Corso di Formazione per docenti di Scuola Superiore:

Il calcolo infinitesimale nei licei non scientifici

Marzo-Aprile 2014 LaboratorioDidattico effediesse

Dipartimento diMatematica – Politecnico di Milano

Prof. Marco Bramanti

Pagina web del corso (materiale scaricabile ecc.): www1.mate.polimi.it/~bramanti/corsi/corso_formazione_analisi_2014.htm

Raggiungibile anche dalla pagina web effediesse:http://fds.mate.polimi.it/

formazione, formazione docenti, calcolo infinitesimale, link a fondo pagina.

Lezione 3. Calcolo differenziale (prima parte)

Dalle indicazioni nazionali per il 5° anno dei licei non scientifici.

Matematica, Relazioni e funzioni

“Lo studente acquisirà i principali concetti del calcolo infinitesimale – in particolare la continuità, la derivabilità e l’integrabilità – anche in relazione con le problematiche in cui sono nati (velocità istantanea in meccanica, tangente di una curva, calcolo di aree e volumi).

Non sarà richiesto un particolare addestramento alle tecniche del calcolo, che si limiterà alla capacità di derivare le funzioni già studiate, semplici prodotti, quozienti e composizioni di funzioni, le funzioni razionali (…)

L’obiettivo principale sarà soprattutto quello di comprendere il ruolo del calcolo infinitesimale in quanto strumento concettuale fondamentale nella descrizione e nella modellizzazione di fenomeni fisici o di altra natura.

In particolare, si tratterà di approfondire l’idea generale di ottimizzazione e le

sue applicazioni in numerosi ambiti”.

Problemi da cui nasce il calcolo differenziale

Il problema della tangente, legato anche alla ricerca di massimi e minimi di una funzione (teorema di Fermat) e il problema di definire la velocità istantanea di variazione di una qualsiasi grandezza. (v. prima lezione).

Tangente: riprendere le definizioni di tangente incontrate a scuola: tangente alla circonferenza come retta perpendicolare al raggio, tangente a una conica come retta che ha un solo punto di intersezione con la curva; necessità di generalizzare la definizione (v. es. cubica, curva con infinite oscillazioni...). (v. GeoGebra)

Velocità istantanea: già il concetto di velocità media non è banale (rapporto di grandezze non omogenee). Arrivati a questa, è piuttosto naturale l'idea intuitiva di velocità istantanea. Soprattutto per noi che conosciamo il concetto di limite...

Il concetto di derivata. Derivata e retta tangente

La ricerca di una definizione di retta tangente al grafico di una funzione definita in un intervallo (a,b): coefficiente angolare come limite del rapporto incrementale.

Definizione di funzione derivabile e derivata. Definizione (sì, è una definizione!) di retta tangente.

(v. grafici Mathematica Demonstrations e GeoGebra)

Esempio: calcolo della derivata di x2.

In realtà si è calcolata la derivata in ogni punto, cioè: la derivata è una nuova funzione. Ma allora…

Definizione di derivata seconda e derivate successive.

Esempio: derivata di una retta. Derivata prima e seconda di x2.

Il concetto di derivata. Derivata e velocità istantanea

La derivata come velocità istantanea, di un punto materiale in moto su una retta con legge x=s(t) …

…ma anche come velocità istantanea di variazione di una qualsiasi grandezza variabile.

Significati fisici di derivata: velocità, accelerazione, velocità e accelerazione angolare, intensità di corrente, ed anche:

densità lineare di massa (significativo perché qui si deriva rispetto allo spazio).

Quindi la seconda legge della dinamica, F=ma diventa (per il punto materiale mobile su una retta), mx’’=F(t,x,x’), che è un’equazione differenziale. Da 300 anni la fisica formula le sue leggi così. Questo è uno dei punti qualificanti per cui ha senso parlare di analisi ai licei.

Il calcolo delle derivateStarei con cura su questa parte, alternando “concreto” (=derivate di funzioni elementari) e “astratto” (=regole di derivazione).

Derivata della costante.

Derivata della potenza xn con n intero >1. (Usando il prodotto notevole di (an-1)

Linearità della derivata. (Dimostrazione)

Esempi: derivata di un polinomio; legge oraria s=(1/2)gt2 e sue derivata prima e seconda.

Derivata di alcune potenze a esponente non intero, in base alla definizione, es.

Il calcolo delle derivateDerivata e cambiamento di scala: f(ax+b).

