Difrakcija Frenelio ir Fraunhoferio difrakcija Lęšis kaip Furje …web.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/frenel.pdf · 2015. 8. 24. · Difrakcija Kaip žinome, monochromatinei

Difrakcija

Frenelio ir Fraunhoferio difrakcija

Lęšis kaip Furje prietaisas

Difrakcija

Startuosim nuo Gauso-Ostrogradskio teoremos:

SV

SdAdVAdiv

Įrašę

GGA

gauname

V S

dSn

Gn

GdVGG )( 22

čia Sdn

Ši formulė vadinama antrąja Grino formule.

Panagrinėsim difrakciją laisvoje erdvėje.

Difrakcija

C. F. Gauss

(1777-1855)

M. V. Ostrogradsky

(1801-1862)

G. Green

(1793-1841)

Difrakcija

Kaip žinome, monochromatinei bangai užrašoma Helmholtco lygtis.

Tegu funkcija tenkina šią lygtį:

022 k

čia ck /

Panagrinėkime kintamąjį tašką P1. Galima įsitikinti,

kad funkcija G

01011 /)exp()( rikrPG

tenkina šią lygtį visuose taškuose, išskyrus P0

(koordinačių pradžia). Šiame taške funkcija G

virsta begalybe. Todėl apgaubkime tašką P0

sfera, kurios tūris . Už jos ribų galime taikyti

Grino formulę. V

Difrakcija

Pritaikę Helmholtco lygtį, turime:

VV VV

dVGkGkdVGG 0)()( 2222

Iš antrosios Grino formulės seka:

0

SS

dSn

Gn

G

dSn

Gn

GdS

nG

n

G

SS

Difrakcija

Taškui P1 ant ploto S

),cos( 0101101 rnnrgradn

r

taigi

GrikrnnG )/1)(,cos(/ 0101

Taškui P1 ant plotelio S

GikGnGePG ik )/1(//,/)( 1

Taigi turime

)(441

0

0

2

0

Pike

n

edS

n

G

nG

ikik

S

Difrakcija

dSn

Gn

GdS

nG

n

G

SS

Taigi

dSr

e

nnr

eP

S

ikrikr

0101

0

0101

4

1)(

Turėjome:

Ši formulė vadinama Helmholtco – Kirkhofo teorema.

Difrakcija

H. van Helmholtz

(1821-1894) G. Kichhoff

(1824-1887)

Difrakcija

Spinduliavimo sąlyga.

n

n

S

1S0P

R

Panagrinėkime tipinę difrakcijos situaciją-

difrakcija per siaurą plyšį. Įvertinsim integralą

plotu S1, kai R

Kadangi taškams ant paviršiaus S1 galioja

R

e

Rik

R

e

Rr

e

n

ikRikRikr

1

01

01

tai

11

0101 1

0101 S

ikR

S

ikrikr

dSR

iknR

edS

r

e

nnr

eQ

Pažymėsim erdvinį kampą, tuomet dRdS2

Difrakcija

1

1

S

ikR dR

ikn

ReQ

Šis integralas riboje lygus nuliui, jei išpildoma spinduliavimo sąlyga: R

01

lim

Rik

nR

R

Iš tikrųjų, duotoje riboje, taškui P0 esant baigtiniame atstume nuo plyšio,

funkcija turi aprašyti sferinę bangą:

ReR ikR /)(

tuomet

)

1(

Rik

Rnir spinduliavimo sąlyga yra išpildoma.

Difrakcija

Kirkhofo artinys.

Funkcijos ir : n /

•Plyšyje turi tokią pačią reikšmę, lyg ekrano nebūtų

•Neskaidriose ekrano vietose lygios nuliui.

Taigi, Kirkhofo artinyje, kuris yra geras, kai ekrano matmenys daug didesni

už plyšio matmenis, lieka integralas palei plyšį.

