Délka kružnice a kruhového oblouku

Mgr. Dalibor Kudela

Střední škola, Havířov-Šumbark, Sýkorova 1/613, příspěvková organizaceTento výukový materiál byl zpracován v rámci akce EU peníze středním školám - OP VK

1.5. Výuková sada – Matematika, DUM č.09

Ludolfovo číslo

Ludolfovo číslo, častěji označováno jako číslo (pí) je iracionální číslo, které udává poměr obvodu kruhu k jeho průměru.Číslo je matematická konstanta, která se používá při výpočtech kruhu a jeho částí, délky kružnice a kruhového oblouku.Nejčastěji se při výpočtech používá hodnota zaokrouhlena na dvě desetinná místa: 3,14.

Zajímavost: dnes (v éře počítačů) je toto číslo vypočteno s přesností na více než 5 biliónů desetinných míst.

Délka kružnice

S

r

k

2o r

o d

S – střed kružnice r – poloměr kružniced – průměr kružnice

Délka kružnice (obvod kruhu)

d2d r

Kružnice k se středem S a poloměrem r je množina všech bodů roviny, které mají od středu S vzdálenost r.

Délka kruhového oblouku

S

r

180

rl

Vzorec pro výpočet délky kruhového oblouku

– středový úhel

A

B

l

l– délka kruhového oblouku

Sestrojíme ASB , kde AS = BS = rJe dána kružnice k se středem S ASB =

k

Vzorový řešený příkladVypočtěte délku kruhového oblouku l, který vznikne z kružnice o poloměru r = 8,2 cm a středového úhlu = 54°.

7,73l cm

S l

r

Jedná se pouze o dosazení do vzorce

180

rl

8,254 7,73

180l cm

S l

r

Navrhněte řešení

Vzorový řešený příkladStředový úhel vytíná na kružnici oblouk o délce l = 38,5 cm. Vypočtěte poloměr r této kružnice.

S l

r

Ze základního vzorce: vyjádříme poloměr r 180

rl

42 36

180 180 38,551,78

42 36

lr cm

51,78r cm

Navrhněte řešeníS l

r

132 33

Vzorový řešený příkladVypočtěte středový úhel , který vytíná na kružnici o poloměru r = 18,5 m oblouk o délce l = 42,8 m.

S l

r

Ze základního vzorce: vyjádříme úhel 180

rl

180 180 42,8132 33

18,5

l

r

Navrhněte řešeníS l

r

Příklady k procvičeníJe dána kružnice k o poloměru r, středovém úhlu , délce kruhového oblouku a obvodu o. Vypočtěte chybějící údaje.

1) 6,5 , 125 36 ?r cm l

l

2) 23,8 , 63 12 ?l cm r

3) 3,2 , 46 ?r m l dm

4) 22,8 , 82 44 ?d cm l

5) 46,8 , 18,9 ?o cm l cm

Řešení

1) 14,25l cm

2) 21,58r cm

3) 82 22

4) 16,46l cm

5) 145 21

Slovní úlohy1. Vypočítejte poloměr atletické dráhy tvaru kružnice, kterou

atlet musí oběhnout třikrát, aby uběhl 5 km.

2. Průměrný poloměr Země je 6 378 km. Vypočítejte délku rovnoběžky o zeměpisné šířce 40°.

3. Jakou dráhu urazí konec sekundové ručičky dlouhé 12 cm za 24 hodin?

4. Jakou část kruhového oblouku vytínají hodinové ručičky na ciferníku o průměru 20 cm v sedm hodin?

(mezi sedmičkou a dvanáctkou)

5. Hmotný bod se pohybuje po kružnici se středem S a poloměrem r = 12,7 cm. Z bodu A se přemístil do bodu B a urazil 48,5 cm. Vypočítejte velikost úhlu ASB.

Řešení

1) 265,3 .Poloměr atletické dráhy je m

2) 30 698,6 .Délka rovnoběžky je km

3) 1085,7 .Celková dráha je m

4) 26,2 .Délka oblouku je cm

5) 218 48 .Úhel ASB má velikost