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  • TD Mecaniques des Milieux Continus - Corrections

    Mars 2008

  • TD Mecanique des Milieux Continus David Baratoux, 2008

    Ce polycopie de TD contient lensemble des exercices que nous pourrons traiter au cours dece module ainsi que des sujets dexamen des annees precedentes pour vous entraner dans vosrevisions. Il est vivement conseille de preparer les exercices avant le TD. La realisation des exerciceset les notes de cours qui vous serviront de complement aux cours de Michel Rabinowicz ont beneciedes suggestions de vos colle`gues des annees precedentes, et de discussions avec Michel Rabinowicz,Raphael Garcia, Emmanuel Gardes et Michal Bistricky. Nhesitez pas a` nous faire part de vosremarques pour continuer denrichir ce document.

    David Baratoux, Michel Rabinowicz, Raphael Garcia.

    1

  • TD Mecanique des Milieux Continus David Baratoux, 2008

    TD 1

    Outils Mathematiques

    2

  • TD Mecanique des Milieux Continus David Baratoux, 2008

    Ja

    Rappel sur les changements de base

    Objectif : Determiner la matrice de passage dune base dans une autre base et exprimer lamatrice dune transformation lineaire dans la nouvelle base en fonction de la matrice associee a`cette meme transformation lineaire dans lancienne base

    Soient la base (e1, e2) et une nouvelle base (e1, e2) tournee par rapport a` la premie`re base dunangle (cf. Fig. 1.1). Les coordonnees de ces nouveaux vecteurs sont tels que :{

    e1 = cos e1 + sin e2

    e2 = sin e1 + cos e2

    Les coordonnees du point M(x,y) dans lancienne base sont :

    OM = xe1 + y e2

    Cela equivaut, en notation matricielle, a` :

    X =(xy

    )Les coordonnees du point M(x,y) dans la nouvelle base sont tels que :

    OM = x e1 + y e2

    Si lon exprime le vecteurs OM dans lancienne base en fonction de x et y, on obitent :OM = (x cos y sin )e1 + (x sin + y cos )e2

    Le matrice de passage permet dexprimer les coordonnees de M dans lancienne base en fonctiondes coordonnees dans la nouvelle base :(

    xy

    )=(cos sin sin cos

    )(x

    y

    )Soit

    X = PX

    La matrice de passage P est composee dans chaque colonne par les coordonnees des vecteurs dela nouvelle base dans lancienne base :

    P =(cos sin sin cos

    )

    Soit maintenant une application lineraire representee par la matrice A dans la base (e1, e2). Yest le vecteur transforme de X par cette application lineaire :

    Y = AX

    Dans la nouvelle base cette transformation lineaire est representee par la matrice A telle que :

    Y = AX

    ou` X et Y sont les transforme de X et Y . Or, Y = PY et X = PX , on a donc :

    PY = APX

    SoitY = P1APX

    La matrice A de la transformation lineaire dans la nouvelle base est determinee par :

    A = P1AP

    3

  • TD Mecanique des Milieux Continus David Baratoux, 2008

    e 1'

    e 2e2 '

    -sin cos

    sin

    cos

    Fig. 1.1 Representation des vecteurs de lancienne base et de la nouvelle base

    Exercice I

    a) Soit F (x) = 4x+ 5, calculez F (2x), F (x2), et F (x + 3).

    F (2x) = 8x + 6 (1.1)

    F (x2) = 4x2 + 5 (1.2)

    F (x + 3) = 4x + 4 3 + 5 = 4x+ 17 (1.3)

    b) Soient les vecteurs :

    X =

    123

    , Y =

    456

    (1.4)

    et les matrices :

    A =

    1 0 01 2 00 0 3

    , B

    3 0 00 0 00 0 1

    (1.5)

    Calculer X + Y , X Y , ||X ||, 3X .

    X + Y =

    579

    (1.6)

    X Y = XTY = 1 4 + 2 5 + 3 6 = 32 (1.7)

    ||X || =

    12 + 22 + 32 =14 (1.8)

    c) Calculer 3A, Z = A X , C = A B, det(A), Tr(A).

    4

  • TD Mecanique des Milieux Continus David Baratoux, 2008

    3A =

    3 0 03 6 00 0 9

    (1.9)

    Z =

    1 0 01 2 00 0 3

    123

    =

    159

    (1.10)

    C =

    1 0 01 2 00 0 3

    3 0 00 0 00 0 1

    =

    3 0 03 0 00 0 3

    (1.11)

    Le determinant dun matrice 2*2 secrit :a bc d = a d b c (1.12)

    Le determinant dune matrice 3*3 seectue en calculant suivant une ligne ou une colonne dela manie`re suivante (example suivant la premie`re ligne) :

    a b cd e fg h i

    = a (e i h f) b (d i g f) + c(d h g e) (1.13)Pour le determinant de A, on obtient :

    Det(A) = (+1) 1 (2 3) = 6 (1.14)

    Exercice II

    Calculer le produit des matrices

    A =(1 24 4

    ), B =

    (2 03 1

    )(1.15)

    AB =(1 24 4

    )(2 03 1

    )=(1 2 + 2 3 1 0 + 2 (1)4 2 + 4 3 4 0 + 4 (1)

    )=(

    8 220 4

    )(1.16)

    Exercice III

    Soient les matrices :

    A =

    1 2 32 0 13 1 1

    B =

    5 0 71 2 31 0 2

    (1.17)

    Calculer les produits AB et BA, conclure quant a` la commutativite de la multiplication matri-cielle.

