B U D A P E S T I MŰ S Z A K I É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I E G Y E T E M

K Ö Z L E K E D É S M É R N Ö K I K A R V A S Ú T I J Á R MŰV E K T A N S Z É K

JÁRMŰDINAMIKA LINEÁRIS IDŐINVARIÁNS DINAMIKAI RENDSZEREK

a gépészmérnöki szak hallgatói számára

Dr. Zobory István egyetemi tanár

BUDAPEST 2003

A kéziratot átnézte: Dr. Bokor József

egyetemi tanár az MTA rendes tagja

és Dr. Zoller Vilmos

tudományos főmunkatárs a matematikai tudomány kandidátusa

1

Lineáris rendszermodellek a járműdinamikában A járműdinamikai rendszerek analízisét a legtöbb esetben célszerű lineáris rendszer-modellek alkalmazásával indítani. Az előző tanulmányok során - pl. az elsőéves "Mér-nöki Fizika" c. tárgyban is - a lineáris rendszer fogalma már bevezetésre került. A kö-vetkezőkben - tömör megfogalmazással élve - valamely dinamikai rendszert - R operá-torának sajátosságaival jellemezve - akkor nevezzük lineárisnak, ha az R a rendszerre működő bemenő jellemző és a rendszerből "távozó" kimenő jellemző között összeg- és aránytartó leképezést valósít meg. Az elmondottak a g(t) bemenő- és az yg(t) kimenő jellemzők esetén képletszerű megfogalmazásban a következő két összefüggéssel jelentkeznek:

A felírt két összefüggés gyakorlati szempontból tekintve a műszaki alapozó tantárgyakban már megismert és alkalmazott un. egymásrahalmozási elvet (szuperpozíciós elvet) fogalmazza meg. A fenti tulajdonságú lineáris R operátorral jellemzett átviteli tulajdonságú rendszerek között egyszerű kezelhetőségük miatt kiemelt szerepet játszanak az un. időinvariáns rendszerek. Az időinvariancia tulajdonságának magyarázatához tegyük fel, hogy egy adott τ ≠ 0 időeltolás mellett a vizsgált lineáris rendszer bemenetére az eredeti g(t) -hez képest τ -val eltolt g(t-τ ) gerjesztőfüggvény működik. Az időinvariancia fennállá-sa esetén a rendszer kimenetén jelentkező

v t g t( , ) ( )τ τ= −R

válasz az eredeti g(t) gerjesztőfüggvényre adott y tg ( ) válaszból szintén időeltolással,

v t y tg( , ) ( )τ τ= −

alakban nyerhető, azaz "a τ -val eltolt bementre adott válasz egyenlő az eltolatlan bemenetre adott válasz τ -val való eltoltjával". Az időinvariancia tehát tömör for-mában a

y t g tg ( ) ( )− = −τ τR

kifejezéssel ragadható meg. A járműdinamikában mindazon problémák lineáris időin-variáns dinamikai rendszer modellel lesznek kezelhetők, amelyek mozgásegyenletei állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet-rendszerként azonosíthatók. A lineáris dinamikai rendszerek kezelésére egységes elmélet építhető fel, ily módon egy kiterjedt járműdinamikai problémaosztály viszonylag egyszerűen, de mindenesetre a lineáris rendszerekre mindenkor érvényes belátható viselkedéstípusoknak megfelelő elvárások mellett kezelhető. Még a nemlineáris dinamikai feladatok megoldásához is jelentős segítséget adhatnak a megfelelően linearizált közelítő modellek, hiszen a line-arizált rendszerben értelmezett sajátkörfrekvenciák és stabilitástartalékok a nemline-áris rendszer várható dinamikai viselkedésére nézve is alapvető információt hordoznak.

1.) R (g1(t)+g2(t)) = R g1(t)+R g2(t) = y tg1( )+ y tg2

( ) , (összegtarás), 2.) R (λg(t)) = λR g(t) = λ y tg ( ) , (aránytartás) .

2

A lineáris dinamikai rendszerek mozgásegyenletei A járműdinamikában - de a gépek dinamikájában általában is - az előzőekben beveze-tett homogén lineáris R rendszeroperátor igen sokszor másodrendű lineáris inhomogén differenciálegyenlettel vagy differenciálegyenlet-rendszerrel hozható kapcsolatba. To-vábbi tárgyalásunkban feltételezzük, hogy a vizsgált koncentrált paraméterű dinamikai rendszer szabad koordinátáit az x( ) ( ), ( ),..., ( )t x t x t x t Rn

T n= ∈1 2 n-dimenziós vektorba foglaltuk, és a rendszerre működő gerjesztőhatások koordinátáit - esetleg bizonyos számú zérus beiktatásával - a szintén n-dimenziós g( ) ( ), ( ),..., ( )t g t g t g t Rn

T n= ∈1 2 vektorba foglaltuk. A rendszerben szereplő véges sok tömeg, tehetetlenségi nyomaték, rugómerevség, csillapítási tényező, geometriai jellemző és esetleges további üzemi paraméter rendre a mozgásegyenlet-rendszer M tömegmátrixában, D csillapítási mátrixában ill. S merevségi mátrixában jelenik meg azon összefüggéseknek megfelelően, amelyek a mozgásegyenlet-rendszer szintetikus vagy analitikus meghatározásakor az aktuális rendszert azonosítják. Az n-szabadságfokú rendszer mozgását leíró lineáris inhomogén differenciálegyenlet-rendszer mármost a következő alakban írható fel:

Mx Dx Sx g&& &(t) + (t) + (t) = (t) .

A felírt mozgásegyenlet-rendszerhez természetszerűen kapcsolódik a kezdeti értékek előírt rendszere, azaz a t0 megadott kezdeti időponthoz tartozó előírt x x( )t0 0= helyzet- és & ( ) &x xt0 0= sebességvektor. A dinamikai feladat megoldását a mozgásviszonyokat leíró lineáris inhomogén differenciálegyenlet-rendszer (D.E.R.) és a hozzá kapcsolt kezdeti érté-kek alkotta un. "kezdetiérték probléma" (K.É.P.) megoldása jelenti. Ismeretes, hogy a line-áris inhomogén differenciálegyenlet-rendszer X( )t általános megoldását a jobboldali za-varófüggvény (most a g(t) vektorértékű függvény) elhagyásával adódó

Mx Dx Sx 0&& &(t) + (t) + (t) =

homogén rész xh t( ) általános megoldásának és az inhomogén egyenlet egy X1( )t partikuláris megoldásának összege szolgáltatja, azaz:

X x X( ) ( ) ( )t t th= + 1 . Az inhomogén egyenletre vonatkozó K.É.P. megoldásának keresésekor célszerű úgy eljárni, hogy a homogén rész xh t( ) megoldását mindjárt a megadott x x( )t0 0= és & ( ) &x xt0 0= kezdeti értékekhez illesztjük, és így elegendő az inhomogén egyenletnek az adott t0 -nál az X 01 0( )t = és & ( )X 01 0t = összefüggéspárral meghatározott un. zéró kezdeti feltételeknek megfelelő partikuláris megoldását hozzáadni. A későbbi tárgyalásunkban látni fogjuk, hogy ezen zéró kezdeti feltételeknek eleget tevő egy partikuláris megoldása az inhomogén egyenletnek általában nagyobb nehézség nélkül meghatározható lesz. További tárgyalásunkban bevezetjük a vizsgált dinamikai rendszer )(ty állapotvektorát, és a megoldandó másodrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerünket nagyobb méretű - de már csupán elsőrendű lineáris differenciálegyenletekből felépülő - rendszerré írjuk át. Ezen transzformáció célja kettős. Egyrészt ilyen formában a homogén rész megoldásának

3

keresésekor közvetlenül jutunk el a matematikából ismert szokásos sajátérték-feladathoz, másrészt a rendelkezésre álló standard szoftverek (pl. MATLAB) ezen elsőrendű dif-ferenciálegyenlet-rendszerek kezelésére kínálnak fel megoldási eljárásokat. Az állapotteres tárgyalás előkészítő lépéseként a lineáris időinvariáns járműdinamikai rendszer fentiekben megfogalmazott differenciálegyenlet-rendszerét explicit alakra hoz-zuk:

&& &x M Dx M Sx M g(t) = (t) (t) + (t)− −− − −1 1 1 .

Vezessük be most a 2n dimenziós y x x( ) & ( ), ( )t t t Rdef T n= ∈ 2 (mozgás-)állapotvektort !

Ezen hipervektor első n sorában a dinamikai rendszer sebességkoordinátái, míg a má-sodik n sorában a rendszer elmozduláskoordinátái állnak. Készítsük el most az álla-potvektor idő szerinti első deriváltját, és vegyük figyelembe, hogy az így kapott deri-váltvektor első n sorában a dinamikai rendszer gyorsuláskoordinátái, míg második n so-rában a rendszer sebességkoordinátái állnak. Ezek szerint az:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−−−−−−

0gM

xx

OESMDM

xgMSxMxDM

xx

y (t)(t)

(t)+(t)(t) 111111 )()()(

)()(

ttt

tt

&

&

&

&

&&&

kifejezés adódik, ahol azonnal felismerhető, hogy a megjelent együttható hipermátrix szorzóvektora éppen a rendszer y( )t állapotvektora! Az együtthatóként fellépett hipermát-rix 4 db nxn -es blokkból épül fel, a két felső blokk dinamikai jelentése nyilvánvaló, az E blokk az nxn -es egységmátrixot, míg az O blokk az nxn -es zérómátrixot jelöli. A szóban forgó együttható hipermátrixot a lineáris időinvariáns dinamikai rendszer rendszer-mátrixának nevezzük, és A -val jelöljük. A dinamikai rendszerre ható g( )t Rn∈ gerjesz-tésvektor M−1-szereséből és egy n-dimenziós zérusvektorból felépülő hipervektort f( )t -vel jelölve, valamint megfogalmazva az y y x x( ) & ,t RT n

0 0 0 02= = ∈ állapotvek

torra vonatkozó kezdetiérték vektort, a dinamikai rendszer elsőrendűre redukált differen-ciálegyenlet-rendszeréhez rendelt kezdetiérték probléma a következő tömör alakban írható fel:

& ( ) ( ) ( )( )

y y fy y

t t tt

= +=

A

0 0 .

Tekintettel a kapott kezdeti érték probléma járműdinamikában játszott fontos szerepére, jelentését egy hatásvázlat alapján is szemléltetjük!

A

f(t) y(t). y(t)+

Ay(t)

+

A hatásvázlat kiemeli azon általános elv érvényesülését, hogy a külső f(t) gerjesztőhatáshoz tartozó mozgásokat a visszacsatoló ágban elhelyezkedő A rendszermátrix mintegy koordinálja, meghatározva azon Ay(t) kapcsolati erőket és nyomatékokat, amelyek a rendszerben lévő tömegek mozgására a szomszéd tömegek jelenlétéből következően hatnak.

4

Mivel a bevezetett konstans elemű A rendszermátrix a rendszerparaméterektől függ, szo-kásos az A(M,S,D) jelölés alkalmazása. A rendszermátrix paraméterei bizonyos üzemidő elteltével némiképp megváltozhatnak, és ez a paraméterváltozás a rendszer állapotvek-torában jelentős változásokat okozhat. A dinamikai analízis hátterű járműrendszer-dia-gnosztika éppen ezen paraméterváltozások okozta mozgás- és terhelésállapotváltozásokat vizsgálja, hogy behatárolhatóvá tegye a rendszerparaméterekben az üzemelés során beálló változások megengedhető mértékét. Fordítsuk ismét figyelmünket a kapott elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegyenlet-rendszerre vonatkozó kezdetiérték probléma (K.É.P.) megoldására. Ezen probléma meg-oldását is úgy konstruálhatjuk meg, hogy először keressük a differenciálegyenlet-rendszer homogén részének az adott y y( )t0 0= kezdeti értékeket kielégítő y yh t( , )0 partikuláris megoldását, és ehhez hozzáadjuk az inhomogén (gerjesztett) egyenlet y 0g t( )0 = kezdeti érték vektornak eleget tevő y 0g t( , )partikuláris megoldását. Így a járműdinamikai rend-szerünk gerjesztés hatására előálló mozgásviszonyait az adott kezdeti értékekhez illeszkedő

y y y y 0( ) ( , ) ( , )t t t Rh gn= + ∈0

2

állapotvektor-időfüggvénnyel - mint partikuláris megoldással - egyértelműen jellemezni lehet! Az elmondottak szerint elsőként az állapotvektorra felírt lineáris inhomogén (gerjesztett) differenciálegyenlet-rendszer gerjesztetlen & ( ) ( )y yt t= A homogén részének az adott y y( )t0 0= kezdeti vektorhoz tartozó y yh t( , )0 partikuláris megoldását kell meghatároz-nunk! Keressük a megoldást y h( )t e t= λ alakban, azaz egy egyelőre határozatlan h∈C n2 komplex elemű vektor, és az egyelőre határozatlan λ ∈C komplex együttható mellett képzett e tλ exponenciális függvény szorzataként. Deriválva a feltételezett alakú megoldás-függvényt az & ( )y ht e t= λ λ függvényt kapjuk. Visszahelyettesítve a homogén lineáris diffe-renciálgyenletünkbe, az

h hλ λ λe et t= A vektoregyenletet kapjuk. tekintve, hogy a mindkét oldalon szereplő e tλ függvény sehol sem lesz zéró a számegyenesen, ezért mindkét oldalt el szabad osztani e tλ -vel, így az egyenlet két oldalát felcserélve a szokásos alakú

A h h= λ sajátérték-feladatra jutunk. Keresni kell azon λ ∈C számokat, amelyek mellett a felírt sajátérték-feladatnak létezik h 0≠ - ú.n. nemtriviális - megoldása. Kismértékben átrendez-ve a sajátérték-feladat egyenletét a

A A h- h - E h 0λ λ= ( ) = homogén lineáris algebrai egyenletrendszert kapjuk az ismeretlen h∈C n2 vektor megha-tározására. Itt E a 2nx2n méretű egységmátrixot jelöli. Mivel bennünket csupán a h 0≠ nem triviális megoldások érdekelnek, ezért először az ezek létezését biztosító feltételnek megfelelő λ ∈C számokat - az un. sajátértékeket - kell meghatároznunk. Ismeretes, hogy egy négyzetes együtthatómátrixú homogén lineáris algebrai egyenletnek akkor és csak

5

akkor van nem triviális megoldása, ha együtthatómátrixa szinguláris, azaz az együttható-mátrix determinánsa zérus. Ez a feltétel esetünkben az jelenti, hogy meg kell határoznunk az A rendszermátrix det( )A - Eλ karakterisztikus polinomjának gyökeit. A gyökök meghatározása a

det( )A - Eλ = 0 karakterisztikus egyenlet megoldásával történik. Tekintettel arra, hogy a több-szabadság-fokú dinamikai rendszerek esetén a karakterisztikus polinom fokszáma a kettőt meghaladja, ezért a karakterisztikus egyenlet megoldása általában numerikus módszerrel történik. Szerencsére napjainkban számos igen gyors megoldó szoftver áll rendelkezésre az ilyen feladatok kezeléséhez. Mivel az A rendszermátrix mérete 2nx2n, ezért az algebra alaptételével összhangban 2n db - nem feltétlenül különböző - komplex gyök adódik sajátértékként. Ha a λ λ λ1 2 2, ,..., n C∈ gyökök - amelyek között lehetnek zérus képzetes résszel bíróak, azaz valós gyökök is - rendelkezésre állnak, akkor meg kell határozni ezen sajátértékekhez tartozó hi

nC i n∈ =2 1 2 2, , ,..., un. sajátvektorokat is az

( ) , , ,...,A - E h = 0λi i i n= 1 2 2 homogén lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldásával. A "Matematika" c. tárgyból ismeretes, hogy a homogén lineáris egyenletrendszerek nemtriviális megoldása sohasem egyértelmű! Az egyenletrendszerre tekintve azonnal látszik ugyanis, hogy bármely hi megoldással együtt tetszőleges c C∈ együttható (szorzó) mellett a c ih vektor is kielégíti az egyenletet. Ez gyakorlatilag azt jelenti, hogy ha az ( )A - Eλi együttható mátrix rangja ri , akkor a lineáris egyenletrendszer megoldásakor 2n-ri számú ismeretlennek tetszőleges (célszerűen egységnyi) értéket lehet adni, és ezen feltétel mellett a többi ismeretlenre kiadódó lineáris inhomogén egyenletrendszert már a szokásos módszerek valamelyikével meg lehet oldani, és így a hi sajátvektorok rendre meghatározhatók.

