Dinamika Viskoznog Fluida 2013

1 MEHANIKA FLUIDA B – Izvodi sa predavanja, N. Stevanović

6. DINAMIKA VISKOZNOG FLUIDA

6.1 Navije Stoksova jednačina– zakon održanja količine kretanja

Pri strujanju viskoznog fluida vektor napona ima i normalnu i tangencijalnu komponentu. Normalna projekcija vektora napona u sebi sadrži pritisak i deo napona koji je posledica napona usled viskoznog strujanja fluida.

xx yx zx

n xy yy zy

xz yz zz

p P n P

,,xx xx yy yy zz zzp p p

Hipoteza o normalnim naponima: 03

xx yy zz

xx yy zzp

Diferencijalne jednačine količine kretanja viskoznog fluida proizilaze iz II Njutnovog zakona: promena količine kretanja fluida u materijalnoj zapremini u vremenu jednaka je sumi svih sila koje deluju na taj fluid. Promena količine kretanja u materijalnoj zapremini je:

mV

Dd = d = d = d

Dm m mm uV m uV V

K D D DU DUU V U m m V

t Dt Dt Dt Dt

Na posmatranu masu fluida deluju zapreminske sile i površinske sile, pa se zakon održanja količine kretanja može napisati kao:

Vm,m

n dA

,dV

m

F

nnp

ntp

md dR F V

np

nd dnR p A


d = d + d

m m m

n

V V A

DUV F V p A

Dt

d = d d

. . : d d

m m m

yx zn x x y y z z

A A V

x

A V

pp pp A p n p n p n A= V

x y z

G O n A Vx

pa se drugi Njutnov zakom može napisati na slededi način:

Dd + d

D

D+

D

m m

yx z

V V

yx z

ppU pV F V

t x y z

ppU pF Opšta jednačina dinamike fluida

t x y z

Projekcije opšte jednačine na pravce x, y, z:

1:

1:

1:

yxxx zxx

xy yy zy

y

yzxz zzz

pp pu u u ux u v w F

t x y z x y z

p p pv v v vy u v w F

t x y z x y z

pp pw w w wz u v w F

t x y z x y z

Dakle, pri strujanju viskoznog fluida nepoznate veličine su:

, , , , , , , , , , ,xx xy xz yy yz zzu v w p p p p p p p T . Kao što je poznato na raspolaganju je 6 jednačina

(jednačina kontinuiteta, jednačina količine kretanja, jednačina energije i jednačina stanja), što je za 6 manje od broja nepoznatih. Da bi se prevazišao ovaj problem bilo je potrebno nadi vezu između komponenti tenzota napona i polja brzine. Ta veza data je Stoksovom hipotezom o naponima koja je postavljena na osnovu uopstene Njutnove hipoteze (linearna veza između brzine deformisanja i napona):

.( )

2 div

1 1

0 0

ik ik ik ik

statika neviskozno

const Njutnova hipoteza

const

xx yy zz

ik

Kronekerov xy yz xzsimbol

p p S v

i k

i k


Normalni naponi:

2 ,

2

2

xx

yy

zz

Njutnova hipoteza

Stoksov hipoteza

up divU

x

vp divU

y

wp divU

z

Zbir normalnih napona usled viskoznosti mora da bude 0. Za .const to je zadovoljeno

samo sa Njutnovom hipotezom tj. tada je 2 0xx yy zz divU , dok za .const

0divU , pa ovaj uslov nije zadovoljen sa Njutnovom hipotezom. Da bi ovaj uslov bio zadovoljen i u slučaju strujanja stišljivog fluida dodaje se još jedan član, pa je sada:

22 3 0

3xx yy zz divU divU

Tako su pojedine komponente tenzora napona:

1 22

2 3xx

u u u v wp p

x x x y z

12

2

12

2

xy

xz

u vp

y x

u wp

z x

..... Zamenom ovih komponenti tenzora napona u opštu jednačinu količine kretanja za x pravac:

1 1 2: 2

2 3

1 1

x

u u u u u u u v wx u v w F p

t x y z x x x x y z

u v u w

y y x z z x

Ako je const .

