Dicas Surfer 01

8/7/2019 Dicas Surfer 01

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Introduo aos mtodos de estimao espacialpara confeco de mapas

PAULO M. BARBOSA LANDIMProfessor Voluntrio do Depto. Geologia Aplicada

UNESP/Rio Claro

UNESP/campus de Rio ClaroDepartamento de Geologia Aplicada - IGCE Laboratrio de Geomatemtica

Texto Didtico 022000

Reproduo autorizada desde que citada a fonteNorma 6023-2000/ABNT (http://www.abnt.org.br):LANDIM, P.M.B. Introduo aos mtodos de estimao espacial para confeco de mapas.DGA,IGCE,UNESP/Rio Claro, Lab. Geomatemtica,Texto Didtico 02, 20 pp. 2000. Disponvel em.


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MTODOS DE ESTIMAO ESPACIAL PARA CONFECO DE MAPAS

Natureza dos dados geolgicos qualitativos: cor do solo

grau de alterao

mineralogiatipo de rochatexturaestrutura, etc.

quantitativos:teor de elementos maior e/ou traopropriedades fsicas de rochasespessura de camadasmedidas geofsicasdados de aerolevantamentos, etc.

Interpolao procedimento matemtico de ajuste de uma funo pontos no amostrados,baseando-se em valores obtidos em pontos amostrados

definio do reticulado, espaamento e origem reticulagem estimando o valor de cada n por seleo de pontos prximos com

valores conhecidos observaes discretas em rede de amostragem filtragem dos valores dos ns de modo a suavizar os contornos resultantes e

permitir o melhor ajuste com os valores originais resultado: mapas e sistemas de informaes georreferenciadas interpoladores exatos (resduo nulo) e aproximados ( algum resduo)

Campo de validade da interpolao geolgica (soft data) quantitativa (hard data)

Mtodos de interpolao funes globais: consideram todos os pontos da rea; permite interpolar o valor da

funo em qualquer ponto dentro do domnio dos dados originais; a adio ouremoo de um valor ter conseqncias no domnio de definio da funo

polinmios equaes multiqudricas funes locais: definidas para pores do mapa; alterao de um valor afetara

localmente os pontos prximos ao mesmo triangulao inverso da potncia das distncias base radial ( krigagem, multiqudrica-biharmnica, splines)

Avaliao dos mtodos de interpolao Um mtodo "melhor" do que outro?

Quo fiel aos dados originais o resultado obtido? A superfcie estimada representa uma soluo plausvel? resultado esteticamente agradvel?


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Interpolao ideal superfcie interpolada ajusta-se aos dados a um determinado nvel de preciso, ou

seja, fiel aos dados dentro de um limite arbitrrio definido pelo usurio superfcie interpolada contnua e suave em todos os locais, ou seja, tem um

gradiente finito em todo local onde a interpolao for necessria cada valor interpolado depende apenas do subgrupo local de dados, e os membros

deste subgrupo so determinados somente pela configurao dos dados que, dealgum modo, so prximos ao ponto interpolado

mtodo de interpolao pode ser aplicado todas as configuraes e padres dedensidade dos dados.


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MTODOS DE ESTIMAO PARA MODELAGEM DE SUPERFCIES

TRIANGULAO: conecta pontos amostrados atravs de tringulos e interpola osvalores entre eles; so considerados mtodos de estimao diretos, pois os contornosderivam do padro original dos dados; no permite a extrapolao, as estimativaslimitam-se estritamente rea amostrada.

RETICULAO (GRIDDING): estabelece uma grade regular (grid) sobre a reaestudada e calcula os valores nos ns do reticulado com base nos valores dos pontos j amostrados; so considerados mtodos de estimao indiretos, uma vez que oscontornos so construdos a partir dos dados estimados para os ns da grade e no apartir dos dados originais; permite tanto a interpolao quanto a extrapolao devaloresum algoritmo matemtico utilizado para ajustar uma superfcie atravs dos dadosestimados para os ns; h um grande nmero de algoritmos e os mais utilizados soinverso ponderado da distncia, mnima curvatura, superfcie de tendncia e krigagem;

