Didact mathsahmed

1

مصوغة دیداكتیك الریاضیات

:إعداد

عبد المومن الغزالي

عبد السالم الیعقوبي

عبد القادر بوعیشیة

لاعبد اللطیف زریو

2

I.تقدیم:، سواء من حیث محتویات المادة أو من جھة المقاربة عرف تدریس الریاضیات بالمغرب تطورا مستمرا منذ االستقالل إلى اآلن

من الطرق التقلیدیة في التدریس وتقدیم المفاھیم الریاضیة في شكلھا النھائي وھكذا انتقلنا .التدریسالبیداغوجیة وطرق إلى المرحلة الحالیة التي تم خاللھا اعتماد المقاربة بالكفایات كخیار ، )maths modernesمرحلة الریاضیات العصریة (والجاھز

.بیداغوجي یھم جمیع المواد بما فیھا الریاضیات

مدة غیر قصیرة ومنذ قد اعتمدت)إعدادي وتأھیلي(التوجیھات التربویة لتدریس مادة الریاضیات بالثانوي بخالف باقي المواد، فإن وبناء على وتم تبني ھذا االختیار. عا لتعلمھ وفاعال أساسیا لتربیتھمقاربة التدریس باألنشطة الریاضیة التي تتیح للتلمیذ أن یكون صان

لنظریة البنائیة بحوث والدراسات التي تھم علم النفس المعرفي ودیداكتیك الریاضیات، وارتكازا على أسس وفرضیات اتقدم ال.النظریة للمقاربة بالكفایاتالدعامةو التي ستشكل الحقا والسوسیو بنائیة

ت وترصد تدریس الریاضیات حالیا داخل التي رصدإال أن الممارسة التعلیمیة التعلمیة داخل الفصول وحسب العدید من التقاریرأو من ،أو تدریس المفاھیم الریاضیة،األقسام التعلیمیة بالثانوي بسلكیھ، ال زالت في مجملھا تقلیدیة إن على مستوى تخطیط التعلمات

:فيحسب تقاریر التفتیشوتتجلى ھذه الممارسة. جھة التقویم

، تخطیطا وتدبیرا وتقویمااالعتماد الكلي على الكتاب المدرسي-)إن كانت متوفرة(تغییب التوجیھات التربویة -ھیمنة شبھ كلیة لألستاذ على الحصة التعلیمیة -إن لم نقل منعدمة،ضعیفةتظل مساھمة التلمیذ في بناء التعلمات -،المستجدات التربویةوغیاب تخطیط عقالني للدرس یتماشى --................................................

ادعدبإتكلففریق الذيالیقترحوالخاص بالتكوین المستمر،وبناء علیھ وتماشیا مع برنامج العمل السنوي لتنسیق مادة الریاضیات : ةلتالیامصوغة الأرضیة تكوین أساتذة مادة الریاضیات باإلعدادي والتأھیلي

II.الخاصة باإلعداديمصوغة دیداكتیك الریاضیات:المستھدفةالمھنیةالكفایات)1

تملك األدوات النظریة لتدریس المفاھیم الریاضیة بالثانوي-تعلمیة تھم الحساب الحرفي-تصور وإعداد وضعیات تعلیمیة -تقویم تقدم إرساء الموارد ودرجة نماء الكفایة المستھدفة بالحساب الحرفي-تخطیط التعلمات وفق المقاربة بالكفایات -

األساسیةاألھداف )2مسألة لبناء مفھوم ریاضي معین باإلعدادي،اتإنتاج وضعی-والمتطابقةk(a+b) = ka + kbبناء وضعیات تعلمیة لتقدیم المتسلسلة -

o(a + b)(a – b) = a2 – bتحلیل وتصنیف أخطاء التالمیذ المرتبطة بالحساب الحرفي،-بناء وضعیات من أجل تقویم درجة نماء الكفایة المستھدفة من خالل الحساب الجبري، -.مقطع تعلمي من برنامج مادة الریاضیات باإلعداديتخطیط -

:المحاور األساسیة للمصوغة)3المقاربة البنائیة والتدریس عن طریق حل المسائل-أ

الطبیعة اإلبستیمولوجیة للمعرفة الریاضیة-حول التعلمثالثة تصورات -المقاربة البنائیة-الوضعیة المسألة وتدبیر النشاط الریاضي داخل القسم-

3

واالنتقال من النمط الحسابیاتي إلى النمط الجبريباإلعداديالحساب الحرفي -ب،النمط الحسابیاتي والنمط الجبري-،Statut de la lettre)(وضع الحرف -التساوي،المختلفة لعالقةمعانيال-األھداف األساسیة للحساب الحرفي-من اجل التدریس التدریجي للحساب الحرفي باإلعدادي-الحساب الحرفي، امتداد أم قطیعة؟-

:تخطیط التعلمات وفق المقاربة بالكفایات-تنماذج من واقع تدریس الریاضیات باإلعدادي،-

الخطوات األساسیة للتحضیر القبلي للدرس-وثیقة بیداغوجیة-من اإلعداديمثال-

III.مصوغة دیداكتیك الریاضیات الخاصة بالثانوي التأھیلي:الكفایات المستھدفة)1

التأھیليتملك األدوات النظریة لتدریس المفاھیم الریاضیة بالثانوي-تعلمیة تستھدف بناء مفاھیم ریاضیة بالثانوي الـتأھیلي-تصور وإعداد وضعیات تعلیمیة -المقاربة البنائیةتخطیط التعلمات وفق -

األھداف األساسیة)2،الثانوي التأھیليبناء وضعیات مسائل لبناء مفاھیم ریاضیة من برنامج --موضوع-تقدیم العدد العقدي كأداة لحل معادالت من الدرجة الثالثة وتنظیم الدرس وفق جذلیة أداة-

أداة المسائلتصور وتخطیط وضعیات مسألة تبرز أھمیة تغییر اإلطار في حل -النھایات، (بناء وضعیات تعلیمیة تعلمیة تبرز أھمیة تغییر اإلطار في تقریب المفاھیم الریاضیة -

...)الدوران.تخطیط درس-

:المحاور األساسیة للمصوغة)3المقاربة البنائیة والتدریس عن طریق حل المسائل-أ

الطبیعة اإلبستیمولوجیة للمعرفة الریاضیة-التعلمثالثة تصورات حول -المقاربة البنائیة-الوضعیة المسألة وتدبیر النشاط الریاضي داخل القسم-

موضوعكائن-تغییر اإلطار وجدلیة أداة-بابستمولوجیا المعرفة الریاضیة،-عمل الباحث في الریاضیات-وضع األداة ووضع الكائن لدى مفھوم ریاضي معین-تغییر اإلطار-موضوعكائن-أداةلعبة اإلطارات وجذلیة -

تخطیط التعلمات وفق المقاربة البنائیة-تنماذج من واقع التدریس بالثانوي اإلعدادي-الخطوات األساسیة للتحضیر القبلي للدرس-وثیقة بیداغوجیة-.مثال من الثانوي التأھیلي-

4

)تأھیلي-إعدادي (المحور األول المقاربة البنائیة والتدریس عن طریق حل المسائل

I.تقدیم:المدرس والمعرفة :تعلمیة من ثالثة عناصر لھا وجود مادي وتتفاعل فیما بینھا- كل وضعیة تعلیمیة تتشكل

ویتفاعل ھذا المثلث بدوره مع المناخ الحضاري الذي یتواجد . وھو ما یصطلح علیھ بالمثلث التعلیمي. والتلمیذ.فیھ، ومع السیاسة التربویة والقیم المؤسساتیة