A további tárgyalásunkban feltételezzük, hogy a vizsgált dinamikai rendszer minden saját-

értéke különböző. Ebben az esetben a { }tiie

n

i

λh2

1= függvényrendszer a homogén lineáris

differenciálegyenlet-rendszerünk ú.n. alaprendszerét adja, elemei lineárisan függetlenek és generálják az homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer összes megoldása alkotta lineáris teret. Az ilyen tulajdonságú alaprendszer a megoldások lineáris terének egy bázisát szolgáltatja. Ismeretes azonban, hogy valamely lineáris tér elemei egyértelműen előállíthatók a báziselemek lineáris kombinációjaként. Most tehát a homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszerünk bármely megoldása előáll

y hh ii

n

itt c e i( ) =

=∑

1

2λ

alakban, alkalmas c C i ni ∈ =, , ,...,1 2 2 komplex együtthatókkal. Tekintettel arra, hogy a fenti kifejezés szerinti báziselőállításban a sajátértékek és a sajátvektorok ismerteknek tekinthetők a sajátérték feladat megoldása után, most már csak a kezdeti érték feladatunk megoldását biztosító "alkalmas" c C i ni ∈ =, , ,...,1 2 2 együtthatók meghatározása marad hátra. Foglaljuk a szóban forgó ci együtthatókat a c = ∈c c c Cn

T n1 2 2

2, ,..., oszlopvektor-ba, és vegyük figyelembe az előírt y y( )t0 0= kezdeti értékeket! Ezekkel a homogén

6

differenciálegyenlet-rendszer előbb felírt megoldására a t0 helyen előírva az y y( )t0 0= kezdeti vektor felvételét, az

[ ] Bchhhhy =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

== ∑=

n

tn

ttti

n

ii

c

cc

eeeec ni

2

2

1

221

2

10

0202010 ,...,,M

λλλλ

nemszinguláris B-mátrixú lineáris inhomogén algebrai egyenlet adódik az ismeretlen c vektor elemeinek meghatározására. A fenti eljárás során kihasználtuk azt a tényt, hogy a reális dinamikai problémát leíró állandó együtthatós homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszerek a teljes állapottéren eleget tesznek a Lipschitz-feltételnek, és így a kezdetiérték feladat egyértelműen oldható meg. A fenti tárgyalásunk során láttuk, hogy a λ λ λ1 2 2, ,..., n C∈ sajátértékek a homogén rész megoldásának előállításában kulcsfontosságú szereppel bírnak. Tovább növekszik ezen sajátértékek jelentősége, ha tekintetbe vesszük, hogy a sajátértékek képzetes része megadja a dinamikai rendszerünk sajátkörfrekvenciáit, és így a rendszer sajátfrekvenciái abszolút-érték képzés és 2π -vel való osztás után

f i nii= =

Im , , ,...,λπ2

1 2

alakban adódnak. A sajátfrekvenciák - pontatlanul fogalmazva - megadják azon frekvencia értékeket, amelyekkel az egyensúlyából kitérített rendszer "magától rezegni szeretne", így egyben arra nézve is alapinformációt adnak, hogy milyen frekvenciájú gerjesztésekre fog a rendszer esetleg veszélyes nagyságú kitérésértékekkel "rezonálni". A sajátértékek másik - nem kevésbé fontos - szerepe a lineáris dinamikai rendszer stabili-tásának indikálásában van. Mivel a homogén differenciálegyenlet-rendszer megoldásai exponenciális időfüggvények lineáris kombinációjaként állnak elő, ahol az exponenciális időfüggvények kitevőjében szerepelnek a sajátértékek, azonnal adódik, hogy ha valamely sajátérték valós része pozitív valós számértéket vesz fel, akkor az a megoldás-összetevő exponenciális sebességgel végtelenhez fog tartani, és ez a tulajdonság a mozgásamplitudók veszélyes megnövekedéséhez, a rugalmas elemek rugalmassági határának kimerüléséhez, az anyag megfolyáshoz, majd elméletileg töréshez vezet. Az elmondottak miatt jármű-vekben - de általában tetszőleges gépben - a megvalósított lineáris dinamikai rendszer nem rendelkezhet olyan paraméterekkel, amelyek mellett a stabilitásvesztést jelző pozitív valós részű sajátértékek alakulnak ki. Ezen okok miatt a λ λ λ1 2 2, ,..., n C∈ sajátértékek

ρ λi i i n= =Re , ,..., 1 2 2

valós részeinek negatív számértékeit mint stabilitástartalékokat értelmezhetjük, míg zéró vagy pozitív értékük a stabilitás határát ill. a stabilitásvesztést indikálja. Minél nagyobb a stabilitástartalék, annál kisebb a stabilitásvesztéssel járó veszélyes mozgás- és terhelésál-lapotok kialakulása a vizsgált lineáris dinamikai rendszerünkben. A fenti lineáris időinvariáns dinamikai rendszerekre vonatkozó összefüggéseket egy egy-szabadságfokú járműdinamikai modellen érzékeltetjük. Az ábra szerint a járműnek csupán a függőleges gerjesztett lengéseit kívánjuk vizsgálni a felrajzolt - erősen egyszerűsített - lineáris dinamikai modellel.

7

m mzz

g gs, d

g(t) z(t)Lineárisidõinvariáns

dinamikai modell A jármű dinamikai modelljének függőleges mozgását az

mz t dz t sz t sg t dg t&&( ) &( ) ( ) ( ) &( )+ + = +

másodrendű lineáris inhomogén differenciálegyenlet írja le, ahol a g(t) gerjesztő idő-függvényt deriváltjával együtt ismertnek tételezzük fel. Ily módon a differenciálegyenlet zavarófüggvényét egy adott f t sg t dg t∗ = +( ) ( ) &( ) függvénynek tekinthetjük. Bevezetve az y( ) &( ), ( )t z t z t RT= ∈ 2 állapotvektort, kapjuk a dinamikai probléma rendszermátrixos megfogalmazását:

)()()(0)(

)(01)(

)()(

)(

ttt

tztz

tztz

t mtf

ms

md

fyy

y

+=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

∗

A&

&

&

&&&

Határozzuk meg először az A rendszermátrix sajátértékeit! A karakte risztikus polinom most a

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=−

1001

01det)det( λλ m

smd

EA

alakot ölti, ennek figyelembevételével pedig a karakterisztikus egyenlet

01

det , 01001

01det 2 =++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−ms

mdm

smd

ms

md

λλλ

λλ

alakú lesz. Ezen (ismert alakú) karakterisztikus egyenletnek a megoldása adja a két sa-játértéket:

( ) ( ) ( ) ( )ms

md

md

ms

md

md −−−=−+−= 2

2222

221 , λλ .

További vizsgálatunkban tételezzük fel, hogy a járműdinamikai rendszerünk gyengén csil-lapított, azaz a sajátértékek kifejezésében a diszkrimináns negatív, és így a két sajátérték komplex konjugált gyökpár. Bevezetve a

( ) ( ) 0 , 222 >−=−= md

ms

md γβ

kifejezés-párt, a két sajátértékre a λ β γ λ β γ1 2= + = −i i,

konjugált komplex számpár adódik. A sajátértékek ismeretében a lengő rendszer saját-kör-frekvenciája és sajátfrekvenciája az

ω λ γ ωωπ

γπ

= = = = = =Im , = ; , rads f f Hzs2 2

1

képlet-párral számítható, míg a stabilitástartaléka a

8

ρ ρ λ λ β1 2 1 2 20= = = = = − <Re Re d

m

értéket veszi fel. A most nyert eredmény azt mutatja, hogy a vizsgált lengő rendszerünk d > 0 esetén stabilis. Az adott kezdeti értékeknek eleget tevő megoldásfüggvény megadásához szükséges még az f(t) gerjesztővektorral meghatározott inhomogén egyenlet zéró kezdeti feltételeknek megfelelő egy partikuláris megoldás ismerete. Ennek meghatározása a következő fejezetben világossá válik. Lineáris időinvariáns dinamikai rendszerek jellemzése az időtartományban A súlyfüggvény SISO esetén Ha vizsgált dinamikai rendszerre csak egy helyen működhet bemenő (gerjesztő) hatás, és a rendszer csak egy helyen ad ki választ, akkor egy bemenetű és egy kimemetű dinamikai rendszerről beszélünk. Az ilyen rendszerek rövid jelölésére szolgál a rendszertechnikában elterjedt az angol megnevezés (Single Input-Single Output) kezdőbetűiből képzett SISO mozaikszó. A h(t) súlyfüggvény a lineáris időinvariáns dinamikai rendszer olyan széleskörűen fel-használható rendszerjellemző függvénye, amelynek ismeretében a rendszer bementére érkező időfüggő gerjesztések igen széles osztályára a rendszerválasz meghatározható. Magát a h(t) súlyfüggvényt a vizsgált - kezdetben nyugalmi állapotban lévő - lineáris időinvariáns rendszer speciális gerjesztésre adott válaszával értelmezzük. Ez a speciális gerjesztés a rendszerbe egységnyi impulzust bevezető ú.n. Dirac-δ "függvény". Az impulzusváltozás jelentése a mechanikából ismert: az m tömegpontra ható időben változó eredő F(t) külső erőhatásfüggvény idő szerinti integráljával van értelmezve a változás kezdő és végpontját jelentő időpontok között. Az m tömegpontra ható teljes impulzusváltozás egységnyi, ha az F(t) eredő erő időfüggvénynek a teljes ( )∞∞− , időtengelyen vett improprius integrálja egységnyi, azaz:

∫+∞

∞−

= 1)( dttF .

A h(t) súlyfüggvény értelmezéséhez az F(t) gerjesztő erőt "abszolút lokalizáltan" kell mű-ködtetnünk a súlyfüggvény argumentumában szereplő független változóra vonatkozó t = 0 időpontban. Éppen ennek az abszolút lokalizáltságnak a szükségessége okoz lényeges matematikai nehézséget a Dirac-delta gerjesztés "függvény"-ként történő értelmezésekor. a) Első lépésként az abszolút lokalizáltság követelményét egyelőre félretéve tekintsünk egy csak közelítőleg lokalizált, de egységnyi impulzust szolgáltató δε ( )t erőlefutást a t = 0 pont jobb oldali környezetében, a (0,ε) intervallum felett nemzérus ú.n. Dirac-δ -közelítő négyszöglökés-függvényt! Ennek a teljes ( )∞∞− , számegyenes feletti képletszerű meghatározása esetszétválasztással történik:

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

∈

∉= ,0 1

,0 0)( ε

ε

εδε tha

that .

Az így értelmezett négyszöglökés-függvény okozta impulzusváltozás egységnyi, hi-szen:

9

1 1 1 1)(00

==== ∫∫∫+∞

∞−

εεεε

δεε

ε dtdtdtt .

A fenti értelmezésből nyilvánvaló, hogy amennyiben a δε ( )t függvényt a zérushoz lo-kalizálni szeretnénk, akkor az ε tartóintervallum hosszának jobbról zérushoz kell tar-tania, és ezzel egyidejűleg az 1/ε jelmagasság egyre növekszik és ∞ -hez tart. Ez szemléletesen azt jelenti, hogy az impulzusbevezetés lokalizálásakor végzett határát-menet során az egységnyi impulzusváltozási érték fenntartása érdekében a jelmagasság egyre növekszik, azaz igen kicsi ε tartóintervallum hossz mellett igen magas - 1/ε magasságú - tűszerű jelet kapunk. A már igen kicsi, de még a határátmenettel el nem tűnt ε időintervallum-hossz esetét gondolatban rögzítve, szemléletesen átlátható dina-mikai tartalmat olvashatunk ki az így rögzített δε ( )t egységnyi impulzusváltozást adó négyszöglökésre nézve. Az a helyzet ugyanis, hogy ezt az igen rövid ε időtartamra korlátozódó δε ( )t négyszöglökést valamely kezdeti állapotként nyugalomban lévő m tömegre külső gerjesztőerőként alkalmazva a vizsgált tömeg ugyan kénytelen ezen igen rövid ε idő alatt átvenni az egységnyi impulzusváltozást és ennek megfelelően a kezdeti zérus mozgásmennyiségét mv = 1 -re növelni, ami a vizsgált m tömegnek az impulzusközlés utáni v = 1/m sebességét beállítja, azonban tekintettel az ε időtartam igen kicsi (elhanyagolhatóan kicsi) voltára, "nincs elegendő idő" arra, hogy az ε idő-tartam alatt az m tömeg kezdeti helyzete is megváltozzon, azaz nagyon jó közelítéssel fennáll, hogy a négyszöglökés ε működési ideje alatt befutott út: s ≈ 0! A fentiek előrebocsátásával mármost az egységnyi impulzusváltozást okozó Dirac-δ gerjesztés határátmenettel volna felírható:

δ δε

ε( ) lim ( )t t=→0

,

mely határátmenet formális végrehajtásával a

⎩⎨⎧

=∧=∞≠

= ∫+∞

∞−

1)( 0

0 0)( dtt

thatha

t δδ

esetszétválasztásos összefüggés adódik, és az itt szereplő esetszétválasztás szerint értelmezett függvény integrálja csak zérus lehetne, és így nem kapnánk egységnyi impulzusváltozást! Jelen tárgyalásunkban nincs lehetőségünk a fentiekben kibukott matematikai ellentmondás disztribúcióelméleti keretekben történő lehetséges felol-dására, ezért az Dirac-δ -val kapcsolatos egységnyi impulzusbevezetési alkalmazások biztosítása érdekében a határátmenet elvégzése előtti igen kis (elhanyagolhatóan kicsi) ε véges időtartam feltételezése melletti meggondolásokat elfogadva a Dirac-δ függ-vényt "szimbolikusan" értelmezzük, éspedig mint egy elenyésző ε idő alatt a rend-szerre ható egységnyi impulzusbevezetést adó tűszerű négyszöglökést fogjuk fel. b) A szigorúan lokalizált Dirac-δ egységimpulzus másik szemléletes közelítő függ-vényét kapjuk ha bevezetjük az egységnyi impulzust adó ( )tσδ Gauss-lökést, amely tulajdonképpen egy zéró várható értékű és σ szórású Gauss féle sűrűségfüggvény:

10

( ) 2

2

2

21 σ

σ πσδ

t

et−

= ,

melynek a ( )∞∞− , intervallumon vett időintegrálja (=az általa okozott impulzusváltozás) egységnyi. A fentiek előrebocsátásával az egységnyi impulzusváltozást okozó Dirac-δ (röviden: egységimpulzus) függvény ismét határátmenet segítségével lenne felírható:

δ δσ

σ( ) lim ( )t t=→0

.

A határátmenet formális végrehajtása itt is a fentiekben már vázolt ellentmondásos hely-zethez vezet, ezért a Dirac-δ lényegét szimbolikus értelemben ezen közelítés során is egy, még a határátmenet teljes végrehajtása előtti esethez tartozó - már igen kicsi de még véges σ paraméter mellett adódó - igen rövid (6σ hosszúságú) tartóinterval-lummal bíró tűszerűvé hegyesedett Gauss-görbével ragadhatjuk meg . A szigorúan lokalizált Dirac-δ egységimpulzus "függvényt" diagramban egy az ori-góban merőlegesen felvett egységnyi hosszúságú, felfelé mutató üresfejű nyíl ábrázol-ja, amely az origóban kiemelkedik a vízszintes tengelyre illeszkedő, az origón kívül mindenütt zérus értéket felvevő függvényvonalból. A ( )tδ egységimpulzus bementre a lineáris időinvariáns rendszer által adott h(t) válaszfüggvényt, a rendszer súlyfüggvé-nyét diagramban szemléltetjük.

Lineáris időinvariánsSISO

t

δ

δ(τ) h(t)

h

t A súlyfüggvény meghatározását egy egyszabadságfokú lineáris lengőrendszer esetére mutatjuk be. Jelölje a vizsgált lineáris időinvariáns rendszer operátorát R , ekkor írha-tó, hogy

h t t( ) ( )= R δ ,

miközben kikötjük, hogy a t = 0 időpontban (=kezdeti időpont) a h(0)=0 és a &( )h 0 0= feltételek (=kezdeti feltételek) teljesülnek.

Az R rendszeroperátor R −1 inverzét lehet egyszerűen megfogalmazni a h(t) súlyfügg-vényre mint ismeretlen függvényre vonatkozó másodrendű lineáris inhomogén dif-ferenciálegyenlettel, nevezetesen a δ (t) -vel gerjesztett lineáris lengőrendszer mozgás-egyenletével, melynek alakja:

mh t dh t sh t t&&( ) &( ) ( ) ( )+ + = δ .

Vezessük be a differenciálhányados képzést kijelölő p differenciáloperátort, akkor a kétszeri deriválás a p operátor kétszeri egymás utáni alkalmazását kívánja, mely két-szeri egymás utáni alkalmazást a p operátor négyzeteként azonosíthatunk. Ezzel:

11

mh t dh t sh t t

m h t d h t sh t t

m d s h t t

a h t t a s a d a m

h t t

ii

i

&&( ) &( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( ), , , ,

( ) ( ).

+ + =

+ + =

+ + =

= = = =

==

−

∑

δ

δ

δ

δ

δ

p p

p p

p

2

2

0

2

0 1 2

1

R

A fenti előkészületek során a rendszeroperátor R −1 inverzével megfogalmazott diffe-renciálegyenlet megoldásseregéből a számunkra érdekes súlyfüggvényt a kezdeti fel-tételek figyelembevételével kaphatjuk meg. Tekintsük tehát az

mh t dh t sh t t

h h

&&( ) &( ) ( ) ( ),

( ) &( )

+ + =

= ∧ =

δ

0 0 0 0

lineáris másodrendű inhomogén differenciálegyenletre vonatkozó kezdetiérték prob-lémát. Figyelembe véve a Dirac-δ gerjesztés előzőekben tárgyalt közelítő interpre-tációját, úgy tekinthetjük, hogy az elhanyagolhatóan rövid idő alatt a rendszerbe "tűszerűen" bevitt egységnyi impulzus a kezdeti állapotként nyugalomban lévő m tö-meg kezdeti zérus sebességét elhanyagolható idő alatt a megvalósuló mh&( )0 1+ = moz-gásmennyiség változás következtében &( ) /h m0 1+ = sebességre változtatja, ahol a 0+ időpont a zérustól elhanyagolható mértékben különböző pozitív időpontot jelöl. Az elhanyagolható időtartamú impulzusbevitel után a külső gerjesztés azonosan zérus értékű marad. Összegezve a most mondottakat, a súlyfüggvény meghatározásához konst-ruált inhomogén differenciálegyenletre a zérus kezdeti értékek hozzáfűzésével mega-dott kezdeti érték feladat t > 0 időpontokra érvényes megoldását a

mh t dh t sh t

h h h m

&&( ) &( ) ( ) ,

( ) &( ) &( ) /

+ + =

= ∧ ≈ =+

0

0 0 0 0 1

homogén lineáris differenciálegyenletre vonatkozó - az elhanyagolható idő alatti im-pulzusbevitel hatására előálló - zérustól különböző &( ) &( ) /h h m0 0 1≈ =+ kezdeti sebes-ség előírásával megfogalmazott kezdetiérték probléma (K.É.P.) megoldásával is meg-kaphatjuk, és ez a homogén egyenletre vonatkozó K.É.P. jóval egyszerűbb.

Keressük mármost a homogén lineáris differenciálegyenlet megoldását h t e t( ) = λ alak-ban, ahol λ egyelőre ismeretlen konstans. Kétszer deriválva ezt a hipotetikus meg-oldásfüggvényt, és visszahelyettesítve a differenciálegyenletbe a jól ismert

m d sλ λ2 0+ + = karakterisztikus egyenlet adódik, melynek mint másodfokú algebrai egyenletnek a gyökei:

ms

md

md

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛±

−=

2

2,1 22λ .

12

Az így kiadódó, nem egybeeső λ1 és λ2 gyökökkel meghatározott - egyébként így lineárisan független - e tλ1 és e tλ2 függvények és ezek bármely lineáris kombinációja is kielégíti a megfogalmazott homogén differenciálegyenletünket. Ezzel az általános megoldást jelentő függvénysereg rendelkezésünkre áll, azonban a konkrét dinamikai probléma megoldásához az előzőekben előírt h h h m( ) &( ) &( ) /0 0 0 0 1= ∧ ≈ =+ kezdeti feltételeket kielégítő partikuláris megoldás érdekes, ez fogja szolgáltatni ugyanis a vizsgált lineáris időinvariáns rendszer általunk keresett h t( ) súlyfüggvényét.