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

1:

2

3

x

u u u u px u v w F

t x y z x

u u u v w u v u w

x x x x y x z y x y z x z


2 2 2

2 2 2

div

1:

1

3

x

u U

u u u u px u v w F

t x y z x

u u u u v w

x y z x x y z

Na isti način dobijaju se diferencijalne jednačine količine kretanja i za y i z pravac. Sada je:

D 1 1: div

D 3

D 1 1: div

D 3

D 1 1: div

D 3

x

y

z

u px F u U

t x x

v py F v U

t y y

w pz F w U

t z z

Nakon množenja ovih jednačina odgovarajudim jediničnim vektorima i njihovog sabiranja dobija se vektorski oblik opšte diferencijalne jednačine kretanja tj. vektorski oblik Navije-Stoksove jednačine:

D 1 1grad grad(div )

D 3

UF p U U

t

Ako je strujanje fluida nestišljivo . div 0const U Navije-Stoksova jednačina svodi

se na:

D 1grad

D

UF p U

t

Ovo je parcijalna nelinearna diferencijalna jednačina drugog reda. Nelinearni član potiče od ubrzanja i predstavlja najvedi problem pri rešavanju. Opšte tačno rešenje nije nađeno. Rešenje je mogude nadi samo u specijalnim slučajevima. Pri rešavanju koristi se granični uslov da je na zidu brzina jednaka brzini zida što je posledica viskoznosti.

6.2 Primena Navije-Stoksove jednačine na stacionarno jednodimenzijsko strujanje fluida Zakon održanja količine kretanja (Lagranžev pristup):

mV

d = d + d

m m

n

V A

DU V F V p A

Dt


Primenom Rejnolds-Lajbnicove teoreme definiše se zakon održanja količine kretanja za kontrolnu zapreminu (Ojlerov pristup):

d d = d + dn

V A V A

UV + U U n A F V p A

t

Pod pretpostavkom da je strujanje stacionarno i kvazijednodimenzijsko (jedna komponenta brzine koja se menja u pravcu strujanja i po poprečnom preseku) jednačina za strujanje kroz cev je:

2 2

d = d + d

1 w 1 w

n

A=A A A V A=A A A

U U n A F V p A

d d

1 2A A

U U n A+ U U n A+ U U n 0

d = d + d + d + d

w 1 2 w

w

n n n

А V A A A

R sila kojom zid cevideluje na fluid

A F V p A p A p A

f wP R

fP - sila kojom fluid deluje na cev

1 22 1 2

d d + d + d d

1 1 2

f n n

Un UnA А A А Vpn pnU U

P U U n A U U n A p A p A F V

Vektor napona u poprečnom preseku cevi sastoji se iz pritiska i napona koji potiče od

viskoznosti. Od

napona usled viskoznosti za kvazijednodimenzijski model strujanja prisutni su

2 , ,xx xy xz

u u u

x y z

. Kako je promena poprečnog preseka spora naponi xx

se mogu zanemariti, a zbog simetrije profila brzine sile koje potiču od napona ixy xz se

uravnotežavaju. Zato se vektor napona u poprečnom preseku svodi samo na np pn .

1n

2n

1U

2U

n U

A1

A2


2 2

1 2 1 1d d d d d

1 2 1 2

f

A A A A V

P n U A n U A pn A pn A F V

Pod pretpostavkom da se radi o nestišljivom strujanju fluida

.const :

2 2

1 2 1 1 1 2 2 2d d

1 2

f

A A

P n U A n U A p A n p A n Vg

-Busineskov koeficijent ili korekcioni koeficijent količine kretanja. Može se pokazati da je

za laminarno strujanje 4 3 , a za turbulentno 1 .

Sada je:

2 2

1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2fP n U A n U A Pn P n Vg

Ako posmatrana kontrolna zapremina ima m ulaza i n izlaza:

2

1

m n

f i i i i i i

i

P n U A P Vg

iP - intenzitet sile pritiska u ulznim I izlaznim presecima

1) i i iP p A - ako se računa samo sila kojom fluid u cevi deluje na cev.

2) i i a iP p p A - ako se uzima u obzir i delovanje okoline gde vlada pritisak ap

6.3 Proširena Bernulijeva jednačina za viskozno strujanje fluid

Navije-Stoksova jednačina :

D 1 1grad grad(div )

D 3

UF p U U

t

Ako je strujanje:

1. stacionarno 0t

,

2. nestišljivo .const

3. u polju konzervativnih sila grad = -F gz F FΦ Φ :

2

grad grad grad2

U pgz U U rotU

Skalarnim množenjem ove jednačine elementom strujnice dl :

2d 2

sr

A

U A= U A


Y

2

0dY

grad d d rot d2

U pgz l U l U U l

2 2

1 1

dY 0

gY gubitak energije fluida

prouzrokovan radom viskoznih sila

U dl

1 2 g

2

g

1

Y Y + Y

Y dU l

Yg- gubitak energije fluida prouzrokovan radom viskoznih sila na putu od 1 do 2 Da bi smo proširili primenu Bernulijeve jednačine i na strujno vlakno koje je dovoljno malog poprečnog preseka dA da se može smatrati da su sve veličine konstantne po poprečnom preseku, pomnožidemo je sa dm (protok kroz strujno vlakno).

