AUTOMATIZAÇÃO DO PROJECTO DE ESTRUTURAS … · relações momento curvatura. ... Ilustração 12 – Diagrama momento-curvatura para cálculo do coeficiente de ductilidade em curvatura

AUTOMATIZAÇÃO DO PROJECTO DE ESTRUTURAS

DE BETÃO (EC8)

DIMENSIONAMENTO E PORMENORIZAÇÃO DE PILARES DE

BETÃO ARMADO

Francisco Costa Santos Dias Pereira

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Júri

Presidente: Prof. Pedro Guilherme Sampaio Viola Parreira

Orientador: Prof. Paulo Miguel Macedo França

Vogal: Prof. João Sérgio Nobre Duarte Cruz

Agosto de 2010

i

Agradecimentos

Ao Professor Paulo França, pelo tempo dispensado e pelos conselhos indispensáveis à

realização deste trabalho.

Aos meus amigos Tico e Tiago e ao meu colega Cris, ao lado de quem trabalhei para ser

Engenheiro.

Aos meus irmãos, João e Luís, eternos companheiros.

Aos meus pais e à minha família que sempre valorizaram e patrocinaram os meus estudos.

À Microsoft por ceder livremente o seu software MS Visual Basic Express Edition para fins não

comerciais.

ii

Resumo

Neste trabalho pretendeu-se desenvolver um programa de computador capaz de executar

algumas das verificações de segurança de pilares de betão armado sujeitos a acções sísmicas

de acordo com o Eurocódigo 8.

São abordadas as verificações aos Estados Limite Último de resistência à flexão composta

(secção 6.1 de EC2) e de resistência ao esforço transverso (secção 6.2 do EC2). A verificação

e pormenorização dos requisitos de ductilidade das zonas críticas (secções 5.4.2.3 e 5.4.3.2 do

EC8) são também tratadas. O trabalho dá maior ênfase às verificações de ductilidade, uma vez

que este é o aspecto mais directamente ligado ao Eurocódigo 8 e aquele que se diferencia da

prévia legislação portuguesa: RSA e REBAP.

O trabalho desenvolve-se sobre pilares rectangulares que, a par dos circulares, são os únicos

para os quais o EC8 apresenta um método simplificado para pormenorização de cintas nas

zonas críticas que evite um cálculo explícito da ductilidade em curvatura através do cálculo de

relações momento curvatura. São comparadas as duas formas de verificação de ductilidade:

através das prescrições de cintas do EC8 e através do cálculo da relação momento-curvatura.

No último capítulo o programa é testado com exemplos e os resultados obtidos são

comentados.

Palavras-chave:

Automatização de cálculo; Eurocódigo 8; betão armado; pilares; ductilidade; confinamento

iii

Abstract

This purpose of this work was to create a computer program capable of performing security

verifications on reinforced concrete columns subjected to seismic actions according to

Eurocode 8.

Ultimate Limit State of bending with axial force (section 6.1 of EC2) and shear (Section 6.2 of

EC2) verifications are computed and two methods of computation are developed for verification

and detailing for ductility requirements of critical regions (sections 5.4.2.3 and 5.4. 3.2 of EC8).

The work puts greater emphasis on ductility provision, since this is the verification most directly

linked to Eurocode 8 and the one that most differs from previous Portuguese legislation: RSA

and REBAP.

This work is developed on rectangular columns for which, together with circular cross sections,

are the only ones that a simplified method avoiding explicit calculation of curvature ductility by

calculating the moment curvature relation is presented in EC8. In this study two ways for

verification of ductility are compared: through the detailing requirements presented on EC8

(mostly about hoops pattern) and by the calculation of moment-curvature relationship.

In the last chapter the computer program is tested with examples and the obtained results are

commented.

Keywords:

Computing; Eurocode 8; reinforced concrete; columns; ductility; confinement.

iv

Índice

1 Introdução .............................................................................................................................. 1

2 Materiais ................................................................................................................................ 2

2.1 Betão ............................................................................................................................. 2

2.1.1 Relações tensões-extensões para o dimensionamento de secções transversais 2

2.1.2 Relações tensões-extensões de cálculo para análise estrutural não linear ......... 3

2.2 Betão confinado ............................................................................................................. 3

2.2.1 Relação tensões-extensões parábola-rectângulo, ou como proposta por EC2[2] 3

2.2.2 Relação tensões-extensões para análise estrutural proposta pelo MC90[5]........ 5

2.3 Aço para armaduras ...................................................................................................... 5

3 Verificação da resistência ao Estado Limite Último .............................................................. 7

3.1 Flexão composta simples e desviada ........................................................................... 7

3.1.1 Flexão composta simples ...................................................................................... 7

3.1.2 Flexão composta desviada .................................................................................. 11

3.2 Esforço Transverso ..................................................................................................... 14

3.2.1 Implementação .................................................................................................... 14

4 Verificação da ductilidade ................................................................................................... 16

4.1 Estruturas DCM e DCH e disposições construtivas .................................................... 19

4.2 Implementação ............................................................................................................ 20

4.2.1 Implementação da expressão 5.15 do EC8 [2] ................................................... 20

4.2.2 Verificação explícita da ductilidade ..................................................................... 21

5 Guia de utilização ................................................................................................................ 25

5.1 Introdução e estrutura do programa ............................................................................ 25

5.2 Secção ......................................................................................................................... 25

5.3 Flexão .......................................................................................................................... 27

5.4 Esforço Transverso ..................................................................................................... 28

5.5 Ductilidade Local ......................................................................................................... 29

5.6 Momento – Curvatura .................................................................................................. 30

5.7 Opções ........................................................................................................................ 31

6 Exemplos de aplicação ....................................................................................................... 32

v

6.1 Exemplo de aplicação 1 – Exemplo Geral .................................................................. 32

6.1.1 Resistência à flexão ............................................................................................ 32

6.1.2 Resistência ao esforço transverso ...................................................................... 34

6.1.3 Verificação da ductilidade ................................................................................... 35

6.2 Exemplo de Aplicação 2 – Comparação de resultados .............................................. 47

7 Conclusões Gerais .............................................................................................................. 49

Bibliografia ................................................................................................................................... 50

vi

Índice de ilustrações

Ilustração 1 – Diagrama parábola-rectângulo para o betão comprimido [2]. ................................ 2

Ilustração 2 – Tensões extensões para análise estrutural[2] ........................................................ 3

Ilustração 3 – Digrama parábola-rectângulo para o betão confinado [2]. ..................................... 4

Ilustração 4 – Tensão efectiva de compressão lateral .................................................................. 4

Ilustração 5 – Relação tensões-extensões para betão confinado proposta pelo MC90[5]. ......... 5

Ilustração 6 – Diagrama tensões-extensões do aço para armaduras de betão armado .............. 6

Ilustração 7 – Domínio admissível de extensões de rotura para cálculo de secções aos Estados

Limite Último [2]. ............................................................................................................................ 7

Ilustração 8 – Diagramas de extensões fixados pelo programa ................................................... 8

Ilustração 9 – Discretização da secção em fibras horizontais. ..................................................... 9

Ilustração 10 – Discretização em elementos rectangulares ....................................................... 12

Ilustração 11 – Atribuição do campo de extensões .................................................................... 12

Ilustração 12 – Diagrama momento-curvatura para cálculo do coeficiente de ductilidade em

curvatura ...................................................................................................................................... 17

Ilustração 13 – Distribuição horizontal não uniforme do confinamento [5] ................................. 19

Ilustração 14 – Distribuição vertical não uniforme do confinamento [5]...................................... 19

Ilustração 15 – Interface de introdução de dados ....................................................................... 21

Ilustração 16 – Campo de extensões da secção ........................................................................ 22

Ilustração 17 – Discretização da secção e separação de betão confinado e não confinado ..... 23

Ilustração 18 – Fluxograma de cálculo da relação momento-curvaturaErro! Marcador não

definido.

Ilustração 19 – Separador Secção .............................................................................................. 26

Ilustração 20 – Separador Flexão ............................................................................................... 27

Ilustração 21 – Separador Esforço Transverso ........................................................................... 28

Ilustração 22 – Separador Ductilidade Local .............................................................................. 29

Ilustração 23 – Separador Momento-Curvatura .......................................................................... 30

Ilustração 24 – Secção exemplo aplicação ................................................................................. 32

Ilustração 25 – Inserção de dados no interface do programa ..................................................... 32

Ilustração 26 – Armadura longitudinal ......................................................................................... 32

Ilustração 27 – Interface de opções de extensão do aço e coeficientes de minoração ............. 33

Ilustração 28 – Resistência à flexão - direcção y ........................................................................ 33

Ilustração 29 – Resistência à flexão - direcção z ........................................................................ 33

Ilustração 30 – Verificação da resistência à flexão composta desviada para N=1000KN .......... 34

Ilustração 31 – Verificação da resistência à flexão composta desviada para N=600KN ............ 34

Ilustração 32 – Verificação ao esforço transverso na direcção y. ............................................... 35

Ilustração 33 – Verificação ao esforço transverso na direcção z. ............................................... 35

Ilustração 34 – Introdução de parâmetros sísmicos ................................................................... 35

Ilustração 35 – Secção transversal representada pelo programa .............................................. 36

Ilustração 36 – Traçado de cintas para exemplo com maior confinamento do betão ................ 36

vii

Ilustração 37 – Inserção de dados referentes ao traçado das cintas ......................................... 36

Ilustração 38 – Inserção de dados referentes ao diâmetro e espaçamento das cintas.............. 37

Ilustração 39 – Resultados da função verificação DCM na direcção de maior inércia para

N=1000KN ................................................................................................................................... 37

Ilustração 40 – Resultados da função verificação DCM na direcção de menor inércia para

N=1000KN. .................................................................................................................................. 38

Ilustração 41 – Resultados da função verificação DCM na direcção de maior inércia para

N=600KN. .................................................................................................................................... 39

Ilustração 42 – Resultados da função verificação DCM na direcção de menor inércia para

N=600KN. .................................................................................................................................... 39

Ilustração 43 – Relação momento-curvatura para hipótese 1 e relação constitutiva parábola-

rectângulo na direcção de maior inércia. .................................................................................... 40

Ilustração 44 – Relação momento-curvatura para hipótese 1 e relação constitutiva parábola-

rectângulo na direcção de menor inércia. ................................................................................... 41

Ilustração 45 – Relação momento-curvatura para hipótese 1 e relação constitutiva para análise

estrutural na direcção de maior inércia. ...................................................................................... 41


estrutural na direcção de menor inércia. ..................................................................................... 41

Ilustração 47 – Secção sem reforço de estribos na zona crítica ................................................ 42

Ilustração 48 – Resultados da função verificação DCM na direcção de maior inércia ............... 43

Ilustração 49 – Resultados da função verificação DCM na direcção de menor inércia.............. 43

Ilustração 50 – Relação momento-curvatura para hipótese 2 e relação parábola rectângulo na

direcção de maior inércia. .......................................................................................................... 44

Ilustração 51 – Relação momento-curvatura para hipótese 2 e relação parábola rectângulo na

direcção de menor inércia. .......................................................................................................... 44


estrutural na direcção de maior inércia. ...................................................................................... 44


estrutural na direcção de menor inércia. ..................................................................................... 44

Ilustração 54 – Gráfico e legenda detalhado para a relação momento curvatura H1R1_1000.

Cada linha do gráfico representa a “contribuição” para o momento flector da secção da área de

cor correspondente. .................................................................................................................... 46

Ilustração 55 – Secção transversal e materiais. ......................................................................... 47

Ilustração 56 – Diagrama de interacção M-N. ............................................................................. 48

Ilustração 57 – Diagrama momento-curvatura para dois valores de esforço axial. .................... 48

viii

Notação

Letras Latinas

Área da secção transversal

Área da secção transversal das armaduras de esforço transverso

Largura

Largura do núcleo de betão confinado

Largura da secção transversal de betão

Altura útil de uma secção transversal

Módulo de elasticidade secante do betão

Módulo de elasticidade do aço para armaduras

Tensão de rotura do betão à compressão

Tensão de rotura do betão confinado à compressão

Valor de cálculo da tensão de rotura do betão à compressão

Valor de cálculo da tensão de rotura do betão comprimido à compressão

Valor característico da tensão de rotura do betão à compressão

Valor característico da tensão de rotura do betão comprimido à compressão

Tensão de cedência à tracção do aço das armaduras de betão armado

Valor de cálculo da tensão de cedência à tracção do aço das armaduras

Valor característico da tensão de cedência à tracção do aço das armaduras

Valor de cálculo da tensão de cedência à tracção do aço das armaduras de esforço transverso

Altura

Altura do núcleo de betão confinado

Altura da secção transversal de betão

Coeficiente; Factor

Comprimento; Vão

Comprimento da região crítica

Momento flector

Valor de cálculo do momento flector actuante

Valor de cálculo da resistência ao momento flector

Esforço normal

Valor de cálculo do esforço normal actuante

Coeficiente de comportamento

Valor base do coeficiente de comportamento

Espaçamento entre estribos na zona crítica

Período fundamental do edifício

Período no limite superior do tramo constante do espectro de aceleração

Esforço transverso

Valor de cálculo do esforço transverso actuante

Z Braço do binário das forças interiores

Letras gregas

Coeficiente de eficiência das armaduras de confinamento

Coeficiente de eficiência horizontal das armaduras de confinamento

Coeficiente de eficiência vertical das armaduras de confinamento

ix

Coeficiente parcial do betão

Coeficiente parcial do aço

Extensão

Extensão do betão à compressão

Extensão do betão à compressão correspondente à tensão máxima fc

Extensão do betão confinado correspondente à tensão máxima fc

Extensão última do betão à compressão

Extensão última do betão confinado à compressão

Extensão de cedência do aço de armadura

Valor de cálculo da extensão limite do aço de armadura

Valor característico da extensão limite do aço de armadura

Ângulo. Ângulo interno da treliça

Coeficiente de ductilidade em curvatura

Valor de cálculo do esforço axial reduzido

Percentagem de armadura longitudinal

Tensão

Tensão no betão

Tensão efectiva de compressão lateral

Curvatura

Percentagem mecânica de armadura transversal nas zonas críticas

1

1 Introdução

Os Eurocódigos, mais especificamente os Eurocódigos 2[2] e 8[3], comparativamente ao

RSA[10] e ao REBAP[9], acrescentam verificações nos elementos estruturais e modificações

às verificações já presentes, principalmente no que se relaciona com requisitos de ductilidade.

Algumas das verificações são morosas e rotineiras.

Não sendo possível abranger todas as verificações presentes nos Eurocódigos, este trabalho

trata da verificação de pilares sujeitos a acções sísmicas de acordo com o EC8[3] e EC2[2].

Trata da verificação aos Estados Limite Último de resistência à flexão (secção 6.2 de EC2[2]),

esforço transverso (secção 6.2 do EC2[2]) e verificação e pormenorização dos requisitos de

ductilidade (capítulos 5.4.2.3 e 5.4.3.2 do EC8[3]). O programa desenvolvido foca-se apenas do

no dimensionameto e pormenorização do elemento, e processos de análise da estrutura

(incluindo escolha do coeficiente de comportamento) e determinação dos esforços no elemento

(no caso específico de pilares também a análise dos efeitos de 2ªordem e inclusão das

imperfeições geométricas) não são abordados. O evoluir da tecnologia informática permite

realizar os cálculos necessários às verificações abordadas a uma velocidade muito superior e

alguns aspectos do programa requerem mesmo métodos numéricos que não são de todo

viáveis de forma não automática. Ao mesmo tempo a automatização de processos rotineiros

pode ajudar a reduzir o erro humano.

A parte escrita do presente trabalho está dividida em três partes.

Uma primeira (capítulo 2) onde, sucintamente, são descritas as propriedades dos matérias,

neste caso betão e aço para armaduras.

Na segunda parte são descritas as verificações a fazer. No capítulo 3 são apresentadas as

verificações de resistência da secção – resistência à flexão composta simples e desviada e

dimensionamento e resistência ao esforço transverso. No capítulo 4 são apresentadas as

verificações relativas ao cumprimento dos requesitos de ductilidade assim como as disposições

construtivas prescritas pelos Eurocódigos. A verificação de ductilidade é apresenta de duas

formas: segundo a expressão (5.15) do EC8[2] e pelo cálculo das relações momento-curvatura.

Em cada capítulo é apresentado primeiro uma parte “teórica”, em que se descreve quais as

verificações a fazer e quais os métodos permitidos pelos Eurocódigos e quais serão

automatizados. Em seguida é apresentada a forma como o programa aborda esses temas:

quais os algoritmos escolhidos e como funcionam.

Na terceira parte apresentam-se um guia de utilização do software (capítulo 5) e exemplos de

aplicação comentados (capítulo 6), com principal ênfase nas verificações de ductilidade, que

são as mais específicas do Eurocódigo 8[3]. Além da parte escrita, inclui-se o ficheiro

executável do programa.

2

2 Materiais

Descrevem-se neste capítulo algumas relações constitutivas presentes no Eurocódigo 2 [1] e

utilizadas como modelos no presente trabalho.

2.1 Betão

2.1.1 Relações tensões-extensões para o dimensionamento de secções transversais

Para o cálculo de secções transversais pode-se usar a relação tensões-extensões definidas em

EC2 3.1.7. [2] :

Diagrama parábola-rectângulo, de acordo com as expressões

(1)

(2)

em que:

tensão no betão

extensão última, de acordo com Quadro 3.1 EC2 [2]

extensão no betão

extensão ao ser atingida a resistência máxima, de acordo com Quadro 3.1 EC2 [2]

valor de cálculo da tensão de rotura do betão à compressão

expoente, de acordo com o Quadro 3.1 do EC2 [2]

fcd

c2

c

cu2 c0

fck

Ilustração 1 – Diagrama parábola-rectângulo para o betão comprimido[2].

3

2.1.2 Relações tensões-extensões de cálculo para análise estrutural não linear

Para a análise estrutural não linear o Eurocódigo 2[1], propõe uma relação representada na

Ilustração 2 e dada pela seguinte expressão:

(3)

Em que:

é a extensão correspondente à tensão máxima

=1,05

é o módulo de elasticidade secante do betão

Ilustração 2 – Tensões extensões para análise estrutural[1]

2.2 Betão confinado

O efeito de confinamento conferido pelas armaduras transversais aumenta a resistência e

ductilidade do betão.

2.2.1 Relação tensões-extensões parábola-rectângulo, ou como proposta por EC2[1]

O Eurocódigo 2 [1] propõe uma relação constitutiva parábola rectângulo semelhante à do betão

não confinado, mas em que os valores , e são modificados para , e de

acordo com as expressões:

(4)

(5)

(6)

4

(7)

Ilustração 3 – Digrama parábola-rectângulo para o betão confinado [1].

é a tensão efectiva de compressão lateral, tal como na Ilustração 4.

Ilustração 4 – Tensão efectiva de compressão lateral

Como o Eurocódigo 2 [1] não refere como calcular a tensão efectiva de confinamento, recorreu-

se ao MC90 [1], que apresenta as mesmas expressões para , e que o EC2 [1],

propõe um modelo simplificado para a avaliação de :

(8)

Em que:

é o coeficiente de eficiência da armadura de confinamento. (Ver 4.2.1)

é a taxa mecânica de armadura transversal

– Não confinado

5

Segundo o Designer’s Guide [4] o valor de extensão última do betão pode ser definido através

de:

(9)

2.2.2 Relação tensões-extensões para análise estrutural proposta pelo MC90[1]

Em alternativa à formulação proposta pelo EC2[2], apresenta-se a formulação proposta pelo

MC90 [1], em que a parte ascendente é igual à parte ascendente do diagrama para análise

estruturas proposto pelo EC2[1] e descrita na equação (3). O valor do módulo de elasticidade

mantém-se o mesmo que o do betão não cintado. Os valores das tensões são alterados de

acordo com as equações (4) e (5) e os valores das extensões e são substituídos por

e de acordo com as expressões (10) e (11). A parte descendente, como representado

na Ilustração 5, é uma recta até atingir a rotura em .

(10)

(11)

Em que é a tensão máxima do betão considerada ( ou ).

Ilustração 5 – Relação tensões-extensões para betão confinado proposta pelo MC90[1].

2.3 Aço para armaduras

Para o cálculo de secções transversais pode-se usar uma das relações tensões-extensões

definidas em EC2 3.2. [1]:

Com ramo superior inclinado e extensão limite εud;

Com ramo superior horizontal sem necessidade de verificação de limite de extensão.

6

Ilustração 6 – Diagrama tensões-extensões do aço para armaduras de betão armado

Em que:

é a extensão característica

é a extensão de dimensionamento, cujo valor recomendado é 0,9

Os valores de k e a considerar dependem da classe de ductilidade das armaduras.

Tabela 1 - Classes de ductilidade de aço para armaduras

Classe de ductilidade A B C

k 1.05 1.08 1.15<1.35

uk[%] 2.5 5.0 7.5

O EC8[3] permite apenas a utilização de aços de classe B e C em estruturas sujeitas a acções

sísmicas.

ud

fyd/Es

fyk

kfyk

fyd = fyk/s

kfyk

A

B

uk

kfyk/s

7

3 Verificação da resistência ao Estado Limite Último

Neste capítulo é abordada a verificação aos estados limite de resistência à flexão e esforço

transverso. A resistência à flexão e ao esforço transverso são calculadas de acordo com o

EC2[1]. A resistência à flexão composta desviada é computada de três formas distintas

descritas em 3.1.2.

3.1 Flexão composta simples e desviada

3.1.1 Flexão composta simples

A flexão composta, para zonas cujas secções se mantém planas antes e após o carregamento,

deve ser calculada de acordo com as indicações de 6.1. do EC2[1].

Assim o cálculo deve-se basear nas hipóteses/condições (2)P de 6.1. do EC2[1].

O diagrama de tensões-extensões do betão é indicado em 3.1.7. do EC2[1] e no ponto

2.1 do presente documento

O diagrama de tensões-extensões do aço de armaduras é um dos indicados no

EC2[1]e no ponto 2.3 do presente documento

A resistência do betão à tracção é ignorada

Compatibilidade perfeita dos materiais, ou seja, a extensão das armaduras aderentes é

a mesma da do betão que as envolve.

O domínio admissível das extensões de rotura é representado na Ilustração 7.

Ilustração 7 – Domínio admissível de extensões de rotura para cálculo de secções aos Estados Limite Último [1].

8

3.1.1.1 Implementação do diagrama de rotura M-N

Para a verificação de segurança à flexão composta implementa-se no software o cálculo da

envolvente de rotura M-N que fornece os pares de esforços para os quais a secção entra em

rotura.

Para o cálculo da envolvente de rotura em esforços M-N de uma determinada secção é

necessário fazer a escolha dos diagramas tensões-extensões apresentados no capítulo 2.

Para o caso do betão adopta-se o diagrama parábola rectângulo descrito em 2.1.

No caso do aço, o programa dá ao utilizador a possibilidade de escolher entre os dois

diagramas descritos em 2.3:

Com ramo superior inclinado e extensão limite εud;

Com ramo superior horizontal sem necessidade de verificação de limite de extensão.

O utilizador insere a geometria da secção, os materiais (no betão o utilizador opta por uma das

classes do EC2[1] e no aço pela tensão de cedência característica fyk), e a posição das

armaduras.

O programa considera as armaduras como forças concentradas no seu centro de geométrico e

faz a integração da força do betão por intermédio do método numérico a seguir descrito. A

secção é discretizada em áreas paralelas à linha neutra e cada elemento tem extensão

uniforme, correspondente à extensão do seu centro geométrico. Para integração das tensões

na zona comprimida do betão utilizou-se o método das fatias com soma de trapézios.

De modo a traçar o diagrama de extensões por completo, fixam-se as extensões nas

extremidades da secção de acordo com a Ilustração 8.

Ilustração 8 – Diagramas de extensões fixados pelo programa

9

Em seguida determinam-se as tensões através das relações constitutivas já descritas e os

esforços pelas seguintes equações de equilíbrio:

(12)

(13)

Em que:

e

são as tensões no elemento de aço e betão respectivamente (ver Ilustração 9)

e

são as áreas do elemento de aço e betão respectivamente

e

são as distâncias do elemento de aço e betão respectivamente ao centro de

gravidade da secção medidas na vertical. Sendo consideradas positivas ou

negativas consoante se encontrem abaixo ou acima da origem das coordenadas

(ver Ilustração 9).

Ilustração 9 – Discretização da secção em fibras horizontais.

Na página seguinte apresenta-se um fluxograma de síntese da computação da função flexão

composta presente no software:

10

Fluxograma 1 – Flexão Composta

11

3.1.2 Flexão composta desviada

A flexão desviada pode ser verificada:

Método 1 - De forma explícita. Calculando a envolvente de rotura Mx-My-N, através

das as extensões e tensões para um esforço axial e um momento flector não actuando

numa direcção principal de inércia;

Método 2 - Através da condição [5.4.3.2.1 (2)P] do EC8[3], que permite a consideração

separada em cada direcção desde que reduzindo os momentos resistentes uniaxiais

em 30%;

Método 3 - Através da expressão (5.39) do EC2:

(14)

Em que:

momento de cálculo em relação ao eixo considerado

momento resistente na direcção considerada

expoente. Variável em função da geometria da secção e nível de esforço axial.

Secções circulares ou elípticas: a=2

Secções rectangulares

3.1.2.1 Implementação da flexão desviada pelo método 1

Para a verificação da resistência à flexão desviada, nesta abordagem que no documento é

chamada “método 1” calcula-se a envolvente de rotura da secção para esforços Mx-My-N.

A definição das extensões e tensões no betão é feita por discretização da secção em

elementos rectangulares, como representado na Ilustração 10. Cada elemento tem extensão

uniforme, correspondente à extensão do seu centro geométrico.

NEd/NRd 0,1 0,7 1,0

a 1,0 1,5 2,0

12

Ilustração 10 – Discretização em elementos rectangulares

O efeito das armaduras é considerado como forças concentradas no seu centro de geométrico.

A flexão desviada acrescenta uma variável ao problema da flexão composta simples. A

inclinação da linha neutra no plano da secção não é conhecida. O campo de extensões passa

assim de dois graus de liberdade para três. Para além das duas extensões limite que eram

impostas na implementação da flexão composta simples é agora necessário impor a inclinação

da linha neutra no plano da secção ou algo que seja equivalente, como a extensão num

terceiro ponto.

Arbitra-se inicialmente o valor das extensões de dois cantos. As extensões admissíveis são

definidas pelas características dos materiais. O algoritmo de atribuição das extensões nos

cantos é o mesmo que o utilizado para a flexão composta simples e definido na Ilustração 8.

Cada par arbitrado de extensões nos cantos define implicitamente um ponto da linha neutra ln1.

Arbitra-se seguidamente o segundo ponto da linha neutra ln2 (implicitamente a inclinação no

plano do papel), como na Ilustração 11.

Ilustração 11 – Atribuição do campo de extensões

Tendo os dois pontos da linha neutra, esta é definida na forma:

13

(15)

Definida a linha neutra e recorrendo a uma das extensões dos cantos, também já conhecida, é

possível, por relações geométricas, obter as extensões em qualquer ponto:

(16)

(17)

Sendo :

a extensão no elemento i

a extensão no elemento 1 (previamente arbitrada)

a distância do ponto i à linha neutra

a distância do ponto 1 à linha neutra

As tensões obtêm-se da mesma forma que são obtidas na implementação da flexão composta.

Os esforços obtêm-se através das equações de equilíbrio:

(18)

(19)

(20)

Sendo e

são as distâncias do elemento de aço e betão respectivamente ao centro de

gravidade da secção medidas na horizontal.

Arbitrando um número suficientemente elevado de , e de equações da linha neutra,

obtém-se o diagrama tridimensional de rotura N – My – Mz.

14

3.2 Esforço Transverso

O esforço de corte é calculado de acordo com a cláusula 5.4.2.3.(1)P do EC8[3], onde é

calculado por equilíbrio da coluna considerando a formação de rótulas plásticas de sinais

opostos nas extremidades do pilar. Os momentos nas extremidades dos pilares correspondem

aos resistentes multiplicados por um factor amplificador. O factor, que deve ser igual a 1,1 no

caso da estrutura ser de ductilidade média (DCM) ou 1,3 caso a estrutura ser de ductilidade

elevada(DCH), deve-se à sobreresistência causada pelo confinamento do betão e

endurecimento do aço. As classes de ductilidade são abordadas no ponto 4.1. deste

documento.

Esta cláusula ( 5.4.2.3.(1)P do EC8[3] ) está de acordo com a filosofia de Capacity Design

(C.D.) ou dimensionamento por capacidade resistente, onde se atribui uma hieraquia de

prioridades de modos de rotura, onde modos como esforço tranverso devem ser evitados em

deterimento de roturas mais ducteis como a flexão. O tema do Capacity Design é mais

abordado no capítulo 4, referente às verificações de ductilidade.

A verificação ao esforço transverso baseia-se no modelo de treliça do EC2[1].

3.2.1 Implementação

O utilizador pode escolher entre inserir o valor de cálculo do esforço transverso actuante ou

recorrer à função “Calcular Vsd por C.D.” do programa que calcula o valor de através do

equilíbrio do momento resistente nos extremos dos pilares, de acordo com o descrito em 0. O

utilizador necessita de inserir a geometria da secção (em princípio já introduzida), os valores

possíveis (ou escolhidos de esforço axial) e a classe de ductilidade da estrutura (DCM ou

DCH).

O utilizador insere o valor de esforço actuante e escolhe o ângulo θ. O distância z pode ser

definido como 0,9d ou pode ser inserido pelo utilizador.

O programa fornece como resultado (para além do valor de cálculo do esforço de corte) a área

de armadura por unidade de comprimento do pilar

e verifica a tensão introduzida no betão

de acordo com a equação 6.9 do EC2 [1]:

(21)

(22)

15

Em que é igual a para e é calculado de acordo com 6.6 de [1].

( em MPa) (23)

16

4 Verificação da ductilidade

No dimensionamento de estruturas à acção dos sismos é corrente aceitar-se que a estrutura se

deforme além do seu limite elástico. O comportamento não linear das estruturas é usualmente

considerado pela divisão dos esforços elásticos por coeficiente de comportamento. É para esse

tipo de análise que o programa e as equações presentes no EC8[3] referentes à ductilidade

são dirigidos.

O coeficiente de comportamento usado em análise elástica linear, aplicado a uma estrutura

sujeita a uma acção sísmica, tem implícito uma determinada ductilidade da estrutura. Assim,

para que a resistência dimensionada seja suficiente é necessário verificar se a ductilidade está

de acordo com o assumido na escolha do coeficiente de comportamento.

Para que a estrutura possua um comportamento de acordo com a ductilidade pretendida é

importante evitar modos de rotura pouco dúcteis, como o esforço transverso. Tal deve ser

assegurado dimensionado os elementos de forma que os modos menos dúcteis não ocorram e

favorecendo modos de rotura mais dúcteis – neste caso a flexão. No caso dos pilares isso é

feito dimensionando a resistência ao esforço transverso com base no equilíbrio de esforços no

pilar, considerando que nos extremos deste são os seus momentos resistentes majorados por

1,1 ou 1,3 consoante a estrutura seja DCM ou DCH. Este dimensionamento com base na

resistência dos elementos está de acordo com o que no Eurocódigo 8[3] é definido como

Capacity Design.

Como não é expectável que plastifique toda a estrutura, para que a requerida ductilidade da

estrutura seja atingida, é necessário que as regiões que possam plastificar (zonas críticas)

possuam suficiente capacidade de rotação.

Esta condição é verificada se, nas zonas críticas, o valor do coeficiente de ductilidade em

curvatura , satisfaz as condições (24) e (25) presentes em 5.2.3.4(3) do EC8[3] .

(24)

(25)

Em que:

é o coeficiente de ductilidade em curvatura

é o valor base do coeficiente de comportamento na direcção considerada

é o limite superior do valor do período no tramo constante do espectro de aceleração,

de acordo com a Ilustração 12.

é o período fundamental da estrutura na direcção considerada

17

Ilustração 12 – Espectro de resposta elástico[2]

O coeficiente de ductilidade em curvatura é definido no EC8 como “a razão entre a

curvatura a 85% do momento resistente, pós momento máximo, desde que os limites de

extensão do betão e do aço e não sejam excedidos”. A Ilustração 13

Ilustração 13 – Diagrama momento-curvatura para cálculo do coeficiente de ductilidade em curvatura

O valor de deve ser multiplicado por 1,5 sempre que o aço utilizado para armadura

longitudinal seja da classe B.

Como a ductilidade da estrutura depende da ductilidade dos materiais que a constituem, a

“estratégia” para aumentar a ductilidade passa por aumentar a ductilidade dos materiais que a

constituem, mais especificamente o betão. Como se viu em 2.2 a extensão de rotura do betão

pode ser muito aumentada se for garantido um valor suficientemente alto de tensão de

confinamento.

18

O valor pode ser verificado de duas formas:

Explicitamente. Calculando e dividindo a curvatura a 85% do momento resistente pela

curvatura na cedência. É necessário verificar a resistência tendo em consideração a

perda de secção por destacamento do betão, mas também podendo considerar o

acréscimo de ductilidade e de resistência dada pelo confinamento do betão.

Através da expressão 5.15 do EC8[3]. A expressão, que visa essencialmente garantir

bom confinamento e impedir a encurvadura dos varões, tem em conta o esforço axial, a

taxa mecânica de armadura transversal e a sua eficiência. Esta expressão (26) é

apenas válida para pilares rectangulares.

(26)

Onde :

é o coeficiente de eficiência da armadura de confinamento

é a taxa mecânica de armadura transversal

é coeficiente de ductilidade em curvatura requerido, calculado através das equações

(24) e (25)

é o valor de cálculo do esforço axial reduzido

é o valor de cálculo da extensão de cedência do aço

é o valor de cálculo da tensão de cedência do aço

é o valor de cálculo da tensão de rotura do betão à compressão

é a largura da secção transversal de betão

é a largura do núcleo de betão confinado

O coeficente de eficieência da armadura de confinamento é um coeficiente que pertende

simular o efeito da distribuição não uniforme da tensão lateral. As forças laterais de

confinameto são aplicadas à secção de betão onde as cintas são dobradas e provocam uma

força de desvio e não são aplicadas uniformemente no elemento. Assim é necessário incluir no

cálculo a “boa distribuição” da tensão lateral.

19

Ilustração 14 – Força de desvio

O coeficiente de eficiência (27) da armadura de confinamento é o produto do coeficiente de

eficiência horizontal (28) pelo vertical (29):

(27)

(28)

(29)

Ilustração 15 – Distribuição horizontal não uniforme

do confinamento [3]

Ilustração 16 – Distribuição vertical não uniforme do

confinamento [3]

Em que:

s é o espaçamento dos estribos na vertical

bi é a distância entre varões longitudinais “enganchados” consecutivos

4.1 Estruturas DCM e DCH e disposições construtivas

O EC8 [2] define 3 categorias diferentes de ductilidade e dissipação de energia: DCL (baixa),

DCM (média) e DCH (alta). A classe DCL corresponde a seguir as indicações do EC2 [1] e é

recomendada apenas para zonas de baixa sismicidade.

A estas categorias correspondem diferentes valores de coeficiente de comportamento, e

diferentes disposições construtivas, tal como indicadas na Tabela 2.

20

Tabela 2 – Disposições construtivas das classes DCM e DCH

DCM DCH

na base da coluna

em todas as zonas

críticas à excepção da base

em que:

é a taxa volumétrica de armadura longitudinal

é o comprimento da zona crítica (metros). Se o pilar deve ser todo

considerado zona crítica

é a maior dimensão da secção transversal do pilar (em metros)

é a altura livre do pilar (em metros)

é a taxa mecânica de armadura transversal, como calculada em 4.2.1

é o diâmetro dos estribos (em milímetros)

é o diâmetro do menor dos varões longitudinais (em milímetros)

é o espaçamento dos estribos na zona crítica (em milímetros)

é o espaçamento entre varões longitudinais que se encontrem “enganchados” (em

milímetros)

4.2 Implementação

4.2.1 Implementação da expressão 5.15 do EC8 [3]

4.2.1.1 Introdução dos dados

Para o programa poder resolver a equação é necessário que o utilizador introduza os seguintes

dados, como na Ilustração 17:

21

A classe do betão, o aço e seus valores de cálculo, a geometria da secção, a posição

dos varões longitudinais e o esforço axial. Todos estes valores em princípio já terão

sido definidos pelo utilizador aquando do cálculo à flexão

Os parâmetros sísmicos q0, Tc e T1 necessários ao cálculo, nas duas direcções

consideradas.

O diâmetro, espaçamento e traçado dos estribos. O utilizador tem de definir o traçado

dos estribos indicando que varões é que estes circundam. Para que o programa possa

calcular os valores de (distância varões longitudinais cintados consecutivos) o

utilizador tem de indicar a ordem dos varões. (ver 5 Guia de utilização)

Ilustração 17 – Interface de introdução de dados

4.2.2 Verificação explícita da ductilidade

O cálculo é feito de acordo com 5.2.3.4. do EC8[3] no qual se tem se garantir um coeficiente de

ductilibidade em curvatura: . Para tal é necessário calcular a relação momento-curvatura das

secções críticas.

4.2.2.1 Cálculo de relação momento-curvatura (M – )

A relação momento-curvatura é calculada para um determinado valor de esforço axial, obtido

na análise estrutural e inserido pelo utilizador. Assim, definida uma curvatura (a variável

22

independente) é necessário determinar o campo de extensões compatível com que satisfaça,

por relações constitutivas e equações de equilíbrio, a condição imposta do valor de esforço

axial. A partir desse campo de extensões (agora totalmente definido) obtém-se, novamente a

partir das relações constitutivas dos materiais e das equações de equilíbrio, o valor do

momento flector.

O campo de extensões da secção fica definido através curvatura e da extensão no centro de

gravidade da secção (Equação (30) e Ilustração 18).

(30)

Ilustração 18 – Campo de extensões da secção

Assim fixando a curvatura é necessário determinar qual a extensão no centro de gravidade

que resolve a equação de equilíbrio para um valor de esforço axial determinado:

(31)

As tensões são calculadas considerando:

Aço elasto-plástico perfeito como recomendado em Designers Guide[4].

O betão confinado de acordo com uma de duas hipóteses à escolha do utilizador:

o Relação tensões-extensões parábola-rectângulo, ou como proposta por

EC2[1], descrita em 2.2.1.

o Relação tensões-extensões para análise estrutural proposta pelo MC90[1],

descrita em 2.2.2.

O betão de recobrimento como betão não confinado. A relação constitutiva escolhida

para o betão de recobrimento é a relação parábola-rectângulo descrita em 2.1. Quando

nestas fibras é atingida a extensão máxima de compressão, estas deixam de ser

consideradas ( ), simulando assim o destacamento do betão de recobrimento.

A secção é discretizada como no cálculo da flexão composta (ver 3.1.1.1). A única diferença

reside na separação da secção de betão em duas: a do betão confinado e do betão de

recobrimento.

23

Ilustração 19 – Discretização da secção e separação de betão confinado e não confinado

Resolvendo iterativamente a equação (31)1

, com um erro de 0,1% no esforço axial

, obtém-se e consequentemente o campo de extensões.

O valor do momento obtém-se pela equação (32), utilizando as mesmas relações constitutivas

dos materiais utilizadas para o cálculo de N:

(32)

Arbitram-se valores de curvatura até que uma das condições (33) ou (34) seja atingida:

(33)

(34)

No método apresentado não se tem em consideração o facto de a acção ser cíclica e do

diagrama M- ser calculado para uma acção monotónica. O EC8[3] não é claro relativamente a

este aspecto, ou mesmo que este deva ser ou não considerado.

Na página seguinte apresenta-se um floxograma com a sístese da função Momentos-

Curvatura:

1 A equação (31) tem implícita a equação (30). A equação 31 é resolvida por iteração, variando

valores de , presente na equação (30).

24

Fluxograma 2 – Momento-Curvatura

25

5 Guia de utilização

5.1 Introdução e estrutura do programa

O programa denomina-se “PilaresEC8” e pretende realizar algumas das verificações presentes

no Eurocódigos 2[1] 8[3] para a verificação à segurança de pilares de betão armado sujeitos a

acções sísmicas.

É realizado na plataforma MS Visual Basic.net e é estruturado com base nas ferramentas que

este dispõe. O programa é dividido em 6 separadores (Secção; Flexão; Esforço transverso;

Ductilidade local; Momento-Curvatura; Opções).

Cada separador possui uma área de interface distinta, mas o programa funciona em conjunto:

a informação inserida num separador é acessível e utilizada por funções de outros

separadores.

São utilizadas as seguintes ferramentas:

Textbox – caixas de texto em branco e em cinzento. Os campos em branco podem ser

manipulados pelo utilizador. Os campos a cinzento apenas apresentam resultados e

não podem ser manipulados.

Datagrid – tabelas de textbox agrupados e organizados

Radiobutton – botões de escolhas exclusivas

Button – botões de execução de funções

5.2 Secção

O separador Secção (Ilustração 20) serve apenas para inserir dados. Aí o utilizador deve

fornecer os dados referentes à geometria, disposição dos varões e classe de resistência do aço

e do betão.

26

Ilustração 20 – Separador Secção

A1/Ax – Armadura inferior (flexão composta) /Armadura na direcção x (flexão desviada)

em cm2. Esta opção insere armadura uniforme distribuída à distância d1/dx do bordo

da secção. Serve de alternativa à inserção dos varões individualmente.

A2/Ay – Armadura superior (flexão composta) /Armadura na direcção y (flexão

desviada) em cm2. Esta opção insere armadura uniforme distribuída à distância d2/dy

do bordo da secção.

d1/dx e d2/dy – distância do centro de gravidade da armadura ao bordo da secção de

betão em cm.

Ascanto – Armadura pontual nos cantos da secção em cm2. Serve de alternativa à

inserção dos varões individualmente.

bc – largura da secção em cm.

hc – altura da secção em cm.

lcl – altura do pilar em cm.

Aço (fyk) – tensão característica de cedência do aço em MPa.

Betão – classe de resistência do betão. O utilizador pode escolher uma das secções

presentes no EC2[1] até à classe de resistência C50/60.

Tabela de inserção dos varões de armadura de aço

o Varão – diâmetro do varão em mm.

o Dist y – distância à origem do varão segundo y em cm.

o Dist z – distância à origem do varão segundo z em cm.

Desenhar varões – o software desenha a secção e os varões numerados, para auxílio

do utilizador.

27

5.3 Flexão

O separador flexão (Ilustração 21) calcula a curva de intercação de flexão composta e desviada

da secção.

Ilustração 21 – Separador Flexão

Relação constitutiva do aço – o utilizador opta por uma das duas opções:

o Tramo plástico horizontal – tramo plático do diagrama tensões-extensões do

aço horizontal e sem necessidade de verificação da extensão última.

o Tramo plático inclinado – tramo plático do diagrama tensões-extensões do aço

inclinado. Caso o utilizador opte por esta opção tem de inserir o valor da

constante de endurecimento k e da extensão de rotura de dimensionamento.

Botão flexão composta – o programa executa a função “flexão composta”. Os

resultados (esforço axial, momento flector, extensão máxima do betão e no aço) são

apresentados na caixa de texto da esquerda.

Botão flexão desviada – o programa executa a função “flexão desviada”. O utilizador

deve inserir qual o número de elementos que o programa considerará para a realização

da integração discreta das tensões do betão. Por defeito o programa considera 400

elementos (20X20) que, com bases nos testes do autor, é um valor que, na grande

maioria dos casos, causa um erro numérico muito reduzido. Os resultados (esforço

axial, momentos flector em ambas as direcções, e extensões) são apresentados na

caixa de texto do lado esquerdo.

28

5.4 Esforço Transverso

O separador Esforço Transverso (Ilustração 22) calcula o valor do esforço transverso de

dimensionamento, área de armadura transversal necessária e a tensão introduzida no betão.

Ilustração 22 – Separador Esforço Transverso

Calcular Vsd por C.D. – calcula o valor de esforço transverso de dimensionamento na

secção por equilíbrio de momento nas secções extremas, de acordo com a filosofia de

Capacity Design. O utilizador tem de introduzir os seguintes dados:

o Nmin – valor mínimo do esforço axial possível na secção

o Nmax – o valor máximo de esforço axial possível na secção

o DCM /DCH – o utilizador deve indicar qual a classe de ductilidade da estrutura

A função retribui os seguintes resultados:

o Mrd – capacidade resistente da secção para os valores possíveis de esforço

axial

o

– vcoeficiente de majoração do momento resistente

o Vsd – valor de cálculo do esforço transverso actuante

Calcular Asw/s – calcula o valor necessário de armadura transversal, bem como o valor

da compressão introduzida no betão, com base no valor de esforço tranverso que pode

ser calculado automaticamente pela função “Calcular Vsd por C.D.” ou introduzido pelo

utilizador.

o – inclinação das escoras de betão.

o z – braço das forças internas de tracção e compressão da secção. O valor

pode ser simplificadamente assumido como 0,9 d ou introduzido pelo utilizador.

A função retorna os valores Asw/s (área de secção de armadura transversal) e σc

(valor da tensão introduzida no betão) e compara com o valor máximo.

29

5.5 Ductilidade Local

O separador Ductilidade Local (Ilustração 23) verifica as disposições construtivas exigidas pelo

EC8[3] e verifica se a ductilidade da secção está de acordo com o requerido de acordo com a

expressão 5.15 do EC8[3].

(26)

Ilustração 23 – Separador Ductilidade Local

Para que o programa apresente os resultados mencionados no parágrafo anterior o utilizador

precisa, além de ter preenchido o separador “Secção”, de introduzir os seguintes dados:

q0 – valor base do coeficiente de comportamento na direcção considerada

T1 – período fundamental da estrutura na direcção considerada (em s)

Tc – limite superior do valor do período no tramo constante do espectro de aceleração

(em s)

N(Max) – valor máximo de esforço axial actuante (em KN)

s – espaçamento entre estribos na zona crítica (em cm)

dbw – diâmetro dos estribos (em mm)

dbl – maior diâmetro dos varões longitudinais (em mm)

h0 – altura do núcleo confinado (em cm)

b0 – largura do núcleo confinado (em cm)

A B

30

O utilizador deve descrever a ordem dos varões nas tabelas A e B. Na tabela A o utilizador

deve mencionar quais os varões que estão “enganchados” e qual e sua ordem. Na tabela B o

utilizador deve descrever o traçado dos estribos.

O funcionamento dos botões “desenhar varões” e “desenhar estribos” é análogo ao

funcionamento do botão “desenhar varões” do separador “Secção”.

Os botões DCM e DCH retribuem a verificação das disposições construtivas e da expressão

5.15 do EC8[3] para as classes de ductilidade correspondentes, através do preenchimento dos

textbox cinzentos (caso estas não se cumpram o textbox passa a vermelho):

– comprimento de estribo (em m)

– comprimento da zona crítica (em cm)

– taxa de armadura longitudinal e valores mínimos e máximos

– coeficiente de ductilidade em curvatura

– espaçamento dos estribos na zona crítica e comparação com valor máximo

– esforço axial reduzido

– taxa mecânica de armadura transversal

– coeficiente de eficiência do confinamento “horizontal”

– coeficiente de eficiência do confinamento “vertical”

eq 5.15 – verificação da expressão 5.15 do EC8 [3].

5.6 Momento – Curvatura

A função deste separador (Ilustração 24) é calcular a relação momento curvatura para a

verificação da ductilidade.

Ilustração 24 – Separador Momento-Curvatura

O separador “Momento – Curvatura” calcula a relação momento-curvatura considerando três

hipóteses para cálculo das tensões e extensões no betão distintas:

31

M-C 1 (parábola-rectângulo) – o programa calcula a relação momento-curvatura

considerando o diagrama parábola rectângulo como representado na Ilustração 3. O

efeito do confinamento é tido em conta através do valor de e para a função “M-

C 1” poder ser executada a função DCM ou DCH têm de o ser primeiro.

M-C 2 (análise estrutural) – o programa calcula a relação momento-curvatura

considerando o diagrama para análise estrutural como representado na Ilustração 5. O

efeito do confinamento é tido em conta através do valor de e para a função “M-

C 2” poder ser executada a função DCM ou DCH têm de o ser primeiro.

M-C 1 (não confinado) – o programa calcula a relação momento-curvatura

considerando o diagrama parábola rectângulo como representado na Ilustração 2. O

efeito do confinamento não é tido em conta.

Cada um das três funções devolve o valor de (valor máximo de extensão do betão) e os

pontos calculados do diagrama M-C na forma de tabela na textbox à direita indicando os

seguintes dados:

Cuvatura;

Momento flector;

Extensão das fibras extremas da secção;

Extensão das fibras extremas no núcleo confinado;

5.7 Opções

No separador opções o utilizador pode escolher quais os coeficientes de minoração da

resistência dos materiais:

- coeficiente de minoração da resistência do aço para armadura

- coeficiente de minoração da resistência do betão

32

6 Exemplos de aplicação

6.1 Exemplo de aplicação 1 – Exemplo Geral

Considere-se o pilar 30X60 da Ilustração 26 com 3

metros de altura e os seguintes esforços e parâmetros

sísmicos:

em ambas as direcções

Classe DCM

A400NR Classe C

C25/30

6.1.1 Resistência à flexão

O programa verifica (não dimensiona) a resistência à flexão. Deste modo é necessário arbitrar

primeiro as armaduras (Ilustração 28).

6.1.1.1 Resistência uniaxial.

Introduzindo os dados necessários (Ilustração 27), obtém-se o diagrama de resistência à flexão

uniaxial.

Ilustração 25 – Secção exemplo aplicação

Ilustração 27 – Armadura longitudinal Ilustração 26 – Inserção de dados no

interface do programa

33

Realizando a função de flexão composta, com as duas hipóteses de diagrama de tensões-

extensões do aço (ver Ilustração 28 para as propriedades escolhidas para o diagrama de

estensões de ramo superior inclinado) e com a relação parábola-rectângulo escolhida para o

betão obtêm-se os resultados representados na Ilustração 29 e na Ilustração 30.

Ilustração 28 – Interface de opções de extensão do aço e coeficientes de minoração

Ilustração 29 – Resistência à flexão - direcção y

Ilustração 30 – Resistência à flexão - direcção z

Verifica-se que não existe grande diferença na escolha da relação constitutiva do aço para este

cálculo. Por esta razão as seguintes análises serão feitas com os resultados do modelo não

endurecido.

6.1.1.2 Resistência bi-axial.

Verifica-se a flexão composta desviada das três formas descritas em 3.1.2

-3.000

-2.000

-1.000

0

1.000

2.000

3.000

4.000

5.000

6.000

0 200 400 600

N(K

N)

M(KNm)

horizontal

Msdy

endurecido -3.000

-2.000

-1.000

0

1.000

2.000

3.000

4.000

5.000

6.000

0 100 200 300

N(K

N)

M(KNm)

horizontal

Msdz

endurecido

34

Utilizando a opção flexão desviada, e optando pelo modelo elástico perfeitamente plástico para

o aço, obtêm-se os seguintes gráficos (25) e (26):

Ilustração 31 – Verificação da resistência à flexão composta desviada para N=1000KN

Ilustração 32 – Verificação da resistência à flexão composta desviada para N=600KN

A secção cumpre a verificação ao ELU de segurança à flexão apenas se considerado o método

2.

6.1.2 Resistência ao esforço transverso

O esforço de corte é calculado de com a filosofia do capacity design (ver 0). O factor 1,1 é

correspondente à majoração dos momentos para a classe DCM. Os valores 235,4KN e

500,7KN são os valores de e .

Assim:

0

50

100

150

200

250

0 100 200 300 400 500 600

Mz(

KN

m)

My(KNm)

Resistência à flexão N= 1000KN

Método 1

Método 2

Método 3

momento actuante

0

50

100

150

200

250

0 100 200 300 400 500 600

Mz

(KN

m)

My (KNm)

Resistência à flexão N=600KN

Método 1

Método 2

Método 3

momento actuante

35

Ilustração 33 – Verificação ao esforço transverso na

direcção y.

Ilustração 34 – Verificação ao esforço transverso na

direcção z.

6.1.3 Verificação da ductilidade

Estudam-se neste capítulo duas hipóteses de dimensionamento das cintas nas zonas críticas.

A primeira hipótese possui maior confinamento do que a segunda. Começa-se, nas duas

hipóteses, por verificar a ductilidade pelo método da verificação da expressão 5.15 do EC8[3]

(descrito em 4.2.1) e em seguida pela forma explícita (descrita em 4.2.2). A verificação pela

forma explícita é feita usando as duas relações constitutivas para o betão confinado descritas

em 2.2. É necessário verificar a ductilidade em ambas as direcções.

Os seguintes parâmetros sísmicos, representados na Ilustração 35, não dependem da hipótese

de dimensionamento das cintas escolhido e são considerados iguais nas duas direcções. Esta

escolha é feita para simplificar a comparação de resultados.

Ilustração 35 – Introdução de parâmetros sísmicos

36

6.1.3.1 Hipótese 1 – Exemplo com maior confinamento do betão

6.1.3.1.1 Através da expressão 5.15 do EC8[3].

Estando já definidos e introduzidos no software os varões longitudinais (Ilustração 27), o

utilizador tem de introduzir o traçado das cintas, o diâmetro e espaçamento.

Para auxiliar o traçado do estribo, o programa desenha a secção e numera os varões, como

representado na Ilustração 36.

Ilustração 36 – Secção transversal representada pelo programa

Adopta-se o traçado de cintas descrito na Ilustração 38 e inserem-se os dados no programa, de

acordo com a Ilustração 39.

Opta-se por estribos ø10 espaçados de 10 cm, como na Ilustração 39.

Ilustração 38 – Inserção de dados

referentes ao traçado das cintas Ilustração 37 – Traçado de cintas

para exemplo com maior

confinamento do betão

37

Ilustração 39 – Inserção de dados referentes ao diâmetro e espaçamento das cintas

Inserindo N = 1000KN e pressionando o Butão DCM otém-se o seguinte resultado (Ilustração

40):

Ilustração 40 – Resultados da função verificação DCM na direcção de maior inércia para N=1000KN

– comprimento de estribo (em m)

– comprimento da zona crítica (em cm)

– taxa de armadura longitudinal e valores mínimos e máximos

– coeficiente de ductilidade em curvatura

– espaçamento dos estribos na zona crítica e comparação com valor máximo

– esforço axial reduzido

– taxa mecânica de armadura transversal

– coeficiente de eficiência do confinamento “horizontal”

– coeficiente de eficiência do confinamento “vertical”

eq 5.15 – verificação da inequação 5.15 do EC8 [3]. Ver 4.2.1 do relatório

Abaixo apresenta-se a descrição do cálculo efectuado pelo computador:

Comprimento do estribo por secção transversal

Comprimento da zona crítica

Taxa de armadura longitudinal

38

Coeficiente de ductilidade em curvatura

para

Espaçamento mínimo entre cintas

Esforço axial reduzido

Taxa mecânica de armadura transversal

Coeficiente de eficiência do confinamento “horizontal”

Coeficiente de eficiência do confinamento “vertical”

Verificação da inequação 5.15 do EC8[3]

Na direcção de menor inércia inserem-se os dados correspondentes da mesma forma que para

a direcção de maior inércia (neste exemplo apenas é necessário rodar a geometria da secção).

Os resultados são, para a categoria DCM, os abaixo indicados (Ilustração 41).

Ilustração 41 – Resultados da função verificação DCM na direcção de menor inércia para N=1000KN.

39

Verifica-se, pelas ilustrações 39 e 40, que a secção cumpre os requisitos de ductilidade para

um valor de esforço axial N=1000KN.

Repete-se o mesmo processo para esforço axial N=600KN (Ilustração 42 e Ilustração 43).

Ilustração 42 – Resultados da função verificação DCM na direcção de maior inércia para N=600KN.

Ilustração 43 – Resultados da função verificação DCM na direcção de menor inércia para N=600KN.

Verifica-se que a secção também verifica a ductilidade para N=600KN. Uma vez que a

exigência de confinamento dada pela expressão 5.15 do EC8[3] depende linearmente de a

verificação para N=600KN (o esforço axial menor) por este método não faz sentido a não ser

que se altere alguma das outras variáveis (o que não é o caso do presente exemplo).

40

6.1.3.1.2 Verificação explícita

Verifica-se a ductilidade da secção da Ilustração 38 explicitamente, recorrendo às duas

relações constitutivas descritas em 2.2. Em ambas .

Inserem-se os dados da mesma forma que para o cálculo implícito através da equação 5.15 do

EC8[3].

É necessário executar a função de verificação da ductilidade DCM (carregando no botão DCM),

pois as disposições construtivas como os limites de , , e continuam a ter de ser

verificados.

Seguidamente apresenta-se nas Ilustrações 38 a 42 o traçado momento-curvatura para

N=1000KN e N=600KN da secção em ambas as direcções:

Ilustração 44 – Relação momento-curvatura para hipótese 1 e relação constitutiva parábola-rectângulo na

direcção de maior inércia.

0,0075;536,3

0,007; 474,86

0,0155; 612,0

0,0195; 560,870,1475; 550,7

0,1585; 510,98

0

100

200

300

400

500

600

700

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18

M(K

Nm

)

φ(m-1)

M-C N=1000

M-C N=600

My

Mmax

Mu

41

Ilustração 45 – Relação momento-curvatura para hipótese 1 e relação constitutiva parábola-rectângulo na

direcção de menor inércia.

Ilustração 46 – Relação momento-curvatura para hipótese 1 e relação constitutiva para análise estrutural na

direcção de maior inércia.

Ilustração 47 – Relação momento-curvatura para hipótese 1 e relação constitutiva para análise estrutural na


0,007; 529,500,0065; 467,70

0,013; 610,11

0,02; 562,69

0,1365; 528,380,154; 492,97

0

100

200

300

400

500

600

700

0 0,05 0,1 0,15 0,2

M(K

Nm

)

φ(m-1)

M-C n=1000

M-C n=600

My

Mmax

Mu

0,007; 529,50

0,0065; 467,70

0,013; 610,11

0,02; 562,69

0,1365; 528,38

0,154; 492,97

0

100

200

300

400

500

600

700

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18

M(K

Nm

)

φ(m-1)

M-C n=1000

M-C n=600

My

Mmax

Mu

0,017; 247,73

0,015; 216,94

0,0325; 271,65

0,0375; 250,09 0,1755; 231,20

0,332; 219,36

0

50

100

150

200

250

300

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35

M(K

Nm

)

φ(m-1)

M-C N=1000

M-C N=600

My

Mmax

Mu

42

O confinamento permite que o betão atinja uma extensão última, calculada de acordo com a

equação (9), .

Para o valor de esforço axial N=1000KN, os coeficientes de ductilidade2 são obtidos por

e e

e , todos valores bastante superiores ao valor requerido de

5,2, de acordo com a equação (24), igual em ambas as direcções.

Para N=600KN tem-se e e

e , valores superiores aos obtidos

para N=1000KN e ao valor requerido de 5,2.

Pode-se notar, nos gráficos acima, que a secção tem pico de resistência e que atinjido esse

pico há um rápido descréscimo de alguma dessa resistência. Tal deve-se ao efeito do

destacamento do betão e de como isso é simulado pelo programa de cálculo. Este tema é

abordado com mais detalhe no ponto 6.1.3.3 deste documento.

6.1.3.2 Hipótese 2 – Exemplo com menor confinamento do betão

Considerando a hipótese de se manter o traçado de estribos utilizados para a verificação do

esforço transverso, mas com espaçamento de 10 cm, a secção ficaria como na Ilustração 48.

Ilustração 48 – Secção sem reforço de estribos na zona crítica

2 é o coeficiente de ductilidade em curvatura na direcção y considerando a relação constitutiva

parábola-rectângulo do betão confinado. é o coeficiente de ductilidade em curvatura na direcção y

considerando a relação constitutiva para análise estrutural do betão confinado.

43

6.1.3.2.1 Através da expressão 5.15 do EC8[3].

Neste caso não verificaria a equação (26), como apresentado na Ilustração 49 e na Ilustração

50, não cumprindo assim os requisitos de ductilidade.

Ilustração 49 – Resultados da função verificação DCM na direcção de maior inércia.

Ilustração 50 – Resultados da função verificação DCM na direcção de menor inércia

44

6.1.3.2.2 Verificação explícita

Ilustração 51 – Relação momento-curvatura para

hipótese 2 e relação parábola rectângulo na direcção

de maior inércia.


hipótese 2 e relação parábola rectângulo na



hipótese 2 e relação constitutiva para análise estrutural

na direcção de maior inércia.


hipótese 2 e relação constitutiva para análise

estrutural na direcção de menor inércia.

Neste caso o efeito de confinamento é muito pouco eficaz. Repare-se (Ilustração 49) que o

valor é de apenas 0,0333 e . A extensão última, calculada de acordo

com a equação (9), é . Os valores de coeficiente de ductilidade em

curvatura são: e e e , todos eles inferiores ao

valor requerido de 5,2.

6.1.3.3 Interpretação e comentários aos resultados obtidos na verificação da ductilidade

Abaixo apresenta-se um quadro resumo dos resultados obtidos para a verificação de

ductilidade.

0,007; 466,6

0,0125; 506,4

0,0165; 456,8

0

100

200

300

400

500

600

0 0,005 0,01 0,015 0,02

M(K

Nm

)

φ(m-1)

M-CMyMmaxMu

0,017; 218,8

0,026; 226,4

0,03; 191,4

0

50

100

150

200

250

0 0,01 0,02 0,03 0,04

M(K

Nm

)

φ(m-1)

M-C

My

Mmax

Mu

0,007; 530,64

0,016; 610,22

0,0205; 539,15

0

100

200

300

400

500

600

700

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025

M(K

Nm

)

φ(m-1)

M-CMyMmaxMu

0,0165; 246,75

0,0325; 271,88

0,0385; 228,56

0

50

100

150

200

250

300

0 0,02 0,04 0,06

M(K

Nm

)

φ(m-1)

M-CMyMmaxMu

45

Tabela 3 – Tabela síntese dos resultados da verificação de ductilidade

H1R1

600 0,0236 0,0236 0,0070 0,1585 22,64 0,0236 0,0150 0,3950 26,33

H1R2

600 0,0236 0,0236 0,0065 0,1540 23,69 0,0236 0,0150 0,3320 22,13

H1R1

1000 0,0236 0,0236 0,0075 0,1475 19,67 0,0236 0,0170 0,2815 16,56

H1R2

1000 0,0236 0,0236 0,0070 0,1365 19,50 0,0162 0,0170 0,1755 10,32

H2R1

1000 0,0041 0,0041 0,0070 0,0165 2,36 0,0033 0,0170 0,0300 1,76

H2R2

1000 0,0041 0,0041 0,0070 0,0205 2,93 0,0033 0,0170 0,0385 2,26

em que:

é a extensão máxima atingida pelo betão confinado.

, são as curvaturas de cedência em y e z respectivamente

, são as curvaturas última em y e z respectivamente

HiRj 600/1000 é Hipótese i; relação constitutiva do betão j (1= parábola-rectângulo; 2=

diagrama para análise estrutural); esforço axial 600/1000.

Como seria de esperar os resultados, quando comparáveis, do coeficiente em curvatura pelo

cálculo de relações momento-curvatura são bastante mais elevados do que pela verificação

pela equação 5.15 do EC8. O caso em que tal é mais facilmente verificável é a verificação da

hipótese 1 na direcção maior inércia para um esforço axial N=1000KN. Nesse caso a

inequação (24) verifica-se por apenas mais 0,07% do que o necessário (ver Ilustração 40),

assim pode-se assumir que o valor de coeficiente de ductilidade em curvatura é considerado

igual a 5,2. O cálculo desse mesmo coeficiente pelas relação momento curvatura é de 19,7 se

considerado o diagrama parábola-rectângulo e de 19,5 se considerado o diagrama para análise

estrutural.

Outro aspecto a realçar é que na verificação de ductilidade pela inequação (26) a direcção de

maior inércia é mais condicionante (comparar Ilustração 40 com Ilustração 41, Ilustração 42

com Ilustração 43 e Ilustração 49 com Ilustração 50). Isto acontece porque a necessidade de

estribos é proporcional a e todas as outras variáveis, excepto o coeficiente em ductilidade

requerido (que neste exemplo é igual nas duas direcções), não dependem da direcção

considerada.

46

Na verificação por relações de momento-curvatura repara-se que nem sempre a direcção de

maior inércia é mais condicionante, até porque a perda de resistência por destacamento do

betão de recobrimento é mais relevante para a menor inércia. Aliás os três exemplos em que a

curvatura última é condicionada pela resistência ser inferior a 85% da máxima e não por se

atingir a extensão máxima são para a direcção de menor inércia.

Abaixo apresenta-se um gráfico (Ilustração 55) mais detalhado para a relação momento-

curvatura para a hipótese 1 e relação constitutiva parábola-rectângulo na direcção maior inércia

com esforço axial N=1000KN (H1R1_1000).

Ilustração 55 – Gráfico e legenda detalhado para a relação momento curvatura H1R1_1000. Cada linha do

gráfico representa a “contribuição” para o momento flector da secção da área de cor correspondente.

Através da Ilustração 55 observa-se claramente o efeito do destacamento do betão de

recobrimento na resistência da secção. A quebra de resistência da secção dá-se quando se dá

a perda da contribuição da resistência do betão de recobrimento.

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

0 0,05 0,1 0,15 0,2

(KN

m)

φ(m-1)

Mtotal

Mcore

Mrec1

Mrec2

Mrec3

Marmaduras

47

6.2 Exemplo de Aplicação 2 – Comparação de resultados

Com o intuito de validar e verificar os resultados obtidos pelo programa desenvolvido

comparam-se os resultados deste com os resultados de outro trabalho de Virtuoso[8].

Comparam-se os resultados (relação momento-esforço axial e momento-curvatura) de uma

secção de pilar sujeito à flexão composta sem consideração do efeito de confinamento.

A Ilustração 56 representa a secção a ser analisada, a Ilustração 57 o diagrama de interacção

M-N obtido por Virtuoso[8] e pelo autor e a Ilustração 58 o diagrama de relação M-C, também

por Virtuoso[8] e pelo autor.

Segundo Virtuoso[8], o resultados foram obtidos através de um programa de cálculo

desenvolvido pelos autores em que são utilizadas as relações constitutivas presentes no

EC2[1]:

Diagrama bilinear para as armaduras3

Diagrama parábola-rectângulo para o betão e para o cálculo da interacção M-N com

.

Diagrama para análise estrutural4, como representado na Ilustração 2.

A resistência do betão à compressão foi tomada nula e não foi tido em conta o efeito do

confinamento.

Considera-se que existe rotura assim quando se atinge a extensão última nalguma fibra de

betão ou aço.

Os resultados obtidos pelo autor tiveram por base as mesmas hipóteses consideradas por

Virtuoso[8].

Ilustração 56 – Secção transversal e materiais.

3 Foi considerado que a extensão de rotura do aço era de 0,01

4 Correspondente à equação (3) do presente relatório. Foi considerado que a extensão de rotura do betão

não confinado à compressão era de 0,0033, ao contrário do que no resto do presente documento, onde a

extensão de rotura do betão Classe C25/30 é de 0,0035.

48

Ilustração 57 – Diagrama de interacção M-N.

Ilustração 58 – Diagrama momento-curvatura para dois valores de esforço axial.

Os resultados obtidos pelo programa realizado no âmbito deste trabalho são muito

semelhantes aos obtidos por Virtuoso[8].

É possível notar que neste exemplo não há uma quebra de resistência após o momento de

pico. Isso deve-se a inexistência de confinamento que determina que a rotura se dê assim que

se atinge a extensão ultima no betão de recobrimento.

-1.000

0

1.000

2.000

3.000

4.000

-100 0 100 200 300 400 500

N(K

N)

M(KNm)

Autor

Virtuoso F.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025

M(K

Nm

)

φ(m-1)

Autor

Virtuoso

N = 0KN

N = 1000KN

49

7 Conclusões Gerais

O principal objectivo desta dissertação, que era a automatização dos procedimentos de cálculo

das verificações de segurança de pilares sujeitos a acções sísmicas foi cumprindo, tendo-se

conseguido apresentar mais do que uma solução para o fazer.

O trabalho desenvolveu-se sobre pilares rectangulares que, a par de os circulares, são os

únicos que o EC8[3] apresenta um método simplificado que evite um cálculo explícito da

ductilidade em curvatura. Isso justifica que se tenha dado algum ênfase à verificação da

ductilidade de pilares por outro método que não seja a resolução das equações propostas para

a pormenorização das cintas em zonas criticas (neste caso a equação 26 do relatório ou 5.15

do EC8[3]).

Comparando com a actual regulamentação o EC8[2] é mais exigente na pormenorização das

cintas que o REBAP[9] e não permite uma abordagem em que o programa tenha um input da

secção e dos esforços e um output de uma área de armadura transversal, pois o EC8 também

contabiliza a forma como as cintas são distríbuidas. Assim ou utilizador sugere uma distribuição

dos estribos ou o programa tem de possuir uma base de dados com distribuições possíveis e

um algoritmo que permita escolher uma dessas distribuições. Como desenvolvimento futuro

pode-se sugerir a implementação dessa base de dados e do algoritmo que permita o software

realizar essa escolha.

Como desenvolvimento futuro pode-se também sugerir a adaptação do programa para outro

tipo de secções que não rectangulares, o que pode não resultar numa dificuldade muito

acrescida uma vez que o programa funciona por métodos numéricos e que o próprio programa

já considera secções não uniformes (zonas confinadas e zonas não confinadas). Para a

adopção de outro tipo de secções teria de se considerar as relações momento-curvatura, e

poder-se-ia comparar esses resultados com resultados experimentais que pudessem de

alguma forma confirmar o modelo analítico.

50

Bibliografia

[1] CEB – FIB Model Code 90, CEB – FIB. Thomas Telford 1993

[2] EN 1992-1:2004, Eurocode 2: Design of concrete structures – Part 1: General rules and

rules for buildings. CEN, Bruxelas, 2004

[3] EN 1998-1:2004, Eurocode 8: Design of structures for earthquake resistance – Part 1:

General rules and rules for buildings. CEN, Bruxelas, 2004

[4] Faccioli, E.; Fardis, M.; Pinto, P. entre outros. Designers Guide to En 1998-1 and 1998-

5. Eurocode 8: Design Provisions for Earthquake Resistant Structures. Thomas Telford

2005.

[5] Lobo, José Figueiredo. Estruturas reticuladas de betão armado: discussão dos

conceitos teóricos subjacentes ao Eurocódigo 8 e suas consequências praticas no

projecto. Tese de mestrado. IST 1999

[6] Lopes, Mário e outros. Sismos e edifícios. Edições Orion. Lisboa 2008.

[7] Pipa, José Manuel. Ductilidade de elementos de betão armado sujeitos a acções

cíclicas. Tese de doutoramento. IST 1993

[8] Virtuoso, F.; Gomes, A.; Mendes, P.. Cálculo da relação momento-curvatura e do

diagrama de interacção momento-esforço normal em secções de betão armado pré-

esforçado, Relatório ICIST DT nº 4/98. Lisboa 1998.

[9] REBAP, Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado; Decreto-Lei

nº349-C/83, Imprensa Nacional – Casa da Moeda, Lisboa, 1984.

[10] RSA, Regulamento de Segurança e Acções para Estruturas de Edifícios e Pontes;

Decreto-Lei nº235/83, Imprensa Nacional – Casa da Moeda, Lisboa, 1983.

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AUTOMATIZAÇÃO DO PROJECTO DE ESTRUTURAS … · relações momento curvatura. ... Ilustração 12 – Diagrama momento-curvatura para cálculo do coeficiente de ductilidade em curvatura