ĐỊNH LÝ SAU CÙNG FERMAT

A) MỞ ĐẦU

Kính thưa quý Giáo sư Tiến sĩ, quý anh chị cùng các bạn trẻ, tuổi tác càng cao sức khỏe, trí nhớ càng kém, do đó từ đầu năm 2011 đến nay, tôi ít viết bài trên các diển đàn khoahọc.net, vietthuc.org, rfvn.com, dantocvietnam.com v.v. … Thời gian còn lại gôm góp một số vấn đề nan giải, mà tôi đã bỏ ra nhiều công sức tìm tòi cách giải quyết, có thể nói là một vài thành qủa, để lưu lại cho con cháu mai sau, thành qủa nầy không phải là tiền tài, vật chất, mà là thành quả về khoa học toán, nói đến toán thì vô cùng rộng lớn, mà sự hiểu biết của tôi mới chỉ là hạt cát trong sa mạc, do vậy có gì không ổn mong quý vị rộng lượng tha thứ cho.

Thành quả thứ nhất, tôi đã chứng minh FERMAT’S LAST THEOREM (FLT) hơn 360 năm đã làm nhức nhối các nhà toán học trên thế giới, FLT bắt nguồn từ Định lý Pythagoras 500 năm trước Công nguyên.

Thành quả thứ hai, tôi đã tìm ra một số phương pháp chung cho DIOPHANTINE EQUATION, một loại phương trình có từ 2 ẩn số trở lên, số mũ từ 1, 2, 3 … đến vô cực, nghiệm cuả phương trình phải là số nguyên, DIOPHANTINE EQUATION cũng đã làm nhức nhối các nhà toán học trên 2000 năm nay. Nhà toán học Hy lạp Diophantus (sinh trong khoảng 200 – 280 hay 214-289 sau Công nguyên) Ông đã dành cả cuộc đời nghiên cứu về loại phương trình đa ẩn số, từ 500 năm trước Công nguyên, ông viết được 13 quyển sách, nghe đâu đến nay còn 5 hay 6 quyển gì đó. Các nhà toán học thời bấy giờ gọi ông là Cha đẻ của Đại sô

B) NGUYÊN NHÂN

Nguyên nhân nào đã đưa tôi vào 2 vấn đề khó khăn nhất cuả Thiên niên kỷ, Kính thưa quý vị, sau 1975 mất Miền nam, tôi cũng như bao nhiêu người khác thuộc Quân, Cán, Chính VNCH phải vào tù cải tạo, khi ra tù gia đình tôi về lại Quảng ngãi nuôi mẹ già trên 80 tuổi, bà không chịu vào Nam, sống chết tại Quê hương. Về quê với 2 bàn tay trắng, nhà cửa không còn, ruộng đất nhà nước quản lý, vườn thì chia năm, xẻ bảy cho bà con trong xóm làm nhà ở, chỉ còn lại một

vài sào, tôi trồng rau và dạy toán cho học sinh luyện thi các cấp, các cháu có gì cho nấy, tạm sống qua ngày.

Tôi có đứa cháu là Sinh viên Y khoa ở Huế về thăm, thấy tôi dạy toán nó bảo có bài toán trên 300 năm không ai giải được, bác giải thử, lẻ ra tôi không nên hỏi mới đúng vì các nhà toán học không làm được, thì tôi sức đâu để giải, nhưng vì lịch sự nên phải hỏi cho qua chuyện, hỏi xong tôi biết ngay phương trình sau đây

xn + yn = zn

chính là Định lý sau cùng cuả Fermat, hồi còn đi học có nghe nói không ai giải được, nên không bao giờ tôi để tâm đến.

Nhưng một hôm đến ngày giỗ cuả Cha tôi, cũng đúng ngay vào ngày đám cưới cuả thằng cháu, hiện nay ở nhà tôi bên VN, lấy tiền đâu lo giỗ, vừa lo đi đám (không thể từ chối), đêm đó ngủ không được, tôi mới trực nhớ đến Định lý sau cùng của Fermat, tôi tìm xem bài toán khó như thế nào? Tìm ra chổ khó để hoá giải, may ra có thể giải được. Nghỉ đến bài toán để tìm giấc ngủ, không ngờ tôi lại tìm ra phương pháp để giải, lúc đó ngồi dậy thắp đèn lên, ghi lại những yếu tố chính

