ДИНАМИКА САВРШЕНОГ ФЛУИДА

Савршени флуид – онај у коме нема трења за време његовог кретања.

У природи нема савршених флуида.

Ојлеровa једначинa

Посматра се у струјном пољу произвољнa маса m (запремина V)

флуида, ограничена спољашњом површи A. На флуид, садржан у

запремини V, делују:

укупна сила притиска

V

dVf

.Adp

A

укупна запреминска сила

1

Збир ових сила износи:

.dV)pgradf(AdpdVf

VAV

Када се флуид креће, делују још и инерцијске силе.

Према Њутновом закону силa инерције једнакa је збиру запреминских и површинских сила.

.dVdt

vd

dt

vddmadm

V

.dVdt

vd

2

( ) ( ) 0.

V V V

dv dvdV f gradp dV f gradp dV

dt dt

Једначина важи за произвољну запремину V флуида, па претходни

интеграл представља неодређени интеграл. Зато подинтегрална

функција мора бити једнака нули, одакле следи

(Ојлерова диференцијална једначина за кретање флуида) - запреминскa силa рачунатa за јединицу масе,

- инерцијскa силa по јединици масе флуида.

.pgrad1

fdt

vd

f

dt/vd

(1)

За укупну масу:

Овој једначини одговарају три скаларне једначине:

Леве стране једначина (2) представљају тоталне изводе пројекција

брзине по времену, односно пројекције убрзања.

1 1 1, , .

yx zdvdv dvp p p

X Y Zdt x dt y dt z

(2)

3

Пошто је

( )x y z

dv v v v v va v v v

dt t x tv

zv

y

па пројекције убрзања на осе Декартовог координатног система гласе:

,

,

.

x x x x xx x y z

y y y y y

y x y z

z z z z zz x y z

dv v v v va v v v

dt t x y z

dv v v v va v v v

dt t x y z

dv v v v va v v v

dt t x y z

dv v v dx v dy v dza

dt t x dt y dt z dt

следи (а)

Ојлерове једначине (2) у развијеном облику:

Други, трећи и четврти члан на левим странама једначина (3)

називају се квадратним члановима.

.z

p1Z

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

,y

p1Y

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

,x

p1X

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

zz

zy

zx

z

yz

yy

yx

y

xz

xy

xx

x

(3)

4

Ојлерове једначине садрже 5 непознатих величина:

- 3 пројекције брзине,

- притисак

- густина.

За њихово одређивање неопходно је пет једначина:

- 3 скаларне Ојлерове једначине

- једначина континуитета и

- карактеристична једначина.

Због даљег решавања погодно је трансформисати израз за убрзање (а)

Полази се од векторског производа

који се може развити по обрасцу из теорије поља:

С друге стране је

За случај да је

биће:

па је други члан у изразу за убрзање из једначине (а)

1 2v rotv

1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) .v rot v v v v v v v

5

.)vv()vv()vv()vv(grad 21212121

vvv 21

2 21( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )

2

( ) ( )( ) ( )

grad v v grad v v v v v grad v

v rot v v v v v v v v rotv vv

21( ) ( ) ( ).

2v grad v v rot vv

Сада израз за вектор убрзања флуидног делића може да се напише

у облику

Његовом заменом једначина (1) добија облик:

(трансформисана Ојлерова једначина).

Ојлерове диференцијалне једначине за кретање (савршеног)

флуида (3) представљају систем нелинеарних парцијалних

спрегнутих диф. једначина, за које не постоји опште решење.

Постоје нека посебна решења која се добијају под одређеним

условима струјања флуида (када се тражене величине врло мало

мењају у току времена, када се брзине у међусобно паралелним

равнима сасвим незнатно разликују или када је битно само струјање

у једном правцу). Ојлерове једначине се тада упрошћавају, јер се

поједини чланови у једначинама могу занемарити.

.)vrotv(2

vgrad

t

v

dt

vda

2

.pgrad1

f)vrotv(2

vgrad

t

v 2

(4)

6

Добијена решења треба да задовоље почетне и граничне услове.

