PeterBregendalLøsningerMatA

Maj2020CAS:Nspire

Delprøve1

Opgave1a)Sebilag1.

Opgave2a)Givet9x2 −90x +4 y2 +16 y +205=0 .Viomskriverudtrykkettilellipsensligning:

Bilag 1 til opgave 1

Skole: Hold:

Eksamensnr Navn:

- '!'-'-.."i " -'r" -" i "'

x# oI

a

v

PeterBregendalLøsningerMatA

Maj2020CAS:Nspire

9x2 −90x +4 y2 +16 y = −2059 x2 −10x( )+4 y2 +4 y( ) = −2059 x + −102( )2 − −102( )2⎛⎝ ⎞⎠ +4 y + 42( )

2− 42( )2⎛⎝ ⎞⎠ = −205

9 x −5( )2 −9⋅25+4 y +2( )2 −4 ⋅4 = −2059 x −5( )2 +4 y +2( )2 = −205+9⋅25+4 ⋅49 x −5( )2 +4 y +2( )2 =369 x −5( )236 +

4 y +2( )236 =1

x −5( )24 +

y +2( )29 =1

Afellipsensligningsesdetatcentrumliggerpunktet(5,-2)ogathalvakserneera=2ogb=3.Opgave3a)Givetfunktionenf (x , y)=3x +4 y. Vedparallelforskydningafniveaulinjernesesdet,atpunktet(6,3)erdetpunkt,hvorviharmindsteværdienforfunktionenf.Mindsteværdiener:f (6,3)=3⋅6+4 ⋅3=30. Opgave4a)ArealetafområdetMbestemmes:

Skæringspunkter:

x2 −3x +4 = −x2 +3x +4−2x2 +6x =0x −2x +6( ) =0x =0∨ x =3

−2x2 +6xdx = − 23 x3 +3x2⎡⎣ ⎤⎦

0

3

∫0

3

= −18+27= 9

ArealetafområdetMer9.

PeterBregendalLøsningerMatA

Maj2020CAS:Nspire

Opgave5a)Redegøreforaty = −3ln(x)+ 12 x

2 −5x −3erløsningtilx ⋅ ′y −3ln(x)= y + 12 x2.

Vistartermedatbestemme ′y :′y = x − 3

x−5.

Idifferentialligningenudregnesvenstresiden:

VS: x ⋅ x − 3

x−5⎛

⎝⎜⎞⎠⎟−3ln(x)= x2 −3−5x −3ln(x) .

HS: −3ln(x)+ 12 x2 −5x −3+ 12 x2 = −3ln(x)+ x2 −5x −3.

Dahøjre-ogvenstresiderneerens,kanvikonkludere,atfunktionenyerløsningtildifferentialligningen.Opgave6a)Tekstomeksponentiellefunktioner:Eksponentiellefunktioneradskillersigfraf.eks.lineærefunktioner,vedikkehaveenkonstantstigningstakt,menenrelativstigningstakt,dvs.enprocentuelstigningstakt.Omdeneksponentiellefunktiongælderat

f (x)= b⋅ax ,hvora>0oga≠1ogb>0.Dm( f )=!Vm( f )= 0;∞⎤⎦ ⎡⎣f (0)= bFunktionenermonotontaftagende,når0

PeterBregendalLøsningerMatA

Maj2020CAS:Nspire

Delprøve2

Opgave7a)Lånebeløb:75%af1.600.000kr.=1.200.000kr.Ydelsenpr.kvartaler16.894,31kr.

b)Fasteomkostningerpr.måned3.400kr.Amortiseringdet1.år:

Samletrenteudgiftefter1.år:14.160,22kr.Hertillæggesdefasteudgifter3.400⋅12= 40.800kr.Udgifterialtpr.år:54.960,22kr.Derskalaltsåindtjenes54.960,22kr.vedudlejningafsommerhuset.Antagatsommerhusetudlejes17ugeromåret,davilugeprisenliggepå3.233kr.Udlejerenskaldogværeopmærksompå,atdererenskattefribundgrænsepå40.000kr.året,hvilketbetyderatudlejerenbliverbeskattetaf14.960,22kr.

PeterBregendalLøsningerMatA

Maj2020CAS:Nspire

Opgave8

a)Givetfunktionenf (x)= −2x +2( )⋅ −x2 +2x +8 .Dm( f )skalopfyldefølgende−x2 +2x +8≥0 .

SomdetfremgåraffigurenvilDm( f )= −2;4⎡⎣ ⎤⎦. Nulpunkter:x = −2∨ x =1∨ x = 4.

b)Forklaringtiludregninger:1. Detubestemteintegralskrives2. Indholdetunderkvadrattegnetsubstitueresmedt.dt = −2x +2dx og

integraletændrestil t dt∫ idet(-2x+2dx)erstattesafdt.

3. Detubestemteintegralbestemmesvha.potensreglen,da t = t12 .

4. 23 −2x2 +2x +8( )

32 + c ,tsubstituerestilbageiudtrykketfra3)

c)Arealetbegrænsetaffunktionenogintervalletfra-2til4.

Arealeter36.