Nguyên nhân thứ hai, Năm 1990 gia đình tôi được định cư tại Hoa kỳ theo diện HO (HO3) dịp may bằng vàng, Tôi có tham vọng lớn, phải làm một cái gì đó cho Hoa kỳ thấy người VN mình có khả năng không kém họ, mình ra đi không vì miếng cơm, manh áo, đồng thời đền đáp phần nào công ơn người Mỹ đã mở rộng vòng tay đón nhận người Việt nam đến tỵ nạn. Do quyết tâm, vài năm sau tôi đã hoàn tất chứng minh Định lý sau cùng cuả Fermat. giải xong tôi gỏ cửa nhiều Giáo sư Toán ở Hoa kỳ, hỏi xem đúng sai thế nào, nhưng nghe nói đến FLT họ trả lời không ai giải được đâu! … Mãi đến năm 1995 tôi gởi sang Hàn Lâm Viện Khoa Học Đức, hỏi xem chứng minh tôi đúng hay sai, họ có trả lời cho tôi bằng thư bưu điện, nếu tôi Publish thì giải thưởng 70,000 Đức mã sẽ đến với tôi sớm hơn 2 năm, họ cũng giải thích trước đây là 100,000 GM do nhà toán học P. Wolfskehl …

“mathematician Paul Wolfskehl, a banker's son, offered in his will (1908) a prize of 100,000 German marks for the solution of the Fermat problem”…

Thơ trả lời bằng bưu điện của Hàn Lâm Việ n /KHĐức chứng tỏ tôi đã giải xong trước 1995, còn đúng sai vẫn chưa biết, tôi không quan tâm giải thưởng nên không Publish

Nguyên nhân cuối cũng là nguyên nhân quyết liệt nhất, một nên, một hư, có thể đổ vở gia đình, xách gói ra đường làm homeless! Các nhà toán học không tin Pierre de Fermat đã có chứng minh, hoặc có chứng minh, nhưng sai nên huỷ bỏ, ông đã chết trên 300 năm, ai nói sao ông chịu vậy, tôi biết mà không bảo vệ cho ông thì quá yếu, không muốn nói là có tội với ông, nên tôi quyết định nhờ Luật sư giúp về mặc pháp lý, để tôi bảo vệ Luận án cho Pierre de Fermat.

Năm 2000 tôi bỏ việc làm, hoàn tất Luận án bảo vệ Dự đoán (Conjecture) sau cùng cho ông, phải nói Dự doán mới cần chứng minh bảo vệ,

Tôi đã chứng minh được Định Lý Sau Cùng Của Fermat, (Fernat’s Last Theorem),

xn + yn = zn n > 2

Định lý sau cùng cuả Fermat bắt nguồn từ Định lý Pythagoras x2 + y2 = z2 có vô số nghiệm, đã được nhà toán học Pythagoras chứng minh 500 năm trước Công nguyên, mãi đến thê kỷ XVII (1637?) Nhà toán học người Pháp Pierre de Fermat đã chứng minh xn + yn = zn n > 2 không có nghiệm nguyên, khác zero nào cuả x, y, z nghiệm đúng phương trình

Pierre de Fermat bảo rằng lề cuốn sách hẹp quá không đủ viết chứng minh “I have discovered a truly marvelous demonstration of this proposition that this margin is too narrow to contain” có lẽ nhà Toán học Pierre de Fermat muốn thử thách các nhà toán học sau nầy, vậy mà trên 360 năm đã làm nhức nhối các nhà toán học, không tìm ra chứng minh cuả ông, hoặc bằng cách chứng minh nào khác, ngay cả con trai ông cũng không tìm ra, chỉ thấy Pierre de Fermat chứng minh n = 4 là vô nghiệm. Tôi lấy n=4 làm chuẩn để chứng minh tiếp n cũng vô nghiệm

