Marószerszámok dinamikai tulajdonságai és azok hatása a ...dombo/Downloads/2012_GEP_DomboStepan.pdf · 1 Marószerszámok dinamikai tulajdonságai és azok hatása a megmunkálás

1

Maroacuteszerszaacutemok dinamikai tulajdonsaacutegai eacutes azok hataacutesa a megmunkaacutelaacutes stabilitaacutesaacutera

Domboacutevaacuteri Zoltaacuten 12 Steacutepaacuten Gaacutebor 3

A cikkben oumlsszefoglaljuk a maraacutesi eljaacuteraacutesok stabilitaacutesaacutenak meghataacuterozaacutesakor felmeruumllő elmeacuteleti illetve gyakorlati probleacutemaacutekat Bemutatjuk hogy a valoacutes megmunkaacutelaacutesi folyamatok modellezeacuteseacutet koumlzvetlenuumll a modaacutelis teacuterben veacutegezhetjuumlk el kihagyva a szokaacutesos teacuterbeli leiacuteraacutest Bemutatjuk a szerszaacutemok modaacutelis tulajdonsaacutegainak kiacuteseacuterleti meghataacuterozaacutesaacutet eacutes az iacutegy kapott eredmeacutenyek felhasznaacutelaacutesaacutet a megmunkaacutelaacutes stabilitaacutesaacutenak meghataacuterozaacutesaacutehoz Oumlsszevetjuumlk a kiacuteseacuterletileg egyszerű uacutegynevezett szerszaacutemcsuacutecs meacutereacutest a szerszaacutemon veacutegzett kiacuteseacuterleti modaacutelis analiacutezissel Elemezzuumlk a meacutereacutes soraacuten tapasztalt elteacutereacutesek hataacutesaacutet a megmunkaacutelaacutes stabilitaacutesaacutera Veacuteguumll bemutatjuk mikeacutent befolyaacutesolja a szerszaacutem teljes lengeacuteskeacutepeacutenek figyelembeveacutetele az anyaglevaacutelasztaacutesi folyamat stabilitaacutesaacutet

Kulcsszavak maraacutes stabilitaacutes keacuteslelteteacutes oumlngerjesztett rezgeacutesek

dombommbmehu 1 Budapesti Műszaki eacutes Gazdasaacutegtudomaacutenyi Egyetem MTA-BME Geacutepek eacutes Jaacuterművek Dinamikaacuteja Kutatoacutecsoport 2 Ideko Technological Centre Elgoibar Baszkfoumlld Spanyolorszaacuteg 3 Budapesti Műszaki eacutes Gazdasaacutegtudomaacutenyi Egyetem Műszaki Mechanikai Tanszeacutek

1 Bevezeteacutes

Geacutepeink alkatreacuteszeinek nagy haacutenyada forgaacutecsolaacutessal keacuteszuumll A gazdasaacutegi elvaacuteraacutesok megkoumlvetelik a termeleacutekenyseacuteg noumlveleacuteseacutet melyet forgaacutecsolaacutes eseteacuten az egyseacutegnyi idő alatt levaacutelasztott forgaacutecsteacuterfogat maximalizaacutelaacutesaacuteval eacuterhetuumlnk el Ezt peacuteldaacuteul maraacutes eacutes esztergaacutelaacutes eseteacuten a szerszaacutem illetve a munkadarab fordulatszaacutemaacutenak a noumlveleacutese is segiacuteti Nagysebesseacutegű megmunkaacutelaacuteskor alkalmunk adoacutedhat kuumlloumlnoumlsen nagy forgaacutecsszeacutelesseacuteg alkalmazaacutesaacutera is kedvező parameacuteterek eseteacuten kaacuteros rezgeacutesek keletkezeacutese neacutelkuumll

Az 1960-as eacutevekben keacutet kutatoacute Tobias [28] eacutes Tlusty [27] egymaacutestoacutel fuumlggetlenuumll raacutevilaacutegiacutetott arra hogy a regeneratiacutev hataacutesok jelentős szerepet jaacutetszanak a forgaacutecsolaacutesi folyamatok stabilitaacutesaacuteban Ezek a hataacutesok tipikusan esztergaacutelaacutes fuacuteraacutes eacutes maraacutes eseteacuten keletkeznek amikor a maacuter megmunkaacutelt feluumllet mintaacutezata gerjeszti a szerszaacutemgeacutepet a forgaacutecsoloacute erőn keresztuumll Matematikai eacutertelemben a forgaacutecsolaacutesi folyamat nem csak az aktuaacutelis aacutellapottoacutel fuumlgg hanem a muacuteltbeacuteli aacutellapottoacutel is a megfelelő matematikai modellek keacutesleltetett differenciaacutelegyenletek melyek triviaacutelis megoldaacutesai gyakran instabilak Meacutegis a rendszer sajaacutetfrekvenciaacuteihoz viszonyiacutetva magas fordulatszaacutemokon uacuten stabil bdquozsebekrdquo keletkeznek melyekbe hangolva a rendszert jelentősen noumlvelhető az időegyseacuteg alatt levaacutelasztott forgaacutecsteacuterfogat Ez a jelenseacuteg vezetett a nagysebesseacutegű megmunkaacutelaacutesok szeacutelesebb koumlrű alkalmazaacutesaacutehoz melyet joacutel forgaacutecsolhatoacute anyagok (tipikusan alumiacutenium ill aceacutel) eseteacuten alkalmazhatunk Ha a megmunkaacutelaacutesi folyamatot instabil zoacutenaacuteba hangoljuk a folyamat dinamikusan elveszti a stabilitaacutesaacutet eacutes egyre noumlvekvő amplituacutedoacutejuacute rezgeacutes keletkezik A rezgeacutesek addig noumlvekednek amiacuteg a szerszaacutem kileacutep az anyagboacutel bdquoaacutetrepuumll feletterdquo majd ismeacutet beleacutep az anyagba [9 11] Stabil oumlngerjesztett rezgeacutes keletkezik

mely jelentősen csoumlkkentheti a gyaacutertmaacuteny minőseacutegeacutet eacutes esetenkeacutent roncsolhatja a szerszaacutemgeacutepet is Ezt az iparban egyeacutebkeacutent instabilnak nevezett rezgeacutes az uacuten bdquochatterrdquo melynek elkeruumlleacutese az automata gyaacutertoacutesorok megjeleneacuteseacutevel feleacuterteacutekelődoumltt

Szemben az esztergaacutelaacutessal maraacutesi folyamatok eseteacuten a dinamikai parameacuteterek időfuumlggőek periodikusak mivel az eacutelek ki eacutes beleacutepeacutese folyamatos luumlktető (parameacuteteres) gerjeszteacutest ad a rendszernek [1-3 10 19 26 29] A megfelelő matematikai modell parameacuteteresen gerjesztett keacutesleltetett differenciaacutelegyenlet Ekkor az időben periodikus dinamika tulajdonsaacutegait egy alkalmasan megvaacutelasztott diszkreacutet lekeacutepezeacutes segiacutetseacutegeacutevel koumlvethetjuumlk melyet a Floquetndashelmeacutelet taacutergyal [15]

Technoloacutegiai tervezeacutes soraacuten kezd elterjedni a maraacutesi folyamatok stabilitaacutesi teacuterkeacutepeacutenek hasznaacutelata melyek segiacutetseacutegeacutevel stabil eacutes hateacutekony megmunkaacutelaacutesok tervezhetők a technoloacutegiai parameacuteterek tereacuteben A szakirodalomban toumlbb eljaacuteraacutes is fellelhető a regeneratiacutev hataacutesok vizsgaacutelataacutera melyek kuumlloumlnboumlző meacutelyseacutegben modellezik a maraacutesi folyamatokat Frekvencia tartomaacutenyban a nullad-rendű koumlzeliacuteteacutest (Zeroth Order Approximation ZOA) [1] eacutes a toumlbbszoumlroumls frekvencia megoldaacutest (Multiple Frequency solution MF) [7 22] időtartomaacutenyban a szemi-diszkretizaacutecioacutet [17] ill az időbeli veacutegeselemes [6] eljaacuteraacutesokat lehet emliacuteteni Gyakorlati szempontboacutel a frekvencia tartomaacutenyon alapuloacute eljaacuteraacutesok keacutenyelmesebben hasznaacutelhatoacuteak hiszen koumlzvetlenuumll illeszthető a munkadarab-keacuteszuumlleacutek-geacutep-szerszaacutem (MKGS) rendszer meacutereacutessel meghataacuterozott frekvencia aacutetviteli fuumlggveacutenyei (Frequency Response Function FRF) Ezek az eljaacuteraacutesok viszont korlaacutetozottan alkalmazhatoacuteak bonyolult maraacutesi folyamatok stabilitaacutesaacutenak vizsgaacutelataacutera kizaacuteroacutelag lineaacuteris esetekben Időtartomaacutenyban a modellezeacutes eacutes annak akaacuter nemlineaacuteris analiacutezise elmeacuteletileg nem uumltkoumlzik akadaacutelyba de itt a meacutert

2

1 aacutebra a) reacutesze bemutatja egy koumlzoumlnseacuteges csavart eacutelű maroacute szerszaacutem geometriai viszonyait Az aacutebra b) reacutesze az i-ik dz vastagsaacuteguacute eacutelszegmensen kialakuloacute forgaacutecsoloacute erő tangenciaacutelis (t) radiaacutelis (r) eacutes axiaacutelis (a) komponenseit mutatja Megjegyzeacutes dFtra i = ftra i di (vouml (5))

dinamikai parameacuteterek meghataacuterozaacutesa meacutereacutesekből valoacute visszaszaacutemolaacutesa jelenthet probleacutemaacutet

A cikkben oumlsszefoglaljuk a maraacutesi folyamatok modellezeacuteseacutenek probleacutemaacuteit a geometria leiacuteraacutesaacutetoacutel a meacutereacutessel meghataacuterozott dinamikai tulajdonsaacutegok figyelembeveacuteteleacuteig

2 Maraacutes dinamikai modellje

A maraacutessal toumlrteacutenő megmunkaacutelaacutes mind a forgaacutecslevaacutelasztaacutes kis koumlrnyezeteacuteben mind a szerszaacutemgeacutep strukturaacutelis leacutepteacutekeacuteben bonyolult fizikai folyamat A forgaacutecslevaacutelasztaacutesboacutel szaacutermazoacute ndash a maroacuteszerszaacutemot illetve a munkadarabot terhelő ndash erőrendszer empirikusan adhatoacute meg tipikusan az ortogonaacutelis forgaacutecsolaacutessal meghataacuterozott uacuten forgaacutecsolaacutesi erő karakterisztika hasznaacutelataacuteval Az iparban eacutes a szakirodalomban toumlbb forgaacutecsolaacutesi erő modell megtalaacutelhatoacute [2 21 24] melyek kuumlloumlnboumlző technoloacutegiai parameacuteterektől fuumlggnek de mind a forgaacutecsvastagsaacuteg valamilyen lineaacuteris vagy nemlineaacuteris fuumlggveacutenyei A lokaacutelis forgaacutecsvastagsaacuteg időben valoacute nyomon koumlveteacutese eacuterdekeacuteben elengedhetetlen a folyamat geometriai viszonyainak pontos modellezeacutese a regeneratiacutev hataacutesok azonosiacutetaacutesa

