Desy Putma H. (M0109018)

Gunawan Prabowo (M0109033)

Luk Luk Alfiana (M0109043)

Nur Indah (M0109055)

Tatik Dwi Lestari (M0109066)

SPESIFIKASI MODEL

Anggota kelompok 5 :

Bagaimana kita memilih nilai yang sesuai untuk p, d dan q untuk deret runtun waktu yang diberikan?

Bagaimana kita mengestimasi parameter dari model ARIMA(p, d, q) ?

Bagaimana kita mengecek kesesuaian model yang terpilih?

Subyek :

memutuskan nilai p, d dan q.

mengestimasi parameter-parameter , dan 2 dalam

model

Cek kesesuaian

memilih model yang lain

mengestimasi parameter-parameter model yang baru

mengeceknya kesesuaiannya

Jika model tidak sesuai ???

SIFAT-SIFAT FUNGSI AUTOKORELASI SAMPEL

Estimasi fungsi autokorelasi, untuk deret observasi, Z1, Z2 , ..., Zn, yaitu:

rk adalah fungsi autokorelasi sampel yang merupakan penaksir dari ρk

Penaksir yang baik :1. tak bias

2. variansi minimum3. konstan

Diperlukan sampel yang cukup besarMisal :

Mean nol, dan variansi berhingga

Asumsi

Untuk sembarang nilai m, distribusi bersama:

Distribusi bersama normalmean nol , variansi cii, dan covariances cij,

Untuk n besarmendekati

dist.normalmean: variansi: ckk/n

jadi., penaksir tak bias

Note:• Variansi berbanding terbalik dengan ukuran sampel.• Tetapi, korelasinya akan konstan untuk n besar.

Berarti,

{Zt} ~ white noise , maka var (rk)≈1/n

Ingat !Jadi,

BEBERAPA KASUS KHUSUS

{Zt} ~AR(1) ρk = Øk untuk k=0,1,2,…

Ø= ±1 var (r1) ≈ 1/nUntuk n cukup besar maka var (r1)= 0r1 ρ1 (r1 penaksir yang cukup baik untuk ρ1)

untuk lag-lag yang lebih besar

Ø2k 0,

Untuk ر 1 , maka var (rk) ∞

Untuk AR(1)0<i≤j

TAKSIRAN STANDAR DEVIASI DAN KORELASI DARI AUTOKORELASI SAMPEL UNTUK BERBAGAI NILAI-NILAI Φ.

MODEL AR(1)

UNTUK MODEL MA(1)

terlihat dari tabel  bahwa autocorrelations sampel sangat berkorelasi dan  standar deviasi dari rk untuk k> 1  lebih besar dari pada untuk k = 1.

TAKSIRAN STANDAR DEVIASI DAN KORELASI DARI AUTOKORELASI SAMPEL UNTUK BERBAGAI NILAI-NILAI Θ.MODEL MA(1)

Model MA(q)

Untuk itu dilakukan uji hipotesisH0: ρk=0H1: ρk≠0Jika ada satu set data, rk dapat dihitung, kemudian akan dilihat untuk lag ke berapa rk dapat dianggap nol.Uji hipotesis:

Gunakan untuk menguji hipotesis tersebut:

Kapan kita mengatakan rk=0?

Jika Zt dapat dimodelkan MA(q) maka:(i) ρk = 0

(ii)

Jika Ho benar ( ) maka

MA(q)ρk=0, untuk k>q

Maka rk merupakan indikator yang baik dari order proses.

AR(p) ρk ≠0, setelah sejumlah lag, maka fungsi autokorelasi tidak dapat digunakan untuk

menentukan orde(p).

FUNGSI AUTOKORELASI PARSIAL(PACF)

𝝓𝒌𝒌 = Corr ሺ𝒁𝒕 ,𝒁𝒕−𝒌 |𝒁𝒕−𝟏,𝒁𝒕−𝟐,…,𝒁𝒕−𝒌+𝟏ሻ 𝜙𝑘𝑘 adalah koefisien korelasi dalam distribusi bivariat dari 𝑍𝑡 ,𝑍𝑡−𝑘 tergantung pada 𝑍𝑡−1,𝑍𝑡−2,…,𝑍𝑡−𝑘+1

Zt normal Bagaimana jika Zt tidak berdist. Normal?

