UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA CONTROL AUTOMATICO

IMC Por Alejandro Rincón

1. FUNDAMENTOS DE CONTROL POR REALIMENTACIÓN SISO Todos los procedimientos de diseño de controladores se basan en modelo de una u otra forma. Estos modelos presentan cierto grado de inexactitud. Es importante que el controlador se desempeñe bien cuando el comportamiento dinámico del proceso real es diferente del descrito por el modelo. De este modo, es necesario especificar el modelo del proceso, las especificaciones de diseño y algún indicio de la exactitud del modelo.

1.1 Definiciones El diagrama de bloques de un lazo de realimentación clásico típico se muestra en la figura 1, donde n es ruido de medición, R es la referencia (punto de ajuste), C es la salida. Además, Gc y Gp son las funciones de transferencia del controlador y de la planta. Las funciones de transferencia Gpd y Gpm corresponden al efecto de la perturbación U' en la salida C, y el dispositivo de medición, respectivamente. El controlador determina la entrada de proceso (variable manipulada) M basado en el error e. El objetivo del lazo de realimentación es mantener la salida C cerca de la referencia R. Definición 1.1 Un sistema g(s) es propio si lims→+∞g(s) es finito. Un sistema propio es estrictamente propio si lims→+∞│g(s)│=0 y semipropio si lims→+∞│g(s)│>0. Todo sistema que no sea propio es impropio. Un sistema g(s) es impropio si el orden del polinomio del numerador es mayor que el orden del polinomio del denominador y propio en el caso contrario. Un sistema

impropio no puede ser realizado físicamente porque contiene diferenciaciones puras. Por ejemplo, considere las siguientes funciones de transferencia:

( ) ( ) ( )2 2 3 2

2 1 0 2 1 0 3 2 1 01 2 33 2 2 2

3 2 1 0 2 1 0 2 1 0

, , ,b s b s b b s b s b b s b s b s bG s G s G sa s a s a s a a s a s a a s a s a

+ + + + + + += = =

+ + + + + + +

La primera función de transferencia es estrictamente propia, la segunda es semipropia y la tercera es impropia. Definición 1.2. Un sistema que requiere predicción (e+sθ) es no causal. Un sistema que no requiere predicción es causal. Definición 1.3. Un sistema g(s) es de fase no mínima (NMP) si su función de transferencia contiene ceros en el semiplano derecho (RHP) o retardos de tiempo o ambos. De lo contrario el sistema es de fase mínima (MP). En un sistema de fase no mínima, los elementos de fase no mínima son los ceros en el semiplano derecho y los retardos en el tiempo. Los siguientes son ejemplos de sistemas de fase no mínima:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )1 2 3

5 15 1 , ,6 1 7 1 6 1 7 1 6 1 7 1

ss s es eG s G s G ss s s s s s

θθ −− −−= = =

+ + + + + +

Los elementos de faso no mínima para cada caso son, respectivamente: ( ) ( )5 1, , 5 1s s

NMPG s s e s eθ θ− −= − −

1.2 OBJETIVOS DE CONTROL El objetivo último del diseño de un sistema de control es que el controlador trabaje bien cuando se implemente en la planta real. Es decir, que la salida converja al valor de referencia a pesar de las perturbaciones y el desconocimiento del modelo. Esto equivale a decir que el error de seguimiento, es decir, el error entre la salida y la referencia e=R-C, debe ser cero en estado estacionario. Esto ante cambios en la referencia R y cambios en la perturbación U, principalmente cambios tipo escalón y rampa. Teniendo en cuenta la suposición de que el modelo es una descripción aproximada de la planta real, se requiere que haya estabilidad cuando el controlador es aplicado al modelo de planta. Es esencial que el conocimiento de incertidumbre del modelo sea incorporado en el procedimiento del diseño del controlador. Así, se requiere que el diseño del controlador de cómo resultado un sistema en lazo cerrado estable y cumpla las especificaciones de desempeño para la planta. 1.3 ESTABILIDAD INTERNA

Las señales entre los bloques de un sistema de control son susceptibles a error. En la práctica se requiere evitar que un error pequeño en alguna señal genere señales ilimitadas en otro lugar del sistema de control. Esto motiva la siguiente definición: Definición 1.3.1 Un sistema de control es internamente estable si señales limitadas en cualquier punto del sistema de control generan respuestas limitadas en cualquier otro punto. (BIBO ESTABILIDAD) Definición 1.3.2 Un sistema de control invariante en el tiempo lineal es internamente estable si las funciones de transferencia entre cualesquiera dos puntos del sistema de control son estables (es decir, tienen todos los polos en el semiplano izquierdo). 1.4 PROPIEDADES ASINTÓTICAS DE LA RESPUESTA EN LAZO CERRADO