Razes para estimar por reticulao Razes para no faz-lo

a partir de dados irregularmente amostrados sooriginados um nmero maior dispostos em rederegular

extrapola a superfcie estimada para alm dos limitesda rea amostrada

possui dados regularmente espaados para:

obter melhores isolinhas ; realizar operaes matemticas entre gridsutilizando operadores +,-,*,/,^ ou operadoresbooleanos

conforme o mtodo de estimao selecionadopode-se 'suavizar ou realar' a variabilidade dasuperfcie estimada.

os valores podem ser extrapolados de formaincorreta nas reas com pouco ou nenhumdado; como resultado, a preciso pode sersacrificada e os contornos invlidos.

descontinuidades so dificilmentemodeladas

artefatos (artifacts) podem ser introduzidos;padres 'fantasma' no reais:

rudos (noise) matemticos; ondulaes irreais na superfcie emreas entre pontos amostradosirregularmente.

muitas tentativas podem sernecessrias para identificar a melhoropo.

TRIANGULAO LINEAR

pares de dados so unidos por linhas retas para formao de uma rede triangular(triangular network);

uma equao matemtica (algoritmo) utilizada para ajustar uma superfcie atravsdos pontos de dados; vrios algoritmos encontram-se disponveis, mas os maisutilizados so a triangulao linear e a de Delaunay.

pontos estimados de igual valor (isovalores) entre os dados medidos e posicionadosnos vrtices dos tringulos so conectados para os intervalos especificados.


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Vantagens Desvantagens

fcil de ser entendido

rpido

fiel aos dados originais

bom para uma visualizao rpida

superfcie pode ser interpolada entre os pontosamostrados.

valores acima ou abaixo dos valores reais nopodem ser extrapolados.

valores alm da rea de distribuio dos pontosamostrados no podem ser extrapolados.

contornos podem ser 'angulares' nas bordas dostringulos.

gera superfcies angulares. rede triangular no nica e isso pode distorcer

resultados.

Quando usar Quando no usar

distribuio de dados bem regular. Valores estimados necessrios apenas dentro da

rea amostrada.

Presena de grandes diferenas entre os dados(encostas ngremes, dados de contaminao comgrande variabilidade)

Dados topogrficos

ao se desejar um mapa com contornos suaves alguns dados coletados em linhas e outros com

distribuio irregular.

com grande volume de dados computao podetornar-se lenta

MTODO DO INVERSO PONDERADO DA DISTNCIA

mais utilizado dentre os mtodos de distncia ponderada

mtodo utilizado para interpolao e gerao de MDTs (modelos digitais deterreno) o peso dado durante a interpolao tal que a influncia de um ponto amostrado

em relao a outro diminui conforme aumenta a distncia ao n da grade a serestimado

pontos amostrados de localizao prxima ao n a ser estimado recebem pesomaior que os pontos amostrados de localizao mais distante

ao calcular o valor de um n, a soma de todos os pesos dados aos pontosamostrados vizinhos igual a 1,0, ou seja, atribudo um peso proporcional contribuio de cada ponto vizinho

quando a posio de uma observao coincide com um n, seu valor recebe peso

1,0, enquanto todos os valores vizinhos recebem peso 0,0; o resultado ser o nrecebendo o valor exato da observao ali situada

Z

Zi

hiji

n

hiji

n=

=

=

1

1

1


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Z valor interpolado para o n do reticulado (grid);Zi valor ( resduo) do ponto amostrado vizinho ao n (pode ser Zres+,Zres- ou Zres0);hijdistncia entre o n da grade e Zi

expoente de ponderao (peso)n nmero de pontos amostrados utilizados para interpolar cada n.

o expoente de ponderao pode ser selecionado os resultados so variveis, desde altamente tendenciosos a favor dos pontos mais

prximos a resultados onde o peso praticamente o mesmo para todos os pontosprximos

o expoente tem os seguintes efeitos sobre os resultados estimados: expoentes baixos (0-2): destacam anomalias locais expoentes altos (3-5): suavizam anomalias locais expoentes 10: resultam em estimativas "poligonais" (planas) expoente = zero: resulta em estimativas de "mdia mvel" expoente = 2: inverso do quadrado da distncia (IQD)


fcil de entender matematicamente. algoritmo bem conhecido e discutido disponvel em muitos softwares. utiliza pouco tempo de computao. razoavelmente fiel aos valores amostrados

originais.