تعلیمي تعلمي داخل المدرسة یستھدف تعلیم الریاضیات ینبني على تفاعل المدرس والتلمیذ وھكذا، فكل نشاط ؟ فما ھي طبیعة ھذه المعرفة الریاضیة. والمعرفة الریاضیة

II.طبیعة المعرفة الریاضیة:یقسم بعض الباحثین في دیداكتیك الریاضیات المعرفة الریاضیة إلى أربعة أصناف

واألخطاء من كل الشوائبوخالیةتقدم في شكل جاھز ونھائي:الباحث أو المختصالمعرفة الریاضیة عند -أعن سیاقھا التاریخي وعن شخصیة الباحث وحتى عن المسألة األولى، أي وتعرض بمعزل.والمحاوالت الفاشلة

.معزولة عن مجال النشأةالدیداكتیكي ،عن طریق ما یسمى بالنقل، ویتم اشتقاقھا من المعرفة األولىالمعرفة الریاضیة التي یجب أن تدرس- ب

)la transposition didactique(،وتوجد بالمقررات الدراسیة ،وھي التي تقدم من طرف المدرس وتكون مطبوعة بطابعھ الخاص والذي یتجلى فيالمعرفة الریاضیة المدرسیة- ت

تفضیلھ لھذا الترتیب أو ذاك عند تقدیمھ للمعارف،لمختلف معاني المفاھیم ومجاالت التوظیفاألھمیة التي یولیھا،تصوراتھ حول الریاضیات في مجملھا وحول المفاھیم المدرسة، وحول األھداف التعلیمیة و حول التعلم...

،المعرفة الریاضیة المستوعبة من طرف المتعلم-ث

III.میذ؟كیف یتعلم التال

:تصورات حول التعلمثالث

:التصور على مجموعة من الفرضیات أھمھاویرتكز ھذا :تصور الرأس الفارغة-أ،المتعلم ال یعرف أي شيء عن المعرفة التى سنقدمھا لھ ما یصاغ بوضوح، سیفھم ال محالة : ھي خلق وضعیة تواصلیة مثلى مبنیة علىللتعلمأفضل وسیلة

،المتعلم/ من طرف المتلقيویصادق،، أي المرجع، وھو الذي یقدر ویقیم المدرس ھو حامل المعرفةالمعرفة محتكرة من طرف المدرس ویثبتھا في رأس المتعلم طبقات متراكمة.

:تصور الخطوات الصغیرة- ب:ویقوم على) béhaviorisme(تطور ھذا التصور اعتمادا على المدرسة السلوكیة

كل واحدة . لنقل التلمیذ من مستوى معرفي إلى آخر، علینا تھییئ مجموعة من المراحل الوسیطیةمن ھذه المراحل تضم صعوبة صغیرة یسھل على المتعلم التغلب علیھا،

یمكن تجزیئ المعرفة إلى معارف جزئیة وبسیطة،نتعلم عن طریق تراكم المعارف الجزئیة،

5

تصور الرأس المملوءة- تینطلق ھذا التصور من فرضیة أن كل تلمیذ یأتي إلى القسم وھو یملك مجموعة من المعارف حول ما

أنوعلى الوضعیة التعلیمیة التعلمیة . إال أن ھذه األخیرة تبقى على العموم ناقصة وغیر مھیكلة. سیدرسویشكل .تنقلھ من ھذه وضعیة االنطالق ھتھ إلى وضعیة نھائیة تكون فیھا معارف التلمیذ مھیكلة وجدیدة

. ھذا التصور مرتكزا للمقاربة البنائیةIV.المقاربة السوسیو بنائیة:

Piaget, Vygotsky, Bachelard, Doise,Mugnyاعتمادا على أبحاث كل منمقاربةالهھذتتطور، Brousseau, Vergnaud, Chevallard, Douady: الباحثین في دیداكتیك الریاضیات أمثالوأعمال :على مجموعة من الفرضیات أھمھاوترتكزبیاجيمأخوذة من أعمال : الفرضیة األولى

التعلم عملیة ، ویقصد ھنا بعبارة فعل حل المسائل ولیس الفعل على أشیاء ومواضیع فقط، فنتعلم بالفعل.ذھنیة ال خطیة، وھو بناء فكري یقوم بھ الفرد والفرد وحده

سنة من البحوث بأنھ ال وجود لمعرفة حالة ناتجة عن تسجیل مالحظات خارجیة وفي 30لقد أفادتنا ")بیاجي (»غیاب ھیكلة نابعة من نشاط الفرد

مأخوذة ھي كذلك من أعمال بیاجي: لفرضیة الثانیةإذا تمكن . رف السابقةاتوازن إلى آخر عبر أطوار انتقالیة حیث یعاد النظر في المعتمر المعرفة من حالة

، فمعناه أن ھناك إعادة تنظیم للمعارف، یتم خاللھ Déséquilibreاجتیاز حالة الالتوازن المرء من .إدماج المكتسبات الجدیدة إلى المعارف القدیمة

الفرضیة الثالثة :):les représentations spontanées( أدخل باشالر مفھوم التمثل العفوي

تتركب التمثالت كعوائق أمام «:ویظیف»العقل لیس فارغا وال لوحة شمع بكر، مھما یكن سنھ«مكونة من تمثالتفك رموز أي وضعیة تقترح علیھ بتعبئة وھكذا یستطیع كل تلمیذ. »المعرفة العلمیة

. ، وكلھا مرتبطة بمكتسباتھ السابقة...صور ذھنیة وتقنیات حل المسائل وخوارزمیاتالفرضیة الرابعة :

.، وبتعاون مع األقران)المدرس(یمكن للطفل أن یتعلم أفضل بحضور شخص راشد « L’apprentissage donne donc naissance, réveille et anime chez l’enfant touteune série de développements internes qui, à un moment donné, ne lui sontaccessibles que dans le cadre d’une communication avec l’adulte et lacollaboration avec les camarades, mais qui, une fois intériorisés, deviendrontune conquête propre de l’enfant. » (Vygotsky)

الفرضیة الخامسة :الحدیث ھنا عن صراع سوسیو قد یسھل علیھم اكتساب المعارف، معرفيإن جعل التالمیذ في حالة صراع

، ومعرفي، ألن موضوع الصراع ھو .سوسیو، ألن داخل كل صراع ھناك جزء من االجتماعي: معرفي).االجتماعي التكونيمدرسة جنیف حول علم النفس نتائج أبحاث. (المعرفة

V.المقاربة البنائیة والتدریس عن طریق حل المسائل:أنواع المسائل في درس الریاضیات.1

المسائل أو التمارین التطبیقیة التي تقدم مباشرة بعد إنجاز مقطع من الدرس والتي -.تھدف إلى تفعیل وتوظیف مفھوم او خاصیة أو غیرھا

التي تستھدف تقدیم مفھوم معین أو التوصل إلى المسائل االستكشافیة أو التمھیدیة-.معرفة

.المسائل والروائز االختباریة التي تستھدف تقویم التعلمات-

6

.المسائل التي تستھدف النمذجة وتتوخى ترییض وضعیة ملموسة-الوضعیة المسألة التي تستھدف اإلدماج-

ما ھو النشاط الریاضي؟.2.التساؤالت، حل مسائل، بناء خطابات، بناء براھینطرح: ممارسة الریاضیات تعني باألساس

ما ھي الوضعیة المسألة؟.3:یعرف فیلیب میریو الوضعیة المسألة بأنھا مسالة ال یمكن للتلمیذ حلھا دون تعلم جدید

« c’est une situation dans laquelle il est proposé à l’enfant une tâche qu’ilne peut mener à bien sans effectuer un apprentissage précis. »

• P.MEIRIEU, Apprendre... oui, mais comment, ESF, 1995.Regine Douadyممیزات الوضعیة المسألة حسب.4

