Desy Putma H. (M0109018)
Gunawan Prabowo (M0109033)
Luk Luk Alfiana (M0109043)
Nur Indah (M0109055)
Tatik Dwi Lestari (M0109066)
SPESIFIKASI MODEL
Anggota kelompok 5 :
Bagaimana kita memilih nilai yang sesuai untuk p, d dan q untuk deret runtun waktu yang diberikan?
Bagaimana kita mengestimasi parameter dari model ARIMA(p, d, q) ?
Bagaimana kita mengecek kesesuaian model yang terpilih?
Subyek :
memutuskan nilai p, d dan q.
mengestimasi parameter-parameter , dan 2 dalam
model
Cek kesesuaian
memilih model yang lain
mengestimasi parameter-parameter model yang baru
mengeceknya kesesuaiannya
Jika model tidak sesuai ???
SIFAT-SIFAT FUNGSI AUTOKORELASI SAMPEL
Estimasi fungsi autokorelasi, untuk deret observasi, Z1, Z2 , ..., Zn, yaitu:
rk adalah fungsi autokorelasi sampel yang merupakan penaksir dari Οk
Penaksir yang baik :1. tak bias
2. variansi minimum3. konstan
Diperlukan sampel yang cukup besarMisal :
Mean nol, dan variansi berhingga
Asumsi
Untuk sembarang nilai m, distribusi bersama:
Distribusi bersama normalmean nol , variansi cii, dan covariances cij,
Untuk n besarmendekati
dist.normalmean: variansi: ckk/n
jadi., penaksir tak bias
Note:β’ Variansi berbanding terbalik dengan ukuran sampel.β’ Tetapi, korelasinya akan konstan untuk n besar.
Berarti,
{Zt} ~ white noise , maka var (rk)β1/n
Ingat !Jadi,
BEBERAPA KASUS KHUSUS
{Zt} ~AR(1) Οk = Γk untuk k=0,1,2,β¦
Γ= Β±1 var (r1) β 1/nUntuk n cukup besar maka var (r1)= 0r1 Ο1 (r1 penaksir yang cukup baik untuk Ο1)
untuk lag-lag yang lebih besar
Γ2k 0,
Untuk ΓΒ± 1 , maka var (rk) β
Untuk AR(1)0<iβ€j
TAKSIRAN STANDAR DEVIASI DAN KORELASI DARI AUTOKORELASI SAMPEL UNTUK BERBAGAI NILAI-NILAI Ξ¦.
MODEL AR(1)
UNTUK MODEL MA(1)
terlihat dari tabel bahwa autocorrelations sampel sangat berkorelasi dan standar deviasi dari rk untuk k> 1 lebih besar dari pada untuk k = 1.
TAKSIRAN STANDAR DEVIASI DAN KORELASI DARI AUTOKORELASI SAMPEL UNTUK BERBAGAI NILAI-NILAI Ξ.MODEL MA(1)
Model MA(q)
Untuk itu dilakukan uji hipotesisH0: Οk=0H1: Οkβ 0Jika ada satu set data, rk dapat dihitung, kemudian akan dilihat untuk lag ke berapa rk dapat dianggap nol.Uji hipotesis:
Gunakan untuk menguji hipotesis tersebut:
Kapan kita mengatakan rk=0?
Jika Zt dapat dimodelkan MA(q) maka:(i) Οk = 0
(ii)
Jika Ho benar ( ) maka
MA(q)Οk=0, untuk k>q
Maka rk merupakan indikator yang baik dari order proses.
AR(p) Οk β 0, setelah sejumlah lag, maka fungsi autokorelasi tidak dapat digunakan untuk
menentukan orde(p).
FUNGSI AUTOKORELASI PARSIAL(PACF)
πππ = Corr αΊππ ,ππβπ |ππβπ,ππβπ,β¦,ππβπ+πα» πππ adalah koefisien korelasi dalam distribusi bivariat dari ππ‘ ,ππ‘βπ tergantung pada ππ‘β1,ππ‘β2,β¦,ππ‘βπ+1
Zt normal Bagaimana jika Zt tidak berdist. Normal?
