DINAMIKAUvod u dinamikuDinamika je dio mehanike u kojem se prouavaju zakoni kretanja materijalne take i materijalnog tijela pri emu se uzimaju u obzir sile koje djeluju na taku ili tijelo. Dva su osnovna zadatka dinamike:1. Direktni zadatak dinamike2. Inverzni zadatak dinamikeU direktnom zadatku dinamike su poznati zakoni kretanja take ili tijela pri emu se trae nepoznate aktivne i reaktivne sile koje djeluju na taku ili tijelo. Kod inverznog zadatka dinamike poznate su aktivne sile koje djeluju na taku ili tijelo, a trae se nepoznati zakoni kretanja i reakcije veze.Osnovne veliine u dinamici su vrijeme [ T ] sa osnovnom jedinicom [1 s ], duina [L ] sa osnovnom jedinicom [ 1 m ] i masa [M] sa osnovnom jedinicom [ 1 kg ]. U dinamici je sila izvedena veliina. Vaei aksiomi sa kojima smo se upoznali ranije u statici, a koji vae za sluaj kretanja (aksiom o nepromjenjivosti stanja kretanja dodavanjem uravnoteenog sistema sila, aksiom o paralelogramu sila i aksiom o akciji i reakciji) su takoer vaei u dinamici.Rjeavanje problema dinamike je bazirano na pomenutim aksiomima, kao i na drugom Njutnovom zakonu koji se odnosi na kretanje materijalne take i prema kojem je proizvod mase take i njenog ubrzanja jednak rezultanti sila koje djeluju na tu taku.m = r (F sa osnovnom jedinicom 1N = 1 )Drugi Njutnov zakon predstavlja jedan od najveih naunih doprinosa u historiji ovjeanstva.

Dinamika take Diferencijalne jednaine kretanja materijalne takeRjeavajui inverzni problem dinamike take nailazimo na odreene diferencijalne jednaine koje je potrebno rijeiti, pri tome imamo u vidu da sile koje djeluju na materijalnu taku mogu zavisiti od: Vremena Koordinate BrzineU zavisnosti od toga esto je odreen i tok rjeavanja diferencijalnih jednaina koje se tom prilikom pojavljuju. Praktino postoji neogranien broj problema u dinamici kojizahtijevaju rjeavanje odreenih diferencijalnih jednaina kretanja. Prikazat emo dva problema koji su vezani za ovu problematiku.

Padanje tijela u otpornoj srediniAnalizirati emo problem kretanja tijela kroz otpornu sredinu pri emu se tom kretanju suprotstavlja sila otpora iji je intenzitet Fw = c A 2Pri tome je:c koeficijent oblika tijela, A povrina projekcije tijela na ravan koja je okomita na pravac kretanja, - gustoa sredine kroz koju se tijelo kree - brzina kretanja tijela

Pretpostaviti emo da se tijelo poelo kretati bez poetne brzine. Postavit' emo drugi Njutnov zakon:m = m + w ...(1)Izraz (1) emo projektovati na osu x:m = mg Fwm = mg - c A 2 ... (2)Jednaina (2) je nelinearna diferencijalna jednaina. U cilju njenog rjeavanja emo transformisati drugi izvod koordinate x po vremenu: = = = m = mg - c A 2 ...(3)Izvriti emo razdvajanje promjenjivih veliina = ....(4)Odrediti emo pojedine integrale = = = == = Uvrtavanjem dobijenog rjeenja u izraz (4) dobiti emo = = ...(5)Iz izraza (5) se jednostavno moe dobiti brzina kretanja tijela u funkciji koordinate x. Posebno znaajno je analizirati silu otpora kretanja za sluaj kada x . U tom sluaju je , s druge strane brojnik na lijevoj strani tei 0. (mg - c A 2 ) Odavde je granina brzina kretanjagr = ...(6)Kolika je granina sila otpora? = = = ....(7)Vidimo da je granina sila otpora jednaka teini tijela. To znai da se u graninom sluaju uspostavlja ravnotea izmeu teine tijela i sile otpora tako da brzina tijela tei nekoj konstantnoj veliini. Ova injenica omoguava funkcionisanje npr. padobranskih skokova i slino. Kosi hitacAnalizirati emo sluaj kretanja materijalne take u polju Zemljine tee koja je izbaena odreenom poetnom brzinom o pod uglom u odnosu na horizont.