2 2 2

1 1 2 21 2 g 2

md d Y d

2 2 s

U p U p kg Jgz m gz m m

s s

Energija fluida u poprečnom preseku strujne cevi u jedinici vremena nalazi se kao integral gornjeg izraza po poprečnom preseku:

1 2

2 2 2

g 2

md d Y d

2 2 sA A A

U p U p kg Jgz U A gz U A U A

s s

1

3 23

1 11 1 1d

2 2 2

sr sr

A

U UUA A m

- Koriolisov koeficijent koji predstavlja korekciju zbog greške koju pravimo kad računamo kinetičku energiju poprečnog preseka preko srednje brzine. Za laminarno strujanje 2 , a za turbulentno strujanje 1 .

A1

A2

dA

1

2 dl


U pravcu n koji je upravan na pravac strujanja brzina je nula pa se Navije Stоksova jednačina za taj pravac svodi na:

10

1cos 0

cos .

.

n

z

pF

n

pg

n

pg n const

pgz const

1

11 1d

A

p pgz U A gz m

Sada je Bernulijeva jednačina za cev:

2 2

1 21 21 1 1 2 2 2 Y

2 2

sr srg

U Up pm gz m gz m

2 2

1 21 21 1 2 2 Y

2 2

sr srg

U Up pgz gz

Energija fluida u preseku 1 (po jedinici mase) jednaka je zbiru energije fluida u nizstrujnom preseku 2 (po jedinici mase fluida) i energiji izgubljenoj usled rada viskoznih sila (po jedinici mase).

6.3.1 Gubici strujne energije

2 2

g

1 1

Y d d dy dU l u x v w z

U - vodi poreklo od napona usled viskoznosti (pri izvođenju Navije Stoksove jednačine,

članovi koji se javljaju kao posledica uticaja viskoznosti, , , , , ,xx yy zz xy xz yzp p p p p p , svode se

na U ).

n

z g


Gubici strujne energije svrstavaju se u dve grupe: gubitke usled trenja i gubitke usled prisustva lokalnih otpora.

Gubici usled trenja Pri strujanju kroz pravu cev polje brzine je takvo da postoji promena brzine po poprečnom preseku, što dovodi do prisustva napona usled viskoznosti, a samim tim i do gubitaka strujne energije usled viskoznosti. Dakle, da bi se javio uticaj viskoznosti neophodno je da polje brzine bude nehomogeno tj. da postoji gradijent brzine. To dovodi do vrtložnosti, tj. do mikrovrtloga koji dovode do gubitka strujne energije fluida. (Postoji klasa strujanja fluida kod kojih polje brzine nije homogeno, ali bez obzira na to 0rotv , pa nema gubitaka energije usled viskoznosti.) Što je gradijent brzine vedi, vedi je i uticaj viskoznosti tj. vedi su gubici strujne energije. U inžinjerskoj praksi nije pogodno koristiti pomenuti integralni izraz ved se ovi gubici izračunavaju pomodu Darsi-Vajsbahovog obrazca:

2

λ

h

Y = λ4 2

l U

R

l-dužina cevi za koju se izračunava gubitak energije, Rh-hidraulički radijus,

h

AR =

O

A-površina protočnog preseka, O-okvašeni obim, Za cev kružnog poprečnog preseka:

U-srednja brzina posmatrane deonice,

Re,D

-koeficijent trenja zavisi od Rejnoldsovog broja

UDRe

i relativne hrapavosti

cevi δ

D.

Određivanje koeficijenta trenja: 1. Za laminarno strujanje ( Re 2320 ) zavisi samo od Rejnoldsovog broja i kaže se da se cev tada ponaša kao hidraulički glatka. Za taj režim strujanja postoji analitički tačan izraz za :

64

Re

D 2

h

π

4= =π 4D

DD

R


Kako je on određen? Za strujanje kroz cev postoji tačno analitičko rešenje:

2 2

4

pU R r

l

na osnovu kojeg se nalazi protok i srednja brzina:

R R 4

2 2

0 0

2

2 2

V = 2 d 2 d4 8

8V

8

srsr

p p RU r r R r r r

l l

UpR pU

R l l R

Sa druge strane iz Bernulijeve jednačine za preseke 1 i 2 koji se nalaze na rastojanju l prave cevi prečnika D sledi:

2 2 2

1 2

2

8 64

2 2D 2D

sr sr sr srU U U Up p l p

D l R Re

Za režime strujanja pri Re 2320 (turbulentna strujanja) nema tačnih analitičkih rešenja, pa nema ni analitičkih rešenja za koeficijent trenja. U cilju određivanja Nikuradze je 1933. godine izvršio obimna eksperimentalna istraživanja. Na unutrašnju površinu cevi nanosio je pesak različite krupnode zrna ( 0,1 1,6mm ) i merio je pad pritiska na njima pri različitim

protocima. Sistematizacijom tih rezultata formirao je dijagram zavisnosti Re,D

.