A következő tárgyalásunkat az általánosság bizonyos szűkítésével azon lineáris idő-invariáns rendszerek vizsgálatára korlátozzuk, amelyeknél a h t( ) súlyfüggvénynek van periodikus összetevője is. Ez az eset az ú.n. "gyengén csillapított" rendszerekre jellem-ző, amelyek a járműdinamikai feladatokban felmerülő rendszerek túlnyomó többségét alkotják. A gyengén csillapított rendszerek matematikai azonosítása a karakterisztikus egyenlet D diszkriminánsának vizsgálata alapján végezhető el. Ha D ≥ 0, akkor - amint az nyilvánvaló - az exponenciális megoldások kitevőibe valós számok lépnek be. Ilyen esetben a súlyfüggvény nem rendelkezhet periodikus összetevővel, azaz a kialakuló súlyfüggvény aszimptotikusan csökkenve zérushoz fog tartani - a rendszer ekkor túlcsillapított, a súlyfüggvény által jellemzett mozgás zéróhoz tartó un. kúszó mozgás lesz. Az erősen csillapított rendszereknél, amelyekre D >> 0 jellemző, ez a kúszó mozgás kizárólagos. A kúszó és a lengő jellegű súlyfüggvények sokasága között az elválasztó esetet a D = 0 teljesülése határozza meg. Végül - számunkra ez a legfontosabb eset - a lengőmozgást is tartalmazó súlyfüggvények kialakulását a D < 0 eset indikálja, más szóval lengéses összetevő akkor lép fel, ha a karakterisztikus egyenlet gyökei egymással konjugált komplex számok! A következőkben feltételezzük, hogy D < 0 teljesül és ezért a karakterisztikus egyenlet két gyöke λ β γ1 2, = ± i alakban írható fel, aholis bevezettük az

ms

md

mdi =

2= ,

2 , 1 2

22 ααγβ Žs⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

−=−=

jelöléseket. Itt i az imaginárius egység, β a d pozitivitása miatt határozottan negatív lesz, míg γ az előzetesen tett D < 0 feltétel miatt szükségképp pozitív érték. Ehelyütt csupán emlékeztetni kívánunk arra a korábban (pl. a "Mérnöki Fizika" c. tárgyban) tanult tényre, hogy a bevezetett α mennyiség éppen az egyszabadságfokú, csillapítás nélküli lengő rendszer sajátkörfrekvenciáját adja meg. A későbbiek során világossá fog válni, hogy a bevezetett γ mennyiség viszont a lengő rendszer csillapítás jelen-létében érvényes vetítőszögsebességét adja, míg d = 0 esetén γ = α , azaz visszakapjuk a csillapítatlan rendszer sajátkörfrekvenciáját! A fentiek ismeretében írjuk fel a vizsgált lengő rendszer mozgásegyenletének általános megoldását, a

h t c e c et t( ) = +1 21 2λ λ

kétparaméteres (c1 és c2) megoldássereget! Ezen megoldásseregből az előírt kezdeti értékek tekintetbevételével választhatjuk ki a rendszer súlyfüggvényét adó partikuláris megoldást. A feladat lényege a szereplő két konstans, c1 és c2 meghatározása az előírt

13

kezdeti értékek alapján. A kérdés taglalása a két keresett konstansra vonatkozó lineáris egyenletrendszerre vezet. Tekintsük ugyanis a t = 0+ ≈ 0 kezdeti időponthoz előírt h(0)=0 és &( ) /h m0 1= kezdeti feltételeket, ezeket az általános megoldás kifejezésébe helyettesítve:

i.) h c e c e c c( )0 010

20

1 21 2= + = + =λ λ ,

ii.) &( ) /h c e c e c c m0 11 10

2 20

1 1 2 21 2= + = + =λ λ λ λλ λ .

Az i.) egyenletből adódik a c c2 1= − összefüggés, ezt a ii.) egyenletbe helyettesítve:

c m1 1 2 1( ) /λ λ− = , amiből a

cm1

1 2

1=

−( )λ λ és c

m21 2

1= −

−( )λ λ

kifejezések adódnak a két keresett konstansra. Mivel a fenti kifejezések nevezőjében szereplő különbség a D < 0 miatt nem lehet zérus, ezért a t > 0 időpontokra a keresett súlyfüggvény már felírható:

h tm

em

e

i i me

i i me

ime e e

me e e

i me t

t t

i t i t

t i t i t ti t i t

t

( )( ) ( )

( ( )) ( ( ))

( ) ( ) sin

( ) ( )

=−

−−

=

=+ − −

−+ − −

=

= − =−

=

+ −

−−

1 1

1 1

12

12

1

1 2 1 2

1 2

λ λ λ λ

β γ β γ β γ β γ

γ γ γγ

λ λ

β γ β γ

β γ γ βγ γ

β .

A vizsgált egyszabadságfokú lineáris lengőrendszer teljes t tengely felett értelmezett súlyfüggvénye esetszétválasztással adódik:

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤ 0

⟩=

0 ha

0 ha sin1)(

t

ttemth

t γγ

β

.

A fentiekben meghatározott súlyfüggvény β << 0 miatt t növekedésével zérushoz tartó függvény lesz, éspedig a γ körfrekvenciájú és 1/mγ amplitúdójú origóból induló szi-nuszhullám és az exponenciálisan lecsengő e tβ függvény szorzata. Ha a vizsgált rend-szerünk csillapítatlan (d = 0), akkor az exponenciális szorzó azonosan egységnyi értékű szorzóba megy át, és így ez esetben a rendszer súlyfüggvénye a γ α= egyenlőség érvényesülése miatt a pozitív féltengely feletti (1/mα)sinαt függvény lesz.

14

h

t

d = 0d 0

Az átmeneti függvény SISO esetén Az A(t) átmeneti függvény a lineáris időinvariáns dinamikai rendszer másik széleskörűen felhasználható rendszerjellemző függvénye, amelynek ismeretében a rendszer bemenetére érkező időfüggő gerjesztések igen széles osztályára a rendszerválasz meghatározható. Magát az A(t) átmeneti függvényt a vizsgált - kezdetben nyugalmi állapotban lévő - lineáris időinvariáns rendszer speciális gerjesztésre adott válaszával értelmezzük. Ez a speciális gerjesztőfüggvény az ú.n. egységugrás- vagy Heaviside-függvény. A t = 0 pontban működtetett, és minden valós t-re értelmezett U(t) egységugrás függvény esetszétválasztásos definíciója a következő:

⎩⎨⎧ ≤

=kźlšnben 1

0 0)(

thatU .

Az egységugrásfüggvény fenti bevezetése után célszerű az U tε ( )egységugrásközelítő (tö-röttvonal-) függvényt is bevezetni a következő definícióval:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

⟨⟨

≤

=

ε

εεε

tha 1

t 0 ha 1 0 tha 0

)( ttU .

A megadott definíciók alapján leolvasható az ε → 0 esetén érvényesülő kapcsolat a két ugrásfüggvény között, nevezetesen minden t ≠ 0 esetén:

lim ( ) ( )ε

ε→

=0U t U t .

Az U tε ( ) függvény ε = 0 esetén a t = 0 pontban többértékűvé válik, így a határérték értel-mezése t = 0 -ban nehézségbe ütközik. Azonban a még pozitív ε értékek esetén az U tε ( ) függvény derivált függvénye megegyezik a δε ( )t Dirac-δ -közelítő négyszöglökés függ-vénnyel, azaz:

ddt

U t tε εδ ε( ) ( )= ≠ , ha 0 .

A megfordítás is igaz, vagyis a a Dirac-δ -közelítő négyszöglökés függvénynek a ( ]t,∞− intervallumon vett improprius integrálja megadja az U tε ( ) függvényt:

15

∫∞−

=t

dtU ττδεε )()( .

A fentiekben megadott két összefüggést szigorúan véve mindig csak igen kicsi de még véges ε -ok esetére tekinthetjük érvényesnek, szimbolikusan azonban - nem foglalkozva az egyébként lehetséges egzakt disztribúcióelméleti megalapozás kimunkálásával - az egy-ségugrás függvény és a Dirac-δ függvény között is szimbolikusan érvényesnek tekinthetjük az

∫∞−

=∧=t

dtUttUdtd ττδδ )()( )()(

összefüggéspárt, mintegy gyorsírásként felfogva azokat az ε -os kifejezések helyett, mindig nagyon kicsi de még véges pozitív ε -okra gondolva! Rátérve a A(t) átmeneti függvényre, a vizsgált lineáris időinvariáns rendszer R operátorát figyelembe véve, a következő értelmezés (definíció) érvényes:

A t U t( ) ( )= R ,

azaz az átmeneti függvény a rendszer egységugrás gerjesztésre adott válaszfüggvénye! Most az A(t) átmeneti függvényt visszavezetjük a rendszer h(t) súlyfüggvényére. Vegyük figyelembe ehhez, hogy az U(t) egységugrás - a fentiekben tárgyalt módon, legalábbis szimbolikusan - felírható a Dirac-δ függvény integráljaként. Igy az átmeneti függvényt

∫∫∫∞∞∞

====ttt

dtthdttdtttUtA---

RRR )()()()()( δδ

alakban kapjuk a súlyfüggvény integráljaként. A levezetés során kihasználtuk az R lineáris időinvariáns rendszeroperátor és az integrál mint lineáris operátor felcserélhetőségét. A súlyfüggvény tárgyalásakor vizsgált egyszabadságfokú lineáris lengőrendszerre az A(t) át-meneti függvény a most kapott összefüggés alkalmazásával kiadódik:

∫∫∫ ===∞

ttt

dem

dtthdtthtA00

sin1)()()( τγτγ

βτ

-

.

A h(t) súlyfüggvény is meghatározható az A(t) ismeretében, a következő meggondolással:

h t t ddt

U t ddt

U t ddt

A t( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = = =R R Rδ ,

mely egyenlőségsor felírása során kihasználtuk az R lineáris időinvariáns rendszeroperátor és a differenciáloperátor mint lineáris operátor felcserélhetőségét. A súlyfüggvény és az átmeneti függvény összefüggésére kapott eredményeket tömören a következő összefüggéspár formulázza:

∫∞−

=∧=t

dhtAdt

tdAth ττ )()( )()( .

16

Lineáris időinvariáns SISO válaszának meghatározása az időtartományban A válasz meghatározása a súlyfüggvényre támaszkodva - A konvolúció-tétel Legyen g(t) a lineáris időinvariáns rendszer bemenetére működő gerjesztést megadó idő-függvény, melytől megköveteljük, hogy a számegyenes minden véges időintervallumán integrálható legyen (=lokális integrálhatóság). Készítsük el a t időtengely egy nem feltétlenül egyenlőközű (nem feltétlenül ekvidisztáns) felosztását az egymáshoz közel-fekvőnek tekintett időpontokból álló { } Iiit ∈ pontsorozattal, ahol I egy megfelelő indexhalmaz. Az így felvett pontsorozatra támaszkodva definiáljuk a g(t) függvény "durvítását", ami azt jelenti, hogy egy a g(t) függvényt közelítő jól meghatározott g t∗ ( ) lépcsős függvényt hozunk létre, éspedig olymódon hogy a g t g t∗ ≈( ) ( )közelítés a felosztáselemek ∆t t ti i i= −+1 távolságának csökkentésével tetszőlegesen javítható legyen. Tekintsük most a { } Iiit ∈ pontsorozaton felvett { } Iiitg ∈)( függvényértékek sorozatát (=mintavételi sorozat), és definiáljuk a következő - g(t) -vel kapcsolatban álló - négyszöglökés-függvényeket:

Iittttg

tg iiii ∈

⎩⎨⎧ ⟨⟨

= + , 0

ha )()( 1

különben .

A következő eljárásunk gondolatmenete azon alapul, hogy a fent meghatározott g ti( ) magasságú négyszöglökés függvényeket visszavezetjük ε = ∆ti mellett értelmezett és a t i Ii , ∈ pontokba eltolt Dirac−δ -közelítő négyszöglökés függvényekre. Mivel a δ∆ti

t( ) Dirac−δ -közelítő négyszöglökés magassága 1 / ∆ti , ezért a δ∆ ∆t ii

t t( ) négyszöglökés függvény már egységnyi magasságú lesz, ebből pedig a g ti( ) helyettesítési értékkel szorozva a δ∆ ∆t i ii

t g t t( ) ( ) az origó jobboldali környezetében elhelyezkedő g ti( ) magasságú négyszöglökés lesz. Ahhoz, hogy a kívánt g ti ( )a ti pontba tolt négyszöglökést megkapjuk, a kifejezésben szereplő Dirac−δ -közelítő négyszöglökést is el kell tolni a ti pontba. Ezzel g t t t g t ti t i i ii

( ) ( ) ( )= −δ∆ ∆ , i I∈ alakban kapjuk a g t∗ ( ) lépcsős függvényt összeg alak-ban előállító négyszöglökések sorozatát. Az említett előállítás konkrét alakja:

g t g t t t g t ti t i i ii Ii I

i

∗

∈∈= = −∑∑( ) ( ) ( ) ( )δ∆ ∆ .

A vizsgált időinvariáns lineáris rendszer kimenetén megjelenő y tg ( ) válaszfüggvényt az R rendszeroperátor g t( ) -re való alkalmazásával y t g tg ( ) ( )= R alakban kapjuk. Mivel elegendően finom { } Iiit ∈ felosztás esetén g t g t∗ ≈( ) ( ) , ezért a válaszfüggvényt közelítő felírását a g t∗ ( ) lépcsős "durvítás" figyelembevételével konstruálhatjuk meg, majd ∆ti → 0 határátmenettel finomítva a közelítő eredményt, nyerjük a pontos y tg ( ) rendszer-választ. A közelítő felírás tényleges alakja a következő:

17

y t g t g t g t t t g t t

t t g t t h t t g t t

g i t i i ii Ii I

t i i i t i i ii Ii I

i

i i

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

= ≈ = = − =

= − = −

∗

∈∈

∈∈

∑∑

∑∑

R R R R

R

δ

δ

∆

∆ ∆

∆

∆ ∆.

A fenti eredmény második sorában kihasználtuk az R operátor linearitását és időin-varianciáját. A képletbe belépett h t tt ii∆ ( )− kifejezés a vizsgált lineáris rendszer közelítő súlyfüggvényének eltoltja, nevezetesen a ti − beeltolt δ∆t ii

t t( )− Dirac−δ -közelítő négyszöglökésre adott válaszfüggvény. Most végrehajtva a ∆ti → 0 határátmenetet, és figyelembevéve, hogy a jelzett határátmenet során a { } Iiit ∈ felosztásrendszerben lévő elemek n száma a végtelenhez tart, valamint, hogy a súlyfüggvény közelítő függvénye ek-kor a pontos súlyfüggvényhez tart, kapjuk a már előrejelzett integrál-kifejezést:

τττ dgthttgtthtyIi

iiitn

tg ii

)()()()(lim)(0 ∫∑

+∞

∞−∈∆

∞→→∆

−=∆−= .

A most kapott integrál-kifejezés a nevezetes konvolúciótétel, az integrál ugyanis két függvény, a rendszer h t( ) súlyfüggvénye és a rendszerre ható g t( ) gerjesztőfüggvény között egy jól meghatározott műveletet fogalmaz meg, melynek végrehajtása vezet az y tg ( ) rendszerválaszhoz.

Az így értelmezett műveletet konvolúció-képzésnek nevezzük, és azt mondjuk, hogy a h t( ) függvényt a g t( ) függvénnyel "konvolváljuk". A konvolúció műveletének jele egy szorzásjelszerűen alkalmazott csillag:

y t h t g tg ( ) ( ) ( )= ∗ .

Nem nehéz belátni, hogy a konvolúcióképzés művelete kommutatív, azaz érzéketlen a tényezők sorrendjére. Ha még figyelembe vesszük, hogy a h t( ) súlyfüggvény negatív argumentumokra eltűnik, akkor a kiadódott integrálban elegendő a t felső határig in-tegrálni, hiszen ha τ ≥ t lesz, akkor a súlyfüggvény már zérus értéket vesz fel:

τττ dgthtyt

g )()()( ∫∞−

−= .

A tárgyalás ezen pontján érdemes ismét felírni a rendszeroperátor figyelembevételével az y t g tg ( ) ( )= R kifejezést, amelyet az előző kifejezéssel egybevetve azonnal látható, hogy

az R rendszeroperátor egy τττ dgtKtyg )(),()( ∫+∞

∞−

= alakban felírható integráloperátor, a-

melynek K t( , )τ magfüggvénye most speciális, a rendszer egyváltozós súlyfüggvényének speciális helyettesítési értékével K t h t( , ) ( )τ τ= − módon van meghatározva. Ezen eredményünk pozitívan cseng össze azzal az eredménnyel, miszerint a példaként vizsgált lineáris lengő rendszer esetén az R −1 operátor differenciáloperátor volt, és ezért ennek inverze, az eredeti R R= − −( )1 1 operátor integráloperátor kell, hogy legyen, hiszen a diffe-renciálás inverz művelete az integrálás.

18

A válasz meghatározása az átmeneti függvényre támaszkodva - A Duhamel-integrál Legyen g(t) a lineáris időinvariáns rendszer bemenetére működő gerjesztést megadó idő-függvény, melytől megköveteljük, hogy a számegyenes minden véges időintervallumán integrálható legyen (=lokális integrálhatóság). Készítsük el ismét a t időtengely egy nem feltétlenül egyenlőközű (ekvidisztáns) felosztását az egymáshoz közelfekvőnek tekintett időpontokból álló { } Iiit ∈ pontsorozattal, ahol I egy megfelelő indexhalmaz. Az így felvett pontsorozatra támaszkodva ismét definiáljuk a g(t) függvény "durvítását", azaz megint egy, a g(t) függvényt közelítő jól meghatározott g t∗ ( ) lépcsős függvényt hozunk létre, azonban most ezt a közelítő lépcsős függvényt a { } Iiit ∈ felosztáspontokba eltolt U t t i Ii( ),− ∈ egységugrás függvények lineáris kombinációjaként állítjuk elő. A lineáris kombinációban szereplő együtthatók a g(t) gerjesztőfüggvényből származó értékek lesznek. Az elmondottaknak megfelelően előállított g t∗ ( ) lépcsős függvény a következő alakú lesz:

g t U t t g t g tii

i i∗

=−∞

+∞

−= − −∑( ) ( ) ( ) ( )1 .

A szögletes zárójelben lévő mennyiség a tekintetbevett g(t) gerjesztőfüggvény növek-ményeit adja az egyes ∆t t ti i i= − −1 felosztáselemeken. Az így elkészített g t g t∗ ≈( ) ( ) közelítő függvény annál pontosabb lesz, minél finomabb a { } Iiit ∈ felosztás, másképp fo-galmazva a felosztáselemek ∆t t ti i i= − −1 távolságának csökkentésével a lépcsős közelítés tetszőlegesen javítható. A vizsgált időinvariáns lineáris rendszer kimenetén megjelenő y tg ( ) válaszfüggvényt elvileg az R rendszeroperátor g t( ) -re való alkalmazásával y t g tg ( ) ( )= R alakban kapjuk. Mivel elegendően finom { } Iiit ∈ felosztás esetén g t g t∗ ≈( ) ( ) , ezért a válaszfüggvényt kö-zelítő felírását a g t∗ ( ) lépcsős "durvítás" figyelembevételével konstruálhatjuk meg, majd , a ∆ti → 0 határátmenettel finomítva a közelítő eredményt, nyerjük a pontos y tg ( ) rendszerválaszt. A közelítő felírás tényleges alakja a következő:

y t g t g t g t U t t g t g t

U t t g t g t A t t g t g t

g ii

i i

ii

i i ii

i i

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= ≈ = = − − =

= − − = − −

∗ ∗

=−∞

+∞

−

=−∞

+∞

−=−∞

+∞

−

∑

∑ ∑

R R R R

R

.