Jika Zt tidak berdist. Normal maka fungsi autokorelasi parsial pada lag k dapat ditentukan menggunakan korelasi antara

kesalahan prediksi

𝜙𝑘𝑘 = 𝐶𝑜𝑟𝑟 (𝑍𝑡 − 𝛽1𝑍𝑡−1− 𝛽2𝑍𝑡−2 − ⋯− 𝛽𝑘−1𝑍𝑡−𝑘+1, 𝑍𝑡−𝑘 − 𝛽1𝑍𝑡−𝑘+1 − 𝛽2𝑍𝑡−𝑘+2 − ⋯−𝛽𝑘−1𝑍𝑡−1)

Telah diket bahwa

Untuk menetukan

Korelasi residu (PACF antara ) dan

Cov(𝑍𝑡 − 𝜌1𝑍𝑡−1,𝑍𝑡−2 − 𝜌1𝑍𝑡−1) = 𝛾0(𝜌2 − 𝜌12 − 𝜌12 + 𝜌12) = 𝛾0 (𝜌2 − 𝜌12)

dimana

Var (𝑍𝑡 − 𝜌1𝑍𝑡−1) = Var (𝑍𝑡−2 − 𝜌1𝑍𝑡−1)

= 𝛾0 (1+ 𝜌12 − 2𝜌12) = 𝛾0 (1− 𝜌12)

Pertimbangkansekaranguntuk model AR (1). Ingat bahwa 𝜌𝑘 = 𝜙𝑘 sehingga

𝜙22 = 𝜙2−𝜙21−𝜙2 = 0

Pertimbangkan bentuk umum AR (p). Ini akan ditampilkan dalam Bab 9 bahwa prediktor linier terbaik dari𝑍𝑡 dalam hal 𝑍𝑡−1,𝑍𝑡−2,…,𝑍𝑡−𝑝,…,𝑍𝑡−𝑘+1 untuk k>p dalam halnya

𝜙1𝑍𝑡−1 + 𝜙2𝑍𝑡−2 + ⋯+ 𝜙𝑝𝑍𝑡−𝑝

Juga, predictor terbaik dari 𝑍𝑡−𝑘 akan menjadi beberapa fungsi ℎ(𝑍𝑡−𝑘+1,𝑍𝑡−𝑘+2,…,𝑍𝑡−1), misalnya. Jadi

Covൣ�𝑍𝑡 − 𝜙1𝑍𝑡−1 − 𝜙2𝑍𝑡−2 − ⋯− 𝜙𝑝𝑍𝑡−𝑝,𝑍𝑡−𝑘 − ℎ(𝑍𝑡−𝑘+1,𝑍𝑡−𝑘+2,…,𝑍𝑡−1)൧ = Covሾ𝑎𝑡,𝑍𝑡−𝑘 − ℎ(𝑍𝑡−𝑘+1,𝑍𝑡−𝑘+2,…,𝑍𝑡−1)ሿ = 0 (karena𝑎𝑡 tidak tergantung 𝑍𝑡−1,𝑍𝑡−2,…)

Jadi untuk model AR(p),

𝜙𝑘𝑘 = 0untukk>p (6-16)

Untuk bentuk MA(1), Persamaan (6-15) dengan cepat menghasilkan

𝜙22 = −𝜃21+𝜃2+𝜃2

(6-17)

Penjabaran 𝜙22 = 𝜌2−𝜌121−𝜌12 𝑀𝐴ሺ1ሻ, 𝜌2 = 0

= −𝜌121−𝜌12 𝑀𝐴ሺ1ሻ, 𝜌1 = −𝜃1+𝜃2

= −𝜃21+2𝜃2+𝜃41− 𝜃21+𝜃2+𝜃4

= −𝜃21+𝜃2+𝜃2

Selain itu, dapat ditunjukkan bahwa dalam kasus ini

𝜙𝑘𝑘 = −(𝜃𝑘)(1−𝜃2)1−𝜃2(𝑘+1) untukk≥ 1

(6-18)

Perhatikan bahwa autokorelasi parsial dari model MA(1) adalah tidak nol tetapi pada dasarnya meluruh secara eksponensial ke nol, bukan seperti autokorelasi untuk model AR (1).

𝜌𝑗= 𝜙𝑘1𝜌𝑗−1 + 𝜙𝑘2𝜌𝑗−2 + ⋯+ 𝜙𝑘𝑘𝜌𝑗−𝑘 j = 1, 2, . . . , k (6-19)

Lebih eksplisit,

𝜌1 = 𝜙𝑘1 + 𝜙𝑘2𝜌1 + ⋯+ 𝜙𝑘𝑘𝜌𝑘−1

𝜌2 = 𝜙𝑘1𝜌1 + 𝜙2 + ⋯+ 𝜙𝑘𝑘𝜌𝑘−2

.

