Instrumentacao e Controle

Aula 11

Controle em malha fechada

Prof. Renato Watanabe

ESTO004-17

Onde estamos no curso

Sistema

Obtenção das Equações Diferenciais

que descrevem o comportamento

do sistema

Representação no Espaço de Estados

Transformadade

Laplace

Resposta natural

Resposta forçada

Análisede

Estabilidade

Sensores

Característicasde

Sensores

Comportamento dinâmicodos transdutores

Transdução demedidas

Condicionamento do sinal

2 2

Controle

Problema tıpico de controle: fazer com que o sistema tenha ocomportamento desejado tendo disponıvel apenas a entrada u(t) e a saıday(t), nao podendo alterar o sistema em si.

Sistema

ou

Planta

3 3

Pendulo com amortecimento

Comprimento da barra:

Momento de inércia da barra:

Massa da barra:

u(t) = M(t)

y(t) = θ(t)

d2y(t)dt2

= − 3bml2

dy(t)dt − 3g

2l y(t) + 32ml2

u(t)

x1 = y(t)

x2 = dydt

Espaco de Estados[x1x2

]=

[0 1

−3g2l − 3b

ml2

].

[x1x2

]+

[03

2ml2

].u(t)

y(t) =[

1 0].

[x1x2

]

Diagrama de Blocos

1+

b = 3π Ns/m2

g = π2 m/s2

l = 2 m

m = 100 kg

4 4

Controle em malha aberta

Sistema

ou

Planta

Controlador

Suscetıvel a incerteza do modelo.

5 5

Controle em malha aberta

Sistema

ou

Planta

Controlador

Suscetıvel a incerteza do modelo.

5 5

Controle em malha aberta

Sistema

ou

Planta

Controlador+

+

Suscetıvel a incerteza do modelo.

Suscetıvel a disturbio.

6 6

Controle em malha aberta

Sistema

ou

Planta

Controlador+

+

Suscetıvel a incerteza do modelo.

Suscetıvel a disturbio.

6 6

Controle em malha fechada

Sistema

ou

Planta+

-

Controlador+

+

Menos suscetıvel a incerteza do modelo.

Menos suscetıvel a disturbio.

Em um sistema em malha fechada o sinal de referencia r(t) passa aser o sinal de entrada.

7 7

Controle em malha fechada

Sistema

ou

Planta

Sensor

+-

Controlador+

+

Para medir o valor de y e necessario um sensor (instrumentacao).

Em geral, podemos supor que o sensor mede y(t) de forma perfeita etem modos naturais muito mais rapidos que os do sistema sendocontrolado.

Com isso e possıvel ignorar o sensor na analise de um sistema decontrole.

8 8

Controle em malha fechada

Sistema

ou

Planta

Sensor

+-

Controlador+

+

Para medir o valor de y e necessario um sensor (instrumentacao).

Em geral, podemos supor que o sensor mede y(t) de forma perfeita etem modos naturais muito mais rapidos que os do sistema sendocontrolado.

Com isso e possıvel ignorar o sensor na analise de um sistema decontrole.

8 8

Controle em malha fechada

Sistema

ou

Planta

Sensor

+-

Controlador+

+

Para medir o valor de y e necessario um sensor (instrumentacao).

Em geral, podemos supor que o sensor mede y(t) de forma perfeita etem modos naturais muito mais rapidos que os do sistema sendocontrolado.

Com isso e possıvel ignorar o sensor na analise de um sistema decontrole.

8 8

Controle em malha fechada

Sistema

ou

Planta+

-

Controlador+

+

Para medir o valor de y e necessario um sensor (instrumentacao).

Em geral, podemos supor que o sensor mede y(t) de forma perfeita etem modos naturais muito mais rapidos que os do sistema sendocontrolado.

Com isso e possıvel ignorar o sensor na analise de um sistema decontrole.

9 9

Controle de atitude de satelite

u(t) = F (t)

y(t) = θ(t)

Equacao diferenciald2y(t)dt2

= 2dJ u(t)

x1 = y(t)

x2 = dydt

Espaco de Estados[x1x2

]=

[0 10 0

].

[x1x2

]+

[03

2ml2

].u(t)

y(t)=[

1 0].

[x1x2

]

Diagrama de Blocos

1

10 10

Pendulo Invertido

u(t) = Ta(t)

y(t) = θ(t)

x1 = y(t)

x2 = dydt

Equacao diferencial

d2y(t)dt2

= mghbJ y(t) + u(t)

Espaco de Estados[x1x2

]=

[0 1

mghbJ 0

].

[x1x2

]+

[01

].u(t)

y(t) =[

1 0].

[x1x2

]

Diagrama de Blocos

1+

g = π2 m/s

hb = 0.85 m

m = 70 kg

J =mh2

b3 kg

11 11

Pendulo

Comprimento da barra:

Momento de inércia da barra:

Massa da barra:

u(t) = M(t)

y(t) = θ(t)

d2y(t)dt2

= −3g2l y(t) + 3

2ml2u(t)

x1 = y(t)

x2 = dydt

Espaco de Estados[x1x2

]=

[0 1

−3g2l 0

].