1

1 1

A fenti eredmény második sorában kihasználtuk az R operátor linearitását és időin-varianciáját. A képletbe belépett A t ti( )− kifejezés a vizsgált lineáris rendszer A(t) át-meneti függvényének eltoltja, nevezetesen a ti -be eltolt U t ti( )− egységugrásfüggvényre adott válaszfüggvény. Most végrehajtva a ∆ti → 0 határátmenetet, és figyelembevéve, hogy a jelzett határátmenet során a { } Iiit ∈ felosztásrendszerben lévő elemek n száma a végtelenhez tart, kapjuk a következő integrál-kifejezést:

)()()()(lim)(0

ττ dgtAtgttAtyIi

iin

tgi

∫∑+∞

∞−∈∞→→∆

−=∆−= .

19

A most kapott integrál-kifejezés egy Stieltjes-féle integrál, mivel az integrálás most a g(t) gerjesztőfüggvényre nézve történik. Ha a g(t) gerjesztőfüggvény minden t -re differen-ciálható, akkor a dg g d( ) &( )τ τ τ= összefüggés figyelembevételével az y tg ( ) -re kapott kifejezésünk a szokásos Riemann-integrálra vezethető vissza:

τττ dgtAtyg )()()( &∫+∞

∞−

−= .

Ez a nevezetes Duhamel-integrál (ejtsd: Düamel) alapformája, mely lényegét tekintve ismét egy konvolúciós integrál, éspedig a rendszer A(t) átmeneti függvényének és a ger-jeszőfüggvény &( )g τ idő szerinti deriváltfüggvényének konvolúciója. Ennek alapján írható, hogy:

y t A t g tg ( ) ( ) & ( )= ∗ .

Ha még figyelembe vesszük, hogy az A(t) átmeneti függvény negatív argumentumokra el-tűnik, akkor a kiadódott integrálban elegendő a t felső határig integrálni, hiszen ha τ ≥ t lesz, akkor az átmeneti függvény már zérus lesz, így végül a Duhamel-integrál képlete:

τττττ dgtAdgtAtytt

g )()()()()( &∫∫∞−∞−

−=−= .

Megjegyezzük, hogy a Duhamel-integrál alkalmazható abban az esetben is, ha a g(t) ger-jesztőfüggvény szakadásos. Egyszerű példaként tegyük fel, hogy a g(t) függvény negatív idő értékekre azonosan zérus, míg a t = 0 helyen ugrása van, úgy, hogy a zérus pontban a jobb oldali határértéke g+ ( )0 , majd t ⟩ 0 -ra differenciálható. Ekkor a fenti gondolatmenet alkalmazásával a rendszer válasza

τττττ dgtAtAgdgtAtAgtytt

g )()()()0()()()()0()(00

&∫∫ −+=−+= ++ .

alakban adódik.

A válasz meghatározása az időtartományban sztochasztikus gerjesztés esetén Sztochasztikus gerjesztőfolyamatok A járművek és mobil gépek szakterületén felmerülő dinamikai problémák szinte mindegyi-kénél - de sok általános gépészeti problémánál is - a vizsgált dinamikai rendszerre működő gerjesztőhatások bizonytalansággal "terheltek". Ezen azt értjük, hogy szinte egyetlen eset-ben sem lehet megmondani valamely "jelenlegi" s időpillanatban, hogy a gerjesztőhatás valamely "jövőbeli" t s= + >τ τ , 0 időpillanatban 100% -os valószínűséggel milyen értéket vesz fel. Ily módon a jelenlévő bizonytalanság hatékony matematikai kezeléséhez a gerjesztőhatást sztochasztikus folyamatként kell tekintetbe vennünk. Mint az a "Matematika" c. tárgyból jól ismert, valamely skalárértékű sztochasztikus folya-mat (véletlen folyamat vagy véletlen függvény) kétváltozós valósértékű függvényként ra-gadható meg. A ξ( , )t w kétváltozós függvény t változója a számegyenesen fekvő véges vagy végtelen I intervallumból, a folyamat ú.n. paraméterteréből veszi fel értékeit, míg w változója a folyamatot jellemző elemi események W halmazából a folyamat ú.n. esemény-

20

teréből veszi fel az értékeit. Az elmondottakat röviden úgy összegezhetjük, hogy a ξ( , )t w sztochasztikus folyamat az időtől és a véletlentől függő kétváltozós függvény. Ha a második változót rögzítjük, azaz feltételezzük, hogy egy w Wi ∈ elemi esemény realizáló-

dott, akkor a sztochasztikus folyamatunk a ξ ξw

def

iit t w( ) ( , )= - már csupán a t I∈ időtől

függő - egyváltozós valós realizációs függvényét (v. mintafüggvényét) kapjuk. Ezt a gon-dolatmenetet követve kapjuk a sztochasztikus folyamat horizontális leírását, miszerint a ξ( , )t w folyamat nem más mint a különböző (esetleg végtelen sok) w Wi ∈ elemi eseménynyel meghatározott, az I intervallumon értelmezett realizációs függvény egybefogott { }

Wwwii

t∈

)(ξ serege. A sztochasztikus folyamat ú.n. vertikális leírását akkor

kapjuk, ha a lehetséges t Ii ∈ időparaméterekhez hozzárendeljük a ξ ξt

def

iiw t w( ) ( , )=

valószínűségi változókat - a sztochasztikus folyamat u.n. "perem valószínűségi változóit". A ξ( , )t w sztochasztikus folyamatot így a W eseménytéren értelmezett perem valószínűségi változóinak egyparaméteres { }

Ittii

w∈

)(ξ seregeként jellemezhetjük.

A sztochasztikus folyamatok realiazációs függvényei alakulásának érzékeltetése és a jelentkező függvénysereg sávszerűségében "megbújó" változási tendencia szemléltetése céljából legyen az időtengelyen (=paramétertér) fekvő I intevallum a véges 0,T interval-lum. Ezen intervallum felett csupán három realizációs függvényt rajzoltunk fel. Már ezen három realizációs függvény is jól mutatja a folyamat sávszerű jellegét, és ezen sávba "kö-zépvonalként" berajzolható az egyes t I∈ időpontokhoz tartozó perem-valószínűségi vál-tozók várható értékeivel értelmezett

),()( wttm ξξ E=

várható érték függvény. Itt E a várható érték képzés funkcionálját jelöli. A kiadódó szem-léletes kép alapján azt mondjuk, hogy a sztochasztikus gerjesztőfolyamat realizációs függ-vényei a várható érték függvény körül ingadoznak.

tT0

ξ

ξ

w w w1 2

1

3

E (t,w)

Természetesen minden t I∈ időponthoz kiszámítható a perem valószínűségi változók szó-rása is az ismert

22 ))(),((),()( tmwtwttd ξξ ξξ −== MD

képlet szerint. Itt D2 a szórásnégyzet-képzés (variancia képzés) funkcionálját jelöli.

21

A lineáris időinvariáns SISO sztochasztikus bemenetre (gerjesztésre) adott válaszának idő-tartománybeli meghatározására mind a súlyfüggvényre támaszkodó, mind az átmnetei függvényre támaszkodó konvolúciós előállítások alkalmasak, azonban figyelembe kell venni, hogy az integrálkifejezések eredményei az időtől és a véletlentől függőek maradnak, és így sztochasztikus folyamatokként azonosíthatók. Rögzített w W0 ∈ elemi esemény mellett - azaz rögzített ξ( , )t w gerjesztő realizációs függvény mellett - az integrál megha-tározható (esetleg numerikus módszer alkalmazása szükséges) és előáll a lineáris rendszer kimenetén jelentkező η( , )t w válaszfolyamat adott w W0 ∈ -hoz tartozó realizációs függ-vénye. A be- és kimenő sztochasztikus folyamatok kapcsolatát az alábbi két formulával rögzíthetjük:

),()(),( , ),()(),( wthwtdwthwtt

τξηττξτη ∗=−= ∫∞−

,

vagy

),()(),( , ),()(),()(),( wttAwtdwgtAwdtAwttt

ξηττττξτη && ∗=−=−= ∫∫∞−∞−

.

Az utóbb felírt kifejezésben feltételeztük a ξ( , )t w bemenő folyamat t -szerinti derivált-jának minden w W∈ realizációs függvényre való létezését.

Lineáris időinvariáns dinamikai rendszerek jellemzése a frekvenciatartományban A komplex frekvenciafüggvény SISO esetén A H H i= ( )ω komplex frekvenciafüggvény a lineáris időinvariáns dinamikai rendszer olyan széleskörűen felhasználható rendszerjellemző függvénye, amelynek ismeretében a rendszer bementére érkező időfüggő gerjesztések bizonyos igen gyakran fellépő speciális osztályaira a rendszerválasz meghatározható. A komplex frekvenciafüggvény független változója az iω kéttényezős szorzat, melyben az első tényező az i imaginárius egység (i = −1), a második tényező a pedig a valós számként megjelenő ω körfrekvencia (rad/s) mértékegységgel. Igy világos, hogy a H komplex frekvenciafüggvény iω független válto-zója csupán képzetes résszel bíró komplex szám, és így a komplex számsík képzetes tengelyén felvett ponttal, vagy az origóból oda mutató vektorral ábrázolható. Tekintettel arra, hogy az elmondottak szerint Im(iω)∈R, rögzíthetjük, hogy a H komplex frekven-ciafüggvény független változójának "lényegét" a valósértékű körfrekvencia jelenti! Kérdés mármost, hogy a H komplex frekvenciafüggvény milyen halmazból veszi fel az értékeit, vagyis mi a H függvény értékkészlete? Ezen kérdésre tárgyalásunk ezen pontján még csak az a sommás válasz adható, ami már a "komplex frekvenciafüggvény" megnevezésből is adódik, ti. hogy a H függvény értékkészlete a C komplex számsík lesz! Összefoglalva az eddig nyert ismereteinket, a H =H i( )ω olyan komplexértékű függvény lesz, amely az ω ∈R valós körfrekvenciákhoz H C∈ komplex számokat rendel hozzá. Az adott kör-frekvenciákhoz hozzárendelt komplex számok arra lesznek jellemzőek, hogy a vizsgált lineáris időinvariáns rendszer a bemenetére érkező adott körfrekvenciájú jelösszetevőket hogyan transzformálja, milyen kimenőjellé alakítja. Az elmondottak már körvonalazzák annak szükségességét, hogy az "ω körfrekvenciájú jelösszetevő" fogalmát tisztázzuk. Az

22

ugyanis világos, hogy az ω körfrekvenciához hozzá tartozik egy f = ω π/ 2 frekvencia-érték (mértékegysége: f s Hz= =1/ ), ebből pedig a T = 1 / f összefüggés alapján egy periódusidő ( T s= ) adódik ki! Az tehát nem kétséges, hogy egy "ωkörfrekvenciájú jel-összetevő" T szerint periodikus függvény kell hogy legyen, azonban az időfüggés konkrét jelformája ezzel még nem rögzített. Az elvileg szóbajöhető számos jelforma közül szem-léletes tartalma miatt a szinuszos ill. koszinuszos jellefutás választása kerülhet elsősorban szóba. A rendszerelméleti vizsgálatok matematikai kezelését azonban nagyon megkönnyíti a szinusz ill. koszinusz függvényből az Euler-reláció alapján

e t i ti tω ω ω= +cos sin alakban nyerhető ún. elemi komplex harmonikus függvény bevezetése. Figyeljük meg, hogy ez a két valós változós komplexértékű

f t e Ci t( , )ω ω= ∈ függvény minden ωés t értékre értelmezve van, és hogy értékei - az ei tω = 1 minden valós ω -ra és t -re érvényesülő azonosság miatt - a komplex számsík egységkörére esnek. Legyen ω rögzített, zérustól különböző körfrekvencia, akkor t = 0 esetén e Riω0 1= ∈ lévén az elemi komplex harmonikus függvény éppen a valós tengelyen lévő egységnyi értéket veszi fel. Ha t ≠ 0, akkor a ϕ ω( )t t= időfüggő szögérték bevezetésével könnyen adódik, hogy az elemi komplex harmonikus függvény most az ei tϕ( ) komplex számot veszi fel az egységkörön, azt a komplex számot amelyhez az origóból húzott egyenes a valós tengellyel éppen (az óramutató járásával ellenkező értelemben pozitívnek értelmezett) ϕ ω( )t t= szöget zár be. Ezzel eljutottunk az elemi komplex harmonikus függvény elemi fazorként való interpretációjához. Az elemi fazor definíciója a következő: elemi fazornak nevezzük a komplex számsík ori-gójából felrakott, a t = 0 időpontban a valós egységnek megfelelő pontból indulva a komplex számsík origója körül ω= állandó szögsebességgel forgó egységnyi abszolút ér-tékű komplex számot. Az ωszögsebesség pozitív, ha a forgás az óramutató járásával el-lentétes. Ezen definíció szerint az f t ei t( , )ω ω= elemi komplex harmonikus függvény elemi fazor-ként azonosítható. Az elemi fazor fogalmából kiindulva jutunk el az általános fazor fogalmához: a t = 0 időpontban a valós tengellyel az óramutató járásával ellenkező értelemben felmért pozitív ε szöget bezáró fázishelyzetből induló, ω= állandó szögsebességgel forgó r > 0 abszo-lút értékű f t r rea

i t( , , , ) ( )ω ε ω ε= + komplex számot általános fazornak nevezzük. További tárgyalásunk során az így értelmezett fazorokra támaszkodva számos lényeges megállapítás lesz levonható a lineáris dinamikai rendszerek jelátviteli tulajdonságaira vonatkozóan. Most csupán két fontos összefüggésre utalunk a fazorokkal kapcsolatban. 1. Ha két elemi fazor körfrekvenciája (szögsebessége) ellentetten egyenlő, akkor a két

fazor összege az idő valósértékű függvénye lesz:

e e ei t i t i tω ω ω+ =− 2 Re .

23

Ezen szabály alapján méltán várhatjuk, hogy sikerül majd a valósértékű g(t) gerjesztő-függvényeket egymással szemben forgó elemi fazorok lineáris kombinációjaként elő-állítani.

2. A fenti összefüggés alapján a jól ismert e t i ti tω ω ω= +cos sin Euler-reláció kétszeri alkalmazásával (ti. másodszor -ωmellett) kapjuk az ωkörfrekvenciájú valósértékű ko-szinusz- és szinuszfüggvények elemi komplex harmonikus függvényekre támaszkodó előállítását:

cos sinω ωω ω ω ω

t e e t e ei

i t i t i t i t=

+∧ =

−− −

2 2 .

A H i( )ω komplex frekvenciafüggvény tényleges értelmezése a fenti előkészületek után mármost a következőképp végezhető el. Tételezzük fel, hogy a vizsgált lineáris időin-variáns rendszerünk h(t) súlyfüggvénye ismert, és a rendszer bemenetére a g(t)=ei tω elemi komplex harmonikus gerjesztés működik. Ekkor a rendszer válaszát a konvolúciótétel alkal mazásával

ττ ωτ dethty it

g )()( −= ∫∞−

alakban kapjuk. A fellépő integrált u t du d= − = −τ τ, helyettesítéssel és az integrálási határok megfelelő átszámításával

dueuhedueuhe

dueuhdueuhty

uitiuiti

utiutig

ωωωω

ωω

−∞

∞−

−∞

−∞

−

∞

∫∫

∫∫

==

==−=

)()(

)()()(

0

)(

0

)(0

alakra hozhatjuk. Az utolsó kifejezésben az integrálás alsó határát azért vehettük −∞ -nek, mert a súlyfüggvény az általunk kizárólagosan vizsgált kezdetben nyugalomban lévő rendszerek esetén negatív argumentumokra zérus értéket vesz fel. A nyert végeredményben a rendszert gerjesztő ei tω mellett szorzóként megjelent komplexértékű improprius integrálkifejezést a H i( )ω komplex frekvenciafüggvénynek az adott ω -hoz tartozó értékeként ismerhetjük fel:

∫+∞

∞−

−= dueuhiH uiωω )()( .

A H i( )ω értelmezését ilymódon megadó integrálkifejezésben egyébként a h(t) súlyfügg-vény

∫+∞

∞−

−= dtethth tiω

π)(

21))((1-F

inverz Fourier transzformáltjának 2π -szeresét ismerhetjük fel , azaz:

H i h t( ) ( ( ))ω π= −2 1 F .

24

Ezzel egyrészt megkaptuk, hogy a dinamikai rendszerünk ω körfrekvenciájú elemi komp-lex harmonikus gerjesztésre adott válasza

)()()( ωωωω iHedueuhety tiuitig == −

∞

∞−∫

alakban írható fel, másrészt átrendezve explicit definíció adható magára a H i( )ω komplex frekvenciafüggvényre:

H iy te

Az e elemi komplex harmonikus gerjeszt sre adott v laszgi t

i t

i t( )( )

ω ω

ω

ω= = é

eá .

A fentiekben megfogalmazott összefüggést a szokásos R rendszeroperátor alkalmazásával tömör formában is felírhatjuk:

H iy te

ee

gi t

i t

i t( )( )

ω ω

ω

ω= =R

.

Ebből pedig a H i( )ω szerepét élesen kidomborítva:

R e H i ei t i tω ωω= ( ) ,

azaz az ωkörfrekvenciájú elemi komplex harmonikus gerjesztésre adott választ úgy kapjuk meg, hogy a rendszer komplex frekvenciafüggvényének ω -hoz tartozó H i( )ω helyettesítési értékét (=egy komplex szám) megszorozzuk az ei tω gerjesztő elemi komplex harmonikussal. Ezen szorzás eredménye egy ugyancsak ωkörfrekvenciájú de már nem elemi fazor lesz, ugyanis a komplex frekvenciafüggvény H i H i ei( ) ( ) ( )ω ω ψ ω= alakba írható fel, miből a rendszerválasz az ωkörfrekvenciától függő abszolút értékű és fázisszögű

R e H i e H i e e H i ei t i t i i t i tω ω ψ ω ω ω ψ ωω ω ω= = = +( ) ( ) ( )( ) ( ( ))

általános fazorkifejezésként áll elő. A lineáris időinvariáns dinamikai rendszer egy, a H komplex frekvenciafüggvénnyel rokonságban álló általánosabb jellemzőjét kapjuk, ha a H függvény argumentumában nem szorítkozunk a képzetes tengelyen fekvő iω speciális komplex értékekre, hanem minden olyan s C∈ komplex argumentumot megengedünk, amelyre a definiáló improprius integrál konvergens. Ennek megfelelően:

{ } 00

Re , , )()()()( rsCsthdtethdtethsH stst ≥∈=== −∞

−∞

∞−∫∫ L .

A felírt egyenlőségsorban a második integrál alsó határát zérusnak vehetjük, mivel h t( ) a nempozitív argumentumokra eltűnik. Az így előálló integrál-kifejezésben a h(t) súly-függvény jól ismert Laplace-transzformáltját ismerhetjük fel. A feltüntetett r0 valós kon-vergencia-abszcissza a rajta átmenő, képzetes tengely-irányú egyenessel mint határvonallal kijelöli a komplex számsík azon félsíkját, amelybe eső s értékek esetén a Laplace-transz-

25

formált létezik, azaz a meghatározó improprius integrál konvergens. A kapott H(s) függ-vény szintén fontos rendszerjellemző függvény, neve: a lineáris időinvariáns dinamikai rendszer átviteli függvénye. A rendszer átviteli függvénye tehát a súlyfüggvény Laplace transzformáltja. A lineáris időinvariáns dinamikai rendszerek g t( )bemenő (=gerjesztő) és y tg ( ) kimenő (=válasz) jellemzői közötti kapcsolat a Laplace transzformáció figyelembevé telével is megfogalmazható a következőképpen:

{ }{ }

{ }{ }

( ))(

)(

)()(

)( g

sGsY

tgtg

tgty

sH g ===L

)( RLL

L .

