Deret Fourier

document.doc Page 1 of 12

KALKULUS LANJUT

DERET FOURIER SINUS / COSINUS ½ JANGKAUAN

Deret hanya mengandung suku-suku sinus atau cosinus saja,

Fungsi didefinisikan pada interval (0,L) { ½ jangkauan dari (-L,L)}

kemudian untuk interval (-L,0) ditentukan sehingga fungsi dapat

berupa fungsi ganjil atau genap.

Deret Fourier Sinus ½ Jangkauan adalah Deret suku-suku Sinus,

( Deret yang suku-sukunya berupa fungsi-fungsi sinus saja ).

Contoh : f(x) = (-1)n-1 , f(x) = fungsi ganjil pada (-L, L)

Deret Fourier Cosinus ½ Jangkauan adalah Deret suku-suku Cosinus,

( Deret yang suku-sukunya berupa fungsi-fungsi cosinus saja ).

Contoh : (x) = , f(x) = fungsi genap

pada (-L, L)

Suatu fungsi f(x) dalam interval (0, L) dapat diperderetkan dalam dua cara,

baik Sinus maupun Cosinus.

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB SUMARDI H.SKALKULUS LANJUT


Pada interval (-L, L) atau periode = 2 L

(i). Deret Sinus ½ jangkauan merupakan fungsi ganjil, jadi an = a0 = 0,

(x) = bn sin dx

bn = (x) sin

(ii). Deret Cosinus ½ jangkauan merupakan fungsi genap, jadi bn = 0,

(x) = an cos

an = (x) cos

a0 = (x) dx

Contoh soal :

Soal 1). Perderetkan (x) = x, 0 < x < dalam deret fourier Sinus ½ jangkauan !

Jawab :

Definisi fungsi ( f(x) = x ) diperluas sehingga menjadi fungsi ganjil dengan periode 2

(perluasan ini dinamakan perluasan ganjil untuk (x))



Grafiks f(x) = x , 0 < x < yang diperluas menjadi fungsi periodik dengan

periode = 2 untuk Deret Fourier Sinus adalah sebagai berikut:



Grafiks f(x) = x, 0 < x < π ½ jangkauan.

f(x) = x

| | | |

Periode 2 L = 2 π Jadi L = π

Karena f(x) akan diperderetkan Deret Sinus, maka

an = 0

a0 = 0

bn = (x) sin dx ( karena L = π ), maka

= x sin nx dx , (Rumus x sin ax dx = -

)

=

=

=

= cos n


-

-

0x

(x)


bn = cos n cos n = (-1)n =

bn = untuk n genap (b2=-2/2 = -1, b4=-2/4 = -1/2, .... )

= untuk n ganjil ( b1=2, b3=2/3, b5=2/5, ... )

uraian (x) menjadi deret fourier sinus :

(x) = bn sin nx

= b1 sin x + b2 sin 2x + b3 sin 3x + ...

= 2 sin x sin 2x + sin 3x - ...

= 2 (sin x

= 2 (-1)n+1

Soal 2). Perderetkan (x) = x, 0 < x < dalam deret fourier Cosinus ½ jangkauan !

Jawab: Dalam deret fourier cosinus,

definisi fungsi diperluas sehingga menjadi fungsi genap dengan periode 2

(perluasan ini dinamakan perluasan genap untuk (x))


-

(x)

x


Karena f(x) diperderetkan Cosinus ( fungsi genap), maka bn = 0,

(x) = x, 0 < x < , L = ( karena f(x), 0 < x < ½ jangkauan )

= x dx = .

an = (x) cos nx dx

= x cos nx dx

=

= = (cos n 1)

an = 0 untuk n genap (a2= a4= …=0) cos n = (-1)n =

= untuk n ganjil (a1= , a3= , …)

Jadi (x) = an cos nx

= + a1 cos x + + a3 cos 3x +

= cos 3x …

=



=



PEMBUKTIAN-PEMBUKTIAN

Soal 1). Tunjukkanlah bahwa sebuah fungsi genap f(x) dalam Fouriernya

tidak mempunyai suku-suku sinus.

Jawab: Metode 1:

Tidak terdapatnya suku – suku sinus terjadi jika bn = 0, n = 1,2,3,...

Akan dibuktikan bahwa bn = 0 pada fungsi genap f(x), seperti berikut :

bn = ....(1)

= I1 + I2

Jika dibuat transformasi x = -u pada integral pertama ( I1 ) di ruas kanan (1)

maka diperoleh dx = - du, batas-batas : x = - L u = L, x = 0 u =0

I1 = =

Karena f(x) atau f(u) fungsi genap, maka f(-u) = f(u), sehingga diperoleh

Atau

= - I2 …………….. (2)

(2) masuk (1) diperoleh : bn = I1 + I2 = - I2 + I2 = 0 atau

bn = ( Terbukti )



Metode 2 : Akan dibuktikan, jika f(x) fungsi genap, maka deretnya

tidak mempunyai suku-suku sinus, dengan menggunakan

definisi Deret Fourier dari f(x):

Andaikan f(x) =

maka f(-x) =

Karena f(x) fungsi genap , maka f(-x) = f(x), sehingga diperoleh identitas :

diperoleh 2 atau sehingga

diperoleh f(x) =

Terbukti jika f(x) fungsi genap maka Deretnya tidak mempunyai

suku – suku sinus.

Dengan cara yang sama kita dapat menunjukkan bahwa uraian Fourier

suatu fungsi ganjil tidak mempunyai suku–suku cosinus maupun konstan.



Soal 2). Jika (x) genap, buktikan bahwa

(a). an = (x) cos dx,

(b). bn = 0

Bukti:

(a) an = (x) cos dx = (x) cos +

(x) dx

Misalkan x = -u, maka

(x) cos dx = (-u) cos ( ) du =

(u) cos du

karena menurut definisi fungsi genap, (-u) = (u). Jadi

an = (u) cos du + (x) cos dx =

(x) cos dx

(b) Langsung diperoleh dengan Metode 1 di atas.

SOAL-SOAL LATIHAN

1. Sebuah fungsi didefinisikan sebagai berikut :

f(x) = 0 untuk x 2



1 untuk 0 < x

Uraikanlah f(x) menjadi deret fourier sinus ½ jangkauan !


f(x) = 0 untuk x 2

1 untuk 0 < x

Uraikanlah f(x) menjadi deret fourier cosinus ½ jangkauan !


f(x) = 1 untuk x 2

0 untuk 0 < x

Uraikanlah f(x) menjadi deret fourier sinus ½ jangkauan !


f(x) = 1 untuk x 2

0 untuk 0 < x

Uraikanlah f(x) menjadi deret fourier cosinus ½ jangkauan !

5. Buktikan deret fourier dari f(x) = x, 0 < x < 2 adalah:

f(x) = - 2

6. Buktikan deret fourier dari f(x) = x, - < x < adalah:

f(x) = 2

7. Buktikan deret fourier dari f(x) = x2, - < x < adalah:

f(x) = - 4

8. Buktikan deret fourier dari f(x) = x ( - x), 0 < x < adalah:

f(x) = -

9. Buktikan deret fourier dari f(x) = adalah:



f(x) =

10. Buktikan deret fourier dari f(x) = - x, - < x < adalah:

f(x) = - 2


Documents

Deret Fourier