ولیس ھو الحل ... تعلم مفھوم أو نتیجة أو طریقة حلDouadyتستھدف الوضعیة المسألة حسب :وقد حددت ممیزات الوضعیة المسالة كالتالي. لحد ذاتھ

أن یكون بمقدور التلمیذ االنخراط -1یمكنھ أن یتوقع حال أو . في حل المسألة

.جوابا ممكنا

وإال فلن یستثمر معارفھ، ولن یدرك على التلمیذ ان ال یبقى مكتوف األیديانھا غیر كافیة

تبقى معارف التلمیذ عموما غیر -2.كافیة لكي یحل المسألة مباشرة

وإال فلن یكون ھناك إدراك جدید، ھناك إعادة استثمار المكتسبات السابقة ھذه المیزة أساسیة، ألنھ ). وھذا شيء ضروري إال انھ غیر كافي(

، علیھ أن یعي أنھا غیر كافیة، وإالحسب مبدإ االقتصاد، باستثمار معارفھ.لن ینمیھا، سیبحث فقط على ءمتھا حسب الوضع

یجب أن تسمح المسألة للتلمیذ بأن -3یقرر ھل الحل المعثور علیة مالئم ام

.ال

الشيء الذي . على التلمیذ وحده ان یدرك ویعي عدم كفایة معارفھ بنفسھاألخطاء أو ثقل الطریقة المتبعةیدرك من خالل

یجب أن تكون المعرفة التي نرید -4أن یدركھا التلمیذ ھي األكثر مالءمة للتوصل إلى حل للمسالة في مستوى

.التلمیذ

إال أنھ صعب المنال، حیث إن التلمیذ قد یكتشف اداة , ھذا الشرط بدیھيمما یؤكد ضرورة .مالئمة لحل المسألة وغیر مالئمة للمعرفة المنشودة

ماذا سیفعل التلمیذ أمام ھذه المسألة؟: التحلیل القبلي للمسألة

تدبیر الوضعیة المسألة داخل القسم.5مرحلة الصیاغة، مرحلة التصدیق، مرحلة المأسسة، مرحلة الفعل، :ھذا التدبیر یتضمن عدة مراحل حسب غوي بروسو

.مرحلة تمارین متبوعة بتقییم

التي یجب أن نجیب علیھا لكي نقرر ھل ھذه الوضعیة ھي بالفعل وضعیة مسألة؟ما ھي األسئلة.6:دور المفھوم في التعلیم-أ

دراسة المقررات،-.دراسة وتحلیل الكتاب المدرسي-

المفھوم المدروس- بدوره في الحیاة الیومیة-.المعنیةدوره في المادة-

التصورات األصلیة للتالمیذ- تأخطاؤھم،-العوائق،-.األصلیةالتصورات -

7

:التصورات النھائیة المرجوة- ثأھداف المعرفة والمھارات،-ما ھي التصرفات الملحوظة التي ستبث أن التلمیذ أدرك ھذا المفھوم؟-أي تمثالت أرغب أن تكون لدیھ حول ھذا المفھوم؟-

:تحضیر الحصة.7تحلیل قبلي للوضعیة المسألة:

ماذا سیفعل التالمیذ؟-سیرورة بحث عن حل؟ھل بإمكانھم االندماج في -؟أي غیر الكافیة" العاجزة" صوراتھم تھل سیستعملون بالفعل -

أي تدبیر داخل الفصل؟ھل ینظم البحث في مجموعات؟ كیف یتم تكوین ھذه المجموعات؟-ما ھي التعلیمات التي سأعطیھا للتالمیذ؟-أي دور سألعب خالل فترة البحث؟ بعبارة أخرى، في حالة حصر؟-ھناك مرحلة صیاغة؟ مرحلة تصدیق؟ھل ستكون -

التقییم

ماذا سنقیم؟ معارف ومھارات التالمیذ، وكذلك تطور تصوراتھم؛-أي أدوات تقییم سأستعمل من أجل ذلك؟-ھل تطورت تصورات التالمیذ؟-

التحلیل البعدي:

ما الفرق بین ما توقعتھ وما حدث بالفعل؟ لماذا ھذه الفروقات؟-.ع جدیدماذا علي أن أغیره في مقط-

كیف نبني وضعیات مسألة؟.8

مثال مفھوم : بجب أن نأخذ بعین االعتبار المفاھیم المجاورة والمرتبطة بشكل وثیق بالمفھوم الذي نرید تدریسھ....الدالة الخطیة مرتبط بمفھومي العدد والتناسب

.الریاضیات والمواد األخرىكما علینا أن نعتبر كذلك الدور الذي یلعبھ المفھوم المعني باألمر في تعلیم كما یجب أن نتوفر على معلومات بخصوص تصورات التالمیذ حول المفھوم المدروس، وحول مكتسباتھم

...القبلیة وأھداف المعارف والكفایات المنشودة

انتھى

.توجد بالقرص المدمج مجموعة من األمثلة تھم ھذا المحور: ملحوضة

8

الحرفي باإلعداديالحساب :المحور الثاني

مط الحسابي إلى النمط الجبرينالحساب الحرفي واالنتقال من ال

النمط الحسابي والنمط الجبري: النمط الحسابي-أ

.استعمال الكمیات المعروفة فقط واالنتقال التدریجي من المعلوم إلى المجھول•.بصورة أساسیةحل مسائل عددیة مع استعمال األعداد العشریة والصحیحة والكسریة •.أداتھ الرئیسیة ھي اللغة العادیة ومصطلحات الحساب العددي•یلعب الحساب دورا تقنیا بحتا، وال تشكل العملیات الحسابیة إال مراحل وسیطیة و تأخذ أھمیتھا من خالل النتیجة •

.المحصل علیھا في النھایة:النمط الجبري- ب

كتابة عالقات بین كمیات معلومة أو مجھولة،•استعمال الوسیطات والمتغیرات،•.تكون موضوع حساب حرفي) جبریة( یترجم الخطاب العادي إلى تعابیر حرفیة •

statut de la lettreقانون الحرف وأدواره):lettre objet(الحرف في وضعیة الكائن .1

.نقطة من المستوى أو A: یمثل شیئا محددا-أمتار4من أحل m4: الحرف یمثل وحدة قیاس-)المحیط(D=Pأو ) المساحة( lL =S: الحرف یمثل كائنا ریاضیا -

:lettre variableالحرف في وضعیة المتغیر .2t :1,2 <t < 1,5ما ھو العدد الذي یمكننا وضعھ مكان الحرف -

:lettre inconnueالحرف في وضعیة المجھول.3.تنجده في وضعیات ترییض المسائل أو حل المعادال-

):indéterminé(الحرف في وضعیة المبھم.4k ،k(a+b) =ka+kbو bوaلكل األعداد -المتطابقات الھامة-

:(paramètre)الحرف في وضعیة الوسیط.5یمثل الحرف في ھذه الحالة كمیة تحسب معروفة مقارنة مع باقي الحروف األخرى التي تأخذ دور -

ax+b=0, y = ax+b, f(x) = ax: المتغیر أو المبھم أو المجھول

III.المعاني المختلفة لعالقة التساوي:

9

اإلعالن عن نتیجة، الدفع إلى إنجاز عملیة)1تتم القراءة في ھذه الحالة من ،4/5+ 1/2.... = یعني بالنسبة للتلمیذ أن علیھ أن ینجز العملیة التي توجد على الیسار=

+ 1/2: الیسار إلى الیمین ولیس العكس 4/5 = 13/10

:التساوي المشروط، المعادلة)2x+2 = 3)ما ھي األعداد التي تجعل التساوي صحیحا: یقرأ ویفھم كالتالي= في ھذه الحالة – x)

