DINAMIKA ROTASI

Topik Hari Ini

Kinematika Rotasi v.s. Linier (translasi)

Dinamika Rotasi dan torka (torque)

Usaha dan energi

Momentum Angular

Menggelinding

Rotational v.s. Linear Kinematics

Angular Linear

constant=

t0 +=

200 t

21

t ++=

ttanconsa

atvv 0 +=

200 at

21

tvxx ++=

Untuk suatu titik pada jarak R dari sumbu rotasi:

x = Rv = Ra = R

Contoh:

Sebuah roda berputar dengan kecepatan angular awal 0 = 500 rad/s. Pada t = 0 ia mulai melambat dengan laju 0.5 rad/s2. Berapa lama waktu yang diperlukan untuk berhenti?

Ingat bahwa = - 0.5 rad/s2.

0 t Pakai untuk memperoleh t pada = 0 :

t

0

min./.

/716s1000

srad50

srad500t

2 Sehingga

Dinamika Rotasi dan TorkaWhat makes it spin?

Andaikan bahwa gaya yang beraksi pada suatu massa

dibatasi untuk bergerak melingkar. Tinjau percepatan

dalam arah pada suatu saat tertentu :a = r

Gunakan Hk-II Newton dalam arah :F = ma = mr

rF = mr2r

a

F

m

r^

^

^

^

F

Kalikan dengan r :

Dinamika Rotasi dan Torka …What makes it spin?

rF = mr2 gunakan

Definisikan torque (torka) : = rF. adalah gaya tangensial F

dikalikan dengan lengan gaya r.

Torka memiliki arah:+ z untuk membuat sistem berputar

berlawanan arah jarum jam.- z untuk membuat sistem berputar

searah arah jarum jam.

I=

I=

2mr=I

r

a

F

m

r^

^

F

Dinamika Rotasi dan Torka …What makes it spin?

Sehingga untuk kumpulan banyak yg tersusun dalam konfigurasi yg tegar:

r1

r2r3

r4

m4

m1

m2

m3

F4

F1

F3

F2

ii

2ii

iii rmFr

,

i I

ii I

Karena partikel-partikel terhubung secara tegar,mereka memiliki percepatan yang sama .

INET

Dinamika Rotasi dan Torka … What makes it spin?

NET = I

Ini adalah analogi rotasi untuk Hukum II Newton FNET = ma

Torka merpakan analogi rotasi untuk gaya : The amount of “twist” provided by a force.

Moment inersia I merupakan analogi untuk massa. Jika I lebih besar, lebih besar torka yg diperlukan untuk memperoleh percepatan angular tertentu.

Satuan Torka kg m2/s2 = (kg m/s2) m = Nm.

Usaha

Tinjau usaha oleh gaya F yang beraksi pada suatu massa dibatasi untuk bergerak mengitari suatu sumbu tetap . Untuk perpindahan kecil sekali d:

dW = F.dr = FR d cos()

= FR d cos(90-) = FR d sin()

= FR sin() d dW = d

Integrasikan: W = Analogi dengan W = F •r W akan negatif jika dan mempunyai arah berlawanan!

R

F

dr = R ddaxis

Usaha & Energi Kinetik

Ingat Teorema Usaha / Energi Kinetic : K = WNET

Ini benar secara umum, dan dapat diaplikasikan pada gerak rotasi sebagaimana halnya gerak translasi.

Sehingga untuk suatu benda yang berputar terhadap suatu sumbu tetap:

NET2i

2f W

2

1K I

Daya Rotasi

Usaha yang dilakukan oleh suatu torka yang menyebabkan perpindahan diberikan oleh:

Sehingga Daya (P) yang diberikan oleh suatu torka konstan adalah:

W

PdW

dt

d

dt

Contoh 1: Piringan & Tali

Sebuah tali tak bermassa dililitkan 10 kali pada sebuah piringan dengan massa M = 40 g dan jari-jari R = 10 cm. Piringan ini berotasi tanpa gesekan terhadap suatu sumbu tetap yang melalui pusatnya. Tali ditarik dengan gaya F = 10 N sampai lepas semuanya dari piringan. (Asumsikan tali tidak slip, dan pada awalnya piringan tidak berputar).

Seberapa cepat piringan berputar setelah tali lepas?

F

RM

Piringan & Tali...

Kerja yang dilakukan adalah W = Torka = = RF (since = 90o)Perpindahan angular adalah 2 rad/rev x 10 rev.