Az itt bemutatott mechanikai modell alkalmas a hagyomaacutenyos csavart eacutelű (bdquoheacutelixesrdquo) maroacuteszerszaacutemokkal toumlrteacutenő palaacutestmaraacutes modellezeacuteseacutere Kuumlloumlnboumlző eacutelgeometriaacutek hullaacutemos eacutelű [10] vagy vaacuteltozoacute szoumlgosztaacutesuacute [8] maroacute szerszaacutemok okozhatnak bonyolult regeneratiacutev viszonyokat (toumlbb aacutellandoacute keacuteseacutes [10] aacutellapottoacutel fuumlggő keacuteseacutes [5] megoszloacute keacuteseacutes [4]) A szerszaacutemon keletkező forgaacutecsolaacutesi erőt egy aacuteltalaacutenos empirikus forgaacutecsolaacutesi erő karakterisztika segiacutetseacutegeacutevel hataacuterozzuk meg mely gerjeszti a lineaacuterisan rugalmasnak eacutes araacutenyosan csillapiacutetottnak tekintett MKGS rendszert Kiteacuteruumlnk tovaacutebbaacute az FRF matematikai eacutertelmezeacuteseacutere megmutatjuk hogyan fejthetőek vissza dinamikai meacutereacutesek alapjaacuten a modaacutelis parameacuteterek

21 Forgaacutecsoloacute erő

A maroacuteszerszaacutemot terhelő megoszloacute regeneratiacutev erőrendszer meghataacuterozaacutesaacutehoz szuumlkseacuteg van a maraacutesi folyamat geometriai modellezeacuteseacutere A szerszaacutem egyes eacuteleinek elfordulaacutesaacutet a lokaacutelis ndash y tengelyhez keacutepesti ndash eacutelszoumlggel lehet időben nyomon koumlvetni

1

1p tan)(

i

kki R

zttz i = 1 2 hellip N (1)

ahol (rads) a főorsoacute szoumlgsebesseacutege R a szerszaacutem sugara a csavart eacutelű szerszaacutem menetemelkedeacuteseacutenek a szoumlge (heacutelix-szoumlg) N a fogak szaacutemaacutet jeloumlli (1 aacutebra a) illetve p k a k-ik eacutes a koumlvetkező eacutel koumlzoumltti szoumlgosztaacutes A tovaacutebbiakban aacutellandoacute szoumlgosztaacutesuacute maroacuteszerszaacutemot vizsgaacutelunk azaz p = p k = 2N Az i-ik vaacutegoacute- eacutes az (i+1)-ik megelőző eacutel koumlzoumltti elmeacuteleti (geometriai) forgaacutecsvastagsaacuteg hgi ( z t ) feliacuterhatoacute az eacutelek egymaacuteshoz keacutepesti elmozdulaacutesaacutenak eacutes az aktuaacutelis vaacutegoacuteeacutel normaacutelisaacutenak skalaacuteris szorzatakeacutent

)())00(col)(()(g zftztzh ixi nr (2)

melyben f x a szerszaacutem előtolaacutes (x) iraacutenyuacute elmozdulaacutesa r (z t ) = r (z t ) ndash r (z t ndash ) pedig a regeneratiacutev hataacutest jeloumlli az i-ik eacutes az azt megelőző vaacutegoacuteeacutel koumlzoumltt ahol r ( z t ) = col(x( z t ) y( z t ) z( z t )) A regeneratiacutev hataacutes a szerszaacutem r ( z t ) aktuaacutelis mozgaacutesa (rezgeacutese) eacutes annak idővel koraacutebbi r ( z t ndash ) mozgaacutesa koumlzoumltt joumln leacutetre az az idő amiacuteg keacutet egymaacutest koumlvető fog ugyanabba a i ( z t ) szoumlghelyzetbe nem eacuter mely feliacuterhatoacute a koumlvetkező moacutedon

N

π211p

3

2 aacutebra a) reacutesze a szerszaacutem ndash (6) szerinti ndash r(t) aacuteltalaacutenos koordinaacutetaacutek alapjaacuten szaacutermaztatott mechanikai modelljeacutet aacutebraacutezolja Ekkor az Nz db mr redukaacutelt toumlmeg k merevseacuteg eacutes a vele araacutenyos c csillapiacutetaacutes szerint irhatoacute fel a (7) mozgaacutesegyenlet az M toumlmeg- K merevseacutegi eacutes C csillapiacutetaacutesi maacutetrix meghataacuterozaacutesaacuteval Az aacutebra b) reacutesze a szerszaacutem modaacutelis modelljeacutet mutatja amikor a szerszaacutem mozgaacutesa Nq db egymaacutestoacutel fuumlggetlen n koumlrfrekvenciaacutejuacute eacutes csillapiacutetaacutesuacute P(z) lengeacuteskeacutepekkel irtatoacute le melyek meacutereacutesből koumlzvetlenuumll meghataacuterozhatoacuteak Kettő feliacuteraacutes koumlzoumltt az U modaacutelis transzformaacutecioacutes maacutetrix teremti meg a kapcsolatot (laacutesd (17))

A forgaacutecsvastagsaacuteg (2) szerinti meghataacuterozaacutesa megenged negatiacutev eacuterteacutekeket azaz hogy hgi ( z t ) lt 0 legyen mely eset fizikailag termeacuteszetesen nem eacutertelmezhető de megkoumlnnyiacuteti a matematikai modellezeacutest

Az eacutel lokaacutelis ni (z) = col(sin i (z t) cos i (z t) 0) normaacutelisaacutenak (2)-be helyettesiacuteteacuteseacutevel a geometriai forgaacutecsvastagsaacuteg a koumlvetkező alakban fejezhető ki

)(cos))()((

)(sin))()(()(g

tztzytzy

tzftzxtzxtzh

i

ii

(3)

Ekkor az eacutel valoacutes ciklois paacutelyaacutejaacutet koumlriacutevvel koumlzeliacutetjuumlk egy megfelelően egyszerű de a szuumlkseacuteges hataacutesokat meacuteg joacutel leiacuteroacute modell eacuterdekeacuteben Mivel minden eacutel ugyanolyan geometriaacutejuacute a forgaacutecsvastagsaacuteg (1) eacutes (3) szerint időben periodikus lesz T = 2 perioacutedus idővel ami egyenlő a keacuteseacutessel is A szerszaacutem munkadarabba valoacute radiaacutelis eacutes axiaacutelis behatolaacutesaacutet figyelembe veszi a hi valoacutes forgaacutecsvastagsaacuteg amit a koumlvetkező moacutedon hataacuterozunk meg

)()()( g tzhtzgtzh iii

ahol a gi (z t) = gri i (z t) gap (z) kapcsoloacutefuumlggveacuteny figyelembe veszi a radiaacutelis eacutes axiaacutelis fogaacutesmeacutelyseacuteget a koumlvetkező fuumlggveacutenyekkel

egyeacutebkeacutent0

)π2mod)((1)( kibe

ri tz

tzg ii eacutes (4)


1)( p

paz

zga

Itt a munkadarabba valoacute radiaacutelis behatolaacutest a be eacutes ki be- illetve kileacutepeacutesi szoumlghelyzettel az előiacutert axiaacutelis fogaacutesmeacutelyseacuteget

ap-vel vesszuumlk figyelembe (1 aacutebra a) Az egyseacutegnyi lokaacutelis eacuteldarabra hatoacute ftra i (z t) forgaacutecsolaacutesi erőt empirikusan meghataacuterozott f(h) forgaacutecsoloacute erő karakterisztikaacuteval tudjuk figyelembe venni (1 aacutebra b) iacutegy

))(()( tzhtz iitra ff (5)

A lokaacutelis (tra) koordinaacutetarendszerben eacutertelmezett egyseacutegnyi eacutelhosszra vonatkoztatott erő feliacuterhatoacute az (xyz) alap-koordinaacutetarendszerbe valoacute visszatranszformaacutelaacutessal a koumlvetkezők szerint

)()()()(

))()((

tztztzgtz

tztztz

itraiii

i

fTf

rrf

ahol

100

0cossin

0sincos

)( ii

ii

i tz

T )( tzii

A regeneratiacutev hataacutesra a fajlagos forgaacutecsoloacute erő utolsoacute argumentumaacuteban leacutevő r (z t ndash ) tag utal

22 Dinamikai modell

A maroacuteszerszaacutemot eacutes a szerszaacutemgeacutepet lineaacuterisan rugalmasnak felteacutetelezve bevezethető a szerszaacutem elmozdulaacutes fuumlggveacutenyeacutenek egy diszkretizaacutelt vaacuteltozata a koumlvetkezőek szerint

))((col))()()(col()(1

21 tztttt l

N

lN

z

zrrrrr

(6)

ahol zl a z vastagsaacuteguacute axiaacutelis maroacuteszerszaacutem elem koumlzepeacutenek axiaacutelis koordinaacutetaacuteja (2 aacutebra a) (6)-ban rl (t) = r (zl t) az l-ik

4

axiaacutelis maroacuteszerszaacutem elem aacuteltalaacutenos koordinaacutetaacutei azaz rl (t) = col(xl (t) yl (t) zl (t)) Maraacutesi eljaacuteraacutesok dinamikai viselkedeacutese a koumlvetkező keacutesleltetett differenciaacutelegyenlettel adhatoacute meg aacuteltalaacutenosan (2 aacutebra a)

))()(()()()( tttttt rrFrKrCrM (7)

ahol M C ill K az r aacuteltalaacutenos koordinaacutetaacutekkal konzisztens toumlmeg- csillapiacutetaacutesi eacutes merevseacutegi maacutetrix F a kuumlloumlnboumlző axiaacutelis elemekre hatoacute ndash az r aacuteltalaacutenos koordinaacutetaacutek szerint feliacutert ndash megoszloacute forgaacutecsoloacute erő eredője azaz

)(d))()((col

))()((

1

2

2

i1

N

i

zz

zz

lli

N

l

l

l

zttt

ttt

rrf

rrF

ahol di ( ) = d cos (vouml 1 aacutebra a) Behelyettesiacutetve

r(t) = P e i ωt exponenciaacutelis proacutebafuumlggveacutenyt (7) homogeacuten reacuteszeacutebe a csillapiacutetatlan gerjesztetlen rendszer frekvenciaegyenlete a koumlvetkező alakban iacuterhatoacute fel

0PKM )( 2 (8)

A P lengeacuteskeacutep vaacuteltozatlanul valoacutes marad az araacutenyosan csillapiacutetott esetben (8)-nak leacutetezik triviaacutelistoacutel kuumlloumlnboumlző megoldaacutesa ha kieleacutegiacuteti a frekvencia (karakterisztikus) egyenletet

0)(det 2 KM (9)

Eszerint meghataacuterozhatoacuteak a modaacutelis parameacuteterek azaz az n k sajaacutet-koumlrfrekvenciaacutek eacutes az azokhoz tartozoacute Pk lengeacuteskeacutepek (2 aacutebra b) Az eredeti dinamikai rendszernek veacutegtelen sok modusa van amiből az axiaacutelis felbontaacutestoacutel fuumlggően 3Nz hataacuterozhatoacute meg (9) szerint Az elmeacuteleti modaacutelis analiacutezis szerint az r(t) aacuteltalaacutenos koordinaacutetaacutek eacutes a q(t) = col(q1(t) q2(t) hellip q3Nz(t)) modaacutelis koordinaacutetaacutek koumlzoumltt a koumlvetkező transzformaacutecioacute eacuterveacutenyes