المتطابقة: التساوي دائما صحیحا)3:یمكننا أن نجد نوعین من ھذه المتطابقات، متطابقات عددیة وأخرى جبریة

، 2/1+10= 10.5، 5+3=4+4: المتطابقة العددیة

k(a+b) =ka+kb: المتطابقة الجبریة

(cadre fonctionnel)التساوي یعني تعیین أو ربط )4: یعني أن نربط الترمیز بإجراء محدد

f(x)=x2+5 یعني أن نربط الترمیزf(x) 5ثم أضف 2باإلجراء احسب أس

IV. الحرفياألھداف األساسیة للحساب:...)تطبیقات على الحساب الذھني، إزالة األقواس( أداة لتعلیل وتوضیح قواعد وتقنیات الحساب -أ

أداة فعالة لحل المسائل- بأداة للتعمیم والبرھنة- ت

V.النمط الحسابیاتي والنمط الجبري، امتداد أم قطیعة؟ي، وإنما توجد قطیعة إبستملوجیة بین النمط یجمع الباحثون على أن الجبر لیس امتدادا أو تعمیقا مبسطا للحساب العدد

:وھذا ما یستوجب. الحسابي والنمط الجبري

العمل بجدیة على المستوى المفاھیمي واإلدخال التدریجي والمتأني لمفاھیم الجبر وتقنیاتھ والعمل على -.مستوى بناء المعنى وتجنب اإلفراط في التدریب التقني

.مع الحساب العددي بالنسبة للحل والصیاغة والتعمیم والتعلیلإبراز قوة الحساب الجبري مقارنة-تعرف واختیار الشكل المالئم األسرع واألكثر تنظیما، الحساب الذھني (تنمیة مھارات الحساب -

).المعقلنال یقتصر النمط الجبري على ما ھو تقني محض، بل یجب فسح المجال أمام التلمیذ للتفكیر وأخذ -

.ةالبادرات بكل حریاستثمار الحساب الجبري في تنمیة مھارات االستدالل حتى یعي التلمیذ بأن البراھین ال توجد فقط في -

الھندسة، وأن الریاضیات تبنى وأن ھناك انسجاما بین مفاھیمھا،وأن أدوات وتقنیات الحساب لیست لمضاد وتبین الحاجة إلى عشوائیة، باإلظافة إلى أن الممارسة الجبریة تسمح باالستعمال المبكر للمثال ا

.االستدالل

VI.لالستثمارأنشطة

10

أھداف تمرین

التعرف على المجموع و الجذاء والتفریق بینھما

متغیر: وضعیة الحرف

x ،عددA=x-1علما أن )1 ; B=x+9/5 ; C=(x+9)/5 ; D=9/(x+5)

:أتمم الجمل التالیةAھو ......x1و ..... ھو حارج مجموعx5على 9و...... ھو مجموعx 5على 9وخارج....ل ..... على9ل.......ھوx5و

أتمم العمود الثاني في الجدول)2كتابة ریاضیة

xو 8وجذاء 5مجموع xو 8ومجموع 5جذاء

1

إنجاز مھام التعویضواحترام األسبقیة

متغیر: وضعیة الحرفممارسة االستدالل :

البرھنة عن طریق .مثال مضاد

: أتمم الجدول التالي

a-b+c a-b-c a-(b-c) c b a14 26 500,3 0,3 5

ھل نحصل على نفس النتائج؟ علل جوابك

2

متغیر: الحرف

حساب مقدار بداللة آخر

TROPمربع، وTRESمستطیلa یرمز إلى طول الضلع[OR]بالسنتمتر

cm8ھو [RE]طول القطعة

باستعمال الشكل حدد في الجدول التاليما إذا كان التعبیر المقترح محیطا أم مساحة

أجوبةa 8a + 8

a2 + 8a(a+8)+(a+8)+a+a

4aa (a+8)

4a + 16

3S

OER

P T

a 8

11

تحویل تعابیر جبریة عنطریق استعمال توزیعیة

بالنسبة للجمعالضرب مبھم: الحرف

:n + 4 4من بین التعابیر التالیة، احذف التي ال تساوي دائما 8 n ; n+3n+4 ; n+1+n+1+n+1+n+1; (2n+2n)+(n+n+n+n) ;

22+2+2n ; 4(n+4)4

ترجمة : ترییض وضعیةنص لغوي إلى تعبیر

جبريمجھول: الحرف

والبعض 3cmمن ھذه الكتب عرضھ بعض. 1,5mوضعنا مجموعة من الكتب على رف مكتبة طولھ وحیث أن ھذه الكتب مألت الرف بأكملھ، ما ھو عدد الكتب التي . 5cmاآلخر عرض كل واحد منھ

وضعناھا في ھذا الرف؟ 5

البرھنة : ممارسة االستداللباستعمال تعبیر جبري

مبھم: الحرف

.العبارة دائما صحیحة؟ علل جوابكھل ھذه . "3ھو مضاعف ل ) متتالیة( مجموع ثالثة أعداد متتابعة " 6

تغییر في السجل(changement de

registre)من اللغة العادیة إلى لغة

الرموزمتغیر: الحرفتبسیط تعبیر جبري

.في العمود األول من الجدول یظھر برنامج حسابيالعمود الثانياتمم ) 1.یمثل العدد المختار، أتمم العمود الثالثxالحرف ) 2

:برنامج الحسابأختار عدداxأحسب ضعف العدد أحسب مجموع الجذاء السابق

6والعدد أحسب الفرق بین المجموع

السابق و العدد المختار

7

الحرف مبھم

:بسط التعابیر التالیةA=0 a + b c + 1 d = …. ; B= x + x + 4 + x +7 = ….C= 5x + 3 + x + 7 = …. ; D= 5x + 3x + 7x = … ;E = 3 5 ( a + b ) = … F = 3 x 2 x

8

متغیر: الحرف

:في الحالتین[AB]طول القطعة xأحسب بداللة

9

تحفیز التالمیذ على الرجوع إلى الحرف لضرورة التعلیل بعد

التضننمتغیر: الحرف

اقسم المجموع ) 4إلى الجذاء المحصل علیھ، 10أضف ) 3، 8اضربھ في ) 2اختر عددا، )1.3إلى الخارج، خذ ربع المجموعثم احذف 7أضف ) 5، 2على

كیف یمكنك توضیح وشرح النتائج المحصل . أعد ھذا ھذه العملیة عدة مرات مع اأعداد مختلفة. علیھا

10

تعویض بالحساب العدديمتغیر: الحرف

A= 3x +4y - y = 1و x = 0بالنسبة ل Aاحسب 2 11

روائز تستھدف تنمیة معاني التساوي، متساویات قد تكون

صحیحة أو ال حسب القیممجھول: الحرف

: لدینا المتساویات التالیة2x + 3 = 10 ; 4x – 2 =10 ; 6(1 + x) = 9 2 ; 7x – 3 =7 + 2x

.حدد المتساویات التي تراھا صحیحة 12

تعرف المتطابقات العددیة بعد التعویض في تعبیر جبري

عدد: الحرف

:10من بین الجذاءات التالیة حدد التي تساوي محیط دائرة شعاعھا 2 ; 10 ; 2 10 ; 10210 13

من المبھم إلى المجھولC = (5x -3 )2 – (2x – 1)(5x – 3)

Cانشر واختصر ورتب .1= xبالنسبة ل Cاحسب .2 -2

14

A B

A Bx

x

12

5x)0 =حل المعادلة.3 – 3)(2 – 3x)یز على أخذ المبادرة فالتح

)التعمیل أم النشر(الحرف

A = (2x +3 )(-4 + x) – 4x(x - 4)A= 12حل المعادلة -1A = 0حل المعادلة -2

15

المتطابقات العددیة :احسب سریعا ودون وضع عملیة الضرب-A = 109 91 ،B= 1252 – 752 ،-C = 1032