no estima valores de Zi maiores ou menoresque os valores mximos e mnimos dos dados;bom para estimativas de espessura,

concentrao qumica e propriedades fsicas muito bom para analisar variaes de pequena

amplitude (anomalias) entre os dadosirregularmente distribudos.

bom estimador para propsitos gerais.

no estima valores de Zi maiores ou menoresque os valores mximos e mnimos dos dados;ruim para estimativas de dados estruturais, isto ,para determinar o topo ou a base de horizontesestratigrficos ou litolgicos.

muito difcil obter a localizao precisa de umadeterminada isolinha se os valores amostradosno contiverem este valor; difcil projetar a curvade altitude zero se os dados no contiverem zeroou valores negativos.

Influncia de valores locais anmalos dificilmente removida; dados em clusters podeminfluenciar as estimativas de modo bastantetendencioso.

cria muitos artefatos, o que pode ser reduzido oueliminado se o raio de busca for reduzido, se atendncia for removida previamente e se ocorrermudanas no expoente utilizado, no tamanho dagrade, no nmero de pontos utilizados eponderao direcional.


estimativas de propsito geral. distribuio uniforme de dados. boa densidade de dados. para destacar anomalias locais. para clcular volume em operaes entre grids.

dados agrupados tendncia pronunciada presente. dados com falhas e distribudos de forma

esparsa.

no quiser artefatos.

MNIMA CURVATURA

contnua aos pontos de dados irregularmente distribudos mtodo segundo o qualequaes diferenciais ajustam uma superfcie


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um valor inicial de Zi calculado para cada n das clulas a partir dos pontosprximos

so efetuados clculos de derivao repetidamente at que seja alcanada umadiferena (convergncia ou tolerncia) entre os valores amostrados e os estimados,especificada pelo usurio, ou at que um nmero mximo de interaes sejaalcanado

mapas geradas apresentam contornos muito suaves pelo menos um ponto amostrado em cada clula da malha tem seu valor respeitado de

forma fiel (honored) artefatos indesejveis so gerados especialmente no interior das clulas onde o valor

inicial de Z calculado utilizando a mdia global dos valores amostrados; ocorrequando no h valores amostrados dentro ou prximos da clula cujo n deve serestimado; outra fonte geradora de artefatos nmero insuficiente de interaes.

4ZE= 0 com a existncia da seguinte condio: 2ZE= 0

onde: = equao diferencialZE= valor estimado para o n da clula

o algoritmo calcula a quarta derivada:

0

44

=+ Ey

E

x

ZZ


superfcie estimada independente da

distribuio dos dados e da presena de rudo(noise).

superfcie estimada a mais suave entre asgeradas pelos outros algoritmos que ajustamsuperfcies aos dados amostrados.

superfcie absolutamente fiel aos dadosoriginais se houver apenas um valor amostradopor clula.

menor nmero de artefatos, com exceo dasbordas e interior de clulas sem amostragem.

capaz de estimar alm dos valores mximo emnimo dos dados amostrados.

superfcie suave gerada, quer realmente exista

ou no. havendo dados prximos s bordas pode haver

gerao de depresses ou picos nas bordas domapa.

formas estranhas (artefatos) podem surgir nocentro das clulas que no contm pontosamostrados e se um nmero insuficiente deinteraes for especificado.


para suavizar dados altamente anmalos. para obter uma soluo nica. contornos fiis aos dados originais.

quando a superfcie a ser modelada possuirquebras bruscas , como por exemplo planaltos eescarpas ou montanhas e pedimentos/lequesaluviais.

descontinuidades como falhas ouinconformidades estiverem presentes.

estas formas podem ser modeladas pormnima curvatura desde que sejamestabelecidos os controles adequados:

muitas interaes e pequena convergncia;estas especificaes resultam em um tempomuito longo de computao.