Trình Luận Án năm 2002 tôi cho pusblish quyển Fermat’s Last Theorem trong đó có 2 chứng

minh, xem như 2 luận án bảo vệ Định lý Sau cùng của Fermat … Chắc quý vị sẽ đặt câu hỏi, Ai

công nhận tôi chứng minh đúng, câu hỏi rất hay, xin thưa, các nhà toán học trên thế giới

hay bất cứ ai có quan tâm đến toán, đều có quyền phản bác, nếu tìm thấy chổ sai, sau 2 năm

publish không ai phản bác thì chứng minh tôi đã đúng. Từ 2002 đến 2011 không nhà toán học

nào phản bác, còn được nhiều trường Đại học viết lại thành sách Giáo khoa, vẫn để tôi là tác giả

bán cho sinh viên, có nơi bán tới £37 (Anh kim),

Tuỳ số trang sách, nhà in cho để giá, như 120 trang, bìa mỏng, tối đa chưa tới US$12, tôi thấy

nhiều nơi ở Âu châu, Nhựt bản, ngay cả Hoakỳ bán với giá trên US$123, dĩ nhiên trên mạng

amazon.com, hay những nhà sách cũng bán bình thường hoặc gấp đôi, gấp ba

Stock Image

Fermat's Last Theorem (ISBN: 0759654735 / 0-7596-5473-5) Ran Van Vo

Bookseller: Papa Media (New York, NY, U.S.A.)Bookseller Rating:

Quantity Available: 1

Price: US$ 123.95Convert Currency

Shipping: US$ 4.50 Within U.S.A.

Destination, Rates & Speeds

như vậy phần chứng minh cuả tôi đã đúng, hay nói cách khác tôi đã bảo vệ thành công Định lý

sau cùng cuả Fermat.

“洋書 - Pure Mathematics - Number Theory”

Trong webside cuả Nhựt có rất nhiều trang, bao gồm các nhà toán học trên Thế giới có sách

Toán “Pure Mathematics – Number Theory” từ năn 1904 đến 2010, tính ra hơn 100 năm, trong

danh sách nầy có Ran Van Vo là người Việt Nam duy nhất, có sách Toán, với những phương

pháp mới để Cộng đồng toán học cùng học hỏi (2002). Không biết còn người VN nào khác mà

tôi tìm không ra? Kính mời quý vị vào địa chỉ

http://mathematics.web.infoseek.co.jp/book/99405011.html

Đây là vinh dự chung cho người Việt nam chúng ta, chứ không riêng cho cá nhân tôi, chỉ có người VN mới giải được bài toán khó trên 360 năm không ai giải được

C) CHIA XẺ

Phần quan trọng ở đây là tôi muốn chia xẻ chứng minh Fermat’s Last Theorem cùng quý vị và các bạn trẻ VN trong cũng như ngoài nước, mong rằng ai trong chúng ta cũng giải được

Tôi chứng minh trực tiếp vào Định lý, chứ không đi vòng vo bên ngoài, vô cùng khó khăn, vì lúc ở Việt nam không tài liệu, không có thư viện, không máy điện toán. Nhưng cái đêm không ngủ được, tôi phát hiện ra một phương pháp rất quan trọng, phương pháp chỉ nằm gọn trong tầm tay, vì nó được giới hạn giữa 0 và 1, Phương pháp mới có thể phát biểu như sau:

Tất cả các số HỮU TỶ và VÔ TỶ lớn hơn 0 nhỏ thua 1, giúp ta tìm gia trị nguyên x, y, z nguyên

cuả phương trình Diophantus có dạng axn + byn = czn với n ∞

------------------------0||1--------------------------|2---->

Nhưng làm cách nào để giải phương trình axn + byn = czn với mọi giá trị cuả n. Trường hợp đặt biệt abc = 1 phương trình Diophantus trên còn lại xn + yn = zn đây chính là dạng cuả phương trình Farmat’s Last Theorem

Tôi phải tìm cách viết phương pháp mới trên, thành công thức để khi gặp loại phương trình như trên hay đồng dạng, ta ứng dụng công thức vào giải ngay, không cần suy nghỉ chi cả,

Từ định lý Pythagoaras

x2 + y2 = z2

Chia 2 vế phương trình cho z2

(x/z)2 + (y/z)2 = 1 (z )

đặt = x/z và = y/z ta có

2 + 2 = 1

Ta viết được công thức như sau

ζ(s) = 2 + 2 = 1

= 2

ζ(s) = 1 & ζ(1) 0

x = . z

y = . z = 2 . z

0 < α < 1

Giữa 0 và 1 ta có hàng trăm, hàng triệu hay vô số giá trị cuả , nghiệm đúng

2 + 2 = 1

0.6 0.8

0.28 0.96

0.352 0.936

(7/13) (12/13)

…. ….

