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Diffusion diffuse
thermique
Si 300 K
RX // <111>
RX // <100>
Expérience Simulation
M. Holt, Phys. Rev. Lett 83, 3317 (1999)
Fausses couleurs,Échelle log.
Thermal
Diffuse
Scattering
Calcul de la TDS-1
m
imn
*nmDD
mΦΦVv
I rqrq e)(1
)( 2FFFΦΦ mn
*nmn
*n
Un atome par maille
Wuuq 2)(2 ee nmni
mn*n fΦΦ
))((2
))((2/1)(
ee
ee2
nmn
nmnnmni
uquqW
uuquuq
Théorie harmonique :
)1(ee ))((2*
nmn2mnn fΦΦ uquqW
Au premier ordre : ))((e 2*nmn
2mnn fΦΦ uquqW
Calcul de la TDS -2
Développement sur les modes propres
Expression générale :
𝐼𝐷𝐷 (𝒒 )= 𝑓 2𝑒− 2𝑊∑𝑚
𝑁 (𝐫𝑚) ∑𝐤𝐤 ′𝛼𝛼 ′
¿¿¿
𝒖𝑛=1
√𝑁𝑀∑𝛼𝒌
𝜺𝛼𝒌𝑞𝛼𝒌𝒆𝒊𝒌 ⋅𝒓𝑛=∑
𝛼𝒌𝒖𝛼𝒌𝒆
𝒊𝒌⋅ 𝒓𝑛
𝐼𝐷𝐷 (𝒒 )= 𝑓 2𝑒−2𝑊
𝑣𝑁𝑀 ∑𝐤𝛼
(𝒒 ∙𝜺¿¿𝛼𝒌)2 ⟨𝑞𝛼𝑘𝑞𝛼𝑘 ⟩∑𝑚
𝑉 (𝒓𝑚)𝑒−𝑖(𝐪−𝐤 )∙ 𝐫𝑚¿
𝐼𝐷𝐷 (𝒒 )= 𝑓 2𝑒−2𝑊
𝑁𝑀 ∑𝐤𝛼
(𝒒 ∙𝜺¿¿𝛼𝒌)2 ⟨𝑞𝛼𝑘𝑞𝛼𝑘 ⟩∑h𝑘𝑙
|Σ(𝒒−𝒌−𝑸h𝑘𝑙)|2
𝑣2 ¿
|Σ(0)|2=𝑉 2
Calcul de la TDS-3
+k-k
Qhkl Qhkl q
~1/k2
• ~N : diffusion diffuse• kBT : diffusion thermique• (q. e )2 : facteur géométrique, (grands q)• Tous les modes a contribuent aux mêmes k
𝐼𝐷𝐷 (𝒒=𝑸h𝑘𝑙+𝒌 )=𝑁 𝑓 2𝑒−2𝑊 𝑘𝐵𝑇∑𝛼
(𝒒 ∙ 𝜺¿¿𝛼𝒌)2
𝑀𝜔𝛼2 (𝒌)
¿
Exemple de TDS
Comparaison X (traits)-neutrons(o)
M. Holt, Phys. Rev. Lett 83, 3317 (1999)
Théorie harmonique :Modèle Born-von Karman
constantes de forcesjusqu’au 6e voisin
Si 300 K
)(
)(e)(
2
222
k
qq kW
MTkNfI BDD
Désordre de substitution
Alliage AxB1-x
2))1(()( BA2
D fxxfNI q
BA fxxff )1(
Pas d’information sur les corrélations
2))((1)( BADD ffx-NxI q
)(222
0 ffNΦNIDD
)))(1()(1( 2BA
2B
2ADD fx-xffx-xfNI
• Cas d’un désordre total
Diffusion de Laue :
Corrélations
pA(m) A
B
22 ))(1)(1()()1()())(1( BABAABABB
mn*n
fpxffpxffxpfpx
FF
mmmm A
m
iABA
m
x
pffxNxI rqm
q e))(
1())(1()( 2
Ordre à courte distance :
Probabilités conditionnelles
2BA
ABA
BAB
2AB
fpx
ffpx
ffxp
fpx
))(1)(1(:
))()1(:
)(:
))(1(:
mBB
mBA
mAB
mAA
pA(m) : probabilité d’avoir un atome A à rm de BpB(m) : probabilité d’avoir un atome B à rm de A
Paires AB = Paire BA )()1()( mm AB pxxp
Paramètres de Warren-Cowley
Exemple
Ordre local tel que les paires AB favorisées
xpA )1(
pA(m) A
B
))2cos())1(
1(21())(1()( 2 hx
pffxNxI A
BA q
h0 1 2 3
1
1/2
S(q)
Tendance àdoubler la période
Conclusion
• Désordre de substitution :
IDD ~ (fA-fB)2
• Visible aux petits angles
• Seules les variations de contraste apparaissent aux petits angles
• Désordre de déplacement
IDD ~ (q.u)2
• Invisible aux petits angles• q trop faible pour qu’une interférence se construise
Transitions de phases
structurales Définition
du paramètre d’ordre
)cos( ncn crkk
• : paramètre d’ordre• kc : vecteur d’onde critique
appartient à la 1ère ZdB
ik e
c
Displacives Ordre-désordre
)cos( ncn ccU rkU kk
Paramètre d’ordre Ukc:
Amplitude de déplacement
Paramètre d’ordre :
Probabilité d’occupationSpin d’Ising
TC
ExemplesTransition displacives :
Ordre-désordre : • Alliage A0.5B0.5
)cos( ncn crkSS k
TC
4/*c ak
Vecteur d’onde critique (1/4,0)
0ck
• FerroélectriqueCentre de Zone
Pas un point remarquable
• Modulation displacive (Peierls)
)cos( ncn ccU rkU kk
2/*2/* bak c
ak c
ab
Bord de Zone
TC
Transition displacive
Fluctuation du paramètre d’ordre
nin u
Nrk
kkkεu e
1
kkkW εqkQq
uuNfI hklDD222 )(e)(
Susceptibilité associée au paramètre d’ordre
n'
nmn'n h
urrr
)( m-i
m
m rkk e)()(
cuk: composante principale