Почетни услови дефинишу стање флуида, односно вредности

брзине, густине и притиска у почетном тренутку времена.

Гранични услови представљају ограничења на површинама у

погледу v или p које ограничавају масу флуида која се креће.

Различити су, зависно од проблема струјања. Ако се, нпр. флуид

додирује са крутим телом онда нормалне компоненте брзине

флуида и крутог тела морају бити једнаке. У противном, флуид би

се одвојио од тела.

• Код струјања реалног флуида, делићи флуида се лепе за зидове

опструјаваног тела, па је релативна брзине флуида једнака нули.

• За случај струјања нестишљивог флуида када се формира

слободна површина, брзина делића флуида на њој не може имати

нормалну компоненту, јер би то значило да делићи флуида пролазе

кроз ову површину, што не одговара слободној површини. На овој

површини у свим тачкама притисак флуида мора бити pa.

• Код многих проблема струјања притисак на граничним површинама

је константан или је позната функција положаја и времена.

7

Бернулијево решење Ојлерових једначина

Ојлерове једначине могу да се реше само под одређеним условима.

За устаљено струјање баротропног флуида у пољу конзервативних сила, поменути услови гласе:

Из услова баротропности следи

па се трансформисана Ојлерова једначина (4)

0, ( ),p f gradUt

.)vrotv(dp

U2

vgrad

2

(7)

8

(4’)

Множењем једначине са усмереним елементом струјнице она

се пројектује на струјницу, односно путању. Пошто су вектори и

колинеарни, мешовити производ на десној страни је једнак нули

/ dL

Ld

v

Ld

.0vrot)vLd(Ld)vrotv(

1 dpgradp grad

своди на облик

.pgrad1

f)vrotv(2

vgrad

t

v 2

За било коју скаларну функцију је

па лева страна једначине (4’), после множења са , прелази у

диференцијал израза у загради. Тако се долази до уопштене

Бернулијеве једначине

,ddzz

dyy

dxx

Ldgrad

Ld

0

dpU

2

vd

2

.eC.Constdp

U2

v2

(8)

9

Бернулијева једначина је везана за струјницу. Лева страна једначине

(8) не мења се дуж исте струјнице. Константа C има другу вредност

чим се пређе са једне на другу струјницу. Она се одређује из познатих

вредности физичких величина за неку тачку на струјници. Ако је у

некој конкретној тачки М0

;,pp,UU,vv 0000

220

002 2

vv dp dpU U

уопштена Бернулијева једначина за две тачке на посматраној

струјници гласи

Бернулијева једначина за струјање

нестишљивог флуида

За нестишљиви флуид важи Ако нестишљиви флуид

струји у пољу Земљине теже, онда је функција силе одређена

изразом па се једначина (8) своди на

(10)

За две тачке М и М0 на истој струјници важи Бернулијева једначина у

ужем смислу

.const0

U gz

.eC.Constzgp

2

v2

,zgp

2

vzg

p

2

v0

020

2

z , z0 - висине тачака M и M0 у односу на изабрану

хоризонталну раван.

(11)

10

Пресек dA струјног влакна неизмерно је мали па се Бернулијева

једначина (10) може применити и за струјно влакно савршене

течности. За било која два пресека 1-1 и 2-2 струјног влакна ова

једначина гласи

z1, z2 - положај (тежишта) пресека струјног влакна у односу на

упоредну хоризонталну раван.

Једначина (12) се примењује и за два пресека струјне тј. техничке

цеви, кроз коју течност протиче. Тада физичке величине у (12)

представљају њихове средње вредности у уоченим пресецима.

- кинетичка енергија

gz - потенцијална енергија (јединице масе течности)

- притисна енергија.

2 21 1 2 2

1 2 .2 2

v p v pgz gz

2/v2

/p

(12)

11

Збир ових енергија назива се струјном енергијом јединице масе

течности. Величине e у (10) означава укупну струјну или механичку

енергију јединице масе нестишљивог флуида.

Ако се (10) подели са убрзањем земљине теже, следи

(13)

- брзинска висина (брзински напор)

- пијезометарска висина (пијезометарски напор)

z - геодезијска висина (геодезијски напор)

Hu - укупни или пуни напор струје течности

2

. ,2

uv p

z Const Hg g

g2/v2

g/p

12

За случај да је струјно влакно (цев) хоризонтално (z = const.),

Бернулијева једначина (10) гласи

p - струјни притисак течности,

- динамички притисак.

Притисак увек опада када, на истој висини z, брзина струјања

течности расте, и обрнуто.

На местима где је брзина једнака нули, притисак има највећу

вредност и назива се тотални притисак.

Бернулијева једначина има изузетан значај за технику -

најважнија једначина у хидраулици.

2

.,2

p vconst

2/v2

(14)

13

Коши - Лагранжево решење Ојлерове једначине

Ојлерове једначине се могу интегралити и у случају када је струјање

неустаљено, али под условом да брзина има потенцијал.

Зато се посматра потенцијално нестационарно струјање

баротропног флуида у пољу конзервативних сила:

1( ), , ,

dpp gradp grad f gradU v grad

)t,z,y,x()t,r(

14

Код потенцијалног струјања је , па се трансформисана

Ојлерова једначина (4)

своди на облик

0vrot

pgrad1

f)vrotv(2

vgrad

t

v 2

.dp

Ugrad2

vgrad

t

v 2

- потенцијал брзине

(15)

Па једначина (15) гласи

Kако градијент представља само операцију просторног

диференцирања, то услов да градијент буде једнак нули захтева да

израз у загради претходне једначине не зависи од координата x, y и z.

tgrad)grad(

tt

v

.0dp

U2

v

tgrad

2

15

Израз у загради може да зависи једино од времена t па је зато

Једначина (16) представља решење Ојлерове једначине за

потенцијално струјање (Коши - Лагранжева једначина).

Величина C(t) је функција времена t и важи за целокупно струјно поље.

.)t(Cdp

U2

v

t

2

(16)

Градијент представља операцију просторног диференцирања па се

код првог члана претходне једначине може извршити промена реда

операција и grad. / t

Ако је струјање истовремено и устаљено, онда је

, па се једначина (16) своди на 0t/ ,C.const)t(C

.C.constdp

U2

v2

(17)

16

Једначина (17) је основна динамичка једначина потенцијалног

устаљеног струјања (савршеног) флуида.

Формално она је истоветна са уопштеном Бернулијевом једначином

(8). Међутим, овде константа C' важи за целокупни струјни простор.

Услов је нереалан (јер је струјање реалног

флуида углавном вртложно), па се Коши - Лагранжева једначина не

примењује у практичној механици флуида.

У хидраулици се искључиво користи проширена Бернулијева

једначина за струјање реалне течности.

)gradv(0vrot

Коши - Лагранжева једначина (16) се за случај нестишљивог

флуида своди на

тј. на

Погодним увођењем нове функције може да се из једначине

(18’) елиминише величина C(t). Тако се долази до једначине из које

се, после одређивања потенцијала, одређује притисак p у флуиду.

.)const( 0

,)t(Cp

U2

v

t

2

.)t(Cp

Uzyx2

1

t

222

1

(18)

(18’)

17

ЗАКОНИ О ПРОМЕНИ КОЛИЧИНЕ КРЕТАЊА

И О МОМЕНТУ КОЛИЧИНА КРЕТАЊА

Ови закони се често користе у техничкој пракси.

У механици флуида примењују се при одређивању :

дејства струје течности на чврсте преграде

брзине простирања звука у стишљивом флуиду,

реакције млаза за време истицања флуида.

У струјном пољу се посматра маса

m флуида која се налази у

запремини V ограниченој

затвореном глатком површи Am(t)=A.

Одговарајућа затворена глатка

површ назива се материјалном или

граничном површи.

18

Елементарна и укупна количина кретања масе dm у запремини dV су:

Одговарајући моменти количине кретања су:

Закон о промени количине кретања и закон о моменту количина

кретања гласе:

Извод количине кретања неке масе флуида по времену једнак је

збиру свих сила које делују на ту масу флуида.