A megadott összefüggésből világos, hogy az átviteli függvény a rendszer kimenetén megjelenő válasz Y sg ( )Laplace-transzformáltjának és a rendszer bemenetére műkö-dő gerjesztőfüggvény (nemzéró) értékű G s( )Laplace transzformáltjának a hányadosa. Az átviteli függvénnyel kapcsolatos kitérő után visszatérve a fazoros tárgyaláshoz, az ed-digi vizsgálataink eredményeit abban összegezhetjük, hogy a vizsgált lineáris időinvariáns dinamikai rendszer (SISO) elemi fazorgerjesztésre a kimenetén ugyanolyan körfrek-venciájú de már általános fazorral válaszol, ezen válaszként adódó általános fazor abszolút értéke éppen a komplex frekvenciafüggvény abszolút értékével egyezik meg, fázisszöge pedig a gerjesztés fázisszögéhez képest éppen a komplex frekvenciafüggvény adott ω -hoz tartozó fázisszögével van eltolva!

Lineáris időinvariánsSISO Im

e ωi t

Im

Re Re

H(i )ω ei tω

ϕ=ωϕ+ψ

1 rt

A komplex frekvenciafüggvény meghatározását egyszabadságfokú lineáris lengőrend-szer esetére mutatjuk be. Jelölje a vizsgált lineáris időinvariáns dinamikai rendszer operátorát R , ekkor írható, hogy

R e H i ei t i tω ωω= ( ) .

A vizsgált lengőrendszer most is másodrendű lineáris inhomogén differenciálegyenlettel, az ei tω elemi komplex harmonikus függvénnyel gerjesztett lineáris lengőrendszer mozgásegyenletével írható le, melynek alakja:

my t dy t sy t ei t&&( ) &( ) ( )+ + = ω .

Az előző rendszeroperátorral megfogalmazott összefüggésünk szerint a mozgásegyen-let egy partikuláris megoldása az egyelőre ismeretlen komplex frekvenciafüggvénnyel y t H i ei t( ) )= ( ω ω alakban írható fel.

Az így kapott megoldást t szerint kétszer deriválva az

26

&( ) ) , &&( ) )( )y t H i i e y t H i i ei t i t= =( (ω ω ω ωω ω2

összefüggéspárt kapjuk, majd visszahelyettesítve a differenciálegyenletbe:

mH i i e dH i i e se e

m i di s e H i e

i t i t i t i t

i t i t

( (

(

ω ω ω ω

ω ω ω

ω ω ω ω

ω ω

)( ) )

( ( ) ) )

2

2

+ + =

+ + = .

Tekintettel arra, hogy ei tω ≠ 0, az egyenlet mindkét oldalán ezzel osztva, majd rendezve megkapjuk a vizsgált lineáris lengő rendszer komplex frekvenciafüggvényét:

H im i di s m di s

( ωω ω ω ω

)( )

=+ +

=− + +

1 12 2 .

A kapott függvényt a komplex számsíkban fekvő görbével az ú.n. "amplitúdó-fázis" dia-grammal jól lehet érzékeltetni. Ezen diagramban d > 0 esetén mindig érvényesül, hogy a pozitív körfrekvencia-értékekhez felrakott (folytonos vonallal megrajzolt) görbe annyi síknegyedet fut be, ahányadrendű a rendszer differenciálegyenlete. Mivel ez a rendszám most kettő, a görbe a 3. és 4. síknegyedben fog haladni. A negatív körfrekvencia-érté-kekhez felrakott (pontozott vonallal megrajzolt) görbe a pozitív körfrekvenciákhoz tartozó görbéből a vízszintes tengelyre való tükrözéssel adódik. Az ω = 0 körfrekvenciájú gerjesz-téskomponenshez (=az állandósult gerjesztéshez) tartozó H i( )0 szám mindig a valós tengelyre esik. A vizsgált lengőrendszer esetén könnyen belátható módon a H i( )0 = 1/s összefüggés áll fenn. Ha ω minden határon túl növekszik, akkor mindkét görbeág az alsó ill. a felső ívet befutva a valós tengelyhez balról érintőlegesen érkezik az origóba, mely pont elvileg az ω = ∞ (alsó görbeág) ill. ω = −∞ (felső görbeág) gerjesztőkörfrekvenciát képviseli.

Im

Reω=0

ω

Η(ι )ωω=οο

1s

ω 0

ω 0

ω=−οο

<

> Az ábrán bemutatott tulajdonság közvetlenül szemlélteti az egyébként algebrailag is nyilvánvaló H i H i( ) ( )− =ω ω összefüggés érvényesülését.

Ha a d csillapítás zérus, akkor a H i( )ω frekvenciafüggvény hurokszerű diagramja elfajul, tekintve, hogy ilyenkor a frekvenciafüggvény valós értékű lesz és így diagramja a valós tengelyen a (0, 1/s) intervallumba nem eső pontokat fedi le ω pozitív értékeken a s m/ -felé törénő növekedésével először a +∞ -be futva, majd

s m/ -et meghaladva -∞ -ből a 0 -ba visszaérkezve.

27

A komplex frekvenciafüggvény abszolút értékét és fázisszögét sokszor az ωkörfrek-vencia függvényében ábrázoljuk. A példánkban vizsgált lineáris csillapított lengő rendszer esetén a most mondott két diagram alakja az alábbi ábrában látható:

IHI

ωs/m- s/m 0arg H

ω−π

π

A vizsgált gyengén csillapított rendszer komplex frekvenciafüggvénye abszolút értékének a körfrekvencia függvényében való lefutása a rezonanciafüggvény jellegzetes "kiemelési" tulajdonságával rendelkezik a csillapításmentes rendszer sajátkörfrekvenciájának környezetében, tükrözve azt a tényt, hogy ha a rendszer a sajátkörfrekvenciájához közeli körfrekvenciájú gerjesztést kap, akkor a kimenőjel - a rendszerválasz - amplitudónövekedésével kell számolni. A válasz meghatározása periodikus gerjesztés esetén – Fourier-sorok alkalmazása a dinamikában Legyen most a vizsgált lineáris időinvariáns SISO bemenetére érkező g(t) gerjesztőfügg-vény T szerint periodikus. Ez azt jelenti, hogy minden a g(t) függvény értelmezési tar-tományába eső t és t + T időpontpárra a g(t) = g(t+T) egyenlőség fennáll. Ekkor a g(t)

valósértékű, T-periodikus gerjesztőfüggvény az { }Tetji

j/ω +∞

−∞= komplexértékű teljes

ortonormált függvényrendszer mint bázisfüggvény-rendszer figyelembevételével komplex Fourier-sorba fejthető a következők szerint:

,...2,1,0,1,2...

,)(1 , )(2/

2/

−−=

== ∫∑−

−+∞

−∞=

j

dtetgT

cectgT

T

tij

j

tij

jj ωω

.

A megadott { }+∞

−∞=jjc komplexelemű végtelen sorozat a sorfejtésben szereplő Fourier együtthatók sorozata. Mivel feltettük, hogy a g(t) gerjesztőfüggvény valósértékű, ezért a Fourier-együtthatókra fennáll a

c c jj j− = = − − , ... , , , , ,...2 1 0 1 2

ú.n. konjugáltsági feltétel. Természetes továbbá az ω ω− = − ∀j j j, egyenlőség-rendszer.

Alkalmazzuk most a vizsgált dinamikai rendszer válaszának meghatározása céljából az R rendszeroperátort a komplex Fourier-sorával felírt g(t) gerjesztőfüggvényre. Ekkor az

28

y t g t c e c eg ji t

ji tj j( ) ( )= = =

∞

∞

∞

∞∑ ∑R R R

j =- j =-

+ +ω ω

egyenlőségsor utolsó tagjában megjelent az ω j gerjesztő körfrekvenciájú elemi komplex

harmonikus R szerinti képe. Mivel R e H i ei tj

i tj jω ωω= ( ) , a keresett rendszerválasz

y t c H i e d eg j ji t

ji tj j( ) ( )= =

∞

∞

∞

∞∑ ∑

j =- j =-

+ +ω ω ω

alakban, a { }+∞

−∞=jjd komplex együtthatósorozattal bíró Fourier-sor alakjában adódik. A nyert összefüggésből leolvasható a gerjesztés és a válasz komplex Fourier-sorának Fourier-együtthatói között fennálló igen egyszerű és logikus

d H i c jj j j= = − −( ) , ... , ,. , , ,...ω 2 1 0 1 2

összefüggés, amely közvetlenül mutatja a komplex Fourier-soros tárgyalás előnyét a rend-szerdinamikai vizsgálatokban. Összefoglalva: Ha ismerjük a gerjesztés Fourier-együtt-hatóit és a rendszer komplex frekvenciafüggvényét, akkor a válaszfüggvény Fourier-együtthatóit egyszerűen kiszámítva azonnal előállíthatjuk a válasz Fourier-sorát. Ter-mészetesen a gyakorlati dinamikai feladatok jelentős részében a fenti Fourier sorok véges, -N és N indexhatárok között képzett csonkított változataival dolgozunk, mivel ezek is kielégítően pontos eredményt szolgáltatnak. A periodikus gerjesztésre adott válasz komplex frekvenciafüggvény segítségével törté-nő meghatározását a már vizsgált egyszabadságfokú lineáris lengőrendszer esetére mutatjuk be. Legyen a periodikus gerjesztőfüggvény nagyon egyszerű, egyetlen koszinuszfüggvény: g t t( ) = cosω . Ennek komplex Fourier-sora az Euler-reláció alapján:

g t t e e e e ei t i t

i t i t i t( ) = cosωω ω

ω ω=+

= + +−

−

212

0 12

0 ,

így a bemenet zérustól különböző Fourier-együtthatói: c c c− = = =1 0 11 2 0 1 2/ , , / . A rendszer komplex frekvenciafüggvényének figyelembevételével a rendszerválasz nem-zérus Fourier-együtthatói a következők lesznek:

d H i cm di s

d H i cm di s− −= =

− − += =

− + +1 1 2 1 1 21 1

21 1

2(- , (ω

ω ωω

ω ω) ) .

A rendszerválasz ezért most a következő alakot nyeri:

. )(

sincos)(21

)()())((

21

)()()()(

2222

2

2222

2

2222

221

01

ωωωωωω

ωωωω

ωωωωωω

ωωωω

ωωωω

dsmtdtsm

dsmeedieesm

dsmesdimesdimededty

titititi

titij

jj

tij

tijg

jj

++−++−

=++−

−+++−=

=++−

+−−+++−===

−−

−=

≠−=

∞

∞∑∑

+

-=j

29

A válasz meghatározása aperiodikus gerjesztés esetén - A lineáris dinamika alaptétele Legyen most a vizsgált lineáris időinvariáns SISO bemenetére érkező g(t) gerjesztőfügg-vény aperiodikus, azonban az időtengely feletti viselkedését tekintve megköveteljük, hogy a teljes számegyenesen legyen abszolút integrálható, azaz teljesüljön az

∞⟨∫+∞

∞−

)( dttg

feltétel. Ez a feltétel szemléletesen azt követeli meg, hogy a g(t) függvény nagy abszolút értékű argumentumokra elég gyorsan tartson zéróhoz. Nyilvánvaló, hogy az olyan gerjesz-tőfüggvények esetén, amelyek egy véges időintervallumon kívül azonosan eltűnnek, az abszolút integrálhatóság feltétele automatikusan teljesül. Az ilyen véges időintervallumon kívüli eltűnő gerjesztésfüggvények a gyakorlati járműdinamikai feladatokban legtöbbször az adott alakú egyedi út- vagy pályaegyenetlenségen való áthaladás keltette dinamikai folyamatok elemzésekor merülnek fel. A dinamikai elemzés matematikai feltételeit tekint-ve az aperiodikus gerjesztés abszolút integrálhatóságának megkövetelése azzal kapcsola-tos, hogy az ilyen gerjesztőfüggvényeknek létezik (véges) a Fourier-transzformáltjuk az alábbi egyszerű (a háromszög-egyenlőtlenségen alapuló) összefüggéssor szerint

∞⟨≤≤≤ ∫∫∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

)()()()( dttgdtetgdtetgdtetg tititi ωωω

A g(t) aperiodikus gerjesztésre adott válasz meghatározásához első lépésben elkészítjük a g(t) gerjesztéssel "rokon" g t∗( ) periodikus függvényt, melynek T periódusidejét a későb-biekben majd minden határon túl növelni fogjuk. A jelzett g t∗( ) periodikus függvényt a g(t) függvénynek a -T/2 és T/2 közötti szakaszával generáljuk, majd az így generált függvényt ± =kT k, , ,... 1 2 értékekkel eltolva és összeadva kapjuk meg. A viszonyokat ábrában szemléltetjük:

g(t) g (t)*

tT/2-T/2 (T/2)+T (T/2)+2T-(T/2)-T-(T/2)-2T 0

g, g*

Fejtsük most komplex Fourier-sorba a g t∗ ( ) valósértékű, T-periodikus gerjesztő-

függvényt ismét az { }Tetji

j/ω +∞

−∞= komplexértékű teljes ortonormált függvényrendszer

mint bázisfüggvény-rendszer figyelembevételével! Ekkor a

,...2,1,0,1,2...

,)(1 , )(2/

2/

−−=

== ∫∑−

−∗+∞

−∞=

∗

j

dtetgT

cectgT

T

tij

j

tij

jj ωω

30

kifejezéseket kapjuk. Írjuk be a Fourier-együtthatók formuláját a sor c j együtthatói helyébe és készítsük elő a formulát a T→ ∞ határátmenet elvégzésére a gerjesztőfüggvény inverz Fourier- transzformáltjának nyerése céljából! Az említett előkészület során a Fourier-sor tagjait egy egységnyi értékű 2 2π π/ tényezővel is bővítjük:

. 2 )(21 )(1)(

2/

2/

2/

2/∑ ∫∑ ∫+∞

−∞= −

−∗+∞

−∞= −

−∗∗ ==j

tiT

T

ti

j

tiT

T

ti

Tedtetgedtetg

Ttg jjjj π

πωωωω

A most nyert képletben megjelent 2π / T tényezőről kimutatjuk, hogy az a sorfejtésben szereplő szomszédos harmonikusok körfrevenciájának különbsége. Tekintsük ugyanis a j -edik és a j-1 -edik harmonikus komponens körfrekvenciájának különbségét:

∆ω ω ωπ π π

j j jjT

jT T

= − = −−

=−12 1 2 2( ) ,

így adódik a mondott állítás. A fentiekben megtett előkészületek után végre lehet hajtani a T→ ∞ határátmenetet. A határátmenet három lényeges dolgot eredményez: 1. A g t∗ ( ) periodikus függvény (a végesben) a g(t) aperiodikus függvénybe megy át 2. A képletben szereplő szumma egy ω -szerinti improprius integrálba megy át. 3. A képletben szereplő 1/(2π) együtthatós integrálkifejezés az eredeti g(t) gerjesztő-

függvény inverz Fourier-transzformáltjába megy át. Az elmondottak alapján az eredeti g(t) aperiodikus gerjesztőfüggvény a következőképpen áll elő:

ωωωπ

ωωω deidedtetgtg tititi )( )(21)( g∫∫∫

+∞

∞−

+∞

∞−

−+∞

∞−

Φ== .

A kapott képlet szerint a vizsgálat tárgyát képező g(t) aperiodikus gerjesztőfüggvény ismét előállt az ei tω elemi komplex harmonikus függvények - mint építőkövek - segítségével, éspedig lineáris kombinációként, hiszen az integrálás "folytonos összegzést" jelent, és a lineáris kombináció együtthatói pedig a bevezetett Φg i( )ω komplexértékű függvény, a gerjesztés komplex "amplitudósűrűség-spektruma" helyettesítési értékeivel van megha-tározva. A g(t) igy nyert előállítását Fourier-integrál előállításnak nevezzük. Magát a g(t) -re nyert integrálkifejezést a Φg i( )ω amplitúdó sűrűség-spektrum ωkörfrekvencia szerinti Fourier-transzformáltjaként azonosítjuk. Az alábbiakben felírjuk a dinamikai feladatok esetén az ismert g(t) -ből kiindulva idő sze-rini inverz Fourier-transzformáltként (kiindulási lépésként) számítandó komplexértékű amplitudósűrűség-spektrum képletét:

),(- , )(21)( ∞∞∈=Φ ∫

+∞

∞−

− ωπ

ω ω dtetgi tig .

Alkalmazzuk most a vizsgált dinamikai rendszer válaszának meghatározása céljából az R rendszeroperátort a Fourier-integrállal felírt g(t) gerjesztőfüggvényre. Ekkor az

31

ωωωω ωω deideitgty tig

tigg ∫∫

∞

∞

∞

∞

Φ=Φ==+

-

+

-

RR R )()()()(

egyenlőségsor utolsó tagjában megjelent az ω gerjesztő körfrekvenciájú elemi komplex harmonikus R szerinti képe. Mivel R e H i ei t i tω ωω= ( ) , a keresett y tg ( ) rendszerválasz

ωωω ω deiHity tigg )()()( ∫

∞

∞

Φ=+

-

alakban, a Φg i H i( ) ( )ω ω szorzatként megjelent komplex függvény ωkörfrekvencia sze-rinti Fourier-transzformált alakjában adódik. Nyilvánvalóan bevezethető a Φ y i( )ω komp-lexértékű függvény, mint az y tg ( ) rendszerválasz amplitúdósűrűség-spektruma, amely-lyel maga a válaszfüggvény ωkörfrekvencia szerinti Fourier-transzformáltként

ωω ω deity tiyg ∫

∞

∞

Φ=+

-

)()(

alakban adódik. Az y tg ( ) -ra nyert két kifejezés egybevetésével kapjuk a "lineáris dina-mika alaptétele" -ként ismert

Φ Φy gi H i i( ) ( ) ( )ω ω ω=

nevezetes összefüggést, miszerint a dinamikai rendszer válaszának amplitudósűrűség-spektruma előáll a rendszer komplex frekvenciafüggvénye és a gerjesztés amplitudó-sűrűség-spektruma szorzataként. Más szóval aperiodikus gerjesztés esetén a gerjesztés és a válasz amplitúdósűrűség-spekt-rumai között van olyan egyszerű összefüggés, mint periodikus gerjesztés esetében a ger-jesztés és a válasz komplex Fourier-együtthatói között. Ilyen értelemben aperiodikus ger-jesztés esetén a komplexértékű Φg i( )ω és Φ y i( )ω amplitudósűrűség-függvények mintegy átveszik a periodikus esetben kezelt { }+∞

−∞=jjc és { }+∞

−∞=jjd komplex Fourier-együttható sorozatok szerepét. Figyeljük meg, hogy míg periodikus gerjesztés esetén egy diszkrét (bár megszámlálhatóan végtelen elemű) körfrekvenciasorozathoz tartozó Fourier együtthatók jöttek szóba, most, az aperiodikus esetben "kontinuum sok", folytonosan eloszló körfrekvenciaértéken értelmezett amplitudósűrűség-függvények, mint "folytonos spektrumok" kezelése szükséges. A lineáris dinamika alaptételének alkalmazásakor tehát viszonylag könnyen megkapjuk a rendszerválasz Φ y i( )ω inverz Fourier-transzformáltját, azonban a válasz időfüggvényének meghatározásához még egy Fourier transzformációra van szükség:

ωω ω deity tiyg ∫

∞

∞

Φ=+

-

)()( .

