deribatua.pdf

7/25/2019 deribatua.pdf

1/12

DERIBATUA (I)

ARRASATE BHI (ARRASATE)

Batxilergo Zientifko-Teknikoa1. maila


2/12

1 2 3 4 12 24

Denbora1020

80

160

Ur kantitatea(litroak)

Funtzio baten batez besteko aldaketa-tasa

ffuntzioaren grafikoak behatoki meteorologiko batean egunean zehar bilduriko ur-kantitatea adierazten du.

Bi aldiune jakinen artean, t1eta t

2, bilduriko ur-kantitatea

lortzeko, nahikoa da f(t2) f(t1)kalkulatzea. Esate baterako:

Denbora-tartea Ur-kantitatea(litroak)

0 h-tik 4 h-ra f(4) f(0) !0 0 !0

4 h-tik "! h-ra f("!) f(4) #0 !0 $0

%rain, euri gehien zein denbora-tartetanegin duen jakiteko, tarte bakoitzean

denbora-unitateko zenbat ur erori den

jakin behar dugu. &orretarako, ondoko

zatidurak ebaluatu behar ditugu:

hlff

hlff

',#

$0

4"!

!0#0

4"!

)4()"!(

'4

!0

04

0!0

04

)0()4(

==

=

==

=

*kus dezakegunez, 4 h eta "! h bitartean intentsitate handiagoaz egin du euria.

aeta bbitartean (a < bizanik) ffuntzioak duen batez

besteko aldaketa-tasa, BBAT [a,b],ondoko balioa da:[ ]

ab

afbfbaBBAT

=

)()(,


3/12

BBATaren interpretazio eo!etrikoa

+ontsidera dezagun irudiko grafikoan adierazitako ffuntzioa, etaP1= (a , f(a))etaP

2= (b , f(b))untuak.

untzioaren batez besteko aldaketa-tasa

a-ren eta b-ren artean haue da:

[ ]ab

afbfbaBBAT

=

)()(,

/atidura horren balioa angeluaren

tangente trigonometrikoaren balioaren

berdina da eta, hori, aldi berean,P1etaP

2

untuetatik asatzen den zuzenaren

(kurbarekiko ebakitzailea) maldaren

berdina da.

f funtzioak [a , b]tartean duen batez besteko aldaketa-tasa

grafikoaren (a ,f(a))eta (b , f(b))untuetatik asatzen den

zuzen ebakitzailearen !aldaren berdina da.

Batzuetan, f funtzioaren BB1a

era honetan adierazten da:

x

x

f

edo

a b

f a

f b

f x

P1

P2

Zuzen ebakitzailea

b a

f b f a


4/12

BBATaren interpretazio "isikoa

&igikari batek denboraren arabera duen osizioaren funtzioa

kontsideratuz gero, tarte bateko batez besteko aldaketa-tasak

higikari horren batez besteko abiaduraadierazten du.

Adibidea.De!a"#n hi"ikari baten $o%i&ioa 'enboraren f#nt&ioan era honetan

a'iera&ten 'ela f(t) = t2 *t + alk#lat# t = 1 % eta t = %

bitarteko bate& be%teko abia'#ra, .!+

[ ] %!ff

BBAT.! '24

3$

"

440

"

)"()(," ==

=

==


5/12

#$ adibidea

De!a"#n f#nt&ioa+ alk#lat#

Bate& be%teko al'aketa-ta%a [1 , /] tartean+

x = 1 eta x = / ab&i%a $#nt#etatik $a%at&en 'en &en

ebakit&ailearen !al'a+

A#rreko &en ebakit&aileak 0 ar'at&arekin erat&en

'#en an"el#aren tan"entea+

i"ikari baten $o%i&ioa 'enboraren f#nt&ioan

eran a'iera&ten ba'a, &enbat 'a bate&

be%teko abia'#ra 1 h eta / h bitartean3

4)(

!xxf =

4)(

!t

t% =

4 galderak modu berean kalkulatzen dira, eta balio bera dute:

[ ]4

"!

"

3

4

"

"4

4

"

4

4

"4

)"()4(4,"

!!

===

=

=

ffBBAT

1 4

2

1 4

4

!x

=

4)(

!tt% =

f(4)4

")4

"( =f


6/12

Funtzioen deribatua puntu batean

4)(

!x

xf =+ontsidera dezagun funtzioa, eta kalkula ditzagun[1 , b]motako tarteetako

BB1ak, bdelakoa 1baliotik gero eta hurbilago egonik.

[ ] $!,0","4

"

4

),"(

","

)"(),"(,","

!!

=

=

=

ffBBAT

[ ] !,0","4

"

4

)","(

"","

)"()","(",","

!!

=

=

=

ffBBAT

[ ] 0!,0"0","

)"()0","(0","," =

=ffBBAT

BB1 horiek gero eta hurbilago daude 4,baliotik.

0, balioa BB1 horien limitea da ,eta limite horri

honelae deritzo: ffuntzioaren aldiuneko aldaketa-

tasax = 1abzisa puntuan$

untu bateko alduiuneko aldaketa-tasak garrantzi

handia du, eta matematikoki funtzioak untu horretanduen deribatuaderitzo.

x = aabzisa puntuanffuntzioak duen deribatuaondoko limitea da:ab

afbf

ab

)()(lim

"%(a)eran adierazten da.

+ontura zaitez, h = b-aeginda, b = ahdugula. 5ainera, b

balioa a-rantz joaten denean h = b-abalioa zerorantz joaten

da. Beraz, era honetan idatz dezakegu aurreko adierazena: h

afhafaf

h

)()(lim)(6

0

+=

'x

'f

x

fxf

x

=

=

0

lim)(65ehikuntzen notazioa erabiliz, era

hauetan adieraz dezakegu f5(x):


7/12

&$ adibidea

+alkulatu funtzioaren deribatua " abzisa untuan.