)()( tt qUr ahol ][ 321 zNk UUUUU eacutes

kklk

N

lk c

zPUU

)(col

1 (10)

A megfelelő modus normalizaacutelaacutesi parameacutetere 21T )( kkkc PMP (k = 1 2 hellip 3Nz) alakuacute Itt U a toumlmeggel

normalizaacutelt modaacutelis transzformaacutecioacutes maacutetrix 3Nz meacuteretű kvadratikus maacutetrixa (7) alakja a modaacutelis teacuterben a koumlvetkező (2 aacutebra b)

))()((

)(][)(]2[)(

T

2nn

ttt

ttt kkk

qUqUFU

qqq (11)

amiből laacutetszik hogy a modaacutelis koordinaacutetaacutek csak a forgaacutecsoloacute

erőn keresztuumll csatoloacutednak (11)-ben [ 2 k nk ] eacutes ][ 2n k

diagonaacutelis maacutetrixok melyek a k-ik modus k relatiacutev csillapiacutetaacutesaacutet ill n k sajaacutet-koumlrfrekvenciaacutejaacutet tartalmazzaacutek A k-ik modus modaacutelis toumlmege eacutes modaacutelis merevseacutege kifejezhetők a koumlvetkezők szerint

kkkkkkkm PPUUPMP T1TT )( 2n kkk mk

Ehhez hozzaacutetartozik hogy az mk modaacutelis toumlmeg eacutes a Pk lengeacuteskeacutep oumlsszetartozoacute viszonylagos parameacuteterek azaz a modaacutelis toumlmeg nagysaacutega attoacutel fuumlgg hogyan normaacuteljuk a lengeacuteskeacutepeket Peacuteldaacuteul (10)-ben Uk a toumlmeggel normalizaacutelt lengeacuteskeacutep azaz a hozzaacute tartozoacute modaacutelis toumlmeg egyseacutegnyi

A (7) szerinti feliacuteraacutes a gyakorlatban nehezen hasznaacutelhatoacute hiszen sem az M toumlmeg- sem a C csillapiacutetaacutesi sem az K merevseacutegi maacutetrixot nem ismerjuumlk egy valoacutes berendezeacutesre (11) szerint azonban a modaacutelis parameacuteterek eacutes a lengeacuteskeacutepek ismerete elegendő a maraacutes dinamikai viselkedeacuteseacutenek vizsgaacutelataacutehoz

23 Modaacutelis tulajdonsaacutegok

A gyakorlatban egy dinamikai rendszer modaacutelis parameacuteterei toumlbbek koumlzoumltt uumlteacutesi vagy raacutezaacutesi kiacuteseacuterlettel hataacuterozhatoacutek meg A ceacutel a kuumlloumlnboumlző pontokhoz eacutesvagy iraacutenyokhoz tartozoacute frekvencia aacutetviteli fuumlggveacutenyek (FRF-ek) meghataacuterozaacutesa Megfelelő Nm szaacutemuacute eacutes helyzetű FRF-ek lemeacutereacuteseacutevel egy valoacutes szerkezet dinamikai tulajdonsaacutegai meghataacuterozhatoacuteak Ez tipikusan valamilyen goumlrbeilleszteacutesi moacutedszert jelenti mellyel Nq szaacutemuacute modust azonosiacutethatunk azaz az eredeti veacutegtelen meacuteretű modaacutelis teacuter egy Nq dimenzioacutes leszűkiacuteteacuteseacutet hataacuterozhatjuk meg meacutereacutessel q(t) = col(q1(t) q2(t) hellip qNq(t)) Ekkor (10) eacutes (11) szerint laacutetszik hogy U-nak csak egy csonkiacutetott 3NmtimesNq meacuteretű vaacuteltozata aacutelliacutethatoacute elő kiacuteseacuterleti modaacutelis analiacutezissel mivel U Nq

darab 3Nm meacuteretű Uk lengeacuteskeacutepet tartalmaz (itt k = 1 2 hellip Nq) A (11) feliacuteraacutes ugyanuacutegy eacuterveacutenyben marad nem kvadratikus U eseteacuten is A gerjeszteacutes eacutes a vaacutelasz teacuterbeli iraacutenyaacutet vegyuumlk figyelembe a w eacutes v egyseacutegvektorokkal Ha a gerjeszteacutes eacutes a vaacutelasz zm eacutes zn axiaacutelis szinteken eacutertelmezett akkor az előbb emliacutetett vektorokat feliacuterhatjuk a (6)-ban bevezetett diszkretizaacutecioacute szerint a koumlvetkezőkeacuteppen w = col(0 hellip wm hellip 0) eacutes v = col(0 hellip vn hellip 0) Ekkor w eacutes v iraacutenyok koumlzoumltti aacutetviteli fuumlggveacuteny [14] szerint kifejezhető a koumlvetkező alakban

q

q

N

k kkk

mmknkn

N

k kkk

kkwv

12nn

2

T

T

12nn

2

TT

i2

i2)(

wUUv

wUUv

(12)

ha Uk =col(Uk 1 Uk 2 hellip Uk m hellip Uk n hellip Uk Nm) A k-ik

modushoz tartozoacute wUUv TTkk skalaacuter egyuumltthatoacute az uacuten

modaacutelis konstans reciproka az effektiacutev (vagy reflektiacutev) modaacutelis toumlmeg

1TT )( wUUv kkwvkm (13)

amiből az effektiacutev (vagy reflektiacutev) merevseacuteg feliacuterhatoacute 2n kwvkwvk mk A modaacutelis parameacutetereinek

meghataacuterozaacutesaacutehoz elvileg elegendő a teacuter haacuterom iraacutenyaacuteba elveacutegzett egyetlen uumlteacutesi kiacuteseacuterlet ndash termeacuteszetesen nem csomoacutepontban meacuterve a vaacutelaszjeleket

5

3 aacutebra Az a) reacutesze az aacutebraacutenak a modaacutelis meacutereacutes soraacuten hasznaacutelt eszkoumlzoumlket mutatja A b) reacutesz a szerszaacutemcsuacutecs aacutetviteli fuumlggveacutenyeit (FRF) mutatja az előtolaacutes iraacutenyaacuteban gerjesztve eacutes meacuterve (xx) illetve raacute merőlegesen (yy) A veacutekony folytonos vonal a valoacutes meacutereacutest miacuteg a folytonos vastag vonal az illesztett parciaacutelis toumlrt fuumlggveacutenyt (RFP) mutatja Szaggatott veacutekony vonal az uacutegynevezett kereszt aacutetviteli fuumlggveacuteny (xy) aacutebraacutezolja A b) aacutebraacuten a leacutepcsőzetesen noumlvelt fokszaacutemuacute parciaacutelis toumlrtfuumlggveacutenyek gyoumlkei is aacutebraacutezolaacutesra keruumlltek melyből egyeacutertelműen kivehetőek a bdquostabilrdquo valoacutes modusok

A lengeacuteskeacutepek azonosiacutetaacutesaacutehoz azonban toumlbb pontban kell meacuternuumlnk FRF-t melyek maacutetrixba rendezhetőek

)()(

)()(

)(

mmm

m

1

111

NNN

N

(14)

)()()(

)()()(

)()()(

)(

nmzznmyznmxz

nmzynmyynmxy

nmzxmnyxnmxx

nm

ahol n m = 1 2 hellip Nm A (14) szerinti feliacuteraacutes konzisztens a (10)-ben bevezetett jeloumlleacutessel ha Uk l = col(Uk x l Uk y l Uk z l) (12) eacutes (14) szerint a meacutert aacutetviteli maacutetrix feliacuterhatoacute a koumlvetkező moacutedon

qN

k kkk

kk

12nn

2 i2)(

UU

(15)

A szakirodalomban Uk Uk diadikus szorzat az uacuten maradeacutek maacutetrix (residue matrix) mely tulajdonkeacuteppen a modushoz a gerjeszteacutesi eacutes a vaacutelasz iraacutenyokhoz megfelelő [14] reflektiacutev toumlmegeket tartalmazza (laacutesd (13)) azaz

mmm

m

1

111

NkNkkNk

Nkkkk

kk

UUUU

UUUU

UU

(16)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

nmzzknmyzknmxzk

nmzyknmyyknmxyk

nmzxknmyxknmxxk

nkmk

mmm

mmm

mmm

UU

nzkmzknykmzknxkmzk

nzkmyknykmyknxkmyk

nzkmxknykmxknxkmxk

UUUUUU

UUUUUU

UUUUUU

A gyakorlatban nem szuumlkseacuteges a aacutetviteli maacutetrix minden elemeacutet kuumlloumln-kuumlloumln meghataacuterozni A Maxwell felcsereacutelhetőseacutegi elv szerint ndash a linearitaacutes felteacutetelezeacuteseacutevel ndash a gyakorlatban is

szimmetrikus azaz T mnnm A modaacutelis parameacuteterek

uacutegymint n k sajaacutet-koumlrfrekvencia eacutes k csillapiacutetaacutesi teacutenyező meghataacuterozaacutesaacutehoz elegendő a főaacutetloacutejaacuteban leacutevő elemek vizsgaacutelata ahol a modusok feltehetően a legtisztaacutebban jelennek meg A lengeacuteskeacutepek azonosiacutetaacutesaacutehoz elegendő ha a egy oszlopaacutet vagy egy soraacutet meacuterjuumlk csak ki mivel ebből is kifejezhetőek Uk komponensei (laacutesd (16)) Tehaacutet ahogy az koumlzismert elegendő egy pontban gerjeszteni eacutes minden maacutes pontban vaacutelaszt meacuterni vagy fordiacutetva kiveacuteve a lengeacuteskeacutepek csomoacutepontjait

3 Maroacuteszerszaacutem dinamikaacutejaacutenak meghataacuterozaacutesa

Ebben a reacuteszben bemutatjuk hogyan lehet a maroacute szerszaacutem dinamikai tulajdonsaacutegait meghataacuterozni helyi modaacutelis meacutereacutesek segiacutetseacutegeacutevel Az itt taacutergyalt moacutedszer olyan eacutertelemben statikus hogy nem veszi figyelembe a szerszaacutem forgaacutes koumlzben megvaacuteltozott dinamikaacutejaacutet Bizonyos koumlruumllmeacutenyek koumlzoumltt az itt leiacutert egyszerűbb eljaacuteraacutes is elegendően pontos a szerszaacutem-szerszaacutembefogoacute-geacutep dinamikai viselkedeacuteseacutenek a leiacuteraacutesaacutehoz Ha peacuteldaacuteul magas fordulatszaacutemon egy merev haacuteromtengelyes maroacutegeacuteppel munkaacutelunk meg alumiacuteniumot akkor valoacutesziacutenűleg csak a maroacuteszerszaacutem sajaacutet modusai fogjaacutek befolyaacutesolni a stabilitaacutest Ha azonban titaacutent munkaacutelunk meg amikor is a fordulatszaacutem alacsony eacutes a forgaacutecsoloacute erők nagyok nagyobb valoacutesziacutenűseacuteggel fognak a maroacutegeacutep sajaacutet strukturaacutelis modusai berezegni Ilyenkor elengedhetetlenek a pontosabb az egeacutesz munkateacuterre kiterjedő modaacutelis meacutereacutesek