Pri tome emo zanemariti otpor vazduha kao sredine. U proizvoljnom poloaju emo postaviti drugi Njutnov zakon: ...(1)Izraz (1) emo projektovati na ose koordinatnog sistema x,y,z, pri emu vektor poetne brzine o lei u ravni x,y i pri emu je y vertikalna osa. (1) na (x) = 0, = C1 , = o cos ... (2) x = o t cos + C2 Na osnovu poetnih uslova x = 0, to = 0, slijedi C2 = 0. x = o t cos ...(3) - zakon kretanja po x-u.(1) na (y) = - ; = - gt + C3 Na osnovu poetnih uslova, t = 0, = o sin C3 = o sin = - gt + o sin ....(4)y = - g + o t sin + C4 Iz poetnih uslova, t = 0, yo = 0 C4 = 0y = - g + o t sin ...(5)(1) na (z) = 0 , = C5 , o = 0 C5 = 0 ; = 0, z = C6 , zo = 0 C6 = 0 , z = 0 .... (6)Izrazi (3), (5) i (6) predstavljaju jednaine kretanja take u Dekartovom koordinatnom sistemu. S obzirom na izraz (6), vidimo da se taka kree u ravni xy. Analizirati emo trajektoriju take. Eliminisanjem parametra t iz izraza (3) i (5) dobija se:y = - + o sin y = + x tg...(7)Vidimo da je trajektorija take kvadratna parabola koja ima extrem u obliku maximuma. Analizirati emo neke parametre ove putanje. Domet kosog hica, za sluaj da se krajnji poloaj take nalazi na istoj horizontali kao i poetni poloaj, odrediti emo na osnovu uslova yK = 0, xK = DxK ( + tg) = 0 + = 0xK = D = ... (8)Vrijeme leta take za pomenute uslove kretanja dobiti emo iz uslova da se projekcija take na osu x kree konstantnom brzinom (izraz 2)T = = T = 2 ...(9)Maximalnu visinu H emo dobiti iz uslova da je u najviem poloaju take t1 = = ...(10) , pri emu emo izraz (10) uvrstiti u izraz (5)H = y1 = + H = ...(11)Bitan je i uslov pri kojem se postie maximalni domet. Postaviti emo i uslov = = 0 = 0 = = ...(12)Vidimo da se maximalni domet kosog hica postie pri uglu = .Dmax = .... (13)Opti zakoni dinamike materijalne takeOpti zakoni dinamike materijalne take prilikom formulisanja i uobliavanja imaju oblik pri kojem se direktno mogu iskoristiti za rjeavanje direktnog ili inverznog problema dinamike. To je zbog toga to se priliko izvoenja optih zakona materijalnih taki rjeavaju odreene diferencijalne jednaine kretanja koje nije potrebno rjeavati poslije pri izradi konkretnih problema i zadataka. Ovdje emo analizirati sljedee zakone:1. zakon o promjeni koliine kretanja materijalne take 2. zakon o promjeni kinetike energije materijalne take3. zakon o promjeni momenta koliine kretanja materijalne take

Definicija koliine kretanja take i impulsa sileKoliina kretanja take se definie kao proizvod mase take i njene brzine

Impuls sile u diferencijalnom obliku definisat emo kao proizvod vektora neke sile i diferencijala vremenaImpuls sile u konanom obliku u nekom vremenskom intervalu e biti = Dimenzija koliine kretanja e biti S druge strane dimenzija impulsa sile je Vidimo da su dimenzije koliine kretanja i impulsa sile meusobno jednake , to znai da izmeu te dvije veliine postoji odreena veza.

ZAKON O PROMJENI KOLIINE KRETANJA MATERIJALNE TAKEPoeti emo od definicije koliine kretanja pri emu emo ovaj izraz diferencirati po vremenu ...(1)Izraz (1) predstavlja zakon o promjeni koliine kretanja take u diferencijalnom obliku. Iz izraza (1) slijedi:

Izraz (2) predstavlja zakon o promjeni koliine kretanja materijalne take u integralnom obliku, iz koje se vidi da je promjena koliine kretanja take u nekom vremenskom intervalu jednaka sumi impulsa svih sila koje djeluju na taku u istom vremenskom intervalu.