Optinis artinys.

kr

01

1optiniame diapazone

tuomet

01

01

0101

01

01

010101

),cos()1

)(,cos(r

ernik

r

e

rikrn

r

e

n

ikrikrikr

Difrakcija

ir turime (iš HK teoremos)

S

ikr

dSrniknr

eP )],cos([

4

1)( 01

01

0

01

n

0P

1P

01r

2P

12r

Tegu į plyšį krenta sferinė banga, išeinanti

iš taško P2:

121 /)(12 rAeP

ikr

Kadangi ),cos(/ 1212 rnnr

tai 1212 /),cos(/12 rernAikn

ikr

ir gauname

0

1201

)],cos(),[cos(4

)( 01121201

)(

0

S

rrik

dSrnrnrr

eikAP

0S -plyšio plotelis. Ši formulė vadinama Frenelio – Kirkhofo difrakcijos formule.


A. Fresnel

(1788-1827) J. von Fraunhofer

(1787-1826)


Frenelio artinys.

),(0 yxP)','(1 yxP

X X’

Y Y’

Z, Z’

l

šaltinių plokštuma

difrakcinio vaizdo

ploštuma

r

Pažymime

12/)''.(12 rAeyx

ikr

turime

'

0112 ')],cos(),[cos()','(4

),(S

ikr

dSrnrnr

eyx

ikyx

Lėtai kintančios

funkcijos, lygios 1

'

'')','(2

),(S

ikr

dydxr

eyx

i

kyx

todėl


Frenelio artinys.

),(0 yxP)','(1 yxP

X X’

Y Y’

l

r

Mažų kampų atveju

l

yyxxlyyxxlr

2

)'()'()'()'(

22222

Ir Frenelio artinyje

'

22

''2

])'()'[(exp)','(

2),(

S

ikl

dydxl

yyxxikyx

l

e

i

kyx


Fraunhoferio artinys.

Toliau supaprastinsime gautą formulę, kuri aprašo Frenelio difrakciją.

Gausime formulę, kuri aprašo Fraunhoferio difrakciją.

Kadangi

l

yyxxik

l

yxik

l

yxik

l

yyxxik )''(

2

)''(

2

)(

2

])'()'[( 222222

tai

'

22

22

'')''(

exp2

)''(exp)','(

2

)(exp

2),(

S

ikl

dydxl

yyxxik

l

yxikyx

l

yxik

l

e

i

kyx

Šios funkcijos Furje atvaizdas!

'

22

22

'')''(

exp2

)''(exp)','(

2

)(exp

2),(

S

ikl

dydxl

yyxxik

l

yxikyx

l

yxik

l

e

i

kyx


Fraunhoferio artinys.

Dideliems atstumams l šios eksponentės galime nepaisyti. Įvertinsim

minimalų atstumą, nuo kurio prasideda Fraunhoferio difrakcija.

42

)''( 22

l

yxk222 ''' yx

/'4/'2 22min kll


/'4/'2 22min kll

cmlmmm 81.0',5.0 min

Taigi, pakankamai dideliuose atstumuose stebima Fraunhoferio difrakcija

ir nepaisydami daugiklių gauname

'

'')''(

exp)','(),(S

dydxl

yyxxikyxyx

Taigi difrakcija tolimajame lauke ‘atlieka’ Furje transformaciją.


Pavyzdys: kvadratinės apertūros difrakcija.


Plonas lęšis.

Y’ Y

'

)','( yx

0

Z

Fazės postūmis spinduliui perėjus

nuo kairės plokštumos Y’ prie dešinės Y:

)','()1(

)]','([)','()','(

0

0

yxnkk

yxkyxknyx

lęšio pločio funkcija

)','()1()','( 0)','( yxnikikyxi eeeyx

lęšio pralaidumo koeficientas

Galioja sąryšis:

)','(')','()','( yxyxyx

Rasime lęšio pločio funkciją.