4

)(!

xxf =

,04

!

4

!lim

4

)!(lim

4

!lim

4

")!"(lim4

"

4

)"(

lim)"()"(

lim)"(6

00

!

0

!

0

!!

00

==+

=+

=+

=

=++

=

+

=+

=

h

h

hh

h

hh

h

hh

h

h

h

fhff

hhh

hhh

[ ]

4)4(lim)4(

lim4

lim

)"44(lim

)"!(")!(lim

)!()!(lim)!(6

00

!

0

!

0

!!

00

=+=+

=+

=

=+++

=+++

=+

=

hh

hh

h

hh

h

hh

h

h

h

fhff

hhh

hhh

+alkulatu funtzioaren deribatua ! abzisa untuan.")( ! +=xxf

'$ adibidea


8/12

*kusi dugunez, [a,b]tartean ffuntzioak duen batez besteko aldaketa-tasa funtzioaren grafikoarenP=(a , f(a))

eta 6=(b , f(b))untuetatik asatzen den zuzen ebakitzailearen malda da.

Interpretazio eo!etrikoa

bzisak abaliotik gero eta

hurbilago dauden b1, b

2, b

*...

balioak hartzean, P61, P6

2,

P6*... zuzen ebakitzaileak

hainbat eta hurbilago daudex= a

untutik asatzen den tzuzen

ukitzailearekin.

/uzen ukitzaile horren maldaP6n

zuzen ebakitzaileen malden limitea

izango da, alegia, f funtzioaren

BB1en limitea7 hau da, f5(x)

f funtzioakx = aabzisako untuan duen deribatua

funtzioaren grafikoko (a , f(a))untuko zuzen

ukitzailearen !aldada.

Deribatuaren interpretazio "isikoa

&igikari batek denboraren arabera duen

osizioaren funtzioa kontsideratuz gero, t

aldiuneko deribatuak higikariaren

aldiuneko abiaduraadierazten digu.

a bf a

f f x

P

Q1

Q2

Q3

b1b2b3

Q

t

a bf a

f x

P

Q1

Q2

Q3

b1b2b3

Q

t

a bf (a

f x

P

Q1

Q2

Q3

b1b2b3

Q

t

a bf

f(a+h)=f(b) f x

P

Q1

Q3

b1b2b3

Q

t


9/12

$ adibidea

De!a"#n f#nt&ioa+ alk#lat#

Al'i#neko al'aketa-ta%a x=1 $#nt#an++

x = 1 $#nt#tik $a%at&en 'en $a%at&en 'en &en

#kit&ailearen !al'a+

Deribat#a x = 1 $#nt#an

i"ikari baten $o%i&ioa 'enboraren f#nt&ioan

eran a'iera&ten ba'a,

&enbat 'a abia'#ra t = 1 %e"+ al'i#nean3

4

)(!x

xf =

4)(

!tt% =

4 galderak modu berean kalkulatzen dira, eta balio bera dute:

,0)"()"(

lim)"(60

=+

= h

fhff

h

1 2 3

1

2

3

4)(

!tt% =

4)(

!

xxf =


10/12

uzen ukitzailearen ekuazioa

0ndokoa da zuzen baten untu-malda motako

ekuazioa: * + * !(. + .

)

P(x4,

4)untua eta !malda lortu

behar ditugu

7ort# 'e&a"#n f#nt&ioaren "rafikoak x = 1 ab&i%ako $#nt#an

'#en &en #kit&ailearen ek#a&ioa+4

)(!x

xf =

/alda, f5(1), lehenago kalkulatu dugu,

aurreko adibide batean: ! = f5(1) = 4,

Balio horiek 8 80 m(

0) ekuazioan ordezkatuz:

)"(,04

"= x edo &. + * + #

0untua1 )4

","(

4

"

4

""

!

00 Px ===

1 2 3

0.25

1

2

3

r: zuzen ukitzailea

4)(

!x

xf =


11/12

1. Kalkula ezazu ondoko funtzioen deribatuaabzisako puntu hauetan:

Ariketak

a) f(x) = x2, x = -1 puntuan

untuan.",

"

)() == xxx"b

2. Lor ezazu funtzioaren grafikoak x = 1

abzisako puntuan duen zuzen ukitzailearen ekuazioa.

."

)(x

x" =


12/12

Funtzio deribatua

f5funtzio bat kontsidera dezakegu,xabzisako untu bakoitzari ffuntzioak untu

horretan duen deribatuaren balioa egokitzen diona.

h

xfhxfxfx

h

)()(lim)(6

0

+=

&orrela definituriko funtzioari f-ren funtzio deribatuaderitzo edo, labur esanda, deribatua.

2$ adibidea alk#lat# f(x) = x2

f#nt&ioaren 'eribat#a

xhxh

hxh

h

hhx

h

xhhxx

h

xhx

h

fhxfxf

hhh

hhh

!)!(lim)!(

lim!

lim

)!(lim

)(lim

)!()(lim)(6

00

!

0

!!!

0

!!

00

=+=+

=+

=

=++

=+

=+

=

untu batean kalkulatu nahi izanez gero, nahikoada funtzio deribatuanx-ren balioa ordezkatzea.

. f(x)

0 f 9(0) !.0 0

-" f9(-") !.(-") -!

! f 9(!) !.! 4

... ...

&ona hemen f(x) = x2

eta f5(x) = 2xfuntzio

deribatuaren grafikoak

1 2

1

2

3

4

f () !

f () !

Documents

deribatua.pdf