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el método de los

elementos finitos

cálculo bidimension l

En este capítulo se desarrollan sistemas de resortes simples y múltiples de

un grado de libertad, cubriendo los sistemas más usados en la

construcción y retrofit sísmico de edificios, siguiendo el documento FEMA

P440A “Effects of Strength and Stiffness Degradation on Seismic

Response” Se realiza una revisión del comportamiento histerético de

componentes estructurales, se estudian los conceptos de Contorno

Máximo de la Capacidad Fuerza-Desplazamiento y Envolvente Cíclica y

cómo intervienen para predecir el colapso de una estructura. También se

realiza una introducción al Método del Análisis Dinámico incremental

IDA), cómo interpretar las curvas IDA y cómo éstas se pueden conjugar

con el Contorno Máximo de la Capacidad Fuerza-Desplazamiento.

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Comunidad para la Ingeniería CivilDiplomado Cálculo y Diseño de Puentes El Método de los Elementos Finitos

Curso 04: Cálculo y Diseño de Puentes Tipo Losa de Concreto Armado 43

3. El Método de los Elementos Finitos – Cálculo Bidimensional

3.1. General

El método de los elementos finitos constituye una técnica general muy potente de cálculo de

estructuras, que puede aplicar al cálculo de puentes, ya sean considerados como estructuras

monodimensionales, bidimensionales o tridimensionales. En este capítulo se estudiará la aplicación del

método de los elementos finitos al tablero tipo losa, en donde la flexión constituye el mecanismo

fundamental de trabajo del tablero. En un curso posterior se tratará del cálculo de estructuras

tridimensionales como las láminas plegadas, en donde cada elemento del tablero se encuentra se

encuentra sometido, además de los esfuerzos de flexión o de placa, o los contenidos en su plano o

esfuerzos de membrana o tipo laja.

El método de los elementos finitos fue introducido por el grupo Turner, Clough, Martin y Topp

por primera vez en la década de los 50 (1956), en la resolución de un problema estructural. Actualmente, la

extensión del método es extraordinaria y rebasa el ámbito inicial del cálculo de estructuras, representando

una técnica muy eficiente de discretización de los problemas matemáticos de la teoría de campos. El

método de los elementos finitos constituye una alternativa más adecuada y eficiente de cálculo de tableros

que el método del emparrillado.

El método de los elementos finitos puede ser planteado como una extensión del cálculo matricial

de estructuras de barras, al considerar nuevos tipos estructurales o elementos con más de dos nudos y por

lo tanto diferentes de las barras tradicionales. O bien, el método de los elementos finitos representa una

generalización de las técnicas tradicionales de resolución aproximada de ecuaciones de campo (Rayleight-

Ritz, errores pesantes, Galerkin, etc.) que utiliza funciones definidas con valores no nulos en el interior de

un soporte compacto (elemento). Este último, planteamiento más adecuado, permite una formalización

matemática, independiente de la intuición estructural y con posibilidades de estudio de la convergencia

numérica del método.

Han sido Melosh (1963) y Fraeijis de Veubeke (1964) los que establecieron la conexión entreambos enfoques del método. En particular, comprobaron que al considerar el procedimiento de Ritz, de

construcciones de soluciones aproximadas de problemas variacionales, el dominio (estructura) no se dividía

físicamente en un conjunto de elementos estructurales elementales. Simplemente, las funciones

coordenadas estaban constituidas por funciones ordinarias (normalmente polinómicas) que adoptaban

valores, unidad en un determinado grado de libertad de los nudos y nulos en los restantes. Las incógnitas

valores en los nudos son las coordenadas generalizadas. En el método de Ritz se minimiza la función de

energía del problema estructural, sobre esta clase de funciones con soporte mínimo sobre los elementos.

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Las ecuaciones matriciales resultantes son equivalentes en este método de Ritz, con estas funciones

coordenadas, a las obtenidas mediante un planteamiento estructural desde el inicio.

Conviene notar, sin embargo, que existen algunas formulaciones de elementos finitos,

desarrolladas con una elevada dosis de intuición física que no corresponden exactamente a un desarrollo de

Ritz. Es el caso de los elementos finitos no compatibles o no conformes, es decir, que no cumplen todos los

requisitos de continuidad exigidos en el método de Ritz. Sin embargo, su utilización permite obtener

resultados totalmente aceptables desde el punto de vista práctico.

3.2. Descripción del Método de los Elementos Finitos en Placas

3.2.1.

Método de Ritz

No se presentará la formulación general del método, se tratará de un modo específico, la

aplicación concreta a la flexión de placas ortótropas.

Se sabe, a partir de la teoría de la losa ortótropa, que la ecuación diferencial que rige su

comportamiento es:

(3.1)Se recomienda revisar la notación utilizada en la Sección 4.5 del curso 01 “”Introducción al

Análisis Estructural y Cálculo de Puentes”. Por otra parte, las relaciones esfuerzos-desplazamientos son:

. / . / (3.2)

2 ( ) 3 2 ( ) 3 La obtención de las constantes de ortotropía , , , , y , en función de las

características elasto-geométricas del tablero se pueden consultar en curso 01 “”Introducción al Análisis

Estructural y Cálculo de Puentes”.

Por otra parte, la energía potencial total de la placa ortótropa, sin considerar ladeformación por cortante, es:

∬ . / . / . / ∬ (3.3) Con el dominio de la placa y suponiendo y . El primer sumando de (3.3)

constituye la energía de deformación interna de la placa y el segundo la energía potencial de las acciones

exteriores.

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Se sabe de la teoría del cálculo de estructuras, que la solución de una placa, gobernada por la

ecuación diferencial (3.1) y una condiciones en el contorno de (sea )̅, representadas por unosmovimientos – flechas (

) y giros según la tangente a

̅ impuestos – o bien por unas fuerzas nulas –

reacción de Kirckoff t momento alrededor de la tangente al contorno ̅, – minimiza la energíapotencial total (3.2).La expresión de la energía potencial total puede escribirse en la forma siguiente:

∬ ∬ (3.4)siendo el vector deformación y la matriz constitutiva del material que puede expresar como

sigue:

[ ]

que en el caso de la losa isótropa se convierte:

La ecuación (3.4) puede generalizarse, ya que con ella sólo se ha tenido en cuenta que la

ecuación constitutiva de la placa es:

con

En efecto, la relación constitutiva anterior puede incluir un estado de esfuerzos iniciales – por

ejemplo, producidos por un pretensado – o bien un estado de deformación inicial, como los debidos a

cambios de temperatura. Entonces, se obtiene:

(3.5)Por otra parte, la carga distribuida por unidad de superficie de la placa, puede ampliarse y

contener, además de las acciones verticales

, los momentos en las direcciones

e

de la placa, es decir,

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y . Estas tres intensidades de las acciones distributivas en cada punto se recogen en un vector(Figura 3-1):

Figura 3-1: Noción y criterios de signos (tomado de “Cálculo de Estructuras de Puentes de Hormigón” de A.F.

Samartín).

Entonces, la energía potencial total se escribe:

∬

∬

(3.6)

con el vector de movimientos (vector de campo), definido como sigue:

(3.7)La expresión (3.6) representa una extensión de la ecuación (3.4). Si existen cargas

conocidas, aplicadas como presiones en una parte

̅ del contorno

̅ de la placa, sí como movimientos

impuestos en la parte complementaria ̅ del contorno y actúan cargas aislada:

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en un conjunto de puntos de la placa, la expresión de la energía potencial totales entonces: ∬ ∬ ∮ ̅ ∮ ∑ (3.8)con movimientos en el punto m de aplicación de las cargas concentradas .La técnica de Ritz de obtención de una solución aproximada de la función que minimice

la funcional de energía dada por (3.8) se puede resumir como sigue:Sea:

∑ (3.9)una función aproximada de la solución exacta , en donde son funciones

conocidas denominadas funciones coordenadas y las constantes corresponden a los valores coordenadasgeneralizadas.

Se supone que el conjunto linealmente independiente de funciones es admisible, esdecir, pueden introducirse dentro de la funcional (3.8) en donde aparecen derivadas segundas de la flecha,

y cada una de ellas satisface las condiciones esenciales (en movimientos) en el contorno

̅. Por lo tanto, las

funciones tienen la derivada primera continua en cualquier dirección.Si se sustituye la expresión en la fórmula (3.8) se obtiene una aproximación de la

energía de la placa, del siguiente tipo:

∬ (3.10)siendo:

() con:

∬ (3.10.a) ∬ ∬ ∬ ∮ ∑ (3.10.b)

0

1

(3.10.c)

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0 1 (3.10.d)

es la matriz

particularizada para las coordenadas del nudo m de aplicación de la carga.

Las coordenadas generalizadas se determinan a partir de la expresión (3.10), al imponer lacondición de mínimo, es decir:

llegando al siguiente sistema de ecuaciones:

(3.11)Resuelto el sistema anterior los valores de q pueden sustituirse en (3.9), y obtener de esta

manera el vector u (flechas y giros) en cualquier punto de la placa. Mediante derivación se calculan los

esfuerzos correspondientes.

El método descrito puede aplicarse sucesivamente para un número N creciente de funciones

coordenadas. De esta forma, se deduce para un conjunto de N funciones, el mínimo de correspondiente a los valores de calculados a partir de (3.11). Evidentemente se cumple:

(3.12) con E el mínimo de la solución exacta de la placa. Es posible mostrar que

tiende en el límite

al valor de , cuando crece indefinidamente, si la secuencia de funciones es completa, es decir,que cualquier posible solución puede acercarse en el sentido de la media a tanto comose quiera.

Conviene observar que mediante el método de Ritz no se asegura, en general, la convergencia

local (o puntual) de los resultados, únicamente la global o en la energía. Sin embargo, desde el punto de

vista de aplicación es más interesante el conocimiento de los resultados con este esquema de convergencia,

ya que estructuralmente la superación puntual por un resultado de uno límites admisibles no es indicativo

de la inadecuación estructural. La seguridad de una estructura depende de su comportamiento en una zona

con medida no nula, y en general, no en un punto o puntos aislados.

3.2.2.

Método de los Elementos Finitos

La técnica de Ritz es adecuada en el tratamiento de problemas con contorno sencillos, ya que en

otro caso, la búsqueda de las funciones admisibles puede resultar un problema importante.El método de los elementos finitos resuelve de forma ingeniosa la selección de las funciones

coordenadas, ya que permite llevarla a cabo automáticamente, incluso en situaciones de contornos

complejos.

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Existen dos ideas fundamentales en el método: a) la determinación de las funciones

coordenadas; b) la definición de las coordenadas generalizadas.

Con respecto a la primera, se procede a dividir el dominio

de la placa, en una serie de áreas

fundamentales o elementos finitos, , en los cuales se sitúan una serie de puntos en su contorno ̅ y aveces también en su interior. En cada uno de estos puntos o nodos se adoptan como incógnitas básicas los

tres grados de libertad en movimiento del problema de la placa (la flecha y los dos giros según los ejes e). Sea el vector de dimensión de incógnitas en el nudo . Entonces se eligen como funcionescoordenadas, tres en cada nodo, a las funciones (usualmente polinómicas) que toman valores no nulos

únicamente en el conjunto de elementos con el nodo común . Cada una de las tres funciones coordenadasadquiere el valor unidad para el grado de libertad correspondiente al nudo y su valor es nulo para los

grados restantes de libertad. Así, si en el nudo

existen las tres funciones coordenadas

,

,

,

se cumple:

Para el nudo :

Para los restantes nudos: (3.13)

De esta forma las coordenadas generalizadas correspondientes son los movimientos incógnita del

nodo

, recogidos en el vector

, es decir:

y la expresión (3.9) se convierte en la siguiente:

∑ (3.14)con N ahora representando el número de nodos, situados en la placa y:

(3.15)

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Para que el desarrollo de Ritz sea válido es preciso que se cumplan las condiciones enumeradas

en la Sección 3.2.1.

Se comprueba que la admisibilidad exige que exista continuidad de

y sus primeras derivadas,

no sólo en los nodos (que automáticamente se alcanza con las condiciones (3.13), también a lo largo de los

lados frontera entre los elementos adyacentes. Las condiciones de borde en movimientos se satisfacen

mediante un procedimiento que se indicará más adelante.

Una vez definidas las expresiones de las funciones coordenadas y los valores de las coordenadas

generalizadas, incógnitas, se procede en el método de los elementos finitos, igual que en el proceso de Ritz

que se acaba de comentar. Se obtiene de esta forma un sistema de ecuaciones lineales del tipo (3.11), que

dado el carácter local de las funciones de interpolación elegidas

(3.13), con valores no nulos únicamente

en los elementos coincidentes en el nodo , se comprende existirá un número elevado de coeficientesnulos en su matriz . La dimensión de este sistema es de tres veces el número de nodos considerados.Con objeto de construir un modo automatizado el sistema (3.10), así como ordenar el cálculo

posterior de los resultados de interés, es conveniente proceder a nivel de elemento, y no, como se acaba de

indicar, considerar cada nodo y la región compuesta de todos los elementos con dicho nodo común.

Sea un elemento genérico con nodos designados por los números , , …, (numeraciónglobal). De esta forma se introduce en el elemento un orden o numeración local . Lasfunciones coordenadas correspondientes a cada nodo,

, se restringen a los valores que alcanza en el

dominio de este elemento y a su contorno ̅ y se denominan funciones de interpolación o de forma.La expresión de la flecha en el interior del elemento es:

∑ (3.16)con y matrices de dimensión y y y matrices de dimensión y respectivamente.El vector deformación o de curvaturas

se deduce de la fórmula anterior, resultando para el

elemento : ∑ (3.17)con matriz de y matriz de , definidas como sigue:

con:

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en donde las funciones coordenadas están restringidas al dominio del elemento .Se define la matriz de rigidez del elemento mediante la fórmula:

(3.18)

y el vector de cargas equivalentes p es:

(3.19) ( ) ̅ ̅

con:

[

]

La contribución del elemento a las matrices y del sistema (3.11) se obtiene a partir de lassiguientes fórmulas generales.

El elemento de dimensión , de la matriz se deduce de la siguiente expresión: ∑ (3.20)

en donde

es el conjunto de elementos

que tienen los nodos

y

(numeración local)

coincidentes respectivamente con los nodos y (numeración global). De un modo formal se puedeescribir la condición anterior como sigue:

El término independiente es ,-, con un vector de dimensión definido según la

fórmula:

∑ (3.21)

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con vector carga puntual actuando en el nudo , e el conjunto de elementos , cuyo nodo (con numeración local) coincide con el nodo (numeración global), es decir .

En forma compacta se escribe el sistema (3.11) como sigue:

(3.22) con matriz de dimensión ; vector de fuerzas de dimensión ; vector de

desplazamientos incógnitas, es decir:

y

el número total de nodos de la placa.

Se puede demostrar que la matriz es simétrica y positiva definida. Y dado el tipo de conexiónentre elementos, se puede numerar los nodos, de modo que resulte en banda, con un gran número de

elementos de esta matriz nulos, exteriores a una franja de líneas paralelas a la diagonal principal. La

existencia de estos elementos nulos permite utilizar técnicas específicas de resolución de este tipo de

sistemas de ecuaciones lineales en banda.

Con respecto a la ecuación (3.22), se debe hacer una observación. Se ha supuesto compatible el

campo de desplazamientos

definido por la ecuación (2.7), solamente en el dominio de la placa, al

imponer la continuidad de (a veces únicamente en los nodos como el caso de elementos no conformes).Sin embargo, no se ha considerado la compatibilidad en el contorno de la placa ̅, es decir, las condicionesde contorno en desplazamientos. Como entonces, el método de los elementos finitos se limita esta

compatibilidad al cumplimiento de estas condiciones de contorno solamente en los nodos y no en toda la

línea ̅; es decir, en nodos pertenecientes a ̅, se supone que (especificado). Estascondiciones en desplazamientos (coacciones) implican una necesidad de determinación de los

correspondientes vectores fuerzas (reacciones) . Por lo tanto, el sistema de ecuaciones (3.22) puedeescribirse, en forma particionada:

(3.23) en donde , - corresponde a los nodos con desplazamientos no

especificados.

* + { ̅ ̅ ̅ } ̅ se refiere a los nodos con desplazamientos conocidos y especificados.

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Las matrices , , , constituyen las particiones consistentes de la matriz .Análogamente los vectores de fuerza y corresponden a particiones del vector .Evidentemente, elvector

es conocido, con fuerzas especificadas o determinables (equivalentes) en los nudos y

son las

reacciones incógnitas.

El sistema (3.23) se resuelve de un modo formal como sigue:

De la primera ecuación vectorial se obtiene la relación:

̅ y entrando en la segunda ecuación, se deducen las reacciones incógnitas,

.

/ ̅

Una vez conocidos el vector de desplazamientos en los nudos y el vector de todas las fuerzas(incluidas las reacciones) , se pueden determinar los desplazamientos en cada punto de laplaca mediante (3.16) así como los vectores de deformación , y tensión , utilizando las ecuaciones (3.17)y (3.5).

Tras el resumen de aplicación del método de los elementos finitos al análisis de placas que se

acaba de desarrollar, se comprueba su gran analogía con las técnicas matriciales de cálculo de estructuras

de barras. En realidad, el método de los elementos finitos fue introducido en el ámbito de la ingeniería

como una extensión natural de los procedimientos existentes del cálculo matricial de estructuras.

El ensamblaje de estas matrices elementales – suma booleana expresada en (3.20) – sigue

idéntica pauta que la conocida en la teoría matricial de estructuras.

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