)cos( ncn ccU rkεU kk
kk hku )(
(c kc) diverge à la température de transition
Fluctuation-dissipation
)(kkkkk Tkuuuu B
Exemple des phonons :
)(
1)(
2 kk
M
Par le théorème d’équipartition de l’énergie
TkuM B2
1)(
2
1 22 kk
Calcul de l’intensité diffusée
)(kkkkk Tkuuuu B
Fluctuation dissipation
kkkW kεqkQq
uuTkNfI BhklD )()(e)( 222
T>Tc
)()(e)( 222 kεqq kW TkNfI BDD
T<Tc
)()(e
)()(e)(2222
222
cK2
BDD
cfN
TkNfI
kkUεq
kεqq
kkW
kW
0ku
ccN kk Uu
Qhkl
Ornstein-Zernike
2c
c
)(1
)()(
kk
kk
Forme Lorentzienne
: x longueur de corrélation
T>Tc
Qhkl
+kc-kc
T<Tc
)(TkB ck
1
2
ckURéflexionssatellites
Exposants critiques
Mesure du comportement :
T<Tc
• Du paramètre d’ordre (Tc-T)b
T=Tc
• Des corrélations c(k-kc)~ k-2+h
T>Tc
• De la susceptibilité associée (c kc) ~ (T-Tc)-g • Des longueurs de corrélations ~ x (T-Tc)-n
OCD
QOGD
OGD
Exemple : Transition dans
AuAgZn2
T< 351.1°C T> 351.1°C
Au/Ag
Zn
CubiqueCubique faces centrées
2/*2/*2/* cbak c
F. Livet et al. Phys. Rev. B 66, 134108 (2002) Transition du 2e ordre
CorrélationsDiffusion diffuse en (1/2,1/2,1/2)
Ising 3D =1,24g = 0,63n
= 0,04h
= 0,03h
c(q)~ q-2+h
~c (T-Tc)-g
c-1/ g ~(T-Tc)
=1,242g
~x (T-Tc)-n
x-1/ n~(T-Tc)
= 0,709n
TC+4°C TC+0,13°C
TC+4°C
TC+0,08°C
Exemple:Bronze bleu
K0.3MoO3
b
Octaèdres MoO6
Potassium(Rubidium)
E. Bervas, thèse (1984)
Tp=183 K
c
a
Bronze bleu
XY 3D =1,316g = 0,669n
= 0,346b
À T=183 K : apparition de réflexions satellites au vecteur d’onde critique :
*5.0*748.0 cbk c
~c (T-Tc)-g
=1,33(4)g
~x (T-Tc)-n
= 0,68(5)n
I ~ (Tc -T)b
=0,31(5)b
Détermination de potentiels
d’interaction
Ex : Modèle d’Ising
jiij ijJH
)(1)(
kk
βJ
β
En champ moyen,
la susceptibilité vaut :
).cos(2).cos(2).cos(2)( ckbkakk cba JJJJ
Permet d’obtenir les potentiels d’interactions
Exemple Bragg
Diffusion diffuse
IsotropeJi=Jj
Anisotrope (1D)100xJi=Jj
Ordre local
Difficile à distinguer
dans l’espace réel
Diffusion aux petits angles
Déterminer • la forme• La taille• L’organisation
De petits objets (particules, macromolécules, précipités, bulles)
Nano(micro)métrique (20–1000 Å)
Applications :
• Science des polymères, colloïdes, matière molle
• Métallurgie, Sciences de la terre• Biologie
Diffusion aux petits angles
222 )()( qq a fIPA
22 )()( qq e PAI
Aux petits angles f 2=Z2
Ensemble de petits objets de densité re, dans un milieu de densité r0
or.PAI
220 )()()( qq e
re
r0
Intensité diffusée par objet :
Loi de Guinier-1
)3
exp()()(22
220
GPA
RqVI eq
La courbure à l’origine de | (S q)|2 ne dépend pas de la forme de l’objet
mais de son rayon de gyration RG
dvrV
R2G
21
Loi de Guinier :
2)(q
L6
2p/L
0.88p/L
Loi de Guinier-2
Exemple d’une sphère rrq rq 3i de .)()(
2
0
cos sin)(0 0
ar
r
2iqr drddreq
3)(
)cos(sin3
3
4)(
qa
qaqa-qaa3q
22
5
31advr
VR2
G RG/a ~ 0.77
0 1 2 3 4 50,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Sphère Guinier
I(q)
/Vf 2
q (nm-1)
Loi de PorodEnsemble de particules,
de surface totale S
42
01
)(2)(limq
SI
qa
q
Déviation au régime de Porod :Rugosité des interfaces...
0,1 1 10 100
10-9
10-6
10-3
100
I(q)
/Vf 2
Sphère Guinier Porod
q(nm-1)
Fractales
Vérification sur 3 ordres de grandeur en q
xdex
rder
rdg(r)e)(S
dixcos
diq.r
diq.r
dq
q
SANS sur une roche pétrolière
g(r) ~ rD-d
Mesure de la dimension Fractale D