CAPITULO 5 CURVAS DE DECLINACION DE LA PRODUCCION, 1.00 INTRODUCCION, Una de las tareas de la Ingeniera de Yacimientos, es la revisin y clculo de las reservas de hidrocarburos de los yacimientos, con el fin de poder determinar el volumen total recuperable hasta alcanzar un lmite econmico. Los descubrimientos de nuevos yacimientos, terminaciones, reparaciones, abandono de pozos, cambios en los mtodos de operacin y condiciones mecnicas de los pozos, hacen que el trabajo sea constante y en muchas ocasiones, se complica por falta de datos, acerca de sus caractersticas y parmetros fsicos; sin embargo, se pueden hacer estimaciones cercanas a la realidad a travs de la extrapolacin de curvas de declinacin de la produccin obtenidas en el pasado o sea de la historia de explotacin. Las curvas de declinacin de la produccin son ampliamente utilizadas en la industria petrolera, para evaluar el comportamiento de los yacimientos y hacer las predicciones de comportamiento de los mismos. Cuando las estimaciones se basan en el anlisis matemtico o la tcnica de analizar las curvas de declinacin de la produccin, deber recordarse siempre que este anlisis es simplemente por conveniencia, y es un mtodo que est sujeto a tratamiento matemtico o grfico y "no tiene bases en las leyes fsicas que gobiernan el flujo de aceite y gas en la formacin". Tales curvas pueden dibujarse para pozos individuales, para un grupo de pozos dentro del mismo yacimiento, o para todos los pozos juntos en el yacimiento. Puesto que es obvio graficar la produccin contra el tiempo figura 5-1a, este fue el primer mtodo utilizado. Se basa en el hecho de que despus de un perodo durante el cual la produccin fue estable (en o cerca de lo que los pozos permitan o el mercado demande), llegar un momento en el cual los pozos ya no puedan mantener la produccin pedida y en consecuencia, sta disminuir gradualmente o sea que declinar conforme transcurra el tiempo. La figura 5-1a, representa una curva tipica de qo vs. t, sobre la cual, se ha trazado una lnea punteada. Evidentemente al ajustar una ecuacin a la lnea punteada, se puede extrapolar y hacer predicciones, es decir, determinar lo que el pozo o pozos pudieran producir en el futuro. 2.00 CURVAS TIPICAS OBTENIDAS DE LA HISTORIA DE PRODUCCION, Los datos de la historia de produccin de un yacimiento, pueden graficarse de diversas formas, los tipos ms comunes son: a. - Ritmo de produccin contra tiempo, qo vs. t. b. - Ritmo de produccin contra produccin acumulativa, qo vs. Np. c. - Porcentaje de agua en la produccin contra produccin acumulativa, WOR vs. Np (WOR = Razn agua-aceite).

d.- Presin contra produccin acumulativa, P vs. Np. e.- Profundidad del contacto agua-aceite contra produccin acumulativa, D VS N p f. - Produccin acumulativa de gas contra produccin acumulativa de aceite, Gp vs. Np.

Las grficas de qo vs. t., figura 5-la y qo vs. Np, figura 5-1b, son las que se utilizan con mayor frecuencia para fines de interpretacin de la declinacin de la produccin. Las grficas que relacionan el porcentaje de agua con la produccin y la produccin acumulativa, son empleadas en yacimientos donde la ltima produccin se fija por el porcentaje de agua, ms que por la misma declinacin de la produccin de tal forma, que los datos puedan extrapolarse hasta el porcentaje de agua que represente el lmite econmico. Las grficas de presin contra produccin acumulativa, permiten tener idea del tipo de energa predominante en el yacimiento; as, cuando se trata de un yacimiento con empuje hidrulico, la presin se mantendr casi constante figura 5-2b, mientras que en los yacimientos con empuje volumtrico, la presin tender a declinar ms rpidamente, figura 5-2a.

3.00 OBTENCION DEL GASTO LIMITE ECONOMICO. La extrapolacin grfica o analtica, deber llevarse hasta un momento en el que el valor de la produccin sea equivalente a los gastos de produccin, ya que de continuar con la explotacin, seran mayores las erogaciones que los ingresos. Para esto se determina el valor de la produccin que sufrague los costos de operacin y mantenimiento de equipos y personal empleado, pago de regalas, etc., valor que se conoce con el nombre* de "LIMITE ECONOMICO". Para su obtencin se hace uso de la siguiente expresin:

)3(... ao

mSO

Cq EL ......(5-l)

donde:

ELq . = Gasto lmite econmico, (m3/ao).