A meacutereacuteseket egy 3 tengelyes viacutezszintes elrendezeacutesű preciacutezioacutes maroacutegeacutepen (Danobat Falcon 500-2G) veacutegeztuumlk el A neacutegyfoguacute csavart eacutelű D = 16 mm aacutetmeacuterőjű maroacuteszerszaacutem zsugorkoumlteacutesű szerszaacutemtartoacuten keresztuumll

6

x n k (Hz) k | 21 xkU | (1 kg) ang( 2

1 xkU ) (fok) kk xx 11 (Nm)

1 641 0024 5175 1155 31364

2 822 0047 9460 ndash0394 28204 3 1681 0108 4961 23645 24560 4 2276 0033 1042 ndash8366 19846 5 3156 0036 5972 ndash1133 65858

y n k (Hz) k | 21 ykU | (1 kg) ang( 2

1 ykU ) (fok) kk yy 11 (Nm)

6 643 0022 6140 ndash0664 26552 7 811 0028 8738 ndash1303 29711 8 1779 0074 5187 ndash13473 24760 10 3153 0028 5598 13421 72054

1 taacuteblaacutezat A maroacute szerszaacutemcsuacutecs meacutereacuteseacuteből visszafejtett modaacutelis parameacuteterek A 9 modus a modaacutelis analiacutezis soraacuten keacutesőbb bekeruumll a vizsgaacutelatba azonban a direkt szerszaacutemcsuacutecs meacutereacutes soraacuten rejtve maradt (laacutesd 3 aacutebra b) (kk xx 11 eacutes kk yy 11 a szerszaacutemcsuacutecs meacutereacuteshez tartozoacute reflektiacutev modaacutelis merevseacuteget ang() pedig a komplex szaacutem szoumlgeacutet jeloumlli)

kapcsoloacutedott a geacutep főorsoacutejaacutehoz A szerszaacutem tuacutelnyuacutelaacutesa a szerszaacutem tartoacutehoz keacutepest L0 = 122 mm volt

31 Szerszaacutemcsuacutecs meacutereacutes

Ez a legegyszerűbben kivitelezhető meacutereacutes a szerszaacutem-szerszaacutembefogoacute-geacutep eacutes a munkadarab koumlzoumltti relatiacutev mozgaacutesok dinamikai tulajdonsaacutegainak meghataacuterozaacutesaacutera Keacutet meacutereacutesi sorozatot veacutegzuumlnk gyorsulaacutes eacuterzeacutekelővel eacutes impulzus kalapaacutecs segiacutetseacutegeacutevel (x) előtolaacutes eacutes a raacute merőleges (y) iraacutenyban (3 aacutebra a) Az eredmeacutenyeket a 3 aacutebra b) reacutesze foglalja oumlssze melyből kitűnik hogy a szerszaacutem hasonloacute dinamikaacuteval rendelkezik mind a keacutet iraacutenyban A keresztiraacutenyuacute hataacutesok is ellenőrizhetőek egy (xy) meacutereacutessel ami azonban a 3 aacutebra b) szerint elhanyagolhatoacute meacuterteacutekű

A lemeacutert FRF-k alapjaacuten azonosiacutethatoacuteak a modaacutelis parameacuteterek Az iparban szeacuteles koumlrben elfogadott a parciaacutelis toumlrt polinomok illeszteacutese (rational fraction polynomials RFP) melynek soraacuten előre megadott fokuacute lengő rendszert azaz haacutenyados polinomot illesztuumlnk a meacutert FRF-re Bevett szokaacutes a fokszaacutem fokozatos noumlveleacuteseacutevel toumlbb illeszteacutest is elveacutegezni eacutes kivaacutelogatni az uacutegynevezett stabil gyoumlkoumlket (3 aacutebra b) Ezek helyzete viszonylag fuumlggetlen a fokszaacutem fokozatos noumlveleacuteseacutetől azaz egy frekvencia fokszaacutem diagramon mint fuumlggőleges bdquopont-sorokrdquo jelennek meg A kivaacutelasztaacutest segiacuteti ha a meacutert FRF abszoluacutet eacuterteacutekeacutet vagy a keacutepzetes reacuteszeacutet is aacutebraacutezoljuk ugyanazon aacutebraacuteban hiszen ekkor joacutel laacutethatoacute mely lengeacuteskeacutep tekinthető a folyamat stabilitaacutesa szempontjaacuteboacutel fontosnak azaz melyek a bdquorugalmasrdquo modusok Az RFP moacutedszer szerint kivaacutelasztott gyoumlkoumlkből a sajaacutetfrekvenciaacutek eacutes a csillapiacutetaacutesok koumlzvetlenuumll adoacutednak A (13) alapjaacuten bevezetett modaacutelis konstans a gyoumlkhoumlz tartozoacute parciaacutelis toumlrt egyuumltthatoacuteja melyből (15) eacutes (16) szerint a lengeacuteskeacutepek visszafejthetőek tovaacutebbaacute (13) alapjaacuten a modushoz tartozoacute modaacutelis reflektiacutev toumlmegek eacutes modaacutelis reflektiacutev merevseacutegek is meghataacuterozhatoacuteak A fent emliacutetett maroacute szerszaacutemcsuacutecs meacutereacuteseacutehez kivaacutelasztott gyoumlkoumlket eacutes az azokboacutel szaacutemiacutetott modaacutelis parameacutetereket a 1 taacuteblaacutezatban foglaltuk oumlssze eacutes a 3 aacutebra b) reacuteszeacuten laacutethatoacute az illeszteacutes minőseacutege is ami annyira joacute hogy a (veacutekony) meacutert fuumlggveacutenyt az illesztett (vastag) fuumlggveacuteny gyakorlatilag vonalvastagsaacutegon beluumll takarja Az 1 taacuteblaacutezatboacutel kitűnik hogy a (8)-ban a valoacutes lengeacuteskeacutepekre azaz a csillapiacutetaacutes araacutenyos voltaacutera tett felteacutetelezeacutes csak reacuteszben teljesuumll hiszen az (x) iraacutenyban a harmadik (y) iraacutenyban a nyolcadik tovaacutebbaacute a tiacutezedik modus jelentősebb faacuteziscsuacuteszaacutessal rendelkezik

A 3 aacutebra b) reacuteszeacuten azonban az is laacutetszik hogy ezek a modusok joacuteval merevebbek mint az (x) eacutes (y) iraacutenyuacute első keacutet

modus iacutegy ezek keacutepzetes reacuteszeinek elhanyagolaacutesa nem befolyaacutesolja leacutenyegesen a dinamikai vizsgaacutelatot Mivel a szerszaacutemcsuacutecs meacutereacutes csak egy modaacutelis elemet hasznaacutel a csuacutecsban a (15) eacutes (16) definiacutecioacutes egyenletek alapjaacuten a maradeacutek maacutetrix most csak 3times3-as meacuteretű eacutes a bennuumlk szereplő k-ik modaacutelis konstansok feliacuterhatoacuteak a koumlvetkezőek szerint

000

0

02

111

112

1

11 ykxkyk

ykxkxk

kk UUU

UUU

UU

1 taacuteblaacutezat meacutert adataival a valoacutes lengeacuteskeacutepek araacutenyos csillapiacutetaacutes felteacutetelezeacuteseacutevel eacutes az elhanyagolhatoacute kereszthataacutesok zeacuterussal valoacute koumlzeliacuteteacuteseacutevel a koumlvetkező toumlmeggel normalizaacutelt modaacutelis aacutetviteli maacutetrix fuumlggőleges oszlopaiban jelennek meg

kg

1

000000000

4232925200000

00004201221332

U (17)

Ez alapjaacuten laacutetszik hogy U a normalizaacutelt modaacutelis aacutetviteli maacutetrix visszafejthető a meacutereacutes alapjaacuten iacutegy (11) mozgaacutesegyenlet koumlzvetlenuumll feliacuterhatoacute a modaacutelis teacuterben az r aacuteltalaacutenos koordinaacutetaacutek tereacuteben feliacutert M toumlmeg- C csillapiacutetaacutesi illetve K merevseacutegi maacutetrix (7) meghataacuterozaacutesa neacutelkuumll A meacutereacutes igazi egyszerűseacutegeacutet az adja hogy meacuteg a lengeacuteskeacutepek alakjaacutenak pontos meghataacuterozaacutesaacutera sincsen szuumlkseacuteg csupaacuten azok (x) (y) eacutes (z) koordinaacutetaacuteinak araacutenyaira melyeket az U maacutetrix első haacuterom soraacutenak szaacutemai tartalmaznak A tovaacutebbi sorok tartalmaznaacutek a lengeacuteskeacutepek pontos alakjaacutet (6) szerint de ezekre a regeneratiacutev hataacutesokat is figyelembe vevő (11) dinamikai modellben nincsen szuumlkseacuteg ezeacutert kimeacutereacutesuumlk is felesleges Ez jelentősen leegyszerűsiacuteti szerszaacutemcsuacutecs meacutereacutes alapjaacuten maraacutesi folyamatok dinamikai modellezeacuteseacutet

32 Lengeacuteskeacutepek azonosiacutetaacutesa teljes modaacutelis analiacutezissel

Vannak olyan maraacutesi műveletek azonban amikor szuumlkseacuteg lehet a szerszaacutem vagy a munkadarab teljes lengeacuteskeacutepeinek pontos meacutereacuteseacutere figyelembeveacuteteleacutere Ez tipikusan simiacutetoacute megmunkaacutelaacutesnaacutel fordulhat elő amikor a szerszaacutem viszonylag nagy palaacutestfeluumlleten kis radiaacutelis fogaacutesmeacutelyseacuteggel eacuterintkezik a munkadarabbal Ekkor fontos a szerszaacutem eacutesvagy a munkadarab teljes modaacutelis analiacuteziseacutenek az elveacutegzeacutese amit ismeacutet gyorsulaacuteseacuterzeacutekelők eacutes impulzus kalapaacutecs segiacutetseacutegeacutevel veacutegeztuumlnk el ugyanazon a maroacutegeacutepen Most nem szerszaacutemcsuacutecs

7

4 aacutebra Az a) reacutesz a szerszaacutemon felvett 11 db modaacutelis pontnak a helyzeteacutet mutatja A szerszaacutemot minden esetben az 5 pontban gerjesztettuumlk impulzus kalapaacuteccsal A b) reacutesze az aacutebraacutenak a termikus szerszaacutembefogoacute csuacutecsaacutenak (7 pont az a) reacuteszen) meacutert dinamikaacutejaacutet mutatja előtolaacutes (xx) raacute merőleges (yy) eacutes kereszt (xy) iraacutenyban

meacutereacutest veacutegzuumlnk de (16) szerint ilyenkor is elegendő csupaacuten egy helyen gerjeszteni a szerszaacutemot viszont toumlbb helyen kell vaacutelaszjelet meacuterni Ilyenkor ceacutelszerű a szerszaacutemot ott gerjeszteni ahol a legkeacutenyelmesebb illetve ott ahol az eacuterintkező feluumlletek is a legjobban alkalmasak a gerjeszteacutes aacutetviteleacutere Ezeacutert a szerszaacutemot a szerszaacutembefogoacute alatt gerjesztettuumlk (5 pont a 4 aacutebra a) reacuteszeacuten) eacutes 11 kuumlloumlnboumlző pontban meacutertuumlk a gyorsulaacutes vaacutelaszjelet előtolaacutes (x) ill raacute merőleges (y) iraacutenyban (4 aacutebra a) A keresztgerjeszteacutest az előző szerszaacutemcsuacutecs meacutereacutes alapjaacuten maacuter elhanyagolhatoacutenak tartottuk