Jika Zt tidak berdist. Normal maka fungsi autokorelasi parsial pada lag k dapat ditentukan menggunakan korelasi antara
kesalahan prediksi
πππ = πΆπππ (ππ‘ β π½1ππ‘β1β π½2ππ‘β2 β β―β π½πβ1ππ‘βπ+1, ππ‘βπ β π½1ππ‘βπ+1 β π½2ππ‘βπ+2 β β―βπ½πβ1ππ‘β1)
Telah diket bahwa
Untuk menetukan
Korelasi residu (PACF antara ) dan
Cov(ππ‘ β π1ππ‘β1,ππ‘β2 β π1ππ‘β1) = πΎ0(π2 β π12 β π12 + π12) = πΎ0 (π2 β π12)
dimana
Var (ππ‘ β π1ππ‘β1) = Var (ππ‘β2 β π1ππ‘β1)
= πΎ0 (1+ π12 β 2π12) = πΎ0 (1β π12)
Pertimbangkansekaranguntuk model AR (1). Ingat bahwa ππ = ππ sehingga
π22 = π2βπ21βπ2 = 0
Pertimbangkan bentuk umum AR (p). Ini akan ditampilkan dalam Bab 9 bahwa prediktor linier terbaik dariππ‘ dalam hal ππ‘β1,ππ‘β2,β¦,ππ‘βπ,β¦,ππ‘βπ+1 untuk k>p dalam halnya
π1ππ‘β1 + π2ππ‘β2 + β―+ ππππ‘βπ
Juga, predictor terbaik dari ππ‘βπ akan menjadi beberapa fungsi β(ππ‘βπ+1,ππ‘βπ+2,β¦,ππ‘β1), misalnya. Jadi
Covΰ΅£οΏ½ππ‘ β π1ππ‘β1 β π2ππ‘β2 β β―β ππππ‘βπ,ππ‘βπ β β(ππ‘βπ+1,ππ‘βπ+2,β¦,ππ‘β1)ࡧ = CovαΎππ‘,ππ‘βπ β β(ππ‘βπ+1,ππ‘βπ+2,β¦,ππ‘β1)αΏ = 0 (karenaππ‘ tidak tergantung ππ‘β1,ππ‘β2,β¦)
Jadi untuk model AR(p),
πππ = 0untukk>p (6-16)
Untuk bentuk MA(1), Persamaan (6-15) dengan cepat menghasilkan
π22 = βπ21+π2+π2
(6-17)
Penjabaran π22 = π2βπ121βπ12 ππ΄αΊ1α», π2 = 0
= βπ121βπ12 ππ΄αΊ1α», π1 = βπ1+π2
= βπ21+2π2+π41β π21+π2+π4
= βπ21+π2+π2
Selain itu, dapat ditunjukkan bahwa dalam kasus ini
πππ = β(ππ)(1βπ2)1βπ2(π+1) untukkβ₯ 1
(6-18)
Perhatikan bahwa autokorelasi parsial dari model MA(1) adalah tidak nol tetapi pada dasarnya meluruh secara eksponensial ke nol, bukan seperti autokorelasi untuk model AR (1).
ππ= ππ1ππβ1 + ππ2ππβ2 + β―+ πππππβπ j = 1, 2, . . . , k (6-19)
Lebih eksplisit,
π1 = ππ1 + ππ2π1 + β―+ πππππβ1
π2 = ππ1π1 + π2 + β―+ πππππβ2
.
. (6-20)
ππ = ππ1ππβ1 + ππ2ππβ2 + β―+ πππ
Di sini kita menggunakan π1,π2,β¦,ππ seperti yang diberikan dan untuk memecahkan, ππ1,ππ2,β¦,πππ yang tidak diketahui (membuang semua kecuali πππ).
PACF MA(q) mirip dengan ACF AR(q)
Bagaimana menentukan fungsi autokorelasi dari AR(q)?