F

RM

Sehingga W = (.1 m)(10 N)(20rad) = 62.8 J

Piringan & Tali...

WNET = W = 62.8 J = K 12

2I

IngatI untuk piringan terhadapsumbu pusanya diberikan oleh:

I 1

22MR

K MR W

12

12

2 2sehingga

4 4 62 8

04 12 2

W

MR

J

kg

.

. .= 792.5 rad/s

RM

Momentum Angular (Momentum Sudut)

Tool penting yang lain untuk menyelesaikan persoalan adalah Kekekalan Momentum.

Kita telah mengenal: p = mv dan F = dp/dt. (1)

Jika kita kalikan kedua sisi dari (1) dengan jari-jari r, diperoleh (dengan v = wr):

t = r F = r dp/dt = d(r p)/dt = dL/dtDimana L = r p, didefinisikan sebagai Momentum

Sudut.

Kekekalan Momentum Sudut

St = dL/dtSama seperti F = dp/dt yang mengarah kepada kekekalan

momentum jika tidak ada gaya luar,

maka St = dL/dt mengarah kepada kekekalan momentum angular jika tidak ada torka luar.

Ingat: p = mv, dan

L = r p = r mv = r m vq = r m wr = mr2w = Iw

Contoh 2: Katrol dan Benda Jatuh

Sebuah massa m yang dililitkan dengan tali pada sebuah katrol dengan jari-jari R yang menempel pada suatu roda yang berat. Momen Inersia dari katrol + roda adalah I. Tali tidak slip terhadap katrol.

Mulai dari saat diam, hitung berapa lama waktu yang diperlukan oleh massa untuk jatuh sejauh L.

I

m

R

T

mg

a

L

Katrol dan Benda Jatuh...

Untuk massa yang bergantung: F = ma mg - T = ma

Untuk katrol + roda: = I

= TR = I Gunakan: a = R

Sekarang hitung a dari persamaan di atas:

I

m

R

T

mg

a

L

amR

mRg

2

2 I

TRa

RI

Katrol dan Benda Jatuh...

Gunakan kinematika1-D , kita dapat menghitung waktu yang diperlukan oleh massa untuk jatuh sejauh L: I

m

R

T

mg

a

L

amR

mRg

2

2 I

L at1

22

tL

a

2

dimana

Rotasi di sekitar sumbu yang bergerak

Tali dililitkan pada suatu piringan dengan massa M dan jari-jari R. Piringan mula-mula diam pada permukaan horisontal yang licin. Tali ditarik dengan gaya F dan tidak slip.

Tentukan panjang tali L yang terlepas setelah bergerak sejauh D?

F

RM

Top view

Rotasi di sekitar sumbu yang bergerak...

Pusat massa bergerak mengikuti F = MA

F

M A

AF

M

D AtF

Mt

1

2 22 2 Jarak yg ditempuh pusat massa :

RI

1

22MR

MRF2

MR21

RFI 2

===

Piringan akan berputar terhadap CM mengikuti = I

1

22 2t

F

MRt Sehingga perpindahan angular:

Rotasi di sekitar sumbu yang bergerak...

Kita tahu jarak yang ditempuh CM dan sudut rotasi terhadap CM sebagai fungsi waktu:

D

F

DF

Mt

22

F

MRt 2

F

Bagi (b) dengan (a):

(a) (b)

D R

2

R D 2

L

Panjang tali yg telah ditarik adalah L = R:

L D2

Comments on CM acceleration:

We just used = I for rotation about an axis through the CM even though the CM was accelerating! The CM is not an inertial reference frame! Is this OK??

(After all, we can only use F = ma in an inertial reference frame).

YES! We can always write = I for an axis through the CM.This is true even if the CM is accelerating.We will prove this when we discuss angular momentum!

F

R

M A

Menggelinding (Rolling)

Suatu benda dengan massa M, jari-jari R, dan momen inersia I berputar ke bawah tanpa slip pada bidang miring dengan kemiringan terhadap bidang datar. Hitung percepatannya?

SARAN: Tinjau gerak pusat massa dan rotasi terhadap pusat masaa secara terpisah ketika menyelesaikan persoalan ini

R

I

M

Menggelinding…

Gesekan static f menyebabkan menggelindingAda dua kasus menggelinding:

1. Menggelinding tanpa tergelincir (menggelinding murni)

2. Menggelinding dan tergelincir secara serempak

Menggelinding...

Gesekan static f menyebabkan menggelinding. Besaran ini tidak diketahui, harus diselesaikan.