La especificación básica del desempeño en lazo cerrado para el sistema de la figura (1.1.1) es que el error entre la salida y la referencia (e=R-C) tienda a cero asintóticamente para diferentes entradas, ya sea cambio en la referencia R(s) o en la perturbación U(s). Esto se conoce como cero error de estado estacionario. Los principales cambios son tipo escalón o rampa principalmente. Esta especificación solo tiene sentido si el sistema en lazo cerrado es estable. En el sistema de la figura (1.1.1) G(s) es la función de transferencia en lazo abierto del sistema y se describe como:

( ) ( )( ) ( )1

2

1 ...1.4.1

1 ...N

T sG s K

s T s+

=+

Donde K es la ganancia estática de la función de transferencia en lazo abierto, N es el número de polos en el origen. N determina el tipo de sistema: un sistema de tipo N tiene N polos en el origen. Para el sistema en lazo cerrado de la figura (1.1.1), las funciones de transferencia para la salida y para el error e(s)=R-C, son:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

11 1

1.4.21

1

G SC s R s U s

G S G S

e s R s C s R s U sG S

= ++ +

= − = −+

Como se puede ver, la diferencia del error e(s) para el caso de cambio en la referencia R(s) y para el caso de cambio en la perturbación U(s) es el signo. Por lo tanto, los teoremas de error de estado estacionario se aplican igualmente para el caso de cambio en la referencia o en la perturbación. Tomando el caso U(s)=0, las ecuaciones para la salida y para el error en lazo cerrado son:

( )( )

( )( )

( )( ) ( )

( )1

1.4.31

1

C S G SR S G S

e SR S G S

=+

=+

Para el sistema de la ecuación (1.4.1), la función de transferencia del error se obtiene reemplazando la ecuación (1.4.1) en la ecuación (1.4.3):

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )2

2 1

11 1.4.41 1 ... 1 ...

NN

e s T ss

R s G s s T s K T s+

= =+ + + +

El error en régimen permanente entre la salida y la referencia se puede expresar en función del tiempo o de la frecuencia, utilizando el teorema del valor final:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

lim lim lim 1.4.5ss t s se R t C t s R s C s se s

→∞ → →⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Donde el error depende de la entrada y del tipo de sistema. Para el sistema de la ecuación (1.4.1) y un cambio en la referencia del tipo R(s)=1/sn, el error en estado estacionario se obtiene reemplazando la ecuación (1.4.4) en la ecuación (1.4.5):

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

0 0

2 2 1

0 02 1 2 1

1

0

1 1lim lim1

1 11 1lim lim 1.4.61 ... 1 ... 1 ... 1 ...

1, 0lim 1/ 1, 0

0 , 0

1 0, 11

0, 2

ss ns s

N NN n N ns s

N n

Ns

e se s sG s s

T s T ss s s

s T s K T s s s T s K T s s

N n Ns K N n Ns K

N n N

N nK

N n

→ →

+

→ →

+ −

→

= =+

+ += =

+ + + + + +

∞ < − >⎧⎪= = = − >⎨+ ⎪ ≥ >⎩⎧ = =⎪+⎨

⎪∞ = ≥⎩

De la ecuación (1.4.6) se puede ver que para un sistema G(s) tipo N, se obtiene cero error de estado estacionario para cambios en la referencia dados por por R(s)=1/sn, siempre y cuando se cumpla la relación N≥n. Utilizando el mismo procedimiento se puede demostrar que se obtiene cero error de estado estacionario para entradas más generales ( ) 1

11 0

N kkk

R s a s−=

= ∑ . Esto significa que para una entrada de la forma

( ) 111 0

N kkk

R s a s−=

= ∑ , el sistema G(s) debe ser al menos de tipo N, con el fin de que se logre cero error de estado estacionario. Por ejemplo, si se presentan entradas escalón R(s)=1/s, el sistema G(s) debe ser al menos de tipo N=1; para entradas rampa R(s)=1/s2, el sistema G(s) debe ser al menos de tipo N=2. Se pueden plantear ejemplos más generales: para entradas de la forma R(s)=a0+a1s-1+a2s-2, el sistema G(s) debe ser al menos tipo N=2. En la siguiente tabla se muestra de forma sencilla el error de estado estacionario para entradas escalón, rampa y parábola:

Tipo sistema escalón rampa parábola 0 1

1 K+∞ ∞

1 0 1/K ∞ 2 0 0 1/K

Con base en estos resultados se plantea el siguiente teorema: Teorema 1. Suponga que el sistema en lazo cerrado de la figura (1.1.1) es estable. Si G(s) es de tipo N, satisface la siguiente condición:

( ) ( )0

1 1lim 0 para 0 1.4.71 ks

k NG s s→

= ≤ <+

Además, a medida que t→∞, el sistema en lazo cerrado rastrea perfectamente cambios en el punto de ajuste (set point) de la forma 1

11 0

N kkk

a s−=∑ donde ak1 son constantes

reales. Por ejemplo, si el sistema G(s) es de tipo N=I, de la ecuación (1.4.7) se obtiene que cumple:

( )0

1lim 0 con 01s

kG→= =

+

Y rastrea perfectamente cambios en el punto de ajuste de la forma 1

1

1 0 11 0 10

N kkk

a s a s a s= − − −=

= +∑

Consideremos ahora que el sistema G(s) es de tipo N=II. De la ecuación (1.4.7), la desigualdad 0≤k<N=2 implica que el contador k toma valores k=0, 1, de la siguiente manera:

0 0

1 1 1lim 0 para 0, lim 0 para 11 1s s

k kG G s→ →= = = =

+ +

Y rastrea perfectamente cambios en el punto de ajuste de la forma 1

1

2 0 1 21 0 1 20

N kkk

a s a s a s a s= − − − −=

= + +∑

Como ejemplo, cambios escalón (a1s-1), cambios rampa (a2s-2) o suma de ambos (a1s-

1+a2s-2). 2. CONTROL IMC El método IMC para diseño de controladores, proporciona un controlador generalmente con estructura PID y en función explícita del modelo del proceso. El controlador IMC presenta varias diferencias con respecto a otros controladores clásicos. Primero, el modelo nominal de la planta es usado explícitamente en el diseño del controlador, de modo que sus parámetros son función de los parámetros de la planta. Segundo, el controlador IMC sólo tiene un parámetro de sintonización: la constante de tiempo de lazo cerrado λ, la cual establece la robustez (sensibilidad al error de modelado) del sistema en lazo cerrado. El controlador IMC tiene estructura PID, siempre y cuando en los casos con tiempo muerto se utilice la aproximación de Padé. 2.1 ESTRUCTURA DE CONTROL DEL MÉTODO IMC La ley de control es diseñada con base en el modelo conocido del proceso. Se parte de una estructura de lazo cerrado (figura 2.1.1), que es la estructura primaria del método IMC, que contiene el modelo real ( )pG s , el modelo conocido del proceso ( )pG s , y

señal de control M(s) en términos de Gq(s). Si hay modelo perfecto, el modelo real y el

modelo conocido del proceso son iguales ( ) ( )( )p pG s G s= . Esta estructura IMC se

puede llevar a la forma de un sistema de realimentación clásico (figura 1.1.1), pues tradicionalmente los controladores tienen esta estructura. Al llevar la estructura primaria del método IMC (figura (2.1.1)) a la estructura de la realimentación estándar (figura (1.1.1)), se obtiene la estructura de realimentación estándar del método IMC, que se muestra en la figura (2.2.1).

La función de transferencia en lazo cerrado correspondiente al sistema IMC se puede obtener, ya sea, de la figura (2.1.1) o de la figura (2.2.1):

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )1

2.1.11 1

p q q p

p p q p p q

G s G s G s G sC s R s U s

G s G s G s G s G s G s−

= ++ − + −

Como se puede ver en la figura (2.2.1), la función de transferencia del controlador Gc(s) es función de la función de transferencia Gq(s), a través de la siguiente relación:

( ) ( )( ) ( ) ( )2.1.2

1q

cp q

G sG s

G s G s=

−

El diseño de la señal de control M(s), se da principalmente con base en el requerimiento de cero error de estado estacionario. Este requerimiento implica que el error de seguimiento (e=C-R) se haga cero en estado estacionario. Adicionalmente se deben cumplir los requerimientos de realizabilidad física y estabilidad interna. Teniendo en cuenta que Gc(s) es función de Gq(s), el diseño del controlador se realiza para Gq(s), que debe cumplir todos los requerimientos. Luego, a partir de Gq(s) se obtiene Gc(s) con la ecuación (2.1.2). 2.3 ESTABILIDAD INTERNA Para analizar la estabilidad interna, se deben examinar las funciones de transferencia entre todas las posibles entradas y salidas. Del diagrama de bloques de la figura 2.1.1, suponiendo modelo perfecto ( ( ) ( )p pG s G s= ), el sistema de control IMC es

internamente estable si y solo si ambos Gp(s) y Gq(s) son estables. 2.4 PROPIEDADES ASINTÓTICAS DE LA RESPUESTA EN LAZO CERRADO PARA EL SISTEMA IMC

El teorema 1 se puede aplicar para el sistema de control en la figura (2.2.1) donde la función de transferencia G(s) está dada por:

( ) ( ) ( ) ( )2.4.11

p qc p

p q

G GG s G s G s

G G= =

−

Suponga que el sistema de la figura (2.2.1) con U=0 es estable y que la función de transferencia G(s) es de tipo N. En este caso se tiene la siguiente función de transferencia para el error de lazo cerrado:

( )( ) ( ) ( ) ( )

11 2.4.21 1

p q

p p q

G Ge sR s G s G G G

−= =

+ + −

El sistema G(s) debe satisfacer la ecuación (1.4.7) para que haya cero error de estado estacionario. Reemplazando la ecuación (2.4.2) en la ecuación (1.4.7) se obtiene:

( ) ( )0

1 1lim 0 para 0 2.4.31

p qks

p p q

G Gk N

sG G G→

−= ≤ <

+ −

La condición de la ecuación (2.4.3) se satisface solo si 1 p qG G− tiene N ceros en el origen, caso en el cual se cumple la siguiente condición:

( ) ( )0

1lim 0 para 0 2.4.4

kp q

ks

d G Gk N

ds→

−= ≤ <

Además, a medida que t→∞ el sistema en lazo cerrado rastrea perfectamente cambios en el punto de ajuste (set point) de la forma 1

11 0

N kkk

a s−=∑ donde ak1 son constantes

reales. Por ejemplo, si el sistema G(s) en la ecuación (2.4.1) es de tipo N=I, de la ecuación (2.4.4) se obtiene que el contador k toma el valor k=0, y:

( )0 0

lim 1 0 lim 1 2.4.5p q p qs sG G G G

→ →− = ⇒ =

Y rastrea perfectamente cambios en el punto de ajuste de la forma 1

1

1 0 11 0 10

N kkk

a s a s a s= − − −=

= +∑

Consideremos ahora que el sistema G(s) en la ecuación (2.4.1) es de tipo N=II. De la ecuación (2.4.4), el contador k toma valores k=0, 1:

( ) ( )0 0

lim 1 para 0, lim 0 para 1 2.4.6p q p qs s

dG G k G G kds→ →

= = = =

Y rastrea perfectamente cambios en el punto de ajuste de la forma 1

1

2 0 1 21 0 1 20

N kkk

a s a s a s a s= − − − −=

= + +∑

Como ejemplo, cambios escalón (a1s-1), cambios rampa (a2s-2) o suma de ambos (a1s-

1+a2s-2). Así, se plantean los siguientes requerimientos que debe cumplir la señal de control Gq, de acuerdo al tipo de entrada y a la planta: Así, se plantean las siguientes reglas:

• Entrada escalón: se requiere: ( )

0lim 1 2.4.7p qs

G G→

=

• Entrada rampa: se requiere:

( )( )

0

0

lim 12.4.8

lim 0

p qs

p qs

G G

d G Gds

→

→

=

=

El sistema de control IMC, más específicamente la función de transferencia Gq(s), debe satisfacer la ecuación (2.4.4) para obtener cero error de estado estacionario. Para el caso específico de entradas escalón, esta ecuación da como resultado la ecuación (2.4.7), y para el caso específico de entradas rampa, da como resultado la ecuación (2.4.8). 2.5 REQUERIMIENTOS PARA LA REALIZABILIDAD DE Gq(s) Para obtener una variable manipulada físicamente realizable, Gq(s) debe satisfacer los siguientes requerimientos:

1. Estabilidad: para que la función de transferencia de control Gq(s) genere respuestas limitadas ante entradas limitadas, se requiere que Gq(s) sea estable, es decir, que sus polos estén en el semiplano izquierdo abierto (LHP).

2. Propiedad: para evitar la diferenciación pura de las señales, se requiere que Gq(s) sea propio (estrictamente propio o semipropio).

3. Causalidad: la ley de control debe basarse en mediciones presentes/corrientes y previas, y no en mediciones futuras.

2.6 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO DEL IMC La función de transferencia Gq(s) debe satisfacer los requerimientos de comportamiento asintótico en lazo cerrado, estabilidad interna y realizabilidad física. Con este fin, se introduce un filtro f(s), donde Gq(s) es función de este filtro. Al introducir este filtro, se debe verificar el cumplimiento de los requerimientos. A continuación se muestra el procedimiento para la obtención de Gq(s), que cumpla con los requerimientos. Como punto de partida, se debe satisfacer el requerimiento de cero error de estado estacionario ante entradas escalón (ecuación (2.4.7)). Esto se logra con la siguiente expresión: ( ) ( ) 1

q pG s G s−

⎡ ⎤= ⎣ ⎦. Adicionalmente, para que Gq(s) sea estable y

causal, se realiza una factorización a ( )pG s , y para que Gq(s) sea propio, se incluye un

filtro f(s). 2.6.1 Factorización. El modelo ( )pG s se factoriza como

( )2.6.1p p pG G G+ −

=

donde pG+

contiene todos los elementos de fase no mínima, es decir, ceros en el

semiplano derecho y retardos de tiempo. El factor es de fase mínima e invertible. La función de transferencia ( ) 1

q pG G−

−= es estable y causal.