Međutim, ovaj dijagram nije mogao da se koristi za izračunavanje koeficijent trenja industrijskih cevi. Zato je Kolbruk 1940. izvršio niz eksperimenata na industrijskim cevima, a te rezulrtate je sredio Mudi u jedan log log Re dijagram poznat kao Mudijev dijagram.

Analizom ovog dijagrama uočava se da osim oblasti laminarnog strujanja postoje još četiri karakteristične oblasti: 2. 2320 Re 4000 oblast prelaza laminarnog u turbulentno strujanje. Ova oblast strujanja je nestabilna, pa se izbegava. Za ovu oblast postoji obrazac Zajčenka:

30,0025 Re

3. Re 40D hidraulički glatke cevi (viskozni podsloj prekriva neravnine). Koeficijent trenja

zavisi samo od Re broja i izračunava se pomodu Blazijusovog obrazca:

4

0,3164

Re

1 2

l

D


4. 40 500D Re D hidraulički hrapave cevi (viskozni podsloj delimično prekriva

neravnine). Koeficijent trenja zavisi i od Re broja i od relativne hrapavosti D . Ima nekoliko

poluempirijskih formula za izračunavanje , a jedna od njih je Altšulova: 0,25

680,11

D Re

5. 500Re D potpuno hrapave cevi (viskozni podsloj ne prekriva neravnine). U ovoj

oblasti koeficijent trenja zavisi samo od hrapavosti i za njegovo izračunavanje postoji niz poluempirijskih obrazaca među kojima je najjednostavniji Šifrinsonov:

1 4

0,11D

Gubici energije usled prisustva lokalnih otpora Na mestima gde se remeti pravolinijski tok fluida dolazi do značajnih promena u profilu brzine (višedimenzijsko) što dovodi do pojave makrovrtloga koji oduzimaju energiju od glavne struje fluida. Na tim mestima strujanje više nema jednodimenzijski karakter, ved je višedimenzijsko. U oblasti višedimenzijskih strujanja ne može se primeniti Bernulijeva jednačina. Prisustvo ovih oblasti u strujnom toku uzima se u obzir samo globalno, uvođenjem dopunskih članova koji uzimaju u obzir gubitak energije fluida zbog prisustva lokalnih otpora (koji dovode do višedimenzijskog strujanja i pojave makrovrtloga). Za sve lokalne gubitke energije osim gubitka Bord-Karnoa (naglo proširenje cevovoda) nije mogude odrediti analitički izraz pomodu kog bi oni bili uzeti u obzir prilikom proračuna cevovoda. Za proračun lokalnih gubitaka energije koristi se formula Vajsbaha koja je pokazala dobro slaganje sa eksperimentalnim podacima:

2

Y2

U

koeficijent lokalnog gubitka U nizstrujna brzina


1. Naglo proširenja cevi poznato kao gubitak Bord-Karnoa:

Fluidni delidi usled inercije kojom raspolažu ne mogu da slede naglu promenu poprečnog preseka, ved se odvajaju od zida cevi i na nekom rastojanju od proširenja ponovo se zalepljuju za zid cevi.(B). Ali i u ovom preseku (B) profil brzine nema oblik koji odgovara potpuno razvijenom laminarnom ili turbulentnom strujanju (izraz za razvijeni profil brzina se dobija u okviru tačnih rešenja). Razvijeno jednodimenzijsko strujanje se ponovo uspostavlja u preseku 2 i tek na tom mestu može se ponovo primeniti Bernulijeva jednačina. Između preseka 1 i B uočavaju se dve zone: protočna i mrtva zona. U protočnoj zoni se povedava protočni presek što dovodi do pada srednje brzine i porasta pritiska. U mrtvoj zoni delidi koji se nalaze u blizini protočne zone bivaju povučeni (usled trenja) prema preseku B, ali ne raspolažu dovoljnom kinetičkom energijom da stignu do njega. Zaustavljaju se i kredu ka mestu manjeg pritiska (1). Tako u mrtvoj zoni nastaju makrovrtlozi za čije kretanje je potrebna energija. Ta energija se crpi iz protočne zone i to predstavlja gubitak energije fluida zbog prisustva lokalnog otpora (u ovom slučaju naglog proširenja). U slučaju gubitka Bord-Karnoa gubitak energije se može analitički odrediti: Projekcija jednačine količine kretanja na pravac strujanja za fluid koji se nalazi između preseka 1 i 2:

1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1p A A m U U p A p A p p U U U

Sila koja je posledica tangencijalnih napona nije uzeta u obzir jer se ona uzima kroz gubitke usled trenja. Bernulijeva jednačina za preseke 1 i 2:

2 2

1 1 2 2 Y2 2

U p U p

22 2 2 21 22 2 1 1 2 2 1 1

1 2 2 2 2 1 1.