C = Costo estimado de operacin al lmite econmico , ($/ao) O = Precio del aceite por metro cbico, ($/m3). S = Monto de regalas, impuestos, etc. ($/m3). A modo de ilustracin se presentar el siguiente ejemplo: EJEMPLO: 5-1.

Obtener el ELq . considerando los siguientes datos ficticios:

Relacin de ingresos y egresos: Costo diario de operacin y mantenimiento del equipo de produccin por pozo ................................. $ 150.00

Costo diario para el yacimiento (se suponen 10 pozos). ..... Costo anual por 10 pozos (C) ........... $ 547 500.00 Monto de regalias por m3(S)........,.........$ 20.00 Precio del aceite por m3 (actual) (O). .. ..... $ 775.00 Utilizando la expresin (5-1) ELq . = 547 500

775- 20 ELq . = 725 (m3/ao)

ELq . = 1.99 (m3/da/yac.)

ELq . = 0. 199 (m3/da/pozo)

El valor del gasto lmite econmico est sujeto a la variacin de los factores considerados anteriormente, sin embargo, el factor preponderante es el precio del aceite por unidad de volumen, en el mercado. Actualmente, debido a la crisis de energticos, el precio del aceite aument a cifras inesperadas, dando lugar sto a gastos lmites muy bajos. 4.00 CLASIFICACION Y METODOS DE EXTRAPOLACION DE LAS CURVAS DE DECLINACION Las curvas de declinacin de la produccin, de acuerdo con el "tipo"de declinacin, se clasifican en los tres siguientes grupos: a. - Exponencial. b. - Hiperblica. c. - Armnica. Se dice que una curva, ritmo de produccin-tiempo o ritmo de produccin acumulativa muestra una declinacin de tipo "exponencial", cuando al ser graficados los datos en papel semilogartmico, stos muestran una tendencia lineal. Si se observa una tendencia lineal cuando los datos son graficados en papel doble logartmico, entonces se podr decir que la declinacin es de tipo "hiperblica". La declinacin "armnica" es un caso particular de la declinacin hiperblica. Existen tres mtodos para el anlisis de las curvas de declinacin, a saber: 1.- Mtodo emprico de extrapolacin. 2. - Mtodo estadstico (relacin de prdida).

3.- Mtodo grfico. Los mtodos citados contemplan las siguientes similitudes.

a) El concepto del que se parte es el mismo. El comportamiento futuro del yacimiento est gobernado por alguna tendencia o relacin matemtica que se basa en su comportamiento pasado".

b) Para poder aplicar cualquiera de estos mtodos es necesario relacionar

los datos de produccin-tiempo con una ley matemtica.

c) Se definen ecuaciones para determinar la reserva, el comportamiento futuro de la produccin y el tiempo de vida til.

d) La laboriosidad de los clculos y el tiempo requerido para efectuarlos es

variable segn el mtodo que se aplique.

e) Los resultado.; que se obtienen son semejantes y todos tienen el carcter de aproximados.

f) El mtodo emprico de extrapolacin requiere del uso de logartmicos y de

poco tiempo para su clculo.

g) El mtodo estadstico involucra operaciones sencillas, pero como son bastantes, hacen que sea un mtodo tardado.

h) El mtodo grfico aporta resultados menos precisos, pero es el ms

rpido. De los tres mtodos mencionados anteriormente, nicamente se desarrollara el mtodo emprico" de extrapolacin, ya que el desarrollo de los dos restantes se salen del alcance de este trabajo. Para una informacin ms abundante sobre este tema, se recomienda ver referencias al final. 4.10 METODO EMPIRICO DE EXTRAPOLACION 4.110 DECLINACION EXPONENCIAL. La declinacin exponencial, tambin llamada geomtrica, semilogartmica o de porcentaje constante, se caracteriza, por el hecho de que la cada en el ritmo de produccin por unidad de tiempo, es proporcional al ritmo de produccin; esto es:

bqdt

dg ......(5-2) Donde: b = Constante de proporcionalidad. dq = Diferencial de produccin dt = Diferencial de tiempo Reagrupando trminos e integrando la expresin (5-2) se tiene:

dtqdqb1

ctInqb

1 A fin de valuar "c", se toman limites: cuando t = 0, q = qo - lnq0 Sustituyendo en la expresin (5-3), se obtiene:

btoqq " (5-4)