Bentuk umum dari PACF proses stasioner adalah:
6.3 FUNGSI AUTOKORELASI PARSIAL SAMPLE
Persamaan (6-20) dapat diselesaikan secara rekursif sebagai berikut:
πππ = ππβΟ ππβ1 ,πππβππβ1π=11βΟ ππβ1 ,ππππβ1π=1 (6-21)
Dimana πππ = ππβ1 ,π β πππππβ1 ,πβπ untuk π= 1,2,β¦,πβ 1
Sebagai contoh, penggunaan π11 = π1 untuk memulai, kita harus
π22 = π2βπ11π11βπ11π1 = π2βπ121βπ12
(Seperti sebelumnya) dengan π21 = π11 β π22π11 (diperlukan untuk k = 3)
Kemudian π33 = π3βπ21π2βπ22π11βπ21π1βπ22π2
Dengan demikian kita dapat menghitung nilai numerik sebanyak untuk πππ yang diinginkan. Sebagaimana dinyatakan, persamaan ini memberi kita autocorrelations parsial teoritis, tetapi dengan mengganti Ο dengan r, kita mendapatkan πππ
Untuk menilai besarnya kemungkinan autocorrelations parsial, Quenouille (1949) telah menunjukkan bahwa, di bawah hipotesis bahwa AR (p) model benar, autocorrelations parsial diperkirakan pada tertinggal lebih besar dari p sekitar secara independen terdistribusi normal dengan nol berarti dan varians 1 πΞ€ . Dengan demikian Β± 2 ΞΎπΞ€ dapat digunakan sebagai batas kritis pada πππ untuk k > p untuk menguji hipotesis dari (p) model AR.
RUNTUN YANG DISIMULASI
Untuk mengilustrasikan teori bagian 6.1 dan 6.2, kita akan menganggap sampel fungsi autokorelasi dan sampel fungsi autokorelasi parsial dari beberapa runtun waktu yang disimulasi.
EXHIBIT 6.1 sampel fungsi autokorelasi (ACF) untuk white noise dgn n=121
Dari gambar tersebut maka jelas bahwa korelasi(rk) dari 21 sampel diatas terletak diantara +0.18 dan -0.18
2018161412108642
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Lag
Auto
corr
ela
tion
Autocorrelation Function for white noise(with 5% significance limits for the autocorrelations)
Dari pers. 6.3 dapat dihitung standar deviasi
dari rk yaitu1/βn=1/ β121
=0.09
Sehingga interval konvidensi 95% dari
rk adalah Β±0.18
EXHIBIT 6.2 sampel fungsi autokorelasi parsial (PACF) untuk white noise dengan n=121
2018161412108642
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Lag
Part
ial A
uto
corr
ela
tion
Partial Autocorrelation Function for white noise(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
Karena white noise dapat dianggap sbg AR(p) dgn p=0
(Quenouilleβs (1949) ) maka dapat digunakan untuk
menduga signifikansi dari estimasi.
Disini tidak ada lagi dari 21 nilai PACF
yang melampaui
batas.
EXHIBIT 6.3 sampel fungsi autokorelasi untuk runtun AR(1) dengan =0.9 dan disimulasi n sebanyak 59β
161412108642
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Lag
Auto
corr
ela
tion
Autocorrelation Function for AR(1)(with 5% significance limits for the autocorrelations)
Nilai yg diestimasi Οk = Γk untuk k=0,1,2,β¦ maka Ο1 =0.9 dan Ο2 =0.81.
dari table 6.1 standar deviasi r1 kira-kira , dan r2
Pada umumnya, plot menunjukkan
kecenderungan eksponensial
kemudian menghilang
dengan meningkatnya lag.