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SUPERFCIE DE TENDNCIA

mtodo pelo qual uma superfcie contnua ajustada, por critrios de regresso pormnimos quadrados, aos valores de Zi como uma funo linear das coordenadas X-Ydos pontos amostrados e irregularmente distribudos

a equao matemtica utilizada para o ajuste da superfcie baseia-se nos polinomios

no-ortogonais o ajuste incrementado pela adio de termos adicionais (ordens) equao

polinomial aps o ajuste da superfcie aos dados amostrados, segundo o grau desejado, os

valores de Zc para os ns da grade so calculados Aps a soluo das equaes as mesmas com a determinao dos coeficientes, as

equaes so utilizadas para o clculo de Z para qualquer valor de X-Y, no caso alocalizao dos ns das clulas da grade

se necessrio, possvel calcular os resduos entre a superfcie gerada e os valoresoriginais.

podem ser obtidos contornos muito suaves. As isolinhas podem no ser fiis aosdados originais tcnica adequada para "remoo" de tendncias e destaque de resduos. alguns artefatos indesejados podem ser gerados nas bordas e no interior do mapa

quando houver reas sem dados amostrados e com a utilizao de ordens polinomiaiselevadas.

Primeira ordem: ZE = A + Bx + Cy

Segunda ordem: ZE = A + Bx + Cy + Dx2 + Exy + Fy2

Terceira ordem: ZE = A + Bx + Cy + Dx2 + Exy + Fy2 + Gx2 + Hx2 + Ixy2 + Jy3

Quarta ordem: ZE = A + Bx + Cy + Dx2 + Exy + Fy2 + Gx2 + Hx2 + Ixy2 + Jy3 + Kx4 +

+ Lx3y + Mx2y2 + Nxy3 + Oy4

Onde:

ZE = Valor estimado de Z para o n da clula (varivel dependente)X e Y = Coordenadas x e y (variveis independentes)A ... O = Coeficientes que proporcionam o melhor ajuste aos dados amostrados.


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uma nica superfcie gerada. fcil definio de parmetros. a mesma superfcie gerada mesmo com

mudana na orientao da grade. tempo para clculo de superfcies de baixaordem baixo.

contempla tanto as tendncias regionais quantoanomalias locais.

estima valores acima e abaixo dos amostrados.

extrapola valores de Z para alm dos limites darea amostrada.

anomalias locais no so vistas em mapas desuperfcies de baixa ordem, porm podem serdestacadas em mapas para os resduos.

utilizao torna-se facilmente abusiva: atentao de especificar um ajuste de umasuperfcie de alta ordem pode ser maior do que obom senso quanto ao resultado

a quantia de RAM necessria aumentaexponencialmente com o aumento da ordem dopolinmio.


nmero adequado de pontos amostrados estiverdisponvel, sempre maior que o nmero decoeficientes da equao:

ordem=1, coeficientes=2, pontos 3 Ordem=2, coeficientes=5, pontos 5 dados forem regularmente distribudos. como um "pr-processamento", para

remover a tendncia regional antes dekrigar ou estimar por IQD.

"gerar" novos dados em reas com dadosesparsos.

poucos dados, com distribuio irregular ou parauma superfcie real com alta variabilidade local

pontos amostrados em clusters e valores de Zaltamente variveis.

superfcie for descontnua por falhas ouinconformidades.

amplitude da superfcie variar drasticamente ouerraticamente: anomalias locais de grandevariao.

KRIGAGEM

mtodo geoestatstico que leva em considerao as caractersticas espaciais deautocorrelao de variveis regionalizadas

nas variveis regionalizadas deve existir uma certa continuidade espacial, o quepermite que os dados obtidos por amostragem de certos pontos possam serusados para parametrizar a estimao de pontos onde o valor da varivel sejadesconhecido

ao ser constatado que a varivel no possui continuidade espacial na reaestudada, no h sentido lgico em estimar/interpolar usando-se a krigagem

nico meio disponvel para se verificar a existncia ou no de continuidadeespacial e, se houver, quais os parmetros que caracterizam este comportamentoregionalizado, a anlise variogrfica