[x1x2

]+

[03

2ml2

].u(t)

y(t) =[

1 0].

[x1x2

]

Diagrama de Blocos

1+

g = π2 m/s

l = 2 m

m = 100 kg

12 12

Pedidos em um servidor

Tempo T para a executar uma solicitacao.

u(t) = λ(t)

y(t) = Q(t)

dy(t)dt = − 1

T y(t) + u(t)

x1 = y(t)

Espaco de Estados

x1 = − 1T x1 + 1.u(t)

y(t) = 1.x1

Diagrama de Blocos

+ 1

13 13

Motor DC

u(t) = ea(t)

y(t) = ω(t)

Equacoes diferenciais:

dia(t)dt = −Ra

Laia(t) + Kb

Lay(t) + 1

Lau(t)

dy(t)dt = − b

J y(t) + KJ ia(t)

x1 = ia(t)

x2 = y(t)

Espaco de Estados[x1x2

]=

[−Ra

LaKbLa

KJ − b

J

].

[x1x2

]+

[ 1La0

].u(t)

y(t) =[

0 1].

[x1x2

]

Diagrama de Blocos

+ + 1

b = 0, 03 Ns/m2 J = 0, 01 kg.m2 Ra = 0, 5Ω

La = 0, 05 H K = 0, 05 N.m/A Kb = 0, 05 V.s/rad

14 14

Circuito diferenciador

u(t) = v(t)

y(t) = vR(t)

di(t)dt = − 1

RC i(t) + 1R

du(t)dt

y(t) = Ri(t)

x1 = i(t)

Espaco de Estados

x1 = − 1RCx1 + 1.u(t)

y(t) = − 1RC .x1 + 1.u

Diagrama de Blocos

+ +

15 15

Sistema massa-mola-amortecedor

Equacao diferencial:

d2y(t)dt2

= − kmy(t) − b

mdy(t)dt + k

mu(t) + bm

du(t)dt

u(t) = xi(t)

y(t) = xo(t)

x1 = y(t)

x2 = dydt

Espaco de Estados[x1x2

]=

[0 1

−Km − b

m

].

[x1x2

]+

[01

].u(t)

y(t) =[

Km

bm

].

[x1x2

]

Diagrama de Blocos

+ +

Utilizar k = 25 N/m, b = 300 Ns/m em = 1000kg

16 16

Circuito integrador

u(t) = v(t)

y(t) = vc(t)

Equacao Diferencial

di(t)dt = − 1

RC i(t) + 1R

du(t)dt

y(t) = 1C

∫ t−∞ i(t) dt

x1 = y(t)

Espaco de Estados

x1 = − 1RCx1 + 1

RCu(t)

y(t) = 1.x1

Diagrama de Blocos

1+

17 17

Caixa d’agua

u(t) = Qe(t)

y(t) = h(t)

d(t) = Qs(t)

dy(t)dt = − 1

Ad(t) + 1Au(t)

x1 = y(t)

Espaco de Estados

x1 = 0.x1 + 1A .u(t) − 1

Ad(t)

y(t) = 1.x1

Diagrama de Blocos

+ 1

18 18

Linha de montagem

Linha de montagemrecebe ordem de taxa deproducao de carros. Ointeresse e saber comoo estoque de carros secomporta.

u(t) = o(t)

y(t) = S(t)

d(t) = v(t)

Equacoes diferenciais:

dy(t)dt = KP (t) − d(t)

dP (t)dt = −KP (t) + u(t)

x1 = y(t)

x2 = P (t)

Espaco de Estados[x1x2

]=

[0 K0 −K

].

[x1x2

]+

[01

].u(t) +

[−10

].d(t)

y(t) =[

1 0].

[x1x2

]

Diagrama de Blocos

+

19 19

Imunizacao

Uma fracao α de uma populacaosaudavel e infectada por uma doencapor dia. Entre a populacao infectada,uma fracao γ se recupera e setorna imune e uma outra fracao βfalece. Parte da populacao saudavel eimunizada a uma taxa v. O interessee saber como a populacao infectadaevolui ao longo do tempo.

u(t) = v(t)

y(t) = I(t)

Equacoes DiferenciaisdS(t)dt = −αS(t) − u(t)

dy(t)dt = αS(t) − (γ + β)y(t)

dIm(t)dt = u(t) + γy(t)

dM(t)dt = βy(t)

x1 = S(t)

x2 = y(t)

x3 = Im(t)

x4 = M(t)

Espaco de Estadosx1x2x3x4

=

−α 0 0 0α −(γ + β) 0 00 γ 0 00 β 0 0

.x1x2x3x4

+

−1010

.u(t)

y(t)=[

0 1 0 0].

x1x2x3x4

Diagrama de Blocos

+

+-1

+

20 20