Az előző reacuteszben taacutergyalt moacutedon az RFP eljaacuteraacutes alkalmazaacutesaacuteval a modaacutelis parameacuteterek eacutes a modaacutelis konstansok visszafejthetők (16) alapjaacuten iacutegy a koumlvetkező lengeacuteskeacutep koordinaacutetaacutekat kapjuk meg

Uk x m eacutes Uk y m

ahol k = 1 2 hellip 10 eacutes m = 1 2 hellip 11 melyeket kuumlloumln-kuumlloumln aacutebraacutezoltunk a 2 taacuteblaacutezatban Az aacutebraacutek alapjaacuten szembeoumltlő az egyes iraacutenyokban az első illetve a maacutesodik lengeacuteskeacutepek hasonloacutesaacutega Ugyanez fedezhető fel a harmadik eacutes a negyedik lengeacuteskeacutepek eseteacuten is Ez nehezen lenne magyaraacutezhatoacute a szerszaacutem egyszerű mereven befogott ruacutedmodelljeacutevel de ugyaniacutegy valoacutesziacutenűtlennek tűnik hogy ez a maroacutegeacutep bdquoszerszaacutem előttirdquo dinamikaacutejaacutenak a hataacutesa ami egyeacutebkeacutent keacutet nagysaacutegrenddel merevebb mint a szerszaacutem maga Az 4 aacutebra b) reacuteszeacuten a szerszaacutem befogoacute peremeacutenek aacutetviteli fuumlggveacutenyei laacutethatoacuteak előtolaacutes (x) eacutes raacute merőleges (y) iraacutenyban (vouml 3 aacutebra b) amelyek azt mutatjaacutek hogy az egyeacutebkeacutent sokkal merevebb szerszaacutemgeacutepnek is van viszonylag alacsony sajaacutetfrekvenciaacuteja Ezek a merev szerszaacutemgeacutep modusok rezonanciaszerűen szuperponaacuteloacutednak a szerszaacutem dinamikaacutejaacutera eacutes mint veszeacutelyes rugalmas modusok jelennek meg

Ennek a jelenseacutegnek az ellenőrzeacuteseacutere feleacutepiacutetettuumlnk egy egyszerű veacutegeselemes modellt (VEM) ahol egy ndash a szerszaacutemmal megegyező befoglaloacute geometriaacutejuacute illetve anyaguacute ndash rudat fuumlggesztuumlnk fel egy rugoacutelaacutenc veacutegeacutere A rugoacutelaacutenc toumlmeg csillapiacutetaacutesi eacutes merevseacutegi adatait a szerszaacutemtartoacute meacutert modaacutelis parameacutetereiből fejtettuumlk vissza a rugoacutelaacutenc modaacutelis aacutetviteli maacutetrixaacutenak elemeire neacutezve nemlineaacuteris maacutesodrendű egyenletrendszer segiacutetseacutegeacutevel Ezzel a koumlzeliacuteteacutessel a szerszaacutem befogoacute a szerszaacutemmal eacuterintkező veacutegeacutenek a dinamikaacutejaacutet kieleacutegiacutető pontossaacuteggal iacutertuk le A VEM analiacutezis toumlkeacuteletesen igazolta a fenti magyaraacutezatot az első eacutes maacutesodik meacutert modusok duplaacutezoacutedaacutesaacutera

Felmeruumllhet a keacuterdeacutes a pontos modaacutelis analiacutezis elveacutegzeacutese utaacuten hogy mennyire megbiacutezhatoacute a szerszaacutemcsuacutecs meacutereacutes hiszen a teljes modaacutelis analiacutezis soraacuten olyan helyen uumltjuumlk meg a szerszaacutemot ahol a gerjeszteacutes pontosan aacutetadoacutedik a szerszaacutem-szerszaacutembefogoacute-geacutep rendszernek Ezzel szemben szerszaacutemcsuacutecs meacutereacutes eseteacuten a szerszaacutem eacuteleacutet kell meguumltnuumlnk ami egyreacuteszt roncsolhatja a szerszaacutemot magaacutet maacutesreacuteszt a pontatlan eacuterintkezeacutes miatt a gerjeszteacutes sem lesz toumlkeacuteletes Raacuteadaacutesul paacuteratlan eacutelű szerszaacutem eseteacuten meacuteg a gyorsulaacutesjelek meacutereacutese sem pontosan egy iraacutenyban toumlrteacutenik a gerjeszteacutes iraacutenyaacuteval Ezeacutert ha az idő engedi a legalaacutebb keacutet pontot tartalmazoacute modaacutelis analiacutezist kell előnyben reacuteszesiacuteteni a szerszaacutem szaacuteraacuten gerjesztve

4 Maraacutesi folyamat lineaacuteris stabilitaacutesa

A (11)-ben szereplő nemlineaacuteris keacutesleltettet időben periodikus differenciaacutelegyenlet lineaacuteris stabilitaacutesaacutet a Floquet-elmeacutelettel vizsgaacuteljuk Ehhez (11) variaacutecioacutes rendszereacutet [15] kell előaacutelliacutetani azaz egy qp(t)

= qp(t+) periodikus stacionaacuterius paacutelya koumlruumll tekintjuumlk az u(t) kis perturbaacutecioacutet

)()()( p ttt uqq

mely a koumlvetkező lineaacuteris időben periodikus parameacuteteresen gerjesztett keacutesleltetett differenciaacutelegyenletet eredmeacutenyezi

)()(

)())(]([)(]2[)( 2nn

tt

tttt kkk

uH

uHuu (18)

ahol

))()(()(

)( ppT

tttt

t qqq

FUH

Ez feliacuterhatoacute elsőrendű alakban a koumlvetkezők szerint

)()()()()( ttttt yRyLy (19)

ahol ))()((col)( ttt uuy A rendszer periodicitaacutesaacuteboacutel adoacutedoacutean

(11) eacutes (19) lineaacuteris stabilitaacutesa megegyezik egy alkalmasan feliacutert lineaacuteris lekeacutepezeacutes stabilitaacutesi tulajdonsaacutegaival

8

n (x) meacutert (y) meacutert (x) VEM

1

n 1 = 641 Hz 1=17 m1= 45 g k1= 07 Nm n6 = 643 Hz 6=19 m6= 57 g k6= 092 Nm 687 Hz

2


3


4


5


2 taacuteblaacutezat tartalmazza a szerszaacutem-szerszaacutembefogoacute-geacutep rendszernek a meacutert eacutes veacutegeselemes moacutedszerrel (VEM) szaacutemolt lengeacuteskeacutepeit A VEM szaacutemiacutetaacutes eseteacuten a keacutestartoacute eacutes a geacutep dinamikaacutejaacutet a vele egyeneacuterteacutekű rugoacutelaacutenc modellel lett figyelembe veacuteve

amit a Floquet-elmeacutelet taacutergyal A (19) keacutesleltetett differenciaacutelegyenlet az yt ( ) = y(t + ) [ ]uacuten eltolaacutesi (shift) fuumlggveacuteny aacuteltal generaacutelt veacutegtelen dimenzioacutes fuumlggveacutenyteacuterben eacutertelmezett [16 25] azaz

tTt yy M

ahol M a lineaacuteris monodromia operator melynek veacutegtelen sok multiplikaacutetora alapjaacuten meghataacuterozhatoacute a qp(t) stacionaacuterius paacutelya stabilitaacutesa [15] Ha M oumlsszes multiplikaacutetoraacutenak abszoluacutet eacuterteacuteke kisebb mint 1 azaz a sajaacuteteacuterteacutekek a komplex siacutekon eacutertelmezett egyseacutegsugaruacute koumlroumln beluumll helyezkednek el akkor qp(t) aszimptotikusan stabilis Ha a legnagyobb multiplikaacutetor nagysaacutega eacuteppen egyseacutegnyi akkor a parameacuteter teacuterben eacutepp a stabilitaacutes hataacuteraacutet jeloumlltuumlk ki A kritikus multiplikaacutetor komplex siacutekon valoacute elhelyezkedeacuteseacutetől fuumlggően beszeacutelhetuumlnk a qp(t) periodikus paacutelya perioacutedus-kettőző ( = 1) nyereg-csomoacute ( = 1) illetve Hopf (Im() ne 0) bifurkaacutecioacutejaacuteroacutel

A monodromia operaacutetor explicite nem aacutelliacutethatoacute elő maacuter veacuteges dimenzioacutes esetekben sem viszont alkalmas eljaacuteraacutessal joacutel koumlzeliacutethető Itt koumlzeliacuteteacuteskeacutent az elsőrendű szemi-diszkretizaacutecioacutet

alkalmazzuk [13 17 20] mely lineaacuterisan koumlzeliacuteti a y(tndash) keacutesleltetett tagot (19)-ben a zi = col(y(ti) y(ti ) hellip y(ti r ))-vel definiaacutelt veacuteges dimenzioacutes teacuter felett Ezzel tulajdonkeacuteppen a (19)-ben megadott keacutesleltetett differenciaacutel egyenletet koumlzeliacutetjuumlk veacuteges szaacutemuacute koumlzoumlnseacuteges differenciaacutelegyenlettel melyek analitikus megoldaacutesa ismert a t[ti ti + t] intervallumban Az analitikus megoldaacutes ismeacutetelt alkalmazaacutesaival a zi kezdeti aacutellapotot lineaacuteris veacuteges dimenzioacutes operaacutetor (azaz maacutetrix) keacutepezi le a zi+l koumlvetkező perioacutedusba

ili zz (20)

ahol l t = r = T = Felbontaacutestoacutel fuumlggően sajaacuteteacuterteacutekei az M monodromia operator multiplikaacutetoraihoz konvergaacutelnak mikoumlzben a maradeacutek veacutegtelen sok multiplikaacutetor abszoluacutet eacuterteacuteke tetszőlegesen kicsire szoriacutethatoacute A technoloacutegiai parameacuteterek vaacuteltoztataacutesaacuteval a stabilitaacutes pontonkeacutent ellenőrizhető

9

5 aacutebra a) reacutesze a meacutereacutesre illesztett frekvencia aacutetviteli fuumlggveacutenyek (FRF-ek) elteacutereacuteseacutet mutatja (itt a veacutekony vonal a szerszaacutemcsuacutecs meacutereacutesre (direkt) a vastag vonal a teljes kiacuteseacuterleti modaacutelis analiacutezis (indirekt) szerint meghataacuterozott FRF-et mutatja) Az illesztett aacutetviteli fuumlggveacutenyek alapjaacuten meghataacuterozott lineaacuteris stabilitaacutesi teacuterkeacutepeket c) a stabilitaacutes hataacuteraacuten a fő berezgeacutesi frekvenciaacutekat b) mutatja

