KALKULUS

DERET TAYLOR DAN MAC LAURIN

Pendidikan Matematika 2010-G

ANGGOTA : 1.Moch.Diyan.S (105448) 2.Moch. Hasanudin (105485) 3. Maratus Sa’adah (105765) 4. Moch. Sholeh (105774) 5. Laily R. (105777) 6. Riza Wardha R (105780) 7.Teguh Sukma M (105782) 8. Selly Puspitasari (105786)

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA

JOMBANG

2010

DERET TAYLOR DAN MAC LAURIN 1.1 DERET TAYLOR

Dalam kalkulus seringkali kita dihadapkan kepada suatu persamaan yang memuat berbagai macam fungsi Misalnya Sin x + + -2 = 0 Menyelesaikan persamaan diatas tidaklah mudah., salah satu cara ialah mengubah setiap fungsi itu menjadi suatu polinom dalam x. Mengubah suatu fungsi f(x) dalam bentuk polinom dalam x dapat dilakukan dengan memperderetkan fungsi itu menurut deret taylor ,yaitu kita gunakan teorema Role yang berbunyi : Jika f(x) kontinu dalam selang ,dan diferensiabel dalam selang

,dan jika F(a)=f(a+h)=0 ,maka paling sedikit dapat ditentukan suatu nilai t yang memenuhi 0<t<1 ,sehingga f’(a+th)=0 Perhatikan sekarang sebuah fungsi dengan persamaan y = f(x).Kita bentuk fungsi g(x) yang dapat disusun dari f(x) dengan cara sebagai berikut :

g(x)=f (a+h)- f(x) – f’ !3

"!2

32xha

xfxha

x

xf '" xnfn

xhan

1!1

1

afn

haf

haf

hafhaf n

n1

12

!1"

!2'

1

p

h

xha

Jika P bilangan positif sebarang ,maka ternyata bahwa g(a) = 0 dan g( a + h ) = 0 Menurut teorema Rolle , dapat di tentukan bilangan t antara 0 dan 1,sehingga g’(a+th ) = 0 .untuk memperoleh g’ (a + th ) = 0 . Untuk memperoleh g’ (a + th ) kita tentukan terlebih dahulu g’( x ),sebagai berikut :

g’ (x) = -f’ (x)- f’’(x) + f’(x) – f’’’(x) +

f’’(x) – (x) +

1

p

h

xha

h

p jika x kita ganti dengan a + th , maka kita peroleh nilai

g ‘(a + th) ,yaitu :

g’(a + th ) = -

af

n

haf

haf

hafhafxf n

nn 1

121

!1"

!2'

1

011

pt

f (a + h) = f(a) + f”(a)+…+

+ ns

jika

Deret diatas disebut deret taylor berderajat (n-1) dari fungsi f, dan Jika pada deret Taylor diatas dimisalkan x =a+h,kita peroleh deret Taylor berderajat (n-1) disekitar x = a.yaitu :

F(x) = f(a) + f’(a).(x-a)+

(x-a +…+

DERET MAC LAURIN

Apabila pada Deret Taylor di atas di ambil a = 0, maka di peroleh Deret Mac Laurin

berderajat ( n – 1 ) dari fungsi f, yaitu

f(x) = f (0) + 1

x . f ‘ (0) +

!2

2x f” (0) +

!3

3x f’’’ (0) + ........

)!1(

1

n

xn

f )1( n (0) + S n , jika S n = !n

xn f )(n ( tx ) adalah suku sisa langrange.

Jika f (x) suatu fungsi yang diferensiabel dan memenuhi : Lim S n = 0 , maka f (x) dapat di perderetkan menurut deret tak hingga Mac Laurin,

n Yaitu : Seringkali kita hanya memerlukan nilai pendekatan dari f (x) dengan cara mengambil beberapa suku pertama deret Mac Laurin. Nila ruas kanan kita ambil 4 suku, kita peroleh suatu polinom berderajat 3 dalam x sebagai pendekatan dari f (x). Contoh

F (x) = f(0) + 1

x f ‘ (0) +

!2

2x f ‘’(0) +

!3

3x

f ‘’’ (0) + ...........

0!1

1

!1'

11 1

11

thafpn

thaf

n

haf

hafhaft

h

p npnn

nn

p

Tentukana deret Mac Laurin fungsi f (x) = e x .

Untuk menentukan deret Mac Laurin suatu Fungsi f (x), kkita harus mencari lebih dulu

nilai-nilai f (0), f ‘ (0) , f ‘’(0) dan seterusnya. Karena f (x) = ,e x , maka . f ‘ (x) = e x , f

‘’ (x) = e x , ....... jadi f (0) = e 0 = 1 ,f ‘ (0) = 1 , f ‘’ (0) = 1 , .........