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utiliza distncias ponderadas e estimao por mdias mveis pelo qual os pesosadequados so obtidos a partir de um variograma, representativo da mdia dasdiferenas ao quadrado dos valores irregularmente distribudos de Zi a intervalosde distncias especificados (lags)

necessrio um sistema de equaes em matrizes, no qual so usados os

parmetros variogrficos, para a obteno dos pesos a serem usados para oclculo do valor do ponto a ser estimado/interpolado

Quando um variograma adequadamente elaborado, a estimativa por krigagemresultante reconhecida como sendo a estimativa linear melhor e no tendenciosa(BLUE = best, linear, unbiased estimate)


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valores estimados baseiam-se no variograma; se for apropriado,fornece as seguintes informaes:

parmetros adequados de amostragem: nmero de amostras,distribuio e densidade;

parmetros adequados de busca: tamanho da rea de busca,forma (circular ou elipside) e, se elipside, orientao do eixoprincipal;

parmetros adequados da grade: tamanho das clulas, formae orientao;

natureza da distribuio espacial da varivel investigada:uniformidade da distribuio, importncia relativa da influnciaespacial x casual;

previsibilidade da variao espacial da varivel avaliada. se o variograma for apropriado controla a krigagem, com as

seguintes vantagens:

evita ponderao arbitrria dos pontos amostrados; permite a determinao das melhores estimativas sem

tendenciosidade: o melhor estimador aquele que produz amelhor preciso (menor varincia);

permite o estabelecimento de limites de confiana, indicandose os resultados so aceitveis e se a estratgia deamostragem deve ser modificada;

preciso, contornos suaves, artefatos indesejveis raros a noser nas bordas do mapa.

interpolador exato: os valores estimados para os ns dasclulas exatamente igual ao valor amostrado naquelaposio.

estima alm dos limites mximo e mnimo dos valores dospontos amostrados.

modela tanto tendncias regionais quanto anomalias locais. calcula varincias dos pontos estimados(erros), que podem

ser utilizadas para:

quantificar um intervalo de valores () para os pontosestimados, definindo estimativas realistas;

calcular intervalos de confiana para verificar a probabilidadedos valores ocorrerem dentro de um intervalo de 2 unidadesde desvio padro da mdia; varincias mapeadas podemindicar locais para adensamento da amostragem

O usurio pode nocompreender o uso dos controlesmatemticos e apesar distoresultados so sempre obtidos.

necessrio tempo parapreparo do variograma eentendimento de geoestatstica.

Pode no ser possvel aconstruo de um variogramaadequado devido natureza davariao espacial da varivelanalisada. Isto pode ocorrerdevido magnitude daamostragem e por errosanalticos.

Requer longo tempo de

computao para grupos dedados grandes ou complexos.

Necessidade de softwarecapacitado.


Estiverem presentes tanto tendncias regionais quanto anomaliaslocais.

Anomalia local no presente em toda a rea, por ex. em ambientefluvial.

Quiser estimar com base em uma mdia global. Tiver dados irregularmente amostrados ou agrupados (clustered).

Menos de 30 pontosamostrados: nmero insuficientede pares para modelar ovariograma.

Valores discrepantes de Z:remov-los antecipadamente.

Erro grande e inexplicado (efeitopepita pronunciado)*.

Amostras de populaesDiversas


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COMPARAO ENTRE ALGORITMOS (Krajewski & Gibbs, 1966)

Algoritmo Fidelidade aosdadosoriginais

Suavidade dascurvas

Velocidade decomputao

Preciso geral

Triangulao 1 5 1 5

Inverso da Distncia 3 4 2 4Superfcie/ Tendncia 5 1 3 2Mnima Curvatura 4 2 4 3Krigagem 2 3 5 11 = melhor 5 = pior

SOFTWARE PARA ESTIMAO DO RETICULADO (SURFER)

Fornecidos n valores conhecidos, regularmente distribudos ou no,

Z1, Z2,........., Zn,o valor a ser interpolado para qualquer n da rede ser igual a

iij

n

ij ZwG

1==

jG =valor estimado para o n j

n = nmero de pontos usados para a interpolao

iz = valor estimador no ponto i com valor conhecido

ijw =peso associado ao valor estimador i

Mtodos

inverso do quadrado da distncia krigagem curvatura mnima mtodo de Shepard vizinhana regresso polinomial funo de base radial triangulao Diferenas entre mtodos: de que modo os fatores de ponderao so calculados e

aplicados durante a reticulagem.

EXEMPLO O arquivo de dados foi retirado do arquivo example.dat, que acompanha o programa

GeoEas, para a varivel cadmio.


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13

X Y Cd

288 311 11.5

285.6 288 8.5

273.6 269 7

280.8 249 10.7

273.6 231 11.2

276 206 11.6

285.6 182 7.2

288 164 5.7

292.8 137 5.2

278.4 119 7.2

360 315 3.9

355.2 291 9.5

367.2 272 8.9

367.2 250 11.5

352.8 226 10.7

350.4 203 8.3

369.6 180 6.1

369.6 165 6.7

357.6 139 6.2

355.2 118 0

X Y Cd434.4 312 5.5

451.2 295 4

448.8 268 7

432 252 5.3

441.6 228 11.6

441.6 204 9

444 182 14.5

441.6 160 12.1

432 140 0.9

444 119 0

254.4 172 3.2

254.4 128 1.2

254.4 299 1.7

333.6 301 1.2333.6 271 7.6

333.6 194 11.6

333.6 163 8.7

412.8 285 5.8

254.4 257 3.8

412.8 172 10.4

X Y Cd412.8 150 10

492 282 7.1

492 249 4.4

492 315 10.4

492 150 1.6

444 190 15

436.8 240 3.4

360 195 6.8

345.6 210 10.8

254.4 216 14.9

280.8 216 9.9

307.2 216 11.6

333.6 216 6.5

360 216 10.1

386.4 216 11.8

412.8 216 11

439.2 216 16.7

465.6 216 11.6

492 216 6.9

345.6 216 9.9


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15

260.00 280.00 300.00 320.00 340.00 360.00 380.00 400.00 420.00 440.00 460.00 480.00

120.00

140.00

160.00

180.00

200.00

220.00

240.00

260.00

280.00

300.00

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

9.00

10.00

11.00

12.00

13.00

14.00

15.00

16.00

Inverso do quadrado da distncia

260.00 280.00 300.00 320.00 340.00 360.00 380.00 400.00 420.00 440.00 460.00 480.00

120.00

140.00

160.00

180.00

200.00

220.00

240.00

260.00

280.00

300.00

-8.00

-6.00

-4.00

-2.00

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

16.00

Curvatura mnima


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16

260.00 280.00 300.00 320.00 340.00 360.00 380.00 400.00 420.00 440.00 460.00 480.00

120.00

140.00

160.00

180.00

200.00

220.00

240.00

260.00

280.00

300.00

7.00

7.10

7.20

7.30

7.40

7.50

7.60

7.70

7.80

7.90

8.00

8.10

8.20

8.30

8.40

8.50

8.60

Superfcie de tendncia de grau 1

260.00 280.00 300.00 320.00 340.00 360.00 380.00 400.00 420.00 440.00 460.00 480.00

120.00

140.00

160.00

180.00

200.00

220.00

240.00

260.00

280.00

300.00

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

9.00

10.00

11.00

12.00

13.00

14.00

15.00

16.00

Triangulao linear


17/18

17

260.00 280.00 300.00 320.00 340.00 360.00 380.00 400.00 420.00 440.00 460.00 480.00

120.00

140.00

160.00

180.00

200.00

220.00

240.00

260.00

280.00

300.00

-1.00

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

9.00

10.00

11.00

12.00

13.00

14.00

15.00

16.00

Krigagem

Distancia "h"

Cd:Variogramas Experimental e Exponencial

0. 40. 80. 120. 16

.0

4.0

8.0

12.0

16.0

20.0


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BIBLIOGRAFIA

Krajewski, S.A. & Gibbs, B.L. (1966) Understanding Contouring: A pratical Guide toSpatial Estimation and Contouring Using a Computer and Basics of Using Variograms:Gibbs Associates

Landim, P.M.B. (1998) Anlise Estatstica de Dados Geolgiocos: Editora Unesp

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SUGESTES

Dvidas, questes, sugestes, etc. sobre o texto devero ser encaminhadas para oendereo [email protected], as quais sero sempre bem recebidas.

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