11

1

2 2 2Turb

U UU U U UY p p U U U

2

1Y2

U

U1

2 0U

1

2 B

U2 U1

p2 p1


2. Naglo suženje:

U slučaju naglog suženja zavisi od odnosa prečnika 2 1D D :

D2/D1 0 (D1>>D2) 0,2 0,4 0,6 0,8 1 (D1=D2) 0,5 0,45 0,38 0,28 0,14 0

Ako se prelaz sa vede šire na užu cev izvede postepeno gubitak energije se znatno smanjuje. 3. Lokalni gubitak u krivini

Na fluid u krivini deluje centrifugalna sila koja se uravnotežava sa gradijentom pritiska. To znači da je na spoljašnjem zidu krivine pritisak vedi nego na unutrašnjem zidu. Zbog neravnomernosti polja pritiska po poprečnom preseku, neravnomerno je i polje brzine, pa strujanje nema jednodimenzijski karakter. U nizvodnom pravolinijskom delu cevovoda pnovo se uspostavlja jednodimenzijski karakter strujanja. Da bi se to ostvarilo pritisak na spoljašnjem zidu raste pa zatim opada, a na unutrašnjem zidu opada pa raste. U oblastima porasta pritiska stvaraju se mrtve zone ispunjene makrovrtlozima. To nije jedini uzrok gubitka energije. Fluidni delidi koji se kredu u blizini ose raspolažu najvedom brzinom, pa je i

centrifugalna sila koja na njih deluje najveda (2

in

UF m

r ). Oni se kredu od unutrašnjeg ka

spoljašnjem zidu. U blizini zida brzina je zbog viskoznosti manja, a samim tim i centrifugalna

R

d

A B

s

u

s

u

1

2

D1 D2


sila. Posledica je nastajanje sekundarnog kretanja fluida, što takođe dovodi do gubitka energije fluida.

2

Y2

g

v

3,5d

0,131 0,163R 90

Ako se cevi spajaju pod uglom :

2

sin cos 1

cos

4. Zatvarač. U zatvarače spadju ventili, slavine, zasuni. Njihov koeficijent lokalnog otpora zavisi od njihove konstrukcije. Na slici je prikazan zasun. Zbog inercije fluidni delidi ne mogu da prate promenu geometrije strujnog prostora zbog čega nastaju mrtve zone i gubitak energije fluida.

a/D 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,06 0,17 0,44 0,98 2,06 4,6 10 35

6.4 Isticanje

6.4.1 Stacionarno isticanje tečnosti kroz otvore i naglavke Ako se nivo tečnosti u rezervoaru održava konstantnim isticanje iz njega bide stacionarno.

1. Isticanje kroz male otvore

D

a

H k

k


Usled inercije fluidni delidi kretade se u blizini otvora po zakruvljenim putanjama, pa u otvoru strujanje nema jednodimenzijski karakter. U preseku mlaza iza otvora k-k strujanje ponovo ima jednodimenzijski karakter (kontrahovani presek). Bernulijeva jednačina za nivo tečnosti u rezervoaru i presek k-k:

2 2

H =2 2

a ap p U Ug

- koeficijent lokalnog gubitka energije zbog makrovrtloga koji nastaju pri isticanju tečnosti.

U – brzina u kontrahovanom preseku

12

1

koeficijent brzine

U gH

Ako ne bi bilo gubitaka 0 , brzina bi bila 2iU gH , pa koeficijent brzine predstavlja:

i

U

U

Odnos između površine kontrahovanog preseka i površine otvora je koeficijent kontrakcije:

kA

A

Protok je:

2 Hk

koeficijent protoka

V UA A g

Za 510Re (2 HD g

Re

) vrednosti koeficijenata su 0,64, 0,97, 0,62 .

Brzina fluida se menja po visini otvora. Za otvore na vedim dubinama ova promena je manje izražena. U zavisnosti od toga da li se može zanemariti promena brzine po poprečnom preseku otvora ili ne razlikukuju se dve vrste otvora:

a) mali (H>>D, dubina na kojoj se nalazi otvor mnogo je veda od visine otvora, pa se brzina u poprečnom preseku otvora malo razlikuje. Otvor na dnu rezervoara uvek se ponaša kao mali)

b) veliki (ne mogu se zanemariti razlike u brzini u otvoru).


2. Isticanje kroz velike otvore

Veliki otvor može se podeliti na niz malih otvora. Brzina kroz posmatrani mali otvor sledi iz Bernulijeve jednačine:

2 21

= 22 2 1

a aU z U zp p

gz U z gz

Protok kroz mali otvor je:

k

k k

k

d = d

d d d = 2g d

= d d

V U A

A x z z V z x z z

A A

Ukupni protok je zbir elementarnih protoka kroz male otvore:

2

1

H

H

= 2g dV z x z z

3. Isticanje tečnosti kroz naglavke

Povedanje protoka pri isticanju tečnosti može se ostvariti smanjenjem kontrakcije mlaza što se postiže ugradnjom naglavaka.

