Digitale Signalverarbeitung, Vorlesung 3: Laplace- und z ... · s = jˇ=T ,f = f A=2 z = 1 , = ˇ Table :Abbildungseigenschaften von z = esT Digitale Signalverarbeitung, Vorlesung

Moodle-Test Laplacetransformation z-Transformation Eigenschaften Verwendung

Digitale Signalverarbeitung, Vorlesung 3:Laplace- und z-Transformation

30. Oktober 2017

Digitale Signalverarbeitung, Vorlesung 3: Laplace- und z-Transformation


1 Moodle-Test

2 Laplacetransformation

3 z-TransformationZiel: Reverse-Engineering fur Digitale FilterEinfuhrung der z-Transformation

4 EigenschaftenKonvergenzEigenschaften

5 Verwendungz-Ubertragungsfunktion



Test 1

Der erste Moodle-Test besteht aus zwei Phasen:

Ubungsaufgaben fur den Test sind online 8.11.-9.11. (00:01CET - 23:59 CET)

Der Test selbst, in dem es 5 Versuche gibt, ist online am10.11. (00:01 CET - 23:59 CET)

Fur diesen Test gibt es insgesamt maximal 5 Bonuspunkte fur dieKlausur im WS17/18



Test 1

Themen:

Rechnen mit komplexen Zahlen

Eigenschaften von Systemen (Linearitat, Zeitinvarianz,Kausalitat, ... siehe VL1)

Quantisierung (VL2)

Abtasttheorem (VL2-3)

Eigenschaften von Fourier-, Laplace- und z-Transformation,DTFT (VL2-3)

z-Ubertragungsfunktion (VL4)



LaplacetransformationLaplacetransformation: Fouriertransformation mit Konvergenzerzeugendem Faktor e−σ:

Aus V (jω) =

∞∫−∞

v(t)e−jωtdt (1)

wird V (σ + jω) =

∞∫−∞

v(t)e−(σ+jω)tdt

(2)

Mit sdef= (σ + jω) ist das

V (s) =

∞∫−∞

v(t)e−stdt



LaplacetransformationDas ist genau die Definition der Laplacetransformation:

V (s) =

∞∫−∞

v(t)e−stdtdef= Lv(t) . (3)

Die Große s reprasentiert den komplexen Frequenzparameter

s = σ + jω ∈ C. (4)

Wenn das zu transformierende Signal v(t) kausal ist, gilt wegenv(t) = 0, ∀t < 0 auch

V (s) =

∞∫0

v(t)e−stdt = Lv(t) . (5)



Lv(t) =

∞∫0

v(t)e−stdt, s = σ+jω ⇒ Zeitverlauf von Ree−st :

100 200 300

-20

0

20

40sigma = -0.2, omega = 2 rad/sec

100 200 300-1

0

1sigma = 0, omega = 2 rad/sec

100 200 300

-0.5

0

0.5

1sigma = 0.2, omega = 2 rad/sec

100 200 300-0.5

0

0.5


100 200 300-20

0

20

40sigma = -0.2, omega = 1 rad/sec

100 200 300-1

0


100 200 300-0.5

0

0.5


100 200 300

0

0.5


100 200 300

10

20

30

40

sigma = -0.2, omega = 0 rad/sec

100 200 3000

1


100 200 300

0.20.40.60.8

sigma = 0.2, omega = 0 rad/sec

100 200 300

0.20.40.60.8

sigma = 0.4, omega = 0 rad/sec

100 200 300-20

0

20

40sigma = -0.2, omega = -1 rad/sec

100 200 300-1

0

1sigma = 0, omega = -1 rad/sec

100 200 300-0.5

0

0.5

1sigma = 0.2, omega = -1 rad/sec

100 200 300

0

0.5

1sigma = 0.4, omega = -1 rad/sec

Figure :



Das Gebiet, in dem die Laplace-Transformierte konvergiert (Regionof Convergence - ROC), hat immer die Form eines zu derimaginaren Achse (jω-Achse) der s-Ebene parallelen Streifens:

Figure : Konvergenzgebiet der Laplace-Transformation

Fur kausale Signale gilt b →∞.



Anwendungen der Laplace-Transformation:

Wegen L

ddt v(t)

= sLv(t) werden aus

Differentialgleichungen oft gut losbare algebraischeGleichungen.