. (6-20)

𝜌𝑘 = 𝜙𝑘1𝜌𝑘−1 + 𝜌𝑘2𝜙𝑘−2 + ⋯+ 𝜙𝑘𝑘

Di sini kita menggunakan 𝜌1,𝜌2,…,𝜌𝑘 seperti yang diberikan dan untuk memecahkan, 𝜙𝑘1,𝜙𝑘2,…,𝜙𝑘𝑘 yang tidak diketahui (membuang semua kecuali 𝜙𝑘𝑘).

PACF MA(q) mirip dengan ACF AR(q)

Bagaimana menentukan fungsi autokorelasi dari AR(q)?

Bentuk umum dari PACF proses stasioner adalah:

6.3 FUNGSI AUTOKORELASI PARSIAL SAMPLE

Persamaan (6-20) dapat diselesaikan secara rekursif sebagai berikut:

𝜙𝑘𝑘 = 𝜌𝑘−σ 𝜙𝑘−1 ,𝑗𝜌𝑘−𝑗𝑘−1𝑗=11−σ 𝜙𝑘−1 ,𝑗𝜌𝑗𝑘−1𝑗=1 (6-21)

Dimana 𝜙𝑘𝑗 = 𝜙𝑘−1 ,𝑗 − 𝜙𝑘𝑘𝜙𝑘−1 ,𝑘−𝑗 untuk 𝑗= 1,2,…,𝑘− 1

Sebagai contoh, penggunaan 𝜙11 = 𝜌1 untuk memulai, kita harus

𝜙22 = 𝜌2−𝜙11𝜌11−𝜙11𝜌1 = 𝜌2−𝜌121−𝜌12

(Seperti sebelumnya) dengan 𝜙21 = 𝜙11 − 𝜙22𝜙11 (diperlukan untuk k = 3)

Kemudian 𝜙33 = 𝜌3−𝜙21𝜌2−𝜙22𝜌11−𝜙21𝜌1−𝜙22𝜌2

Dengan demikian kita dapat menghitung nilai numerik sebanyak untuk 𝜙𝑘𝑘 yang diinginkan. Sebagaimana dinyatakan, persamaan ini memberi kita autocorrelations parsial teoritis, tetapi dengan mengganti ρ dengan r, kita mendapatkan 𝜙𝑘𝑘

Untuk menilai besarnya kemungkinan autocorrelations parsial, Quenouille (1949) telah menunjukkan bahwa, di bawah hipotesis bahwa AR (p) model benar, autocorrelations parsial diperkirakan pada tertinggal lebih besar dari p sekitar secara independen terdistribusi normal dengan nol berarti dan varians 1 𝑛Τ . Dengan demikian ± 2 ξ𝑛Τ dapat digunakan sebagai batas kritis pada 𝜙𝑘𝑘 untuk k > p untuk menguji hipotesis dari (p) model AR.

RUNTUN YANG DISIMULASI

Untuk mengilustrasikan teori bagian 6.1 dan 6.2, kita akan menganggap sampel fungsi autokorelasi dan sampel fungsi autokorelasi parsial dari beberapa runtun waktu yang disimulasi.

EXHIBIT 6.1 sampel fungsi autokorelasi (ACF) untuk white noise dgn n=121

Dari gambar tersebut maka jelas bahwa korelasi(rk) dari 21 sampel diatas terletak diantara +0.18 dan -0.18

2018161412108642

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Auto

corr

ela

tion

Autocorrelation Function for white noise(with 5% significance limits for the autocorrelations)

Dari pers. 6.3 dapat dihitung standar deviasi

dari rk yaitu1/√n=1/ √121

=0.09

Sehingga interval konvidensi 95% dari

rk adalah ±0.18

EXHIBIT 6.2 sampel fungsi autokorelasi parsial (PACF) untuk white noise dengan n=121

2018161412108642

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Part

ial A

uto

corr

ela

tion

Partial Autocorrelation Function for white noise(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)

Karena white noise dapat dianggap sbg AR(p) dgn p=0

(Quenouille’s (1949) ) maka dapat digunakan untuk

menduga signifikansi dari estimasi.

Disini tidak ada lagi dari 21 nilai PACF

yang melampaui

batas.

EXHIBIT 6.3 sampel fungsi autokorelasi untuk runtun AR(1) dengan =0.9 dan disimulasi n sebanyak 59∅

161412108642

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Auto

corr

ela

tion

Autocorrelation Function for AR(1)(with 5% significance limits for the autocorrelations)

Nilai yg diestimasi ρk = Øk untuk k=0,1,2,… maka ρ1 =0.9 dan ρ2 =0.81.

dari table 6.1 standar deviasi r1 kira-kira , dan r2

Pada umumnya, plot menunjukkan

kecenderungan eksponensial

kemudian menghilang

dengan meningkatnya lag.

