Text of Controle Linear II. Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada
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Controle Linear II
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Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada
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Seja o sistema de controle digital em malha fechada apresentado na figura abaixo. Determine a resposta no tempo deste sistema a uma entrada degrau.
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Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada Como visto anteriormente, a funo de transferncia em malha fechada do sistema : Sendo G(z) determinado por:
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Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada Ento, a funo de transferncia do sistema ser:
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Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada Ento, a funo de transferncia do sistema ser: Sendo a funo degrau, na transformada Z, dada abaixo, a sada do sistema ser:
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Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada Sada do sistema: O valor final de c(kT), quando k :
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Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada Simulao do sistema:
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Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada Simulao do sistema:
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Mapeamento entre Plano-S e Plano-Z
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Matematicamente, tambm podemos relacionar os plos entre o plano-S e o plano-Z: Seja a funo de transferncia de segunda ordem no plano-S: Os plos sero: Esses plos no plano-S sero equivalentes aos plos do plano-Z:
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Mapeamento entre Plano-S e Plano-Z Com a relao dada no slide anterior, e fazendo algumas manipulaes matemticas, obtemos os parmetros de coeficiente de amortecimento, frequncia natural e constante de tempo para o sistema de segunda ordem: Coeficiente de amortecimento: Frequncia natural: Constante de tempo:
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Equao Caracterstica
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Considere o sistema de malha fechada apresentado na figura abaixo: A funo de transferncia do sistema : A equao caracterstica (EC) do sistema : As razes da EC so os plos da funo de transferncia em malha fechada.
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Exemplo Seja o sistema apresentado abaixo: A funo de transferncia do sistema ser: A equao caracterstica do sistema :
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Exemplo Os plos do sistema so complexos e localizados em: Com esses dados podemos obter o coeficiente de amortaecimento, a frequncia natural e a constante de tempo do sistema: Lembrando que Logo,
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Exemplo Se compararmos os valores do coeficiente de amortecimento, frequncia natural e constante de tempo do sistema, veremos que os valores quando o controle totalmente analgico difere dos valores quando o controle digital. Isto se deve ao fato do perodo de amostragem ser alto.
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Exemplo Para que a amostragem no tenha efeito sobre o sistema, o perodo de amostragem T deve ser muito menor do que a constante de tempo do sistema. A razo /T simplesmente o nmero de amostras por constante de tempo. ou
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Estabilidade de Sistemas Discretos
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Nesta seo ser estudada a estabilidade de sistemas de controle discretos no tempo. Considere o seguinte sistema: A estabilidade do sistema acima ser determinada pela localizao dos plos em malha fechada no plano-Z:
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Estabilidade de Sistemas Discretos Assim, tomando a EC do sistema analisamos: Para o sistema ser estvel, os plos em malha fechada ou as razes da EC devem estar dentro do crculo unitrio no plano-Z. Qualquer plo em malha fechada que estiver fora do crculo torna o sistema instvel. Se um nico plo estiver em z=1 (ou plos complexos em |z|=1), o sistema se torna criticamente estvel. Mais de um plo em cima do crculo unitrio torna o sistema instvel. Os zeros em malha fechada no afetam a estabilidade absoluta do sistema e portanto, podem estar localizados em qualquer lugar do Plano-Z.
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Estabilidade de Sistemas Discretos Exemplo Considere o sistema de controle da figura abaixo. Determine a estabilidade do sistema quando K =1. Soluo
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Estabilidade de Sistemas Discretos Exemplo Sendo a funo de transferncia em malha fechada, A equao caracterstica :
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Estabilidade de Sistemas Discretos Exemplo Equao Caracterstica: As razes da EC so: Como, Logo, o sistema estvel.
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Estabilidade de Sistemas Discretos Testes de Estabilidade Trs testes de estabilidade podem ser aplicados diretamente a equao caracterstica, P(z) = 0, sem ter que resolver as razes dessa equao. Esses testes so: Teste de estabilidade Schur-Cohn Teste de estabilidade Jury Transformao bilinear (Critrio de Routh-Hurwitz)
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Estabilidade de Sistemas Discretos Testes de Estabilidade Os dois primeiros testes revelam a existncia de possveis razes instveis ( razes que se localizam fora do crculo unitrio no plano Z); Ambos os testes ( Schur-Cohn e Jury) podem ser aplicados a equaes polinomiais com razes reais ou complexas. Entre os testes, daremos nfase ao teste de estabilidade de Jury.
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Estabilidade de Sistemas Discretos Teste de Estabilidade de Jury Um critrio de estabilidade para sistemas discretos muito utilizado o critrio de Jury (ou teste de estabilidade de Jury). O teste de Jury aplicado a partir de uma equao caracterstica P(z). Uma tabela ser construda sendo os elementos da tabela dados pelos coeficientes da equao caracterstica P(z).
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Estabilidade de Sistemas Discretos Teste de Estabilidade de Jury Seja a equao caracterstica de um sistema discreto expressa como: A tabela para o teste de Jury ento formada como apresentada ao lado:
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Estabilidade de Sistemas Discretos Teste de Estabilidade de Jury As linhas pares da tabela so os elementos da linha anterior, mas com a ordem invertida. J os elementos das linhas mpares so formados a partir dos determinantes:
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Estabilidade de Sistemas Discretos Teste de Estabilidade de Jury As condies necessrias e suficientes para que a EC P(z) no tenha razes fora do crculo unitrio so: O teste de Jury pode ser aplicado da seguinte maneira: Teste as trs primeiras condies (1), (2) e (3). Pare se uma dessas no for satisfeita. Construa a tabela e teste as condies seguintes. Pare se uma das condies no for satisfeita. Para sistemas de ordem n, sero necessrias um total de n+1 restries.
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Estabilidade de Sistemas Discretos Teste de Estabilidade de Jury Exemplo 2 Suponha que a eq. caracterstica de um sistema discreto em malha fechada dada pela expresso: Soluo A ordem do sistema 3 (n = 3). Para essa EC temos:
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Estabilidade de Sistemas Discretos Teste de Estabilidade de Jury Exemplo 2 Primeiramente, iremos analisar as trs primeiras condies: ok
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Estabilidade de Sistemas Discretos Teste de Estabilidade de Jury Exemplo 2 Passaremos para a construo da tabela de Jury: Como a ordem do sistema 3, iremos analisar at a 4 a restrio.
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Estabilidade de Sistemas Discretos Teste de Estabilidade de Jury Exemplo 2 Passaremos para a construo da tabela de Jury: ok
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Estabilidade de Sistemas Discretos Teste de Estabilidade de Jury Portanto, como todas as restries possveis foram satisfeitas, conclumos que o sistema estvel. Podemos ver essa mesma situao (sistema estvel) ao fatorarmos a EC: ok
