RADIACIÓN DEL CUERPO NEGRO Y EL EFECTO

FOTOELÉCTRICO

La luz recibe el nombre de radiación

electromagnética debido a que podemos concebirla

como un sistema compuesto por un campo

eléctrico acoplado a un campo magnético, los

cuales son oscilantes y perpendiculares entre sí.

DIcho sistema se propaga a una velocidad enorme

(3 x 108 m/s), y su naturaleza ondulatoria quedó

establecida a partir de los experimentos que llevó

a cabo Thomas Young y que reportó en el año de

1801.

Más de medio siglo después, en 1864, el

escocés James Clerc Maxwell formuló cuatro

ecuaciones que unificaron las leyes de los

fenómenos eléctricos y magnéticos. Dichas

ecuaciones predecían que una carga eléctrica

acelerada debía de irradiar energía en forma de

una onda electromagnética, y como la velocidad

predicha para estas ondas resultó ser la misma

que la que se había determinado

experimentalmente para la luz, Maxwell concluyó

que la propia luz es, por tanto, una onda

electromagnética (Fig.1). Los físicos no se

convencieron del todo de esta propuesta, pero en

1888 el alemán Heinrich Hertz llevó a cabo sus

famosos experimentos con cargas eléctricas aceleradas en los que detectó la

emisión de ondas de radio por parte de éstas, con lo cual la comunidad

científica se dio por satisfecha y adoptó el modelo ondulatorio electromagnético

para describir a la luz.

Desde siempre ha sido claro que la luz es capaz de transmitir energía.

Para todos es familiar que los objetos calientes, con independencia del material

del que estén constituidos (metal, roca, vidrio, madera, papel, etc), emiten

radiación en forma de calor. De hecho, cuando la temperatura se hace lo

Fig. 1. Representación de la

luz como una onda de

radiación electromagnética.

Thomas Young

(1773-1829)

suficientemente elevada, esta radiación se hace visible: los objetos se ponen al

rojo, radiación perteneciente al intervalo de la llamada luz visible del espectro

electromagnético. Estos hechos interesaron al prusiano Gustav Kirchhoff, que

en 1860 postuló y demostró un teorema sobre la absorción y emisión de energía

de los cuerpos a una cierta temperatura.

James Clerk Maxwell

1831-1879

Heinrich Rudolf Hertz

1857-1894

Gustav Robert Kirchhoff

1824-1887

Para comprender lo que Kirchhoff buscaba, considera lo siguiente. Cada

uno de los rayos que emite un cuerpo a una cierta temperatura posee una

determinada longitud de onda y un valor de energía asociado E, que

denominaremos energía radiante emitida por unidad de área del objeto y por

tiempo para ese rayo de luz. Kirchhoff estaba interesado en encontrar una

función o ecuación, a la que denominó J, a partir de la cual sería posible

describir en qué proporción se estaría emitiendo cada rayo de luz proveniente

de un objeto a una cierta temperatura; dicha proporción estaría representada

por E, por lo que si un rayo se emite con gran intensidad, su valor de E sería

elevado, mientras que si emisión está poco favorecida, su valor de E será

pequeño. Dicha ecuación se expresaría como sigue:

E= J(,T)

lo que indica que dicha función J debe de quedar al final en función de la

longitud de onda de cada rayo y de la temperatura T del objeto que se

analiza.

El objeto con el que se llevaría a cabo este estudio evidentemente no debe

reflejar luz en lo absoluto (esto es, no debe ser de ningún color), porque de lo

contrario la composición de la radiación que emita, que es lo que nos interesa

medir y que será función exclusivamente de su temperatura, estará

contaminada por aquélla que refleja. Un objeto con tales características, un

perfecto absorbente, recibe el nombre de cuerpo negro, y para que el análisis sea

válido, dicho cuerpo deberá encontrarse en equilibrio térmico con la radiación.

Un cuerpo negro es un dispositivo que puede ser de

forma aproximadamente cúbica (Fig. 2), hueco, capaz de

alcanzar temperaturas muy altas y que posee un orificio

minúsculo por el que la radiación que se genera en el

interior del aparato sale hacia un detector; éste a su vez

determina la longitud de onda de los rayos que están siendo

emitidos y la proporción con la que participan.

