Determinantes.Nos proponemos definir el determinate de una matriz Anxn.

Para matrices 2x2 

 Para matrices 3x3: 

 Ejemplo: 

 1(-2) - 1(2) + (-1) 0 = -2 -2 = - 4 

Para generalizar a matrices nxn definimos para cada 1 i, j n “le menor i, j ” de una matriz nxn : 

 La menor i, j de A es la matriz (n-1)x(n-1) obtenida de A por eliminación de la fila i y la columna j en A. Mostramos a continuación la menor de A con la fila (i) y columna (j) eliminadas rayadas 

 

Ejemplos:

   

 A continuación mostramos todas las menores de la última matriz: 

 El cofactor i, j de una matriz nxn es Aij = (-1)i + j |Mij| (hasta ahora sólo podemos hablar de cofactores de matrices 4x 4 a lo sumo, pues sus menores son 3x3 y se sabe cómo calcular esos determinantes)Ejemplos: 

 sus menores fueron calculadas, por lo tanto sus cofactores son:  

  

A11 = (-1)1+1 | M11 | = = -5, A13 = (-1)1+3 = -1 y A14 = (-1)1+4 = 3  El estudiante debe verificar las cuentas. Definimos ahora para matrices A4x4=(aij) su determinante como det(A) = a11A11 + a12A12 + a13A13 + a14A14  con lo cual se puede ahora calcular el determinante de una matriz 4x4 y los cofactores de una matriz 5x5, con los cofactores de una matriz 5x5 se puede calcular el determinante de una matriz 5x5 y los cofactores de una matriz 6x6...y así sucesivamente el determinante de cualquier matriz cuadrada. Por ejemplo, el determinante de una matriz 4x4: 

    det(A) = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 + a14 A14 = 1(-5) + 0A12 + 2(-1) + 1(3) = -4. Para matrices nxn en general la definición formal del determinante es como sigue: 

 

 la definición de determinante que hemos dado es lo que se conoce como el desarrollo por la primera fila de la matriz A pues los cofactores se multiplican por la entrada de la primera fila de la matriz A y luego se suman. Se puede probar, y se hace en dos artículos en el enlace Notas del Profesor, que el desarrollo del determinante puede hacerse por cualquier fila o columna, es decir:

 

y

  

 el desarrollo del determinante por la ultima fila es:|A| = a31A31 + a32A32 + a33A33 = (-1)(0) + (1)(-2) + (1)(-2) = -4 (los cálculos de los cofactores se hicieron arriba) y el desarrollo por la segunda columna:| A | = a12A12 + a22A22 + a32A32 = 1(-2) + (-1)0 + 1(-2) = -4.