Como q0, es un valor conocido (valor inicial de la produccin), se puede hacer: q0 = a Finalmente se llega a la siguiente expresin:

btaq " (5-5) La ecuacin (5-5) de tipo exponencial, representa la expresin matemtica de las curvas de declinacin exponencial. 4.111 DEFINICION DE LA TENDENCIA LINEAL Si se grafica los valores de ritmo de produccin contra tiempo en un papel semilogaritmico en la forma que se indica en la figura (5-3) se observa que tienen una tendencia lineal, luego se puede ajustar una ecuacin.

Para poder ajustar la ecuacin a la recta y obtener los valores de las constantes (a) y (b) se pueden utilizar cualquiera de los siguientes mtodos: seleccin de puntos, promedios o mnimos cuadrados. Segn el mtodo de promedios los valores de las constantes (a) y (b), se puede encontrar utilizando las siguientes expresiones:

2

1

2

1

loglog2

log

ni

i

ni

i

tibanqi " ..... (5-6)

2

1

2

1

loglog2

log

ni

i

ni

i

tibanqi " ..... (5-7)

donde: n = Nmero de datos disponibles. Cabe aclarar que de los datos graficados, los nicos que se toman en cuenta son los que muestran un alineamiento rectilneo. Conocidos (a) y (b), se tiene definida la ecuacin:

btoqq " (5-5)

Que Corresponde a la recta ajustada a los puntos graficados de produccin contratiempo. 4.112 DECLINACION DE LA PRODUCCION (d) La velocidad con que la produccin vara con el tiempo, queda representado matemticamente por la expresin: dq ......(5-8) dt

Por las condiciones del problema, esta velocidad de variacin puede expresarse bajo la forma siguiente; dg = f (q, t) ......(5-9) dt La produccin "q" puede hallarse como una funcin del tiempo, resolviendo esta ecuacin diferencial. Tomando en consideracin la expresin (5-8) y partiendo de que "qo" es la produccin inicial, que declinar hasta "qf" despus de un cierto tiempo, entonces la velocidad de abatimiento ser: dg (5-10) dt Si esta cantidad es proporcional a "q", se tiene que: dg = -Kq .....(5-11) dt donde: K = Factor de proporcionalidad. Despejando K de la ecuacin (5-11), queda: dg K = dt..... (5-12) q Y expresando en forma de incrementos finitos, resulta: 'q K = 't .. (5-13) q Haciendo ' t = 1, se tiene un periodo de tiempo unitario en el cual la produccin inicial es q1 y la final q2, por lo que ' q = q1 q2, valores que sustituidos en la expresin (5-13), conducen a la siguiente relacin: K = q1 q2 = q2 q1 ....(5-14) q1 q1 La ecuacin (5-14) resulta ser una expresin de suma importancia para el anlisis de curvas de declinacin de la produccin donde(K), representa precisamente la declinacin (d),

Cambiando "K" por "d", la expresin (5-14) queda finalmente: d = q2 q1 ....(5-15) q1 Para un periodo de tiempo mensual, la declinacin se puede definir como: declinacin mensual" y es la relacin en valor absoluto, de la caida de produccin de un mes a otro, con respecto al valor que ha sufrido el abatimiento. La necesidad de obtener declinaciones para intervalos de tiempos mayores lleva a determinar una expresin ms general, tal como se ver posteriormente. La pendiente (m) de la grfica (fig. 5-3), se puede determinar en la forma siguiente: m = log q1 log q2 = log q2 log q1 (5-16) t1 t2 t2 t1 haciendo: 't y = t2 t1 y reordenando la ec. (5-16), se tiene : m 't = log q2 log q1 (5-17) tomando antilogaritmicos de sta ecuacin, queda: 10m't = q2......... (5-18) q1 Ecuacin que es del tipo exponencial. Aplicando la ecuacin (5-18) a dos valores consecutivos de q se tiene que 't = 1, y sustituyndola ste ltimo en la ecuacin anterior queda: q2 q1 = 10

m.........(5-19) restando la unidad a ambos miembros y reduciendo a un comn denominador el primero, se tiene que: q2 - q1 = (10m - 1)...... (5-20) q1 Como la expresin (5-2 0) es equivalente a la expresin (5-16), finalmente queda: d= ( 10m - 1)........(5-21)

