Convo Lut If

8/18/2019 Convo Lut If

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Année 2011 - 2012

Transmission de l’information :

Les codes convolutifs

(A. Migan), S. Argentieri


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2/89Transmission de l’Information : les codes convolutifs

I. Princi e du coda!e convolutif

"es codes convolutifs forment une classe e#tr$mement sou le et efficace de codes correcteurs d’erreur.

%e sont les codes les lus utilisés dans les communications fi#es et mo&iles.

"es codes convolutifs ont les m$mes caractéristi'ues 'ue les codes en &loc sauf 'u’ils s’a li'uent ( desséquences infinies de

symboles d’information et !én)rent desséquences infinies de symboles de code.



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I. 1. +ncodeurs

Théorème fondamental du codage de canal

La complexité du codeur est nécessaire à l’obtention

de bonnes performances

Pour les codes en &loc :n et k doivent $tre !rands

Pour les codes convolutifs : il suffit 'uem soit !rand

"o!i'ue com&inatoire

e!istre ( m 1 ×k éta!es

%onvertisseur Parall)le-

3érie

+ntrée4loc de k

éléments

&inaires

3ortie4loc de n

éléments

&inaires



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?/89Transmission de l’Information : les codes convolutifs


I. *. +#em le

+#em le de codeur convolutif non s,stémati'ue :

1/2 @m 2 @k 1 @n 2

A c>a'ue as de tem s :

n com&ine les valeurs de l’entrée et de la mémoire our calcu

les sorties @

%>a'ue re!istre ( décala!e est mis (


7/67B/89Transmission de l’Information : les codes convolutifs

"a distance libre est la &orne inférieure des distances de Cammin! entre toutes les sé'uences de sortie du codeur.

"a distance minimale est la lus etite distance entre des c>emins artant du m$me oint et , revenant.

I. 5. "es distances dans les codes convolutifs




8/678/89Transmission de l’Information : les codes convolutifs

e résentations numéri'ues :

Transformée en D @

7atrice de transfert @

e résentations !ra >i'ues :

Dia!ramme d’état @

Ar&re @ Treillis.


II. e résentations des codes convolutifs



II. 1. e résentations numéri'ues : Transformée en D

Ene sé'uence de s,m&oles est re résentée ar unesérie formelle en la varia&le D. %ette varia&le re résente

l’o érateur de retard unitaire :

"a réponse impulsionnelle du i)me modulehi(D est la sé'uence de sortie roduite lors'ue le messa!e d’entrée est une

suite commenFant ar le s,m&ole G1’ et se terminant ar une suite de G0’ de lon!ueur infinie :

#i D >i D .s D



+++++=+++++=

...D.#...D.#D.##2D0#...D.s...D.sD.ss2D0s



e1 D D.s D

e2 D D.e1 D D2.s D

#1 D s D e2 D 1 D2 .s D

#2 D s D e1 D e2 D 1 D D2 .s D




1



e1 D D.s D

e2 D D.e1 D D2.s D

e* D D.e2 D D*.s D

#1 D s D e2 D e* D

#1 D 1 D2 D* .s D

#2 D s D e1 D e2 D e2 D

#2 D 1 D D2 D* .s D

k 1 @n 2 @m *




( ) ( )*2*2 DDD1DD1DC +++++=



#1 D s1 D e12 D

#1 D 1 D2 .s1 D 0.s2 D

#2 D e11 D e12 D e21 D

#2 D D D2 .s1 D D.s2 D

#* D e11 D s2 D

#* D D.s1 D 1.s2 D

k 2 @n * @m 2




#1 D

#2 D

#* D

s1 D

s2 D

( )

++=

1D0DDDD1DC

22


13/671*/89Transmission de l’Information : les codes convolutifs


"a matrice de transfert donne la relation entrée-sortie sous forme matricielle. n l’écrit our c>a'ue éta!e de sortie.

"a matrice de transfert !lo&ale est la concaténation des matrices récédentes. +lle ak li!nes et(m+1) n colonnes.