EXHIBIT 6.4 sampel fungsi autokorelasi parsial untuk runtun AR(1)
dengan =0.9 dan n=59β
Interval kon vidensi 95% sebesar Β±2/βn= Β±2/β59=0.26
161412108642
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Lag
Part
ial A
uto
corr
ela
tion
Partial Autocorrelation Function for AR(1)(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
EXHIBIT 6.5 sampel fungsi autokorelasi untuk runtun AR(1) dengan =0.4 dan n=119β
2018161412108642
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Lag
Auto
corr
ela
tion
Autocorrelation Function for AR(1)(with 5% significance limits for the autocorrelations)
Οk = Γk
Maka Ο1 =0.4 dan Ο2 =0.16
Yang telah diestimasi dengan r1
=0.409 dan r2 =0.198
EXHIBIT 6.6 sampel fungsi autokorelasi parsial untuk runtun AR(1) dengan =0.4 dan n=119β
2018161412108642
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Lag
Part
ial A
uto
corr
ela
tion
Partial Autocorrelation Function for AR(1)(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
Interval kon vidensi 95% sebesar Β±2/βn= Β±2/β119=0.183
Terdapat satu nilai autokorelasi parsial yang tidak signifikan yaitu
lag pertama
EXHIBIT 6.7 sampel fungsi autokorelasi (ACF)untuk runtun AR(1) dengan =-0.7 dan n=119β
Dari gambar terlihat adanya osilasi (variasi periodik terhadap waktu) dalam ACF ketika nilai =-0.7β
2018161412108642
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Lag
Auto
corr
ela
tion
Autocorrelation Function for AR(1)(with 5% significance limits for the autocorrelations)
EXHIBIT 6.8 sampel fungsi autokorelasi parsial (PACF) untuk runtun AR(1) dengan =-0.7 dan n=119β
2018161412108642
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Lag
Part
ial A
uto
corr
ela
tion
Partial Autocorrelation Function for AR(1)(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
EXHIBIT 6.9 sampel fungsi autokorelasi untuk runtun AR(2) dengan β 1=1.5 dan β 2=-0.75 dan n=119
2018161412108642
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Lag
Auto
corr
ela
tion
Autocorrelation Function for AR(2)(with 5% significance limits for the autocorrelations)
Menunjukkan adanya damped sine wave (lembah gelombang sinus) dengan 12 periode dan damping factor=0.866. dan
mengosilasi dengan periode kira-kira 11 atau 12
EXHIBIT 6.10 sampel fungsi autokorelasi parsial untuk runtuk AR(2) dengan β 1=1.5 dan β 2=-0.75 dan n=119
2018161412108642
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Lag
Part
ial A
uto
corr
ela
tion
Partial Autocorrelation Function for AR(2)(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
Interval konvidensi 95% adalah sebesar
EXHIBIT 6.11 sampel fungsi autokorelasi untuk runtun MA(1) dengan ΞΈ=0.9 denga n=120
2018161412108642
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Lag
Auto
corr
ela
tion
Autocorrelation Function for MA(1)(with 5% significance limits for the autocorrelations) dari table 6.2
standar deviasi dari r1 kira-kira
konfidensi 95%
dari r1 sebesar
r1 = -0.519Untuk lag lebih besar dari 1, table 6.2
memberikan standar deviasi dari rk yaitu
Dan interval konvidensinya sebesar
EXHIBIT 6.12 sampel fungsi autokorelasi parsial untuk runtun MA(1) dengan ΞΈ=0.9 dengan n=120
2018161412108642
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Lag
Part
ial A
uto
corr
ela
tion
Partial Autocorrelation Function for MA(1)(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
EXHIBIT 6.13 sampel fungsi autokorelasi untuk runtuk ARMA(1.1) dengan =0.8 dan ΞΈ=0.4 dengan n=99 β
18161412108642
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Lag
Auto
corr
ela
tion
Autocorrelation Function for ARMA(1,1)(with 5% significance limits for the autocorrelations)
EXHIBIT 6.14 sampel fungsi autokorelasi parsial untuk runtuk ARMA(1.1) dengan =0.8 dan ΞΈ=0.4 dengan n=99 β
18161412108642
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Lag
Part
ial A
uto
corr
ela
tion
Partial Autocorrelation Function for ARMA(1,1)(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
NONSTATIONARY
model ARMA Time series plot
ACF
tidak jelas apakah ACF mengestimasi untuk proses nonstasioner
Misalnya:Menggunakan hasil deviasi yang di lag kan dari mean dari pembilang dan penyebut mengasumsikan variansi yang konstan
Definisi fungsi autokorelasi secara implisit mengasumsikan stasioneritas
Namun demikian,untuk series nonstasioner , ACF biasanya menghilang dengan
cepat. Nilai rk tidak harus terlalu tinggi bahkan untuk lag yang rendah,tetapi harus sering muncul.