Đặt s là tập hợp tất cả giá trị cuả nằm giữa 0 và 1

Và s là tập hợp tất cả giá trị cuả nằm giữa 0 và 1

s2s2 = 1

D) CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ SAU CÙNG FERMAT

Nhiều bạn trẻ trong và ngoài nước email hỏi tôi về cách chứng minh FLT, tôi xin khất nợ, hứa lúc nào về VN hay có dịp sẽ chứng minh, nó không khó như người ta tưởng đâu. Nhân đây tôi xin trình bày luôn, chứ để lâu thời gian không cho phép, biết đâu bạn già Alzheimer ghé thăm, thì tôi nợ các bạn trẻ suốt đời, nếu có gì không đúng mong được quý vị chỉ giáo cho, hiện nay số người hiểu được chứng minh Fermat’s Last Theorem dài 200 trang cuả Giáo sư Andrew Wiles chỉ trên đầu ngón tay, chứ chưa nói là giải được. 360 năm các nhà toán học tìm một cách minh ngắn gọn không có, trong lúc tôi có 2 cách giải sau đây rất ngắn gọn, hy vọng quý vị sẽ giải được như những bài toán bình thường

CÁCH GIẢI 1

xn + yn = zn

chia số mũ n làm 2 phần, phần chẳng n = 2k (k >1), phần lẻ n = 2k+1 (k )

Chứng minh n = 2k

Ta có phương trình

x2k + y2k = z2k

chia 2 vế phương trình cho z2k

( x/z)2k + (y/z)2k = 1 (z 0)

đặt = x/z và = y/z ta có

2k + 2k = 1

Suy ra

= 2k

Áp dụng công thức rút ra từ định lý Pythagoras, nhưng ta thay thế số mũ bằng 2k

Ta viết được công thức như sau (ta dùng ζ(s) = … cho nhiều ẩn số sau nầy)

ζ(s) = 2k + 2k = 1

= 2k

Chọn giá trị cuả ( 0 < α < 1)

x = . z

Chọn giá trị cuả z cho x nguyên, xem như x và z số nguyên không khó

Ta xem thử y có nguyên không, nếu y nguyên thì ta bảo phương trình mũ 2k có nghiệm và ngược lại

y = . z = 2k . z

y = .z (2k = k2)

Muốn căn bậc 2 ở trong chính phương thì

k s

Và

k s

Suy ra s2s2 = 1

Cùng giá trị cuả ss tăng số mũ lên 3 hoặc k (k ) nó sẽ không bao giờ bằng 1

sksk 1

Do đó y = .z (không nguyên)

y không nguyên với mọi giá trị cuả z, vì là số vô tỷ với mọi giá trị cuả nằm trong tập hợp s, nếu ra ngoài tập hợp s thì căn bậc 2 ở trong sẽ không chính phương, suy ra căn k bên ngoài vẫn không chính phương (là vô tỷ)

Từ đây ta có kết luận khi n = 2k

Phương trình x2k + y2k = z2k vô nghiệm

Chứng minh tương tự với n = 2k+1

Ta có phương trình

x2k+1 + y2k+1 = z2k+1

Có nhiều cách chứng minh

Dựa chứng minh số mũ chẳng 2k hay 2(2k+1) vô nghiệm ở trên

Ta có phương trình mũ chẳng x2(2k+1) + y2(2k+1) = z2(2k+1) vô nghiệm

Chia 2 vế phương trình cho z2(2k+1)

( x/z)2(2k+1) + (y/z)2(2k+1) = 1 (z 0)

Đặt = x/z và = y/z ta có

2(2k+1) + 2(2k+1) = 1

Suy ra

= 2(2k+1)

Ta có

ζ(s) = 2(2k+1) + 2(2k+1) = 1

= 2(2k+1)

Chọn giá trị cuả ( 0 < α < 1)

x = . z

Chọn giá trị cuả z cho x nguyên, xem như ta tự chọn x và z là số nguyên

y = . z = 2(2k+1) . z

y = .z [2(2k+1) = (2k+1)2]

Muốn căn bậc 2 ở trong chính phương thì

2k+1 s

Và

2k+1 s

Suy ra s2s2 = 1

Cùng giá trị cuả ss tăng số mũ lên 3 hoặc 2k+1 nó sẽ không bao giờ bằng 1

s2k+1s2k+1 1

Cách khác

y = .z

Căn 2 ở trong chính phương, thì căn 2k+1 không chính phương, nếu căn 2k+1 là số chính phương thì ngược với chứng minh trên

