Universidad Nacional Autónoma de México

Facultad de Química

Departamento de Ingeniería Metalúrgica

Conformado Mecánico

Reporte de teórico:

“Criterios de fluencia”

Nombres de los Alumnos:

Moreno Escutia Luis Angel

Fecha de entrega: 24 de marzo del 2015

Criterio de fluencia Druncker- Pranger

Este criterio pertenece a la familia de criterios que dependen del invariante I1. El criterio de Drucker-Prager es un modelo dependiente de la presión (Componente simétrico del tensor de tensiones), y permite determinar si un material ha fallado o se ha plastificado. Este criterio fue introducido en un primer momento para tratar la deformación en suelos. Más tarde, este criterio, y otros derivados de él, han sido aplicados a rocas, hormigón, espumas y otro tipo de materiales cuya plastificación depende de la tensión simétrica. Este criterio combina el rozamiento de Coulomb con el criterio de von Mises.

Si se interpreta el criterio de von Mises en términos de la tensión cortante octaédrica, se puede establecer que la plastificación ocurrirá cuando la tensión octaédrica alcance la fluencia del ensayo de tracción.Teniendo en cuenta la tensión octaédrica para este criterio viene dada por

Y que la tensión octaédrica en el ensayo de tracción viene dada por la expresión

El criterio vendrá expresado por la siguiente función de plastificación,

Donde,I1 = Primer invariante del tensor de tensiones (La traza).I’2 =Segundo invariante del tensor desviatorio.μ =Es un término positivo que controla la influencia de la presión en el límite de plastificación, importante para materiales cohesivos, como el hormigón.

El primer paso para el análisis de la curva de plastificación en el plano, es transformar la ecuación anterior en una ecuación que sea función de las tensiones principales.

Para ello, teniendo en cuenta que

La ecuación se transforma en,

Para un estado tensional plano (σ3 = 0), y operando sobre la úúltima ecuación, el criterio queda reducido a la expresión

Ecuación que representa una elipse en el plano σ1 - σ2. El siguiente gráfico refleja la representación gráfica del criterio de Drucker-Prager en el plano. Se ha tomado como valores c = 1 y μ = 0.2.

Criterio de Mohr Coulomb

El criterio de agotamiento de Mohr-Coulomb es también aplicable a materiales frágiles, pero sustituyendo el límite de fluencia por el límite de rotura del material.

Las ecuaciones son las mismas que las ya expuestas pero sustituyendo la tensión de fluencia por la tensión de rotura.

Para un estado tensional plano (σ3 = 0), el criterio queda reducido a la expresión

Ecuación válida para σ2 ≤ 0 y σ1 ≥ 0.

Ecuación válida para σ1 ≤ 0 y σ2 ≥ 0.

Para un valor de cohesión de 1 (c = 1), y un ángulo de rozamiento interno de 0.2 (μ = 0.2), la representación de la restricción del criterio de agotamiento queda reflejada en el siguiente gráfico.

El criterio de fallo de Mohr-Coulomb se representa por la envolvente lineal de los círculos de Mohr que se producen en la rotura. La relación de esa envolvente se expresa como:

Dónde: = el esfuerzo cortante.=  la tensión de normal. = la intersección de la línea de fallo con el eje de , llamada cohesión. = la pendiente del ángulo de la envolvente, también llamado el ángulo de

rozamiento interno.

La compresión se asume positiva para el esfuerzo de compresión, aunque también se puede estudiar el caso con la tensión negativa cambiando el signo de 

Si , el criterio de Mohr-Coulomb se reduce al criterio de Tresca. Si   el modelo de Mohr-Coulomb es equivalente al modelo de Rankin. Valores más altos de   no están permitidos.

De los círculos de Mohr tenemos:

Donde

Y   es la tensión máxima principal y   es la tensión mínima principal.De esta forma el criterio de Mohr-Coulomb puede expresarse también como:

Esta es la forma del criterio de Mohr-Coulomb aplicable al fallo en un plano paralelo a la dirección . 

El criterio de Mohr-Coulomb se expresa en las tres dimensiones como:

La superficie de fallo quedaría como un cono de sección hexagonal.

Las expresiones para   y   puede ser generalizada para tres dimensiones mediante el desarrollo de expresiones para la tensión normal y la tensión cortante en un plano de orientación arbitraria respecto a un eje de coordenadas. Si el vector unitario normal al plano es:

Donde   son los tres vectores ortonormales, y las tensiones principales   están alineadas con los vectores de la base   , entonces las expresiones para   son:

El criterio de Mohr Coulomb se puede usar en su expresión generalizada

Para los seis planos con tensión máxima de corte tangencial.

Una mejora común de este modelo es la combinación de hipótesis de fricción de Coulomb con la hipótesis de tensión principal de Rankin para describir una fractura de separación.

El criterio de Rankin

También llamado criterio de la tensión normal máxima, es un criterio de resistencia estática, según el cual, el material resistirá en el punto analizado siempre que la tensión normal máxima en dicho punto no supere la tensión admisible obtenida del ensayo de tracción y la tensión normal mínima no sea inferior a la tensión admisible obtenida del ensayo de compresión del material. El criterio de resistencia se escribe matemáticamente como:

Donde s1 la tensión principal máxima y s3 la tensión principal mínima:

Donde Sadm_t>0 es la tensión admisible a tracción obtenida del ensayo de tracción (habitualmente se usa el  límite de fluencia para los materiales dúctiles y el límite de rotura para los frágiles) y Sadm_c>0 es la tensión admisible a compresión obtenida del ensayo de compresión (análogamente, límite de fluencia  o límite de rotura a compresión).

El coeficiente de seguridad en el punto analizado, de acuerdo con el criterio de Rankin se obtiene de:

Expresión que es válida para cualquier signo de las tensiones principales.

El criterio de Rankin puede representarse gráficamente en un diagrama σ1-σ3 como se indica en la figura, representando la zona sombreada la zona segura, para la cual el material no fluye de acuerdo con dicho criterio.

Comparación con otros criterios

Damos a continuación la comparación gráfica con otros criterios (Ver Apéndice), en el caso plano degenerado, todos presentan el mismo aspecto, una elipse que pasa por el límite a tracción, a compresión. El límite al corte, o está incluido en el trazado de la elipse o se deduce de ella.

En el caso plano, tenemos varios casos con rectas o curvas, tratando de cumplimentar de la mejor manera posible con los límites a tracción y compresión. En el caso espacial, varios se cierran del lado de la tracción pero quedan abiertos del lado de la compresión.

Analizamos tres casos del valor del coeficiente de Poisson (0,3, 0,4 y 0,5) ya que en la teoría presentada es importante la diferencia. Se notará que de un criterio a otro el límite al corte varía entre los límites presentados por el criterio propio.

Podemos presentar las curvas de variaciones del límite de elasticidad al corte según los diferentes criterios en función de la relación entre los límites elásticos en compresión y en tracción (R´/R) Para el criterio propio se toma el promedio de los límites en tracción y en compresión, tanto para el final de la elasticidad como para el principio de la plasticidad.

Hemos agregado algunos resultados experimentales de Butty

Bibliografía:http://www.mecapedia.uji.es/criterio_de_Rankine.htmhttps://sites.google.com/site/hectorredal/home/inicio/medios-continuos/elasticidad-y-plasticidad/plasticidad/criterios-de-agotamiento/criterio-de-drucker---pragerhttps://sites.google.com/site/hectorredal/home/inicio/medios-continuos/elasticidad-y-plasticidad/plasticidad/criterios-de-agotamiento/criterio-de-mohr-coulomb-materiales-fragiles