Érkezzen az előzőekben is példaként vizsgált egyszabadságfokú lineáris lengőrendszer bemenetére az aperiodikus { }22 2exp)2/1()( σπσ ttg −= ú.n. Gauss-lökés! Ennek

32

inverz Fourier-transzformáltja ismert módon létezik, tehát a gerjesztés amplitudósűrű-ség-függvénye felírható:

222/3

22

2

2

21

)2(1)(

σωωσ

ππσω

−−+∞

∞−

−==Φ ∫ edteei ti

t

g .

Figyelembevéve a vizsgált lengőrendszer komplex frekvenciafüggvényét, a válasz - a lengő tömeg kitérése - amplitudósűrűség-függvénye:

Φ Φy gi H i im d i s

e( ) ( ) ( )( )

ω ω ωω ω π

ω σ

= =− + +

−1 122

2

2 2

.

A kitérés időfüggvényét ezen kifejezés ω körfrekvencia szerinti Fourier-transzformáltja szolgáltatja:

∫∫+∞

∞−

−+∞

∞− ++−=Φ= ω

πωωωω ω

σωω dee

sidmdeity titi

yg2

2

22

21

)(1)()( .

A válasz meghatározása gyengén stacionárius sztochasztikus gerjesztés esetén a frekvenciatartományban - A lineáris statisztikai dinamika alaptétele A sztochasztikus gerjesztőfolyamatok járműdinamikai fontosságáról már az időtartományi vizsgálatok kapcsán röviden szóltunk. Most a frekvenciatartománybeli vizsgálatok előké-szítéseképp foglalkoznunk kell a sztochasztikus folyamatok további fontos jellemző függ-vényével az autokorrelációs (önkorrelációs) függvénnyel. Az autokorrelációs függvény a sztochasztikus folyamat két egymástól eltérő I -beli s és t (s t≤ ) időponthoz tartozó perem-valószínűségi változójának kapcsolatát jellemzi a

),(),(),( wtwstsB ξξξξ E=

módon értelmezett kétváltozós függvény értékeivel, amely az I x I kétdimenziós négyzeten van értelmezve. Amennyben az s és t (s t≤ ) időpontokhoz tartozó ξ( , )s w és ξ( , )t w pe-rem valószínűségi változók függetlenek, akkor érvényes a

)()(),(),(),(),(),( tmsmwtwswtwstsB ξξξξ ξξξξ === EEE

összefüggés. Amennyiben a szereplő perem valószínűségi változókat saját várható értékük levonásával centráljuk, akkor ezek szorzatának várható értékeként a jól ismert autokovari-ancia-függvényt kapjuk:

)()(),(),()](),()][(),(),( tmsmwtwstmwtsmwstsC ξξξξξξ ξξξξ −=−−= EE[ .

A felírt képletből láthatóan független ξ( , )s w és ξ( , )t w perem valószínűségi változók ese-tén a kovarianciafüggvény zéró értéket vesz fel! Mint ismeretes, a kovarianciafüggvény szórásszorzattal való normálásával kapjuk az ú.n. normált autokorrelációs függvényt:

R s tC s t

d s d tξξξξ

ξ ξ( , )

( , )( ) ( )

= ,

melyre érvényes, hogy

33

− ≤ ≤ ≤1 1 1R s t R s tξξ ξξ( , ) , ( , ) másképp: .

A kovarianciafüggvény tulajdonságából közvetlenül adódik, hogy független ξ( , )s w és ξ( , )t w perem valószínűségi változók esetén a normált autokorrelációs függvény - hason-lóan az autokovarianciafüggvényhez - zérus értéket vesz fel. Az is ismeretes, hogy ha ξ( , )t w a ξ( , )s w lineáris függvénye, akkor a normált korrelációs függvény abszolút értéke egységnyi. Ha ( ) ( ) bwsawt += , , ξξ érvényes, akkor a⟩ 0 esetén R s tξξ ( , ) ,= 1 míg a⟨ 0 esetén R s tξξ ( , ) .= −1 A fentebb mondottak szerint a normált autokorrelációs függvény, vagy akár csak az autokovariancia-függvény eltűnése (az u.n. korrelálatlanság) a figye-lembe vett időpontokhoz tartozó perem valószínűségi változók függetlenségének szükséges feltétele. Felmerül a kérdés, hogy a korrelálatlanság teljesülése elégséges is-e a vizsgált perem valószínűségi változók függetlenségéhez? A kérdésre csak akkor lehet igenlő választ adni, ha a szóban forgó perem valószínűségi változók normális (Gauss-féle) eloszlásúak. Egyéb esetekben a valószínűségi változó-pár korrelálatlansága általában nem biztosítja a függetlenséget! Figyeljük meg, hogy a fentiekben megadott m t d t B s t C s t s R s tξ ξ ξξ ξξ ξξ( ), ( ), ( , ), ( , ) ( , ) é függvények mindegyike determinisztikus, hiszen a definíciójukban szereplő várható érték képzés a véletlen ingadozást "kiközepeli". Eddigi tárgyalásunkból kitűnik a kovariancia- ill. korrelációs függvények szerepe a vizsgált sztochasztikus folyamat perem valószínűségi változó párjainak függőségi viszonyainak megítélése tekintetében, meg kell azonban már most említeni, hogy korrelációs függvények igen jelentős további alkalmazást nyernek a lineáris rendszerek sztochasztikus gerjesztésre adott válaszának jellemzésében, nevezetesen a rendszerdinamikát leíró sztochasztikus differenciálegyenlet megoldásának autokorrelációs függvénye ill. a gerjesztő folyamattal vett keresztkorrelációs függvén ye a rendszerparaméterek ismeretében könnyen felírható - a véletlentől már nem függő - parciális vagy közönséges differenciálegyenletnek tesz eleget. A következőkben a járműdinamikai alkalmazások szempontjából kivételes jelentőségű gyengén stacionárius sztochasztikus folyamatok vizsgálatára összpontosítjuk figyelmün-ket, mely folyamatoknál a jelen lévő stabilis valószínűségi mechanizmus miatt a várható érték függvény időfüggetlenné, a kovariancia- ill. a korrelációs függvények pedig egyvál-tozósakká egyszerűsödnek. Másodrendben gyengén stacionárius sztochasztikus gerjesztések A ξ( , )t w sztochasztikus gerjesztőfolyamatot másodrendben gyengén stacionáriusnak ne-vezzük, ha a folyamat várható érték függvényére és autokorrelációs függvényére vonatko-zóan teljesül a következő két feltétel: 1. ξξ ξ mwttm == ),()( E = állandó, minden t I∈ időpontra,

2. )()(),(),(),( τξξ ξξξξξξ BstBwtwstsB =−== E .

A fenti definícióból következik, hogy a másodrendben gyengén stacionárius sztochasztikus folyamat kovarianciafüggvénye is csak a τ = −t s időeltolástól függ:

)()(]),(][),(),( 2 ττξξ ξξξξξξξξξ CmBmwtmwstsC =−=−−= [E .

34

A dinamikai folyamatok tárgyaláshoz az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy a vizsgált ξ( , )t w folyamat mξ várható értéke namcsak hogy konstans, de zéró is! Ebben az esetben nyilvánvalóan fennáll a C Bξξ ξξτ τ τ( ) ( ),= ∀ azonosság is.

t

ξ

0 Τ

mξ=0

τ

B =Cξξ ξξ

0

τ=t - s

D2ξ

A másodrendben gyengén stacionárius gerjesztőfolyamat integrál-előállítása A gyengén stacionárius gerjesztőfolyamatok felírása is lehetséges az ei tω elemi komplex harmonikus függvények "építőkövekként" való felhasználásával. Tekintettel arra, hogy most sztochasztikus folyamat előállításáról van szó, az ei tω elemi komplex harmonikus függvényekhez tartozó együtthatók valószínűségi változók kell, hogy legyenek. Valóban, a zéró várható értékű ξ( , )t w másodrendben gyengén stacionárius gerjesztőfolyamat előál-lítható a különböző ω körfrekvenciákhoz tartozó elemi komplex harmonikus komponensek megfelelő véletlen súlyozású "folytonos összegzésével" - azaz integrálásával - a következő alakban:

),(),( wdewt ti ωξ ω Φ= ∫∞

∞−

− ,

ahol Φ( , )d wω a differenciálisan kicsi dω körfrekvencia-intervallumhoz rendelt komplex-értékű, zéró várható értékű, ugyancsak differenciálisan kicsi súlyozó valószínűségi változó. A most bevezetett Φ( , )d wω súlyozó valószínűségi változó jellemzésére - annak második abszolút-momentumából képezve - bevezetjük a ξ( , )t w folyamat valósértékű spektrális sűrűségfüggvényének az ωkörfrekvenciához rendelt értékét a következő képlettel:

( )∞≤≤∞

Φ= ω

ωω

ωξξ - , ,

)(2

dwd

sdef E

.

Szavakban kifejezve a következő definiciót adhatjuk: az ωkörfrekvenciaértékhez rendelt sξξ ω( ) spektrális sűrűséget (az autospektrumot) úgy kapjuk, hogy tekintjük az ω körfrek-venciát tartalmazó, differenciálisan kicsi dωhosszúságú intervallumhoz tartozó Φ( , )d wω komplexértékű súlyozó valószínűségi változó abszolút értéke négyzetének várható értékét, és ezt normáljuk a tekintett intervallum dω hosszával. A definició alapján látható, hogy itt tulajdonképpen egy differenciálhányados került bevezetésre, és az sξξ ω( ) spektrális sűrű-

35

ségfüggvényhez megadható egy differenciálható Sξξ ω( ) monoton nemcsökkenő függvény amellyel a következő két egyenlőség érvényes:

∞≤≤∞== ∫∞−

ωλλωω

ωω

ω

ξξξξξξ

ξξ - , )()( , )(

)( dsSd

dSs .

A Sξξ ω( ) függvény neve: a ξ( , )t w folyamat spektrális eloszlásfüggvénye.

A sξξ ω( )spektrális sűrűségfüggvény mármost a következő egyszerűen belátható tulajdon-ságokkal bír: 1. sξξ ω( ) ≥ 0, azaz nemnegatív

2. s sξξ ξξω ω( ) ( )− = , azaz páros függvény

3. )0(),()( 2ξξξξξξ ξωω CwtSds =∞=∫

+∞

∞−

D=)(+ .

A felsorolt tulajdonságok közül csupán a harmadikkal kapcsolatban emeljük ki, hogy a spektrális sűrűségfüggvény alatti terület a vizsgált másodrendben gyengén satcionárius sztochasztikus folyamat szórásnégyzetének számértékét adja meg. Ezen utóbbi számérték egyben a vizsgált folyamat Cξξ τ( ) autokovariancia függvényének az origóban τ = 0 mel-lett felvett helyettesítési értékét és Sξξ ω( ) spektrális eloszlásfüggvényének +∞ -beli határ-értékét is megadja. Az elmondottakból látszik, hogy a spektrális sűrűségfüggvény ismeretében a sztochasz-tikus folyamat szórásnégyzete meghatározható.

0

0

s

Sω

ω

ξξ

ξξ

Dξ2 (t,w)

Magának a szórásnak az ismerete az általános struktúrájú gyengén stacionárius folyamatról csak viszonylag keveset mond. Azonban a járműdinamikában nagyon sokszor fellépő Gauss-folyamatok esetén, mikoris minden peremeloszlás normális eloszlás, a szórás isme-rete már elégséges a zéró várható értékű folyamat perem valószínűségi változói közös valószínűségi sűrűségfüggvényének felírásához:

f x e t wx

ξσ

σ πσ ξ( ) ( , )= =

−12

2

22 , D .

Térjünk vissza a másodrendben gyengén stacionárius gerjesztésfolyamat integrálelőállítá-sát megadó kifejezés diszkussziójához! A szóbanforgó integrálkifejezést úgy magyarázhat-

36

juk, hogy az a vizsgált sztochasztikus folyamatot végtelen sok (egy intervallumot kitöltő, kontinuum-sok különböző körfrekvenciájú) elemi komplex harmonikus függvény való-színűségi változó-együtthatós lineáris kombinációjaként állítja elő, és a lineáris kombiná-ció képzésben szereplő összegzés - tekintettel a kontinuum-sok összetevőre - folytonos ösz-szegzéssel, azaz integrálással jelentkezik. Az eddigi tárgyalásunkban szereplő periodikus és aperiodikus, de létező Fourier transz-formálttal bíró gerjesztési esetekhez képest a sztochasztikus folyamat esete abban külön-bözik, hogy itt komplexértékű valószínűségi változók lépnek be súlyozó együtthatókként, szemben az eddigi komplex Fourier együtthatókkal vagy a komplex amplitúdó sűrűség spektrummal. A komplexértékű súlyozó valószínűségi változók jellemzésére elvileg való-színűségi eloszlásfüggvényük megadása lenne szükséges, azonban az ezzel kapcsolatos matematikai bonyodalmak a probléma kezelését általános esetben nagyon megnehezítenék. Ezért a gyakorlati alkalmazásokban a súlyozó valószínűségi változóknak csak bizonyos korlátozott rendszámig futó momentumait használjuk fel. A Φ( , )d wω súlyozó valószínűségi változó első momentuma zérus, lévén várható értéke definició szerint zérus. Valós számérték nyerése céljából a második momentum helyett a második abszolút momentumot tekintjük, ez azonban a már bevezetett spektrális sűrűség-függvény segítségével felírható a következő alakban:

ωωω ξξ dswd )(),( 2 =ΦE .

A most nyert összefüggés rávilágít a bevezetett spektrális sűrűségfüggvény gyakorlati szempontból való célszerűségére! Mit jelent ugyanis ezek szerint a spektrális sűrűségfügg-vény egy ordinátája? A válasz a következő: ha valamely ω körfrekvenciához tekintjük az sξξ ω( ) spektrális sűrűség-ordinátát, akkor a vizsgált sztochasztikus folyamat e i t− ω elemi komplex harmonikus komponensét súlyozó Φ ∆( , )ω w valószínűségi változó abszolút értéke négyzetének várható értékét az sξξ ω ω( )∆ szorzat adja meg, vagyis az ωkörfrekvenciát tartalmazó igen rövid ∆ω intervallum és a spektrum görbéje közötti keskeny felületdarab. Igy azonos ∆ω esetén ha sξξ ω( ) nagyobb, akkor az e i t− ω elemi komplex harmonikus komponens nagyobb súllyal van jelen a folyamat felépítésében, ha pedig az sξξ ω( ) kisebb, akkor megfordítva, az e i t− ω elemi komplex harmonikus komponens kisebb súllyal szerepel. Az elmondottak egybevágnak a spektrális sűrűségfüggvény fentebb megismert azon tulaj-donságával, hogy a teljes körfrekvenciatengely mentén vett integrálja a vizsgált szto-chasztikus folyamat szórásnégyzetét adja meg. Tekintettel arra, hogy az igen gyakran előforduló zéró várható értékű Gauss-folyamatok esetén a szórás ismerete elégséges a valószínűségeloszlás reprodukálásához, a gyakorlatban nem terjedt el a kettőnél magasabb rendű momentumok felhasználása. Rá kell azonban mutatni, hogy amennyiben nem csupán Gauss-folyamat vizsgálata és a valószínűség-eloszlás meghatározása a feladat, hanem a ξ( , )t w folyamat analitikus tulajdonságait is jellemezni kell (pl. a folyamat bizonyos deriváltjai is szerepelnek a vizsgálatban) akkor ezen feladathoz a spektrális sűrűségfüggvény ismerete nem elegendő, hanem további jellemzők figyelembevétele is szükségessé válik.

37

A következőkben fordítsuk figyelmünket a ξ( , )t w másodrendben gyengén stacionárius folyamat autokovarianciafüggvénye és spektrális sűrűségfüggvénye (autospektruma) közötti kapcsolatra! Mivel feltettük, hogy a vizsgált sztochasztikus folyamatunk zéró vár-ható értékű, az autokovariancia-függvényt felírhatjuk a ξ( , )t w előzőekben bevezetett in-tegrál-előállításának figyelembevételével:

. )()(

),(),(),(

),(),(),(),()()(

2

)(

ωωω

ωωω

ωωτξξττ

ξξωτ

ξξωτ

ωτωτ

τωωξξξξ

dsedSe

wdewdwde

wdewdewtwtBC

ii

ii

titi

∫∫

∫∫

∫∫

∞

∞−

∞

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞

∞−

+−+∞

∞−

−

==

=Φ=ΦΦ=

=ΦΦ=+==

EE

EE

Az egyenlőségsor első és utolsó képletét nézve azonnal látható, hogy az autokovariancia-függvény a spektrális sűrűségfüggvény Fourier-transzformáltja, vagyis:

C sξξ ξξτ ω( ) ( ))= F ( .

Ebből következik viszont, hogy a spektrális sűrűségfüggvény az autokovariancia-függvény inverz Fourier-transzformáltja lesz: s Cξξ ξξω τ( ) ( ))= F -1( . A most kapott két egyenlőség együttesen a nevezetes Wiener-Hincsin-összefüggéspárt adja, részletesen kiírva:

)(21)(

)()(

ττπ

ω

ωωτ

ξξωτ

ξξ

ξξωτ

ξξ

dCes

dseC

i

i

∫

∫∞

∞−

−

∞

∞−

=

=

.

A Wiener-Hincsin-összefüggéspárból azonnal következik, hogy a spektrális sűrűségfügg-vény és az autokovariancia-függvény információtartalma elvileg azonos. Alkalmazzuk most a vizsgált lineáris időinvariáns dinamikai rendszer válaszának meghatá-rozása céljából az R rendszeroperátort az integrál alakban felírt ξ( , )t w másodrendben gyengén stacionárius, zéró várható értékű sztochasztikus gerjesztőfolyamatra! Ekkor az

),(),(),(),( wdewdewtwt titi ωωξη ωω ∫∫∞

∞

−∞

∞

− Φ=Φ==+

-

+

-

R R R

egyenlőségsor utolsó tagjában megjelent a -ω gerjesztő körfrekvenciájú elemi komplex harmonikus R szerinti képe. Mivel R e H i ei t i t− −= −ω ωω( ) , a keresett η( , )t w rendszervá-lasz az

),()(),( wdeiHwt ti ωωη ω Φ−= −∞

∞∫

+

-

módon meghatározott sztochasztikus folyamat lesz.