Por tanto, la declinacin para un intervalo de tiempo cualquiera (anual, semestral, mensual, etc.), es el valor absoluto de la diferencia entre una potencia del nmero diez y la unidad. La ecuacin (5-16) puede expresarse tambin para los valores de q0, t0 y qf , tf, conforme a la figura (5-3) y siguiendo el mismo procedimiento: qf m= log qf log qo = log qo .... (5-22) tf - to 't Cambiando (' t) por (n) (nmero de perodos de tiempo) se obtiene: m = 1 log qf ...... (5-23) n qo tomando antilogartmos, queda:

n

o

fm

q

q 10 ..... (5-24) tomando do s valores no consecutivos: q2 y q1

nm

q

q

1

210 ..... (5-25) Restando la unidad a ambos miembros se llega a:

)1()110(1

2 nmq

q (2-26)

Expresin equivalente a la ecuacin (5 -21), por tanto:

)1()110(1

2 nmq

qd .. (5-27)

Donde (n), es el numero de perodo de tiempo comprendido entre q2 y q1. Se tienen de esta forma dos expresiones para calcular la declinacin " de la produccin, cuando su variacin es exponencial. Si las producciones se toman anuales y se considera el nmero de perodos transcurridos entre los gastos q2 y q1, la declinacin que se obtiene es anual; si por el contrario se toman los perodos de un mes y sus producciones respectivas entonces la declinacin obtenida es mensual.

4.113 CALCULO DE LA RESERVA (R) Al aplicar la ecuacin deducida anteriormente:

)1( n fqo

qd (5-28)

Para dos perodos cualesquiera (consecutivos o no consecutivos) se obtiene el valor de la declinacin en fraccin y este valor resulta constante cuando la variacin es exponencial. De la ecuacin de la recta ajustada a los datos de produccin contra tiempo figura 5-4, podemos ver que el ritmo de produccin despus de un ao, si el tiempo (t) esta en aos, estar dado por:

b

oqq "1

El ritmo de produccin despus de dos aos estar dado por:

bbbob

o qqqq """" 122

entonces:

b

o q

q

q

q

q

q "...........2

3

1

21 (5-29)

Lo cual implica que "el ritmo de produccin al final de cualquier ao en relacin al del principio del mismo ao es siempre el mismo". Por otro lado, de la ecuacin (5-16) se tiene que: d = (q2/q1 - 1); debido a la declinacin de la produccin q2 < q1, luego se puede hacer: d = (1 - q2/q1) o tambin:

)1(1

2 dq

q (5-30) donde: d = Declinacin anual del ritmo de produccin. De las expresiones (5-29) y (5-30) se puede ver que la ecuacin que relaciona las declinaciones anual y continua es:

)1( db " (5-31) En consecuencia, siendo qo, el gasto inicial en un perodo de tiempo, las producciones posteriores estarn definidas por: q1= qo (1-d) q2 = qo (1- d) ( 1 -d) = qo (1 -d)

2 q3 = q0 (1 - d) (1 - d) (1 - d) = qo (1- d)

3 .. qn = q0 (1- d) (1-d) (1- d) = qo (1- d)

n haciendo: r = ( 1 - d) y sustituyendo, se tiene que: q1 = qor q2 = qor

2

qn = qor

n

Sumando estos gastos con el inicial (qo) definido anteriormente se tiene:

noooo

ni

i

i rqrqqqq r .....2

1

El segundo miembro de la expresin (5-32), es una progresin geomtrica en la que "n" corresponde al nmero de trminos de la progresin menos uno, o sea: n = N - 1 Sustituyendo en la expresin (5-32) y haciendo:

12)1(

1

.....

nooooNi

i

i rqrqqqqS ..... (5-32)

Multiplicando ambos miembros de la ecuacin (5-34) por (r), se tiene: rS = qor + qor

2 + qor3 + .. qor

n (5-34) Restando la expresin (5-33) de la ecuacin (5-34), se tiene: S(r- 1) = qo r

N - qo . (5-35) si qf = qo r(N - 1) y "qf " es valor del gasto lmite econmico, entonces: qo rN = qfr ...........(5-36) Donde (S), es el valor de la suma de las producciones futuras, hasta alcanzar el lmite econmico, ms el valor de (qo), por lo que la reserva ser: R = S - qo ... (5-37)

luego: 1

)1(

1

r

qrqrqq

r

qrqR

oof

o

of ...... (5-38)

