De las metodologas de ajustes analizadas, la ms sencilla es la del ajuste de reguladores por mtodos ptimos, pues los parmetros de ajustes se sistematiza hasta tabularlos para una mayor facilidad. (Ver Anexo 1). Adems, esta metodologa es con la cual se obtienen los mejores resultados de la respuesta transitoria. Este trabajo constituye una monografa para el anlisis y diseo de sistemas automatizados de control continuo, antes esta informacin se encontraba dispersa, adems provee de varios ejemplos que demuestran las metodologas planteadas. Debe de utilizarse para la enseanza de la asignatura de Automatizacin del curso regular diurno y el curso para trabajadores de la carrera de Ingeniera Elctrica.

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1.7 Bibliografa

[1]. A.F Muoz. Principios Fundamentales de Accionamiento Elctrico. Editorial Pueblo y Educacin, Ciudad de la Habana, Cuba, 2000. [2]. strn, K. J. and T. Hgglund. PID Controllers, 2nd Edition. ISA, USA, 1995. [3]. Frhr. Introduccin al Control Electrnico. Editorial Marcombo, Madrid, 1986. [4]. Harriot, P. Process Control. Edicin Revolucionaria, La Habana, 1985. [5]. J. L. Aparicio. Criterios de Diseo de Convertidores Estticos para Accionamientos Regulados en Corriente Alterna con Motores de Induccin. Tesis doctoral, Universidad de Oviedo, 1987. [6]. Leonhard, W. Control of Electrical Drives. Springer Verlag, Berlin, 1985. [7]. Ogata, K. Modern Control Engineering, 3rd Edition. Prentice Hall, 1997. [8]. Santana, J. L. Anlisis y diseo de sistemas de control automtico. Trabajo de Diploma, Universidad de Camagey, Cuba, 2001. [9]. Trejo O., V. Aseguramiento Matemtico de los SADPT. Editorial Pueblo y Educacin. Ciudad de la Habana, 1989. [10]. Using MATLAB. The MathWorks, USA, 2000. [11]. Using Simulink,. The MathWorks, USA, 2000. [12]. Ziegler, J. G. and N. B. Nichols. Optimum Settings for Automatic Controllers. ASME Trans. 64, 1942.

- 36 -

Anexo 1: Resumen de clculo de reguladores por los mtodos ptimos de ajusteMtodo tr (seg) Mdulo Optimo (O2 ) Condicin

Tiempo de subidaTiempo de establec. ts (seg) I 1 bloque Sobreimp. mximo Mp (%)

PI 2 bloques

PID 3 bloques

Tn = T1

Tn = T1Kr = T1 2 K sTn = T1

< T1 < 44 .3 %

4 .7

8 .4

Ti = 2 K s

Tv = T2

T1 Kr = 2 K s Tn = T1 Ti = 4 K sKr = T1 4 K s Tn = 4

Optimo Lineal (OL)

< T1 < 4-

11.7 0

Tv = T2

Optimo Simtrico (O3)

(T1 > 20 )1 To s 7.6

1 To s 3 .1 16.5

T1 Kr = 4 K s Tn = 443.4%-

T Kr = 0 2 K s

Tv = T2

Kr =Tn = 4

T1 2 K s

Tn = 413.3 8 .1 %-

Optimo Simtrico (O3 ) Con alisamiento

(T1 > 20 )

T Kr = 0 2 K s T g = Tn = 4Tn = 4

Tv

=

T2

Kr =

T1 2 K s

Tg = Tn = 4T0 2 K s

Tn = 4 , Tv = T2-

Optimo Simtrico (O3) Con alisamiento y derivacin

(T1 > 20 )

1 To s

9 .2

0

-

Kr =

Kr =T g = Tn = 4 td =

T1 2 K s

Tg = Tn = 4

td =


Optimo Simtrico (O3)

4 < T1 < 20

3 .1 43.4%-

16.5

2 1 + T1 Tn = 4 3 1 + T1 Kr T1 = 2 Ks 2 1 + 2 T1

2 1 + T1 Tn = 4 3 1 + T1

T1 T1 +

T 2 1 K r = 1 + 2 K s T12 Tv = T2 2 1 + T1 Tn = 4 3 1 + T1

Optimo Simtrico (O3 ) Con alisamiento

4 < T1 < 20

7.6

13.3

8 .1 %

-

2 1 + T1 Tn = 4 3 1 + T1 T 2 1 Kr = 1 + 2 K s T12 T g = Tn 2 1 + T1 Tn = 4 3 1 + T1

T 2 1 Kr = 1 + 2 K s T12 Tv = T2 , Tg = Tn

T1 T1 +

Optimo Simtrico (O3) Con alisamiento y derivacin

4 < T1 < 20

-

9 .2

0

-

2 1 + T1 Tn = 4 3 1 + T1 T1 2 Kr = 1 + 2 K s T12 T g = Tntd =

T1 2 Kr = 1 + 2 K s T12 Tv = T2 , Tg = Tn

td =

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