Fur zeitkontinuierliche, lineare Systeme ist dieLaplacetransformation die Methode zum Entwurf von stabilenRegelkreisen.

Fur zeitdiskrete Signale und Systeme bildet dieLaplace-Transformation den Ausgangspunkt der Entwicklungder z-Transformation.



Ziel: Reverse-Engineering fur Digitale Filter

Reverse EngineeringBeispiel 1: Digitales Filter gegeben als Quellcode:

Figure : Digitales Filter als c-CodeDigitale Signalverarbeitung, Vorlesung 3: Laplace- und z-Transformation



Reverse Engineering

Beispiel 2: Blockdiagramm eines linearen Systems:




Reverse Engineering

Beispielanwendung:EKG-Signal1 mit Baseline-Drift

1 Goldberger AL, Amaral LAN, Glass L, Hausdorff JM, Ivanov PCh, Mark RG, Mietus JE, Moody GB, Peng C-K,Stanley HE. PhysioBank, PhysioToolkit, and PhysioNet: Components of a New Research Resource for ComplexPhysiologic Signals. Circulation 101(23):e215-e220




Reverse Engineering

Beispielanwendung:EKG-Signal1 mit Baseline-Drift

1 Goldberger AL, Amaral LAN, Glass L, Hausdorff JM, Ivanov PCh, Mark RG, Mietus JE, Moody GB, Peng C-K,Stanley HE. PhysioBank, PhysioToolkit, and PhysioNet: Components of a New Research Resource for ComplexPhysiologic Signals. Circulation 101(23):e215-e220




Reverse Engineering

Weg dorthin:

Einfuhrung der z-Transformation

Konvergenz & Eigenschaften

z-Ubertragungsfunktion digitaler Systeme





Laplacetransformation fur abgetastete Signale:

L

∞∑k=−∞

v0(t)δ(t − kT )

=

∞∫−∞

∞∑k=−∞

v0(t)δ(t − kT )e−stdt

=∞∑

k=−∞

∞∫−∞

v0(t)δ(t − kT )e−stdt

=∞∑

k=−∞v0(kT )e−skT . (6)

Gleichung (6) beschreibt also die Laplace-Transformierte desabgetasteten Signals.




z-Transformation

V∗(s) =∞∑

k=−∞v0(kT )e−sTk . (7)

Ubergang zur diskreten Signalfolge v(k) = v0(kT ) und Definition

von zdef= esT fuhrt zu

V (z) =∞∑

k=−∞v(k)z−k

def= Zv(k). (8)

Die z-Transformierte der Folge v(k) ist also genau dieLaplacetransformierte des abgetasteten Zeitsignals!




Laplacetransformation fur abgetastete Signale

In∑∞

k=−∞ v0(kT )e−skT ist e−skT = e−σkT · e−jkωT

Wegen e−ja = e−j(a+N2π) gilt:

e−jkω1T = e−jk(ω1T+N2π) = e−jk(ω2T ) mit ω2T − ω1T = 2πN

⇒ ω2 − ω1 = 2πNT

⇒ Die Laplace-Transformierte ist in ω-Richtung periodisch mit derAbtastkreisfrequenz 2π

T = 2πfA.




Abbildung der s- auf die z-Ebene

Figure : Abbildung der s-Ebene auf die z-Ebene durch z = esT




s-Ebene z-Ebene

linke komplexe Halbebene Inneres des Einheitskreises

imaginare Achse Peripherie des Einheitskreises

rechte komplexe Halbebene Außeres des Einheitskreises

Ursprung s = 0 z = 1⇔ Ω = 0

s = jπ/T ⇔ f = fA/2 z = −1⇔ Ω = ±π

Table : Abbildungseigenschaften von z = esT



Konvergenz

Konvergenz

Man sagt dass die Laplacetransformierte an der Stelle s konvergiertfalls

|L v(t) | = |V (s)| =

∣∣∣∣∣∣∞∫−∞

v(t)e−stdt

∣∣∣∣∣∣ <∞. (9)

Genauso konvergiert die z-Transformierte an der Stelle z, wenn

|V (z)| =

∣∣∣∣∣∞∑

k=−∞v(k)z−k

∣∣∣∣∣ <∞.



Konvergenz

Konvergenz

Aus der Aquivalenz von Laplace- und z-Transformation lasst sichdas Konvergenzgebiet der z-Transformation herleiten.