Desarrollando esta expresin y sustituyendo a "r" por "(1 - d)", se tiene finalmente que:

d

qqdR

of

)()1( (5-39)

Ecuacin que define el valor de la reserva, cuando el yacimiento presenta una declinacin constante. 4.114 GASTOS FUTUROS Y TIEMPO DE VIDA UTIL. Los regmenes de produccin futuros se calculan a partir de la ecuacin exponencial ya determinada: q = a -bt......(5-5) donde "q", es el ritmo de produccin correspondiente a un tiempo t".

El tiempo de vida til del yacimiento se puede calcular a partir de la expresin que se indica a continuacin: qL.E. = qon -bt........(5-40) donde: qL.E. = Gasto lmite econmico. qon = Gasto correspondiente al ltimo dato de produccin conocido. 4.120 DECLINACION HIPERBOLICA. Las curvas de declinacin "hiperblica" a diferencia de las curvas de declinacin exponencial, muestran una declinacin "variable". La expresin matemtica que representa a este tipo de curvas est dado por: d = atb.........(5-41) La expresin (5 - 41) es una ecuacin de tipo hiperblico. 4.121 DEFINICION DE LA TENDENCIA LINEAL. Al graficar los valores de ritmo de produccin contra tiempo en un papel doble logartmico, en la forma que se Indica en la figura (5-5), se observa que tienen una tendencia lineal y es posible ajustar una recta que puede ser representada por la ecuacin (5-42).

Para poder ajustar la recta y obtener los valores de las constantes a" y b se usar el mismo mtodo que para la declinacin exponencial, es decir el de promedios:

21

2

1

loglog2

log

n

i

n

i

tibanqi (5-42)

ni

ni

ni

ni

tibanqi

)12()1

2(

loglog2

log (5-43)

donde: n = Nmero de perodo. Conocidas (a) y (b), queda definida la ecuacin: q = atb ..(5-41) que corresponde a la recta que se ajusta a los puntos graficados de produccin contra tiempo en un sistema log- log. 4.122 DECLINACION DE LA PRODUCCION (d). Para establecer la variacin de la produccin con el tiempo se hacen las mismas consideraciones que se hicieron con anterioridad para llegar a la expresin siguiente:

Kqdt

dg (5-44) donde (K) es un factor de proporcionalidad instantneo, con lo cual se llega nuevamente a la expresin:

1

12

q

qqd

(5-45) Con la diferenciar de que esta declinacin es "variable". La pendiente (m) de la grfica (figura 5-5), se puede determinar en la forma siguiente:

12

12

21

21

loglog

loglog

loglog

loglog

tt

qq

tt

qqm

(5-46)

ecuacin que puede representarse como sigue:

1

2

1

2 loglogq

q

t

tm (5-47)

tomando antilogaritmos: (t2)m = q2 .. (5-48) (t1)m q1 La ecuacin (5-46) se puede expresar en forma ms general. Haciendo q.) igual al gasto correspondiente a un tiempo t = l y (qf) para un valor cualquiera del tiempo (t), el valor de (m) ser:

tl

qqm

fi

loglog

loglog

(5-49)

o lo que es lo mismo:

i

fm

q

qt (5-50)

La ecuacin (5-50) es del tipo hiperblico, nombre que se le da a la declinacin de aquellos yacimientos cuyas producciones varan conforme a esta ecuacin. En este caso por la naturaleza de la ecuacin, la declinacin "no" presenta un valor "constante" sino "variable", por lo que ser necesario calcular los valores de la declinacin conforme se vaya cambiando de perodo. Sustituyendo el valor de q2/q1 de la ecuacin (5-48) en la ecuacin (5-15), se obtiene: d = ( (t2/t1)

m - 1) = ((t + 1*/ t)m 1) 5-51) siendo (m), el valor de la pendiente de la recta ajustada y "d", el valor de la declinacin que ser diferente para cada perodo de tiempo que se considere. 4.123 METODO PARA DETERMINAR LA RESERVA Para el clculo de la reserva se suman simplemente los gastos determina dos, para cada perodo de tiempo, as: R = qo (1 - d1) + qo (1 d1) (1 - d2) +... + qo (1 - d1). ..(1 - dn) . ..(5-52) o tambin:

btaqRni

i

i

ni

i

i

11

...... (5-53)

donde el sub-ndice "n" corresponde al gasto lmite econmico. 4.124 GASTOS FUTUROS Y TIEMPO DE VIDA UTIL Los gastos futuros y el tiempo se puede determinar de la ecuacin (5-41).