DEFINICIJA KINETIKE ENERGIJE, RADA SILE I SNAGEKinetika energija materijalne take definie se kao skalarna veliina u obliku

Iz definicije se vidi da kinetika energija ne moe biti negativna. Rad neke sile u diferencijalnom obliku definie se kao:

Pri emu je diferencijal puta take na koju djeluje sila . Izraz (2) moemo napisati u razliitim oblicima:

Rad sile u nekom vremenskom intervalu e biti:

Koristei izraz (3) moemo pisati Vidimo da e diferencijal rada sile biti jednak proizvodu izmeu projekcije sile na tangentu putanje i diferencijalu puta. Na taj nain e rad sile u nekom vremenskom intervalu biti

Dobijeni dijagram je forma koju esto prilikom razliitih analiza koristimo, pri emu je rad date sile jednak povrini ispod krive u posmatranom intervalu .Snaga uslijed djelovanja sile se definie kao izvod rada sile po vremenu

Moemo pisati:

Vidimo da je snaga uslijed djelovanja sile jednaka skalarnom proizvodu izmeu sile i brzine take na koju djeluje sila . Dimenzija kinetike energije je:Dimenzija rada sile: Iz ovoga vidimo da izmeu kintetike energije i rada sile postoji odreena veza.

Odreivanje rada sile za pojedine sluajeveAnalizirati emo rad sile za pojedine sluajeve koji se veoma esto pojavljuje u dinamikim proraunima:a) RAD NORMALNE SILE Prema tome, rad normalne sile je uvijek jednak nuli.

b) RAD SILE TRENJA KLIZANJA Vidimo da je rad sile trenja klizanja uvijek negativan. U sluaju da su konstante, imat' emo rad:

c) RAD SILE TEEPretpostaviti emo da se taka M kree u prostoru po nekoj putanji

U ovom sluaju e biti:

d) RAD ELASTINE SILE OPRUGEU okviru proporcionalnosti kada je u pitanju deformacija tijela, odnos izmeu sile i izduenja moemo posmatrati kao konstantnu veliinu (krutost opruge): Posmatrati emo rad sile za ovakav sluaj od nekog poetnog do krajnjeg poloaja:

Neka je duina slobodne (neoptereene) opruge, poetna odnosno krajnja duina opruge, a poetno i krajnje izduenje opruge.Rad sile opruge e biti:

Gdje su , a

Vidimo da e rad elastine sile opruge zavisiti od poetne i krajnje deformacije opruge, a ne i od putanje take na koju djeluje opruga.

ZAKON O PROMJENI KINETIKE ENERGIJE TAKENeka se materijalna taka kree po nekoj putanji

Za tu taku emo postaviti II Njutnov zakon:

Taj zakon emo projektovati na tangentu putanje

Dobijeni izraz predstavlja zakon o promjeni kinetike energije materijalne take iz kojeg se vidi da je promjena kinetike energije take u nekom vremenskom intervalu jednaka sumi radova svih sila koje djeluju na taku u istom vremenskom intervalu.

MOMENT KOLIINE KRETANJA MATERIJALNE TAKE Moment koliine kretanja materijalne take u odnosu na neki pol O definie se kao vektorski proizvod izmeu radijus vektora take koji polazi iz pola O i koliine kretanja take.

Neka je pol O nepomini, u tom sluaju emo diferenciranjem izraza (1) dobiti:

Poto je II tada je i tada je

Izraz (2) predstavlja zakon o promjeni momenta koliine kretanja materijalne take iz kojeg se vidi da je izvod tog momenta po vremenu jednak sumi momenata svih sila koji djeluju na taku u odnosu na posmatrani nepomini pol O.