Извод момента количина кретања (око тачке - осе О) по времену

једнак је збиру момената (око исте тачке - осе О) свих сила које

делују на систем.

.dK vdm vdV .

V

K vdV

( ) ( ) ( ) ,OdL r dK r vdV r v dV ( ) .O

V

L r v dV (20)

(19)

(21) (22)

Силу чине спољашње силе (сила земљине теже), силе трења, силе

притиска на граничним површима, као и силе реакција веза.

, ( ) .o

oR R

V V

dK d dL dvdV F r v dV M

dt dt dt dt

RF

19

У заједничком међупростору запремина V и V' (шрафирани део на

слици) нема промене количине кретања. Она се јавља само због

делића који заузму део новог простора V' (нешрафирани део ) и

због делића који напусте део запремине V (нешрафирани део VI). IIV

Трансформација израза за

промену количине кретања

- угао између вектора и

Запремина елементарног цилиндра је:

Количина кретања елементарне запремине износи:

док је њена промена у јединици времена

cos ,vdt

dA .v

cos ( ) .dV dAvdt v dA dt

( ) ,dK vdm v dV v v dA dt

( ).dK

v v dAdt

У току кретања сваки површински елемент dA површи A описује за време dt елементарни цилиндар висине

20

За десни нешрафирани део, односно за запремину овај израз је

позитиван, јер вектори и граде оштар угао. За леви

нешрафирани део, тј. за запремину VI вредност овог израза је

негативна, јер је одговарајући угао туп. Међутим, како се при

срачунавању укупне промене количине кретања ова вредност за леви

део запремине одузима, то се поново добија знак плус. Зато је:

IIV

IVIIV

)Adv(v)Adv(v

( ) ( ) ( ).

NbE NdEA A A

v v dA v v dA v v dA

v

Ad

21

Закон о промени количине кретања (21) при устаљеном струјању

флуида сада гласи:

На сличан начин се може доћи до погоднијег израза и за промену

момента количине кретања при устаљеном струјању:

A

,F)Adv(vdt

KdR

A

.M)Adv()vr(dt

Ld O

R

O

(23)

(24)

Из (23) може да се добије једноставнији аналитички израз закона о

промени количине кретања и за струјну (техничку) цев.

Интеграл у (23) се своди на три интеграла

2A1AomAA

,)Adv(v)Adv(v)Adv(v)Adv(v

22

Први интеграл на десној страни је једнак нули, пошто су свуда по

омотачу струјне цеви вектори и међусобно управни

( ) 0,v dA

v

omAdAd

Имајући у виду да је

,QQAvQAv 222s111s

и водећи рачуна о смеровима вектора брзина и елементарних

површина за пресеке A1 и A2 други и трећи члан се своде на:

1 1

2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2

( ) cos180

( ) cos0 .

s s s s

A A

s s s s

A A

v v dA v v dA v v A Q v Qv

v v dA v v dA v v A Q v Qv

23

,)vv(Q)Adv(v 1s2s

A

па закон о промени количине кретања у хидраулици гласи:

.F)vv(Qdt

KdR12

(25)

При струјању течности кроз стварну цев ова резултанта износи

- сила притиска течности у пресеку 1-1,

- сила притиска у пресеку 2-2,

- сила Земљине теже и

- реакција омотача цеви која је резултанта силе

притиска и силе трења по омотачу.

Течност делује на зидове цеви између пресека 1-1 и 2-2 силом

- сила акције, односно сила дејства течности на омотач цеви.

,RGPPF 21R

1P

2P

G

R

RN

N

(26)

24

• Силе притиска рачунају се са натпритисцима у одговарајућим

пресецима цеви и усмерене су ка пресеку (делови који долазе од

атмосферског притиска се поништавају).

• Код тачнијег решавања потребно је у једначини (25) средње

брзине помножити Бусинесковим бројем . Тада закон о промени

количине кретања гласи

.F)vv(Q R12

(27)