16

االنتقال من اإلطار الھندسي إلى اإلطار الجبري عبر ترییض

وضعیةمجھول: الحرف

الحظ الشكل،

ABCDمساحة المستطیل xاحسب بداللة -1EFGHIمساحة الشكل الملون xاحسب بداللة -2.المساحتین متساویتینمتى تكون -3

17

ترییض وضعیةمجھول: الحرف

" النقل السریع"توجد شركتان لنقل البضائع من الدار البیضاء إلى باقي المدن المغربیة وھما "النقل األسلم"و

درھما عن الكیلومتر الواحد، أما شركة النقل األسلم فإنھا 3.2تحتسب شركة النقل السریع .درھما لكل نقلة180للكیلومتر الواحد مع إضافة مبلغا إجمالیا قدره تحتسب درھمین

أي شركة . كلم100یرید تاجر نقل بضاعة من الدار البیضاء إلى متجره الذي یبعد مسافة )1.سیختارھا ھذا التاجر لتكون تكلفة النقل أقل ما یمكن

لنقل بضاعة من الدار البیضاء إلى طنجة؟ھي األفضلأي شركة )2

18

2

2

3x-7

3x-7

3x-5

2x+1

A E F

D C

J I

AG

B

13

k(a + b) = ka + kb: أنشطة تمھیدیة لتقدیم المتسلسلة

:احسب دون وضع العملیات1

1) 22,1 11

2) 101 28,5

3) 3,25 96

4) 42,5 998

:حیث[CD]وطول القطعة [AB]احسب طول القطعة 2

:تلمیذا في رحلة، وكان كل تلمیذ ینفق یومیا104شارك 3

.التغذیة واإلقامةدرھم من أجل 120-

.من أجل التنقل وزیارة األماكن األثریة66.25-

ما ھي الكلفة الیومیة لھذه الرحلة بالنسبة للجمیع

درھما 47.45مترا من ثوب حریري بثمن 86.50درھما للمتر الواحد، ثم أظاف 52.55مترا من ثوب قطني بثمن 86.50اشترى تاجر 4

.للمتر الواحد

الذي دفعھ التاجر؟ما ھو الثمن

1,37

2,63 2,63

2,63

2,63 2,63 2,63 2,63

2,632,63

1,37

1,37

1,37

1,37 1,37 1,37

C D0,25 1,51,5 1,5 1,50,25 0,250,25

A B

14

نشاط تمھیدي لتقدیم

a2-b2=(a+b)(a-b):المتطابقة الھامة

المتساویات التي تخطر بالنسبة لكل سطر، تفحص جیدا األعداد المكتوبة بالخانات، ثم اكتب جمیع )1

.ببالك

.تحقق من ذلك واكتب جمیع المتساویات الممكنة)2

ماذا یمكنك أن تتضنن؟)3

.برھن على كل مضنونة تجدھا)4

انتھى

5 3 5 3 2 5 3 2 25 3 25 3 2 23 5

8 7 8 7 28 7 2 7 8 28 7 2 28 7

50 20 50 20 2 250 20 2 250 20 2 220 50 20 50 20 50

2 9 2 9 2 22 9 9 2 9 2 2 29 2 29 2

احسب محیط ھذه القطعة األرضیة بأسرع ما یمكن5

25.75 dam

1,25mربع دائرة شعاعھا

15

)تأھیلي+ إعدادي: (المحور الثالث

تخطیط التعلمات I.أھمیة التحضیر القبلي للدرس

:التحضیر القبلي والجدي للدرس منیمكن

إضفاء طابع العقالنیة على أنشطة الدرس-التحكم في مسار الدرس وتجنب العشوائیة-تحدید القدرات المستھدفة وأھداف الدرس وعناصره وجزئیاتھ-.تحدید وضعیات التعلم واألنشطة المالزمة لھا-توقع طبیعة الصعوبات وبرمجة وسائل تذلیلھا-التقییمتحدید أدوات -تحدید أنشطة الدعم-

........................................

II.خطوات التحضیر القبلي للدرس:یمكننا أن نتبع المراحل الكبرى التالیة أثناء التحضیر القبلي لدرس الریاضیات

)التوجیھات التربویة لتدریس الریاضیات(تحدید األھداف والقدرات المنتظرة من الدرس-سیناریو الدرسوضع -)ما سیدونھ التلمیذ(تھیئي ملخصات -اختیار التمارین التطبیقیة وتمارین البحث-تحضیر أدوات التقویم-

:األھداف والقدرات المنتظرة.1(Savoirs, savoir faire, savoir être)؟ما ھي المعارف والمھارات والكفایات والقدرات التي على التلمیذ أن یكتسبھا-التي على التلمیذ أن یكون متمكنا منھا من أجل مسایرتھ للدرس الجدید؟(les prerequis)ما ھي المكتسبات السابقة -

:وضع سیناریو للدرس.2یعني اختیار األنشطة التي ستقترح على التالمیذ وضبط سیرھا ومدتھا، ومقاربات اإلنجاز، وتحدید مختلف -

في كل ) األستاذ والتلمیذ(تالمیذ، مع تعیین األدوار التي سیلعبھا كل طرف التعلیمات والتوجیھات التي ستقدم لل.مرحلة، وكذلك األدوات الالزمة:ویمكن تقسیم األنشطة المختارة إلى

أنشطة ضبط المكتسبات عند تقدیم المفاھیم الجدیدة(أنشطة التحفیز(أنشطة البناء أنشطة التوظیف(faire fonctionner la notion)

:تحضیر الملخصات.3وتشكل . تمكن التلمیذ من ھیكلة ومأسسة معارفھ. للتعلمات (synthèse)الملخصات ھبي تولیف -

.یجب الحرص علي أن تكون مركزة ووظیفیة. مرجعا أساسیا لھ

:اختیار التمارین التطبیقیة وتمارین البحث.4

16

مكتسباتھ الجدیدة والتدرب على البحث وحل تمكن التلمیذ من اختبار . علیھا أن تكون متنوعة ومتدرجة-.المسائل وتنمیة كفایاتھ التواصلیة

:تحضیر أدوات التقویم.5

على أنشطة التقویم أن تمكن األستاذ من معرف مدى تحقق األھداف المسطرة من جھة، وتمكن التلمیذ من معرفة -. موقعھ من تلك األھداف

.مختلفةینجز التقویم خالل جمیع مراحل الدرس وبطرق -

1.IV.تحلیل المفھوم المراد تدریسھ:

)االمتدادات السابقة والالحقة ( لماذا ھذا المفھوم في ھذا الوقت؟ -...)یمكن من حل مجموعة من المسائل، في الحیاة العامة أو في المواد األخرى) األھمیة االجتماعیة لھذا المفھوم -ما ھي الوضعیات التي سنوظفھا من أجل التعلم؟-.ة المفاھیمیة للدرسالخریط-

V.وثیقة بیداغوجیةاقتراح:

17

:وثیقة بیداغوجیة

:...وثیقة رقم

:....................................عنوان الدرس

............المدة الزمنیة:................................ المستوى

..........................................: األھداف والقدرات المنتظرة

:.................................................المكتسبات

:............................................التقنیات:...................................................... المقاربة البیداغوجیة

............................................................................................................:.....الوسائل التعلیمیة

):السیناریو( خطوات اإلنجاز

دور التلمیذدور األستاذالمرحلة، المدة، الموضوع)دقیقة(...المرحلة األولى،

ضبط المكتسبات

)دقیقة(...المرحلة الثانیة،

تحفیز التالمیذ من أجل تقدیم المفھوم - الجدید

)دقیقة(...المرحلة الثالثة،

أنشطة البناء -

....)تعریف، خاصیة، تقنیة(تقدیم المفھوم -

تقییم-

تولیف

)دقیقة(...المرحلة الرابعة،

توظیف المفھوم، الخاصیة، التقنیة، ......الخواریزمیة

)دقیقة(...المرحلةالخامسة،

التقییم النھائي-

وتصحیحھ مع التركیز على 1اقتراح النشاط .........