38

Felmerül a kérdés, hogy a rendszerválaszként adódó η( , )t w sztochasztikus folyamat ren-delkezik-e a másodrendben vett gyenge stacionaritás tulajdonságával. A kérdés megvála-szolásához tekintsük először a válaszfolyamat várható érték függvényét:

. 0),()(

),()(),()(

=Φ−=

=Φ−==

−∞

∞

−∞

∞

∫

∫

wdeiH

wdeiHwttm

ti

ti

ωω

ωωη

ω

ωη

E

EE

+

-

+

-

A kapott egyenlőségsor elejét és végét nézve leolvasható, hogy a válaszfolyamat zéró vár-ható értékű, mivel a Φ( , )d wω komplex értékű súlyozó valószínűségi változók definíció szerint zéró várható értékűek. A levezetésben felhasználtuk az integrálás és a várható érték képzés sorrendjének felcserélhetőségét. Fordítsuk figyelmünket most az η( , )t w folyamat autokovariancia-függvényének alakulására. A definiáló szorzatmomentum a következő alakban írható fel:

. , )()()()()(

)()(),(),()()(

),()(),()(),(),(),(),(

22

2)(

stdesiHdseiH

dSeiHwdwdeiHiH

wdeiHwdeiHwtwstsBtsC

ii

itsi

tisi

−=Ψ===

==ΦΦ−=

=Φ−Φ−===

∫∫

∫∫

∫∫

∞

∞

∞

∞

∞

∞

−−∞

∞

−∞

∞

−∞

∞

ττωωωωωω

ωωωωωω

ωωωωηη

ωτξξξξ

ωτ

ξξωτω

ωωηηηη

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

E

EE

A kapott egyenlőségsor első és utolsó részét összevetve kiadódik, hogy a válaszfolyamat autokovariancia-függvénye csak a τ = −t s időeltolástól függ, és így megállapíthatjuk, hogy a H i( )ω komplex frekvenciafüggvénnyel bíró lineáris időinvariáns dinamikai rend-szer kimenetén is másodrendben gyengén stacionárius sztochasztikus folyamat jelentkezik, ha a gerjesztés is ilyen tulajdonságú sztochasztikus folyamat volt. Az η( , )t w rendszerválasz másodrendű gyenge stacionaritásának kimutatása után az is nyilvánvaló, hogy az η( , )t w folyamatnek is van sηη ω( ) spektrális sűrűségfüggvénye, az ún. kimenő spektrum, melynek ismeretében a válaszfolyamat autokovariancia-függvénye előáll

ωωτ ωτηηηη desC i)()( ∫

+∞

∞−

=

alakban. Ha a válaszfolyamat autokovariancia-függvényére most kapott integrál-előállítást összehasonlítjuk a válaszfolyamat gyenge stacionaritásának bizonyítás során kapott végső integrálkifejezéssel, akkor az integrálok (a Fourier transzformáltak) egyenlőségéből az in-tegrandusok (a transzformálandó függvények) egyenlősége olvasható ki, azaz:

s H i sηη ξξω ω ω( ) ( ) ( )= 2 .

A kapott nevezetes összefüggés a statisztikai dinamika alaptétele, miszerint a lineáris i-dőinvariáns dinamikai rendszer válaszfolyamatának spektrális sűrűségfüggvénye

39

szorzatként számítható a bemenő (gerjesztő) folyamatának spektrális sűrűségfügg-vénye és a dinamikai rendszer komplex frekvenciafüggvénye abszolút értékének négyzete ismeretében.

Több bemenetű és több kimenetű lineáris időinvariáns dinamikai rendszerek kezelése az időtartományban A súlyfüggvény MIMO esetén Ha vizsgált dinamikai rendszerre több helyen működhet bemenő (gerjesztő) hatás, és e rendszer több helyen ad ki választ, akkor több bementű és több kimemetű dinamikai rend-szerről beszélünk. Az ilyen rendszerek rövid jelölésére a rendszertechnikában elterjedt az angol megnevezés (Multiple Input - Multiple Output) kezdőbetüiből képzett MIMO mo-zaikszó. A MIMO rendszerek átviteli jellemzői általában mátrixértékű függvények lesznek, így a MIMO súlyfüggvénye is mátrixértékű időfüggvény lesz. Ezen most említett mátrixértékű súlyfüggvényt sokszor súlyfüggvénymátrixnak nevezzük. Legyen a vizsgált MIMO beme-neteinek száma m, a kimeneteinek száma pedig legyen n! Alkalmazzunk a j -edik beme-netre egy Dirac-δ gerjesztést, a rendszer i -edik kimenetén ekkor megjelenő válaszfügg-vényt jelöljük h tij ( ) -vel, így az i=1,2,...,n indexek figyelembevételével a j -edik be-meneten alkalmazott Dirac-δ gerjesztéshez tartozó n válaszfüggvényből oszlopvektor al-kotható! Ezt a lépést megtéve az összes j m= 1 2, ,..., bemenetre, és kiértékelve az összes i n= 1 2, ,..., kimeneten nyert válaszfüggvényt, a kapott oszlopvektorokból megalkotható a rendszer n sorból és m oszlopból álló súlyfüggvénymátrixa:

{ }⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

)(...)()(......

)(...)()()(...)()(

)()(

21

22221

11211

ththth

thththththth

tht

nmnn

m

m

ijh .

Az átmeneti függvény MIMO esetén A MIMO rendszer átmeneti függvénye szintén mátrixértékű időfüggvényként jelentkezik. Ezt a mátrixértékű átmeneti függvényt sokszor átmeneti függvénymátrixnak nevezzük. Le-gyen a vizsgált MIMO bemeneteinek száma m, a kimenetek száma pedig legyen n! Alkal-mazzunk a j -edik bemenetre egy U t( ) egységugrás gerjesztést, akkor a rendszer i -edik kimenetén megjelenő válaszfüggvényt jelöljük A tij ( ) -vel! Ezt rendre megtéve az összes j m= 1 2, ,..., bemeneten, és kiértékelve az összes i n= 1 2, ,..., kimeneten nyert válasz-függvényt, ezekből megalkotható a rendszer n sorból és m oszlopból álló átmeneti függ-vény mátrixa:

{ }⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

)(...)()(......

)(...)()()(...)()(

)()(

21

22221

11211

tAtAtA

tAtAtAtAtAtA

tAt

nmnn

m

m

ijA .

40

Lineáris időinvariáns MIMO válaszának meghatározása az időtartományban A válasz meghatározása a súlyfüggvénymátrixra támaszkodva - A konvolúció-tétel A vizsgált MIMO m számú bemeneti gerjesztőfüggvényét a

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

)(

)()(

)( 2

1

tg

tgtg

t

m

Mg

vektorértékű időfüggvénybe foglalva, könnyű belátni, hogy az n számú kimeneten jelent-kező válaszfüggvények alkotta yg( )t vektorértékű időfüggvény a SISO esetére levezetett képlethez szerkezetileg igen hasonló "vektorizált" alakja a következő lesz:

τ

τ

ττ

τττ

ττττττ

d

g

gg

ththth

thththththth

tg

tyty

t

m

t

nmnn

m

m

gn

g

g

g

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−−−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= ∫∞−

)(

)()(

)(...)()(......

)(...)()()(...)()(

)(

)()(

)( 2

1

21

22221

11211

2

1

MMy .

Tömörebb mátrixos jelölésekkel az említett szerkezeti hasonlóság még jobban kiütközik:

τττ dttt

g )()()( ghy ∫∞−

−= .

A válasz meghatározása az átmeneti függvény mátrixra támaszkodva - A Duhamel-integrál A lineáris időinvariáns MIMO esetére az átmeneti függvénymátrix figyelembevételével felírható a rendszerválasz vektorfüggvénye. A SISO esetén tárgyalt azon, az alkalma-zásokban igen gyakori esetre írjuk fel a képletet, amikor az m -dimenziós vektorértékű gerjesztés a negatív időpotokra eltűnik. Most is megengedjük, hogy a gerjesztő függvény vektora a t = 0 helyen g+ ( )0 jobboldali határérték vektorral diszkontinuus legyen. Ekkor a rendszerválasz vektorértékű időfüggvénye:

τττ dtttt

g )()()()0()(0

gAAgy &∫ −+= + .

Ismét megállapítható, hogy a kapott képlet lényegét tekintve a SISO -ra kapott eredmény "vektorizált" alakja. A válaszvektor meghatározása az időtartományban sztochasztikus gerjesztés esetén Sztochasztikus vektorfolyamatok Az m számú bemenettel és n számú kimenettel bíró MIMO esetét vizsgálva tételezzük fel, hogy a bemenetre a

41

WwItR

wt

wtwt

wt m

m

∈∈∈

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= , ,

),(

),(),(

),( 2

1

ξ

ξξ

ξM

m-dimenziós vektorértékű sztochasztikus folyamat érkezik. Az R operátorral bíró lineáris időinvariáns MIMO ezt a gerjesztő folyamatot átviszi az

WwItR

wt

wtwt

wt

wt

wtwt

wt n

mn

∈∈∈

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= , ,

),(

),(),(

),(

),(

),(),(

),( 2

1

2

1

ξ

ξξ

ξ

η

ηη

ηMM

RR

n-dimenziós sztochasztikus válaszfolyamatba. Vizsgálatunkban feltételezzük, hogy a - gyakorlati dinamikai problémáknál mindig teljesülő módon - a bemeneti gerjesztő ξ( , )t w , és a válaszként a kimeneten jelentkező η( , )t w sztochasztikus vektorfolyamatok vektorértékű ),()( wtt ξξ E=m és ),()( wtt ηη E=m várhatóérték függvénye létezik. A vektorértékű sztochasztikus folyamatoknál a várható érték függvényt a koordinátafolyamatok várható érték függvényeiből képzett oszlopvektor értelmezi. A sztochasztikus vektorfolyamatok szórásviszonyainak egybefogott jellemzése a később tárgyalandó mátrixértékű kovarianciafüggvény alapján lesz lehetséges.

A MIMO bemenetére érkező m-dimenziós ξ( , )t w sztochasztikus vektorfolyamat és akimeneten jelentkező n-dimenziós η( , )t w válaszfolyamat kapcsolatát az időtartományban a MIMO súlyfüggvénymátrixa ill. átmenetifüggvény-mátrixa alapján konvolúció típusú összefüggésekkel kapjuk, a SISO esetének teljes analógiájára. Rögzített w W0 ∈ elemi esemény mellett - azaz rögzített ξ( , )t w vektorértékű realizációs függvény mellett - a konvolúciós integrálok meghatározhatók (esetleg numerikus módszer alkalmazása szükséges) és előáll a lineáris rendszer kimenetén jelentkező η( , )t w válaszfolyamat adott w W0 ∈ -hoz tartozó vektorértékű realizációs függvénye. A be- és kimenő sztochasztikus folyamatok kapcsolatát most is az alábbi két formulával rögzíthetjük:

),()(),( , ),()(),( wttwtdwtwtt

ξηττξτη ∗=−= ∫∞−

hh ,

vagy

),()(),( , ),()(),()(),( wttwtdwtwdtwttt

ξηττξττξτη && ∗=−=−= ∫∫∞−∞−

AAA .

Az utóbb felírt kifejezésben feltételeztük a ξ( , )t w bemenő folyamat t szerinti deriváltjának minden w W∈ realizációs függvényre (azaz a ξ( , )t w minden koordinátafolyamatára) való létezését.

42

Több bemenetű, több kimenetű lineáris időinvariáns dinamikai rendszerek kezelése a frekvenciatartományban A komplex frekvenciafüggvény MIMO esetén A MIMO rendszer komplex frekvencia függvénye ω független változós mátrixértékű függvényként jelentkezik. Ezt a mátrixértékű függvényt sokszor komplex frekvenciafüggvénymátrixnak nevezzük. Legyen a vizsgált MIMO bemeneteinek száma m, a kimenetek száma pedig legyen n! Alkalmazzunk a j -edik bemenetre egy ei tω elemi komplex harmonikus gerjesztést, akkor a rendszer i -edik kimenetén megjelenő válaszfüggvényt jelöljük H i eij

i t( )ω ω -vel! Vonatkoztassuk ezt a kimeneti függvényt a gerjesztőhatás egységére, azaz osszuk el az ei tω gerjesztéssel! Ekkor a H iij ( )ω komplexértékű függvényt kapjuk. Állítsuk elő az összes j m= 1 2, ,..., bemenetre külön-külön alkalmazott ei tω gerjesztésre, az összes i n= 1 2, ,..., kimenethez külön-külön adódó válaszfüggvényeket, és normáljuk azokat a szokásos módon a bemenő elemi komplex harmonikussal, akkor megalkotható a rendszer n sorból és m oszlopból álló komplex frekvenciafüggvény mátrixa:

{ }⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

)(...)()(......

)(...)()()(...)()(

)()(

21

22221

11211

ωωω

ωωωωωω

ωω

iHiHiH

iHiHiHiHiHiH

iHi

nmnn

m

m

ijH .

A SISO rendszer vizsgálatánál tárgyaltuk az átviteli függvény fogalmát. A MIMO rend szerekre is elvégezhető a komplex frekvenciafüggvény mátrix általánosítása, mikoris nem csupán a komplex számsík imaginárius tengelyére eső iω alakú komplex számokhoz adjuk meg a H iij ( )ω komplex függvény értékeit, hanem ezeket kiterjesztjük a komplex számsík adott valós r0 konvergencia abszcisszával meghatározott azon félsíkjára, amelyen az összes h tij ( ) súlyfüggvénymátrix-elem

{ } dteththH stijijij ∫

∞−=

0

)()(L=(s)

Laplace-transzformáltját értelmező improprius integrál konvergens. Igy adódik az átviteli függvény-mátrix:

{ } . Re ,

)(...)()(......

)(...)()()(...)()(

)()( 0

21

22221

11211

rs

sHsHsH

sHsHsHsHsHsH

sHs

nmnn

m

m

ij ≥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==H

Példa MIMO rendszer komplex frekvenciafüggvény-mátrixára A komplex frekvenciafüggvény-mátrix meghatározására tekintsünk egy m=4 bemenetű és n= 3 kimenetű lineáris időinvariáns dinamikai rendszert, amely egy négykerekű, pálya ger-jesztésű jármű dinamikai modelljét adja. A járműdinamikai modell mozgásegyenlete mint másodrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszer a következő alakú:

43

Mx Dx Sx g&&( ) & ( ) ( ) ( )t t t t+ + = .

v

S

s,d

s,d

s,d

s,dL

Lh

e

g

g

b

j

x1 x

x2

3

x , xhj hj.

g , ghj hj.

2b

x , xej ej.

g , gej ej.

x , xeb eb.

g , geb eb.

x , xhb hb.g , ghb hb

.

Most a vektorértékű g(t) gerjesztőfüggvény is 3-dimenziós, azonban a vizsgált rendszert a 4 keréktalpon jelentkező pályaegyenetlenség-függvény gerjeszti. Legyen a dinamikai mo-dell 3 független (szabad) koordinátája a következő:

1. függőleges kitérés (rázás) : x1(t) 2. keresztirányú tengely körüli szögelfordulás (bólintás): x2(t) 3. hossztengely körüli szögelfordulás (támolygás) : x3(t)

A járműdinamikai modell fenti szabad koordinátái a nehézségi erőtérben kialakult egyen-súlyi helyzet körüli kis lengéseket jellemzik, így a nyugalmi helyzetben

x 0( ) ( ), ( ), ( )t x t x t x tT

= ≡1 2 3 .

Feltételezve, hogy a járműtest négy függőleges rugón át kapja a gerjesztést, a modell moz-gásegyenleteinek meghatározásához a kis elmozdulások esetére jó közelítést adó linearizá-lás alkalmazásával felírjuk a a járműtesten lévő rugóbekötési pontok függőleges elmozdu-lás- és sebességkoordinátáit a szabad koordináták lineáris kombinációjaként:

x t x t L x t bx t

x t x t L x t bx tx t x t L x t bx t

x t x t L x t bx t

ej e

eb e

hj h

hb h

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

= + +

= + −= − +

= − −

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

,

& ( ) & ( ) & ( ) & ( )& ( ) & ( ) & ( ) & ( )& ( ) & ( ) & ( ) & ( )& ( ) & ( ) & ( ) & ( )

x t x t L x t bx t

x t x t L x t bx tx t x t L x t bx t

x t x t L x t b x t

ej e

eb e

hj h

hb h h

= + +

= + −= − +

= − −

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

.

A fenti kifejezésekben a j és b indexelés a jobb oldali és bal oldali kerekekre utal, míg az e és h indexelés az előlfutó ill. a hátulfutó kerekekre. Ezen jelölések mellett a mozgásegyen-letek a kinetika alaptörvényének alkalmazásával (szintetikus módszer) a következőek lesz-nek:

1. mx s g x s g x s g x s g x

d g x d g x d g x d g xej ej eb eb hj hj hb hb

ej ej eb eb hj hj hb hb

&& ( ) ( ) ( ) ( )

( & & ) ( & & ) ( & & ) ( & & )1 = − + − + − + − +

+ − + − + − + − .

44

2. hhbhbhhjhjeebebeejej

hhbhbhhjhjeebebeejej

LxgdLxgdLxgdLxgdLxgsLxgsLxgsLxgsxm

)()()()()()()()(2

&&&&&&&&

&&

−−−−−+−+

+−−−−−+−= .

3. bxgdbxgdbxgdbxgd

bxgsbxgsbxgsbxgsxm

hbhbhjhjebebejej

hbhbhjhjebebejej

)()()()()()()()(3

&&&&&&&&

&&

−−−+−−−+

+−−−+−−−= .

Az egyenletek átalakításával elkészíthető a tömör mátrixos felírás. A szereplő együttható-mátrixok rendre a következők lesznek:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΘΘ=

x

y

m

000000

M , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+−−

=2

22

400022220224

sbsLsLsLsLsLsLs

hehe

he

S ,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+−−

=2

22

400022220224

dbdLdLdLdLdLdLd

hehe

he

D .

A vektoros differenciálegyenlet-rendszer jobb oldali gerjesztővektorát is mátrixegyütt-hatók és a jobb ill. a bal kerék alatti pályaegyenetlenségeket leíró két függvény ( )g gj b és kölönböző helyettesítési értékei alkotta függvényvektorral írjuk fel:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−++

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−++

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−=

)()()()(

)()()()(

)(

hb

hj

eb

ej

hhee

hb

hj

eb

ej

hhee

LtgLtgLtgLtg

dbdbdbdbdLdLdLdLdddd

LtgLtgLtgLtg

sbsbsbsbsLsLsLsLssss

t

&

&

&

&

g A

két fellépő téglalap-mátrixot S1 és D1 -gyel jelölve:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−++

+=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−++

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−++

=

)()()()(

)(

)()()()(

)()()()(

)( 1111

hb

hj

eb

ej

hb

hj

eb

ej

hb

hj

eb

ej

LtgLtgLtgLtg

dtd

LtgLtgLtgLtg

LtgLtgLtgLtg

t DSDSg

&

&

&

&

.