Từ đây suy ra

Phương trình x2k+1 + y2k+1 = z2k+1 cũng vô nghiệm

Qua 2 phần chứng minh ta kết luận

xn + yn = zn n > 2 vô nghiệm

CÁCH GIẢI 2

Pierre de Fermat chứng minh n = 4 là vô nghiệm, từ đó về sau không tìm ra chứng minh khác cuả ông, tôi lấy n=4 làm chuẩn để tiếp tục chứng minh n = 5, 6,7, … n cũng vô nghiệm, ta xem n=4 (n4) như một loại virus gây nên bịnh vô nghiệm (không nguyên) trong Toán học, tôi chứng minh các phương trình bậc n từ 3 đến vô cưc có nhiễm virus n4 nên vô nghiệm, tương tự như virus HIV gây nên bịnh Aids cho những ai bị nhiễm virus nầy…Nói nghe đơn giản, nhưng chứng minh cũng rắc rối, phần chứng minh nầy có trong quyển FLT, ta chỉ cần biết một cách giải là đủ rồi, nếu quý vị muốn biết thêm thì xem trong Fermat’s Last Theorem by Ran Van Vo

Tôi rất sung sướng, và nghỉ là mình đã tìm được chứng minh cuả Fermat. tôi lấy chứng minh nầy để bảo vệ Luận án cho Pierre de Fermat, có nghĩa là ông có chứng minh bằng cách lấy n4 làm chuẩn rồi suy ra các n khác (n>4) vô nghiệm theo, để hổ trợ Luận án, tôi có thêm chứng minh riêng cuả tôi ở phần 1

CÔNG THỨC CHUNG

Nói đến công thức thì tôi đã lạm dụng danh từ, vì sống ở nhà quê bà con nông dân thường gọi, công thức làm bánh, công thức làm men, công thức làm xà phòng v.v…nên quen gọi là công thức, mong quý vị thông cảm cho,Từ Định lý sau cùng Fermat cộng với phương pháp riêng cuả tôi, viết thành công thức cho Phương trình Diophantus có dạng

a · xn + b · yn = c · zn

ζ(s) = n + n = 1

= n

= n

ζ(s) = 1 & ζ(1) 0

y =

0 < α < 1; n → ∞

E) ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ SAU CÙNG FERMAT

Sau khi giải được FLT tôi ứng dụng để giải các phương Diophantus, qua internet ta gặp các phương trình:

a · x3 + b · y3 + c · z3 = 0

“E. S. Selmer, The Diophantine equation a · x3 + b · y3 + c · z3 = 0, Acta. Math. 85 (1951) 203-362 and 92 (1954) 191-197; MR 13,13i and 16,674e

A · x4 + B · y4 + C · z4 = 0

L. J. Mordell, The diophantine equation A · x4 + B · y4 + C · z4 = 0, Proc. Cambridge Philos. Soc. 68 (1970) 125-128; MR 41 #3393.”

                                     A·xp + B·yq = C·zr

                                     (1/p + 1/q + 1/r  < 1)

“H. Darmon and A. Granville, On the equations zm = F(x, y) and   A · xp + B · yq = C · zr, Bull. London Math. Soc. 27 (1995) 513-543; preprint available at Univ. of Georgia; MR 96e:11042. ”

*) Chúng ta thử giải

Diophantine equation a · x3 + b · y3 + c · z3 = 0

GIẢI

Đổi về dạng phương trình Fermat

Ta phải đưa phương trình a · x3 + b · y3 + c · z3 = 0 về dạng phương trình Fermat sau đây

a · x3 + b · y3 = c · z3

Xn + Yn = Zn

X = (3√a · x)

Y = (3√b · y)

Z = (3√c · z)

(3√a · x)3 + (3√b · y)3 = (3√c · z)3

Áp dụng công thức tổng quát

ζ(s) = n + n = 1

= n

= n

ζ(s) = 1 & ζ(1) 0

y =

0 < α < 1; n → ∞

Chọn bất kỳ giá trị = 2/3 ( 0 < < 1)

suy ra

= 3 = 3 = 3 /3

Từ công thức trên muốn có x, y, z là số nguyên, giá trị cuả a và c là số chính phương bậc 3, riêng giá trị cuả b = 19