Die Laplace-Transformierte konvergiert fur kausale Signaleund Systeme rechts von einer Grenze σ > a

Wegen z = esT = e(σ+jω)T = eσT e jωt = |z |e jωt

also wegen |z | = eσT

konvergiert die z-Transformierte fur alle σ > a und damit furalle |z | > eaT .



Konvergenz

Konvergenz

Das gleiche Prinzip funktioniert auch fur Signale, die kausale undnichtkausale Anteile haben (die also rechts und links der Zeit t = 0Werte 6= 0 besitzen):

Die Laplace-Transformierte konvergiert fur Signale undSysteme in einem Band a < σ < b.

Dann konvergiert die z-Transformierte wegen |z | = eσT furalle a < σ < b, also fur alle eaT < |z | < ebT .



Konvergenz

Konvergenz und Stabilitat

Ein LTI-System ist BIBO-Stabil, wenn

∞∑k=−∞

|h(k)| <∞. (10)

Das kann man am Konvergenzgebiet der z-Transformierten derImpulsantwort gut uberprufen!



Konvergenz

|H(z)| =

∣∣∣∣∣∞∑

k=−∞h(k)z−k

∣∣∣∣∣ (11)

≤∞∑

k=−∞

∣∣∣h(k)z−k∣∣∣ (12)

=∞∑

k=−∞|h(k)||z−k | (13)

Wenn h(k) ein BIBO-stabiles System beschreibt, konvergiert alsoauch H(z) fur |z | = 1.Umgekehrt: Wenn fur H(z) der Einheitskreis, |z | = 1, nicht in derROC liegt, dann ist das System nicht BIBO-stabil.



Konvergenz

Beispiele zur Konvergenz

Zeitverzogerter Dirac-Impuls:

v(k) = δ(k −m), m ∈ N0.

Eingesetzt in die Definition der z-Transformation (8) ergibt sich

V (z) = Zδ(k −m) =∞∑k=0

δ(k −m)z−k = z−m.

Speziell wenn m = 0 ist, folgt also auch Zδ(k) = 1.Also ist das Spektrum des Dirac-Impulses frequenzunabhangig(=weiß), und konvergiert in der gesamten z-Ebene.



Konvergenz

Beispiele zur Konvergenz

Komplexe kausale Exponentialfolge:

v(k) = (ae jΩ)k , ∀k ≥ 0 a,Ω ∈ R. (14)

Die Durchfuhrung der z-Transformation (8) ergibt:

V (z) =∞∑k=0

ake jkΩz−k =∞∑k=0

(ae jΩz−1)k . (15)



Konvergenz

Die Formel (15) stellt eine geometrische Reihe dar. Deswegen ist

V (z) =∞∑k=0

(ae jΩz−1)k <∞ (16)

falls|ae jΩz−1| < 1. (17)

Deswegen

ROC (geom. Reihe): |z | > |ae jΩ| = |a|. (18)

In diesem Gebiet der z-Ebene existiert die z-Transformierte (15),d.h. die unendliche Summe konvergiert ∀|z | > |a| absolut bzw.V (z) ist in diesem Gebiet beschrankt:

V (z) =∞∑k=0

(ae jΩz−1)k =1

1− ae jΩz−1=

z

z − ae jΩ. (19)



Eigenschaften

Verschiebungssatz der z-Transformation

Gesucht wird die z-Transformierte einer zeitlich verschobenen Folgev(k − l), l ∈ Z:

Zv(k − l) =∞∑k=0

v(k − l)z−k . (20)

Weil v(k) als kausal vorausgesetzt wurde, mussen zwei Falleunterschieden werden.