Hay dos tipos de factorizaciones (ver apéndice), cuya escogencia depende de las características requeridas/deseadas: la factorización de integral del absoluto del error (IAE) óptimo y la factorización de la integral del cuadrado del error óptimo (ISE). En

pG−

los casos con tiempo muerto, para que el controlador tenga estructura PID es necesario utilizar la aproximación de Padé y luego utilizar alguna de las factorizaciones. 2.6.2 Filtro IMC. Se adiciona un filtro de la siguiente manera:

( ) ( )1

2.6.2.1q pG G f−

−=

El filtro debe ser tal que se cumpla el requerimiento de cero error de estado estacionario, dado en la ecuación (2.4.4). Con la anterior expresión de Gq(s), el término ( ) ( )p qG s G s

queda como sigue:

( ) ( ) ( ) ( )12.6.2.2p q p p p pG s G s G G G f G f

−

+ − − += =

Al reemplazar esta expresión en la ecuación (2.4.4), se obtiene:

( ) ( )( ) ( )0

lim 1 0 0 2.6.2.3k

pks

d G s f s k Nds +→

− = ≤ <

Para el caso particular de entrada escalón, el sistema G(s) es de tipo N=1, y el contador k toma el valor k=0. Igual resultado da si se utiliza la ecuación (2.4.7):

( ) ( ) ( )0

lim 1 0 0 2.6.2.4psG s f s k+→

− = =

El siguiente filtro satisface la anterior expresión:

( )( )

( )1 2.6.2.51 nf s

sλ=

+

Donde n es tal que Gq(s) sea propio, y λ es un parámetro ajustable. Para el caso particular de entrada rampa, el sistema G(s) es de tipo N=2, y el contador k toma los valores k=0,1. Igual resultado da si se utiliza la ecuación (2.4.8):

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )

0

0 0

lim 1 0 02.6.2.6

lim 1 0 0 1

ps

p ps s

G s f s k

d dG s f s G s f s kds ds

+→

+ +→ =

− = =

− = ⇒ = =

El siguiente filtro satisface esta condición:

( )( )( )

( )( ) ( )

''

20

2 0 1, donde 0 2.6.2.7

1p

p ps

G s df s G Gdss

λ

λ+

+ +=

− + ⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦+

Ahora analizamos el efecto de λ en la función de transferencia de lazo cerrado, para el caso de entrada escalón. Con el filtro de la ecuación (2.6.2.5), la expresión para Gq(s) queda:

( )( )

( )1 1 2.6.2.8

1q p nG G

sλ−

−=

+

Reemplazando la ecuación (2.6.2.8) en la función de transferencia de lazo cerrado (ecuación (2.1.1)), la función de transferencia en lazo cerrado es:

( )

( )( )( )

( )

( )( )( )

( )1 1

1 111 1

2.6.2.91 11 11 1

p pn n

p p p p p pn n

G Gs s

C R UG G G G G G

s s

λ λ

λ λ

+ +

− −

− −

−+ +

= ++ − + −

+ +

Como se puede observar de la ecuación (2.6.2.9), λ constituye la constante de tiempo del sistema en lazo cerrado y compensa la incertidumbre modelo/planta. A mayor valor de λ, mayor robustez pero menos velocidad de respuesta, y viceversa: a menor valor de λ menos robustez pero mayor velocidad de respuesta. Si se asume modelo perfecto

( )p pG G= , se obtiene la siguiente simplificación:

( )( )

( )( )1 11 2.6.2.10

1 1p pn nC G R G U

s sλ λ+ += + −

+ +

2.7 LEY DE CONTROL Con los anteriores pasos se mostró el diseño de la función de transferencia Gq(s) para el caso de entradas escalón y para entradas rampa, y que satisface los requerimientos de cero error de estado estacionario, estabilidad interna y realizabilidad física. La señal de control correspondiente está dada por:

( )

( ) ( )

( )( )

( )( )( )

( )

( )1

'

2

donde , , 2.7.11

1 entrada escalon1

2 0 1entrada rampa

1

c

qc q p

p q

n

p

M G R CG

G G G f sG G

f ss

G sf s

s

λ

λ

λ

−

−

+

= −

= =−

⎧ =⎪ +⎪⎨ − +⎪ =⎪ +⎩

Para el caso de entrada escalón, n es tal que Gq(s) sea propio, lo cual se verifica a partir de la siguiente ecuación:

( ) ( )( )

( )1 1 2.7.2

1q p nG s G

sλ−

−=

+

Adicionalmente, λ es un parámetro ajustable, que constituye la constante de tiempo del lazo cerrado de acuerdo con la ecuación (2.6.2.10). Para plantas con integrador, a nivel práctico se requiere evitar error de estado estacionario (offset) para cambios rampa. Así, se debe utilizar el filtro para entradas rampa. 2.8 PASOS PARA EL DISEÑO DEL CONTROLADOR IMC Para obtener la señal de control M(s) como se plantea en la ecuación (2.7.1), se deben seguir los siguientes pasos:

1. El primer paso es encontrar Gq(s). Si hay un tiempo muerto en la función de transferencia del proceso ( )pG s es necesario utilizar alguna de las

aproximaciones de Padé, como se muestra en el apéndice (A.1). Luego factorizar ( )pG s de acuerdo a los ceros en el semiplano derecho (RHP), utilizando el

métodos de IAE o ISE mínimo (ver apéndice A.2). Luego, se debe hallar el filtro f(s), que depende del tipo de entrada. Si el caso es de entrada escalón, se debe hallar el valor ‘n’ del filtro ‘f’, el cual hace que Gq(s) sea propio (estrictamente propio o semipropio), de acuerdo con la ecuación (2.7.2). Si la planta tiene integrador, se tiene el caso de entradas rampa y se debe utilizar el filtro para entradas rampa, que se muestra en la ecuación (2.6.2.7). Finalmente, con base en la factorización y en el filtro, se puede hallar la función de transferencia Gq(s) a partir de la siguiente ecuación:

( ) ( ) 1

q pG s G f−

−=

2. Encontrar la función de transferencia del controlador Gc(s):

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )1

donde

qc

p q

p q p

G sG s

G s G s

G s G s G f+

=−

=

3. Llevar Gc(s) a la forma PID, encontrando kc, τI, τD y τF:

( ) 1 111c c D

I F

G s k ss s

ττ τ

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥ +⎣ ⎦

4. Realizar simulación en lazo cerrado, para modelo perfecto y modelo con incertidumbre. Escoger el valor de λ que genere desempeño (rastreo) y robustez.

Observaciones

La ley de control contiene sólo un parámetro de ajuste (λ). Para plantas con integrador, a nivel práctico se requiere evitar error de

estado estacionario (offset) para cambios rampa en la perturbación. Por lo tanto, se debe utilizar el filtro para entradas rampa.

En casos con tiempo muerto es necesario utilizar la aproximación de Padé para obtener un controlador con estructura PID. Así, una planta con ceros en el semiplano izquierdo y con tiempo muerto resulta en un planta ceros en el semiplano derecho.

Para procesos inestables, hay límites superior e inferior sobre λ para asegurar la estabilidad del sistema en lazo cerrado.

Para procesos estables, y bajo incertidumbre de modelo, la estabilidad del lazo cerrado se garantiza aumentando el valor de λ.

No siempre se requiere que la función de transferencia Gc(s) sea propia. Generalmente, el controlador PID + lag es más fácil de sintonizar para

obtener robustez y es menos sensible al ruido que un PID. No siempre se requiere deducir los parámetros de control, pues para los

casos más representativos ya se han establecido, como se muestra en las tablas en el apéndice.

2.9 APLICACIÓN DEL DISEÑO IMC PARA SINTONIZACION DE CONTROLADORES PID El método IMC se ha aplicado para los casos de plantas más representativos. Para plantas con polos y ceros en el semiplano izquierdo, sin tiempo muerto, se generan controladores PI y PID:

primer orden PIsin RHP cerosegundoorden PIDsin RHP cero

→

→

Para plantas de primer orden, con polos y ceros en el semiplano izquierdo y con tiempo muerto, se generan controladores PI, PID o PID más lag, dependiendo de la factorización de

pG :

Padéorden cero

Padéprimer orden

Padé 1er ordenfactorizaciónpaso total

primer orden+tiempo muerto

PI

PID

PID lag

⎯⎯⎯⎯→

⎯⎯⎯⎯→

⎯⎯⎯⎯⎯→ +

Como ejemplo, se muestran a continuación los parámetros del controlador para una planta de primer orden y para una planta de segundo orden, que tienen estructura PI y PID, respectivamente:

,1

p pp c I p

p p

kG k

s kτ

τ ττ λ

= ⇒ = =+

( )( )1 2 1 2

1 21 2 1 2

, ,1 1

pp c I D

p

kG k

s s kτ τ τ ττ τ τ τ

τ τ λ τ τ+

= ⇒ = = + =+ + +

EJEMPLO 2.9.1 Diseñar un sistema de control IMC, con estructura PID, para el siguiente proceso de primer orden más tiempo muerto,

1

sp

pp

k eG

s

θ

τ

−

=+

Utilizando la aproximación de Padé de primer orden y factorización paso completo. SOLUCIÓN Utilizamos los pasos anteriormente descritos.