EXHIBIT 6.4 sampel fungsi autokorelasi parsial untuk runtun AR(1)

dengan =0.9 dan n=59∅

Interval kon vidensi 95% sebesar ±2/√n= ±2/√59=0.26

161412108642

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Part

ial A

uto

corr

ela

tion

Partial Autocorrelation Function for AR(1)(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)

EXHIBIT 6.5 sampel fungsi autokorelasi untuk runtun AR(1) dengan =0.4 dan n=119∅

2018161412108642

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Auto

corr

ela

tion

Autocorrelation Function for AR(1)(with 5% significance limits for the autocorrelations)

ρk = Øk

Maka ρ1 =0.4 dan ρ2 =0.16

Yang telah diestimasi dengan r1

=0.409 dan r2 =0.198

EXHIBIT 6.6 sampel fungsi autokorelasi parsial untuk runtun AR(1) dengan =0.4 dan n=119∅

2018161412108642

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Part

ial A

uto

corr

ela

tion

Partial Autocorrelation Function for AR(1)(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)

Interval kon vidensi 95% sebesar ±2/√n= ±2/√119=0.183

Terdapat satu nilai autokorelasi parsial yang tidak signifikan yaitu

lag pertama

EXHIBIT 6.7 sampel fungsi autokorelasi (ACF)untuk runtun AR(1) dengan =-0.7 dan n=119∅

Dari gambar terlihat adanya osilasi (variasi periodik terhadap waktu) dalam ACF ketika nilai =-0.7∅

2018161412108642

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Auto

corr

ela

tion

Autocorrelation Function for AR(1)(with 5% significance limits for the autocorrelations)

EXHIBIT 6.8 sampel fungsi autokorelasi parsial (PACF) untuk runtun AR(1) dengan =-0.7 dan n=119∅

2018161412108642

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Part

ial A

uto

corr

ela

tion

Partial Autocorrelation Function for AR(1)(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)

EXHIBIT 6.9 sampel fungsi autokorelasi untuk runtun AR(2) dengan ∅1=1.5 dan ∅2=-0.75 dan n=119

2018161412108642

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Auto

corr

ela

tion

Autocorrelation Function for AR(2)(with 5% significance limits for the autocorrelations)

Menunjukkan adanya damped sine wave (lembah gelombang sinus) dengan 12 periode dan damping factor=0.866. dan

mengosilasi dengan periode kira-kira 11 atau 12

EXHIBIT 6.10 sampel fungsi autokorelasi parsial untuk runtuk AR(2) dengan ∅1=1.5 dan ∅2=-0.75 dan n=119

2018161412108642

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Part

ial A

uto

corr

ela

tion

Partial Autocorrelation Function for AR(2)(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)

Interval konvidensi 95% adalah sebesar

EXHIBIT 6.11 sampel fungsi autokorelasi untuk runtun MA(1) dengan θ=0.9 denga n=120

2018161412108642

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Auto

corr

ela

tion

Autocorrelation Function for MA(1)(with 5% significance limits for the autocorrelations) dari table 6.2

standar deviasi dari r1 kira-kira

konfidensi 95%

dari r1 sebesar

r1 = -0.519Untuk lag lebih besar dari 1, table 6.2

memberikan standar deviasi dari rk yaitu

Dan interval konvidensinya sebesar

EXHIBIT 6.12 sampel fungsi autokorelasi parsial untuk runtun MA(1) dengan θ=0.9 dengan n=120

2018161412108642

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Part

ial A

uto

corr

ela

tion

Partial Autocorrelation Function for MA(1)(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)

EXHIBIT 6.13 sampel fungsi autokorelasi untuk runtuk ARMA(1.1) dengan =0.8 dan θ=0.4 dengan n=99 ∅

18161412108642

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Auto

corr

ela

tion

Autocorrelation Function for ARMA(1,1)(with 5% significance limits for the autocorrelations)

EXHIBIT 6.14 sampel fungsi autokorelasi parsial untuk runtuk ARMA(1.1) dengan =0.8 dan θ=0.4 dengan n=99 ∅

18161412108642

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Part

ial A

uto

corr

ela

tion

Partial Autocorrelation Function for ARMA(1,1)(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)

NONSTATIONARY

model ARMA Time series plot

ACF

tidak jelas apakah ACF  mengestimasi untuk proses nonstasioner

Misalnya:Menggunakan hasil deviasi yang di lag kan dari mean dari pembilang dan penyebut mengasumsikan variansi yang konstan

Definisi fungsi autokorelasi secara implisit mengasumsikan stasioneritas

Namun demikian,untuk series nonstasioner , ACF biasanya menghilang dengan

cepat. Nilai rk tidak harus terlalu  tinggi bahkan untuk lag yang rendah,tetapi harus sering muncul.