Esempio:

Derivata delle funzioni trigonometriche, esponenziali, logaritmiche. Stare con cura sulla dimostrazione di queste formule, che dipendono dai limiti notevoli.

Quindi a questo punto, motivati dal problema di calcolare queste derivate, discutiamo i limiti notevoli.

Limiti notevoli e derivate di funzioni elementari

Limiti notevoli legati al numero e. Una possibile sequenza logica:

Si può partire direttamente dal problema del calcolo della derivata di funzioni esponenziali. Ammettendo che le funzioni esponenziali siano derivabili si ha:

D’altro canto questo limite cresce al crescere di a e per a=1 vale zero. Per continuità, ci aspettiamo che esista a per cui tale limite f’(0)=1. Si dimostra che tale numero è e:

dove e è il numero che è stato definito in precedenza, oppure lo si definisce ora…

Limiti notevoli e derivate di funzioni elementari

Conseguenze (usando anche la formula del cambiamento di scala):

e l’ultima relazione scritta (equazione differenziale soddisfatta dalle funzioni esponenziali) è il motivo per cui la crescita esponenziale entra in tanti fenomeni: un’idea fondamentale del calcolo differenziale (nel suo significato fisico).

Limiti notevoli e derivate di funzioni elementari

Altra conseguenza del limite notevole dell’esponenziale è il limite notevole del logaritmo:

Questo consente di calcolare la derivata della funzione logaritmo:

E quindi anche:

Limiti notevoli e derivate di funzioni elementari

Limiti notevoli legati alle funzioni trigonometriche. La motivazione è ancora il calcolo delle derivate:

Quindi si enunciano i limiti notevoli:

Il primo lo si dimostra per via trigonometrica (teorema del confronto…

Limiti notevoli e derivate di funzioni elementari

Il secondo lo si ricava dal primo, e i due limiti permettono di concludere il calcolo della derivata di sinx (e analogamente cosx):

Utilizzando la formula per il cambiamento di scala si ottiene anche:equazione differenziale soddisfatta dalle funzioni trigonometriche, e motivo della loro importanza in fisica (fenomeni oscillatori).

Il calcolo delle derivateDerivabilità e linearizzazione. Se f è derivabile in x0 la sua retta tangente approssima localmente il grafico di f nel senso che:

Derivabilità e continuità. (Conseguenza immediata della linearizzazione) e contresempio.

(Ma non approfondirei il tema della non derivabilità oltre un paio di esempi).

Derivata del prodotto. (Dimostrazione per linearizzazione?). Osservazione dimensionale.

Esempi di applicazione: derivata di xn, iterativamente;

derivata della radice; derivata di xex, xsinx, …

Il calcolo delle derivateDerivata del reciproco e del quoziente. (Dimostrare la prima per linearizzazione –o al solito modo- e la seconda dalla prima).

Esempi: derivata di tanx e cotgx, funzioni razionali (es. iperbole equilatera), 1/xn…

Derivazione della funzione composta. (“Dimostrazione” per linearizzazione, osservazione dimensionale, caso particolare del cambiamento di scala).

Qualche esempio utile:

Il calcolo delle derivate

Derivazione della funzione inversa. (Liceo scientifico?)Richiamare cos’è la funzione inversa, esemplificando. Dimostrazione parziale supponendo l’inversa già derivabile.

Esempi: radice n-esima, potenza a esponente razionale,

(arctanx)’, (arcsinx)’, logx (ritroviamo).

Esempi tipici di riepilogo:

I teoremi fondamentali del calcolo differenziale

Il problema della ricerca dei massimi e minimi: definizioni….

Teorema di Fermat. La dimostrazione usa la definizione di derivata e il teorema di permanenza del segno.

Contresempi: |x| in [-1,1], x3 in [-1,1], x in (0,1)…

Talvolta Fermat è sufficiente a discutere max e min. Ad esempio...

Teorema di Lagrange (si può dimostrare inglobando il teorema di Rolle). Si utilizza il teorema di Weierstrass e il teorema di Fermat.

Test di monotonia. Dimostrarlo, è istruttivo e si userà molto. Studio dei punti di massimo e minimo di una funzione. Esempio...

Caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla, primitiva e loro insieme.

Tutto questi è un blocco logico che è significativo sviluppare; insieme ai teoremi di Weierstrass e permanenza del segno sono un esempio significativo di “teoria”.

Si possono ora fare degli studi di funzione in cui si completano le informazioni di limiti e asintoti con l'indicazione quantitativa dei punti di massimo e minimo. Qualche esempio tipico: