Dinámica-clase-02b- Movimiento Curvilíneo-componentes y Movimiento Relativo

2.4 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL 2.4.1.OBJETIVOS Determinar las componentes normal y tangencial de la velocidad y la

aceleracin de una partcula que se encuentra movindose en un

trayectoria curva.

2.4 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL 2.4.1.APLICACIONES

Cuando un auto se mueve en una

curva experimenta una aceleracin,

debido al cambio en la magnitud o en

la direccin de la velocidad.

Podra Ud. preocuparse por la

aceleracin del auto?.

Si el motociclista inicia su

movimiento desde el reposo e

incrementa su velocidad a razn

constante. Cmo podra determinar

su velocidad y aceleracin en la

parte ms alta de su trayectoria.

2.4 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL 2.4.3. POSICIN

Cuando la trayectoria de una

partcula es conocida, a veces es

conveniente utilizar las

coordenadas normal (n) y

tangencial (t) las cuales actan

en las direcciones normal y

tangencial a la trayectoria.

En un movimiento plano se

utilizan las vectores unitarios ut y

un

El origen se encuentra ubicado

sobre la trayectoria de la

partcula.

El eje t es tangente a la

trayectoria y positivo en

la direccin del

movimiento y el eje n es

perpendicular al eje t y

esta dirigido hacia el

centro de curvatura

2.4 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL 2.4.3. POSICIN

En un movimiento plano las

direcciones n y t se encuentran

definidas por los vectores

unitarios ut y un

El radio de curvatura , es la distancia perpendicular desde curva

hasta el centro de curvatura en aquel

punto.

La posicin es la distancia S medida

sobre la curva a partir de un punto O

considerado fijo

2.4 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL 2.4.4. VELOCIDAD

Debido a que la partcula se

esta S

est el

tiempo

La vector

que a

la magnitud

se derivando

respecto la

posicin tanto

se

Debido a que la partcula se

esta moviendo, la posicin S

est cambiando con el

tiempo.

La velocidad v es un vector

que siempre es tangente a

la trayectoria y su magnitud

se determina derivando

respecto del tiempo la

posicin S = f(t). Por lo tanto

se tiene

/

tv vu

v s dS dt

2.4 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL

2.4.4. ACELERACIN

Consideremos el movimiento de

una partcula en una trayectoria

curva plana

En el tiempo t se encuentra en P

con una velocidad v en direccin

tangente y una aceleracin a

dirigida hacia la concavidad de la

curva. La aceleracin puede

descomponerse en una

componente tangencial at

(aceleracin tangencial) paralela

a la tangente y otra paralela a la

normal an (aceleracin normal)

La aceleracin tangencial

es la responsable del

cambio en el modulo de la

velocidad

La aceleracin normal es la

responsable del cambio en

la direccin de la velocidad


2.4.4. ACELERACIN

Tracemos en A un vector

unitario

Si el

vector en

magnitud

Pero es

curva cambia

por

Tracemos en A un vector

unitario . La aceleracin ser

Si la trayectoria es una recta, el

vector sera constante en

magnitud y direccin, por tanto

Pero cuando la trayectoria es

curva la direccin de cambia

por lo tanto

( )t tt

d ve dedv dva e v

dt dt dt dt

0t

de

dt

te

te

te

0t

de

dt


2.4.4. ACELERACIN

Introduzcamos el vector unitario

normal dirigido

hacia la

curva forma

la x.

Entonces

La unitario

tangente

Introduzcamos el vector unitario

normal a la curva y dirigido

hacia el lado cncavo de la

curva. Sea el ngulo que forma

la tangente en A con el eje x.

Entonces se tiene

La derivada del vector unitario

tangente ser

ne

cos

cos( ) ( )2 2

cos

t

n

n

e i sen j

e i sen j

e sen i j

( ) cos

t

tn

de d dsen i j

dt dt dt

de de

dt dt

2.4 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL 2.4.4. ACELERACIN

Por otro lado se tiene que

Donde dS es el pequeo arco a lo largo del movimiento en un dt.

Las normales a la curva en A y A se intersecan en C. Entonces

La razn de cambio del vector unitario tangencial es

d d dS d

vdt dS dt dS

1

dS d

d

dS

1tn

dee

dt

2.4 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL 2.4.4. ACELERACIN

Remplazando esta ecuacin en

la aceleracin se tiene

Es decir las aceleraciones

tangencial y normal se escriben

La magnitud de la aceleracin total ser

2

tt

t n

t t n n

dedva e v

dt dt

dv va e e

dt

a a e a e

2

: t t t ndv v

a e a edt

2 2

t na a a

CASOS ESPECIALES

1. La partcula se mueve a lo largo de una lnea recta

=> an = v2/ 0 > a = at = v

La componente tangencial representa la razn

de cambio de la magnitud de la velocidad

2. La partcula se mueve en la curva a velocidad constante

at = v = 0 => a = an = v2/

La componente normal representa la razn de cambiode la direccin de la

velocidad

3) La componente tangencial de la aceleracn es

constante, at = (at)c.

So and vo son la posicin y la velocidad de la partcula en t = 0

4. La partcula se mueve a lo largo de la rayectoria dada por y

= f(x). Entonces el radio de curvatura es

2

0 0

0

2 2

0 0

1( )

2

( )

2( ) ( )

c c

c c

c c

s s v t a t

v v a t

v v a s s

2 3/ 2

2 2

[1 ( / ) ]

/

dy dx

d y dx

CASOS ESPECIALES

Ejemplo 01

Un esquiador viaja con una rapidez de 6 m/s la se est incrementando a razn de 2 m/s2, a lo largo de la trayectoria parablica indicada en la

figura. Determine su velocidad y aceleracin en el instante que llega a

A. Desprecie en los clculos el tamao del esquiador.

Solucin

Estableciendo los ejes n y t mostrados se tiene.

La velocidad de 6 m/s es tangente a la trayectoria y su

direccin ser

Por lo tanto en A la velocidad forma 45 con el eje x

1,20

1

10

2 xdx

dyxy

Solucin

La aceleracin se determina aplicando la ecuacin

Para ello se determina el radio de curvatura

2

t n

dv va e e

dt

2 3/ 2

2 2

2 3/ 2

[1 ( / ) ]

/

[1 ( /10) ]

1/10

28.28

dy dx

d y dx

x

m

2

2

6 2

28,3

2 1,27

A t n

A t n

A t n

dv va e e

dt

a e e

a e e

Solucin

La magnitud y la direccin de la aceleracin sern

2 2 2

1

2 1.237 2.37 /

2tan 57.5

1.327

a m s

Ejemplo 02

Un carro de carreras C viaja alrededor de una pista horizontal circular que tiene un radio de 90 m. Si el carro incrementa su rapidez a razn constante

de 2,1 m/s2 partiendo desde el reposo, determine el tiempo necesario para

alcanzar una aceleracin de 2,4 m/s2. Cul es su velocidad en ese

instante.

Solucin

Se sabe que la aceleracin tangencial es constante e igual

a

La aceleracin normal ser

La aceleracin total ser

La velocidad en este instante ser

2

0

2,1 /

0 2,1

t

t

a m s

Entonces

v v a t

v t

2 22 2(2,1 ) 0.049 /

90n

v ta t m s

2

2

2 2 2 2

2 2 2 2

2,1 0.049

2,1 [0.049 ]

2,4 2,1 [0.049 ]

4,87

t t n

t n

va a e e

a e t e

a t

t

t

2.1 10.2 /v t m s

Ejemplo 03

Una caja parte del reposo en A e

incrementa su rapidez a razn de

at = (0.2t) m/s2 y viaja a lo largo

de la pista horizontal mostrada.

Determine la magnitud y direccin

de la aceleracin cuando pasa por

B

Ejemplo 03

La posicin de la caja en cualquier

instante es S medida a partir del

punto fijo en A.

La velocidad en cualquier instante

se determina a partir de la

aceleracin tangencial, esto es

0 0

2

0.2 (1)

0.2

0.1 (2)

t

v t

a v t

dv tdt

v t

Ejemplo 03

Para determinar la velocidad en B,

primero es necesario determinar S

= f(t), despus obtener el tiempo

necesario para que la caja llegue a

B. es decir

De la geometra se tiene

sB = 3 + 2(2)/4 = 6.142 m.

Entonces tenemos

2

2

0 0

3

0.1

0.1

0,0333 (3)

S t

dsv t

dt

ds t dt

S t

36,142 0,0333

5,69

t

t s

Ejemplo 03

Remplazando el tiempo en las ecuaciones (1) y (2) resulta

En el punto B el radio de curvatura es

= 2 m, entonces la aceleracin ser

La aceleracin total ser

Su modulo y direccin sern

2

2

( ) 0.2(5.69) 1.138 /

0.1(5.69) 3.238 /

B t B

B

a v m s

v m s

22( ) 5.242 /BB n

B

va m s

2

,

1,138 5,242

BB t B t n

B t n

va a e e

a e e

2 2 2

2

1,138 [5,242]

5,36 /

a

a m s

1 5.242[ ] 77,751,138

tg

Ejemplo 04

Una partcula se mueve en una trayectoria curva de tal manera

que en cierto instante tiene una velocidad v y una aceracin a.

Demuestre que el radio de curvatura puede obtenerse a partir

de la ecuacin

3

1 vxa

v

Ejemplo 04

Sabemos que la aceleracin en

cualquier instante es

Multiplicando ambos miembros por la

velocidad v tenemos

Debido a que la aceleracin

tangencial son colineales su producto

vectorial es nulo. Entonces tenemos

Remplazado la aceleracin normal

tenemos

t na a a

t n

t n

t n

a a a

vxa vx a a

vxa vxa vxa

0

90

n

n n

n

n

vxa vxa

vxa vxa

vxa vxa va sen va

2

3

( )

1

vvxa v

vxa

v

Ejemplo 5

El auto viaja a lo largo de una curva que tiene un radio de 300m. Si su rapidez se incremente uniformemente de 15 m/s a 27 m/s en 3s.

Determine la magnitud de su aceleracin en el instante en que su

rapidez es de 20m/s.

Ejemplo 6

En un instante dado la locomotora del tren en el punto E tiene una rapidez de 20 m/s y una aceleracin de 14m/s2 .actuando en la direccin

mostrada. Determine la tasa de incremento en la velocidad del tren y el

radio de curvatura del camino.

Ejemplo 7

El automvil est originalmente en S=0. si parte incrementando su velocidad a v=(0.05t^2)m/s^2. donde t est en segundos, determine las

magnitudes de su velocidad y aceleracin en s=165m

Ejemplo 8

Partiendo desde el reposo, un bote a motor viaja alrededor de una trayectoria circular de radio r = 50 m con una velocidad . Determine la

magnitud de la velocidad y de la aceleracin del bote en t = 3 s.

Ejemplo 9

Un avin viaja a lo largo de una trayectoria parablica

vertical .

En el punto A el avin tiene una velocidad de 200 m/s la

cual se incrementa a razn

de 0,8 m/s2. Determine la

magnitud de la aceleracin

del avin cuando pase por

A.

20,4y x

Ejemplo 10

El jugador de bisbol lanza una pelota con una velocidad inicial de v0 = 30 m/s a un ngulo = 30 como se muestra en la figura. Hallar el radio de curvatura de la trayectoria: (a) inmediatamente

despus del lanzamiento y (b) en el vrtice. Calcular en cada

caso, la variacin de celeridad por unidad de tiempo.

ANALISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTICULAS USANDO EJES EN TRASLACIN

Hasta ahora se ha estudiado el movimiento absoluto de una partcula usando un marco de referencia fijo.

Sin embargo, existen ejemplos en el que la trayectoria del movimiento de una partcula es complicada, de modo que es ms

factible analizar el movimiento en partes usando dos o ms marcos

de referencia.

Por ejemplo, el movimiento de una partcula localizada en la hlice de un avin , mientras ste est en vuelo , es ms fcil describirlo si

observamos primero el movimiento del avin a partir de un sistema de

referencia fijo y despus se superpone vectorialmente el movimiento

circular de la partcula medida a partir de un marco de referencia

mvil unido al aeroplano.

ANALISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTICULAS USANDO EJES EN TRASLACIN

En esta seccin nos ocuparemos del estudio del movimiento solo a marcos de referencia en traslacin. El anlisis del movimiento relativo

de partculas usando marcos de referencia en rotacin se tratar en el

curso de Dinmica.

MOVIMIENTO RELATIVO: POSICIN

Consideremos dos partculas A y B movindose en las trayectorias

mostradas

Las posiciones absolutas de A y B con respecto al observador fijo en el

marco de referencia OXYZ sern

El observador B slo experimenta traslacin y se encuentra unidos al

sistema de referencia mvil Oxyz

La posicin relativa de A con respecto al observador B , es

Ar OA

Br OB

/A B A Br r r

Movimiento relativo: Velocidad

Derivando la ecuacin de la posicin relativa se tiene

/A B A Bv v v

Movimiento relativo: Aceleracin

Derivando la ecuacin de la velocidad relativa se tiene

/A B A Ba a a

Ejemplo 01

Un tren T, viajando a una velocidad constante de 90 km/ h, cruza una carretera, como se muestra en la figura. Si el automvil A est

viajando por la carretera con una velocidad de 67,5 km/h. Determine

la magnitud y direccin de la velocidad relativa del tren con respecto

al auto.

