TEMA: LA FIESTA

COLEGIO PREUNIVERSITARIO

NUESTRA SEORA DE MONSERRAT

DERIVADAS II

FuncinDerivada

y = c; c: constantey' = 0

y = xy' = 1

y = cf(x)y' = cf'(x)

y = xny' = nxn1

y = f(x) + g(x)y' = f(x) + g(x)

y = f(x) . g(x)y' = f'(x) . g(x) + f(x) . g'(x)

y =

y' =

y = exy' = ex

y = axy' = axLn2

y = Lnxy' =

y = logaxy' =

y =

y' =

y =

y' = . f(x)

y = senxy' = cosx

y = cosxy' = - senx

y = tgxy' = sec2x

y = ctgxy' = - csc2x

y = secxy' = secx . tgx

y = cscxy' = - cscx . ctgx

MXIMOS Y MNIMOS

Dada la funcin f(x), esta funcin deber tener tangentes horizontales y verticales. Para tener una tangente horizontal, se iguala la primera derivada a cero y para tener una tangente vertical esta no debe existir.

Tangentes horizontales: f(x) = 0

Tangentes verticales: f(x) no existe

TH: f'(x) = 0

TH: f'(x) = 0

Procedimientos a seguir:

Se escribe una de las variables en funcin de la otra (funcin explcita)

Se deriva la funcin con respecto a la variable independiente y se iguala a cero, resolviendo y encontrando los denominados puntos crticos.

Se reemplazan los valores encontrados en la funcin explcita, donde el mayor valor encontrado ser el mximo de la funcin y el menor el mnimo.

PROBLEMAS

BLOQUE I

01. Hallar el mnimo valor de la funcin:

f(x) = 2x2 4x + 2

A) 2 B) 1 C) 0

D) 1

E) 2

02. Un rectngulo tiene dos de sus vrtices sobre el eje x, los otros sobre la recta y = x; 5x + 4y = 20. Hallar el valor de y para que el rea del rectngulo sea el mayor posible.

A)

B)

C) 10D) 9

E) N.A.

03. Cul debe ser el radio de un crculo para que el sector cuyo permetro es igual a un nmero dado P tenga la mayor superficie posible?

A) P

B) 2P C) 3PD)

E) 8P04. Hallar el mximo valor de la funcin:

f(x) = 3x2 + 12x 6

A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 905. Hallar el volumen del mayor cilindro recto que se puede inscribir en una esfera de radio .

A)

B)

C)

D)

E)

06. Se quiere construir un jardn en forma de sector circular con su permetro de 30 m. Hallar el jardn de mayor superficie.

A) 76,25 m2B) 46,20

C) 56,25

D) 86,16

E) N.A.07. Una caja rectangular tiene una base cuadrada y no tiene tapa. El rea combinada de los lados y el fondo es de 48 pies cuadrados. Hallar las dimensiones de la caja de mximo volumen. Dar una de las dimensiones.

A) 4

B) 5

C) 3

D) 6

E) 708. Se debe levantar una valla de madera al lado de un muro de piedra para cercar un terreno rectangular. La longitud total de dicha valla es igual a 8 m. Cul debe ser la longitud de la parte de la pared paralela al muro para que la valla abarque la mayor rea posible?

muro

A) 4

B) 6

C) 7

D) 8

E) 909. Una compaa de transporte con una tarifa de 20 soles transporta 8 000 pasajeros por da. Al considerar un aumento en la tarifa la compaa determina que perder 800 pasajeros por cada 5 soles de aumento. En estas condiciones, cul debe ser el aumento para que el ingreso sea mximo?

A) 15

B) 20C) 35D) 45E) 60010. Del siguiente grfico:

Hallar:

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

011. Si un nmero y el cuadrado de otro suman 192. Hallar los nmeros de manera que su producto sea el mayor posible. Dar el mayor nmero.

A) 126B) 127C) 128D) 129E) 130BLOQUE II

01. Hallar el valor o los valores reales de a de modo que -4 sea el mnimo valor del trinomio.

x2 a 1 + ax

A) a = 6

B) a = 4

C) a = -6

D)

E)

02. Hallar la mayor rea posible de un rectngulo que tiene su base inferior en el eje x y los otros vrtices en la curva: y = 27 x2

A) 24 u2B) 12C) 54D) 108E) 16203. Una ventana tiene la forma de un rectngulo cuyo ancho es a, coronado por un semicrculo. Si el permetro de la ventana es 30 m y si A(x) es el rea de esta ventana, encontrar el valor de x que maximiza el rea.

A) 15

B) 225C) 14D) 13E) 1004. Obtener el rea mxima de la regin rectangular dada en el siguiente grfico:

A)

B)

C)

D)

E)

05. Hallar las dimensiones de un rectngulo de rea mxima inscrito en un tringulo de lados 8; 10; 12; tal que un lado del rectngulo se apoya en aquel de longitud 12.

A)

B)

C)

D)

E)

06. Cules son las dimensiones de un rectngulo de rea mxima que puede inscribirse en una circunferencia de radio r?. Indicar la suma de dichas dimensiones.

A)

B)

C)

D)

E)

07. Si tres lados de un trapecio miden cada uno 10 cm. Cunto debe medir el cuarto lado para que el rea sea mxima?

A) 10 cmB) 15C) 25D) 20E) 30

08. Una pelota proyecta verticalmente hacia arriba S pies del punto de partida. En el instante t (segundos) donde:

S = 64t 16t2

Cul es la altura mxima alcanzada?

A) 64

B) 32C) 16D) 0

E) infinita

09. Un agricultor quiere construir una cerca que tenga la forma de un sector circular si para cercarlo posee un alambre de 2 metros de longitud. Determinar el radio que debe tener el sector para que el campo sea lo ms grande posible.

A) 30 mB) 40C) 50D) 80E) 120010. De las esquinas de una hoja cuadrada de cartn de lados iguales a 72 cm deben ser recortados cuadrados iguales, de modo que doblando convenientemente las partes restantes resulte una caja que tenga la mayor capacidad posible. Cunto debe medir cada lado del cuadradito?

A) 3 cmB) 6

C) 8

D) 12E) 18011. De las grficas adjuntas:

f(x) = x2 + 2x

g(x) = x2Determinar la mxima longitud vertical.

A) 1

B)

C)

D)

E)

012. Un granjero tiene 1 000 metros de malla para cercar un terreno rectangular. Calcular el valor de la mayor rea de terreno que se podra cercar.

A) 62 500 u2

B) 62 000 C) 52 500

D) 52 000

E) 65 000r

TH

r

d

f(x)

g(x)

8x + 5y = 40

y = x

1

1

1

1

x

f(x)

x

x

x

EMBED Equation.3

y

TH

y

EMBED Equation.3 es el ngulo de inclinacin de la recta tangente y la tg EMBED Equation.3 es la pendiente de la recta

EMBED Equation.3

LT

)

f(x)

TH

TV

mn

x3

mximo

x2

T

y

EMBED Equation.3

x1

y

mnimo

x

x

y

x

x5

x4

f(x)

mx

PAGE 465 Secundaria 4to Bimestre lgebra

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