ACADEMIA FORTELOR AERIENE ”HENRI COANDA”DEPARTAMENTUL DE STIINTE FUNDAMENTALE SI MANAGEMENT

2015-2016

Diferentiabilitate

Exercitiul I. Sa se calculeze derivatele partiale de ordinul I pentru urmatoarele functii:

(a) f(x, y, z) = (3x− y)2 + 7yz2 + 3√x2 + z2;

(b) f(x, y, z) = 5 ln(2x− y) + 3x2yz3 + tgy

z, 2x− y > 0, z 6= 0;

(c) f(x, y) = xy arctg x+y

1−xy, xy 6= 1;

(d) f(x, y, z) = xyz√x2+y2+z2

, x2 + y2 + z2 6= 0.

Exercitiul II. Sa se calculeze derivatele partiale de ordinul I si II pentru urmatoarelefunctii:

(a) f(x, y) = arccos x√x2+y2

, (x, y) 6= (0, 0);

(b) f(x, y) = ln(x+ y2), (x, y) 6= (0, 0);

(c) f(x, y) = x2 sin2 y;

(d) f(x, y) = xy2 ;

(e) f(x, y) = x2 + y4 − 4xy + 6x− 2y;

(f) f(x, y) = xy+ yx + y sin x;

(g) f(x, y) = sin x√y2+1

;

(h) f(x, y, z) = ctg xy√

z2+1;

(i) f(x, y, z) = xyln z + y

zln x+ z

xln y;

(j) f(x, y, z) = ln xyyzzx, x, y, z > 0;

(k) f(x, y, z) = ex2+y2 sin2 z;

(l) f(x, y) = y 3x + ey sin(x2y3);

Diferentiabilitate - studiu individual 2

(m) f(x, y) = sin(cos(2x− 3y));

(n) f(x, y) =√

1 + x2 + y2;

(o) f(x, y) = ln(1 + cos2(xy));

(p) f(x, y) = ex+xy−2y;

Exercitiul III. Aratati ca pentru fiecare din functiile date se verifica ecuatia diferentialacorespunzatoare:

(a) f(x, y) = ln√

x2 + y2, ∂2f

∂x2 +∂2f

∂y2= 0;

(b) f(x, y) = eαx cos(αy), ∂2f

∂x2 +∂2f

∂y2= 0;

(c) f(x, y, t) = e−t(cosx+ sin y), ∂f

∂t= ∂2f

∂x2 +∂2f

∂y2;

(d) f(x, y, z) = 1√x2+y2+z2

, ∂2f

∂x2 +∂2f

∂y2+ ∂2f

∂z2= 0;

(e) f(r, t) = tα e−r2

4t , r2 ∂f∂t

= ∂∂r

(

r2 ∂f∂r

)

;

(f) f(x, y) = y · φ(x2 − y2), 1xf

′

x + 1yf

′

y = 1y2f ;

(g) f(x, y) = xy + x · φ(

y

x

)

, xf′

x + yf′

y = xy + f ;

(h) f(x, y) = xy · φ(x2 − y2), xy2f′

x + x2yf′

y = (x2 + y2)f ;

(i) f(x, y, z) = xy

zln x+ x · g

(

y

x, zx

)

, xf′

x + yf′

y + zf′

z = f + xy

z;

(j) f(x, y, z) = xn · g(

y

xα ,zxβ

)

, xf′

x + yf′

y + zf′

z = nf ;

(k) f(x, y) = ey · g(

y ex2

2y2

)

, (x2 − y2)f′

x + xyf′

y = xy f .

Exercitiul IV. Sa se calculeze df si d2f pentru urmatoarele functii ın punctele indicate(unde este cazul):

(i) f(x, y) = xy, y 6= 0;

(ii) f(x, y, z) = sin(x− 2y + z);

(iii) f(x, y) = xey2−1, (x0, y0) = (1, 1);

(iv) f(x, y) = (x2 + y2) ln(x2 + y2), (x0, y0) = (0, 1);

(v) f(x, y) =√

x2 + y2, (x0, y0) = (3, 4);

Diferentiabilitate - studiu individual 3

(vi) f(x, y) = arctg(x+ y) + ln(1 + x), (x0, y0) = (0, 1).

Exercitiul V. Sa se calculeze dnf pentru urmatoarele functii:

(i) f(x, y) = (x2 + y2)ex+y, (x, y) ∈ R2;

(ii) f(x, y) = eax+by;

(iii) f(x, y) = ln(x+ y), x+ y > 0.