PeterBregendalLøsningerMatA

Maj2020CAS:Nspire

Opgave9a)Forskriftfordetsamlededækningsbidrag:f (x , y)= −0,5x2 +50x −0,1y2 +30y.

b)VibestemmerN(3000):

p= −502⋅−0,5 =50, q=−302⋅−0,1 =150

K =0−(−0,5)⋅502 −(−0,1)⋅1502 =3500

x −50( )23000−3500

−0,5

+y −150( )

3000−3500−0,1

=1

x −50( )21000 +

y −150( )25000 =1

Herafses,atN(3000)erenellipsemedcentrumi(50,150)oghalvakserne

1000og 5000.

PeterBregendalLøsningerMatA

Maj2020CAS:Nspire

c)Bestemmelseafdetstørstmuligedækningsbidrag:Viindsættery = −x +140 idenkvadratiskefunktionpåy’splads:

Vifinderefterfølgendedenafledtefunktion:

y=-40+140=100.Detstørstmuligesamlededækningsbidragopnåsvedsalgaf40MODENAog100TRENTOogMaxDBer:3200.

Opgave10a)Gennemsnitslønogvariansforbådekvinderogmænd:"Titel" "Statistikmedénvariabel""x " 35503.285714286"sx:=sC₋₁x"2896.3531020348"σx:=σCx"2866.6461310766"Titel" "Statistikmedénvariabel""x " 34364.984375"sx:=sC₋₁x"2664.1943330389"σx:=σCx"2643.2983685882Mænd:Gennemsnitsløn35.503kr.Varians2.896kr.Kvinder:Gennemsnitsløn34.364kr.Varians2.643kr.b)VigennemførerenF-testforensvarianserpåniveau5%:Hypoteser:

H0 :σm2 =σ k2

H1 :σm2 ≠σ k2

PeterBregendalLøsningerMatA

Maj2020CAS:Nspire

Testresultat:"Titel" "F-testfortospredninger""AlternativHyp" "σ1≠σ2""F" 1.1818740935468"PVal" 0.52991627972645Dap-værdienerstørreend0.05kanviikkeafvisenul-hypotesen,ogdetmåderforantagesatvarianserneerens.c)Medudgangspunktiundersøgelsensresultatermådetkonstateres,atmændsmånedligegennemsnitslønerhøjereendentilsvarendeforkvinderne.Variansen(spredningen)imændogkvindersmånedslønerikkesignifikantforskellig.Opgave11a)Antalstabel(Pivot-tabel):AntalafSortarbejde Kolonnenavne

Rækkenavne Ja Nej HovedtotalLand 153 462 615Provins 113 451 564Storby 72 410 482Hovedtotal 338 1323 1661b)Bestemmelseafbidragenetilteststørrelsensamtgennemførelseafuafhængighedstest,herunderberegningafbidragenetilteststørrelsenfrapersoneriprovinsen,dersvarede”nej”.Hypoteser:

H0 : UafhængighedafsvaroglandsdelH1 : Afhængighedafsvaroglandsdel

Testresultat:"Titel" "χ²-uafhængighedstest""χ²" 16.524993806066"PVal" 2.5801395043964E�-4"df" 2.

PeterBregendalLøsningerMatA

Maj2020CAS:Nspire

Dap-værdienermindreensignifikansniveauetpå5%kanviafvisenul-hypotesen,ogdetmåderforantages,atderersammenhængmellemsvarpåspørgsmålet,sammenlignetmedhvilkenlandsdelrespondenternebori.Deenkeltebidragtildensamledeteststørrelsen:

Afskemaetsesdetat(Provins,nej)bidrogmed0,006969tildensamledeteststørrelse.Udregninger:BeregningafdenforventedeværdiForProvins,nej:

564 ⋅13231661 = 449,23

Beregningafbidraget:451−449,23( )2

449,23 =0,0069 .c)xy-plotsamtlineærregressionsmodel:

"Titel" "Lineærregression(mx+b)""RegEqn" "m*x+b""m" -0.56377295492487"b" 1157.1941569282"r²" 0.70100565881708"r" -0.83726080692761

ŷ = −0,56x +1157,19 .

PeterBregendalLøsningerMatA

Maj2020CAS:Nspire

d)Residualplot:

95%konfidensintervalforβ (a):"Titel" "LineærtRegt-interval""RegEqn" "a+b*x""CLower" -0.93157798061622"CUpper" -0.19596792923353Med95%sandsynlighedvilandelen,derudførersortarbejde,liggeiintervallet

−0,94;−0,19⎡⎣ ⎤⎦ .Detkankonstateres,atandelenafsortarbejdeerfaldendeiperiodenfra2008til2017.Detteunderstøttesafbådexy-plottetogregressionsligningenŷ .Bådeoverensstemmelsesgradr=-0,83ogforklaringsgradenr2=0,70ermoderatgode.Opgave12

Givetdifferentialligningendqdt

= −0,06t2 +0,6t +0,6 , 0≤ t ≤15. a)Forskriftforq:

q(t)= −0,02t3 +0,3t2 +0,6t +2

PeterBregendalLøsningerMatA

Maj2020CAS:Nspire

Vendepunkteterbestemtgrafiskvha.Nspire.Efter5månedervilafsætningenvoksehurtigst.Seberegningenvedligningen: ′′q (t)=0.

q 5( ) =10.