II. 2. e résentations numéri'ues : 7atrice de transfert


"a i)me li!ne donne la relation entre

et

"a i 1 )me li!ne donne la relation entre et

Pour lak i)me sortie :

"a 1)re colonne corres ond ( l’instant

"a 2)me colonne corres ond ( l’instant H 1 ;

.



elations entrée/sortie :

7atrices de transfert intermédiaires :

7atrices de transfert :k 2 n * m 2


II. 2. e résentations numéri'ues : 7atrice de transfert


1




%>a'ue &loc den éléments &inaires en sortie du codeur dé end :

Du &loc dek éléments &inaires résents ( son entrée @

Desm &locs dek éléments &inaires contenus dans sa mémoire.

%esm.k éléments &inaires définissentl’état du codeur.

k 1

n 2

m 2


"es 'uatre états ossi&les du codeur sont :

G00’ G01’

G10’ G11’

II. *. e résentations !ra >i'ues

1


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1?/89Transmission de l’Information : les codes convolutifs


II. *. e résentations !ra >i'ues : Dia!ramme d’état


"es conventions ado tées :

"ors'ue l’élément &inaire d’entrée du codeur est é!al ( G0’ res . G1’ le cou le &inaire en sortie du codeur est orté ar la

branche rou!e res .verte .

3eules deu# ! transitions sont ossi&les ( artir de c>acun des états.

"es étiquettes de c>a'ue &ranc>e corres ondent au# sorties du codeur.


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1B/89Transmission de l’Information : les codes convolutifs

!!

00

!

Jtat a

G00’

Jtat G11’

Jtat G10’ Jtat G01’

!

!

!

Instant j

Instant j+1

Instant j+1 "

Instant j

#tat $!!’

!!



II. *. e résentations !ra >i'ues :

Dia!ramme d’état


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%

00

!

Jtat a

G00’

Jtat G11’


#tat $!!’

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%

%

Instant j

Instant j+1Instant j

11




Dia!ramme d’état


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00

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Jtat G00’

Jtat G11’

Jtat G10’ Jtat &

G01’

#tat $!%’

%!!

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Instant j


11 11




Dia!ramme d’état


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!%

00

Jtat G00’

Jtat G11’

Jtat G10’ Jtat &

G01’

#tat $!%’

%!%

!

!

Instant j


11

00

11




Dia!ramme d’état


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00

Jtat G00’

Jtat G11’


11

00

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10

1010

01




Dia!ramme d’état


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00

Jtat G00’

Jtat G11’


%%

00

%%

10

%!%!

01

"a distance minimale est le oids du c>emin artant de

G00’ et , revenant le lus vite ossi&le :

Poids ?




Dia!ramme d’état


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2*/89Transmission de l’Information : les codes convolutifs

00

Jtat G00’

Jtat G11’


%%

00

%%

%!

1010

01

"a distance minimale est le oids du c>emin artant de

G00’ et , revenant le lus vite ossi&le :

Poids 6

dmin

& '




Dia!ramme d’état


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II. e résentation des codes convolutifs

II. 5. e résentations !ra >i'ues : Ar&re

Dévelo ement du dia!ramme d’état en fonction du tem s discrétisé

"es conventions ado tées :

"e tem s s’écoule de la !auc>e vers la droite

"ors'ue l’élément &inaire d’entrée du codeur est é!al ( G0’ res . G1’ le cou le &inaire en sortie du codeur est orté ar la

branche su érieure res .inférieure .

"es &ranc>es se sé arent en un oint a elén ud. %>a'ue nKud donne naissance ( 2k 'k &ranc>es.

Luel'ue soit l’état initial du codeur a r)s m " # décala!es ( l’entrée du codeur tous les états du codeur euvent $tre atteints



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Instant j+1

Instant j

!!

!!





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!

!

!

!

!

Instant j+1

Instant j

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00

!!

!!



t 1



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%

%

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Instant j+1

Instant j

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00

!!

!!

%!



t 1



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!

!

!

Instant j+1

Instant j

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00

11

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!!

!!

%!

%!



t 1 t 2



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Instant j+1

Instant j

00

00

11

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!!

!!

!%

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%!

%%



t 1 t 2



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*0/89Transmission de l’Information : les codes convolutifs

Instant j+1

Instant j

00

00

11

00

01

11

10

00

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01

00

11

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t 1 t 2 t * t 5



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00

11

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01

11

10

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11

01

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10t t 1 t 2 t * t 5

!!