Chọn bất kỳ giá trị nào cuả z miển sao chia đúng cho 9 ( z mod9) thay vào

ta có

x = 16

Tương tự giá trị của y

y =

y =

y = 24

Thay các giá trị x, y, z vừa tìm vào phương trình để thử lại

27 · x3 + 19 · y3 = 64 · z3

27 · 163 + 19 · 243 = 64 · 183 = 373248

Đáp số :

a = 27; b = 19; c = 64

x = 16; y = 24; z = 18

…

Có vô số giá trị cuả a, c và z nên ta có vô số giá trị cuả x và y

Ta chọn giá trị

suy ra

= 3 = 3 = 3 /5

tương tự phương trình

8 · x3 + 98 · y3 = 125 · z3

Áp dụng công thức tổng quát ta có

x = 24,

y = 16,

z = 16,

Thay các giá trị x, y, z vừa tìm vào phương trình để thử lại

8 · 243 + 98 · 163 = 125 · 163 = 512000

Đáp số :

a= 8, b = 98, c = 125

x = 24, y = 16, z = 16

…

Có vô số giá trị cuả a, c và z nên ta có vô số giá trị cuả x và y

*) Các bạn trẻ thử giải

A · x4 + B · y4 + C · z4 = 0

L. J. Mordell, The diophantine equation A · x4 + B · y4 + C · z4 = 0, Proc. Cambridge Philos. Soc. 68 (1970) 125-128; MR 41 #3393.”

*) Các bạn trẻ thử giải

                                     A·x7 + B·y12 = C·z13

                                     (1/p + 1/q + 1/r < 1)

H. Darmon and A. Granville, On the equations zm = F(x, y) and   A · xp + B · yq = C · zr, Bull. London Math. Soc. 27 (1995) 513-543; preprint available at Univ. of Georgia; MR 96e:11042.

F) KẾT LUẬN

Toán học là nền tảng cho mọi phát triển xã hội, ngày nay khoa học thực dụng phát triển quá nhanh, nhanh đến chống mặt, ngược lại Toán học có khuynh hướng đi xuống, so với các nhà toán học trước đây, tạo nên khoảng cách rất nguy hiểm, không điểm tựa có nguy cơ huỷ diệt, vì Toán học không theo kịp để làm điểm tựa hoặc kiềm chế (control) các phát minh cuả khoa học thực dụng. Đơn cử như Nhật bản phát triển rất nhanh sau Đệ nhị Thế chiến, Nhật bản trở thành một cường quốc về kinh tế, nhưng toán học không phát triển kịp, nên thảm họa Động đất, Sóng thần, và các lò Điện hạt nhân vừa qua, gây khốn đốn cho người dân, Chính quyền cũng như các giới Khoa học, họ không đủ sức kiềm chế phóng xạ, phải nhờ vào Mỹ và các nước khác

TOÁN HỌC, KHOA HỌC THỰC DỤNG và ĐẠO ĐỨC 3vấn đề cần phát triển đồng loạt, mới tạo cho con NGƯỜI có cuộc sống VĂN MINH, AN BÌNH và HẠNH PHÚC, đó là những ý nghỉ thô thiển cuả tôi.

Từ suy nghỉ thô thiển đó, hơn 10 năm (2000 đến nay) nghỉ làm, để chuyên về nghiên cứu Toán, tôi đã viết được 3 quyển bằng tiếng Anh và 6 quyển bằng tiếng Việt, quyển đầu tay FLT chỉ dày có 120 trang, lúc đó tôi thấy rất hay, nhưng bây giờ xem lại còn đơn sơ quá, phần vì Anh văn tôi kém, phần tự ái không hỏi con cái trong nhà, hay bạn bè, vì vợ con không muốn tôi bỏ làm để đi vào con đường ngoài khả năng, không lối thoát… Những quyển sau nầy dày gấp đôi (240 trang – 300 trang), giá trị hơn nhiều, so với quyển đầu tay FLT. Tôi gọi đây là món quà cho Quê hương, cho các bạn trẻ, một khi Việt nam có tự do thật sự

Kính chúc quý vị cùng các bạn trẻ sức khỏe, niềm tin cho một Việt nam Tự do, giàu mạnh, bảo vệ biên cương, Dân tộc không bị đồng hoá bởi ngoại xâm phương bắc, để xứng đáng là con Rồng cháu Tiên

Võ Văn Rân