SOLUCIN

La velocidad relativa es medida desde el observador ubicado en el auto al

cual se le asocial el sistema de

referencia OXY,

Como las velocidades de T y A son conocidas, entonces la velocidad

relativa se obtiene de

/

/

/

90 (67.5cos 45 67.5sin 45 )

{42.3 47.7 ) /

T A T A

T A

T A

v v v

i i j v

v i j km h

solucin

La magnitud de la velocidad relativa ser

La direccin de la velocidad relativa es

2 2 2

/ (42.3 47.7 ) 63.8 /T Av km h

/

/

47.7tan

42.3

48.40

T A y

T A x

v

v

EJEMPLO 2

Dos aviones estn volando horizontalmente a la misma elevacin, como se indica en la figura. El avin A est volando en una trayectoria recta, y en el

instante mostrado desarrolla una velocidad de 700 km/h y una aceleracin

de 50 km/h2. El avin B est volando en una trayectoria curva circular de

400km de radio con una rapidez de 600 km/h y est decreciendo su

rapidez a razn de 100 km/h2. Determine la velocidad y la aceleracin

relativa de B medida por el piloto A

Solucin

Al avin A esta movindose rectilneamente y se asocia un marco

de referencia mvil Oxy.

La velocidad relativa de B respecto de A es

El avin B tiene aceleracin normal y tangencial pues se mueve en

una curva.


Aplicando la ecuacin para determinar la aceleracin relativa

se tiene

/

/

/

600 700

100 / 100 /

B A B A

B A

B A

v v v

v

v km h km h

2

2900 /BB nv

a km h

/

/

2

/

900 100 50

900 150 /

B A B A

B A

B A

a a a

i j j a

a i j km h

EJEMPLO 3

En un determinado instante los carros A y B estn viajando con

velocidades de 18m/s y 12m/s,

respectivamente. Adems en dicho

instante la velocidad de A est

disminuyendo a razn de 2m/s2 y B

experimenta un incremento de su

velocidad a razn de 3 m/s2.

Determine la velocidad y la

aceleracin de B con respecto de A

Solucin El sistema de referencia fijo est en

tierra y el marco mvil en el auto A.

Por tanto se tiene

La direccin de la velocidad relativa ser


La aceleracin relativa ser

Su direccin ser

/

/

/

2 2

/

12 18cos60 18sin 60

9 3.588 /

9 3.588 9.69 /

B A B A

B A

B A

B A

v v v

j i j v

v i j m s

v m s

/

/

3.588tan

9

21.7

B A y

B A x

v

v

2

21.440 /BB nv

a m s

/

/

2

/

1.440 3 2cos60 2sin 60

2.440 4.732 /

B A B A

B A

B A

a a a

i j i j a

a i j m s

2

/ 5.32 /

62.7

B Aa m s

Ejemplo 4

Los pasajeros que viajan en el avin A que vuela horizontalmente a velocidad

constante de 800 km/h observan un

segundo avin B que pasa por debajo

del primero volando horizontalmente.

Aunque el morro de B est sealando

en la direccin en la direccin

45noreste, el avin B se presenta a los pasajeros de A como separndose

de ste bajo el ngulo de 60 representado. Halle la velocidad

verdadera de B

Solucin

El marco mvil est asociado al avin A donde se efectan las

observaciones relativas

La velocidad de A es conocida en mdulo y direccin, el ngulo de 60 de la velocidad relativa de B

respecto de A es conocido y la

velocidad verdadera de B tiene una

direccin de 45. Entonces tenemos.

Aplicando estas ecuaciones en la velocidad relativa se tiene

Resolviendo estas ecuaciones se obtiene

/B A B Av v v

/ / /

(800 ) /

[ cos 45 45 ]

[ cos60 60 ]

A

B B B

B A B A B A

v i km h

v v i v sen j

v v i v sen j

/

/

:

cos 45 800 cos60

:

45 60

B B A

B B A

componente i

v v

componente j

v sen v sen

/ 586 / ; 717 /B A Bv km h v km h

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