Da bi tečnost ispunila ceo poprečni presek naglavka potrebno je da njegova dužina bude veda od 3 4 prečnika cevi. Pri isticanju kroz naglavke nema kontrakcije mlaza tj. 1

H

D

l

H2 H

H1 z

xk(z)


2 1= (1 ) 2

2 1

a ap p UgH U gH

U-brzina u izlaznom preseku

2

24

DV gH

U poglavlju koje govori o lokalnim gubicima rečeno je da da je vrednost koeficijenta lokalnog gubitka za slučaj naglog suženja 0,5 . Tako sledi da je 0,82 , tj. 0,82 . Sada je

vrednost koeficijenta protoka veda nego u slučaju isticanja kroz otvore, pa je i protoka vedi. Povedanjem dužine naglavka gubitak od trenja je vedi, pa je brzina manja, a samim tim i protok. 6.4.2 Kvazistacionarno isticanje Kada se nivo tečnosti u sudu menja isticanje nije stacionarno. Ali promena nivoa tečnosti je spora, pa se i brzina isticanja tečnosti sporo menja. U diskretnim vremenskim intervalima isticanje se može posmatrati kao stacionarno.

U proizvoljnom trenutku vremena kada se nivo tečnosti spusti do položaja određenog koordinatom z brzina isticanja tečnosti se određuje iz Bernulijeve jednačine:

2 2

0 1=2 2

U z U zp p lgz

D

0 121

2

1

p pU z gz

l

D

0 12

2p p

U z gz

l,D,

H z

dz

k

p0

p1


A protok u tom trenutku je:

20 12

24

p pDV gz

Za vreme dt kroz otvor de istedi dV t . Istovremeno, nivo tečnosti u rezervoaru de se smanjiti za dz.

dd = d

d

V =V tV t -A z z

V = -A z z

20 12

2 d d4

p pDgz t A z z

Vreme pražnjenja rezervoara je:

2

0 1

d4

2

0

H

A z zT = -

D g p pz

g

6.5 Tačna rešenja

6.5.1 Laminarno strujanje između paralelnih ploča

Pretpostavlja se da je: 1. .const ;

2. Jedna komponenta brzine u ( 0v w ); 3. Strujanje je ravansko, što znači da nema promene veličina u pravcu ose z ( 0z );

4. Strujanje je stacionarno ( 0t );

5. Zanemaren uticaj zapreminske sile. U razmatranom modelu jednačina kontinuiteta i količine kretanja svode se na:

x

y

h

1 2

l


2

2

0

1: 0

1: 0

u

x

p ux

x y

py

y

Na osnovu jednačine količine kretanja za y pravac sledi zaključak da se pritisak ne menja u poprečnom preseku kanala, pa on zavisi samo od podužne koordinate x. Sa druge strane, brzina zavisi samo od koordinate y. Kako leva strana jednačine zavisi samo od x, a leva samo od y, da bi mogla da postoji jednakost između njih moraju biti jednake konstanti.

2

2

d d

d d

p uk

x y

Sada je:

1

2

1 2

d

d

2

u ky C

y

k yu C y C

Konstante integracije se nalaze iz graničnih uslova: 0, 0, , 0y u y h u .

1 2, 02

k hC C

Rešenje za polje brzine je:

2

ku y y h

Konstanta k se određuje na slededi način:

1 1 1 1 1 2

2 2 2 2 2 1

d

d

,

,

pk

x

p kx C

x x p p p kx C p pk

x x p p p kx C x x

ili

1 2p pk

l

Sada je nalazi protok (po jedinici širine kanala), srednja brzina i tangencijalni napon na zidu:


3

0 0

2

0

d d2 12

12

2

h h

sr sr

w

y

k khV u y y y h y

khV = u h u

u kh

y

6.5.2 Laminarno strujanje kroz cev

Pretpostavke:

1. .const ;

2. Jedna komponenta brzine u i to u pravcu ose z ( 0ru u );

3. Strujanje je ravansko ( 0 );

4. Strujanje je stacionarno ( 0t );

5. Zanemaren uticaj zapreminske sile. Na osnovu prve dve pretpostavke iz jednačine kontinuiteta sledi da nema promene brzine u pravcu strujanja, pa samim tim nema ni promene količine kretanja. Tako iz zakona održanja količine kretanja za kontrolnu zapreminu ograničenu presecima 1 i 2 i omotačem cilindra poluprečnika r sledi:

1 22 2

1 2 2 02

r p pp r p r r l

l

Za r R :

1 22 2

1 2 2 02

w w

R p pp R p R R

l

Iz ovih relacija zaključuje se da je raspodela tangencijalnog napona po poprečnom preseku cevi linearna:

wr

R

z

l

R

r

2 1

w


Kako je pokazano da je 2

r p

l

, a sa druge strane

u

r

sledi da je:

2

u pr

r l

2

4

pru C

l

Iz graničnog uslova , 0r R u sledi da je 2

4

pRC

l

, pa je rešenje za strujanje kroz cev:

2 2

4

pu R r

l

na osnovu kojeg se nalazi protok i srednja brzina:

R R 4

2 2

0 0

= 2 d 2 d4 8

p p RV u r r R r r r

l l

Hagen-Puazejev zakon ( 4V R )

2

2 2

8

8

srsr

uV pR pu

R l l R

Sa druge strane iz Bernulijeve jednačine za preseke 1 i 2 koji se nalaze na rastojanju l prave cevi prečnika D sledi:

Napomena: Do rešenja za profil brzine na osnovu kog je dobijen i izraz za protok, srednju brzinu, koeficijent

trenja se moglo doći iz Navije-Stoksove jednačine u polarnim koordinatama (na isti način kao što je dobijeno

rešenje za strujanje između paralelnih ploča).

1 2

l

D

2 2 2

1 2

2

8 64

2 2D 2D

sr sr sr sru u u up p l p

D l R Re


6.6 Turbulentno strujanje Turbulentna strujanja su neregularna, uvek nestacionarna, haotična. Za razliku od laminarnih strujanja kod kojih se razmena količine kretanja između pojedinih slojeva odvija na molekulanom, tj. mikroskopskom nivou, kod turbulentnih strujanja se odvija razmena količine kretanja između slojeva i na makroskopskom nivou. Turbulentno strujanje nastaje pri velikim vrednostima Rejnolsdovog broja (za strujanje kroz cev vrednost Rejnoldsovog broja pri kojoj dolazi do prelaza laminarnog u turbulentno

strujanje je 2320,Ud

Re

).

6.6.1 Rejnoldsova jednačina Prosečna vrednost bilo koje fizičke veličine u nekoj tački strujnog prostora definiše se kao vrednost te veličine osrednjene u vremenu.

0

1, , , , ,

T

f x y z f x y z t dtT

, , , , , , , ,f x y z t f x y z f x y z t

Tako je prosečna vrednost brzine u nekoj tački:

0

1, , , , ,

T

U x y z U x y z t dtT

, , , , , , , ,U x y z t U x y z U x y z t

U u u i v v j w w k

Gde je

0

1, , , , ,

T

u x y z u x y z t dtT

, , , , , , , ,u x y z t u x y z u x y z t

Iz definicije prosečne vrednosti sledi da prosečna vrednost fluktuacija mora da bude nula:

0

1, , , , , 0

T

u x y z u x y z t dtT

Vremenskim osrednjavanjem Navije-Stoksove jednačine dobija se Rejnoldsova jednačina za turbulentno strujanje.

f

tT

f


x: 2 2 2

2 2 2x

u u u u p u u uu v w F

t x y z x x y z

Pretpostavka je da je strujanje nestišljivo i da se fluktuacije gustine mogu zanemariti,

tj. 0, .

Članovi konvektivnog dela ubrzanja u Navije Stoksovoj jednačini mogu se matematički transformisati i napisati kao:

2 2u u u u u uu u u u

x x x x x x

uv v u u uv v

u v v uy y y y y y

uw w u u uw wu w w u

z z z z z z

Sada je Navije-Stoksova jednačina za x pravac:

2 2 2 2

2 2 2x

IIII IVII V

u u u uv v uw w p u u uu u u F

t x x y y z z x x y z

Ako se na ovu jednačonu primeni Rejnoldsovo vremensko osrednjavanja, tj.operacija

0

1d

T

tT , pojedini članovi svode se na:

I: 0 0

1 1d d

T T

u

u u ut t

T t t T t t

II:

Ako je .const , deo konvektivnog člana je 0u v w

u u u udivUx y z

.