A rendelkezésre álló eredmények alapján meghatározhatjuk a vizsgált járműdinamikai rendszer komplex frekvenciafüggvény-mátrixát! Hasson a dinamikai modell j -edik be-menetére az ei tω elemi komplex harmonikus gerjesztés, mig a többi bemenetekre ne mű-ködjön gerjesztőhatás! Ezt a helyzetet úgy is felfoghatjuk, hogy a rendszerre egy négydi-mennziós bemenő vektorfüggvény működik, melynek alakja:

tijj et ω

0010

)(

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=g ,

azaz az elemi komplex harmonikus mellett szereplő együtthatóvektornak csupán a j -edik sorában áll egy egyes, míg az összes többi vektorkomponens zérus. Tekintsük a vázolt esethez tartozó

45

Mx Dx Sx S D g1 1&&( ) & ( ) ( ) ( ) ( )t t t ddt

tj+ + = +

mozgásegyenlet rendszert! Figyelembe véve, hogy a jobb oldalon álló kifejezésben a g j t( ) idő szerinti deriváltja a

tijj eit ωω

0010

)(

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=g&

vektorfüggvény, az ezen gerjesztéshez tartozó megoldásvektort kereshetjük

ti

j

j

j

j

j e

iHiHiHiH

t ω

ωωωω

)()()()(

)(

4

3

2

1

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=x

alakban, ahol az idő és körfrekvenciafüggő elemi komplex harmonikus mellett szereplő együtthatóvektor éppen a keresett komplex frekvenciafüggvény-mátrix j-edik oszlopa. Figyelembevéve az elmondottakat, az x j t( ) deriválása és a differenciálegyenlet-rendszerbe való visszahelyettesítése és a szükséges átalakítások elvégzése után a keresett H( )iω függ-vény j -edik oszlopát a következő mátrixalgebrai kifejezés szolgáltatja:

[ ] jiii

iHiHiHiH

j

j

j

j

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

0010

)()()(

)()()()(

12

4

3

2

1

ωωω

ωωωω

11 DSSDM .

A kapott kifejezés helyessége a mátrixok szorzásának "sor-oszlop-kompozíciós" szabálya alapján nyilvánvaló. A vizsgált járműdinamikai rendszermodell keresett komplex frekven-ciafüggvény-mátrixa a fenti gondolatmenet minden j oszlopindexre való alkalmazásával a következő alakban adódik:

H M D S S D( ) ) ( ) ( )i i i iω ω ω ω= + + +−

( 2 11 1 .

A lineáris időinvariáns MIMO válaszának meghatározása a frekvenciatartomány-ban periodikus gerjesztés esetén - Vektoros Fourier-sorok alkalmazása A SISO rendszerek tárgyalásához hasonlóan a valós komponensekből felépülő m -dimen-ziós vektorértékű periodikus gerjesztőfüggvény minden egyes komponens függvénye komplex Fourier-sorba fejthető, és így egyszerűen előáll az m-dimenziós komplex elemű vektorokkal mint Fourier-együtthatókkal bíró sor-felírás:

g c c c c( )t e Cjj

i tj

mj j j j

j= ∈ = = −=−∞

+∞

−∑ ω ω ω , , , .-

Az így felírt gerjesztésre adott választ ismét Fourier-sor alakban adhatjuk meg

46

y dg jj

i tt e j( ) ==−∞

+∞∑ ω

alakban ahol a nyert válasz-folyamat Fourier együtthatói a SISO eseténél tárgyaltakhoz e-gészen hasonló módon a

d H cj j ji j= ( ) ..., , , , , ,...ω , = − −2 1 0 1 2

egyenlőségből adódnak. A gerjesztés és a válaszfüggvény Fourier-együtthatóinak kapcso-latára kapott képlet megkapó egyszerűsége érthetővé teszi a komplex frekvenciafüggvény-mátrix gyakorlati feladatok megoldásában való széleskörű elterjedtségét és kedveltségét. A lineáris időinvariáns MIMO válaszának meghatározása aperiodikus gerjesztés esetén - A lineáris dinamika alaptétele A SISO rendszerek esetében értelmeztük az abszolut integrálható g(t) gerjesztőfüggvény idő szerini inverz Fourier transzformáltjaként értelmezett komplexértékű Φg i( )ω amplitu-dósűrűség-spektrumot. Az alábbiakben felírjuk az m -számú bemenettel bíró MIMO g( )t gerjesztő vektorának minden egyes gi(t) abszolut integrálható koordinátafüggvénye t sze-rinti inverz Fourier-transzformáltjával mint komplexértékű koordinátafüggvényekkel kép-zett komplex amplitudósűrűség-vektorfüggvényt:

),(- ,

)(21

)(21

)(21

)(

)()(

)( 2

1

2

1

∞∞∈

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Φ

ΦΦ

=Φ

∫

∫

∫

∞+

∞−

−

∞+

∞−

−

+∞

∞−

−

ω

π

π

π

ω

ωω

ω

ω

ω

ω

dtetg

dtetg

dtetg

i

ii

i

tim

ti

ti

gm

g

g

g

MM

.

A MIMO előzőekben bevezetett H( )iω komplex frekvenciafüggvény mátrixa ismeretében könnyű belátni, hogy a vizsgált dinamikai rendszer n számú kimenetén jelentkező skalár függvények alkotta yg( )t vektorértékű válaszfüggvény a SISO esetére levezetett képlethez szerkezetileg hasonló "vektorizált" alakja a következő lesz:

dte

i

ii

iHiHiH

iHiHiHiHiHiH

tg

tyty

t ti

gm

g

g

nmnn

m

m

gn

g

g

gω

ω

ωω

ωωω

ωωωωωω

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Φ

ΦΦ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= ∫∞+

∞−

)(

)()(

)(...)()(

)(...)()()(...)()(

)(

)()(

)( 2

1

21

22221

11211

2

1

MMOMMMy

Tömörebb mátrixos jelölésekkel a fent említett szerkezeti hasonlóság még jobban kiüt-közik:

dteiit tigg

ωωω )()()( ∫+∞

∞−

Φ= Hy .

47

Ismeretes viszont, hogy ez az yg t( ) rendszerválasz maga is előáll az abszolut integrálható ygi

(t), i=1,2,...,n koordinátafüggvényeinek t szerinti inverz Fourier-transzformáltjaival mint komplexértékű Φ ygi i( )ω koordinátafüggvényekkel képzett

),(- ,

)(21

)(21

)(21

)(

)()(

)( 2

1

2

1

∞∞∈

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Φ

ΦΦ

=Φ

∫

∫

∫

∞+

∞−

−

∞+

∞−

−

+∞

∞−

−

ω

π

π

π

ω

ωω

ω

ω

ω

ω

dtety

dtety

dtety

i

ii

i

tign

tig

tig

ygn

yg

yg

yg

MM

n -dimenziós komplex amplitudósűrűség-vektorfüggvény Fourier transzformáltjaként, ezért írható, hogy:

dteit tiygg

ωω∫+∞

∞−

Φ= )()(y .

Összevetve az yg t( )-re kapott két kifejezést, leolvasható a lineáris dinamika "vektorizált" alaptétele, miszerint

Φ Φyg gi i i( ) ( ) ( )ω ω ω=H ,

azaz a MIMO kimenetén megjelennő válasz n -dimenziós vektorértékű komplex amplitudósűrűség-spektrumát a rendszer komplex frekvenciafüggvény-mátrixának és a bemenetre érkező m-dimenziós gerjesztőfüggvény vektorértékű komplex amplitudósűrűség-spektrumának szorzata szolgáltatja.

A lineáris időinvariáns MIMO válaszának meghatározása a frekvenciatartományban gyengén stacionárius sztochasztikus gerjesztés esetén - A lineáris statisztikai dinamika alaptétele A létező várhatóérték-vektorral bíró vektorértékű sztochasztikus ξ( , )t w bemenő- és az η( , )t w a válasz folyamat bármely perem valószínűségi változójának centrálásával és a centrált vektorok diadikus szorzatára alkalmazott várhatóérték képzéssel előállítható mind-két folyamatra a mátrixértékű

[ ] [ ])(),()(),(),( twtswsts ξξξξ ξξ mmC −−= oE és

[ ] [ ])(),()(),(),( twtswsts ηηηη ηη mmC −−= oE

autokovariancia-függvény. A két mátrixértékű autokovariancia-függvény elemeik részlete-sebb kiírásával a következő alakot ölti:

48

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

),(),(),(

),(),(),(),(),(),(

),(

21

22212

12111

tsCtsCtsC

tsCtsCtsCtsCtsCtsC

ts

mmmm

m

m

ξξξξξξ

ξξξξξξ

ξξξξξξ

ξξ

L

MOMM

L

L

C ,

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

),(),(),(

),(),(),(),(),(),(

),(

21

22212

12111

tsCtsCtsC

tsCtsCtsCtsCtsCtsC

ts

mmmm

m

m

ηηηηηη

ηηηηηη

ηηηηηη

ηη

L

MOMM

L

L

C .

A fenti mátrixokat szemügyre véve azonnal látszik, hogy a főátlóban az egyes koordináta-folyamatok skaláris autokovariancia-függvényei állnak. A főátlón kívüli elemek azonban már két különböző koordinátafolyamat kovarianciáját fogalmazzák meg, amelyeket ska-láris keresztkovariancia-függvényeknek nevezünk. A következőkben a SISO sztochasztikus gerjesztésének tárgyalásához hasonlóan feltéte-lezzük, hogy a gerjesztő ξ( , )t w vektorfolyamat rendelkezik a másodrendű gyenge stacio-naritás tulajdonságával, mely tulajdonság akkor teljesül, ha a ξ( , )t w minden koordinátafo-lyamata másodrendben gyengén stacionárius. Fel fogjuk tételezni előző tárgyalásunkhoz hasonlóan továbbá azt is, hogy a ξ( , )t w minden koordinátafolyamata még zérus várható értékű is, azaz a vektoriális várható érték is zérusvektor:

twtt ∀≡= , ),()( 0m ξξ E .

Gyengén stacionárius vektorfolyamatok esetén a fentiekben általános esetre bevezetett mátrixértékű kovarianciafüggványek elemei egyváltozósakká válnak. A szokásos τ = −t s jelölés bevezetésével pl. az input vektorfolyamatra a következő alakú kovarianciafüggvényt kapjuk:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

)()()(

)()()()()()(

)(

21

22212

12111

τττ

ττττττ

τ

ξξξξξξ

ξξξξξξ

ξξξξξξ

ξξ

mmmm

m

m

CCC

CCCCCC

L

MOMM

L

L

C .

A vektorértékű stacionárius folyamatok esetén is értelmezzük a skalár esetben hasznos spektrális sűrűségfüggvény megfelelőjét, bevezetve a mártixértékű kovariancia-függvény inverz Fourier-transzformáltjaként értelmezett mátrixértékű spektrális sűrűségfüggvényt, röviden: a spektrum-mátrixot. Az ilymódon értelmezett spektrum-mátrix főátlójában a gyengén stacionárius sztochasztikus vektorfolyamat összetevő-folyamatainak spektrális sűrűségfüggvényei lépnek be, míg a főátlón kívüli spektrummátrix-elemek a mátrixértékű kovarianciafüggvény főátlón kívüli elemeinek a keresztkovariancia-függvényeknek az in-verz Fourier-transzformáltjai lesznek. Igy általánosan a négyzetes Sξξ ω( ) spektrum-mát--rix valamely általános indexű elemét az

)(21)( ττπ

ω ξξωτ

ξξ dCesjiji

i∫∞

∞−

−=

49

összefüggés értelmezi. A vektorértékű stacionárius folyamatokra is érvényes a Wiener-Hincsin relációpár, csak most a mátrixértékű jellemző függvényeket kell szerepeltetnünk:

)(21)(

, )()(

ττπ

ω

ωωτ

ξξωτ

ξξ

ξξωτ

ξξ

de

de

i

i

CS

SC

∫

∫∞

∞−

−

∞

∞−

=

=

.

Ha a lineáris MIMO bemenetére a ξ( , )t w gyengén stacionárius vektorértékű sztochasztikus gerjesztés működik, akkor a SISO tárgyalásánál alkalmazott módon könnyű belátni, hogy a a MIMO kimenetén jelentkező η ξ( , ) ( , )t w t w= R vektorértékű sztochasztikus kimenőfolyamat (válaszfolyamat) szintén gyengén stacionárius tulajdonságú lesz. Az ξ( , )t w kimenőfolyamathoz ily módon szintén hozzárendelhetjük a (most csupán τ -függő mátrixértékű) kovarianciafüggvénye inverz Fourier-transzformáltjaként előálló Sηη ω( ) kimenő spektrum-mátrixot. Az elmondottak szerint rendelkezésre álló bemenő és kimenő spektrális sűrűség mátrixok között a MIMO mátrixértékű komplex frekvenciafüggvénye ismeretében a SISO esetére kapott eredményhez analóg módon fogalmazható meg a statisztikai dinamika alaptétele, amely most az alábbi alakot ölti:

S H S Hηη ξξω ω ω ω( ) ( ) ( ) ( )= −i iT . A kapott nevezetes összefüggés szerint tehát a lineáris időinvariáns MIMO válaszfolya-matának négyzetes Sηη ω( ) spektrális sűrűség mátrixa három mátrix szorzataként számítható. A három tényező közül az első a H( )−iω nem feltétlenül négyzetes mátrix (a MIMO mátrixértékű komplex H( )iω frekvenciafüggvényének komplex konjugált-ja), a második tényező gerjesztő folyamat négyzetes Sξξ ω( ) spektrális sűrűségmát-rixa, míg a harmadik tényező a MIMO (ugyancsak nem feltétlenül négyzetes) mát-rixértékű komplex frekvenciafüggvényének transzponáltja. Amennyiben az η( , )t w kimenőfolyamat spektrális sűrűség mátrixa rendelkezésre áll, ak-kor a kimenőfolyamat koordinátafolyamatainak szórásnégyzetét a SISO -nál tárgyaltakhoz hasonlóan, az Sηη ω( ) spektrum-mátrix főátlójában elhelyezkedő elemeknek - az auto-spektrumoknak - a teljes ω tengely feletti improprius integrálja szolgáltatja. Képletben:

njdsjjj

,...,2,1= , )( ωωσ ηηη ∫+∞

∞−

= .

A kimenőfolyamat koordinátafolyamatainak szórásai ismeretében már jellemezni lehet a kimenőfolyamat sávszerűségét, sőt ha még η( , )t w vektorértékű válaszfolyamat minden koordinátafolyamata Gauss folyamat is - amihez a lineáris MIMO esetén a gerjesztő ξ( , )t w vektorfolyamat Gaussitása elégséges - meghatározhatók a válasz koordinátafolya-matainak elsőrendű perem-sűrűségfüggvényei is:

50

f x e t w

j n

j

j

j

j

x

jηη

σησ π

σ ηη( ) ( , )

, ,...,

= =

=

−12

1 2

2

22 , D .

Gyengén stacionárius sztochasztikus vektorfolyamatok koherenciaviszonyai Elsőként tekintsünk egy lineáris időinvariáns SISO rendszert, és készítsük el a ξ( , )t w má-sodrendben gyengén stacionárius gerjesztő folyamatból és a SISO által ezen gerjesztésre a-dott η( , )t w válaszfolyamatból alkotott

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

),(),(

),(wtwt

wtηξ

ζ

kétdimenziós - ugyancsak másodrendben gyengén stacionárius - sztochasztkus vektor-folyamatot. Készítsük most el a ),( wtζ folyamat spektrum mátrixát az

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

)()()()(

)(ωωωω

ωηηηξ

ξηξξζζ ss

ssS

mátrixértékű függvény konstrukciójával. Mint látható, a főátlóban a gerjesztőfolyamat és a válaszfolyamat autospektrumai helyezkednek el, míg a főátlón kívül a gerjesző -és vá-laszfolyamat keresztspektrumai találhatók. Az utóbbi keresztspektrumok indexsorrendje különböző, és a két eltérő indexelrendezéshez tartozó komplexértékű keresztspektrumok a következő egyenlőség szerint függnek össze:

)()(21)(

21)( ωττ

πττ

πω ξη

ωτξη

ωτηξηξ ss =−== ∫∫

∞

∞−

−∞

∞−

− deCdeC ii .

Azt kaptuk, hogy a komplex keresztspektrum az indexsorrend megváltozására konjugált értéket vesz fel, és egyben az is következik, hogy a keresztspektrumok abszolút értéke in-dexsorrend-független. Az elmondottak alapján megállapíthatjuk, hogy a másodrendben gyengén stacionárius sztochasztikus folyamatok spektrális sűrűség mátrixa rendelkezik a konjugált szimmetria tulajdonságával, azaz: hermitikus mátrix! A vizsgált )(ωζζS spektrum főátlón kívüli elemeiből képezhetjük a koordinátafolyamatok koherencia-függvényét a következő definíció szerint:

)()()(

)(2

2

ωωω

ωγηηξξ

ξηξη ss

sdef

= .

Rátekintve a definiáló kifejezésre, azonnal feltűnik a képlet szerkezetének hasonlósága a normált korrelációs függvény értelmezésénél használt szerkezethez, nevezetesen a szám-lálóban a két tekintett folyamat keresztspektrumának abszolút érték négyzete, nevezőben pedig a két folyamat autospektrumának szorzata szerepel. Felidézve a normált korrelációs függvény négyzetének szóban forgó

51

22

22

))((

)(ηξ

ξηξη σσ

ττ

CR

def

=

kifejezését, az analógia jól látszik: a keresztspektrumnak a keresztkovariancia, az auto-spektrumoknak pedig a szórásnégyzetek felelnek meg. A koherenciafüggvény járműdinamikai problémákban való alkalmazhatósága két fontos tulajdonságának köszönhető. Az első ilyen tulajdonság az, hogy amennyiben a ξ( , )t w bemenőfolyamatot az η( , )t w válaszfolyamatba átvivő R rendszeroperátor homogén line-áris, akkor minden ω -ra az γ ωξη

2 1( ) ≡ azonosság érvényes. A második fontos tulajdonság az, hogy a koherenciafüggvénynek minden esetben zérus és egy közé kell esnie, azaz minden ω -ra teljesülnie kell a

0 12≤ ≤γ ωξη( )

relációnak. Mármost ha a koherencia értéke kisebb mint egy, akkor három egymást nem kizáró vagylagos következtetés vonható le: a.) a γ ωξη

2 ( ) számításához használt folyamatok külső (pl. mérési) zajt tartalmaznak,

b.) a ξ( , )t w folyamatot az η( , )t w folyamatba leképező R operátor nemlineáris,

c.) a η( , )t w válaszfolyamat nem csak a ξ( , )t w folyamattól függ, hanem a választ további behatás is befolyásolja.

Az utóbbi három sajátosság a rendszert gerjesztő- és a válasz folyamat realizációs függ-vényének méréses vizsgálatakor, és a dinamikai rendszer ezen mérések eredményeinek alapján történő azonosítása (identifikációja) során hasznosítható.