41 Stabilitaacutesi vizsgaacutelat szerszaacutemcsuacutecs FRF alapjaacuten

Az 5 aacutebra a) reacuteszeacuten bemutatott oumlsszehasonliacutetaacutesboacutel joacutel laacutethatoacute hogy a tisztaacuten meacutereacutessel meghataacuterozott szerszaacutemcsuacutecs frekvencia aacutetviteli fuumlggveacutenyek (xx eacutes yy veacutekony vonal) joacute koumlzeliacuteteacutessel megegyeznek a teljes kiacuteseacuterleti modaacutelis analiacutezis (vastag vonal) szerinti frekvencia aacutetviteli fuumlggveacutenyeivel Kuumlloumlnoumlsebb elteacutereacutes a meghataacuterozott csillapiacutetaacutesokban eacutes sajaacutetfrekvenciaacutekban nem fedezhető fel a keacutet meacutereacutesi elv koumlzoumltt Feltűnőek azonban a modusok merevseacutegi elteacutereacutesei (a frekvenciacsuacutecsok nagysaacutegaacutenak elteacutereacutesei) melyek visszavezethetők a nem megfelelő gerjeszteacutes aacutetadaacutesra a meacutereacutes soraacuten Ez a kuumlloumlnbseacuteg jelentős elteacutereacuteseket okozhat a stabilitaacutesi szaacutemiacutetaacutesokban amit (18) eacutes (20) szerint veacutegzuumlnk el

Az 5 aacutebra c) reacuteszeacuteben a csupaacuten a szerszaacutemcsuacutecs meacutereacutesre alapozott (direkt) illetve a teljes kiacuteseacuterleti modaacutelis analiacutezis szerszaacutemcsuacutecsra toumlrteacutenő aacutetszaacutemiacutetaacutesaacuteval (indirekt) meghataacuterozott lineaacuteris stabilitaacutesi teacuterkeacutepek laacutethatoacuteak a stabilitaacutes elveszteacutesekor jelentkező oumlngerjesztett rezgeacutes dominaacutens frekvenciaacutejaacuteval egyuumltt [12] A szaacutemiacutetaacuteshoz a kuumlloumlnbseacutegek jobb eacuterzeacutekelteteacutese eacuterdekeacuteben N = 2 egyenes fogazaacutesuacute maroacuteszerszaacutemot modelleztuumlnk mely egy Kr = 200 MPa eacutes Kt = 500 MPa fajlagos forgaacutecsolaacutesi merevseacutegű anyagot vaacuteg kis radiaacutelis fogaacutesmeacutelyseacuteggel (be= 56 eacutes ki= vouml (4))

A stabilitaacutesi teacuterkeacutepekből (5 aacutebra c) laacutetszik hogy a szerszaacutemcsuacutecs meacutereacutes eredmeacutenyeacutenek alkalmazaacutesaacuteval alaacutebecsuumlljuumlk a rendszer stabilitaacutesaacutet Ezzel ugyan meacuternoumlkileg a

biztonsaacuteg iraacutenyaacuteban teacuteveduumlnk de elvesziacutetjuumlk a termeleacutekenyseacuteg esetleges noumlveleacuteseacutenek lehetőseacutegeacutet amikor a rendszert a stabilitaacutes hataacuteraacutehoz viszonylag koumlzel eacuterdemes bdquohangolnirdquo Laacutethatoacute hogy főkeacutent az alacsonyabb modusokhoz tartozoacute rezonaacutens tartomaacutenyokon Ωn k l = nk ( l N ) megmunkaacutelaacutesi sebesseacutegek koumlzeleacuteben (k = 1 2 6 7 eacutes l=1 2 3 hellip) van jelentős javulaacutes ami akaacuter 2-3 szoros is lehet

Az 5 aacutebra b) reacuteszeacuten az is megfigyelhető hogy a stabilitaacutesi hataacuter noumlvekedeacuteseacutevel maacutes ndash magasabb ndash modusok is szerephez jutnak a stabilitaacutesveszteacutesben Ezek kis tartomaacutenyban ugyan de reacuteszei lehetnek a stabilitaacutes hataacuteraacutenak (laacutesd pl n5 az 5 aacutebra a) eacutes b) reacuteszeacuten) Mindkeacutet esetben talaacutelhatoacute olyan tartomaacuteny ahol a berezgeacutesi frekvencia eacutepp a fogkoumlveteacutesi frekvencia feleacutenek paacuteratlan szaacutemuacute toumlbbszoumlroumlse (ferde szaggatott vonalak az uacuten Muntildeoa vonalak [23] az 5 aacutebra b) reacuteszeacuten) Ekkor a periodikus qp(t) stacionaacuterius maraacutes perioacuteduskettőződeacutessel veszti el stabilitaacutesaacutet A toumlbbi esetben qp(t) egy uacutej ndash valamely sajaacutetfrekvencia koumlzeleacuteben leacutevő ndash frekvenciaacuteval vaacutelik instabillaacute Megjegyezzuumlk hogy mivel a rendszer T szerint időben periodikus ezeacutert az emliacutetett dominaacutens frekvenciaacuteknak felharmonikusai is megjelennek a rezgeacutesben igaz kuumlloumlnboumlző de mindenkeacuteppen kisebb meacuterteacutekben [12 18]

42 Stabilitaacutes vizsgaacutelat teljes lengeacuteskeacutepek alapjaacuten

A szerszaacutem lengeacuteskeacutepei befolyaacutesolhatjaacutek a maraacutesi folyamat stabilitaacutesaacutet főkeacutent simiacutetoacute eljaacuteraacutes eseteacuten A gyakorlatban ehhez hasonloacute probleacutema leacutep fel veacutekony faluacute munkadarabok

10

forgaacutecsolaacutesa koumlzben is Ezek tipikusan turbina illetve kompresszor lapaacutetok nagyoloacute eacutes simiacutetoacute megmunkaacutelaacutesaacutet jelentik Ekkor magaacutenak a munkadarabnak a lengeacuteskeacutepei hataacuterozzaacutek meg a forgaacutecsolaacutesi eljaacuteraacutes stabilitaacutesaacutet Mivel ez csak a lengeacuteskeacutepek meghataacuterozaacutesaacutenak moacutedjaacuteban kuumlloumlnboumlzik az itt bemutatott peacuteldaacutetoacutel ezeacutert ebben a cikkben csak a maroacuteszerszaacutem lengeacuteskeacutepeit vesszuumlk figyelembe a szaacutemiacutetaacutes soraacuten melyeket a 2 taacuteblaacutezat tartalmaz

A 6 aacutebra bemutatja a 2 taacuteblaacutezatban szerepelő lengeacuteskeacutepekkel szaacutemolt stabilitaacutesi teacuterkeacutepet (6 aacutebra b) eacutes a stabilitaacutesi hataacuteron leacutevő dominaacutens oumlngerjesztett rezgeacutesi frekvenciaacutekat (6 aacutebra a) A 6 aacutebraacuten oumlsszehasonliacutetaacuteskeacuteppen az 5 aacutebra indirekt meacutereacuteshez tartozoacute stabilitaacutesi teacuterkeacutepe (veacutekony vonal) egyuumltt keruumll aacutebraacutezolaacutesra a teljes lengeacuteskeacutepekkel szaacutemolt stabilitaacutesi teacuterkeacuteppel (vastag vonal)

6 aacutebra Az teljes modaacutelis analiacutezis alapjaacuten meghataacuterozott lineaacuteris stabilitaacutesi teacuterkeacutepeket b) a stabilitaacutes hataacuteraacuten a fő berezgeacutesi frekvenciaacutekat a) mutatja (Itt a veacutekony vonal az indirekt szerszaacutemcsuacutecs meacutereacutesre a vastag vonal a teljes kiacuteseacuterleti modaacutelis analiacutezis szerint meghataacuterozott teacuterkeacutepeket mutatja)

Laacutethatoacute hogy a stabilitaacutes hataacuteraacutet itt is az bdquoalacsonyrdquo modusok hataacuterozzaacutek meg Oumlsszesseacutegeacuteben elmondhatoacute hogy a stabilitaacutes hataacutera csoumlkkent kuumlloumlnoumlsen az első keacutet modusnak megfelelő Ωn k l rezonaacutens frekvenciaacutek koumlzeleacuteben ahol k = 1 2 6 7 eacutes l = 2 3 hellip Az Ωn k 1 első rezonaacutens frekvenciaacutek koumlruumll azonban a stabilitaacutes enyheacuten javult A 6 aacutebra alapjaacuten a szerszaacutem lengeacuteskeacutepeacutenek a figyelembeveacutetele a stabilitaacutes teacuterkeacutep minimumaacutet nem befolyaacutesolja jelentősen a rezonaacutens frekvenciaacutek koumlzeleacuteben jelentős vaacuteltozaacutes azonban szaacutemottevő lehet Ennek nyilvaacutenvaloacute oka a rezonaacutens megmunkaacutelaacutesi sebesseacutegek koumlzeleacuteben a pontos lengeacuteskeacutepek szerepe megnő

5 Oumlsszefoglalaacutes

A cikkben oumlsszefoglaltuk a maraacutesi eljaacuteraacutesok stabilitaacutesi vizsgaacutelata koumlzben felmeruumllő gyakorlati eacutes elmeacuteleti keacuterdeacuteseket Kimutattuk hogy a szerszaacutemon eacutes a szerszaacutemgeacutepen veacutegzett kiacuteseacuterleti modaacutelis analiacutezis eredmeacutenyei alapjaacuten a maraacutes mechanikai modellje koumlzvetlenuumll leacutetrehozhatoacute a modaacutelis teacuterben Ezzel kihagyhatoacute a klasszikus aacuteltalaacutenos koordinaacutetaacutes feliacuteraacutes ahol a toumlmeg- a csillapiacutetaacutesi eacutes merevseacutegi maacutetrix meghataacuterozaacutesa szuumlkseacuteges Bemutattuk milyen eszkoumlzoumlkkel toumlrteacutenhet az egyszerűbb szerszaacutemcsuacutecs meacutereacutes illetve a teljes kiacuteseacuterleti modaacutelis analiacutezis

Megmutattuk hogy a toumlbb nagysaacutegrenddel merevebb szerszaacutemgeacutep jelentősen befolyaacutesolja a szerszaacutem dinamikaacutejaacutet

ami a tisztaacuten befogott ruacutedkeacutent leiacutert szerszaacutem modell pontatlansaacutegaacutet eredmeacutenyezi Egyszerűseacutege mellett kiteacutertuumlnk a szerszaacutemcsuacutecs meacutereacutes esetleges pontatlansaacutegaira is aminek elsősorban a toumlkeacuteletlen gerjeszteacutes lehet az oka A meacutert eredmeacutenyek alapjaacuten oumlsszehasonliacutetottuk a szerszaacutemcsuacutecs meacutereacutes eacutes a teljes kiacuteseacuterleti modaacutelis analiacutezisből visszaszaacutemolt szerszaacutemcsuacutecs frekvencia aacutetviteli fuumlggveacutennyel meghataacuterozott stabilitaacutesi teacuterkeacutepeket