0

Z

1 2

1R2R

01 02

Turime: 21

Pažymime:

02010

222 '' yx

Iš brėžinio matome:

)(

)(

22

22022

22

11011

RR

RR

Todėl

)/11()/11( 222

2

2

1

2

1021 RRRR


Turėsim omeny tai, kad 2

2

2 RR

)/11()/11( 222

2

2

1

2

1021 RRRR

Plonam lęšiui pošaknį galime skleisti eilute ir gauname

21

22

0

11

2

''

RR

yx

Jeigu stiklinis lęšis, kurio lūžio rodiklis n patalpintas ore, kurio l.r. 1, tai

židinio nuotolis

21

11)1(

1

RRn

f

Taigi

)]1(2/[)''( 220 nfyx lęšio pločio funkcija


Taigi lęšio pralaidumo koeficientas

)2/()''(exp)exp()','( 220 fyxikiknyx

Lęšio apertūrinė funkcija

0)','(

1)','(

yxP

yxP lęšio ribose

už lęšio

Taigi išėjimo plokštumoje

)]2/()''(exp[)','()','(')exp()','( 220 fyxikyxPyxiknyx

Buvo:

(Frenelio

artinys)

'

22

22

'')''(

exp2

)''(exp)','(

2

)(exp

2),(

S

ikl

dydxl

yyxxik

l

yxikyx

l

yxik

l

e

i

kyx

'')''(

exp)','()','('

2

)(exp

)](exp[

2),(

22

0

dydxf

yyxxikyxPyx

f

yxik

f

knkfi

i

kyx


Taigi matome, kad lęšis židinio plokštumoje atvaizduoja Furje

transformaciją.

Erdviniai dažniai:

Difrakcinis vaizdas židinio ploštumoje l=f, aprašomas Frenelio artinyje:

Laboratorinis darbas

Suskaičiuoti su fft2() integralą:

Difrakcija už kvadratinės apertūros.

'

22

22

'')''(

exp2

)''(exp)','(

2

)(exp

2),(

S

ikl

dydxl

yyxxik

l

yxikyx

l

yxik

l

e

i

kyx

Su trapz() suskaičiuoti integralą vienmačiu atveju:


Ruošinys 1 clear all

close all

a=10;

%===vektoriaus ilgis, turi buti N=2^n, n-sveikas teigiamas skaicius

N=128;

%====erdvinis zingsnis====

hx=2*a/N;

x=-a:hx:a-hx;

%====dazninis zingsnis====

hk=...;%pagal Nyquist teorema

k=-pi/(hx):hk:pi/hx-hk;

[x1,y1]=meshgrid(x,x);% sukuria (x,y) matrica

[kx1,ky1]=meshgrid(k,k);% sukuria (kx,ky) matrica - erdviniu dazniu

%===funcija==

f=0*x1;

for ix=1:length(x)

for iy=1:length(x)

if %... uzduoti vienetines ribas

f(ix,iy)=1;

end;

end;

end;

%======skaitmeniskai suskaiciuotas Furje vaizdas====

fk=fftshift(fft2(f));

%===============================================

====

eps1=0.001;

%=====teorine Furje vaizdo israiska=================

fk_teor=...% dvieju sinkusu sandauga

%===============================================

====

%======piesimas===================================

=

% skaitmeniskai suskaiciuoto Furje vaizdo piesimas

surf(kx1,ky1,abs(fk).^2)

view(2)

shading interp

% teorinio Furje vaizdo piesimas

figure

surf(kx1,ky1,abs(fk_teor).^2)

view(2)

shading interp

%===============================================

=====


Ruošinys 1


clear all

close all

ax=10;

xs=[-1:0.00005:1];

x=[-1:0.01:1]*ax;

lamda=0.5;% bangos ilgis mum

k=...;% banginis skaicius

a=...;% plysio matmuo mum

za=[5 10 50 100 200 500 1000 2000];% atstumai nuo aperturos

for iz=1:length(za)

z=za(iz)

for ix=1:length(x)

for ixs=1:length(xs)

Phi(ixs)=...;% integruojama funkcija

end;

Phi1(ix)=trapz(xs,Phi);

end;

plot(x,abs(Phi1).^2)

FFF=getframe(gcf);

end;

Phi1_teor=2*sin(k*x*a^2/za(end)+0.001)./(k*x*a^2/za(end)+0.001

);% teorine formule

hold on

plot(x,abs(Phi1_teor).^2,'ro')

Ruošinys 2

Vienmatis atvejis. Galima apibendrinti

dvimačiu atveju.

Documents

Difrakcija Frenelio ir Fraunhoferio difrakcija Lęšis kaip Furje …web.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/frenel.pdf · 2015. 8. 24. · Difrakcija Kaip žinome, monochromatinei