!!

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%!%%

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%%

%!

%%

%%

%%

%%

Partant de l’état G!! ’ ( l’instantt il e#istedeu# c>emins our

atteindre l’état G!! ’ ( l’instantt *

00 00 00 → %>emin 1





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00

00

11

00

01

11

10

00

11

01

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11

10

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!!

!!

!!

!!

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%!

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%!

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%!

%!%%

%%

%%

%!

%%

%%

%%

%%

11 01 11 → %>emin 2

Partant de l’état G!! ’ ( l’instantt il e#istedeu# c>emins

our atteindre l’état G!! ’ ( l’instantt *

00 00 00 → %>emin 1



t t 1 t 2 t * t 5



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**/89Transmission de l’Information : les codes convolutifs

00

00

11

00

01

11

10

00

11

01

00

11

10

!!

!!

!!

!!

!!

!!

!!

!!

!!

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%!

%!

%!

%!

%!

%!

%!%%

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%%

%!

%%

%%

%%

%%

Distance minimale : dmin

6



11 01 11 → ω 600 00 00 →

t t 1 t 2 t * t 5



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00

00

11

00

01

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10

00

11

01

00

11

10

!!

!!

!!

!!

!!

!!

!!

!!

!!

!%

!%

!%

!%

!%

!%

!%

%!

%!

%!

%!

%!

%!

%!%%

%%

%%

%!

%%

%%

%%

%%

3i la sé'uence d’information est : G1001’

00

1

→ 0101

→ 0011

→ 1011

Le mot de code associé ) $%!!%’ est $%%!%%%%%’

→ 1011

0 0 1!%

%%

%%%%



t t 1 t 2 t * t 5



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d l f


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*?/89Transmission de l’Information : les codes convolutifs

00

!

!

!

!


!

Instant j+1

Instant j

!! 00

01

10

11

t t 1


II. 6. e résentations !ra >i'ues : Treillis


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L d l if


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11

00

11

00

01


!

!

%

!

%

Instant j+1

Instant j

!% 00

01

10

11

t t 1 t 2



L d l if


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11

00

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00

01

10

%

%

!

%


%

Instant j+1

Instant j

!% 00

01

10

11

t t 1 t 2



L d l tif


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11

00

11

0011

00

11

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01

10

01

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00

11

00

01

10

00

01

10

11

t t 1 t 2 t * t 5

01 01

10 10

A r)s m 1 décala!es 'uel'ue soit l’état initial du codeur le motif du

treillis se ré )te



L d l tif


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%omme our le dia!ramme en ar&re artant de l’état G!! ’ (

l’instantt il e#istedeu# c>emins our atteindre l’état G!! ’ (

l’instantt *

00 00 00 → %>emin 111 01 11

→ %>emin 2 @ω $ %

11

00

11

0011

00

11

00

01

10

01

10

11

00

11

00

01

10

00

01

10

11

t t 1 t 2 t * t 5

01 01

10 10

dmin

6



L d l tif


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"a sé'uence d’information est G1001’

11

00

11

0011

00

11

00

01

10

01

10

11

00

11

00

01

10

00

01

10

11

t t 1 t 2 t * t 5

01 01

10 10

→ 0100 → 00 → 101 0 0 1

01 11 11

Le mot de code associé ) $%!!%’ est $%%!%%%%%’

→ 1011

11

01

11

11





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III. %odes articuliers

Dédier une sortie au# &its d’information :

III. 1. "es codes s,stémati'ues


5 6 *octal

!!

!%

%!

%%

000

101110

011

010

111

100

001

000

101110

011

010

111

100

001

é onse im ulsionnelle :

7atrice de transfert :

Treillis :

( ) ( 22

DDD11DC ++=



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III. 2. "es codes récursifs s,stémati'ues


é onses im ulsionnelles :4oucle de retour :

( ) ( )DsD#1 =

1 <

2 < < ees ++

1 < <

2 <

1 <

2 < <

2 <

2 <

es#eese#

+=+++=

<

1

<s# = ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ([ ]

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )DsDD1

DDsD#

DsDD1D

De

Ds.DDe.DD1DeDe.DDsDDe

DeDeDsDDeDeDsD#

22

21

12

111

121

12

+++=++=

=++++×=

++×=+=

( )

+++

= 22

DD1D1

1DC



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III. 2. "es codes récursifs s,stémati'ues


é onses im ulsionnelles :

Treillis :

!!

!%

%!

%%

00

1111

00

10

01

01

10

00

1111

00

10

01

01

10

4oucle de retour :

( )

+++

= 22

DD1D1

1DC



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En code catastro >i'ue est un code 'ui !én)re unnombre infini d’erreurs

Ene sé'uence d’information de oids infinie est codée ar une sé'uence de oids fini

"e décodeur recevant une sé'uence de oids fini estimera 'ue la sé'uence d’entrée était constituée d’un mot de oids fini s

de Méros.



III. *. "es codes catastro >i'ues



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00

Jtat a

G00’

Jtat d

G11’

Jtat c

G10’

Jtat &

G01’

11

10

01

10

0111

00






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01

00

01

0011

00

11

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10

01

10

01

11

00

%%

00

10

!%

00

01

10

11 !! !!

10 10

A li'uons ( l’entrée de ce codeur une sé'uence constituée

d’un nom&re infini de G1’.

A la sortie a araNtra le mot G1101’ suivi d’un nom&re infi

de G0’

"e décodeur estimera 'ue l’entrée était constitué d’un mot de

oids fini ar e#em le G1010’ suivi d’un nom&re infini de

G0’






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01

00

01

0011

00

11

00

10

01

10

01

11

00

%%

00

10

!%

00

01

10

11!! !!

10 10

00

Jtat a

G00’

Jtat d

G11’

Jtat cG10’

Jtat &G01’

11

10

01

10

0111

00




Tous les codeurs catastro >i'ues ont :

Dans leur re résentation en treillis : unarc hori*ontal roduisant une sortie de oids

nul our une entrée de oids non nul

Dans leur dia!ramme d’état : une &oule ortant l’éti'uette G00’ our une entrée é!ale (

G1’


50/67



51/67


A c>a'ue instant deu# &ranc>es a artenant ( deu# c>emins différents conver!ent vers c>a'ue noeud.

De ces deu# c>emins l’un est lus vraisem&la&le c’est-(-dire se trouve ( une distance lus etite de la sé'uence reFue '

l’autre c>emin.

"es distances étant additives il est ossi&le de ne conserver en c>a'ue nKud 'ue le c>emin le lus vraisem&la&le a elé

survivant.

3i deu# c>emins sont aussi vraisem&la&les un seul c>emin est ar&itrairement conservé.


IO. Décoda!e convolutif

IO. 1. Al!orit>me de Oiter&i



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3u osons 'ue la sé'uence ( l’entrée du codeur soit G1 0 0 1’.

3i le codeur est dans l’état G00’ ( l’instant initial

la sé'uence corres ondante en sortie du codeur est ’11 01 11 11’.

%onsidérons un canal &inaire s,métri'ue introduisant une erreur en osition 5.

"a sé'uence reFue ( l’entrée du décodeur est ’11 00 11 11’.

Ooici le déroulement de l’al!orit>me de Oiter&i :






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00

11

!!

!%

%!

%%

t 0 t 1

(,

(!

7ot reFu : G11’

A l’instant t 0 :

Deu# &ranc>es artent de l’état G00’. +lles sont res ectivement ( la distance, et ! du

remier cou le &inaire reFu. e ortons ces deu# distances a eléesmétriques de

branche sur le treillis.





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00

11

!!

!%

%!

%%

t 0 t 1

A l’instant t 1 :

Jvaluons la distance entre le deu#i)me cou le &inaire reFu et les 'uatre

&ranc>es 'ui artent des états G00’ et G10’ uis re ortons ces 'uatre

métri'ues sur le treillis.

+n sommant les métri'ues de &ranc>es a artenant ( un m$me c>emin

o&tenons lesmétriques cumulées.

Qous avons désormais 'uatre c>emins 'ui ermettent d’accéder en t 2

au# 'uatre états ossi&les du codeur.

00

11

t 2

(,

(-

2

0

(%

(%

01

10

7ot reFu : G11’ G00’






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11

00

01

10

11

t 0 t 1

A l’instant t 2 :

Il e#iste désormais deu# c>emins 'ui conver!ent vers c>a'ue nKud du

treillis.

00

11

t 2

2

001

10

11

t *

2

1

11

5

1

01

10

7ot reFu : G11’ G00’ G11’

00

0001

10






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t 0 t 1

A l’instant t 2 :


treillis.

n va donc :

00

11

t 2

2

001

101. %alculer les métri'ues de &ranc>e.

11

t *

2

1

11

5

1

01

10

7ot reFu : G11’ G00’ G11’

00

0001

10

5

6

2

6

1

2

*

22. %alculer les métri'ues cumulées our c>a'ue c>emin

attei!nant en t * un nKud donné du treillis.





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00

11

00

01

10

11

t 0 t 1

A l’instant t 2 :


treillis.

n va donc :

00

11

t 2

2

001


11

t *

2

1

11

5

1

01

10

7ot reFu : G11’ G00’ G11’

00

10

2

6

*



*. +n c>a'ue nKud ne retenir 'ue le survivant.

(%

(,





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00

11

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10

11

t 0 t 1

A l’instant t 2 :


treillis.

n va donc :

00

11

t 2

2

001


11

t *

2

1

11

5

1

01

10

7ot reFu : G11’ G00’ G11’

106




(%

(,

(,





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?0/89Transmission de l’Information : les codes convolutifs

00

11

00

01

10

11

t 0 t 1

A l’instant t 2 :


treillis.

n va donc :

00

11

t 2

2

001


11

t *

2

1

11

5

1

01

10

7ot reFu : G11’ G00’ G11’




(%

(,

(,

(,





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00

11

00

01

10

11

t 0 t 1

A l’instant t * :

n roc)de de la m$me faFon

00

11

t 2

2

001

10

11

t *

2

1

11

5

1

01

10

11

t 5

1

2

11

2

2

01

(,

(.

(%

(.

01

7ot reFu : G11’ G00’ G11’ G11’





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00

11

00

01

10

11

t 0 t 1

Rinalement le c>emin le lus vraisem&la&le est celui

'ui arrive en G10’.00

11

t 2

2

001

10

11

t *

2

1

11

5

1

01

10

11

t 5

1

2

11

2

2

01

(,

(.

(%

(.

01





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?*/89Transmission de l’Information : les codes convolutifs

00

%%

00

01

10

11

t 0 t 1

Rinalement le c>emin le lus vraisem&la&le est celui

'ui arrive en G10’.00

11

t 2

2

0 !%

10

11

t *

2

1

%%

5

1

01

10

%%

t 5

1

2

11

2

2

01

(,

(.

(%

(.

01

+n remontant le treillis de la droite vers la !auc>e on

voit 'ue la sé'uence la lus vraisem&la&le est celle

'ui art de G00’ ( t 0 et 'ui arrive ( G10’ ( t 5. +lle

corres ond au code vraisem&la&lement émis : G11 01

11 11’.

%e code corres ond ( une sé'uence sur l’entrée du codeur é!ale ( G1001’."’erreur en osition 5 est donc corri!ée.





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Oiter&i : com le#ité de calcul en 2m

Amélioration des codes convolutifs sim au!mente

S Décoda!e sé'uentiel

/echerche d’un parcours optimal dans un graphe :

Oiter&i : +valuer la 'ualité de tous les c>emins ( une rofondeur donnée

3é'uentiel : Parcours d’un uni'ue c>emin tant 'u’il araNt &on

IO. 2. Décoda!e sé'uentiel




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Dans la structure d’ar&re ( c>a'ue nKud on calcule les distances corres ondantes au# deu# successeurs et l’on oursui

dans la direction de celle 'ui conduit au c>emin le lus court.

3i on c>oisit une mauvaise route la distance o&servée dé asse un seuil fi#é : on re&rousse c>emin et on re rend dans

une autre direction

7ais cela eut arriver de nouveau

us'u’o faut-il remonter dans l’ar&re U

0émoire tampon importante

IO. 2. Décoda!e sé'uentiel : Al!orit>me de Rano



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Documents

Convo Lut If