A teljes kiacuteseacuterleti modaacutelis analiacutezis alapjaacuten visszafejtett teljes lengeacuteskeacutepek alapjaacuten szaacutemolt stabilitaacutesi teacuterkeacutepből koumlvetkeztettuumlnk a szerszaacutem teljes dinamikaacutejaacutenak a maraacutesi folyamat stabilitaacutesaacutera gyakorolt hataacutesaacutera Ennek a pontosiacutetott stabilitaacutesi teacuterkeacutep szaacutemiacutetaacutesnak akkor van nagy jelentőseacutege amikor rezonaacutens megmunkaacutelaacutesi sebesseacutegtartomaacutenyok alkalmazaacutesaacuteval proacutebaacuteljuk a maraacutesi folyamat termeleacutekenyseacutegeacutet toumlbbszoumlroumlseacutere noumlvelni Ilyen esetekben a lengeacuteskeacutepek pontos kiacuteseacuterleti meghataacuterozaacutesaacutenak jelentős szerepe van a stabilitaacutes megfelelő előrejelzeacuteseacuteben akaacuter a szerszaacutem akaacuter az alkalmasint veacutekonyfaluacute munkadarab lengeacuteskeacutepeiről legyen szoacute

Koumlszoumlnetnyiacutelvaacuteniacutetaacutes A szerzők koumlszoumlnetet mondanak az Orszaacutegos Tudomaacutenyos Kutataacutesi Alapprogramnak (OTKA projektszaacutem 68910) ill a munka szakmai tartalma kapcsoloacutedik a Minőseacutegorientaacutelt oumlsszehangolt oktataacutesi eacutes K+F+I strateacutegia valamint műkoumldeacutesi modell kidolgozaacutesa a Műegyetemen c projekt szakmai ceacutelkitűzeacuteseinek megvaloacutesiacutetaacutesaacutehoz A projekt megvaloacutesiacutetaacutesaacutet az UacuteMFT TAacuteMOP-421B-091KMR-2010-0002 programja taacutemogatja

Hivatkozaacutesok [1] Altintas Y and Budak E Analytical Prediction of

Stability Lobes in Milling CIRP Annals ndash Manufacturing Technology Vol 44 Issue 1 357-362 1995

[2] Altintas Y Manufacturing automation metal cutting mechanics machine tool vibrations and CNC design Cambridge University Press Cambridge 2000

[3] Altintas Y Stepan G Merdol D amp Dombovari Z Chatter stability of milling in frequency and discrete time domain CIRP Journal Of Manufacturing Science And Technology Vol 1 Issue 1 35-44 2008

[4] Bachrathy D Stepan G Time-periodic velocity-dependent process damping in milling processes 2nd International Conference Process Machine Interactions 1-12 Vancouver British Columbia Canada 2010

[5] Bachrathy D Stepan G Turi J The effects on stability of the state dependent regenerative delay in milling processes ASME Computational and Nonlinear Dynamics (submitted) 1-10 2010

[6] Bayly P V Halley J E Mann B P and Davies M A Stability of Interrupted Cutting by Temporal Finite Element Analysis Journal of Manufacturing Science and Engineering Vol 125 Issue 2 220-225 2003

[7] Budak E Altintas Y Analytical prediction of chatter stability in milling part I General formulation Journal of Dynamic Systems Measurement and Control Vol 120 Issue 1 22-30 1998

[8] Budak E An Analytical Design Method for Milling Cutters With Nonconstant Pitch to Increase Stability Part I Theory Journal of Manufacturing Science and Engineering Vol 125 Issue 1 29-35 2003

11

[9] Dombovari Z Barton DAW Wilson RE Stepan G On the Global Dynamics of Chatter in the Orthogonal Cutting Model International Journal of Non-linear Mechanics (submitted) 1-10 2009

[10] Dombovari Z Yusuf A Stepan G The Effect of Serration on Mechanics and Stability of Milling Cutters International Journal of Machine Tools amp Manufacture Vol 50 Issue 6 511-520 2010

[11] Dombovari Z Wilson R E amp Stepan G Estimates of the bistable region in metal cutting Proceedings of the Royal Society A Vol 464 3255-3271 2008

[12] Dombovari Z Zatarain M Insperger T Dominant Vibration Frequencies in Milling Using Semi-discretization Method 2nd International Conference Process Machine Interactions 1-12 Vancouver British Columbia Canada 2010

[13] Elbeyli O Sun J Q On the semi-discretization method for feedback control design of linear systems with time delay Journal of Sound and Vibration Vol 273 Issue 1-2 429-440 2004

[14] Ewins D J Modal Testing theory practice and application Research Studies Press England 2000

[15] Farkas M Periodic Motions Springer-Verlag Berlin and New York 1994

[16] Hale J K Theory of Functional Differential Equations Springer New York 1977

[17] Insperger T Stepan G Semi-discretization method for delayed systems International Journal for Numerical Methods in Engineering Vol 55 503-518 2002

[18] Insperger T Stepan G Bayly P V Mann B P Multiple chatter frequencies in milling processes Journal of Sound and Vibration Vol 262 Issue 2 333-345 2003

[19] Insperger T and Stepan G Vibration frequencies in high-speed milling processes or a positive answer to Davies Pratt Dutterer and Burns Journal of Manufacturing Science and Engineering Vol 126 481-487 2004

[20] Insperger T Stepan G Turi J On the higher-order semi-discretizations for periodic delayed systems Journal of Sound and Vibration Vol 313 334-341 2008

[21] Kienzle O Spezifische schnittkraumlfte bei der metallbearbeitung Werkstattstechnik und Maschinenbau Vol 47 Issue 1 224ndash225 1957

[22] Merdol S D Altintas Y Multi frequency solution of chatter stability for low immersion milling Journal of Manufacturing Science and Engineering Vol 126 Issue 3 459-466 2004

[23] Muntildeoa J Desarrollo de un Modelo General para la Prediccioacuten de la Estabilidad del Proceso de Fresado PhD Thesis University of Mondragon 2007

[24] Shi H M and Tobias S A Theory of finite amplitude machine tool instability Int J of Machine Tool Design and Research 24 45-69 1984

[25] Stepan G Retarded Dynamical Systems Longman London 1989

[26] Szalai R Stepan G and Hogan SJ Global dynamics of low immersion high-speed milling CHAOS Vol 14 No4 1069-1077 2004

[27] Tlusty J and Spacek L Self-excited vibrations on machine tools (in Czech) Nakl CSAV Prague 1954

[28] Tobias S A Machine Tool Vibrations Blackie London 1965

[29] Zatarain M Muntildeoa J Peigneacute G and Insperger T Analysis of the Influence of Mill Helix Angle on Chatter Stability CIRP Annals - Manufacturing Technology Vol 55 Issue 1 365-368 2006

12

2

1 aacutebra a) reacutesze bemutatja egy koumlzoumlnseacuteges csavart eacutelű maroacute szerszaacutem geometriai viszonyait Az aacutebra b) reacutesze az i-ik dz vastagsaacuteguacute eacutelszegmensen kialakuloacute forgaacutecsoloacute erő tangenciaacutelis (t) radiaacutelis (r) eacutes axiaacutelis (a) komponenseit mutatja Megjegyzeacutes dFtra i = ftra i di (vouml (5))

dinamikai parameacuteterek meghataacuterozaacutesa meacutereacutesekből valoacute visszaszaacutemolaacutesa jelenthet probleacutemaacutet

A cikkben oumlsszefoglaljuk a maraacutesi folyamatok modellezeacuteseacutenek probleacutemaacuteit a geometria leiacuteraacutesaacutetoacutel a meacutereacutessel meghataacuterozott dinamikai tulajdonsaacutegok figyelembeveacuteteleacuteig

2 Maraacutes dinamikai modellje

A maraacutessal toumlrteacutenő megmunkaacutelaacutes mind a forgaacutecslevaacutelasztaacutes kis koumlrnyezeteacuteben mind a szerszaacutemgeacutep strukturaacutelis leacutepteacutekeacuteben bonyolult fizikai folyamat A forgaacutecslevaacutelasztaacutesboacutel szaacutermazoacute ndash a maroacuteszerszaacutemot illetve a munkadarabot terhelő ndash erőrendszer empirikusan adhatoacute meg tipikusan az ortogonaacutelis forgaacutecsolaacutessal meghataacuterozott uacuten forgaacutecsolaacutesi erő karakterisztika hasznaacutelataacuteval Az iparban eacutes a szakirodalomban toumlbb forgaacutecsolaacutesi erő modell megtalaacutelhatoacute [2 21 24] melyek kuumlloumlnboumlző technoloacutegiai parameacuteterektől fuumlggnek de mind a forgaacutecsvastagsaacuteg valamilyen lineaacuteris vagy nemlineaacuteris fuumlggveacutenyei A lokaacutelis forgaacutecsvastagsaacuteg időben valoacute nyomon koumlveteacutese eacuterdekeacuteben elengedhetetlen a folyamat geometriai viszonyainak pontos modellezeacutese a regeneratiacutev hataacutesok azonosiacutetaacutesa

Az itt bemutatott mechanikai modell alkalmas a hagyomaacutenyos csavart eacutelű (bdquoheacutelixesrdquo) maroacuteszerszaacutemokkal toumlrteacutenő palaacutestmaraacutes modellezeacuteseacutere Kuumlloumlnboumlző eacutelgeometriaacutek hullaacutemos eacutelű [10] vagy vaacuteltozoacute szoumlgosztaacutesuacute [8] maroacute szerszaacutemok okozhatnak bonyolult regeneratiacutev viszonyokat (toumlbb aacutellandoacute keacuteseacutes [10] aacutellapottoacutel fuumlggő keacuteseacutes [5] megoszloacute keacuteseacutes [4]) A szerszaacutemon keletkező forgaacutecsolaacutesi erőt egy aacuteltalaacutenos empirikus forgaacutecsolaacutesi erő karakterisztika segiacutetseacutegeacutevel hataacuterozzuk meg mely gerjeszti a lineaacuterisan rugalmasnak eacutes araacutenyosan csillapiacutetottnak tekintett MKGS rendszert Kiteacuteruumlnk tovaacutebbaacute az FRF matematikai eacutertelmezeacuteseacutere megmutatjuk hogyan fejthetőek vissza dinamikai meacutereacutesek alapjaacuten a modaacutelis parameacuteterek

21 Forgaacutecsoloacute erő

A maroacuteszerszaacutemot terhelő megoszloacute regeneratiacutev erőrendszer meghataacuterozaacutesaacutehoz szuumlkseacuteg van a maraacutesi folyamat geometriai modellezeacuteseacutere A szerszaacutem egyes eacuteleinek elfordulaacutesaacutet a lokaacutelis ndash y tengelyhez keacutepesti ndash eacutelszoumlggel lehet időben nyomon koumlvetni

1

1p tan)(

i

kki R

zttz i = 1 2 hellip N (1)

ahol (rads) a főorsoacute szoumlgsebesseacutege R a szerszaacutem sugara a csavart eacutelű szerszaacutem menetemelkedeacuteseacutenek a szoumlge (heacutelix-szoumlg) N a fogak szaacutemaacutet jeloumlli (1 aacutebra a) illetve p k a k-ik eacutes a koumlvetkező eacutel koumlzoumltti szoumlgosztaacutes A tovaacutebbiakban aacutellandoacute szoumlgosztaacutesuacute maroacuteszerszaacutemot vizsgaacutelunk azaz p = p k = 2N Az i-ik vaacutegoacute- eacutes az (i+1)-ik megelőző eacutel koumlzoumltti elmeacuteleti (geometriai) forgaacutecsvastagsaacuteg hgi ( z t ) feliacuterhatoacute az eacutelek egymaacuteshoz keacutepesti elmozdulaacutesaacutenak eacutes az aktuaacutelis vaacutegoacuteeacutel normaacutelisaacutenak skalaacuteris szorzatakeacutent