Conocidas las constantes "a" y "b" y el tiempo "t" al cual se requiere conocer el gasto, simplemente se sustituyen estos valores en la ecuacin (5-41) y se calcula el gasto. El tiempo de vida til se determina a partir de la ecuacin (5-41), sustituyendo para tal fin el valor del gasto lmite econmico y resolviendo la ecuacin para "t1. 5.00 APLICACIONES PRACTICAS. 5.10 APLICACIONES PARA UN YACIMIENTO CON DECLINACION EXPONENCIAL. Los valores de produccin-tiempo; tabla 5-1 del campo Alazn, se graficaron en un sistema semi-logartmico y se les ajust una recta, a los puntos que mostraron tal tendencia.

* Se considero un periodo unitario.

La ecuacin ajustada es del tipo

btaq " Para encontrar los valores de las constantes se aplica el mtodo de los promedios tal como se indic en la seccin (4.111).

Tomando los datos de la tabla 5-I y sustituyndolos en las ecuaciones (5-6) y (5-7), se tiene: 26.6962 = 6 log a + 0.4343 x 21 x b 25.7545 = 6 log a + 0.4343 x 57 x b de donde: b = 0.06023 a = 34747 obtenindose la ecuacin: - 0.06023 (t) q = 34747 A partir de la expresin anterior se pueden conocer los gastos de aceite para cualquier tiempo "t', as: para: t = 1 (aos) qo1 = 32 751 (m

3) t = 10 (aos) qo10 = 19 025 (m

3) t = 12 (aos) qo12 = 16 866 (m

3) Tomando dos valores cualesquiera, se puede determinar la pendiente (m) de la recta ajustada con la expresin (5-16).

02621.09

235899.0

110

32751

19025log

1

10log

110

0

0

ttq

q

m

A partir de este valor, se puede determinar la (declinacin anual) "d" porque el tiempo esta tomado en aos, mediante la expresin (5-21).

05857.0)110()110( 02624.0 md d = 0.05857 CALCULO DE LA RESERVA. Conocido el valor de la declinacin anual "d", se puede calcular la reserva de aceite por la expresin (5-39).

d

qqdR

of

)()1(

donde: qf = qL.E. Para esta zona, el qL.E, se calcul de acuerdo con la forma indicada en la seccin (3.00) y resulto ser de: qL.E = 300 m

3/ao/pozo. El nmero promedio de pozos para este campo, es de once, luego: qL.E. = 300 x 11 = 3 300 m3/ao qo = 34 747 (m3/ao), para t = 0 Sustituyendo estos dos valores de produccin en la expresin (5-39), se puede calcular la Reserva Original, esto es: Reserva original = (1 - 0.05857) (3 300 34 747) = 505 466 m3 - 0.05857 Reserva original = 505 466 (m3) La Reserva actual ser igual a la Reserva original menos el volumen de aceite producido acumulado, esto es:

Reserva actual = Reserva original - Np

Donde: )(945287 312

mqNpn

li

oi

luego: Reserva actual = 505 466 - 287 945 = 217 521 m3. Para determinar el tiempo de vida til, se sustituye el valor de qL.E. en la ecuacion determinada; esto es: -0. 06023 t 3 300 = 34 747 despejando (t) y efectuando operaciones, se tiene que: t-39 aos. Como el campo ya estuvo en produccin 12 aos, el tiempo de vida til ser: t = 39 -12 = 27 aos. Los valores anteriormente obtenidos se ilustran en la figura siguiente.

5. 21) APLICACIONES PARA UN YACIMIENTO CON DECLINACION HIPER- BOLICA. Para mostrar un ejemplo de este mtodo, se tomaron los datos del campo ARBUCKLE LIME, expuesto en la tabla 5-II. Como los datos graficados en el sistema log - log no segua una tendencia lineal, se sum a la variable tiempo una constante igual a catorce meses. Al graficar nuevamente se defini una recta de ecuacin igual a: q = atb (5-41) Expresin que corresponde al tipo de declinacin hiperblica. Para encontrar los valores de las constantes (a) y (b) se aplica el mtodo de promedios, desarrollado en la seccin (4.121).