Exhibit  6.15 memberikan sampel ACF untuk IMA(1,1 dengan =0.4

6.15 Fungsi Autokorelasi sampel untuk runtun IMA(1,1) yang di difference satu kali dengan =0.4

Kemudian dibuat plot time series Zt untuk memeriksa  stasioneritas

Jika differencing pertama dan sampel ACF nya belum sesuai stasioneritas model ARMA , maka didiferencing lagi kemudian menghitung kembali ACF sampai sesuai dengan proses stasioner ARMA.

Selain menggunakan differensing juga bisa menggunakan transformasi logaritma atau bisa juga menggunakan transformasi pangkat agar dapat mencapai stasioner.

Dari latihan 2.6 pada chapter 1 kita mengetahui difference dari proses stasioner juga stasioner. Dan difference dari proses tidak stasioner bisa menghasilkan proses stasioner.

Namun, differensing yang berlebihan cenderung menghasilkan korelasi yang besar dalam model dan mungkin membuat model yang relatif sederhana menjadi kompleks.

Dengan contoh, andaikan series observasi random walk maka:

Jika didifferencing sekali maka peroleh

Yang merupakan model MA(1) dengan = 1.

Wt = Zt – Zt-1 = at

Wt = at – at-1

OVERDIFFERENCING

Zt = at – at-1

SPESIFIKASI DARI BEBERAPA RUNTUN WAKTU AKTUAL

Misalkan sekarang spesifikasi model untuk beberapa runtun waktu aktual. Kembali pada tingkat pengangguran kuartalan pada bab 1.

Runtun waktu diplot dalam Exhibit 1.1. Plot menunjukkan perubahan atas waktu dan kita mengharapkan korelasi positif pada lag rendah.

Hal ini dalam ACF sampel yang diberikan dalam Exhibit 6.17 yang menyarankan pendekatan model AR(2). Dalam hal ini n=121 dan 2/n = 0,18 sehingga tidak ada nilai PACF yang berbeda secara signifikan dengan nol untuk lag melampaui 2.

Dengan korelasi kuat pada lag 1, kita akan memutuskan juga untuk menganggap model non stasioner dengan d=1 tetapi AR(2) nampak menjadi pilihan pertama kita.

Misalkan sekarang spesifikasi model untuk beberapa runtun waktu aktual. Kembali pada data tingkat pengangguran kuartalan pada bab 1.

Runtun waktu diplot dalam Exhibit 1.1. Plot menunjukkan perubahan atas waktu dan kita mengharapkan korelasi positif pada lag rendah.

Time series plot untuk data tingkat pengangguran kuartalan

ACF dari data tingkat pengangguran kuartalan

Exhibit 6.17

Terdapat penurunan secara exponensial dari plot ACF diatas

PACF dari data tingkat pengangguran kuartalan

tidak ada nilai PACF yang berbeda secara signifikan dengan nol untuk lag melampaui 2. Jadi berdasarkan ACF dan PACF dapat

disimpulkan bahwa modelnya adalah AR(2)

Time series plot untuk data AA railroad bond yield

Plot time series dalam Exhibit 5.2 secara kuat menunjukkan model tidak stasioner.

ACF dari data AA Railroad

Exhibit 6.19

Exhibit 6.20 menunjukkan ACF dari diferensing pertama

Exhibit 6.21 menunjukkan PACF dari diferensing pertama

Exhibit 6.20 dan Exhibit 6.21 menunjukkan ACF dan PACF dari diferensi pertama dari mirip model AR(1).

Hal itu berarti model yang dispesifikasi untuk deret runtun waktu aslinya adalah ARI(1,1).

METODE SPESIFIKASI YANG LAIN Sejumlah pendekatan yang lain untuk spesifikasi

model telah diinvestigasi oleh Box dan Jenkins.

Salah satunya yang diteliti oleh Akaike dengan mengusulkan AIC (Akaike Information Criteria). Di sini kita menyeleksi model yang meminimalkan

AIC = - 2 log(maximum likelihood) + 2 k dengan k adalah total banyak parameter AR dan

MA dalam model.