Una aproximación a la propuesta hecha por Kirchhoff

la obtuvo en 1879 el esloveno Josef Stefan, quien indicó que

el total de energía irradiada JT que emite un cuerpo a la

temperatura T sería porporcional a

JT = T4

Postriormente Ludwig Boltzmann, nacido en el Imperio Austrohúngaro,

demostró que esta expresión es solo válida para un cuerpo negro. es una

constante de porporcionalidad conocida como constante de Stefan-Boltzmann,

con un valor de 5.6728 × 10-8 W/(m2K4).

Más adelante se

redefinió la manera de

cómo expresar la

intensidad de energía

irradiada por un cuerpo

negro, y así la función J

fué reemplazada por la

función u, llamada

densidad de energía

irradiada, que fue la que se midió en los aparatos que funcionaban como un

cuerpo negro. La relación entre estas dos magnitudes está dada por:

donde c = velocidad de la luz en el vacío = 3 x 108 m/s.

Fig. 2. Equipo

moderno que opera

como un cuerpo

negro.

Jožef Štefan

(1835-1893)

Ludwig Edward Boltzmann

(1844-1906)

El problema del cuerpo negro fue abordado por el inglés John William

Strutt (1842-1919), mejor conocido como Lord Rayleigh, quien obtuvo y

presentó en junio de 1900 la siguiente ecuación:

La “RJ” nos indica que ésta ecuación se trata de la distribución de Rayleigh-

Jeans (James Jeans tuvo el mérito de haber realizado algunas correcciones

sobre esta ecuación, por lo que su nombre quedó asociado al de Rayleigh). En

ella aparece k, la constante de Boltzmann, con un valor de 1.381 × 10-23 J/K.

Lo interesante de esta ecuación es lo siguiente: para llegar a ella,

Rayleigh postuló que las ondas de radiación electromagnéticas eran producidas

por los diferentes movimientos vibracionales (los llamaremos modos de

vibración) que sufren las partículas con carga eléctrica de los átomos (las que

por este hecho fueron bautizadas como osciladores). Rayleigh distribuyó

equitativamente la energía entre estos diferentes modos vibracionales, de tal

manera que a cada uno de ellos le correspondió un cierto valor. Al final de su

trabajo, Rayleigh transformó en cero la diferencia energética entre cada uno de

los modos vibracionales, lo concedió a los osciladores la posibilidad de adoptar

cualquier valor de energía E, sin restricción alguna.

Esto último lo hemos hecho desde siempre, y lo hizo Sir Isaac Newton.

En los experimentos de caída libre, Newton estableció que es posible conocer la

velocidad instantánea v que un cuerpo que se desploma debido a la acción de la

gravedad a partir de la expresión v = v0 + gt. Analizaremos el caso más simple,

aquél donde al inicio del experimento el objeto se encontraba en reposo (v0 = 0),

para que la ecuación se vuelva más simple: v = gt. Esta expresión nos permite

anticipar, sabiendo que g = 9.81 m/s, que un objeto en caída libre que parte del

reposo, en el segundo 0 tiene una velocidad de 0 m/s, que en 1 segundo alcanza

una velocidad de 9.81 m/s, que en el segundo 2 el objeto lleva ahora una

velocidad de (9.81 × 2) m/s; que en el segundo tres lleva ahora una velocidad de

(9.81 × 3) m/s, que en el segundo 4 llega una velocidad de (9.81 × 4) m/s, etc. La

gráfica que se obtiene tendría la siguiente forma:

t(s)

v(m/s)

1 2 3 4

9.8

2(9.8)

3(9.8)

4(9.8)

En nuestro mundo, a nuestra escala, la mecánica de Newton nos dice que

una gráfica como ésta nos permite determinar la velocidad instantánea de un

objeto en caída libre sin la necesidad de llevar a cabo el experimento; por

ejemplo, si se desea conocer la velocidad de un objeto en caída libre al tiempo t

= 2.7587 s, nos basta con realizar una interpolación en la gráfica para obtener

el valor de velocidad del objeto. Esto equivale a afirmar que un objeto en caída

libre puede alcanzar, en principio, cualquier valor de

velocidad imaginable (siempre y cuando no nos acerquemos

a la de la luz), y si esto es cierto, dado que la energía

cinética para un cuerpo en movimiento con masa m

equivale a ½mv2, entonces cualquier partícula podría

alcanzar también cualquier valor de energía.