    AB =

    1 2 32 0 13 1 1

    5 0 71 2 31 0 2

    =

    4 4 199 0 1613 2 20

    (1.18)

    et

    5

  • TD Mecanique des Milieux Continus David Baratoux, 2008

    BA =

    5 0 71 2 31 0 2

    1 2 32 0 13 1 1

    =

    26 3 2214 1 8

    5 4 1

    (1.19)

    Cela sut a` conclure que le produit matriciel nest en general pas commutatif.

    Exercice IV

    Soit la matrice

    A =(1 23 4

    )(1.20)

    Calculer la matrice A2 et A2 + 5 A

    A2 =(1 23 4

    )(1 23 4

    )=(

    7 1015 22

    )(1.21)

    A2 + 5A =(

    7 1015 22

    )+(

    5 1015 20

    )=(12 2030 42

    )(1.22)

    Exercice V

    a) Calculer la matrice de la transformation lineaire denie par :

    (1)y1 =3 x1 + x2 (1.23)(2y2 =7 x1 + 5 x2 (1.24)

    La matrice de cette transformation lineaire secrit :

    A =(3 17 5

    )(1.25)

    tel que : (y1y2

    )=(3 17 5

    )(x1x2

    )(1.26)

    b) Calculer aussi la matrice inverse de cette transformation.

    Pour calculer la matrice inverse de cette transformation, il faut calculer la matrice permettantdecrire x1 et x2 en fonction de y1 et y2. Il faut donc resoudre le syste`me precedent ayant pourinconnues x1 et x2. Par combinaison lineaire (2) - 5(1), on trouve :

    8x1 = 5y1 y2 (1.27)Puis en remplacant dans (2) x1 par lexpression trouvee ci-dessus, on a :{

    x1 = 58y1 18y2x2 = 78y1 + 38y2

    (1.28)

    La matrice inverse de cette transformation secrit donc :

    6

  • TD Mecanique des Milieux Continus David Baratoux, 2008

    A1 =(

    58 18 78 38

    )(1.29)

    Et lon verie que le produit des deux matrices est egal a` la matrice identite :

    A1A =(

    58 18 78 38

    )(3 17 5

    )=(1 00 1

    )(1.30)

    Exercice VI

    a) En deux dimensions, on passe de la base orthonormee B = (e1, e2) a` la base B = (e1, e2

    ) parune symetrie par rapport a` la premie`re bissectrice. Donner la matrice de passage de ce changementde base.

    La matrice de ce changement de base secrit :

    P =(0 11 0

    )(1.31)

    b) La matrice A est la matrice de lapplication lineaire de rotation dangle , donner lexpressionde A dans la base B, puis dans la pase B.

    La matrice de rotation dans B secrit :

    A =(cos sin sin cos

    )(1.32)

    Pour calculer la matrice de rotation dans B on peut utiliser la relation A = P1AP . Lamatrice inverse de la matrice de passage secrit :

    P1 =(0 11 0

    )(1.33)

    On peut calculer la matrice inverse en passant par les cofacteurs, ou simplement remarquer queloperation de symmetrie par rapport a` la bissectrice eectuee deux fois nous rame`ne dans lepremier repe`re. La matrice inverse est de cette operation de symmetrie est donc egale a` sa proprematrice.

    On calcule alors :

    A = P1AP =(0 11 0

    )(cos sin sin cos

    )(0 11 0

    )=(

    cos sin sin cos

    )(1.34)

    Cest un rotation dangle .

    c) En trois dimensions, on passe de la base orthonormee B = (e1, e2, e3) a` la base B par unerotation dangle = 45o autour de e3. Donner la matrice de passage de ce changement de base.

    La matrice de passage qui contient dans chaque colonne les coordonees des nouveaux vecteursdans lancienne base secrit :

    P =

    cos(45) sin(45) 0sin(45) cos(45) 0

    0 0 1

    (1.35)

    7

  • TD Mecanique des Milieux Continus David Baratoux, 2008

    X

    Y

    UV M

    M'

    Z

    u=u'

    v

    v' =

    -v

    y' = x

    x' = y

    y

    x

    Fig. 1.2 Representation de lapplication lineaire de matrice A transformant le point M en M .Dans le repe`re dorigine les coordonnes de M sont (x,y) et deviennent (x = y,y = x). Dans lenouveau repe`re U,V, les coordonees de M sont (u,v) et deviennent (u = u,v = v).

    d) Donner lexpression de la matrice A ci-dessous dans la base B.

    A =

    0 1 01 0 00 0 1

    (1.36)

    La matrice A dans le nouveau repe`re secrit :

    A = P1AP =

    2/2

    2/2 0

    2/2 2/2 00 0 1

    0 1 01 0 00 0 1

    2/2 2/2 02/2

    2/2 0

    0 0 1

    (1.37)

    Ce qui donne :

    A =

    1 0 00 1 00 0 1

    (1.38)

    Exercice VII

    a) Diagonaliser la matrice :

    A =

    1 2 22 1 22 2 3

    (1.39)

    Lorsque la matrice est diagonale, les vecteurs propres sont les axes du repe`res et lon a simple-ment :

    1 0 00 2 00 0 3

    100

    =

    10

    0

    = 1

    100

    (1.40)

    8

  • TD Mecanique des Milieux Continus David Baratoux, 2008

    De meme avec le deuxie`me axe du repe`re :1 0 00 2 0

    0 0 3

    010

    =

    02

    0

    = 2

    010

    (1.41)

    et avec le troisie`me axe du repe`re :1 0 00 2 0

    0 0 3

    001

    =

    00

    3

    = 3

    001

    (1.42)

    Les valeurs 1,2 et 3 sont les valeurs propres de cette matrice.Dans un autre repe`re, on peut ecrire les memes operations pour les trois vecteurs propres v1,

    v2 et v3 :

    Av1 = 1v1Av2 = 2v2Av3 = 3v3

    (1.