...........طرح األسئلة التالیة

تقدیم نبذة تاریخیة عن المفھوم،-

...كتابة العنوان على السبورة-

كتابة األنشطة على السبورة،-

تكلیف التالمیذ باإلنجاز،-

تقدیم التعلیمات والتوجیھات-

........األسئلةطرح -

ضبط تصورات التالمیذ-

إذكاء الصراعات المعرفیة-

المساعدة على تولیف النتائج والتعلمات-

مأسسة المعرفة-

تلخیص النقط المھمة والعناصر األساسیة-

تقییم مستوى تحقق األھداف

1اإلنجاز الفردي للنشاط -

اإلجابة عن األسئلة-

.اعي لألنشطة المقترحةاإلنجاز الفردي أو الجم-

التصحیح الذاتي -

طرح التساؤالت-

كتابة التصحیح على السبورة-

تبلیغ اقتراحاتھ والدفاع عنھا-

كتابة الملخصات على الدفتر-

اإلنجاز الفردي للتمارین المقترحة

طرح التساؤالت واالستفسارات

18

VI. تخطیط درس اإلسقاط: 1مثالاإلسقاط: الموضوع-الجذع المشترك العلمي والتكنلوجي: المستوى-ساعات5: المدة-

ماذا تقول التوجیھات التربویة؟-أoالترجمة المتجھیة لمبرھنة طالیس: القدرة المنتظرةoاألھداف :

التعرف على مسقط نقطة على مستقیم بتواز مع مستقیم آخر•توظیف اإلسقاط في حل مسائل ھندسیة•مسائل ھندسیةتوظیف مبرھنة طالیس في حل •توظیف خاصیة الحفاظ على معامل استقامیة متجھیتین إلثبات عالقات متجھیة•

: نبذة تاریخیة-بطالیس والھرم األكبر مثال

األھمیة االجتماعیة لھذا المفھوم-توتتعلق .یمكن اإلسقاط من حل مجموعة من المسائل المرتبطة بحساب األطوال وتقسیم القطع المستقیمیة

.....مسائل بالحیاة العامة أو المواد الدراسیة األخرى كالفیزیاء والھندسة الصناعیة والمعماریةھذه ال

لماذا ھذا المفھوم في ھذا الوقت؟-ثیأتي ھذا الدرس لتتمیم وتعمیق المعارف الخاصة بمبرھنة طالیس : االمتدادات السابقة والالحقة

.....توى الثانیة إعدادي المباشرة والعكسیة والتي شرع في دراستھا منذ مس

ما ھي الوضعیات التي سنوظفھا من أجل التعلم؟-ج التعرف على المسقط العمودي لنقطة في المستوى،:1وضعیة التعرف على مسقط نقطة على مستقیم بتواز مع مستقیم آخر،: 2وضعیة استعمال اإلسقاط في حل مسائل ھندسیة،:3وضعیة باستعمال طالیس،حل مسائل ھندسیة : 4وضعیة توظیف الحفاظ عل معامل استقامیة متجھتین،: 5وضعیة حل مسائل من الواقع المعاش أو من مواد أخرى،: 6وضعیة…………………………………………

19

الخریطة المفاھیمیة لدرس اإلسقاط-ح

بالقرص المدمج) إعدادي(یوجد مثال لتحضیر درس المعادالت :ملحوظة

انتھى

اإلسقاط

مجال الریاضیات الحیاة الیومیة فیزیاء: مواد أخرى

الفضاءاإلسقاط في مسقط نقطة على مستقیم بتوازي مع مستقیم

مبرھنة طالیس

تعریف المفاھیم المرتبطة

طرق حل المسائل

المرور من اإلطار الھندسي إلى المتجھي

وضعیات االستعمال

التوازي والتعامد المتجھة عملیة النقل المعرفي

معامل االستقامیة

20

:المحور الرابع

موضوعكائن –تغییر اإلطار وجدلیة أداة :مالحظات أولیة

Regine Douadyیرتكز ھذا العرض باألساس على مقال الباحثة الفرنسیة -أRecherche en didactique des mathématiques: والمنشور بالمجلة المتخصصة

R. DOUADY:المرجع - 1986 - Volume 7-2 – Recherche en Didactique desMathématiques - La Pensée Sauvage.

dialectique"ھي ترجمة شخصیة للصیغة الفرنسیة "الكائن أو الموضوع-األداة"الصیغة جذلیة - بoutil-objet وفي رأیي الخاص فإن مصطلحobjet "" في بعض السیاقات " الكائن"یعبر عن

.عندما یكون الكائن موضوع دراسة" الموضوع"سنقف عندھا خالل العرض ویعبر عن حسب المعجم الصادر عن " objet mathématique"أما المصطلح العربي المقابل لمصطلح

.لذا ارتأینا استعمال المرادفین". الكائن الریاضي"، فھو )1()1980(یة الوطنیةوزارة التربالدار . مطبعة النجاح. معجم عربي فرنسي. "مصطلحات الریاضیات في التعلیم العام")1(

. البیضاء

I.ابستمولوجیا المعرفة الریاضیة:انواع حسب مجاالت االشتغالیقسم الباحثون في دیداكتیك الریاضیات المعرفة الریاضیة إلى اربعة

)عند الباحث أو المختص(المعرفة العالمة -المعرفة الریاضیة في المقررات الدراسیة-المعرفة المدرسیة التي یقدمھا األستاذ-المعرفة المكتسبة من طرف التلمیذ-

II.عمل الباحث في الریاضیاتیستثمر لھذا فتراه .حد أن وجد لھا حلوالیواجھ الباحث في الریاضیات مجموعة من المشاكل التي لم یسبق أل

ھذا الفضاء مقعر ( الغرض مجموعة من المعارف الریاضیة، بعضھا مؤسسي ومشترك بین جماعة الریاضیین والبعض اآلخر مرتبط باألسئلة المطروحة والطرائق المختارة والممارسات ) أم ال؟ ھذه الدالة متصلة أم ال؟

) objets( یعبئ الباحث أیضا مجموعة من األشیاء أو الكائناتألة،المساتولحل الوضعی.الشخصیة.والتي لھا داللة داخل المجال المدروس...) الفضاء الطوبولوجي، الدوال المتصلة، التقعر،( الریاضیة صورة فضاء مقعر بدالة متصلة ھي فضاء : المبرھنة): (outil(تكون في وضع األداة ھذه األشیاءجملة من

).مقعرجبري، ( شبكة من العالقات بین مفاھیم تنتمي إلى نفس اإلطار أو إلى إطارات مختلفة الباحث أیضاینسج و

عملیة تغییر اإلطار عادة ما تؤدي بالباحث إلى إنتاج وابتكار مفاھیم وطرق ...). ھندسي، مبیاني، تحلیلي، عددي.حظةتجیب على حاجیات الل) outils(” أدوات“جدیدة، تسمى

21

III.وضع األداة ووضع الكائن لدى مفھوم ریاضيstatut d’outil et statut d’objet pour un concept mathématique