DINAMIKA VEZANE MATERIJALNE TAKEKretanje take po glatkoj nepominoj povriNeka se materijalna taka kree po glatkoj nepominoj povri ija je jednaina Neka na taku djeluju aktivne sile ija je rezultanta i neka je normalna reakcija date povri. Postaviti emo za taku II Njutnov zakon:

Izraz (2) emo projektovati na pojedine ose:

Normalnu reakciju koja je okomita na tangentnu ravan na datu povr, moemo izraziti preko funkcije:

Pri emu su i, j, k jedinini vektori datog koordinatnog sistema. Poto je vektor grad f kolinearan sa vektorom onda moemo pisati pri emu je nepoznati koeficijent.

Iz izraza (1) , (3) , (4), (5) imamo 4 nepoznate veliine , . Jednaine (3), (4), (5) predstavljaju Lagrangeove jednaine prve vrste.

Kretanje take po hrapavoj povrini

Neka se taka M kree po nepominoj hrapavoj povrini

Neka je koeficijent trenja klizanja izmeu take i povri .Postaviemo za tu taku II Njutnov zakon:....(2)

gdje je rezultantna sila, normalna reakcija, sila trenja klizanja.

Projektovanjem izraza (2) na pojedine ose koordinatnog sistema dobiti emo:

Poto je sila u pravcu normale na povr (1) tada se moe pisati:.....(4)

Sila trenja klizanja e imati pravac brzine take, a suprotan smjer brzine____, tako da moemo pisati:

Na taj nain izraz (3) postaje:

......(5) .......(6) ........(7)

Intenzitet sile N iz izraza (4) je: ......(8)Iz izraza (1),(5),(6),(7) i (9) imamo pet nepoznatih veliina tj. x,y,z,,N, izrazi (5),(6),(7) predstavljaju homogene jedanine I reda za sluaj kretanja take po nepokretnoj hrapavoj povri.

Kretanje materijalne take po nepokretnoj glatkoj liniji

Neka se taka M kree po nepokretnoj glatkoj liniji:

Neka na taku djeluje aktivna sila F, na taku e takoe djelovati i reakcija veze koja e se sastojati od dvije komponente i to u pravcu glavne normale i u pravcu binormale komponenta .Tako da moemo pisati.....(1)

Izraz (1) emo projektovati na ose prirodnog koordinatnog sistema:

....(2) .....(3)

za (b) .....(4)

Iz izraza (2),(3),(4) imamo 3 nepoznate veliine i to: , izrazi (2),(3) i (4) predstavljaju Eulerove jednaine kretanja materijalne take po nepokretnoj glatkoj liniji.

DINAMIKA RELATIVNOG KRETANJA TAKE

Osnovne jednaine dinamike relativnog kretanjaNeka materijalna taka M vri sloeno kretanje pri emu e neko tijelo (K) vriti prenosno kretanje, a taka M relativno kretanje u odnosu na to tijelo.

Od interesa da se analizira veza izmeu karakteristike prenosnog kretanja tijela (K), karakteristike relativnog kretanja take i sile koje djeluju na taku sa posebnim osvrtom na reakcije veze.Poi emo od II Njutnovog zakona:

......(1)

pri emu je rezultanta svih aktivnih sila koje djeluju na taku M, a rezultanta svih relativnih sila koje djeluju na taku M.

Poto taka vri sloeno kretanje, podsjetiti emo se na Coriolsovu teoremu gdje je: ......(2).

Uvrtavanjem izraza (2) u (1) slijedi da je : .Uvodimo oznake: inercijalna prenosna sila koriolsova inercijalna sila

......(3)

Izraz (3) predstavlja osnovnu jednainu dinamike relativnog kretanja take.Zakon o promjeni kinetike energije relativnog kretanja take

Poi emo od osnovne jednaine dinamike relativnog kretanja

Tu emo jednainu projektovati na tangentu relativne putanje take:

- luna koordinata na relativnoj putanji take, vrprojekcija relativne brzine take na tangentu relativne putanje.

Poto je tada je tada je tako da je

.......(1)Izraz (1) predstavlja zakon o promjeni kinetike energije relativnog kretanja take iz kojeg se vidi da je promjena kinetike energije relativnog kretanja take u nekom vremenskom intervalu jednaka sumi radova svih aktivnih i reaktivnih sila kao i radu prenosne inercijalne sile na relativnu putanju u istom vremenskom intervalu.