Desafortunadamente, la distribución de Rayleigh-

Jeans demostró ser incapaz de reproducir las gráficas que

experimentalmente se obtienen: cuando se sustituyen los

valores de en

se obtiene una gráfica en la que los rayos

de luz con pequeña participan en la emisión del cuerpo negro de una manera

desmesurada (lo cual se hace particularmente dramático en la región UV,

hecho que desde entonces se conoce como la catástrofe del ultravioleta). La

razón de este desastre es que

crece indefinidamente porque el factor 4

entre el cual se divide se va haciendo más pequeño conforme la gráfica avanza

hacia longitudes de onda cada vez más cortas cortas. La emisión de radiación

en cantidades increíblemente grandes está en franco contraste con la tendencia

real, en donde efectivamente la participación de los rayos de luz también se va

haciendo más prominente conforme su disminuye, pero en la realidad se

alcanza un máximo y luego la participación en la emisión para los rayos de luz

con aún mas corta decrece.

Luego de realizar los análisis matemáticos pertinentes de los datos

experimentales que se obtienen, se puede ver que éstos obedecen a una

ecuación empírica con la siguiente forma:

la cual dista mucho de parecerse a la de Rayleigh-Jeans.

Isaac Newton

(1642-1727)

John William Strutt, Lord

Rayleigh (1842-1919)

James Hopwood Jeans

(1877-1946)

Max Karl Ernest Ludwig

Planck (1858-1947)

Cuando se grafica la distribución de Rayleigh-Jeans (Fig. 3) y se compara con

las obtenidas experimentalmente, es elocuente lo que aquélla se aleja de la

realidad.

Fig. 3. Distribución de Rayleigh-Jeans (classical theory) predicha para 5000 K. En la misma

gráfica se incluyen los resultados experimentales obtenidos para la radiación de un cuerpo

negro a 3000, 4000 y 5000 K.

En octubre de ese mismo año de 1900, Max Planck da a conocer una

distribución con notorias diferencias con respecto a la de Rayleigh-Jeans. La

llamaremos . La diferencia estriba en lo siguiente: Planck plantea, de

manera similar a Rayleigh, que cada modo vibracional para los osciladores

tiene un valor de energía definido, esto es, 0, E, 2E, 3E. 4E, 5E, etc. -observa el

paralelismo con 0 m/s; (9.81) m/s, (9.81 × 2) m/s; (9.81 × 3) m/s, (9.81 × 4) m/s-,

pero a diferencia de este último, no permite que la continuidad se genere, esto

es, mantiene la separación energética para cada estado. Al final de su

tratamiento obtiene, como consecuencia de asumir esto, la siguiente ecuación:

Debido a que la ecuación de la distribución de Planck permite

reproducir los resultados experimentales, la idea sobre la cual se fundamenta,

la cuantización de la energía, debe tener validez, aunque escape a nuestra

lógica (o a nuestra familiaridad). Para llegar a ella Planck asumió que la

energía de cada oscilador es proporcional a su frecuencia de oscilación, esto es,

que E = h . Esto deja para los osciladores a 0, h , 2h , 3h , 4h , etc., como los

únicos valores de energía que pueden poseer; h es una constante de

proporcionalidad la cual, con toda propiedad, fue posteriormente denominada

constante de Planck (6.62 x 10-34 Js). Con este planteamiento, Planck alcanza

, que es equivalente ala ecuación empírica de los resultados experimentales,

como a continuación se demostrará.

Toma en cuenta que c = , = c/ . Si sustituyes este valor en se

llegarás a:

Si h, c y k son constantes, podemos hacer 8 h/c4 = A y h/k = B. Con ello se

obtiene:

Lo que Planck plantea es equivalente a decir que lo propuesto por

Newton carece de validez, al menos para los osciladores y, en general, para las

partículas microscópicas de las dimensiones de un electrón. Éstos no pueden

poseer cualquier valor de energía, sino solamente ciertos valores permitidos

(discretos) que son múltiplos de una unidad fundamental, fenómeno que se

conoce como cuantización de la energía. Un objeto o partícula microscópica no

sigue, por tanto, lo establecido por la Física de Newton

(Física clásica). Podría decirse que aquí las

interpolaciones entre los valores conocidos están

“prohibidas”, porque sencillamente no existen partículas

que adopten energías intermedias.

Albert Einstein hizo uso de estos argumentos para

encontrar posteriormente, en 1905, una explicación

plausible para el fenómeno del efecto fotoeléctrico,

dejando en claro que la teoría cuántica posee validez

general en el mundo microscópico. En esa explicación, la

energía E se asoció a lo que posteriormente se conocería como fotón (Efotón), la

unidad corpuscular transportadora de energía de un rayo de luz, mientras que

correspondería a la frecuencia de la radiación que induce este fenómeno.

Albert Einstein

(1879-1955)