Deret Mac Laurin fungsi f(x) = e x ialah :

e x = 1 + 1

x+

!2

2x +

!3

3x +

!4

4x +

!5

5x + ...........

Harus ditunjukkan bahwa Lim S n = 0

n

jika kita gunakan suku sisa Langrange , kita peroleh

S n = !n

xn f tx

nn e

n

xtx

!)()( ( 0 < t < 1 )

Jika x > 0 maka e tx < e x dan S n < xn

en

x

!.

Jika x < 0 maka e tx < 1 dan nS < !n

xn

Jika x bernilai tetap, dapat di buktikan bahwa Lim 0!

n

xn

n dapat di tentukan Konstanta m , Sehingga untuk semua n > m

Berlaku jadin

x,

2

1

!

mnmmn

m

x

n

x

m

x

m

x

m

x

n

x

2

1.

!...

2.

1.

!!

Karena Lim mn

2

1 = 0 maka Lim sehingga

n

xn

,0!

Lim S n = 0 Untuk setiap Nilai x.

n Contoh : Tentukan deret mac laurin fungsi xxf cos)(

Jawab : xxf cos)( 1)0( f

n

xxf sin)(' 0)0(' f

xxf cos)('' 1)0('' f

xxf sin)(''' 0)0(''' f

xxf cos)()4( 1)0()4( f , da seterusnya.

Jadi .......!8!6!4!2

1cos)(8642

xxxx

xxf

Harus ditunjukkan bahwa 0:lim

nn

s .

ntx

n

xtxf

n

xs

nn

n

n2

1cos

!)(

:)( , jadi :

ntx

n

xs

n

n2

1cos

:

Karena 12

1cos

ntx , maka 0lim

n

ns untuk setiap nilai x.

Contoh :

Dengan deret mac laurin, dinyatakan xxf 3cosh)( 2 dalam sebuah polinom berderajat

4 dalam x. Jawab :

)(!4

)0('''!3

)0(''!2

)0('1

)0()( )4(432

xfx

fx

fx

fx

fxf

xxf 3cosh)( 2 1)0( f

xxf

xxf

xxf

xxxxf

6cosh646)(

6sinh108)('''

6cosh18)(''

6sinh33sinh3.3cosh2)('

)4(

648)0(

0)0('''

18)0(''

0)0('

)4(

f

f

f

f

Jadi 4242

2 2791)648(!4

)18(!2

13cosh xxxx

x .

Contoh : Diketahui ny cos 32cos2 xx .

Selesaikan persamaan 0dx

dy

Jawab : sinh2dx

dyxx 2sin22

Dengan deret maclaurin kita nyatakan sin 2x dan sin 2x dal;am suatu polinom dalam x.

0....!7

16

!3

116....

!11

)2(

!7

)2(

!3

)2(2

....!7

)2(

!5

)2(

!3

)2(2

....!7

)2(

!5

)2(

!3

)2(22sin2sinh

53

1173

753

753

xx

xxx

xxxx

xxxxxx

Jadi x = 0

Contoh :

Jika i suatu bilangan yang memenuhi 12 i , maka tunjukkan bahwa

ixeix cos xsin (rumus euler). Bukti : Akan kita tunjukkak bahwa deret mac laurin ruas kiri sama dengan deret mac laurin ruas kanan.

Karena makaxxxx

e ,!4!3!21

1432

xix

ixixxi

xxxx

xixxixxixxix

xixixixixixiixeix

sincos

)!5!3

()!8!6!4!2

1(

!8!7!6!5!4!3!21

!7!6!5!4!3!211

538642

8765432

776655443322

Contoh: Dengan menentukan dereta mac laurin dari pembilang dan penyebut,

tentukan

2

23

0 cos1

31lim

x

ex x

x

Jawab :

Karena makaxxx

xe x ,!4!3!2

1432

,!4

81

!3

27

!2

931

4323

xxxxe x

Sedangkan cos jadixxx

x ,!6!4!2

1642

cos !6!4!2

11284

2 xxxx

kita peroleh

2

23

0 cos1

31lim

x

ex x

x

!6!4!2

!4

81

!3

27

!2

9

lim1284

2432

0 xxx

xxx

x

2

81

!2

1

!2

9

!6!4!2

!4

81

!3

27

!2

9

lim

2

12844

24324

0

xxxx

xxxx

x