)())00(col)(()(g zftztzh ixi nr (2)

melyben f x a szerszaacutem előtolaacutes (x) iraacutenyuacute elmozdulaacutesa r (z t ) = r (z t ) ndash r (z t ndash ) pedig a regeneratiacutev hataacutest jeloumlli az i-ik eacutes az azt megelőző vaacutegoacuteeacutel koumlzoumltt ahol r ( z t ) = col(x( z t ) y( z t ) z( z t )) A regeneratiacutev hataacutes a szerszaacutem r ( z t ) aktuaacutelis mozgaacutesa (rezgeacutese) eacutes annak idővel koraacutebbi r ( z t ndash ) mozgaacutesa koumlzoumltt joumln leacutetre az az idő amiacuteg keacutet egymaacutest koumlvető fog ugyanabba a i ( z t ) szoumlghelyzetbe nem eacuter mely feliacuterhatoacute a koumlvetkező moacutedon

N

π211p

3




)(cos))()((

)(sin))()(()(g

tztzytzy

tzftzxtzxtzh

i

ii

(3)





)π2mod)((1)( kibe

ri tz

tzg ii eacutes (4)


1)( p

paz

zga





)()()()(

))()((

tztztzgtz

tztztz

itraiii

i

fTf

rrf

ahol

100

0cossin

0sincos

)( ii

ii

i tz

T )( tzii


22 Dinamikai modell


))((col))()()(col()(1

21 tztttt l

N

lN

z

zrrrrr

(6)


4




)(d))()((col

))()((

1

2

2

i1

N

i

zz

zz

lli

N

l

l

l

zttt

ttt

rrf

rrF



0PKM )( 2 (8)


0)(det 2 KM (9)



kklk

N

lk c

zPUU

)(col

1 (10)



))()((

)(][)(]2[)(

T

2nn

ttt

ttt kkk

qUqUFU

qqq (11)










q

q

N

k kkk

mmknkn

N

k kkk

kkwv

12nn

2

T

T

12nn

2

TT

i2

i2)(

wUUv

wUUv

(12)







5



)()(

)()(

)(

mmm

m

1

111

NNN

N

(14)

)()()(

)()()(

)()()(

)(

nmzznmyznmxz

nmzynmyynmxy

nmzxmnyxnmxx

nm


qN

k kkk

kk

12nn

2 i2)(

UU

(15)


mmm

m

1

111

NkNkkNk

Nkkkk

kk

UUUU

UUUU

UU

(16)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

nmzzknmyzknmxzk

nmzyknmyyknmxyk

nmzxknmyxknmxxk

nkmk

mmm

mmm

mmm

UU

nzkmzknykmzknxkmzk

nzkmyknykmyknxkmyk

nzkmxknykmxknxkmxk

UUUUUU

UUUUUU

UUUUUU







6

x n k (Hz) k | 21 xkU | (1 kg) ang( 2


1 641 0024 5175 1155 31364


y n k (Hz) k | 21 ykU | (1 kg) ang( 2










000

0

02

111

112

1

11 ykxkyk

ykxkxk

kk UUU

UUU

UU


kg

1

000000000

4232925200000

00004201221332

U (17)




7











)()()( p ttt uqq


)()(

)())(]([)(]2[)( 2nn

tt

tttt kkk

uH

uHuu (18)

ahol

))()(()(

)( ppT

tttt

t qqq

FUH


)()()()()( ttttt yRyLy (19)



8


1


2


3


4


5




tTt yy M




ili zz (20)


9










10




















11






















12

3




)(cos))()((

)(sin))()(()(g

tztzytzy

tzftzxtzxtzh

i

ii

(3)





)π2mod)((1)( kibe

ri tz

tzg ii eacutes (4)


1)( p

paz

zga





)()()()(

))()((

tztztzgtz

tztztz

itraiii

i

fTf

rrf

ahol

100

0cossin

0sincos

)( ii

ii

i tz

T )( tzii


22 Dinamikai modell


))((col))()()(col()(1

21 tztttt l

N

lN

z

zrrrrr

(6)


4




)(d))()((col

))()((

1

2

2

i1

N

i

zz

zz

lli

N

l

l

l

zttt

ttt

rrf

rrF



0PKM )( 2 (8)


0)(det 2 KM (9)



kklk

N

lk c

zPUU

)(col

1 (10)



))()((

)(][)(]2[)(

T

2nn

ttt

ttt kkk

qUqUFU

qqq (11)










q

q

N

k kkk

mmknkn

N

k kkk

kkwv

12nn

2

T

T

12nn

2

TT

i2

i2)(

wUUv

wUUv

(12)







5



)()(

)()(

)(

mmm

m

1

111

NNN

N

(14)

)()()(

)()()(

)()()(

)(

nmzznmyznmxz

nmzynmyynmxy

nmzxmnyxnmxx

nm


qN

k kkk

kk

12nn

2 i2)(

UU

(15)


mmm

m

1

111

NkNkkNk

Nkkkk

kk

UUUU

UUUU

UU

(16)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

nmzzknmyzknmxzk

nmzyknmyyknmxyk

nmzxknmyxknmxxk

nkmk

mmm

mmm

mmm

UU

nzkmzknykmzknxkmzk

nzkmyknykmyknxkmyk

nzkmxknykmxknxkmxk

UUUUUU

UUUUUU

UUUUUU







6

x n k (Hz) k | 21 xkU | (1 kg) ang( 2


1 641 0024 5175 1155 31364


y n k (Hz) k | 21 ykU | (1 kg) ang( 2










000

0

02

111

112

1

11 ykxkyk

ykxkxk

kk UUU

UUU

UU


kg

1

000000000

4232925200000

00004201221332

U (17)




7











)()()( p ttt uqq


)()(

)())(]([)(]2[)( 2nn

tt

tttt kkk

uH

uHuu (18)

ahol

))()(()(

)( ppT

tttt

t qqq

FUH


)()()()()( ttttt yRyLy (19)



8


1


2


3


4


5




tTt yy M




ili zz (20)


9










10




















11






















12

4




)(d))()((col

))()((

1

2

2

i1

N

i

zz

zz

lli

N

l

l

l

zttt

ttt

rrf

rrF



0PKM )( 2 (8)


0)(det 2 KM (9)



kklk

N

lk c

zPUU

)(col

1 (10)



))()((

)(][)(]2[)(

T

2nn

ttt

ttt kkk

qUqUFU

qqq (11)










q

q

N

k kkk

mmknkn

N

k kkk

kkwv

12nn

2

T

T

12nn

2

TT

i2

i2)(

wUUv

wUUv

(12)







5



)()(

)()(

)(

mmm

m

1

111

NNN

N

(14)

)()()(

)()()(

)()()(

)(

nmzznmyznmxz

nmzynmyynmxy

nmzxmnyxnmxx

nm


qN

k kkk

kk

12nn

2 i2)(

UU

(15)


mmm

m

1

111

NkNkkNk

Nkkkk

kk

UUUU

UUUU

UU

(16)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

nmzzknmyzknmxzk

nmzyknmyyknmxyk

nmzxknmyxknmxxk

nkmk

mmm

mmm

mmm

UU

nzkmzknykmzknxkmzk

nzkmyknykmyknxkmyk

nzkmxknykmxknxkmxk

UUUUUU

UUUUUU

UUUUUU







6

x n k (Hz) k | 21 xkU | (1 kg) ang( 2


1 641 0024 5175 1155 31364


y n k (Hz) k | 21 ykU | (1 kg) ang( 2










000

0

02

111

112

1

11 ykxkyk

ykxkxk

kk UUU

UUU

UU


kg

1

000000000

4232925200000

00004201221332

U (17)




7











)()()( p ttt uqq


)()(

)())(]([)(]2[)( 2nn

tt

tttt kkk

uH

uHuu (18)

ahol

))()(()(

)( ppT

tttt

t qqq

FUH


)()()()()( ttttt yRyLy (19)



8


1


2


3


4


5




tTt yy M




ili zz (20)


9










10




















11






















12

5



)()(

)()(

)(

mmm

m

1

111

NNN

N

(14)

)()()(

)()()(

)()()(

)(

nmzznmyznmxz

nmzynmyynmxy

nmzxmnyxnmxx

nm


qN

k kkk

kk

12nn

2 i2)(

UU

(15)


mmm

m

1

111

NkNkkNk

Nkkkk

kk

UUUU

UUUU

UU

(16)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

nmzzknmyzknmxzk

nmzyknmyyknmxyk

nmzxknmyxknmxxk

nkmk

mmm

mmm

mmm

UU

nzkmzknykmzknxkmzk

nzkmyknykmyknxkmyk

nzkmxknykmxknxkmxk

UUUUUU

UUUUUU

UUUUUU







6

x n k (Hz) k | 21 xkU | (1 kg) ang( 2


1 641 0024 5175 1155 31364


y n k (Hz) k | 21 ykU | (1 kg) ang( 2










000

0

02

111

112

1

11 ykxkyk

ykxkxk

kk UUU

UUU

UU


kg

1

000000000

4232925200000

00004201221332

U (17)




7











)()()( p ttt uqq


)()(

)())(]([)(]2[)( 2nn

tt

tttt kkk

uH

uHuu (18)

ahol

))()(()(

)( ppT

tttt

t qqq

FUH


)()()()()( ttttt yRyLy (19)



8


1


2


3


4


5




tTt yy M




ili zz (20)


9










10




















11






















12

6

x n k (Hz) k | 21 xkU | (1 kg) ang( 2


1 641 0024 5175 1155 31364


y n k (Hz) k | 21 ykU | (1 kg) ang( 2










000

0

02

111

112

1

11 ykxkyk

ykxkxk

kk UUU

UUU

UU


kg

1

000000000

4232925200000

00004201221332

U (17)




7











)()()( p ttt uqq


)()(

)())(]([)(]2[)( 2nn

tt

tttt kkk

uH

uHuu (18)

ahol

))()(()(

)( ppT

tttt

t qqq

FUH


)()()()()( ttttt yRyLy (19)



8


1


2


3


4


5




tTt yy M




ili zz (20)


9










10




















11






















12

7











)()()( p ttt uqq


)()(

)())(]([)(]2[)( 2nn

tt

tttt kkk

uH

uHuu (18)

ahol

))()(()(

)( ppT

tttt

t qqq

FUH


)()()()()( ttttt yRyLy (19)



8


1


2


3


4


5




tTt yy M




ili zz (20)


9










10




















11






















12

8


1


2


3


4


5




tTt yy M




ili zz (20)


9










10




















11






















12

9










10




















11






















12

10




















11






















12

11






















12

12

Documents

Marószerszámok dinamikai tulajdonságai és azok hatása a ...dombo/Downloads/2012_GEP_DomboStepan.pdf · 1 Marószerszámok dinamikai tulajdonságai és azok hatása a megmunkálás