Exercitiul VI. Sa se calculeze derivatele de ordinul I pentru functia F (x) = f(X(x)) ınurmatoarele situatii:

(i) f(u, v) = uv, unde X(x) = (ex, cos x) , x ∈ R;

(ii) f(u, v) = euv, unde X(x) = (3x2, x3) , x ∈ R;

(iii) f(u, v) = u3 + v3 − 3uv, unde X(x) =(

x2, 3x1+x

)

, x > −1;

(iv) f(u, v) = vu, unde X(x) = (sin x, x3) , x > 0;

(v) f(u, v) = veu, unde X(x) = (arctg(1 + x), ex) , x ∈ R;

(vi) f(u, v) = v sin u, unde X(x) =(

−x,√1 + x2

)

, x ∈ R;

Exercitiul VII. Sa se calculeze derivatele partiale de ordinul I pentru functia F (x, y) =f(X(x, y)) ın urmatoarele situatii:

(i) f(u, v) = u2v, unde X(x, y) = (x+ y, xy) , (x, y) ∈ R2;

(ii) f(u, v) = uu+v

, unde X(x, y) = (x2 + y2, 2xy) , (x, y) ∈ R2+;

(iii) f(u, v) = arctg vu, unde X(x, y) = (x2 − xy + y2, 2xy) , (x, y) 6= (0, 0);

(iv) f(u, v) = arctg(u+ v2), unde X(x, y) =(

x, ex sin y)

, (x, y) ∈ R2;

(v) f(u, v) = u cos v, unde X(x, y) =(

√

1 + x2 + y2, arcsinx)

, |x| < 1, y ∈ R;

(vi) f(u, v) = ushv, unde X(x, y) = (x3y, ln x+ ln y) , (x, y) ∈ R2+ − {(0, 0)};

Diferentiabilitate - studiu individual 4

Exercitiul VIII. Sa se calculeze derivata dupa o directie pentru functia f : R3 → R ınpunctul (x0, y0, z0) de-a lungul vectorului ~v ın urmatoarele situatii:

(i) f(x, y, z) = x+ 2xy − 3z2, (x0, y0, z0) = (1, 2, 1), ~v = (3, 4, 0);

(ii) f(x, y, z) = zex cos(πy), (x0, y0, z0) = (0,−1, 1), ~v = (−1, 2, 1);

(iii) f(x, y, z) = x2 + 2y2 + 3z2, (x0, y0, z0) = (1, 1, 0), ~v = (1,−1, 2);

(iv) f(x, y, z) = xy + yz + xz, (x0, y0, z0) = (1, 2, 3), ~v = (1, 1, 1);

Exercitiul IX. Fie functia f(x, y, z) = 2x + 2y2z + xy2z, (x, y, z) ∈ R3. Sa se determine

(∇f)(1,−1, 2) si versorul ~e pentru care f′

((1,−1, 2), ~e) este maxim posibila.

Exercitiul X. Sa se arate ca urmatoarele functii verifica ecuatia lui Laplace:

(i) f(x, y) = ln 1√(x−a)2+(y−b)2

, (x, y) 6= (a, b);

(ii) f(x, y) = 1x2+y2

ex(x sin y − y cos y), (x, y) 6= (0, 0);

(iii) f(x, y) = ex [(x2 − y2) cos y − 2xy sin y];

(iv) f(x, y, z) = 1√x2+y2+z2

, (x, y, z) 6= (0, 0, 0).

Exercitiul XI. Sa se calculeze derivatele partiale de ordinul I pentru urmatoarele functii:

(i) f(u, v) = ln(u2 + v), u(x, y) = ex+y2 , v(x, y) = x2 + y;

(ii) f(u, v) = arctguv, u(x, y) = x sin y, v = x cos y.

Exercitiul XII. Sa se calculeze df

dx, f(x) = φ(u, v, w):

(i) φ(u, v, w) = uvw, u(x) = x2 + 1, v(x) = ln x, w(x) = tgx;

(ii) φ(u, v, w) = w√

u2+v2, u(x) = R cos x, v(x) = R sin x, w(x) = h.

Exercitiul XIII. Sa se scrie ecuatia planului tangent la suprafata (S) ın punctul indicat:

(i) z = arctg(x+ y), P(

12, 12, π4

)

;

(ii) r(u, v) = (2u, u2 + v, v2) , P (0, 1, 1);

Diferentiabilitate - studiu individual 5

(iii) xy − 2xz + xyz = 6, P (3, 2, 1);

(iv) cos x− cos y + sin z = 1, P(

π3, π3, π2

)

;

(v) r(u, v) = (u2 − v2, u+ v, u2 + 4v) , P(

−14, 12, 2)

;

(vi) r(u, v) = (u+ v, u2 + v2, u3 + v3) , u > v, P (0, 2, 0);

(vii) z2 + 2xz + 2yz + 4y = 0, P(

1, 12,−1

)

;

(viii) x2

a2− y2

b2− z2

c2= 1, P (x0, y0, z0);

(ix) x2

a2+ y2

b2+ z2

c2= 1, P (x0, y0, z0);

(x) xyz = 1, x, y, z > 0, P (x0, y0, z0);

(x) z = 4x2 + y2, x, y, z > 0, P (1, 1, 5);

(xi) z = 9− x2 − y2, x, y, z > 0, P (2, 2, 1).

lector univ. dr. mat. Bogdan Munteanu