Verzogerung (l ≥ 0)

Linksseitige Verschiebung (l < 0)



Eigenschaften

Verzogerung

Es gilt mit der Substitution λ = k − l (und k = λ+ l)

Zv(k − l) =∞∑k=0

v(k − l)z−k = z−l∞∑

λ=−lv(λ)z−λ

Da in der letzten Summe auf Werte der Folge v(λ) fur λ < 0zugegriffen wird, fur die v(λ) = 0 gilt, folgt:

Zv(k − l) = z−l∞∑λ=0

v(λ)z−λ = z−lV (z) (21)



Eigenschaften

Linksseitige Verschiebung (l < 0)Wieder der selbe Trick, aber mit den Substitutionen m = −l undλ = k + m:

Zv(k − l) = Zv(k + m) =∞∑k=0

v(k + m)z−k

= zm∞∑λ=m

v(λ)z−λ

= zm∞∑λ=0

v(λ)z−λ − zmm−1∑λ=0

v(λ)z−λ

= zmV (z)−m−1∑λ=0

v(λ)zm−λ



Eigenschaften

Faltungssatz der z-Transformation

Die Konsequenz der Faltung zweier Folgen im Zeitbereich ist imz-Bereich eine Multiplikation.

Um das zu zeigen, benutzt man den Verschiebungssatz:



Eigenschaften

Faltungssatz der z-Transformation

Zv1(k) ∗ v2(k) = Z

∞∑ν=0

v1(ν)v2(k − ν)

=∞∑k=0

∞∑ν=0

v1(ν)v2(k − ν)z−k (22)

=∞∑ν=0

v1(ν)∞∑k=0

v2(k − ν)z−k

=∞∑ν=0

v1(ν)z−νV 2(z)

= V 1(z)V 2(z)



z-Ubertragungsfunktion

z-UbertragungsfunktionWenn h(k) die Impulsantwort eines linearen, zeitdiskreten Systemsist, und am Eingang das kausale Signal v(k) anliegt, gilt fur denAusgangswert y(k) = v(k) ∗ h(k).

Fur die z-Transformierte gilt mit dem Faltungssatz:

Y (z) = H(z) · V (z).

Definition: Systemfunktion

H(z) =Y (z)

V (z)(23)

Die Funktion H(z) wird als z-Ubertragungsfunktion des Systemsoder Systemfunktion bezeichnet.




Praktisches BeispielDie Systemfunktion kann aus dem Blockdiagramm oder Quellcodegewonnen werden.

Als erstes wird dazu die Zeitfunktion (= Differenzengleichung)bestimmt (siehe Tafel)




Praktisches Beispiel

Ganz allgemein konnte man hierfur auch schreiben:

y(k) =m∑µ=0

bµv(k − µ)−n∑ν=1

aνy(k − ν)

Die z-Transformierte bekommt man uber den Verschiebungssatzder z-Transformation und deren Linearitat. So findet man:

Y (z) =m∑µ=0

bµV (z)z−µ −n∑ν=1

aνY (z)z−ν . (24)





Schließlich kann daraus Y (z)/V (z) berechnet werden, wenn mannoch a0 = 1 wahlt:

Y (z) +n∑ν=1

aνY (z)z−ν =m∑µ=0

bµV (z)z−µ

Y (z)a0z−0 +

n∑ν=1

aνY (z)z−ν =m∑µ=0

bµV (z)z−µ

Y (z)n∑ν=0

aνz−ν = V (z)

m∑µ=0

bµz−µ





So erhalt man dann

H(z) =Y (z)

V (z)

=

∑mµ=0 bµz

−µ∑nν=0 aνz

−ν





Wozu?

Mit Y (z) = H(z)V (z) kann nun fur ein beliebiges Eingangssignaldieses Systems auch das Ausgangssignal berechnet werden.




Praktisches BeispielDabei kann man wieder einsetzen z = esT = e(σ+jω)T .Fur σ = 0 und Ω = ωT , also z = e jΩ, kommt man auf

H(e jΩ) =Y (e jΩ)

V (e jΩ)=

∑mµ=0 bµe

−jµΩ∑nν=0 aνe

−jνΩ

und erhalt daraus auch das Ubertragungsverhalten des Systems,beispielsweise den Amplitudengang (siehe Beispiel):

|H(e jΩ)| =|Y (e jΩ)||V (e jΩ)|

=|∑m

µ=0 bµe−jµΩ|

|∑n

ν=0 aνe−jνΩ|




Lernziele

Nach dieser Vorlesung sollten Sie

die Laplace-Transformation als um einen Konvergenzfaktorerweiterte Fouriertransformation verstehen

wissen, wie sich die z-Transformation aus derLaplace-Transformation ergibt,

welche wesentlichen Eigenschaften sie beitzt

und wie man mit der z-Transformation digitale Systemeanalysieren kann.




Vielen Dank fur Ihre Aufmerksamkeit!


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