• Primer paso. Con la aproximación de Padé de primer orden, el modelo de la planta queda:

( )( )( )

0,5 10,5 11

pp

p

k sG

ssθθτ

− +=

++

La factorización ‘paso completo’ da como resultado:

( )( )( )

0,5 10,5 11

pp

pp

p

GG

k sG

ssθθτ

+−

− +=

++

Hallamos la función de transferencia q(s):

( ) ( )( )

1

1

1 11

pq p n

p

sG s G f

k s

τ

λ−

−

=

+= =

+

Donde n=1 para que q(s) sea semipropio: el grado del numerador es igual al grado del denominador, igual a uno.

• Segundo paso. Se tiene el término 0,5 1 1

0,5 1 1p q psG G G f

s sθθ λ+

− += =

+ +

El término Gc(s) es entonces:

( )

1 11

0,5 1 11 10,5 1 1

p

q pc

p q

sG k s

G s sG Gs s

τλ

θθ λ

++

= =− +− −

+ +

• Tercer paso. Llevamos Gc(s) a al forma PID:

( ) 1 111c c D

I F

G s k ss s

ττ τ

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ +⎝ ⎠

Donde

( )0,5 1 , , 0,5 ,

2 2p p

c D I p Fp p

kkθ τ τ θ θλτ τ θ τ τ

θ λ θ τ θ λ+

= = = + =+ + +

EJEMPLO 2.9.2 Considere la siguiente planta:

( ) ( )0 .2.9.2.1p t sp

kG s e E

s−=

Determine los parámetros del controlador PID. Dado que esta planta tiene un integrador, se debe cumplir el requerimiento de cero error de estado estacionario ante entradas rampa y utilizar el filtro de la ecuación 2.6.7. Utilizamos los pasos para el diseño del controlador IMC. Para el tiempo muerto utilizamos la aproximación de Padé de primer orden:

( ) ( )0

0

0,5 1 .2.9.2.20,5 1

pp

k t sG s Es t s− +

=+

Luego factorizamos ( )pG s con el criterio IAE mínimo:

( ) ( )0

0

0,5 11 .2.9.2.30,5 1 1

pp

pp

GG

k t sG s Es t s

+−

− +=

+

Hallamos el filtro de la ecuación 2.6.7:

( )( )( )

( )( )

'

2

2 0 1.2.9.2.4

1pG s

f s Es

λ

λ+− +

=+

Para el filtro se tienen los siguientes factores: ( ) ( ) ( ) ( )' '

0 0 00,5 1, 0,5 , 0 0,5 .2.9.2.5p p pG s t s G s t G t E+ + += − + = − = −

Reemplazando la ecuación E.2.9.2.5 en la ecuación E.2.9.2.6 se obtiene entonces el siguiente filtro:

( ) ( )( )

( )02

2 0,5 1.2.9.2.6

1

t sf s E

s

λ

λ

+ +=

+

Determinamos la función de transferencia Gq(s) con base en la ecuación 2.6.2:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )1 00 2

2 0,5 11 0,5 1 .2.9.2.71

q pp

t sG s G f s t s E

k s

λ

λ

−

−

+ += = +

+

Determinamos la función de transferencia del controlador, es decir, Gc(s) con base en la ecuación 2.2.1. Para esto es necesario hallar primero el término

p qG G :

( ) ( )( )

( )00 2

2 0,5 10,5 1 .2.9.2.8

1p q p

t sG G G f t s E

s

λ

λ+

+ += = − +

+

Gc(s) se obtiene reemplazando ecuación E.2.9.2.8 y E.2.9.2.7 en la ecuación 2.2.1:

( )( ) ( )

( )

( ) ( )( )

00 2

00 2

2 0,5 11 0,5 11

2 0,5 111 0,5 1

1

pqc

p q

t ss t s

kG sG s

t sG Gt s

s

λ

λλ

λ

+ ++

+= =

+ +−− − +

+

Por último, llevamos Gc(s) a la forma PID:

( )

0 00

020

0

11 ,

12 4donde , 2 ,

212

c c DI

c I D

p

G s k ss

t ttk t

tk t

ττ

λλ τ λ τ

λλ

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞+⎜ ⎟+ ⎝ ⎠= = + =

+⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

APÉNDICE A.1 Aproximación de Padé:

( )

( )