Exhibit 6.15 memberikan sampel ACF untuk IMA(1,1 dengan =0.4
6.15 Fungsi Autokorelasi sampel untuk runtun IMA(1,1) yang di difference satu kali dengan =0.4
Kemudian dibuat plot time series Zt untuk memeriksa stasioneritas
Jika differencing pertama dan sampel ACF nya belum sesuai stasioneritas model ARMA , maka didiferencing lagi kemudian menghitung kembali ACF sampai sesuai dengan proses stasioner ARMA.
Selain menggunakan differensing juga bisa menggunakan transformasi logaritma atau bisa juga menggunakan transformasi pangkat agar dapat mencapai stasioner.
Dari latihan 2.6 pada chapter 1 kita mengetahui difference dari proses stasioner juga stasioner. Dan difference dari proses tidak stasioner bisa menghasilkan proses stasioner.
Namun, differensing yang berlebihan cenderung menghasilkan korelasi yang besar dalam model dan mungkin membuat model yang relatif sederhana menjadi kompleks.
Dengan contoh, andaikan series observasi random walk maka:
Jika didifferencing sekali maka peroleh
Yang merupakan model MA(1) dengan = 1.
Wt = Zt β Zt-1 = at
Wt = at β at-1
OVERDIFFERENCING
Zt = at β at-1
SPESIFIKASI DARI BEBERAPA RUNTUN WAKTU AKTUAL
Misalkan sekarang spesifikasi model untuk beberapa runtun waktu aktual. Kembali pada tingkat pengangguran kuartalan pada bab 1.
Runtun waktu diplot dalam Exhibit 1.1. Plot menunjukkan perubahan atas waktu dan kita mengharapkan korelasi positif pada lag rendah.
Hal ini dalam ACF sampel yang diberikan dalam Exhibit 6.17 yang menyarankan pendekatan model AR(2). Dalam hal ini n=121 dan 2/n = 0,18 sehingga tidak ada nilai PACF yang berbeda secara signifikan dengan nol untuk lag melampaui 2.
Dengan korelasi kuat pada lag 1, kita akan memutuskan juga untuk menganggap model non stasioner dengan d=1 tetapi AR(2) nampak menjadi pilihan pertama kita.
Misalkan sekarang spesifikasi model untuk beberapa runtun waktu aktual. Kembali pada data tingkat pengangguran kuartalan pada bab 1.
Runtun waktu diplot dalam Exhibit 1.1. Plot menunjukkan perubahan atas waktu dan kita mengharapkan korelasi positif pada lag rendah.
Time series plot untuk data tingkat pengangguran kuartalan
ACF dari data tingkat pengangguran kuartalan
Exhibit 6.17
Terdapat penurunan secara exponensial dari plot ACF diatas
PACF dari data tingkat pengangguran kuartalan
tidak ada nilai PACF yang berbeda secara signifikan dengan nol untuk lag melampaui 2. Jadi berdasarkan ACF dan PACF dapat
disimpulkan bahwa modelnya adalah AR(2)
Time series plot untuk data AA railroad bond yield
Plot time series dalam Exhibit 5.2 secara kuat menunjukkan model tidak stasioner.
ACF dari data AA Railroad
Exhibit 6.19
Exhibit 6.20 menunjukkan ACF dari diferensing pertama
Exhibit 6.21 menunjukkan PACF dari diferensing pertama
Exhibit 6.20 dan Exhibit 6.21 menunjukkan ACF dan PACF dari diferensi pertama dari mirip model AR(1).
Hal itu berarti model yang dispesifikasi untuk deret runtun waktu aslinya adalah ARI(1,1).
METODE SPESIFIKASI YANG LAIN Sejumlah pendekatan yang lain untuk spesifikasi
model telah diinvestigasi oleh Box dan Jenkins.
Salah satunya yang diteliti oleh Akaike dengan mengusulkan AIC (Akaike Information Criteria). Di sini kita menyeleksi model yang meminimalkan
AIC = - 2 log(maximum likelihood) + 2 k dengan k adalah total banyak parameter AR dan
MA dalam model.
Recommended