یعتبر الریاضیون أنھ من الضروري تقییم مدى وأھمیة األدوات التي عدلوھا أو ابتكروھا في سیاق عملھم و ) formulation(أفضل الصیاغات الممكنة من أجل ذلك تراھم یبحثون عن . عرضھا على المجتمع الریاضي

والتي تعزل ھذه األدوات عن السیاق الخاص للنشأة وتقدیمھا في صیغة معممة تمكن الحقا من إدخال تعدیالت . وتحویالت تؤدي إلى خلق أدوات مفاھیمیة جدیدة من طرف باحثین جدد وفي مجاالت أخرى

وضع الكائن-أstatut d’objet

عادة ف.شخصیة الباحثأوعلين عن المعرفة الجدیدة وقد نزع عنھا كل ما یحیل على سیاق النشأة یتم اإلعالن إذ.ما تدمج ھذه المعرفة في منظومة معرفیة موجودة سابقا بحیث یصبح بإمكانھا تغییر الھندسة العامة لھذه األخیرة

الكائن الریاضي ھو موضوع ثقافي فوحسب ریجین دوادي. الكائنفي وضعیة تصبح المعارف الجدیدةوھكذا في فترة معینة ومعترف بھ ) savoir savant(لھ مكانتھ وموقعھ ضمن منظومة المعارف الریاضیة العالمة

.اجتماعیاتمكن وضعیة الكائن من رسملة المعرفة و. یعرف الكائن ریاضیا باستقالل تام عن مجاالت االستعمال والتوظیف

كما تمكن أیضا من إعادة استثماره في مجاالت جدیدة وبعیدة كل البعد عن المجال وتوسیع المنظومة المعرفیة،.األصلي

یبتكر الباحثون في بعض األحیان كائنات ریاضیة یكون الھدف ومن اجل ضرورات البحث، أي حل المسائل، مفاھیم من نفس المجال منھا ترتیب األفكار والمعارف أو تعمیم النتائج أو توحید المسائل التي تحل عن طریق

.كالجبر مثال أو ألجل ضرورات العرضظھور األعداد العقدیة: مثال

ax3: ظھرت في سیاق البحث عن حلول للمعادلة من الدرجة الثالثة بمجھول واحد + bx2 + cx + d =0 وفي.حقبة كان معروفا فیھا األعداد الموجبة واألعداد السالبة، إنھ القرن السادس عشر

كیف نفسر أنھ لحل معادلة من الدرجة الثالثة وذات معامالت حقیقیة، : المشكل الذي طرح آنذاك كان كالتالينحتاج إلى حساب جذور مربعة ألعداد سالبة؟ ما ھو المعنى الذي ستأخذه ھتھ الجذور والتي ال یمكن أن تكون

؟)ألن مربع عدد ھو عدد موجب(أعدادا .خذ مشروعیتھا من خالل صحة حلول المعادلة التي تمكن من إیجادھااستطاعت ھذه األعداد أن تأ

لكي یتم ) كوس وفیما بعد كوشي( وبدایة القرن التاسع عشر ) ویسیل( جب انتظار نھایة القرن الثامن عشر وو)statut d’objet( البناء الریاضي لھذه األعداد وتنتقل إلى وضعیة الكائن الریاضي

) statut d’objet(األداةوضع - بیمكن لنفس األداة أن تكون ویكون مفھوم معین في وضعیة أداة عندما تدفعنا الحاجة إلى استعمالھ لحل المسائل،

وإذا كانت ھذه األداة . یمكن ألدوات مختلفة أن تكون مالئمة لحل نفس المسألةكما مالئمة لحل مسائل مختلفة،(explicite)ن صریحة وتكو.)(impliciteفإنھا تكون ضمنیة)العقديالعدد(بمفھوم في طور البلورة مرتبطة

.إذا ارتبطت باستعمال واعي وإرادي لكائن ریاضي محدد في حل مسألة ما.إن البعد األدواتي ھو مكون من مكونات المفھوم الریاضي

:مثال؟cm2 12ھل یوجد مربع مساحتھ

:أو اإلعدادياالبتدائيجواب تلمیذإذن توجد لحظة، cm2 16إلى cm2 9فإن المساحة ستمر ال محالة من 4cmإلى 3cmعندما یمر الضلع من

.cm2 12تكون فیھا المساحة

22

العالقة بین أبعاد المربع ومساحتھ ھي أداة معلنة لدى تلمیذ االبتدائي واإلعدادي. الدالةxx2 ھذه المفاھیم . مفاھیم ضروریة لتبریر دفوعات التلمیذواتصالھا ومبرھنة القیم الوسیطیة ھي

).outils implicites(الریاضیة المجھولة من طرف تالمذة االبتدائي واإلعدادي تتدخل كأدوات ضمنیة بالنسبة لVergnaud،یتعلق األمر بمبرھنات موجودة بالفعل) .théorèmes en acte(

IV.تغییر الإلطار:الریاضیات عبر التاریخ، نجد إن جزءا كبیرا من عمل الریاضیین یخصص لإذا نظرنا إلى تطور -أ

تأویل المسائل التي یبحثون فیھا،-مثال بالنسبة للمعادالت التفاضلیة، ھل نتبنى مقاربة تحلیلیة أو مقاربة (تغییر آرائھم نحوھا -

،)جبریةتغییر في صیاغة ھذه المسائل،-لم تحصل (طرح تساؤالت جدیدة تنسجم واإلطار الجدید،نقل ھذه المسائل من إطار إلى آخر مع-

الجذور المربعة لألعداد السالبة على معنى إال بعد االنتقال من اإلطار العددي إلى اإلطار )المستوى العقدي( Gaussومستوى Argandمستوى : الھندسي

:تعریف وخصائص-بوالتي تنتمي كلھا إلى فرع واحد یتكون إطار ما من مجموعة كائنات ریاضیة وصیغھا المتنوعة

من فروع الریاضیات وكذلك العالقات التي تجمع بین ھذه الكائنات، ومختلف الصور الذھنیة التي ھذه الصور تلعب دورا أساسیا في توظیف كائنات إطار ما .ترتبط بھذه األخیرة وعالقاتھا

.كأدوات یختلفا في الصور الذھنیة واإلشكالیات التي یمكن إلطارین أن یشتمال على نفس الكائنات لكن

. یولدانھا اإلطار دینامي بطبعھ ویتطور في الزمن وحسب الفرد لكن ال یمكنھ أن یتجاوز سقف المعرفة

.العالمة في بعده الریاضي، یتأسس اإلطار على كائنات ریاضیة من نفس الفرع ومن مختلف مستویات

.والتي تقتضي استعمال تشفیرات رمزیة متنوعةالتعقید، وبصیاغات وعالقات متنوعة،

22













22













23

:مثال

V.العملیة التعلیمیة التعلمیة لمادة الریاضیاتالمعرفة المدرسیة-أ

یتلقى المدرس على العموم وعلى شكل مقررات دراسیة الئحة بالكائنات الریاضیة التي علیھ أن المسؤول عن تنظیم ھذه ویكون ).التعلیمات الرسمیة(التربویة یدرسھا للمتعلمین مصحوبة بالتوجیھات

.الكائنات لعرضھا وتبلیغھا إلى التالمیذ، إذن علیھ أن یقوم باختیارات وأن یتخذ قرارات في ھذا الشأن.ھذا المدرسیحملھاھذه األخیرة تخضع لمختلف التصورات التي

كیف تقدم المعرفة المدرسیة؟-ب:السیناریو األول

یعرض المدرس، في انسجام مع المحتویات المقررة للتالمیذ في مستوى معین، مجموعة من الكائنات :الریاضیة، وھذا یجعلھ أمام اختیارین