1 orden cero0,5 1 primer orden

0,5 1

se ss

θ θθ

−

⎧⎪= ⎨− +⎪ +⎩

A.2 Factorización de Gp(s) Hay dos tipos de factorizaciones, cuya escogencia depende de las características requeridas/deseadas. Primero, la factorización de integral del absoluto del error (IAE) óptimo para cambios escalón en la perturbación o en el punto de ajuste:

( ) ( ) ( )1 , donde Re 0 .2.1sp i i

i

G e s Aθ β β+

−= − + >∏

Donde βi es un número real positivo o complejo con parte real positiva. Segundo, la factorización de integral del cuadrado del error (ISE) óptimo para cambios escalón en la perturbación o en el punto de ajuste, conocida también como factorización de paso completo:

( )( ) ( )1

.2.21

isp

i i

sG e A

sθ β

β+

− − +=

+∏

Por ejemplo, considere la planta

( )1

sp

pp

k eG s

s

θ

τ

−

=+

Aplique la aproximación de Padé de primer orden, luego factorice utilizando la factorización de IEA óptimo y la factorización de ISE óptimo. La aproximación de Padé da como resultado:

( ) 0,5 11 0,5 1

pp

p

k sG ss s

θτ θ

− +=

+ +

La factorización de IAE óptimo da como resultado:

( )

_

1 0,5 11 0,5 1 1

pp

pp

pG

G

k sG ss s

θτ θ

+

− +=

+ +

Por otro lado, la factorización de ISE óptimo da como resultado:

( )

_

0,5 11 0,5 1

pp

pp

p

GG

k sG ss s

θτ θ

+

− +=

+ +

A.3 Tablas de controladores PID En la tabla 7.1 se muestra los parámetros de control para plantas estables (polos en el semiplano izquierdo), donde el controlador está dado de la siguiente forma:

( ) 1 111c c D

I F

G s k ss s

ττ τ

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥ +⎣ ⎦

Tabla A.3.1. Parámetros PID para procesos estables en lazo abierto Gp(s) GLC(s) kc τI τD τF A

1p

p

ksτ +

11sλ +

p

pkτλ

pτ - -

B ( )( )1 21 1

pks sτ τ+ +

11sλ +

1 2

pkτ τ

λ+ 1 2τ τ+ 1 2

1 2

τ ττ τ+

C 2 2 2 1

pks sτ ζτ+ +

11sλ +

2

pkζτλ

2ζτ2τζ

-

D 2 2 2 1

pks sτ ζτ+ +

( )2

11sλ + pk

ζτλ

2ζτ2τζ

2λ

E ( )2 2

12 1

pk ss s

βτ ζτ

− +

+ +

( )( )1

1 1s

s sβ

β λ− ++ + ( )

22pkζτβ λ+

2ζτ2τζ

2βλβ λ+

F ( )2 2

12 1

pk ss s

βτ ζτ

− +

+ + 1

1s

sβλ− +

+ ( )22pkζτβ λ+

2ζτ2τζ

-

G pks

11sλ +

1

pk λ- - -

H

( )1p

p

ks sτ +

11sλ +

1

pk λ- pτ -

En E y F se supone β>0, es decir, respuesta inversa, ceros en el semiplano derecho. La función de transferencia Gc(s) es la siguiente:

( ) 1 111c c D

I F

G s k ss s

ττ τ

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥ +⎣ ⎦

Tabla A.3.2. Parámetros PID para procesos de primer orden más retardo de tiempo Controlador

kc τI τD τF Notas

PID

( )2p

pk

θτ

θ λ

+

+

2pθτ +

2p

p

τ θτ θ+ ( )2

θλθ λ+

(1)

PID

( )2/ 2

p

pk

θτ

λ θ

+

+

2pθτ +

2p

p

τ θτ θ+

- (2)

PI p

pkτλ

pτ - - (3)

PI mejorado 2p

pk

θτ

λ

+ 2pθτ + - - (4)

La planta y la función de transferencia tienen las siguientes estructuras, respectivamente:

( ) ( ) 1 1, 11 1

sp

p c c Dp I F

k eG s G s k s

s s s

θ

ττ τ τ

− ⎡ ⎤= = + +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

(1) Con factorización paso completo (ISE óptimo) y Gq(s) semipropio. Se recomienda λ>0,25θ. (2) Con factorización (IAE) óptimo y Gq(s) impropio. Se recomienda λ>0,8θ. (3) Con aproximación de Padé de orden cero (e-θs≈1). Se recomienda λ>1,7θ. (4) Con la aproximación

( )1 / 2 1

sp p

p p

k e ks s

θ

τ τ θ

−

≈+ + +

Se recomienda λ>1,7θ.

BIBLIOGRAFIA

1. M. Morari y E. Zafiriou. Robust Process Control, Prentice-Hall Englewood Cliffs, NJ (1989).