Analizom preostalih članova u konvektivnom delu sledi:

2

22 2 2

1 2 30 0 0 0

1 1 1 1d d d 2 d

T T T Tu

t u t u u t u uu u u t u u uT x x T x T x T x

1: 2 2

0

1d

T

u t = uT

2: . 0 0

1 12 d 2 d 0

T T

uu t = u u tT T

3: 0

1d

T2u u t = u

T

III: 0 0

1 1d d

T T

x x xF t F t FT T


IV: 0 0

1 1d d

T Tp p

t p tT x x T x

V: 2 2 2

2 2 20 0

1 1d d

T Tu u

t u tT Tx x x

Sada je Rejnoldsova jednačina za x pravac:

2 2

2 2 2

2 2 2x

u u u v u v u w u wu p u u uF

t x y z x x y z

ili 2 2 2 2 2

2 2 2x

Turbulentni naponi

u u u v u w p u u u u u v u wF

t x y z x x y zx y z

Na isti način slede jednačine za y i z pravac:

2 2 2 2 2

2 2 2y

Turbulentni naponi

v u v v v w p v v v u v v v wF

t x y z y x y zx y z

2 2 2 2 2

2 2 2z

Turbulentni naponi

w u w v w w p w w w u w v w wF

t x y z z x y zx y z

Turbulentni naponi vode poreklo od dopunske konvektivne inercijalne sile uslovljene turbulentnim fluktuacijama. Tenzor turbulentnih napona je:

2

2

2

t t t

xx yx zx

t t t t

xy yy zy

t t t

xz yz zz

u u v u w

T v u v v w

w u w v w

Fizički smisao turbulentnih napona može se npr. objasniti analizom promene količine

kretanja u ravni d yA (elementarna ravan upravna na osu y) na slededi način:

za ravan d -

d d

y

y

y y

A n j

U u u i v v j w w k

DKU U n A u u i v v j w w k v v A

Dt

Projekcija promene količine kretanja u ravni y na pravac x je:


d

yx

y

DKu u v v

Dt A

Vremenskim osrednjavanjem sledi da je:

d

yx

y Turbulentni napon

DKu v u v u v u v

Dt A

Na osnovu ove analize može se zaključiti da turbulentni napon u v predstavlja projekciju

dopunskog napon koji se javlja u ravni y u pravcu x ( t

yx ) . On je posledica konvektivne

inercijalne sile u ravni y projektovane na pravac x usled dopunske razmene količine kretanja do koje dolazi zbog postojanja fluktuacionih brzina. Turbulentni naponi su nove nepoznate veličine. Jedan od načina za modeliranje turbulentnih napona je Prantlova hipoteza o putanji mešanja po kojoj za kvazijednodimenzijsko

turbulentno strujanje napon t

xy se definiše kao:

2 d d

d d

t

xy

u ul

y y

gde je l Prantlova putanja mešanja koja se odredjuje se eksperimentalno. U blizini zida

, 0,4l y . Razlika između napona usled viskoznosti koji se definiše Njutnovom

hipotezom (za kvazijednodimenzijsko strujanje d

dxy

u

y

) I turbulentnih napona je:

1. Turbulentni naponi su srazmerni kvadratu gradijenta brzine;

2. Koeficijent proporcionalnosti 2l nije konstantan, ved zavisi od rastojanja od zida.

6.6.2 Turbulentno strujanje kroz cev Slično kao i kod laminarnog strujanja, može se pokazati da je raspodela napona po

poprečnom preseku cevi linearna

wr

R

.

Ukupni napon sada je zbir napona usled viskoznosti i turbulentnog napona:

t Za kvazijednodimenzijsko strujanje, uzimajudi u obzir Njutnovu hipotezu o naponima i

Prantlovu hipotezu o putanji mešanja sledi: 2

2d d

d d

u ul

y y

U blizini zida razlikuju se tri oblasti:

1. Viskozni podsloj gde su dominantni viskozni naponi (na zidu je brzina nula, pa ne postoje ni

fluktuacione brzine, tj. turbulentni naponi) - t .


d

dw

u

y

w wu y C y C

* wu

- dinamička brzina

Kako je za

0, 0y u sledi da je 0C .

*

*

u u y

u

** u y

y

- bezdimenzijsko rastojanje od zida

Tako sledi da je u viskoznom podsloju

*

*

uy

u

Merenja pokazuju da je debljina viskoznog podsloja oko

* 5y .

2. Prelazna oblast *5 30y . Sa udaljavanjem od zida rastu fluktuacione brzine, pa je i udeo

turbulentnih napona vedi. U prelaznoj oblasi udeo viskoznih i turbulentnih napona je istog

reda veličine t .

3. Turbulentno jezgro * 30y ,

t

2

2 d

dw

ul

y

2 2*

2 2

d

d

wu u

y l l

*d

d

u u

y l

*d

d

u u

y y

*

lnu

u y C

U cilju dobijanja veze *

*

uf y

u , dobijeni izraz za profil brzine se može

transformisati u:

*

*ln

u yuA B

u

12,5A

5,5B (određeno eksperimentalno).


0

10

20

30

40

50

60

0 5 10 15 20

viskozni podsloj

turbulentno jezgro

zakon za turbulentno jezgro primenjen na ceo poprecni presek

y*

ū/u*

Documents

Dinamika Viskoznog Fluida 2013