االختیاراألول من المدرس عرض التعاریف والمبرھنات والخاصیات والبراھین یتطلب -إال ان یستوعب الدرس والخوارزمیات واألمثلة بمعزل عن أي سیاق، وما على التلمیذ

مما یجعل التلمیذ مسؤوال عن إعطاء معنى للكائنات . ویطبقھ في حل التمارین والمسائل.الریاضیة المقدمة إلیھ لتصبح أدوات لالستعمال عند الحاجة

) les prototypes(على األستاذ أن یقدم لتالمذتھ العدد الكافي من النماذج : االختیارالثاني-سیكون في ھذه الحالة مجبرا على إعطاء األولویة . طویر طرق االستعمالوأن یركز على ت

. لتدریس الخوارزمیات مع تقلیص في مجاالت االستعمال

العملیات على األعداد

األعداد

عالقة الترتیب

الدوال العددیة مع جمیع الخاصیات الضروریة

للحساب

الئحة العناصر غیر محصورة وھي نسبیة

اإلطار العددي

مدرسيبعدبعد سوسیو ثقافيبعدغیر مدرسي

24

-savoirs(فعل -یكتسب التالمیذ في ھذه الحالة معارف faire ( لصیقة بالمجاالت المعروضة.ویصعب نقلھا إلى مجاالت أخرى

:السیناریو الثاني

یختار أو یكیف أو یبني مسألة : یعید األستاذ ھنا تأسیس سیاق مشابھ لسیاق نشأة الكائن الریاضي. تستدعي دراستھا استحضار الموضوع الریاضي المستھدف بالتدریس

.على التالمیذ أن یقوموا بدراسة الوضعیة المسألة المقترحة.1

صریح أو الوسائل الریاضیة المستعملة ستكون في وضعیة األدوات، بعضھا ضمني واآلخر .2.معلن

االقتراحات- ج:على مستوى التعلیم)1

على التعلیم أن یدمج ضمن ھیكلتھ التنظیمیة فترات تلعب فیھا جماعة القسم دور مجتمع مصغر .للباحثین وھم یمارسون نشاطھم

:على مستوى الوضعیة)2:تنظیمیة جدیدة للوضعیة التعلیمیة التعلمیة مبنیة على ثالثة محاورھیكلة

موضوع/كائن–جذلیة أداة -جدید–جذلیة قدیم -)jeu de cadres( لعبة اإلطارات-

:تقتضي ھذه العناصر االعتماد عل مسائل تحمل المواصفات التالیة:على مستوى المسائل)3

نص المسألة یحمل معنى بالنسبة للتلمیذ؛-قدرة التلمیذ على االنخراط في عملیة البحث عن حل؛-عدم تمكن التلمیذ من الحل مباشرة باالعتماد على مكتسباتھ فقط؛-ضرورة تمكن التلمیذ من أن یقرر ھل حلھ مالئم أم ال من خالل الوضعیة؛-،ھا ھي األكثر مالءمة لحل المسألةالمعرفة التي نرید تعلیم-.لإطارین مختلفین على األقیمكن صیاغة المسألة ضمن -

)Dialectique outil-objet(موضوع/كائن–جذلیة أداة )4/ كائن -نعني بجذلیة أداة ومسألة مختارة بعنایة،وضعیةیقترح األستاذ على تالمذتھ

:موضوع، المسلسل التالي المكون من ستة مراحل

كأدوات معلنة لحل المسألة جزئیا یعبأ التلمیذ عدة مفاھیم ریاضیة ": القدیم"1المرحلة.یتبنى التالمیذ ھذه المسألة وینخرطون في عملیة البحث. على األقل

تدفع صعوبة الحل التالمیذ إلى البحث عن وسائل ": البحث عن ضمني جدید"2المرحلة،یمكن لعملیة تغییر اإلطار أن تساعد على توظیف أدوات ضمنیة. جدیدة مالئمة للحل

بعض العناصر التي استعملھا التالمیذ في تكون : مأسسة جزئیة أو محلیة: 3المرحلةالمرحلة األولى قد لعبت دورا حاسما في المرحلة الثانیة، سیتبناھا التالمیذ ویصوغونھا

یمكن كذلك أن یتعلق األمر .بشكل صوري، إما على شكل كائنات أو عل شكل طریقةیتعلق األمر ھنا .إنتاج صیاغات صوریة مبررةبقناعات كانت موضوع نقاش وأدت إلى

. یمكن إعادة استعمالھا والتعود علیھا" بأدوات جدیدة معلنة". تكون في ھذه المرحلة كل أعمال التالمیذ واقتراحاتھم محط نقاش جماعي

25

وضع الكائن -المأسسة: 4المرحلة)statut d’objet(ویھیكل التعاریف والمبرھنات والبراھین مع ینظم . یعرض األستاذ المعارف الجدیدة

من مسؤولیتھ إسناد وضع الكائن ویكون .التنبیھ إلى ما ھو أساسي وما ھو ثانوي)statut d’objet (للمفاھیم الجدیدة التي استعملت كأدوات لحل المسألة.

االستئناس وإعادة االستثمار: 5المرحلة

حل تمارین متنوعة تستدعي استعمال المعرفة في ھذه المرحلةسیكون على التالمیذ، وبالتالي سیعملون على تنمیة وتطویر عاداتھم )institutionnalisée(الممأسسة

كما سیعملون على دمج معارفھم االجتماعیة ومواجھتھا بمعارفھم الخاصة، . وخبراتھم.وعلى تنمیة تصوراتھم بشكل یسمح لھم بالتعامل مع حقل أوسع من المسائل

تعقید المھام أو مسائل جدیدة: 6المرحلةدور یلعبالكائن موضوع الدرستجعلعلى التالمیذ مسألة أكثر تعقیدایقترح األستاذ

.الكائن-لیة األداةدمن أجل الشروع في دورة جدیدة لج" الصریحالقدیم "

)jeu de cadres(لعبة اإلطارات)5التالمیذمساعدةطار بإیعاز من األستاذ من أجل تغییر اإلیستعمل ھذا التعبیر عندما تتم عملیة

. مراحل البحث وبلورة جملة من األسئلة المناسبة بخصوص المسألة المطروحة في تقدم العلى :ویمكن التمییز بین مراحل ثالث تھم ھذا اإلجراء

:مرحلة النقل والتأویل- أ...معین، جبري ھندسي، تحلیلي، تكون المسألة المقترحة على التالمیذ مصاغة في إطار

أخذا بعین االعتبار لمعارفھم ، وتجاربھم وعاداتھم، ستقودھم دراسة المسألة المقترحة إلى وسیعملون .ترجمة نص المسألة أو جزء منھ في إطار آخر، ثم القیام بتأویل عدد من األسئلة

)ن الكائنات وبین العالقاتبی(على إقامة عدد من التقابالت أو الترابطات ما بین اإلطارات

المسألة

2إطار1إطار

صیاغة أخرى للمسألة صیاغة أولى للمسألة

تغییر اإلطار

26

:مرحلة التقابالت الناقصة- بإن التقابالت التي نسجھا التالمیذ بین مختلف اإلطارات تظل ناقصة في ھذه المرحلة

تصبح الوضعیة المقترحة ، فمحضة، أو لعدم كفایة معارفھموذلك ألسباب إما ریاضیة. مولدة لحالة الالتوازن المعرفي وتسمح بإعادة ھیكلة المعارف

:تحسین التقابالت وتقدم المعرفة- جحوار مناسب بین اإلطارات سیشكل عامال أساسیا في حصول حالة /إن إقامة تواصل

التوازن، كما أن التفاعل ما بین ھذه اإلطارات یسمح بتقدم وتنمیة المعارف المنتمیة . لكل منھا

انتھى

Documents

Didact mathsahmed