KRETANJE TAKE POD DEJSTVOM CENTRALNE SILEZakon o promjeni momenta koliine kretanja na koju djeluje centralna silaCentralna sila je ona sila iji pravac stalno prolazi kroz istu nepominu taku.

Kao primjer centralnih sila moemo navesti sile gravitacije, sile u opruzi iji je jedan kraj uvren.Neka je posmatrana centralna sila koja djeluje na taku M i iji pravac stalno prolazi kroz taku O. Za posmatranu taku M emo primjeniti zakon o promjeni momenta koliine kretanja za pol O.

,

Prema tome je:

Iz ovog zakljuujemo da e brzina take biti u ravni koja ne mijenja svoj poloaj jer je ta ravan okomita na , koja je konstantan. To takoer znai da e putanja take biti neka ravanska kriva linija.Poto je sektorska brzina tada slijedi da je sektorska brzina konstantna.

Poto je Poto je sektorska brzina konstantna tada se za povrinu sektora moe pisati

Bineova formulaNeka na posmatranu materijalnu taku djeluje centralna sila iji pravac prolazi kroz nepominu taku O.

Drugi Njutnov zakon projektovati emo na ose polarnog sistema:

Prema tome dobili smo i na ovaj nain da je sektorska brzina konstantna.

U izrazu (1) je potrebno odrediti pojedine izvode radijusa po vremenu.

Poto je izraz (3) ; tada je: .......(5)

Poto je tada izraz (5) postaje

Uvrtavajui izraz (7) u (1):

Jednaina (8) predstavlja Bineovu formulu koja je osnovna jednaina dinamike take pod dejstvom centralne sile.Kretanje materijalne take pod dejstvom Njutnove sile svemirskog privlaenjaPoi emo od Bineove formule:

S druge strane, imajui u vidu izraz za Njutnovu silu svemirskog privlaenja:

Pri emu je : f konstanta mase posmatranih taaka koje privlae.Iz izraza (1) i (2) dobijamo:

Ako u izrazu (3) uvedemo oznaku:

Dobiemo:

Rjeenje diferencijalne jednaine (5) e se sastojati od homogenog i partikularnog dijela.Karakteristika jed.jednaine (5) e biti:

Homogeno rjeenje je prema tome:

Partikularno rjeenje emo potraiti u obliku:

Uvrtavanjem potrebnih izvoda partikularnog rjeenja (7) u (5) dobiemo:A =

Opte rjeenje jednaine (5) je:

U izrazu (9) imamo dvije konst. Integracije, i . Znog toga nam je pored izraza (9) potreban i jo jedan izraz, a njega emo dobiti diferenciranjem izraza (9) po uglu .

U izraz (9) emo uvrstiti poetni uslov: ; pa emo dobiti:

Da bismo poetne uslove kretanja uvrstili u izraz izvriemo transformaciju lijeve strane tog izraza:

Izraz (10) sada postaje:

Za poetni trenutak je:

Uvrtavajui izraze (13) i (14) u (12) , u poetnoj taki dobiemo:-Konano je opte rjeenje diferencijalne jednaine (5) je:

Uvesti emo oznake:

Tada izraz (16) postaje:

Konstanta B je:

Ako u izrazu (17) uvedemo oznaku:

Dobiemo:

Uvesti emo i oznaku:

Pa dobijamo:

Izraz (19) predstavlja jednainu konusnog presjeka koaj predstavlja zapravo jednainu posmatrane take. Pri tome imamo etiri sluaja: za e=0 imamo krunicu za 0 < e < 1 imamo elipsu za e=1 imamo parabolu za e > 1 imamo hiperbolu

Kretanje vjetakih Zemljinih satelitaAnaliziraemo uslove na poetku kretanja vjetakog Zemljinog satelita kojeg posmatramo kao materijalnu taku. U zavisnosti od tog po kakvoj putanji oko Zemlje se on treba dalje kretati.Poet emo od izraza:

masa zemlje masa satelitaNa povrini zemlje je : Tako da je iz izraza (1) i (2) :

R radijus Zemlje S obzirom na ranije uvedenu oznaku:

Dobiemo:

Dalju analizu emo provesti za uslove: za i H