Tomando los datos de la tabla (5-II) y sustituyendo en las ecuaciones (5-42) y (5-43), respectivamente, se tiene: 23.7828 = 6 log a + 8.8835 b 22.7234 = 7 log a +12.9144 b Efectuando operaciones, se encontr que: B = -1.9696 a = 7582800 Como para este caso (b), es igual a la pendiente m de la recta, se est en condiciones de poder hacer uso de la expresin: d = ( (t + 1/ t)m -1) = ( (t2/ t1)

m -1)......(5-51) En la relacion (t + 1/ t)m, la unidad significa precisamente un perodo de tiempo. Aplicando la ecuacin (5-51):

M = - 1.9696 t = 89 meses (a partir del ltimo dato de produccin). 1 (periodo de tiempo) = 6 meses. -1.9696 d1 = ( ( 89 + 6 / 89 ) -1 ) = (0.87943 -1) = 0.12057 d1 = 0.12057 - 1.9696 d2 = ((95+6/95) -1) = (0.88641 - 1) = 0.11359 d2 = 0.11359 Y as en esta forma se puede seguir calculando hasta alcanzar el tiempo de vida til del yacimiento, que se obtiene de la ecuacin (5-41) qL.E. = a t

b si qL.E = 398 m

3/ao, a = 7 582 800, b = - 1.9696 -1.9696 398 = 7 582 800 t despejando y efectuando operaciones, resulta que t = 149 meses. El yacimiento estuvo produciendo durante 89 meses (corregido), luego el tiempo de vida til ser igual a: t = 149 - 89 = 60 meses. En consecuencia la "declinacin semestral" (d), se deber calcular hasta alcanzar los 60 meses contados a partir del tiempo correspondiente a la ltima produccin. d3 = 0.10749, d4 = 0.10198, d5 = 0.09687, d6 = 0.09231, d7 = 0.08826, d8 = 0.08443, d9 = 0.08097, d10 = 0.07766. -1.9696 d10 = ((143 + 6/143) - 1) = (0.92234 - 1)

d10 = 0.07766 CALCULO DE LA RESERVA Podemos calcular la reserva, utilizando la expresin (5-52). R = qo (1-d1) + qo (1-d1) (1-d2) + . + qo (1-d1) ... (1-dn) Calculando la reserva a partir de la ltima produccin conocida (q = 99 m3/mes) y las declinaciones correspondientes hasta obtener el gasto lmite econmico, lo obtenido ser precisamente la "reserva actual", esto es: t1 = 89+6 = 95 meses, q1 = qo (1 - d1) = 1099 (1 - 0.12057) = 966 m

3/mes q2 = qo (1- d1) (1 - d2) = q1(1 - d2) = 966(1 - 0.11359) t2 = 95 + 6 = 101 meses, q2 = 856 m

3/mes. t3 = 101 + 6 = 107 meses, q3 = q2 (1 - d3) = 856 x (1 - 0.10749) = 764 m

3/mes. Calculando de esta forma para los dems gastos se obtuvieron: t4 = 107+ 6= 113 meses, q4 = 686 m

3/mes. t5 = 113+ 6 = 119 meses, q5 = 620 m

3/mes t6 = 119 + 6 = 125 meses, q6 = 563 m

3/mes. t7 = 125 + 6 = 131 meses, q7 = 513 m

3/mes. t8 = 131 + 6 = 137 meses, q8 = 470 m

3/mes. t9 = 137 + 6 = 143 meses, q9 = 432 m

3/mes. t10= 143 + 6 = 149 meses, q10=398 m

3/mes. de donde la reserva actual ser:

Reserva actual = txqi

i

i '

10

1

, donde: ' t = 6 meses

txqi

i

i '

10

1

= 966 x 6 + 856 x 6 + 764 x 6 + 686 x 6 + 620 x 6 + 563 x 6

+ 5l3 x 6 + 470 x 6 + 432 x 6 + 398 x 6. Reserve actual = 37 608 m3 La reserva original ser igual a: Reserva original = Reserva actual + Np

Np = ' 3932505 mNp Reserva original = 37 608 + 505 932 = 543 540 m3 Reserva original = 543 540 m3. Los valores obtenidos anteriormente se ilustran en la siguiente figura.