Pertama-tama tinjau dulu diagram benda bebas dari benda dan gunakan

FNET = MaCM : Dalam arah x : Mg sin - f = Ma

Sekarang tinjau rotasi terhadap pusat massa CM dan gunakan = I = Rf dan a = R

R

M

f

Mg

y

x

R

aRf I f

A

RI 2

Menggelinding...

Kita punya dua persamaan:

Eliminasi untuk f:

2R

aIf

IMR

sin MRg

2

2 a

A R

I

M

sin

7

5

MR52

MR

sin MRg

22

2

ga

Untuk bola:

mafsinMg =-

Contoh 3: Dua silinder menggelinding

Dua bua silinder homogen terbuat dari aluminium. Silinder yang satu memiliki jari-jari dua kali yang lainnya.

Jika keduanya diletakkan pada puncak bidang miring yang sama dan dilepaskan, mana yang paling cepat sampai di bawah?

(a) Yang besar

(b) Yang kecil

(c) sama

Contoh 3: Dua silinder menggelinding ..

Tinjau salah satu. Katakan jejari R, massa M dan jatuh dari ketinggian H.

H

Konservasi energi: - DU = DK MgH MV 12

12

2 2I

I 12

2MR VR

tetapi dan

MgH MRV

RMV

12

12

12

22

22

MgH MV MV MV 14

12

34

2 2 2

Contoh 3: Dua silinder menggelinding…

H

MgH MV34

2Sehingga: gH V34

2

V gH 43

Jawab, (c) tidak bergantung pada ukuran,

Selama bentuknya sama!!

Menggelincir untuk menggelinding

Sebuah bola bowling bermassa M dan jejari R dipukul dengan kecepatan awal v0. Mula-mula tidak berputar. Setelah menggelincir dengan gesekan kinetik sejauh jarak D, bola akhirnya berputar tanpa slip dan mempunyai kecepatan baru vf. Koefisien gesekan kinetik antara bola dan bidang adalah . Hitung kecepatan akhir, vf, dari bola!

vf= R

f = Mgv0

D

Menggelincir untuk menggelinding...

Selama tergelincir, gaya gesekan akan mempercepat bola dalam arah (-x) : F = -Mg = Ma sehingga a = -g

Laju bola menjadi v = v0 - gt (a) Gesekan juga memberikan torka terhadap pusat massa

bola.Gunakan = I dan ingat bahwa I = 2/5MR2 untuk bola pejal terhadap sumbu yang melalui pusat massa:

D

x

2MR52

MgR ==R2g5

=

f = Mg

tR2g5

t0

=+= (b)

v f= R

v0

Menggelincir untuk menggelinding...

Kita punya 2 persamaan:

Pakai (b) untuk menghitung t sebagai fungsi

Substitusi ke (a) dan gunakan vf = R (kondisi menggelinding tanpa slip):

D

x

tR2g5

=v v gt 0 (a) (b)

tR

g

2

5

v vf 5

7 0

f = Mg

Tidak bergantung

pada , M, g!!

vf= R

v0

Pesawat Atwood dengan katrol bermassa

Suatu pasangan massa digantung pada sebuah katrol massif ( bermassa) seperti pada gambar. Hitung percepatan dari pasangan massa.

m2m1

R

M

y

x

m2g

aT1

m1g

a

T2

Untuk massa yg digantung: F = ma

-m1g + T1 = -m1a

-m2g + T2 = m2a

Ia

RMRa

1

2

Ia

R

I 1

22MR(Karena untuk piringan)

Untuk katrol = I

T1R - T2R

Atwoods Machine dengan katrol bermassa...

Kita punya 3 persamaan dengan 3 yang tidak diketahui (T1, T2, a). Selesaikan untuk a.

-m1g + T1 = -m1a (1)

-m2g + T2 = m2a (2)

T1 - T2 (3)

am m

m m Mg

1 2

1 2 2

1

2Ma

m2m1

R

M

y

x

m2m1

m2g

aT1

m1g

a

T2

Review Persamaan Gerak Rotasi

Pada prinsipnya kita ganti F dengan t, m dengan I, v dengan w, a dengan , a dan p dengan L (dimana L adala momentum angular):

S F = ma S t = Ia

Work = = F ds Work = t dqPower = F v Power = t w

KE = (1/2)mv2 KErotation = (1/2)Iw2

p = mv L = IwS F = Dp/Dt S t = DL/Dt .